\documentclass[10pt]{book}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newtheorem{ejercicio}{Ejercicio}[chapter]

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%\renewcommand{\contentsname}{Contenidos}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\begin{titlepage}
\centering
{\includegraphics[width=0.25\textwidth]{Figuras/URJC-Logo-PNG-1.png}\par}
\vspace{3cm}
{\bfseries\Large EJERCICIOS Y PROBLEMAS RESUELTOS\par}
\vspace{1cm}
{\bfseries\Large MÉTODOS MATEMÁTICOS APLICADOS \par}
\vspace{1cm}
{\bfseries\Large A LA INGENIERÍA\par}
\vspace{1.5cm}
{\itshape\Large{M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la Ing. de Materiales \par}}
{\itshape\Large{M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la Ing. de la Energ\'{\i}a \par}}
{\itshape\Large{M\'etodos Num\'ericos en el M\'aster en Ing. Industrial \par}}
\vspace{1cm}
{\Large A. I. Mu\~noz Montalvo, A. Nolla de Celis, E. Schiavi\par}
\vspace{0.5cm}
{\Large Septiembre 2022 \par}
\vspace{1cm}
{\large{\copyright 2022. Autores: A. I. Mu\~noz
Montalvo, A. Nolla, E. Schiavi.\\
Algunos derechos reservados.\\
Este documento se distribuye bajo la licencia internacional
Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International
License.\\ Disponible en:
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}}\vspace{0.5cm}

{\large{Publicado en: https://burjcdigital.urjc.es}}
\end{titlepage}



\tableofcontents







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Introducci\'on}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Esta colecci\'on de problemas constituye la segunda parte del libro {\em ``M\'etodos Matem\'aticos para los grados en ingenier\'ia. Primera parte: Teor\'ia''}, de E. Schiavi, A. I. Mu\~noz y C. Conde \cite{SMC}. Contiene numerosos problemas y ejercicios, tanto resueltos como propuestos, sobre los temas desarrollados en la primera parte.\\

Para los problemas marcados con {\em (Octave)} es necesario el uso del software matem\'atico libre Octave para resolverlos, aunque todas las funciones y comandos usados en este libro funcionan tambi\'en para MATLAB.\\

Los c\'odigos de las funciones usadas en este documento se pueden encontrar en \cite{SMN}, publicado online en  \url{https://burjcdigital.urjc.es}. Las funciones a las que hacemos referencia son: \\

\begin{tabular}{llll}
\texttt{metbiseccion.m} & \texttt{metsecante.m} & \texttt{heun.m} & \texttt{ecupoisson.m} \\
\texttt{metnewton1ec.m} & \texttt{metregulafalsi.m} & \texttt{rungekuttao3.m} & \texttt{heaviside.m} \\
\texttt{metpuntofijo.m} & \texttt{eulerexplicito.m} & \texttt{bvpdirichlet.m} & \texttt{}\\
\texttt{metodoaitken.m} & \texttt{eulerimplicito.m} & \texttt{bvp2cvrobinup.m} & \texttt{} \\
\texttt{metnewtonsistema.m} & \texttt{cranknicolson.m} & \texttt{ecucalor.m} & \\
\end{tabular}\\
\smallskip

La mayor parte de ellas son adaptaciones que hemos realizado de las funciones del libro {\em ``C\'alculo cient\'ifico con MATLAB y Octave''} de A. Quarteroni, F. Saleri \cite{QS}. 











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Resoluci\'on de ecuaciones no lineales}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Problemas resueltos}

\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.1}
 Encontrar una aproximaci\'on de la ra\'{\i}z de la ecuaci\'on:
$$x-\frac{1}{2}\cos^2(x)=0,$$
con un orden de error igual o inferior a $2\cdot 10^{-2}$
utilizando el m\'etodo de bisecci\'on.
\end{ejercicio}
{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar buscamos un intervalo $(a,b)$ satisfaciendo
$f(a)f(b)<0$ para $f(x)=x-\frac{1}{2}\cos^2(x)$, puesto que garantiza la existencia de al menos una ra\'{\i}z en dicho
intervalo. Se tiene que $f(0.4)=-0.024$ y $f(0.5)=0.114$, por
tanto, tomaremos el intervalo $(0.4,0.5)$ como intervalo de
partida. A continuaci\'on, hallamos el n\'umero m\'{\i}nimo de
iteraciones que tenemos que realizar para conseguir que el error
sea inferior a $2\cdot 10^{-2}$,
$$n>\frac{\ln((b-a)/0.02)}{\ln(2)}=\frac{1.6094}{0.693}=2.322, $$
por tanto realizaremos 3 iteraciones:
\[
\begin{array}{lll}
I_0 = (0.4,0.5) & x_1= 0.45 & f(0.45)>0 ,\\
I_1 = (0.4,0.45) & x_2=0.425 & f(0.425)>0,\\
I_2 = (0.4,0.425)& x_3=0.4125 & f(0.4125) <0,\\
%I_3= (0.4125,0.425) & x_4=0.4187 & f(0.4187)>0,\\
%I_4=(0.4125,0.4187) & x_5=0.4156.

\end{array}
\]

Por tanto, la soluci\'on es $x_3=0.4125.$



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  [Burden p.51, Ejemplo 1]
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.2} Sea dada la funci\'on
\[ f(x) = x^3+4x^2-10. \]

\begin{enumerate}
\item[(a)] Hallar una aproximaci\'on $x^*$ de la \'unica ra\'{\i}z real
de la ecuaci\'on  $f(x)=0$, utilizando el m\'etodo de
bisecci\'on con un error inferior a $10^{-2}$. Hallar tambi\'en
una aproximaci\'on mediante 4 iteraciones con el m\'etodo de
Newton-Raphson, tomando como semilla $x_0=a$, siendo $a$ el extremo
izquierdo del intervalo considerado como inicio del m\'etodo de
bisecci\'on.
\item[(b)] (Octave) Aplicar el algoritmo de la bisecci\'on para calcular todas las soluciones de la ecuaci\'on $f(x)=0$, trabajando con una tolerancia de $10^{-3}$ y un n\'umero m\'aximo de 100 iteraciones.
\item[(c)] (Octave) Aplicar el m\'etodo de Newton para resolver la misma ecuaci\'on con los mismos valores de tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}



{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} Tomamos como intervalo de partida para iniciar
el esquema de bisecci\'on el intervalo $(a,b)=(1,1.5)$, ya que
$f(1)=-5$ y $f(1.5)=2.375$. Comenzamos a calcular las 6
iteraciones con el m\'etodo de bisecci\'on necesarias para
asegurar un error inferior a $10^{-2}$ tomando $I_0=(1,1.5)$ como intervalo de
partida:
\[
\begin{array}{lll}
I_0 = (1,1.5) & x_1= 1.25 & f(x_1)=-1.796875<0, \\
I_1 = (1.25,1.5)& x_2=1.375 & f(x_2)=0.162109>0,\\
I_2 = (1.25,1.375)& x_3= 1.3125 & f(x_3)=-0.848388<0,\\
I_3 = (1.3125,1.375)&  x_4=1.34375 & f(x_4)=-0.350982<0,\\
I_4 = (1.34375,1.375)& x_5=1.359375 & f(x_5)=-0.096408<0,\\
I_5 = (1.359375,1.375)& x_6=1.3671875 & f(x_6)=0.323557.
\end{array}
\]
La aproximaci\'on buscada es por tanto, $x_6=1.3671875$.

Utilizando el m\'etodo de Newton, dado por el siguiente esquema
iterativo:
$$x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)},$$
siendo $f(x)=x^3+4x^2-10$ y $f^\prime(x)=3x^2+8x$, e inicializado con
la semilla $a=x_0=1$, tenemos que:
$$x_1=1.454545\quad x_2=1.3689004,\quad x_3=1.3652366$$
Como $|x_3-x_2|=0.0036638<10^{-2}$, tomamos $x_3=1.3652366$ como la aproximaci\'on obtenida por el m\'etodo de Newton-Raphson. Se tiene que $f(x_3)=1.0877\cdot 10^{-4}$, por lo que adem\'as de menos iteraciones, este m\'etodo obtiene un residuo menor al de la bisecci\'on.\\

{\em (b)} Para resolver el problema con el m\'etodo de bisecci\'on, utilizando Octave,
utilizaremos el c\'odigo {\em metbiseccion.m}. Para ello definimos y dibujamos la funci\'on:\\

\texttt{$>$ fecu = @(x)  x.\^{}3+4.*x.\^{}2-10;}\\
\texttt{$>$ ejex =@(x) 0*x;}\\
\texttt{$>$ I = [-5:0.01:3]; plot(I,f(I),I,ejex(I))}\\

La gr\'afica de la funci\'on puede verse en la Figura \ref{FigT1Ej1}.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.4]{Figuras/FigT1Ej1.png}
  \caption{Gr\'afica de la funci\'on $f(x)=x^3+4x-10$.}
  \label{FigT1Ej1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Como debemos encontrar un intervalo $[a,b]$, tal que $f(a)f(b)<0$, gr\'aficamente  vemos que podemos probar con $a=0$ y $b=2$. En efecto, $f(a)f(b)=(-10)\cdot14<0$, por tanto, el intervalo $[0,2]$ nos sirve
para iniciar el m\'etodo de bisecci\'on.

Introducimos:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 2; maxitera = 100; errorper = 1e-3;}\\
\texttt{$>$ [solb,iterab] = metbiseccion(fecu,a,b,errorper,maxitera)}\\

para obtener la soluci\'on: $solb=1.3643$ e $iterab=10$.

{\em (c)} A continuaci\'on, lo resolvemos utilizando el m\'etodo de
Newton-Raphson. Para ello debemos definir la derivada de la
funci\'on e introducir un valor como semilla, que en este caso podemos tomar igual a 1:\\

\texttt{$>$ dfecu = @(x) 3.*x.\^{}2+8.*x}\\
\texttt{$>$ x0 = 1;}\\

utilizando el punto medio del intervalo de partida en el m\'etodo
de bisecci\'on. Finalmente, ejecutamos el c\'odigo {\em metnewton1ec.m}\\

\texttt{$>$ [soln,iteran] = metnewton1ec(fecu,dfecu,x0,errorper,maxitera)}\\

y obtenemos $soln=1.3652$ e $iteran=4$.




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.3} Sea dada la funci\'on $$f(x) = e^x-1.5-arctg(x).$$
Aplicar el m\'etodo de Newton-Raphson para encontrar la ra\'iz positiva de la ecuaci\'on $f(x) = 0$, trabajando con una tolerancia de $10^{-3}$ y un n\'umero m\'aximo de 100 iteraciones.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar buscamos un intervalo donde sepamos que se
encuentra la ra\'{\i}z. Siendo $f(x)=e^x-1.5-arctg(x)$, tenemos
que $f(0)=-0.5$ y $f(1)=0.43288$, por tanto, vamos a elegir
como semilla para el esquema $x_0=0.5$.

Se tiene que:
\begin{align*}
     x_1&=0.8710597917,\\
     x_2&=0.7761330431,\\
     x_3&=0.7677176206,\\
     x_4&=0.7676532699,\\
     x_5&=0.7676532660,\\
     x_6&=0.7676532662,\\
     x_7&=0.7676532662.
\end{align*}
Como $|x_4-x_3|=6.4350\cdot10^{-5}<10^{-3}$, tomamos como aproximaci\'on $x_4=0.76765$. De hecho puede observarse que a partir de $x_4$ se mantienen fijas 6 cifras decimales, por lo que $x_4$ tiene 6 cifras decimales exactas.

A continuaci\'on lo resolvemos utilizando Octave con el m\'etodo metnewton1ec.m. Para ello debemos definir $f(x)$ y su derivada\\

\texttt{$>$ f = inline('exp(x)-1.5-atan(x)','x');}\\
\texttt{$>$ df = inline('exp(x)-(1+x.\^{}2).\^{}(-1)','x');}\\

e introducir un valor como semilla. En este caso podemos tomar \texttt{x0 = 0.5}, que es el punto medio del intervalo de partida en el m\'etodo de bisecci\'on. Finalmente, ejecutamos el c\'odigo metnewton1ec.m\\

\texttt{$>$ [zero1,niter1] = metnewton1ec(f,df,x0,1e-3,100)}\\

y obtenemos el resultado: $zero1=0.76765$ y
$niter1=4$. Se deja como ejercicio comprobar que $f(x)$ tiene una ra\'iz negativa en $x=-14.101$.





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.4}
Hallar una aproximaci\'on $x^*$ de la \'unica ra\'{\i}z real de la
ecuaci\'on  $x^3+3x^2-8=0$, utilizando:
\begin{enumerate}
\item[(a)] el m\'etodo de bisecci\'on,
\item[(b)] el m\'etodo de Newton-Raphson,
\end{enumerate} con un error inferior a $10^{-2}$ en ambos casos.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} Comencemos por el m\'etodo de bisecci\'on. Lo primero que tenemos
que hacer es encontrar un intervalo $(a,b)$ que contenga la
ra\'{\i}z, esto es equivalente a que se verifique $f(a)f(b)<0$.
Observamos que $f(1.3)f(1.4)<0$, por tanto, podemos tomar $a=1.3$ y
$b=1.4$.

Considerando este intervalo de partida, calculamos las
iteraciones necesarias para cumplir la condici\'on de que el error
sea inferior a $10^{-2}$,

$$n>\frac{\ln((b-a)/0.01)}{\ln(2)}=\frac{2.30}{0.693}=3.3189, $$

por tanto, realizaremos $n=4$ iteraciones:
\[
\begin{array}{lll}
I_0 = (1.3,1.4)& x_1= 1.35 & f(1.35)<0,\\
I_1 = (1.35,1.4)& x_2=1.375 & f(1.375)>0,\\
I_2 = (1.35,1.375)& x_3= 1.3625 & f(1.3625)>0,\\
I_3 = (1.35,1.3625)& x_4=1.35625.
\end{array}
\]
{\em (b)} Para resolverlo con el m\'etodo de Newton, dado por el esquema:
$$x_{n+1}=x_n -\frac{f(x_n)}{f^{\prime}(x_n)},$$
donde $f(x)=x^3+3x^2-8$ y $f^{\prime}(x)=3x^2+6x$, consideramos como
semilla $x_0=1.35$. Y se obtiene que $x_1=1.3553$. Como $|x_1-x_2|=0.0053160$ ya es inferior a $10^{-2}$, tenemos que el m\'etodo de Newton-Raphson termina en una sola iteraci\'on.








\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.5}
Hallar una aproximaci\'on $x^*$ de la \'unica ra\'{\i}z real de la
ecuaci\'on  $f(x)=\cos(x)-x=0$, utilizando el m\'etodo del punto
fijo con semilla $x_0=0.7$ y realizando 4 iteraciones. Obtener
tambi\'en una aproximaci\'on mediante el m\'etodo de bisecci\'on
tomando, un intervalo de partida v\'alido $(a,b)$, de modo que
adem\'as $\frac{a+b}{2}=x_0$. \textquestiondown Qu\'e m\'etodo obtiene un menor residuo?
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Comenzamos aplicando el m\'etodo del punto fijo, para ello
consideramos la funci\'on $g(x)=\cos(x)$. Entonces el esquema iterativo a seguir
ser\'a el siguiente: partiendo de una semilla $x_0$, el resto de t\'erminos de la sucesi\'on se
obtienen por la relaci\'on
$$x_{n+1}=g(x_n), \quad n\geq 0.$$

De este modo, tomando $x_0=0.7$ se tiene que:
\begin{align*}
x_1&=g(x_0)=\cos(0.7)=0.76484,\\
x_2&=g(x_1)=\cos(x_1)=0.72149,\\
x_3&=g(x_2)=\cos(x_2)=0.75082,\\
x_4&=g(x_3)=\cos(x_3)=0.73113.
\end{align*}

Por tanto, el valor aproximado que nos piden es $x_4=0.73113$, con un residuo de $|f(x_4)|=0.01329$.

Consideremos ahora el intervalo $(0.6,0.8)$ para comenzar a
aplicar el m\'etodo de bisecci\'on. Primero comprobamos que dicho
intervalo es v\'alido, es decir, que $f(0.6)f(0.8)<0$. Efectivamente:
\begin{align*}
f(0.6)&=\cos(0.6)-0.6=0.825335-0.6>0,\\
f(0.8)&=\cos(0.8)-0.8=0.696706-0.8<0.
\end{align*}
Adem\'as, $\frac{0.6+0.8}{2}=0.7$. Comenzamos pues a calcular las
4 iteraciones con el m\'etodo de bisecci\'on:
\[
\begin{array}{lll}
I_0=(0.6,0.8)& x_1= 0.7 & f(x_1)=0.764842-0.7>0\\
I_1=(0.7,0.8)& x_2= 0.75 & f(x_2)=0.731688-0.75<0\\
I_2=(0.7,0.75)& x_3= 0.725 & f(x_3)=0.748499-0.725>0\\
I_3=(0.725,0.75)& x_4= 0.7375 & f(x_4)=0.740151-0.7375=2.651\cdot 10^{-3}.
\end{array}
\]
Se tiene por tanto que el residuo alcanzado por el m\'etodo de la bisecci\'on (para este reducido n\'umero de iteraciones) es menor.







\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.6}
Se considera la ecuaci\'on $f(x)=x^2-1-\sen(x)=0$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Probar que dicha
ecuaci\'on tiene al menos una ra\'{\i}z positiva.
\item[(b)] Encontrar un
intervalo en el cual la iteraci\'on:
$$x_n=\sqrt{1+\sen(x_{n-1})}=g(x_{n-1}),\, n=1,2,...$$ converja para todo
$x_0$ elegido en dicho intervalo.
\item[(c)] Indicar el n\'umero de pasos que
hay que realizar para conseguir un error inferior a $10^{-3}$,
partiendo de $x_0=\pi/2$ y calcular la aproximaci\'on.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} Observamos que $f(1)=-0.8414$ y $f(2)=2.0907$, por tanto, podemos
asegurar que en el intervalo $(1,2)$, la ecuaci\'on tiene al menos
una ra\'{\i}z positiva. \\

{\em (b)} Para ver si en ese intervalo podemos garantizar que
el esquema iterativo converge, vamos a estudiar si la derivada, es
decir, la funci\'on $$g^{\prime}(x)=\frac{\cos(x)}{2\sqrt{1+\sen(x)}},$$ se
encuentra acotada en valor absoluto por una constante $k<1$. Puede
comprobarse que $g^\prime$ es decreciente en el intervalo $(1,2)$,
tomando en los extremos los valores $g^\prime(1)=0.199078$ y
$g^\prime(2)=-0.150584$. Por tanto, podemos tomar $k=0.2$. \\

{\em (c)} Para este
valor de $k$, se tiene que el n\'umero de iteraciones obtenido es:
$$n>\ln\left(\displaystyle \frac{\epsilon (1-k)}{|x_1-x_0|}\right)/\ln(0.2)=\ln(0.001(1-0.2)/|\sqrt{2}-\frac{\pi}{2}|)/\ln(0.2)=$$
$$\ln(0.001(1-0.2)/0.1565)/\ln(0.2)=-5.2761/(-1.609)=3.2791,$$ es
decir $n=4$, y el valor obtenido es $x_4=1.40962$.




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.7}
Considera la ecuaci\'on $f(x)=2x-\sen(x)-\cos(x)$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Demostrar que $f(x)$ tiene una ra\'{\i}z en $[0,1]$.
\item[(b)] Resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$, utilizando un m\'etodo del
punto fijo
\[ \left\{ \begin{array}{l} x_0 \\  x_{n+1}=g(x_n)\end{array}
\right. \]
\end{enumerate} verificando que la funci\'on $g(x)$ elegida es
contractiva en las proximidades de la ra\'{\i}z y hallando un
n\'umero de iteraciones suficiente para que $|x_i
-x_{i-1}|<10^{-2}$.

\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} Basta comprobar que $f(x)$ es continua y que
$f(0)f(1)<0$. En efecto, $f$ es continua puesto que los
polinomios, $\sen(x)$ y $\cos(x)$ son funciones continuas, y
cualquier combinaci\'on lineal de ellas tambi\'en lo es. Adem\'as, se
tiene que $f(0)=-1$ y $f(1)=0.61822$, por tanto, por el Teorema de
Bolzano existe al menos un valor $x^*$, tal que $f(x^*)=0$, es
decir, una soluci\'on de la ecuaci\'on.\\

{\em (b)} Definimos $g(x)=\frac{1}{2}(\sen(x)+\cos(x))$, que resulta ser
contractiva en el intervalo $[0,1]$ ya que
$g^\prime(x)=\frac{1}{2}(\cos(x)-\sin(x))$, $g^\prime(0)=0.5$,
$g^\prime(1)=-0.1505$ y $g^{\prime\prime}(x)$ no se anula en $[0,1]$ (en este
caso $g^\prime$ es mon\'otona decreciente en dicho intervalo). Por
tanto, puede tomarse como constante de Lipschitz $k=0.5<1$, con lo
cual $g$ es contractiva en $[0,1]$. Eligiendo como semilla el
punto medio del intervalo, $x_0=0.5$, se tienen las siguientes
iteraciones del punto fijo:
$$x_1=g(x_0)=0.678504,\, x_2=g(x_1)=0.703070,\,
x_3=g(x_2)=0.704711,$$ y como el enunciado nos dice que iteremos
hasta que se verifique la condici\'on $|x_i -x_{i-1}|<10^{-2}$, y
$x_2$ y $x_3$ la satisfacen, tomamos como aproximaci\'on de la
soluci\'on, $x=0.70$.



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.8} (Octave)
Hallar una aproximaci\'on $x^*$ de la ra\'{\i}z m\'as pr\'oxima a
$x=1$ de la ecuaci\'on $e^{-x}-\sin(x)=0$, con un error inferior a
$10^{-4}$, utilizando el m\'etodo del punto fijo.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Tenemos que ejecutar los siguientes comandos:\\

\texttt{$>$ g= @(x) asin(exp(-x));}\\
\texttt{$>$ x0 = 1; errorper= 1e-4; maxiter = 100;}\\
\texttt{$>$ [sol,itera] = metpuntofijo(g,x0,errorper,maxitera)}\\

El resultado que obtemos es $sol=0.58850$ e $itera=23$.




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.9} (Octave) Sea dada la funci\'on
%[Burden 2.3 Ejercicio 6e]
$$f(x) =e^x-3x^2.$$
\begin{enumerate}
\item[(a)] Considerando el esquema num\'erico asociado al m\'etodo de
Newton como un esquema de punto fijo, definir la funci\'on $g_N(x)$
asociada al m\'etodo y utilizar el algoritmo de punto fijo para
calcular la soluci\'on de la ecuaci\'on $f(x) = 0$, trabajando con
una tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000
iteraciones.
\item[(b)] Define un esquema de punto fijo diferente al considerado en
el apartado anterior, para calcular la
soluci\'on de la ecuaci\'on $f(x) = 0$, trabajando con una
tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000
iteraciones.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} En primer lugar debemos definir la funci\'on y su derivada, ya que
vamos a utilizar el esquema del m\'etodo de Newton para definir la
funci\'on $g_N$ que aparece en el esquema del punto fijo:
\[
f = e^x-3x^2, \quad\quad\quad
f^\prime = e^x-6x,
\]
y por tanto,\\

\texttt{$>$ gN =@(x) x-(exp(x)-3.*x.\^{}2)./(exp(x)-6.*x);}\\

A continuaci\'on, debemos dar un valor inicial con el cual arrancar
el m\'etodo del punto fijo. Para ello primero localizamos un
intervalo que contenga a la ra\'{\i}z. Por ejemplo, podemos
considerar $a=0$, $b=1$ ya que $f(a)=1$ y $f(b)=-0.28172$. Tomamos como semilla el punto
medio de este intervalo e introducimos el resto de argumentos que
necesitamos para ejecutar el c\'odigo {\em metpuntofijo.m}:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 1;}\\
\texttt{$>$ x0 = 0.5; errorper = 1e-6; maxitera = 1000;}\\
\texttt{$>$ [sol,itera] = metpuntofijo(gN,x0,errorper,maxitera)}\\

y obtenemos el resultado $sol=0.9100076$ e $itera=5$.\\

{\em (b)} Utilizamos otra funci\'on distinta
en el esquema del punto fijo definiendo $g_2(x)=\sqrt{e^x/3}$ y el resto de argumentos lo dejamos igual:\\

\texttt{$>$ g2 =@(x) sqrt(exp(x)/3);}\\
\texttt{$>$ [sol2,itera2] = metpuntofijo(g2,x0,errorper,maxitera)}\\

y obtenemos los resultados $sol2=0.9100070$ e $itera2=17$.



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.10} (Octave) Sea la funci\'on
\[
f(x) = e^{x}-3x^2.
\]
\begin{enumerate}
\item[(a)] Considerando el esquema num\'erico asociado al m\'etodo de Newton como un esquema de punto fijo, definir la funci\'on $g_N(x)$ asociada al m\'etodo y utilizar el algoritmo de punto fijo para calcular las soluciones de la ecuaci\'on $f(x)=0$, trabajando con una tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000 iteraciones.

\item[(b)] Utilizar el algoritmo de Aitken para calcular las mismas soluciones con los mismos valores de tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones. Utiliza las semillas utilizadas en el apartado anterior. Compara en t\'erminos de velocidad de convergencia los resultados obtenidos en el apartado anterior.

\item[(c)] Considerar la funci\'on
\[
g1(x)=\ln(3x^2),
\]
que define el esquema de punto fijo $x_{n+1}=g1(x_n)$. Utilizar los algoritmos de punto fijo y de Aitken para resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$, resuelta en los apartados anteriores. Compara los resultados.

\item[(d)] Considerar la funci\'on
\[
g2(x)=\sqrt{e^x/3}
\]
que define el esquema de punto fijo $x_{n+1}=g2(x_n)$. Utilizar los algoritmos de punto fijo y de Aitken para resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$, resuelta en los apartados anteriores. Compara los resultados.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}
{\bf{Soluci\'on.}}

(a) Mediante los comandos:\\

\texttt{$>$ f =@(x) e.\^{}x-3.*x.\^{}2;}\\
\texttt{$>$ eje =@(x) 0.*x;}\\
\texttt{$>$ I=[-2:0.1:4]; plot(I,f(I),I,eje(I))}\\

representamos la gr\'afica de la funci\'on en el intervalo $[-2,4]$ y observamos que la ecuaci\'on tiene 3 soluciones (ver Figura \ref{FigT1Prop1}).
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.4]{Figuras/FigT1Prop1.png}
  \caption{Gr\'afica de $f(x)=e^x-3x^2$ en donde se observan las tres ra\'ices.}
  \label{FigT1Prop1}%}
  %\end{center}
\end{figure}
Definimos la funci\'on $g_N(x)=x-f(x)/f^\prime(x)$ de Newton y ejecutamos el esquema de punto fijo con las semillas -2, 1 y 4:\\

\texttt{$>$ gN =@(x) x-(e.\^{}x-3.*x.\^{}2)./(e.\^{}x-6.*x);}\\
\texttt{$>$ [sol1,itera1] = metpuntofijo(gN,-2,1.e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol2,itera2] = metpuntofijo(gN,1,1.e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol3,itera3] = metpuntofijo(gN,4,1.e-6,100)}\\

y obtenemos las ra\'ices $sol1=-0.45896$, $sol2=0.91001$ y $sol3=3.7331$ en 6, 4 y 5 iteraciones respectivamente.\\

(b) Utilizando el algoritmo de Aitken, con las mismas semillas: \\

\texttt{$>$ [sol1a,itera1a] = metodoaitken(gN,-2,1e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol2a,itera2a] = metodoaitken(gN,1,1e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol3a,itera3a] = metodoaitken(gN,4,1e-6,100)}\\

obtenemos los mismos resultados en 4, 3 y 4 iteraciones respectivamente.\\

(c) Usando ahora $g1=\ln(3x^2)$, los comandos:\\

\texttt{$>$ g1 =@(x) log(3.*x.\^{}2);}\\
\texttt{$>$ [sol1c,itera1c] = metpuntofijo(g1,-2,1.1e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol2c,itera2c] = metpuntofijo(g1,1,1.1e-6,100)}\\
\texttt{$>$ [sol3c,itera3c] = metpuntofijo(g1,4,1.1e-6,100)}\\

junto con los respectivos comandos para el algoritmo de Aitken, dan como resultados:
\[
\begin{array}{c|cc|cc}
& \text{Punto Fijo} & & \text{Aitken} & \\
\hline
\text{Semilla} & \text{Ra\'iz} & niter & \text{Ra\'iz} & niter \\
\hline
-2 & 3.7331 & 24 & 3.7331 & 5 \\
1 &  3.7331 & 28 & 0.91001 & 5 \\
4 & 3.7331 & 20 & 3.7331 & 4
\end{array}
\]
Vemos como el m\'etodo del punto fijo converge para todas las semillas utilizadas \'unicamente a la ra\'iz $x_1=3.7331$, mientras que el algoritmo de Aitken consigue encontrar tambi\'en la ra\'iz $x_2$. \\

(d) Usando $g2$ obtenemos los resultados:
\[
\begin{array}{c|cc|cc}
& \text{Punto Fijo} & & Aitken & \\
\hline
\text{Semilla} & \text{Ra\'iz} & niter & \text{Ra\'iz} & niter \\
\hline
-2 & 0.91001 & 18 & 0.91001 & 4 \\
1 &  0.91001 & 15 & 0.91001 & 3 \\
4 & Inf & 7 & 3.7331 & 13
\end{array}
\]
En este caso el esquema del punto fijo diverge intentando encontrar la ra\'iz $x_3$, mientras que Aitken consigue una aproximaxi\'on en 13 iteraciones.



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.11}
Utilizar el m\'etodo de Newton-Raphson para encontrar la
soluci\'on del sistema:
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{ccc}
3x^2-y^2&=&0, \\
3xy^2-x^3-1&=&0,
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
partiendo del vector semilla $(1,1)^t$ y realizando 2 iteraciones
del m\'etodo.
\end{ejercicio}
{\bf{Soluci\'on.}}

Denotemos por $f_1(x,y)=3x^2-y^2$ y $f_2(x,y)=3xy^2-x^3-1.$
Siguiendo el esquema de Newton-Raphson para sistemas se tiene que:

$$\begin{pmatrix}x_1\\ y_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_0\\
y_0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}(x_0,y_0)&\frac{\partial f_1}{\partial y}(x_0,y_0)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x}(x_0,y_0)&\frac{\partial f_2}{\partial y}(x_0,y_0)\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}f_1(x_0,y_0)\\
f_2(x_0,y_0)\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&-2\\
0&6\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}2\\
1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.612\\
0.833\end{pmatrix}.$$

Ahora calculamos la segunda iteraci\'on:

$$\begin{pmatrix}x_2\\ y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\
y_1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\frac{\partial f_1}{\partial x}(x_1,y_1)&\frac{\partial f_1}{\partial y}(x_1,y_1)\\
\frac{\partial f_2}{\partial x}(x_1,y_1)&\frac{\partial f_2}{\partial y}(x_1,y_1)\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}f_1(x_1,y_1)\\
f_2(x_1,y_1)\end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}0.612\\ 0.833\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3.672&-1.667\\
0.962&3.055\end{pmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}0.425\\
0.044\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0.504\\
0.085\end{pmatrix}.$$



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Sol.12} (Octave) Utilizar el m\'etodo de Newton-Raphson para encontrar una
soluci\'on apro\-xi\-mada del sistema:
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
x(x-y)^2+1=0, \\[0.2cm]
-x-y+2x^2=0,%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
partiendo del vector inicial $(x_0,y_0)^t=(1,1.2)^t$ con un error
inferior a $10^{-5}$.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

La llamada al programa que tenemos que utilizar es:\\

\texttt{$>$ [vectorsol,itera] = metnewtonsistema(@fecusistema,...}

\texttt{$>$@jacobiana,x0,errorper,maxitera)}\\

por tanto, vamos a tener que definir los script fecusistema.m \\

\texttt{$>$ function F = fecusistema(x,y)}\\
\texttt{$>$ F(1,1) = x*(x-y)\^{}2+1;}\\
\texttt{$>$ F(2,1) = -x-y+2*x\^{}2;}\\
\texttt{$>$ end}\\

y el script jacobiana.m\\

\texttt{$>$ function J = jacobiana(x)}\\
\texttt{$>$ J(1,1) = (x-y)\^{}2+2*x*(x-y);}\\
\texttt{$>$ J(1,2) = -2*x*(x-y);}\\
\texttt{$>$ J(2,1) = -1+4*x;}\\
\texttt{$>$ J(2,2) = -1;}\\
\texttt{$>$ end}\\

y definir la condici\'on inicial, tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones como sigue:\\

\texttt{$>$ x0 = [1;1.2]; errorper= 1e-5; maxitera = 100;}\\

El resultado que obtenemos es \texttt{vectorsol(1)=x=-0.4}, \texttt{vectorsol(2)=y=0.95299},
en 9 iteraciones.











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Problemas propuestos}


\vspace{0.25cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.1}
Utilizar el m\'etodo de punto fijo para localizar la ra\'iz de
\[
f(x) = \sin(\sqrt{x})-x,
\]
tomando la semilla $x_0=0.5$ e iterando hasta alcanzar una tolerancia de $0.01$. Hacer los c\'alculos en radianes.
\end{ejercicio}



\vspace{0.25cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.2} Sea la funci\'on
\[
\displaystyle f(x) = x-2\sin(\pi x)-\frac{1}{4}.
\]
\begin{enumerate}
\item[(a)] Se sabe que la ecuaci\'on $f(x)=0$, tiene una de sus ra\'ices en el intervalo $[0,2]$. Calcula una aproximaci\'on de dicha ra\'iz realizando 5 iteraciones del m\'etodo de la secante, utilizando como semillas los puntos situados en los extremos del intervalo. Calcula el residuo que se obtiene.
\item[(b)] Define la funci\'on $\phi_N(x)$ asociada al m\'etodo de Newton y util\'izala para obtener mediante el m\'etodo de punto fijo una aproximaci\'on de la misma ra\'iz de $f(x)=0$, con una tolerancia de $10^{-5}$. \textquestiondown Se obtiene un residuo menor que en el apartado (a)?
\item[(c)] (Octave) Utilizando una tolerancia de $10^{-8}$ y un n\'umero m\'aximo de 100 iteraciones, calcula todas las soluciones de la ecuaci\'on $f(x)=0$, mediante el esquema de punto fijo del apartado (b) y mediante un esquema de punto fijo asociado a otra funci\'on $\phi(x)$ distinta de $\phi_N(x)$. \\
\textquestiondown Ambos m\'etodos producen las ra\'ices buscadas? En caso de que exista divergencia, explica a qu\'e es debida.
\item[(d)] (Octave) Calcula mediante el m\'etodo num\'erico que prefieras el valor m\'aximo de $f(x)$ en el intervalo $[0,2]$ as\'i como el punto donde se alcanza.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}





\vspace{0.25cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.3} Sea la funci\'on
\[
f(x) = (x-2)^2-\ln(x).
\]

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el m\'etodo de Newton-Raphson para calcular la ra\'iz de la ecuaci\'on $f(x)=0$, dentro del intervalo $[3,4]$ con una tolerancia de $10^{-3}$.

\item[(b)] Demuestra que la ra\'iz obtenida en el apartado anterior puede calcularse mediante un problema de punto fijo para la funci\'on
\[
\phi(x) = \sqrt{\ln(x)}+2.
\]
Utiliza el m\'etodo de punto fijo asociado a $\phi(x)$, para obtener una aproximaci\'on de la ra\'iz de $f(x)=0$, con una tolerancia de $10^{-3}$ (usa la misma semilla que en el apartado anterior). \textquestiondown Se necesitan m\'as o menos iteraciones que con el m\'etodo de Newton?
\item[(c)] (Octave) Resuelve los apartados (a) y (b) utilizando Octave. \textquestiondown Qu\'e m\'etodo es m\'as r\'apido? \textquestiondown Qu\'e m\'etodo produce una aproximaci\'on con menor residuo?
\item[(d)] (Octave) Calcula num\'ericamente la soluci\'on de la ecuaci\'on $f(x)=1.5$, en el intervalo $[3,4]$.
\end{enumerate}
Utiliza en los apartados (c) y (d) una tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 100 iteraciones.

\end{ejercicio}








\vspace{0.2cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.4}
(Octave) Sea dada la funci\'on
\[
f(x)=-2x^3 +5x+2.
\]

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de bisecci\'on para calcular todas las soluciones de la ecuaci\'on $f(x)=0$, trabajando con una tolerancia de $10^{-3}$ y un n\'umero m\'aximo de $100$ iteraciones.
\item[(b)] Aplicar el m\'etodo de Newton-Raphson para resolver la misma ecuaci\'on
con los mismos valores de tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}



\vspace{0.25cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.5} (Octave) Sea dada la funci\'on
\[
f(x)=x^4-1-e^{-x}x^2.
\]

\begin{enumerate}
\item[(a)] Considerando el esquema num\'erico asociado al M\'etodo de Newton como un esquema de punto fijo, definir la funci\'on $\phi_N (x)$
asociada al m\'etodo y utilizar el algoritmo de punto fijo para calcular las soluciones de la ecuaci\'on $f(x)=0$,
trabajando con una tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de $1000$ iteraciones.
Utilizar el algoritmo Aitken para calcular las mismas soluciones mediante los mismos par\'ametros de entrada (semillas,
tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones).
Comparar los resultados obtenidos en t\'erminos de velocidad de convergencia.
\item[(b)] Considerar la funci\'on
$$
\phi_1 (x)=(1+e^{-x}x^2)^{1/4},
$$
que define el esquema de punto fijo $x=\phi_1 (x)$. Utilizar los algoritmos de puntofijo y de Aitken para resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$.
Utilizar los mismos par\'ametros de entrada (semillas,
tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones) del apartado anterior. Comparar los resultados.

\item[(c)] Considerar la funci\'on
$$
\phi_2 (x)=x+f(x),
$$
que define el esquema de punto fijo $x=\phi_2 (x)$. Utilizar los algoritmos de puntofijo y de Aitken para resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$.
Utilizar los mismos par\'ametros de entrada (semillas,
tolerancia y n\'umero m\'aximo de iteraciones) del apartado anterior. Comparar los resultados.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.6} (Octave) Hallar una aproximaci\'on $x^*$ de la ra\'{\i}z m\'as pr\'oxima a
$x=1$, de la ecuaci\'on $x^2-1-\sin(x)=0$, con un error inferior a
$10^{-4}$, utilizando el m\'etodo del punto fijo.
\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.7}  (Octave)
Sea dada la funci\'on
$$f(x) =\sqrt{x}\sin(x)-x^3+2.$$
\begin{enumerate}
\item[(a)] Considerando el esquema num\'erico asociado al m\'etodo de
Newton como un esquema de punto fijo, definir la funci\'on $\phi_N(x)$
asociada al m\'etodo y utilizar el algoritmo de punto fijo para
calcular la soluci\'on de la ecuaci\'on $f(x) = 0$ trabajando con
una tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000
iteraciones.
\item[(b)] Define un esquema de punto fijo diferente al considerado en
el apartado anterior justificando la elecci\'on, para calcular la
soluci\'on de la ecuaci\'on $f(x) = 0$, trabajando con una
tolerancia de $10^{-6}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000
iteraciones.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.8} (Octave)
Resolver el sistema de ecuaciones no lineales:
\[
\left\{ \begin{array}{l} -x-y^3+x^2-2 = 0,\\[0.2cm]
1-2x+y-y^2 = 0. \end{array} \right. \] utilizando el m\'etodo de
Newton y trabajando con una tolerancia de $10^{-6}$. Utilizar como
semilla $(x_0,y_0)^t = (-0.8,-0.4)^t$.
\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.9} (Octave)
Resolver el sistema de ecuaciones no lineales:
\[
\left\{ \begin{array}{l} \ln(x^2 + y^2)-\sin(xy)- (\ln( 2) + \ln(\pi)) = 0,\\[0.2cm]
e^{x-y}+ \cos(xy) = 0. \end{array} \right. \] utilizando el
m\'etodo de Newton y trabajando con una tolerancia de $10^{-6}$.
Utilizar como semilla $(x_0,y_0)^t = (2,2)^t$.
\end{ejercicio}




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.10} Encuentra el punto de corte de la gr\'afica de $y=x^2-2$ y la gr\'afica de $y=e^x$ para $x<0$, usando el m\'etodo de la bisecci\'on con una tolerancia de $10^{-2}$.
\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T1.Prop.11} (Octave) Dada la funci\'on
\[ f(x) = x^7-x-\cos(x)+1, \]
calcular con una tolerancia de $10^{-5}$ y el m\'etodo num\'erico que prefieras:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Todos sus m\'aximos y m\'inimos locales.
\item[(b)] Todos sus puntos de inflexi\'on.
\item[(c)] Utiliza el algoritmo {\em metnewtonsistema.m} para calcular los puntos de intersecci\'on de la gr\'afica de $f(x)$ con la circunferencia $x^2+y^2=1$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aplicaciones}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% libro pg 99
\begin{ejercicio}[Ca\'{\i}da de presi\'on]\label{Ej.T1.Aplic.1}
La ca\'{\i}da de
presi\'{o}n en la circulaci\'{o}n de un flujo turbulento en una
tuber\'{\i}a recta de secci\'{o}n circular constante puede
estimarse mediante la expresi\'{o}n:
\[
\Delta p=\displaystyle \frac{\rho f  L u^{2}}{2 D},
\]

donde $\rho $ es la densidad del fluido, $L$ es la longitud de la
tuber\'{\i}a, $D$ es el di\'{a}metro de la secci\'{o}n, $u$ es la
velocidad del fluido y $f$ es el coeficiente de fricci\'{o}n de la
tuber\'{i}a. Este
coeficiente es, a su vez, proporcional al n\'{u}mero de Reynolds $(Re=%
\frac{D u \rho }{\mu }\;$donde $\mu \;$es la viscosidad del fluido$%
)$ seg\'{u}n la relaci\'{o}n $f=Re^{-0.25}$. Asimismo, en
los problemas de tuber\'{\i}as es usual trabajar, no ya en
t\'{e}rminos de
velocidad del fluido, si no de caudal del fluido, siendo el caudal

$$
Q=\displaystyle \left( \frac{\pi  D^{2}}{4}\right) u.
$$
Con ello, la ca\'{\i}da de presi\'{o}n en
la tuber\'{\i}a puede expresarse mediante una ley del tipo:
\[
\Delta p(x)=\displaystyle K(x)Q(x)^{1.75},
\]

donde $\Delta p(x)$ es la p\'{e}rdida de presi\'{o}n en el punto que dista $%
x $ unidades de longitud de aqu\'{e}l respecto al que se mide la
ca\'{\i}da de presi\'{o}n, $Q(x)$ es el caudal en dicho punto y
$$
\displaystyle K(x)=\left[ \frac{\rho
\left( \displaystyle \frac{\mu }{\rho D}\right)^{0.25} \left(
\displaystyle \frac{4}{\pi
D}\right) ^{1.75}}{2 D} \right] x .
$$

Consid\'{e}rese una tuber\'{\i}a de secci\'{o}n circular que va
del punto P1 al punto P2 y en \'{e}l se divide en dos ramas, una
que va al punto P3 y otra que va al punto P4. Designando por $Q$
al caudal que va de P1 a P2, por $Q_{1}$ al que va de P2 a P3, por
$Q_{2}$ al que va de P2 a P4 y por $p_{1},$ $p_{2},$ $p_{3}$ y
$p_{4}$ a las presiones en los puntos P1, P2, P3 y P4
respectivamente, las expresiones anteriores, junto a un balance de
masa, nos conducen al sistema de ecuaciones no lineales:
\[
p_{1}-p_{2}=K_{1} Q^{1.75},
\]
\[
p_{2}-p_{3}=K_{2} Q_{1}^{1.75},
\]
\[
p_{2}-p_{4}=K_{3} Q_{2}^{1.75},
\]
\[
Q=Q_{1}+Q_{2}.
\]

Si para un fluido y una tuber\'{\i}a concretos se han estimado los
valores siguientes:

$$
K_{1}=0.1170 %2.35\cdot e^{-3}
,\qquad K_{2}=0.2325 %4.67\cdot e^{-3}
,\qquad K_{3}=0.5034, %3.72\cdot e^{-2},
$$
y
$$
p_{1}=75\;psi,\qquad p_{3}=20\;psi ,\qquad p_{4}=15\;psi,
$$
se desea estimar la presi\'{o}n $p_{2}$ existente en el punto $P2$
as\'{\i} como los caudales $Q,$ $Q_{1}$ y $Q_{2}$, que circulan por
cada una de las ramas de la red de tuber\'{\i}as antes descrita.

\end{ejercicio}








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Problemas de Valor Inicial}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





\section{Problemas resueltos}


\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.1}
Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime = 2t\cos^2(y), \\[0.2cm]
y(0)=0.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,0.5]$, obtener un
valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$ en el tiempo $t=0.5$,
considerando una longitud de paso constante $h=0.5$, mediante:
\begin{enumerate}
\item[(a)] El esquema num\'erico de Euler impl\'{\i}cito utilizando dos
iteraciones del m\'etodo de Newton-Raphson para resolver la
ecuaci\'on no lineal que pueda surgir.
\item[(b)] El m\'etodo de Heun.
\item[(c)] Hallar el error cometido en los apartados anteriores.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

{\em (a)} Puesto  que el tama\~no de discretizaci\'on es $h=0.5$, s\'olo
tenemos que hacer un paso. En $t_0=0$, tenemos
$y_0=0$. Para $t_1=0.5$, seguimos el esquema de Euler impl\'icito y se tiene:
$$y_1=y_0+hf(t_1,y_1)=0+0.5\cos^2(y_1),$$
por tanto, la soluci\'on $y_1$ es ra\'{\i}z de la ecuaci\'on no
lineal
$$f(x)=x-\frac{1}{2}\cos^2(x)=0,$$ que debemos resolver haciendo dos
iteraciones con el m\'etodo de Newton-Raphson. Para ello primero debemos
elegir una semilla con la que iniciar el esquema. Observamos que
en el intervalo $I_0=(0.4,0.5)$ se encuentra la ra\'{\i}z, puesto que
$f(0.4)f(0.5)<0$. Realizando 3 iteraciones con el m\'etodo de
bipartici\'on tenemos $x^*=0.4125$, consiguiendo un error inferior
a 0.02. As\'{\i} pues, tomaremos como semilla para el esquema de
Newton-Raphson, $x_0=0.4125$. De este modo:
$$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^\prime(x_0)}=0.41772151,$$
$$x_2=x_1-\frac{f(x_1)}{f^\prime(x_1)}=0.41771479.$$
Por tanto, tomamos $y_1=0.4177.$

{\em (b)} Ahora lo resolvemos con Heun dado por el siguiente esquema
predicci\'on correcci\'on, teniendo en cuenta que $t_0=0$,
$t_1=0.5$ y $y_0=0$, tenemos que
$$y_1=y_0+\frac{h}{2}f(t_0,y_0)+\frac{h}{2}f(t_1,y_0+hf(t_0,y_0))=0.25.$$

{\em (c)} Calculamos la soluci\'on exacta integrando la EDO (de variables separadas), para obtener que:
$$y(t)=\arctan(t^2).$$ Por tanto, $y(0.5)=\arctan(0.25)=0.2449.$
Por \'ultimo, calculamos el error cometido con cada uno de los
m\'etodos:\\

\begin{tabular}{l}
-error con Euler impl\'{\i}cito: $e_{EI} =|0.2449-0.4177|=0.1728$,\\
-error con Heun: $e_{H}=|0.25-0.2449|=0.0051$.
\end{tabular}\\

El m\'etodo de Heun ha sido m\'as preciso, en cualquier caso hay
que tener en cuenta que $h=0.5$ es un paso grande.





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.2} Sea el Problema de Valor Inicial (PVI)
\[
\mbox{(PVI)}:\;\left\{
\begin{array}{l}
y^{\prime} =1-te^{-y}, \quad t\in(0,3], \\[0.3cm]
y(0) = 1,
\end{array}
\right.
\]
que tiene por soluci\'on exacta la funci\'on $y(t)=\displaystyle \ln\big((e-1)e^t+t+1\big)$.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Tomando un paso de discretizaci\'on de $h=0.5$, utiliza el m\'etodo Crank-Nicolson para dar una aproximaci\'on de la soluci\'on en el instante $t=0.5$, utilizando para resolver las ecuaciones no lineales que aparecen en el proceso dos iteraciones del m\'etodo de Newton.
\item[(b)] (Octave) Tomando ahora un paso de discretizaci\'on de $h=0.01$, resuelve el PVI con el m\'etodo de Euler Impl\'icito y el m\'etodo de Heun (m\'etodo Runge-Kutta de orden 2). Dibuja las dos aproximaciones obtenidas junto con la soluci\'on exacta y calcula la aproximaci\'on que producen ambos m\'etodos en el instante $t=2.23$. \textquestiondown Qu\'e m\'etodo es m\'as preciso en ese instante?
\item[(c)] (Octave) Con el m\'etodo m\'as preciso en el apartado anterior, calcula en intervalo temporal para el cual las aproximaciones son menores a $2.2$.
\item[(d)] (Octave) Utiliza el m\'etodo de la bisecci\'on (con una tolerancia de $10^{-5}$) para calcular el mismo intervalo temporal que en (c) pero esta vez usando la soluci\'on exacta $y(t)$. \textquestiondown Qu\'e error ha cometido el m\'etodo num\'erico usado en el apartado (c)?
\end{enumerate}


\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} {\em (a)} Por la condici\'on inicial en $t_0=0$ tenemos que $y_0=1$. Para la aproximaci\'on pedida $y1\sim y(0.5)$ en $t_1=0.5$ seguimos el esquema de Crank-Nicolson:
\[
\displaystyle y_1 = y_0+\frac{h}{2}\left[ f(t_0,y_0)+f(t_1,y_1) \right],
\]
que hace que $y_1$ sea la soluci\'on de la ecuaci\'on no lineal
\[
x+0.125e^{-x}-1.5=0.
\]
Tomando como semilla $x_0=y_0=1$ y realizando dos iteraciones del m\'etodo de Newton obtenemos que la aproximaci\'on pedida es $y_1=x_2=1.4713$. El error cometido es
\[
e = |y(0.5)-y_1| = 0.0050442.
\]

{\em (b)} Los comandos necesarios son los siguientes:\\

\texttt{$>$ f =@(t,y) 1-t.*e.\^{}(-y);}\\
\texttt{$>$ intiempo = [0,3]; valorini = 1;}\\
\texttt{$>$ h = 0.01; npasos= 3/h;}\\
\texttt{$>$ [t,yei] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ [t,yhe] = heun(f,intiempo,valorini,npasos);}\\

Dibujamos las aproximaciones obtenidas junto con la soluci\'on exacta (ver Figura \ref{FigEj2.2}) mediante los siguientes comandos:\\

\texttt{$>$ sol =@(t) log((e-1)*e.\^{}t+t+1);}\\
\texttt{$>$ plot(t,yei,t,yhe,t,sol(t))}\\
\texttt{$>$ legend('EI','RK2','exacta')}\\

y para las aproximaciones pedidas escribimos:\\

\texttt{$>$ punto = 2.23;}\\
\texttt{$>$ aproxei = yei(find(t==punto))}\\
\texttt{$>$ aproxhe = yhe(find(t==punto))}\\
\texttt{$>$ errorei = abs(sol(punto)-aproxei)}\\
\texttt{$>$ errorhe = abs(sol(punto)-aproxhe)}\\

Se obtiene que la aproximaci\'on de Euler Impl\'icito en $x=2.23$ es de $2.9546$ con un error de $7.7398\cdot10^{-4}$, mientras que Heun obtiene una aproximaci\'on de $2.9554$ con un error $4.6208\cdot10^{-6}$. El m\'etodo de Heun es por tanto m\'as preciso en este punto.

\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.3]{Figuras/Parcial_1516_ITI_B.png}
    \caption{Puede observarse como las aproximaciones de Euler Impl\'icito como de Heun se ajustan a la gr\'afica de la soluci\'on exacta.}
    \label{FigEj2.2}
\end{figure}

{\em (c)} Para calcular el intervalo pedido mediante el m\'etodo de Heun, escribimos: \\

\texttt{$>$ vector=t(find(yhe<2.2));}\\
\texttt{$>$ intervalo = [vector(1),vector(end)]}\\

dando como resultado el intervalo $=[0,1.35]$.\\

{\em (d)} Obtenemos el intervalo exacto (con una tolerancia de $10^{-5}$) mediante el m\'etodo de la bisecci\'on de la siguiente forma:\\

\texttt{$>$ d =@(t) log((e-1)*e.\^{}t+t+1)-2.2;}\\
\texttt{$>$ a = 1; b = 1.5;}\\
\texttt{$>$ [sol,itera] = metbiseccion(d,a,b,10\^{}(-5),1000);}\\
\texttt{$>$ Intervaloex = [0,sol]}\\
\texttt{$>$ ErrorIntervalo = abs(vector(end)-sol)}\\

Se obtiene el intervalo $[0,1.35613]$, por lo que en el apartado anterior se ha cometido un error de $0.0061325$.












\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.3}
 Se considera el problema de valor inicial:
\[
(PVI)\,\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime = yt, \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,0.5]$, utilizar el esquema num\'erico
de Euler impl\'{\i}cito para obtener un valor aproximado de la
soluci\'on $y(t)$ en el tiempo $t=0.5$, considerando una longitud
de paso constante $h=0.25$. Hallar el error cometido.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} Primero calcularemos la soluci\'on
anal\'{\i}tica para poder calcular posteriormente el error
cometido. Se trata de una EDO de variables separadas y por tanto,
se resuelve como sigue,
$$\frac{dy}{y}=tdt\quad \Longrightarrow \quad \ln(y)=0.5t^2+C \quad \Longrightarrow
\quad y(t)=Ke^{0.5t^2},$$ donde la constante $K$ se tiene que
elegir de modo que $y(0)=1$. Vemos que $K=1$ y la
soluci\'on exacta es $y(t)=e^{0.5t^2}$. Por \'ultimo, tenemos que
$y(0.5)=1.133148.$

Pasemos ahora a calcular el valor aproximado con el m\'etodo de
Euler impl\'{\i}cito, que viene dado por el siguiente esquema:
$$y_{n+1}=y_n + hf(t_{n+1},y_{n+1}).$$

Tenemos que realizar dos iteraciones para alcanzar $t=0.5$, ya que
$h=0.25$, por tanto, $$y_1=y_0+hf(t_1,y_1)=y_0+ht_1y_1\,
\rightarrow \, y_1=\frac{y_0}{ (1-ht_1)}=\frac{1}{1-0.25\cdot
0.25}=1.06666,$$
$$y_2=y_1+hf(t_2,y_2)=y_1+ht_2y_2\,
\rightarrow \, y_2=\frac{y_1}{
(1-ht_2)}=\frac{1.06666}{1-0.25\cdot 0.5}=1.219047.$$

El valor aproximado de $y(0.5)$ obtenido por el m\'etodo de Euler
impl\'{\i}cito es $y_2=1.219047$.

Por \'ultimo, calculamos el error cometido,
$$e=|y_2-y(0.5)|=|1.219047-1.133148|=0.112433.$$



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.4}
Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime = 2y^{1/2}, \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,0.5]$, utilizar el esquema num\'erico
dado por el m\'etodo de Heun, para obtener un valor aproximado de
la soluci\'on $y(t)$ en el tiempo $t=0.5$, considerando una
longitud de paso constante $h=0.25$. Hallar el error cometido.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Primero calcularemos la soluci\'on anal\'{\i}tica para poder
calcular posteriormente el error cometido. Se trata de una EDO de
variables separadas y por tanto, se resuelve como sigue,
$$\frac{dy}{2\sqrt{y}}=dt\quad \Longrightarrow \quad \sqrt{y}=t+C \quad \Longrightarrow
\quad y(t)=(t+C)^2,$$ donde la constante $C$ se tiene que elegir de
modo que $y(0)=1$. Entonces resulta que $C=1$ y la soluci\'on
exacta es $y(t)=(t+1)^2$. Por \'ultimo, tenemos que
$y(0.5)=(0.5+1)^2=2.25.$

Pasemos ahora a calcular el valor aproximado con el m\'etodo de
Heun, que viene dado por la siguiente tabla (tipo Runge-Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}

Puesto que $h=0.25$, tendremos que hacer dos iteraciones o pasos.

1) Paso 1. $t=0.25$. Tenemos que $t_0=0$ e $y_0=y(0)=1$. Aplicamos
el esquema y se obtiene que:
\begin{align*}
t_{0,1}&=t_0+0\cdot h=t_0=0,\\
t_{0,2}&=t_0+1\cdot h=0.25,
\end{align*}
\vspace{-0.75cm}
\begin{align*}
y_{0,1}&=y_0+b_{11}hf(t_{0,1},y_{0,1})+b_{12}hf(t_{0,2},y_{0,2})=y_0=1,\\
y_{0,2}&=y_0+b_{21}hf(t_{0,1},y_{0,1})+b_{22}hf(t_{0,2},y_{0,2})=y_0+hf(0,1)=1.5,
\end{align*}
y finalmente, considerando los pesos de integraci\'on $a_1=0.5$ y
$a_2=0.5$,
\begin{align*}
y_1&=y_0+a_1hf(t_{0,1},y_{0,1})+a_{2}hf(t_{0,2},y_{0,2})\\
&=1+0.5\cdot 0.25f(0,1)+0.5\cdot 0.25f(0.25,1.5)=1.556186.
\end{align*}

2) Paso 2. $t=0.5$. Partimos de $t_1=0.25$ e $y_1=1.556186$.
Aplicamos el esquema y se obtiene que:
\begin{align*}
t_{1,1}&=t_1+0\cdot h=t_1=0.25,\\
t_{1,2}&=t_1+1\cdot h=0.5,
\end{align*}
\vspace{-0.75cm}
\begin{align*}
y_{1,1}&=y_1+b_{11}hf(t_{1,1},y_{1,1})+b_{12}hf(t_{1,2},y_{1,2})=y_1=1.556186,\\
y_{1,2}&=y_1+b_{21}hf(t_{1,1},y_{1,1})+b_{22}hf(t_{1,2},y_{1,2})=\\
y_{1,2}&=y_1+hf(0.25,1.556186)=2.179922,
\end{align*}
y finalmente, considerando los pesos de integraci\'on $a_1=0.5$ y
$a_2=0.5$,
$$y_2=y_1+a_1hf(t_{1,1},y_{1,1})+a_{2}hf(t_{1,2},y_{1,2})=2.237168.$$

El valor aproximado de $y(0.5)$ obtenido por el m\'etodo de Heun
es $y_2=2.237168$.

Por \'ultimo, calculamos el error cometido,
$$e=|y_2-y(0.5)|=|2.237168-2.25|=0.012832.$$



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.5}
Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime = 2t e^{-y}, \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema
num\'erico dado por la siguiente tabla Runge-Kutta,
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}

\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido.

\end{ejercicio}


{\bf{Soluci\'on.}}

Primero calcularemos la soluci\'on anal\'{\i}tica para poder
calcular poste\-rior\-mente el error cometido. Se trata de una EDO
de variables separadas y por tanto, se resuelve como sigue,
$$e^y dy=2t dt\quad \Longrightarrow \quad e^y=t^2+C \quad \Longrightarrow
\quad y(t)=\ln (t^2+K),$$ donde la constante $C$ se tiene que elegir
de modo que $y(0)=1$. Entonces resulta que $C=e$ y la soluci\'on
exacta es $y(t)=\ln(t^2+e)$. Por \'ultimo, tenemos que
$y(1)=\ln(1+e)=1.313261.$

Pasemos ahora a calcular el valor aproximado con el m\'etodo
num\'erico dado por la tabla. Puesto que $h=0.5$, tendremos que hacer dos iteraciones o pasos:\\

{\em Paso 1} ($t=0.5$). Tenemos que $t_0=0$ e $y_0=y(0)=1$. Aplicamos
el esquema y se obtiene que:
\begin{align*}
t_{0,1}&=t_0+0\cdot h=t_0=0\quad (\rightarrow c_1=0),\\
t_{0,2}&=t_0+1\cdot h=0.5\quad (\rightarrow c_2=1),
\end{align*}
\vspace{-0.75cm}
\begin{align*}
y_{0,1}&=y_0+b_{11}hf(t_{0,1},y_{0,1})+b_{12}hf(t_{0,2},y_{0,2})=y_0=1,\\
y_{0,2}&=y_0+b_{21}hf(t_{0,1},y_{0,1})+b_{22}hf(t_{0,2},y_{0,2})=y_0+hf(0,1)=1,
\end{align*}
y finalmente, considerando los pesos de integraci\'on $a_1=0.5$ y
$a_2=0.5$,
$$y_1=y_0+a_1hf(t_{0,1},y_{0,1})+a_{2}hf(t_{0,2},y_{0,2})=1.091969.$$

{\em Paso 2} ($t=1$). Partimos de $t_1=0.5$ e $y_1=1.091969$.
Aplicamos el esquema y se obtiene que:
\begin{align*}
t_{1,1}&=t_1+0\cdot h=t_1=0.5\quad (\rightarrow c_1=0),\\
t_{1,2}&=t_1+1\cdot h=1\quad (\rightarrow c_2=1),
\end{align*}
\begin{align*}
y_{1,1}&=y_1+b_{11}hf(t_{1,1},y_{1,1})+b_{12}hf(t_{1,2},y_{1,2})=y_1=1.091969,\\
y_{1,2}&=y_1+b_{21}hf(t_{1,1},y_{1,1})+b_{22}hf(t_{1,2},y_{1,2})=y_1+hf(0.5,1.091969)=1.259737,
\end{align*}
y finalmente, considerando los pesos de integraci\'on $a_1=0.5$ y
$a_2=0.5$,
$$y_2=y_1+a_1hf(t_{1,1},y_{1,1})+a_{2}hf(t_{1,2},y_{1,2})=1.317722.$$

El valor aproximado de $y(0.5)$ obtenido por el m\'etodo de Heun
es $y_2=1.317722$.

Por \'ultimo, calculamos el error cometido,
$$e=|y_2-y(0.5)|=|1.317722-1.313261|=4.46093\cdot 10^{-3}.$$





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.6}
Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime =2\sqrt{y}(2+2t), \\[0.2cm]
y(0)=1.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,0.5]$, utilizar el esquema num\'erico
dado por la siguiente tabla (tipo Runge -Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rrr}
$0$ & $0$ & $0$ & $0$ \\
$\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $-1$ & $2$ & $0$ \\ \hline
& $\frac{1}{6}$ & $\frac{4}{6}$ & $\frac{1}{6}$%
\end{tabular}
$
\end{center} para obtener un valor aproximado de la soluci\'on
$y(t)$ en el tiempo $t=0.5$, considerando una longitud de paso
constante $h=0.5$. Hallar el error cometido.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Puesto que $h=0.5$, s\'olo necesitaremos hacer
un paso para llegar a $t=0.5$, por tanto, siguiendo el esquema, se
tiene que el valor aproximado de la soluci\'on en $t=0.5$,
denotado por $y_1$, se calcula como sigue:
\begin{align*}
t_{0,1}&=t_0=0,\\
t_{0,2}&=t_0+h=0.25,\\
t_{0,3}&=t_0+h=0.5,
\end{align*}
\vspace{-0.75cm}
\begin{align*}
y_{0,1}&=y_0=1,\\
y_{0,2}&=y_0+\frac{1}{2}hf(t_{0,1},y_{0,1})=2,\\
y_{0,3}&=y_0+(-h)f(t_{0,1},y_{0,1})+2hf(t_{0,2},y_{0,2})=6.07106,
\end{align*}
y finalmente
$$y_1=y_0
+\frac{h}{6}(f(t_{0,1},y_{0,1})+4f(t_{0,2},y_{0,2})+f(t_{0,3},y_{0,3}))=5.3937.$$

Para hallar el error necesitamos calcular la soluci\'on exacta
resolviendo la EDO (de variables separadas). Obtenemos que la
soluci\'on exacta es:
$$y(t)=(t+1)^4,$$
y por tanto, el valor en $t=0.5$ es $y(0.5)=(1.5)^4=4.9223,$ as\'{\i}
que el error cometido por el m\'etodo num\'erico es
$e=|4.9223-5.0625|=0.1402$









\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.7} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime =(2-t)y^3 , \\[0.2cm]
y(0)=\frac{1}{2}.
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el m\'etodo de Heun ({\em heun.m}) para resolver el PVI anterior en
el intervalo temporal $[0,1]$, tomando como paso de
discretizaci\'on $h=0.01$. Escribir los valores obtenidos para los tiempos $t=0.1$, $t=0.5$ y $t=1$.

\item[(b)] Dicho problema tiene la siguiente soluci\'on exacta $\displaystyle y(t)=\frac{1}{\sqrt{t^2-4t+4}}.$
Hallar el error cometido por el m\'etodo en $t=1$.

\item[(c)] Dibujar las gr\'aficas de la soluci\'on num\'erica y de
la soluci\'on exacta en un mismo plot.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Para resolver el PVI utilizando heun.m tenemos que escribir\\

\texttt{$>$ f =@(t,y) (2-t).*y.\^{}3;}\\
\texttt{$>$ valorini = 0.5; intiempo = [0 1];}\\
\texttt{$>$ npasos = 100;}\\
\texttt{$>$ [soluciont,soluciony] = heun(f,intiempo,valorini,npasos);}\\

Los valores en $t=0.1$, $t=0.5$ y $t=1$ se corresponden,
respectivamente, con $soluciony(11)=0.52632$, $soluciony(51)=0.66666$ y
$soluciony(101)=0.99993$.

Para calcular el error cometido en $t=1$, introducimos la soluci\'on exacta y el comando:

\texttt{$>$ exacta =@(t) (sqrt(t.\^{}2-4*t+4)).\^{}(-1);}\\
\texttt{$>$ e = abs(exacta(1)-y(101))}\\

dando como resultado $6.8550\cdot10^{-5}$. Para representar gr\'aficamente las dos soluciones (ver Figura \ref{FigEj2.1}) escribimos\\

\texttt{$>$ plot(soluciont,soluciony,'r',soluciont,exacta(t),'k')}

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/pvi_1.eps}
  \caption{En negro aparece representada la soluci\'on exacta y en rojo la soluci\'on num\'erica obtenida con Heun. Como puede observarse,
  los resultados aparecen solapados.}
  \label{FigEj2.1}%}
  %\end{center}
\end{figure}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.8} (Octave) Se considera el problema de valor inicial:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime=y-\sin(t)+\cos(t),\\
y(0)=1.
\end{array}\right.\]
En el intervalo temporal $[0,2]$, utilizar los esquemas
num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito, Euler impl\'{\i}cito y
Crank-Nicolson, para resolver el problema de valor inicial tomando
un paso de discretizaci\'on $h=0.1$. Sabiendo que la soluci\'on
exacta es $y(t)=e^t+sin(t)$, dibujar las soluciones obtenidas con
los tres m\'etodos y la soluci\'on exacta en un mismo plot.
Comparar los resultados obtenidos. Escribir los valores de las
distintas soluciones en $t=0.5$ y $t=1.5$.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Para resolver el problema de valor inicial primero tenemos que
definir:\\

\texttt{$>$ f = @(t,y) y-sin(t)+cos(t)}\\
\texttt{$>$ intiempo = [0 2]; valorini= 1; npasos = 20;}\\

para posteriormente ejecutar los c\'odigos eulerexplicito.m (Euler
expl\'{\i}cito), eulerimplicito.m (Euler impl\'{\i}cito) y cranknicolson.m
(Crank-Nicolson) y as\'{\i} obtener las soluciones:\\

\texttt{$>$ [t,u1] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ [t,u2] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ [t,u3] = cranknicolson(f,intiempo,valorini,npasos);}\\

A continuaci\'on definimos la soluci\'on exacta para comparar los
resultados num\'ericos obtenidos con cada uno de los tres
m\'etodos y la soluci\'on exacta dibuj\'andolos en un mismo plot:

\texttt{$>$ solexac = exp(t)+sin(t);}\\
\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(t,u1,'ro',t,u2,'b+',t,u3,'g*',t,solexac,'k\^{}')}\\

Los resultados aparecen representados en la Figura \ref{figsem4}.
Como puede observarse, el m\'etodo de Crank-Nicolson es el que
mejor aproxima la soluci\'on exacta, seguido del m\'etodo de Euler
impl\'{\i}cito.

\begin{figure}
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/sol_sem_4.eps}
  \caption{Con c\'{\i}rculos rojos aparecen representados los resultados obtenidos con Euler expl\'{\i}cito, con cruces azules
  los obtenidos con Euler impl\'{\i}cito, con
asteriscos verdes los correspondientes a Crank-Nicolson y la
exacta con tri\'angulos negros.}
  \label{figsem4}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Finalmente escribimos los valores obtenidos con cada uno de los
m\'etodos para $t=0.5$ y $t=1.5$:\\

\texttt{$>$ t1 = min(find(t>=0.5));}\\
\texttt{$>$ t2 = min(find(t>=1.5));}\\
\texttt{$>$ u1(t1), u2(t1), u3(t1)}\\
\texttt{$>$ u1(t2), u2(t2), u3(t2)}\\

dando como resultado, para $t=0.5$, $2.09636$, $2.16459$ y $2.1283$ respectivamente, y para $t=1$, $5.25160$, $5.75853$ y $5.4825$, respectivamente.



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.9} (Octave) Se considera el problema de valor inicial:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime=-kt^{\beta}y,
\\ y(0)=1,
\end{array}\right.\] donde $k=4$ y $\beta=0.25$. Resolver el PVI en el intervalo $[0,4]$ utilizando los
m\'etodos de Euler expl\'{\i}cito y Euler impl\'{\i}cito. Analizar
la estabilidad de los dos m\'etodos utilizando para ello distintos
pasos de discretizaci\'on, por ejemplo $h_1=0.5$, $h_2=0.4$,
$h_3=0.2$ y $h_4=0.1$.
\end{ejercicio}
{\bf{Soluci\'on.}}

Primero definimos:\\

\texttt{$>$ f = @(t,y) -4.*y.*t.\^{}(0.25);}\\
\texttt{$>$ valorini = 1; intiempo = [0 4];}\\

y los intervalos a considerar dependiendo de las longitudes de los
pasos de discretizaci\'on:\\

\texttt{$>$ npasos1 = 8; npasos2 = 10; npasos3 = 20; npasos4 = 40;}\\

A continuaci\'on ejecutamos los c\'odigos correspondientes a los
m\'etodos de Euler expl\'{\i}cito ({\em eulerexplicito.m}) y Euler impl\'{\i}cito
({\em eulerimplicito.m}) para los distintos pasos:\\

\texttt{$>$ [t1,u1] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos1);}\\
\texttt{$>$ [t2,u2] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos2);}\\
\texttt{$>$ [t3,u3] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos3);}\\
\texttt{$>$ [t4,u4] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos4);}\\
\texttt{$>$ [t1,ub1] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos1);}\\
\texttt{$>$ [t2,ub2] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos2);}\\
\texttt{$>$ [t3,ub3] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos3);}\\
\texttt{$>$ [t4,ub4] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos4);}\\

Los resultados obtenidos para el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito,
aparecen representados en la Figura \ref{segundosem_1} (a):

\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(t1,u1,'ro',t2,u2,'b+',t3,u3,'g*',t4,u4,'k\^{}')}\\

Los resultados obtenidos para el m\'etodo de Euler impl\'{\i}cito,
aparecen representados en la Figura \ref{segundosem_1} (b).

\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(t1,ub1,'ro',t2,ub2,'b+',t3,ub3,'g*',t4,ub4,'k\^{}')}\\

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.4]{Figuras/sol_segundosem_1.eps}
\centering\includegraphics[scale=.4]{Figuras/sol_segundosem_2.eps}
  \caption{Resultados obtenidos con el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito (a) y Euler impl\'icito (b): con c\'{\i}rculos rojos para $npasos=8$, con cruces azules para $npasos=10$, con asteriscos verdes para $npasos=20$ y
con tri\'angulos negros para $npasos=40$.}
  \label{segundosem_1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Como puede observarse, el m\'etodo de Euler impl\'{\i}cito no
presenta problemas de inestabilidad, si bien, los resultados se
vuelven m\'as precisos a medida que disminuye el paso de
discretizaci\'on. Sin embargo, el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito
se vuelve inestable para los tama\~nos de discretizaci\'on $h=0.4$
y $h=0.5$.



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Sol.10} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime=\displaystyle\frac{2y}{t+1},\\[0.3cm]
y(0)=1.
\end{array}\right.\]
En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar los esquemas
num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito y Euler impl\'{\i}cito, para
obtener el valor aproximado de la soluci\'on en $t=1$ tomando un
paso de discretizaci\'on $h=0.1$. Sabiendo que la soluci\'on
exacta es $y(t)=(t+1)^2$, dibujar las soluciones obtenidas con los
dos m\'etodos y la soluci\'on exacta en un mismo plot. Comparar
los resultados obtenidos. Escribir los valores de las distintas
soluciones en $t=0.5$ y $t=0.8$. Encontrar los intervalos
temporales para los cuales, las distintas soluciones num\'ericas
alcanzan valores superiores a tres.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Primero definimos:\\

\texttt{$>$ f = @(t,y) 2.*y.*(t+1).\^{}(-1);}\\
\texttt{$>$ valorini =1; intiempo = [0 1]; npasos = 10;}\\

y posteriormente ejecutamos los c\'odigos eulerexplicito.m y eulerimplicito.m, para as\'{\i}
obtener las soluciones:\\

\texttt{$>$ [t1,u1] =eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ [t1,v1] = eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\

Definimos la soluci\'on exacta y dibujamos los resultados obtenidos:\\

\texttt{$>$ solexac = inline('(t+1).\^{}2','t');}\\
\texttt{$>$ plot(t1,u1,'ro',t1,v1,'b+',t1,solexac(t1),'k\^{}')}\\

que aparecen representados en la Figura \ref{segundosem2}. Puede
observarse que con Euler expl\'{\i}cito la soluci\'on es
aproximada por defecto y que con Euler impl\'{\i}cito por exceso.

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/sol_segundosem2bis.eps}
  \caption{Con c\'{\i}rculos rojos aparecen representados los resultados obtenidos con Euler expl\'{\i}cito, con cruces azules
  los obtenidos con Euler impl\'{\i}cito, con
asteriscos verdes los correspondientes a Crank-Nicolson y la
exacta con tri\'angulos negros.}
  \label{segundosem2}%}
  %\end{center}
\end{figure}

A continuaci\'on, escribimos los resultados obtenidos con los tres
c\'odigos (m\'etodos) para los tiempos $t=0.5$ y $t=0.8$. Calculamos las posiciones donde se encuentran, dentro del mallado \texttt{t}\\

\texttt{$>$ pos1 = min(find(t==0.5));}\\
\texttt{$>$ pos2 = min(find(t==0.8));}\\

Con esto, calculamos las aproximaciones:\\

\texttt{$>$ u1(pos1), v1(pos1)}\\
\texttt{$>$ u1(pos2), v1(pos2)}\

que son: 2.1818 y 2.3333 respectivamente, para $t=0.5$, y 3.1091 y 3.4000 respectivamente, para $t=1$. Para finalizar, calculamos los tiempos para los cuales las soluciones num\'ericas toman valores mayores a 3 con los comandos:\\

\texttt{$>$ x1 = find(u1>3); IntEE = [t(min(x1)), t(max(x1))]}\\
\texttt{$>$ x2 = find(v1>3); IntEI = [t(min(x2)), t(max(x2))]}\\

y obtenemos el intervalo $[0.8,1]$ con Euler expl\'{\i}cito, y $[0.7,1]$ con Euler impl\'{\i}cito.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Problemas propuestos}




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.1} Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime =\displaystyle\frac{1}{e^ty} ,\\[0.3cm]
y(0)=\sqrt{2}.
\end{array}
\right.
\]

En el intervalo temporal $[0,0.5]$, utilizar el esquema num\'erico
de Euler impl\'{\i}cito para encontrar un valor aproximado de la
soluci\'on en $t=0.5$ tomando $h=0.5$ y considerando dos
iteraciones del m\'etodo de Newton-Raphson para resolver la
ecuaci\'on no lineal. Calcular el error cometido.
\end{ejercicio}




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.2} Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime =-2ty^2, \\[0.2cm]
y(0)=1.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema num\'erico
dado por la siguiente tabla (tipo Runge-Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}
\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido.
\end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.3}
 Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime =-y^2 e^t, \\[0.2cm]
y(0)=1.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema
num\'erico dado por la siguiente tabla Runge-Kutta,
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}

\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido.

\end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.4}
Consid\'erese el problema de valor inicial (PVI):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime = 2y^{1/2}t, \\[0.2cm]
y(0)=1.
\end{array}
\right.
\]
En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema num\'erico
dado por la siguiente tabla (tipo Runge-Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}
\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido. \end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.5} Sea el Problema de Valor Inicial:
\[
\mbox{(PVI)}:\;\left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle y^{\prime} = \sqrt{1-y^2}, \quad t\in[0,1.5], \\[0.3cm]
y(0) = 0,
\end{array}
\right.
\]
que tiene por soluci\'on exacta la funci\'on $y(t)=\displaystyle \sin(t)$.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Tomando un paso de discretizaci\'on de $h=0.5$, utiliza el m\'etodo de Euler impl\'icito para dar una aproximaci\'on de la soluci\'on en $t=1$, utilizando para resolver las ecuaciones no lineales que aparecen en el proceso, 3 iteraciones del m\'etodo de bisecci\'on. Calcula el error cometido en la aproximaci\'on obtenida.

\item[(b)] (Octave) Resuelve el mismo PVI con Octave utilizando el m\'etodo de Crank-Nicolson utilizando un paso de discretizaci\'on $h=0.01$ en el intervalo $[0,1.5]$. Dibuja la aproximaci\'on num\'erica junto con la soluci\'on exacta y calcula la aproximaci\'on que produce el m\'etodo en el instante $t=0.73$. \textquestiondown Qu\'e error se comete?

\item[(c)] (Octave) Calcula en intervalo temporal (num\'erico) para el cual las aproximaciones son mayores que 0.6. \textquestiondown Qu\'e error se comete en la estimaci\'on? ({\em Nota: Para calcular el intervalo temporal exacto utiliza una tolerancia de $10^{-5}$}).

\item[(d)] (Octave) Representa la gr\'afica del error cometido por el m\'etodo en el intervalo [0,1.5]. \textquestiondown Cu\'al es el error m\'aximo que se comete?

\end{enumerate}
\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.6} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^\prime=-y(y-1),\\
y(0)=2.
\end{array}\right.\]
Aplicar los m\'etodos tipo Runge-Kutta dados por los algoritmos
heun.m y rungekuttao3.m para resolver el PVI anterior en el intervalo
temporal [0,1], tomando como paso de discretizaci\'on $h=0.01$.
Escribir los valores obtenidos con los dos m\'etodos para los
tiempos, $t=0.1$, $t=0.5$ y $t=1$.
\end{ejercicio}







\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.7} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= (1+6t)e^{1-y}-6, & \forall\,t\in (0,6],\\ [0.2cm]
y(0)= \ln (10)+1, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle \ln \left( 10e^{-6t} +t \right)  +1.
$$

Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,6]$ con pasos de discretizaci\'on $h_1=0.5$, $h_2 =0.15$ y $h_3=0.25$. Discutir el comportamiento de las soluciones obtenidas en
t\'erminos de estabilidad num\'erica. Dibujar la soluci\'on anal\'{\i}tica junto con las soluciones estables calculadas anteriormente. Calcular anal\'{\i}ticamente el instante en el cual se tiene el m\'{\i}nimo de concentraci\'on as\'{\i} como su valor.
\end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.8} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= y-\displaystyle \frac{t}{y}, & \forall\,t\in (0,5],\\ [0.2cm]
y(0)= 2, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{14e^{2t}+4t+2}.
$$

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,5]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.2$.
Utilizar el resultado obtenido para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=3.6$ y calcular el error cometido.

\textquestiondown Sabr\'{\i}as calcular la soluci\'on en el instante $t=3.627$
y estimar el error cometido?

\item[(b)] Aplicar los algoritmos de Euler impl\'{\i}cito y Crank-Nicolson  para calcular la soluci\'on
del PVI en las mismas condiciones anteriores
(en el intervalo temporal $[0,5]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.2$).

Utilizar los resultados obtenidos para aproximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=3.6$ y calcular los errores cometidos determinando el m\'etodo m\'as preciso entre los tres.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.9} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):

\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= (\sqrt{t}-1)(y^3-y), & \forall\,t\in (0,2],\\ [0.2cm]
y(0)= 2, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:

$$
y(t)=\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-(3/4)e^{(4/3)t^{3/2}-2t}} }.
$$


\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,2]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.05$.

Utilizar el resultado obtenido para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=1.25$ y calcular el error cometido.
\textquestiondown En que instante se tiene el m\'{\i}nimo de concentraci\'on?
\textquestiondown  Cu\'al es su valor real y el aproximado?

\item[(b)] Aplicar el algoritmo de Runge-Kutta, {\em heun.m} (Heun), para calcular la soluci\'on del PVI en las mismas condiciones anteriores
(en el intervalo temporal $[0,2]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.05$).

Utilizar los resultados obtenidos para aproximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=1.25$ y calcular los errores cometidos y determinar el m\'etodo m\'as preciso.
Dibujar la gr\'afica del error del m\'etodo determinado anteriormente en cada punto del dominio.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.10} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= 1-4y, & \forall\,t\in (0,10],\\ [0.2cm]
y(0)= 1, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle \frac{3+e^{4t}}{4e^{4t}}.
$$

Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,10]$ con pasos de discretizaci\'on $h_1=0.1$, $h_2 =0.4$ y $h_3=0.5$.

Dibujar las soluciones obtenidas junto con la anal\'{\i}tica en una \'unica gr\'afica y discutir el comportamiento de las soluciones obtenidas en
t\'erminos de estabilidad num\'erica.

\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.11} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= y-y^3, & \forall\,t\in (0,20],\\ [0.2cm]
y(0)= 2, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle \frac{2e^t }{\sqrt{4e^{2t}-3}}.
$$

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,20]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.2$.

Utilizar el resultado obtenido para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=0.2$ y calcular el error cometido.
\item[b)] Aplicar los algoritmos de Euler impl\'{\i}cito y Crank-Nicolson  para calcular la soluci\'on
del PVI en las mismas condiciones anteriores
(en el intervalo temporal $[0,20]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.2$).

Utilizar los resultados obtenidos para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=0.2$, calcular los errores cometidos y determinar el m\'etodo m\'as preciso.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}




\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.12} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= 1-te^{-y}, & \forall\,t\in (0,20],\\ [0.2cm]
y(0)= 0, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\ln (t+1).
$$


\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,2]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.1$.

Utilizar el resultado obtenido para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=1.6$ y calcular el error cometido.

\item[(b)] Aplicar los algoritmos de Runge-Kutta, heun.m y rungekuttao3.m, para calcular la soluci\'on del PVI en las mismas condiciones anteriores
(en el intervalo temporal $[0,20]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.1$).

Utilizar los resultados obtenidos para proximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=10.6$, calcular los errores cometidos y determinar el m\'etodo m\'as preciso.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}








\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.13} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= 10(2-y), & \forall\,t\in (0,3],\\ [0.2cm]
y(0)= 1, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle 2-e^{-10t}.
$$

Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,3]$ con pasos de discretizaci\'on $h_1=0.3$, $h_2 =0.15$ y $h_3=0.05$.

Discutir el comportamiento de las soluciones obtenidas en t\'erminos de estabilidad num\'erica. Dibujar la soluci\'on anal\'itica junto con las soluciones estables calculadas anteriormente.
\end{ejercicio}








\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.14} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= y-1/y, & \forall\,t\in (0,4],\\ [0.2cm]
y(0)= 3, &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:

$$
y(t)=\displaystyle \sqrt{8e^{2t}+1}.
$$

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,1]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.025$. Utilizar el resultado obtenido para aproximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=0.3$ y calcular el error cometido.

\item[(b)] Aplicar los algoritmos de Euler impl\'{\i}cito y Crank-Nicolson  para calcular la soluci\'on del PVI en las mismas condiciones anteriores (en el intervalo temporal $[0,1]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.025$). Utilizar los resultados obtenidos para aproximar el valor de la soluci\'on anal\'{\i}tica en el instante $t=0.3$, calcular los errores cometidos y determinar el m\'etodo m\'as preciso.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.15} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y' (t)= (t-1)(y-y^2), & \forall\,t\in (0,2],\\ [0.2cm]
y(0)= 1/2. &
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\displaystyle \frac{e^{(1/2)t^2-t}}{1+e^{(1/2)t^2-t}}.
$$

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0,2]$ con paso de discretizaci\'on $h=0.004$.

Utilizar el resultado obtenido para aproximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=1.24$ y calcular el error cometido. Calcular el instante en el que se tiene el m\'inimo de concentraci\'on. ?`Cu\'al es su valor real y el aproximado?

\item[(b)] Aplicar los algoritmos de Runge-Kutta, heun.m y rungekuttao3.m para calcular la soluci\'on
del PVI en las misma s condiciones anteriores
(en el intervalo temporal $[0,2]$ y con paso de discretizaci\'on $h=0.004$).

Utilizar los resultados obtenidos para aproximar el valor de la soluci\'on
anal\'{\i}tica en el instante $t=1.24$ y calcular los errores cometidos y determinar el m\'etodo m\'as preciso. Dibujar la gr\'afica del error de estos m\'etodos en cada punto.

\end{enumerate}

\end{ejercicio}







\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.16} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y'(t) = \displaystyle te^{3t}-2y, & \forall t\in (0,1],\\ [0.2cm]
y(0)= 0, & \\
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(t)=\displaystyle\frac{1}{5}te^{3t}-\frac{1}{25}e^{3t}+\frac{1}{25}e^{-2t}$.

\begin{enumerate}

\item[a)] Aplicar los m\'etodos de Euler expl\'icito, Euler impl\'icito, Heun y Simpson (rungekuttao3.m) con paso de discretizaci\'on $h=0.05$ para aproximar el valor de la soluci\'on anal\'itica en el instante $t=0.95$ y calcular los errores cometidos. \textquestiondown Cu\'al es el m\'etodo m\'as preciso? \textquestiondown Cu\'al es el menos preciso? Justifica tus respuestas.
\item[b)] Dibuja la gr\'afica del error cometido por el m\'etodo de Euler impl\'icito y el m\'etodo de Heun en el intervalo $[0,1]$.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}









\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T2.Prop.17} (Octave) Se considera el problema de valor inicial (PVI):
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
y'(t) = \displaystyle \frac{ty}{t^2+1}, & \forall t\in (0,2],\\ [0.2cm]
y(0)= 1, & \\
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
y(t)=\sqrt{t^2+1}.
$$

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar los m\'etodos de Euler expl\'icito, Euler impl\'icito, Heun ({\em heun.m}) y Simpson ({\em rungekuttao3.m}) con paso de discretizaci\'on $h=0.1$ para aproximar el valor de la soluci\'on anal\'itica en el instante $t=0.7$ y calcular los errores cometidos. \textquestiondown Cu\'al es el m\'etodo m\'as preciso? \textquestiondown Cu\'al es el menos preciso? Justifica tus respuestas.
\item[(b)] Dibuja la gr\'afica del error cometido por el m\'etodo de Euler Expl\'icito y el m\'etodo de Heun en el intervalo $[0,2]$.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}



















\section{Aplicaciones}
\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}[Capa l\'{\i}mite laminar]\label{Ej.T2.Aplic.1}

En el estudio de algunas capas l\'{\i}mite de flujos laminares, aparece la
denominada ecuaci\'{o}n de Blasius que es una EDO de tercer orden de la
forma:
\[
y^{\prime \prime \prime }(x)+y(x)y^{\prime \prime }(x)=0,\qquad x\geq 0.
\]

N\'{o}tese que aqu\'{\i} hemos modificado la notaci\'{o}n de la variable
independiente llam\'{a}ndola $x$, pues en esta ocasi\'{o}n la variable
independiente no es el tiempo, sino que es una variable adimensional
relacionada con la coordenada espacial. La ecuaci\'{o}n de Blasius se
acompa\~{n}a de las tres condiciones iniciales $y(0)=y^{\prime }(0)=0,$ $%
y^{\prime \prime }(0)=\alpha $, donde $\alpha $ es un valor conocido $(\alpha
=0.47).$ Con ello se puede plantear el problema de valor inicial de Blasius
de la forma siguiente:
\vspace{0.2cm}

\hspace{0.3cm} Hallar una funci\'{o}n $y(x)$ verificando:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
y^{\prime \prime \prime }(x)+y(x)y^{\prime \prime }(x)=0,\qquad x\geq 0, \\ [0.3cm]
y(0)=0,\;\;y^{\prime }(0)=0,\;\;y^{\prime \prime }(0)=\alpha.
\end{array}
\right.
\]


Este problema es equivalente al P.V.I. de primer orden:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
z_{1}^{\prime }(x)=z_{2}(x),\qquad x\geq 0, \\ [0.3cm]
z_{2}^{\prime }(x)=z_{3}(x),\qquad x\geq 0, \\  [0.3cm]
z_{3}^{\prime }(x)=-z_{1}(x)z_{3}(x),\qquad x\geq 0, \\ [0.3cm]
z_{1}(0)=0,\;\;z_{2}(0)=0,\;\;z_{3}(0)=\alpha,
\end{array}
\right.
\]

donde se ha denotado por $z_{1}(x)=y(x),$ $z_{2}(x)=y^{\prime }(x),$ $%
z_{3}(x)=y^{\prime \prime }(x).$

Abreviadamente el problema anterior puede escribirse entonces como:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{z}^{\prime} (x)=\mathbf{f}(x,\mathbf{z}(x)),\qquad x\geq 0\\ [0.3cm]
\mathbf{z}(0)=\{0,0,\alpha \}^{T},
\end{array}
\right.
\]

donde:
\[
\mathbf{z}(x)=\{z_{1}(x),z_{2}(x)z_{3}(x)\}^{T},
\]

y:
\[
\mathbf{f}(x,\mathbf{z}(x))=\left\{
z_{2}(x),z_{3}(x),-z_{1}(x)z_{3}(x)\right\} ^{T}.
\]
Se pide calcular y dibujar el perfil de la capa l\'{\i}mite $y(x)$, resolviendo el PVI asociado al sistema no lineal de EDO.


\end{ejercicio}


\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}[Reacci\'on qu\'{\i}mica]\label{Ej.T2.Aplic.2}

Consideraremos ahora un ejemplo que se puede encontrar en el libro de
Hanna y Sandall\footnote{Hanna, O.T. y Sandall, O.C.
(1995). ``Computational Methods in Chemical
Engineering''. Ed. Prentice Hall International Editions.})
\vspace{0.2cm}

En la ingenier\'{\i}a en general, y en la ingenier\'{\i}a qu\'{\i}mica en
particular, es muy frecuente toparse con problemas de valor inicial regidos
por sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Como bot\'{o}n de
muestra, baste el siguiente ejemplo en el que se considera una reaci\'{o}n
qu\'{\i}mica no lineal semejante a las que tienen lugar en un reactor
qu\'{\i}mico durante la fase
transitoria de una reacci\'on a volumen constante
de la forma:

\[
A+B\leftrightarrow C\rightarrow D+E,
\]

donde $A,B,C,D$ y $E$ representan diferentes compuestos que interaccionan
entre s\'{\i}. En una reacci\'{o}n qu\'{\i}mica como la planteada, la
concentraci\'{o}n de la especie $A$, que denotaremos por $y_{1},$ y la de la
especie $C$, que denotaremos por $y_{2}$, se relacionan entre s\'{\i} mediante el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{dy_{1}}{dt}& = &-k_{1}y_{1}(y_{1}-K)+
k_{2}y_{2},\\ [0.4cm]
\displaystyle \frac{dy_{2}}{dt}& = & -(k_{2}+k_{3})y_{2}+k_{1}y_{1} (y_{1}-K),
\end{array}
\right.
\]

donde $k_{1},k_{2}$ y $k_{3}$ son las constantes de reacci\'{o}n de las
reacciones qu\'{\i}micas $A+B$ $\rightarrow C,$ $C\rightarrow A+B$ y $%
C\rightarrow D+E$, respectivamente. Por otra parte, $K$ es una constante que
depende de la composici\'{o}n inicial de la mezcla que se deja reaccionar.
Al sistema anterior debe acompa\~{n}\'{a}rsele de las condiciones iniciales $%
y_{1}^{(0)}$ e $y_{2}^{(0)}.$ Si consideramos el caso en que $%
k_{1}=k_{2}=k_{3}=1,$ $K=0,$ $y_{1}^{(0)}=1$ e $y_{2}^{(0)}=0$, el sistema
resultante ser\'{a}:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbf{y}^{\prime }(t) & =\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)), & t>0, \\
\mathbf{y}(0) & =\mathbf{y}^{(0)}, &
\end{array}
\right.
\]

donde
\[
\mathbf{y}(t)=\
\begin{pmatrix}
y_{1}(t) \\
y_{2}(t)
\end{pmatrix}
,\;\;\;\;\mathbf{y}^{\prime }(t)=
\begin{pmatrix}
y_{1}^{^{\prime }}(t) \\
y_{2}^{^{\prime }}(t)
\end{pmatrix}
,\;\;\;\;\;\mathbf{y}^{(0)}=
\begin{pmatrix}
y_{1}^{(0)} \\
y_{2}^{(0)}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]

y

\[
\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))=
\begin{pmatrix}
-y_{1}^{2}(t)+y_{2}(t) \\
-2 y_{2}(t)+y_{1}^{2}(t)
\end{pmatrix}
\]
Se pide calcular y dibujar el perfil de las concentraciones $(y_1 (x),y_2 (x))$ resolviendo el PVI asociado al sistema no lineal de EDOs.
Comparar la soluci\'on obtenida con el valor de la
soluci\'{o}n exacta de $y_{1}(t)$ en el instante $t=0.8$, $y_1(0.8)=0.646234$, tomado de la referencia Hanna y Sandall.
\end{ejercicio}


\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}[Oscilador arm\'onico]\label{Ej.T2.Aplic.3}

Un l\'{\i}quido de densidad $\rho $ y viscosidad din\'{a}mica $\mu $ se
encuentra en reposo contenido en un tubo de secci\'{o}n recta circular de
di\'{a}metro constante $d$ y con forma de U. La longitud que ocupa el
fluido, medida en el eje del tubo, es denotada por $L.$

En el instante
$t_{0}=0$, un pist\'{o}n golpea una de las superficies libres del fluido
im\-pri\-mi\'{e}n\-do\-le una velocidad $V_{0}.$ Como consecuencia de ello, la otra
superficie libre comienza a ascender hasta que, por efecto de la fuerza
gravitatoria, se detiene su ascenso. En ese momento, el
l\'{\i}quido de esa rama del tubo comienza a descender
rebasando la posici\'{o}n en que inicialmente se encontraba en equilibrio
hasta que el efecto de la gravedad sobre la otra rama del fluido detiene el
descenso y el l\'{\i}quido vuelve a ascender. Se genera as\'{\i} un movimiento
oscilatorio del fluido en torno a su posici\'{o}n de equilibrio inicial (que,
con el transcurrir del tiempo, volver\'{a} a recuperarse). Si se denota por $%
g $ a la aceleraci\'{o}n gravitatoria y por $z(t)$ al desplazamiento de la
superficie libre del fluido, despreciando el efecto del rozamiento del
l\'{\i}quido con las paredes del tubo, el proceso anterior puede modelizarse
mediante el problema de valor inicial siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
z^{\prime\prime}(t)+Az^{\prime }(t)+Bz(t)=0,& & t>0, \\ [0.2cm]
z(0)=0, \qquad z^{\prime }(0)=V_{0}, &
\end{array}
\right.
\]

donde $A$ y $B$ son dos constantes dadas por
\[
A=\displaystyle\frac{32\mu }{\rho  d^2 },\;\;\;\;B=\displaystyle\frac{2 g}{L}.
\]

El problema de valor inicial antes planteado puede transformarse en otro
regido por un sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden en la
forma:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\displaystyle y_{1}^{^{\prime }}(t) & =y_{2}(t),& t>0, \\ [0.2cm]
\displaystyle y_{2}^{^{\prime }}(t) & =-By_{1}(t)-Ay_{2}(t), & t>0, \\ [0.2cm]
y_{1}(0) & =0,\qquad y_{2}(0)=V_{0}, &
\end{array}
\right.
\]
donde se ha denotado por $y_{1}(t)=z(t)$ (la funci\'on de
desplazamiento) y por $y_{2}(t)=z^{\prime }(t)$ (la funci\'on de velocidad).
\vspace{0.2cm}

Consideremos un fluido para el que $\mu =0.001 \,\mbox{Kg}/(\mbox{m}\,
\mbox{s})$, $\rho =1 \,\mbox{Kg}\mbox{m}^{-3}$
y tomemos como
valor de $g=9.81\,\mbox{m}\mbox{s}^{-2}$, $d=0.2 \mbox{m}$,
$L=3$m y $V_{0}=1$m/s. Resolver el sistema de ecuaciones (lineal)  con paso de
integraci\'{o}n constante $h=0.05$.
\textquestiondown Sabr\'{\i}as encontrar la soluci\'on anal\'{\i}tica de este problema?
\end{ejercicio}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
% Del doc "Métodos Numéricos básicos para ingenieros" de Castro Armando de Castro
\begin{ejercicio}[Velocidad Terminal]\label{Ej.T2.Aplic.4}
La ecuaci\'on diferencial que rige la velocidad $v$ de un cuerpo de masa $m$ y \'area proyectada $A$, que cae en un medio de densidad $\rho$ es
\[
\displaystyle \frac{dv}{dt} = g - \frac{\rho Av^2}{2m}.
\]
El cuerpo adquiere su velocidad terminal de ca\'ida cuando no acelera m\'as, es decir, cuando la derivada de la velocidad es cero. De acuerdo con la ecuaci\'on anterior, se tiene que la velocidad terminal te\'orica es
\[
\displaystyle v_f = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A}}.
\]
Supongamos que dejamos caer una moneda de un edificio con $m=0.01 kg$, $A=3.1416\cdot10^{-4} m^{-2}$ y $\rho=1 kg/m^3$. Utiliza Octave para calcular su velocidad terminal te\'orica y comp\'arala con la velocidad terminal que se obtiene al resolver el problema con el m\'etodo de Runge-Kuttta dado por el esquema $rungekuttao3.m$.
\end{ejercicio}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
% Sacado del Chapra-Canale 25.17
\begin{ejercicio}[Drenaje de un tanque]\label{Ej.T2.Aplic.5} Si se drena el agua desde un tanque cil\'indrico vertical por medio de una v\'alvula en la base, el l\'iquido fluir\'a r\'apido cuando el tanque est\'a lleno y m\'as lentamente, conforme se drene. Como resultado, la tasa a la que el nivel de agua disminuye es
\[
\displaystyle \frac{dy}{dt} = -k\sqrt{y},
\]
donde $k$ es una constante que depende de la forma del agujero de drenaje y del \'area de la secci\'on transversal del tanque. La profundidad del agua $y$ se mide en metros y el tiempo $t$ en minutos.

Si $k=0.06$, utiliza Octave para determinar cu\'anto tiempo se requiere para vaciar el tanque si el nivel del fluido se encuentra en un inicio a 3 metros utilizando el m\'etodo de resoluci\'on num\'erica que prefieras y un paso de discretizaci\'on de 0.5 minutos.
\end{ejercicio}







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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Problemas de Contorno}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Problemas resueltos}

\subsection{Problemas de Transporte estacionarios en dominios unidimensionales}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.1} Se considera el problema de transporte difusivo-convectivo
definido por el Problema de Valores de Contorno (PVC):
\[
\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
-u^{\prime\prime}(x)+u^\prime(x) =e^x , \quad x\in(0,1)\\[0.2cm]
u(0)=1, \quad u(1)=0,
\end{array}
\right.
\]
cuya soluci\'on exacta es $u(x)=-xe^x+e^x$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Resolver el problema tomando un paso de discretizaci\'on $h=0.25$, utilizando f\'ormulas en diferencias finitas centradas, calculando primeramente el sistema asociado al problema en la forma $A\bar{u}=\bar{b}$.
\item[(b)] Calcular el error cometido en los puntos $x=0.5$ y $x=1$.
\item[(c)] {\em (Octave)} Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m para calcular la soluci\'on en $[0,1]$, tomando un paso de discretizaci\'on constante $h=0.01$. Calcula la aproximaci\'on obtenida en los puntos $x=0.5$ y $x=1$. \textquestiondown Qu\'e error comete el m\'etodo en dichas aproximaciones?
\item[(c)] {\em (Octave)} Dibuja la gr\'afica de la aproximaci\'on junto con la soluci\'on exacta y la gr\'afica del error cometido en todo el intervalo $[0,1]$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}\\
{\em (a)} Como $h=0.25$, el mallado consiste en los puntos:
\[
x_1=0, x_2=0.25, x_3=0.5, x_4=0.75, x_5=1.
\]
Para $i=1$ e $i=5$, dadas las condiciones de contorno, sabemos que $u_1=1$ y $u_5=0$, por lo que nos queda por determinar los valores de $u_2$, $u_3$ y $u_4$. Para ellos, utilizando las f\'ormulas en diferencias finitas centradas para $u^{\prime\prime}(x_i)$ y $u^\prime(x_i)$ obtenemos:
\[
\displaystyle -\big( \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2} \big) + \big( \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} \big) = e^{x_i}, \quad\quad i=2,3,4.
\]
Agrupando t\'erminos tenemos que
\[
-18u_{i-1}+32u_i-14u_{i+1} = e^{x_i}, \quad\quad i=2,3,4.
\]
La soluci\'on buscada se obtiene por tanto resolviendo el sistema lineal $A\bar{u}=\bar{b}$ siguiente:
\[
\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ -18&32&-14&0&0\\0&-18&32&-14&0\\0&0&-18&32&-14\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\e^{0.25}\\e^{0.5}\\e^{0.75}\\0\end{pmatrix}
\]
que da por soluci\'on: $u_1=0$, $u_2=0.96399$, $u_3=0.82598$, $u_4=0.53077$ y $u_5=0$. \\

{\em (b)} El error cometido en $x=0.5$ es $|u(0.5)-u_3|=0.0016192$, mientras que en $x=1$, el error es 0, ya que es conocida la condici\'on de contorno. \\


{\em (c)} Necesitamos definir:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 1; ua = 1; ub = 0; numeronodos=1+((b-a)/h);}\\
\texttt{$>$ D = 1; V = 1; Q = 0;}\\
\texttt{$>$ f = @(x) exp(x);}\\

y llamar al programa\\

\texttt{$>$ [x,u] = bvpdirichlet(a,b,numeronodos,D,V,Q,f,ua,ub)};\\

Los valores en 0.5 y en 0.75 de la soluci\'on num\'erica son, respectivamente.\\
\texttt{u(51)} y \texttt{u(101)}, dando como aproximaciones $0.82436$ y $0$. La posici\'on 51, por ejemplo, puede obtenerse mediante el comando \texttt{find(x==0.5)} o como \texttt{0.5/h+1}.\\

Definiendo la soluci\'on exacta, podemos calcular el error cometido en $x=0.5$ mediante:\\

\texttt{$>$ uexac = @(x) -x.*exp(x)+exp(x);}\\
\texttt{$>$ error = abs(u(51)-uexac(0.5))}\\

que da como resultado 2.558724$\cdot10^{-6}$. En $x=0$ el error es nulo.\\


{\em (d)} Calculamos el vector con los errores cometidos\\
\texttt{$>$ verror = abs(u-uexact(x));}\\
y las gr\'aficas (ver Figura \ref{pvc31}) se obtienen mediante los comandos\\
\texttt{$>$ figure; plot(x,u,x,uexact(x)); legend('aprox','exacta')}\\
\texttt{$>$ figure; plot(x,verror); title('ERROR')} \\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=.325]{Figuras/PVC_1.pdf}
\includegraphics[scale=.325]{Figuras/PVC_2.pdf}
  \caption{Gr\'afica de la aproximaci\'on obtenida (izquierda) y la gr\'afica del error cometido (derecha).}
  \label{pvc31}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Se observa como la aproximaci\'on y la soluci\'on exacta est\'an pr\'acticamente solapadas y el error es como mucho del orden de $10^{-6}$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.2}
Sea dado el Problema de Valores de Contorno (PVC):

\[
\left\{
\begin{array}{lcr}
-\displaystyle \frac{d^2 u}{dx^2}+ \displaystyle \frac{d }{dx}\left[ \left(x-\frac{1}{4}\right)u\right] =4x, & & x\in
(0,1), \\[0.7cm]
\displaystyle u(0)=1,
\qquad u(1)=2. &  &
\end{array}
\right.
\]


\begin{enumerate}
\item[(a)] Desarrollar las operaciones indicadas en la ecuaci\'on y describir los procesos f\'{\i}sicos del modelo.
\item[(b)] Resolver el problema utilizando f\'ormulas en diferencias finitas centradas para el t\'ermino de difusi\'on y descentradas contracorriente para los eventuales
t\'erminos de convecci\'on, obteniendo un esquema num\'erico del tipo:
$$
\alpha_i u_{i-1} +\beta_i u_i +\gamma_i u_{i+1}=f_i ,\qquad \forall\,i=2,\ldots,N,
$$
definiendo los coeficientes $\alpha_i $, $\beta_i$ y $\gamma_i$, para un gen\'erico paso de discretizaci\'on $h$.

\item[(c)] Sea $h=0.25$. Escribir los nodos del mallado y calcular una aproximaci\'on de la soluci\'on en los nodos $x_2$, $x_3$ y $x_4$, resolviendo el sistema asociado al problema en la forma $A\bar{u}=\bar{b}$.

\item[(d)] {\em (Octave)} Resuelve el problema para un paso de discretizaci\'on de $h=0.01$ y calcula la aproximaci\'on que se obtiene en $x=0.261$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}\\
{\em (a)} Desarrollando el t\'ermino de divergencia se tiene:

$$
\displaystyle \frac{d }{dx}\left[ \left(x-\frac{1}{4}\right)u\right] =
\left(x-\frac{1}{4}\right)\frac{d u}{dx}+u,
$$
luego la ecuaci\'on a resolver es:

$$
-\displaystyle \frac{d^2 u}{dx^2}+ \displaystyle \left(x-\frac{1}{4}\right)\frac{d u}{dx}+u =4x.
$$
Los procesos f\'{\i}sicos del modelo son la difusi\'on, la convecci\'on y la absorci\'on,
junto con un t\'ermino de forzamiento, en un r\'egimen estacionario.\\

{\em (b)} Definimos los nodos del mallado: $x_i =(i-1)h$, $i=1,...,N+1,$ y el campo de velocidades en cada uno de ellos:
$$
V_i=V(x_i)=\displaystyle x_i -\frac{1}{4}=\displaystyle (i-1)h-\frac{1}{4}.
$$
Para definir el esquema a contracorriente utilizaremos el par\'ametro $\rho_i =1/2 +|V_i |/(2V_i )$, de manera que para $i=2,\ldots,N$ (es decir, para los nodos interiores), se tiene
$$
\displaystyle -\left(\frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}\right)+V_i \left[ \rho_i\left(\frac{u_i -u_{i-1}}{h}\right)+(1-\rho_i)\left(\frac{u_{i+1} -u_i}{h}\right)\right] + u_i =$$
$$4(i-1)h,
$$
junto con $u_1=1$ y $u_{N+1}=2$, dados por las condiciones de contorno.


{\em (c)} Los nodos del mallado son, para $h=1/4$,
$$
x_1 =0,\quad x_2 =1/4 ,\quad x_3 =1/2 ,\quad x_4 =3/4 ,\quad x_5 = 1.
$$
El campo de velocidades es:
$$
V_1 =-1/4,\quad V_2 =0 ,\quad V_3 =1/4 ,\quad V_4 =1/2 ,\quad V_5 = 3/4,
$$
luego $\rho_ 3 =\rho_4 =1$. Utilizando las condiciones de contorno, el sistema lineal asociado al m\'etodo es

$$
\left( \begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-16 & 33 & -16 & 0 & 0 \\
0 & -17 & 34 & -16 & 0 \\
0&0&-18&35&-16 \\
0&0&0&0&1
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{c}
u_1 \\
u_2 \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5
\end{array} \right) =
\left( \begin{array}{c}
1 \\
1 \\
2 \\
3 \\
2
\end{array} \right)
$$
cuya soluci\'on es $u_1=1$, $u_2 =1.255$, $u_3 =1.526$, $u_4 =1.785$ y $u_5=2$.\\


{\em (d)} Esta vez utilizamos el algoritmo {\em bvp2cvrobinup.m} con los comandos:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 1;}\\
\texttt{$>$ h = 0.001; N = ((b-a)/h)-1;}\\
\texttt{$>$ muf = @(x) 1+0*x; etaf = @(x) x-1/4; sigmaf = @(x) 1+0*x;}\\
\texttt{$>$ f = @(x) 4*x; }\\
\texttt{$>$ c11 = 0; c12 = 1; ua = 1;}\\
\texttt{$>$ c21 = 0; c22 = 1; ub = 2;}\\
\texttt{$>$ esquema = 'U';}\\
\texttt{$>$ [x,u] = bvp2cvrobinup(a,b,N,muf,etaf,sigmaf,f,c11,...}\\
\texttt{$>$ c12,c21,c22,ua,ub,esquema);}\\
\texttt{$>$ aprox = u(find(x==0.261))}\\

dando como resultado una aproximaci\'on de 1.2678.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.3}
Resolver el siguiente problema de transporte estacionario
unidimensional:
\[
\left\{
\begin{array}{lcr}
-u {''}(x)+3u^\prime(x)+u(x)=x+1, & & x\in (0,1), \\[0.3cm]
\displaystyle u(0)=0,
\qquad u^\prime(1)=0 ,&  &
\end{array}
\right.
\]
utilizando un  esquema en diferencias finitas centrado y un
tama\~no de discretizaci\'on constante $h=0.5$. Utiliza Octave con un paso de $h=0.05$ para dibujar la aproximaci\'on de $u(x)$ obtenida por el m\'etodo y determina los valores $x$ para los que se obtienen aproximaciones mayores a 0.2.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Puesto que $x\in [0,1]$ y $h=0.5$, vamos a tener 3 nodos que
ser\'an
$$x_1=0,\quad x_2=0.5, \quad x_3=1,$$ y tenemos que hallar los
valores nodales: $$u_1\sim u(0),\quad u_2 \sim u(0.5),\quad u_3
\sim u(1).$$
 Por la condici\'on de contorno tipo Dirichlet,
$u(0)=0$, tenemos que $u_1=0$ y por tanto s\'olo tenemos que
calcular $u_2$ y $u_3$.

Para calcular $u_2$, aplicamos el esquema en diferencias que nos
piden en $x_2$ y tenemos que:
$$-\left(\frac{u_1-2u_2+u_3}{h^2}\right)+3\left(\frac{u_3-u_1}{2h}\right)+u_2=0.5+1.$$
Teniendo en cuenta que $u_1=0$ y $h=0.5$, resulta la ecuaci\'on,
$$9u_2 -u_3=1.5.$$
Como en $x_3$ tenemos impuesta una condici\'on tipo Neumann,
tenemos que aplicar el esquema en diferencias en este nodo. Para
aplicar el esquema hay que utilizar un nodo ficticio que
denotaremos por $x_f$ con valor nodal $u_f$. Entonces, resulta
$$-\left(\frac{u_2-2u_3+u_f}{h^2}\right)+3\left(\frac{u_f-u_2}{2h}\right)+u_3=1+1.$$
Puesto que $u^\prime(1)=0$, se tiene que su aproximaci\'on en diferencias
$\frac{u_f-u_2}{2h}$ tambi\'en es cero, $\frac{u_f-u_2}{2h}=0$, y
se obtiene
$$-\frac{1}{h^2}u_2+\left(\frac{2}{h^2}+1\right)u_3-\frac{1}{h^2}u_f=2.$$
Eliminamos $u_f$ utilizando la condici\'on  de contorno
$u^\prime(1)=0$, que implica que $u_f=u_2$, como hemos visto antes.
Por tanto, tenemos que,
$$-\frac{2}{h^2}u_2+\left(\frac{2}{h^2}+1\right)u_3=2,$$ de donde se obtiene la ecuaci\'on $-8u_2+9u_3=2$. S\'olo queda resolver el sistema:
$$\begin{pmatrix}9 & -1\\-8 & 9\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_2 \\u_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1.5 \\2\end{pmatrix}$$
y obtenemos la soluci\'on $u_1=0,$ $u_2=0.21233$ y $u_3=0.41096$.\\

Resolvemos ahora el problema utilizando Octave tomando $h=0.05$ con los comandos:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 1;}\\
\texttt{$>$ h = 0.05; N = (b-a)/h-1;}\\
\texttt{$>$ muf = @(x) 1+0*x; etaf = @(x) 3+0*x; sigmaf = @(x) 1+0*x;}\\
\texttt{$>$ f = inline('x+1','x');}\\
\texttt{$>$ c11 = 0; c12 = 1; ua = 0;}\\
\texttt{$>$ c21 = 1; c22 = 0; ub = 0;}\\
\texttt{$>$ esquema = 'C';}\\
\texttt{$>$ [x,u] = bvp2cvrobinup(a,b,N,muf,etaf,sigmaf,...}\\
\texttt{$>$ f,c11,c12,c21,c22,ua,ub,esquema);}\\
\texttt{$>$ eje = @(x) 0.2+0*x;}\\
\texttt{$>$ figure; plot(x,u,'o-',x,eje(x))}\\

Las aproximaciones pueden verse en la FIgura \ref{pvc33}. Para calcular la regi\'on pedida escribimos:\\

\texttt{$>$ vecpos = x(find(u>0.2));}\\
\texttt{$>$ region = [vecpos(1) vecpos(end)]}\\

que da como soluci\'on el intervalo $[0.55, 1]$.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.35]{Figuras/PVC_3.pdf}
  \caption{Gr\'afica de las aproximaciones obtenidas (c\'irculos) y la recta $u=0.2$.}
  \label{pvc33}%}
  %\end{center}
\end{figure}





%\newpage
\subsection{Problemas de Transporte estacionarios en dominios bidimensionales}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.4}
 Considera el dominio
abierto $\Omega $ de frontera formada por los lados $L1,$ $L2,$
$L3$ y $L4$, que se recoge en la Figura \ref{figura101}. Sobre dicho dominio se
pretende resolver mediante un m\'{e}todo en diferencias finitas el
problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-\nabla \cdot \left(\nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right)
+u(x,y)=0, & en\;\Omega,  \\ [0.3cm] \left[ -\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L3\bigcup L4, \\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L1\bigcup L2.
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n  dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=\begin{pmatrix}-y \\x\end{pmatrix}
\]
Se pide escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el
plantear un esquema en diferencias finitas de 5 puntos en
cruz para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
descentrado con\-tra\-co\-rrien\-te para la aproximaci\'{o}n del
t\'{e}rmino convectivo, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de
las correspondientes condiciones de contorno, en los nodos $9$,
$10$ y $12$ del mallado dado.
\begin{figure}[h]
 \centering
       \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Figuras/dominio.pdf}
    \caption{Dominio $\Omega $, su frontera $L1 \bigcup L2\bigcup L3\bigcup L4$ y correspondiente mallado de tama\~no $h=1$.}
       \label{figura101}
\end{figure}
\end{ejercicio}
{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar operamos en la ecuaci\'on:
$$-\nabla \cdot \left(\nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right)
+u(x,y)=0. $$ Teniendo en cuenta la definici\'on de
$\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$, obtenemos que:
$$-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2
u}{\partial y^2}\right)+\frac{\partial }{\partial
x}(-yu)+\frac{\partial}{\partial y}(xu)+u=0,$$
$$-\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2
u}{\partial y^2}\right)-y\frac{\partial u}{\partial
x}+x\frac{\partial u}{\partial y}+u=0.$$

Comenzamos hallando la ecuaci\'on para el nodo interior 10 de
coordenadas $(1,2)$, aplicando el esquema en diferencias que nos
dice el enunciado, 5 puntos en cruz para aproximar el operador
laplaciano y descentrado contracorriente para el t\'ermino
convectivo:
$$-\left(\frac{u_{14} + u_9 -4u_{10} +u_6
+u_{11}}{1^2}\right)+(-2)\left(\frac{u_{11}-u_{10}}{1}\right)+\frac{u_{10}-u_{6}}{1}
+u_{10}=0.$$ La ecuaci\'on para el nodo 10 es:
$$-2u_6-u_9+8u_{10}-3u_{11}-u_{14}=-2u_6+8u_{10}-3u_{11}=0,$$
puesto que $u_9=0$ y $u_{14}=0$, por la condici\'on de contorno.

Para el nodo 12,  de coordenadas $(3,2)$, nos damos cuenta de que
vamos a necesitar trabajar con un nodo ficticio $A$ a su derecha,
es decir, localizado en la coordenadas $A=(4,2)$. El esquema queda
como sigue:
$$-\left(\frac{u_{16} + u_{11} -4u_{12} +u_{A}
+u_8}{1^2}\right)+(-2)\left(\frac{u_A-u_{12}}{1}\right)+3\left(\frac{u_{12}-u_8}{1}\right)
+u_{12}=0.$$  Para eliminar el valor nodal ficticio utilizamos la
condici\'on de contorno en el nodo 12 y tenemos que como
$\overrightarrow{n}_{12}=(1,0)$, entonces:
 $$\left[-\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial
 u}{\partial y}\right)_{12}+(-2u_{12},3u_{12}) \right]\cdot(1,0)=0, \text{ es decir,} \quad  \left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)_{12}=-2u_{12}.$$
 Usando la f\'ormula en diferencias finitas centradas nos queda que $$\left(\frac{u_A-u_{12}}{1}\right)=-2u_{12}.$$ Operando queda:
$$u_A=-u_{12}.$$
 Por tanto, sustituyendo en la ecuaci\'on en diferencias que ten\'{\i}amos para el nodo 12, resulta que la ecuaci\'on para el nodo 12 es:
 $$-4u_8-u_{11}+11u_{12}-u_{16}=-4u_8-u_{11}+11u_{12}=0,$$ puesto
 que $u_{16}=0$, por la condici\'on de contorno.









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
 \begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.5}
  Sea $\Omega $ el tri\'{a}ngulo rect\'{a}ngulo de v\'{e}rtices $(0,0),$ $(4,0) $ y $(0,4).$ En \'el se considera el mallado que aparece en la Figura \ref{figuraT} y el problema siguiente:
\begin{figure}[h]
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{Figuras/fig613.eps}
    \caption{Dominio triangular $\Omega$ con un mallado de tama\~no $h=1$.}
    \label{figuraT}
\end{figure}
$$
\left\{
\begin{array}{ll}
-\nabla \cdot\left( 3 \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot \left(
\overrightarrow{V}(x,y) u(x,y)\right)+u(x,y) =f(x,y), & en\;\;\Omega, \\
[0.3cm] u(x,0)=0, \quad u(0,y)=0,  &\\ [0.3cm] \left( -3\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{V}(x,y) u(x,y)\right) \cdot
\overrightarrow{n}(x,y)=0, & en\;\;L
\end{array}
\right.
$$
donde
\[
\overrightarrow{V}(x,y)=
\begin{pmatrix}
-x\\
y
\end{pmatrix}
,\;\;\;f(x,y)=xy
\]
y $L$ es el lado que une los v\'{e}rtices $(4,0)$ y $(0,4)$ del
tri\'{a}ngulo.

Se pide obtener una aproximaci\'{o}n del valor que toma la
soluci\'{o}n en los nodos $2,$ $3,$ y $6$ del mallado mediante un esquema de diferencias
finitas de $5$ puntos en cruz para el t\'{e}rmino difusivo y
descentrado contracorriente  para el t\'{e}rmino convectivo.

\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} En primer lugar operamos en la ecuaci\'on de transporte para obtener:
$$-3\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2
u}{\partial y^2}\right)-x\frac{\partial u}{\partial
x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+u=xy.$$

Comenzamos hallando la ecuaci\'on para el nodo 6 de coordenadas
$(2,1)$, aplicando el esquema en diferencias que nos dice el
enunciado: 5 puntos en cruz para aproximar el operador laplaciano
y descentrado contracorriente para el t\'ermino convectivo,
tomando como paso de discretitaci\'on tanto en $x$ como en $y$,
$h=1$. Considerando que el valor de $u$ en el nodo que est\'a
debajo del 2 es cero por la condici\'on $u(x,0)=0$, resulta
$$-3\left(\frac{u_5+0-4u_2 + u_1+u_3
}{1^2}\right)+(-2)\left(\frac{u_3-u_2}{1}\right)+\frac{u_2-0}{1}+u_2=2,$$ es
decir, la ecuaci\'on para el nodo 2 queda:
$$-3u_1+16u_2-5u_3-3u_5=2.$$

En referencia al nodo 3 de coordenadas $(3,1)$, nos damos cuenta
de que vamos a necesitar trabajar con dos nodos ficticios, $A$ y
$B$. El esquema queda como sigue:
$$-3\left(\frac{u_2 + u_A -4u_3 +0+u_B
}{1^2}\right)+(-3)\left(\frac{u_A-u_3}{1}\right)+\frac{u_3-0}{1} +u_3=3.$$
N\'otese que el valor de $u$ en el nodo que est\'a debajo del 3, es
cero por la condici\'on $u(x,0)=0$. Para eliminar los valores
nodales ficticios utilizamos la condici\'on de contorno en los
puntos $a=(3.5,0.5)$ y $b=(2.5,1.5)$, siendo para ambos la normal
exterior
$\overrightarrow{n}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$.
Entonces:
$$\left[-3\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)_a+(-3.5u_a,0.5u_a) \right]\cdot\overrightarrow{n}=0 \quad \Longrightarrow \quad -3\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{n}}-\frac{3}{\sqrt{2}}u_a=0$$
Al aplicar la f\'ormula en diferencias descentrada para la
derivada normal se tiene
$$-3\frac{u_A-u_{a}}{\sqrt{2}/2}-\frac{3u_a}{\sqrt{2}}=0, \quad 
u_a=\frac{u_3+0}{2},$$ de donde obtenemos:
$$u_A=\frac{1}{4}u_3.$$

Por otro lado,
$$\left[-3\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)_b+(-2.5u_b,1.5u_b) \right]\cdot\overrightarrow{n}=0
\quad \Longrightarrow \quad  -3\frac{\partial u}{\partial
\overrightarrow{n}}-\frac{1}{\sqrt{2}}u_b=0.$$ Como
$$\frac{u_B-u_b}{\sqrt{2}/2}=-\frac{u_b}{3\sqrt{2}}, \quad 
u_b=\frac{u_3+u_5}{2},$$ queda entonces
$$u_B=\frac{5}{6}(u_3+u_5).$$

Por tanto, sustituyendo en la ecuaci\'on en diferencias que ten\'{\i}amos para el nodo 3, obtenemos:
$$-3u_2+\frac{57}{4}u_3-\frac{5}{4}u_{5}=3.$$

En referencia al nodo 6 de coordenadas $(1,3)$, nos damos cuenta
de que vamos a necesitar trabajar con dos nodos ficticios, $C$ y
$D$. El esquema queda como sigue:
$$-3\left(\frac{u_D+u_4 + u_A -4u_6 +0+u_C
}{1^2}\right)+(-1)\left(\frac{u_C-u_6}{1}\right)+3\left(\frac{u_6-u_4}{1}\right)+u_6=3.$$
Para eliminar los valores nodales ficticios utilizamos la
condici\'on de contorno en los puntos $c=(1.5,2.5)$ y
$d=(0.5,3.5)$, siendo para ambos la normal exterior
$\overrightarrow{n}=(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$,
entonces:
$$\left[-3\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)_c+(-1.5u_c,2.5u_c) \right]\cdot\overrightarrow{n}=0 \quad \Longrightarrow \quad  -3\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{n}}+\frac{1}{\sqrt{2}}u_c=0.$$
Utilizando la f\'ormula en diferencias descentradas, se tiene que:
$$\frac{u_C-u_c}{\sqrt{2}/2}=\frac{u_c}{3\sqrt{2}}, \quad 
u_c=\frac{u_6+u_5}{2},$$ de donde se obtiene:
$$u_C=\frac{7}{12}(u_6+u_5).$$
Por otro lado,
$$\left[-3\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}\right)_d+(-0.5u_d,3.5u_d) \right]\cdot\overrightarrow{n}=0 \quad \Longrightarrow \quad  -3\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{n}}+\frac{3}{\sqrt{2}}u_d=0.$$
Como $$\frac{u_D-u_d}{\sqrt{2}/2}=\frac{u_d}{\sqrt{2}},\quad 
u_d=\frac{u_6+0}{2},$$ resulta:
$$ u_D=\frac{3}{4}u_6.$$
Finalmente, sustituyendo en la ecuaci\'on en diferencias que tendr\'{\i}amos para el nodo 6, resulta que la ecuaci\'on para el nodo 6 es:
$$-6u_4-\frac{7}{4}u_5+\frac{149}{12}u_{6}=3.$$




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.6}
Considera el dominio abierto $\Omega $ de frontera formada por los
lados $L1,$ $L2,$ $L3$ y $L4$ de la Figura \ref{Trapecio} sobre el cual se ha efectuado el
mallado que se recoge en la figura, siendo $h=\Delta x =\Delta y
=1$. En \'el se pretende resolver mediante un m\'{e}todo en
diferencias el problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-\nabla \cdot \left( 2 \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right) +q(x,y)
u(x,y)=0, & en\;\Omega,
\\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L1 \cup L3  \\ [0.3cm] \left[ -2 \nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L2\cup L4,
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n que se considera dado por
$$
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=\begin{pmatrix}x-y\\y-x\end{pmatrix},$$
siendo adem\'as
$q(x,y)=y$, y $\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)$ el vector normal
unitario exterior en el punto $(x,y)$ de la frontera de $\Omega $.

Se pide escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el
plantear un esquema en diferencias finitas de 5 puntos en
cruz para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
descentrado con\-tra\-co\-rrien\-te para la aproximaci\'{o}n del
t\'{e}rmino convectivo, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de
las correspondientes condiciones de contorno (para las que se
utilizar\'a un esquema centrado cuando se trate de las condiciones
de flujo en la frontera), en los nodos $8$, $9$, $10$, $11$ y $12$
del mallado anterior.

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[width=0.6\textwidth]{Figuras/exam02.pdf}
   \caption{Dominio trapezoidal $\Omega$ con un mallado de tama\~no $h=1$.}
    \label{Trapecio}
\end{figure}

\end{ejercicio}


{\bf{Soluci\'on.}} Primero vamos a ver como queda la ecuaci\'on
$$-\nabla \cdot \left( 2 \nabla u(x,y)\right) +\nabla
\cdot \left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right)
+q(x,y) u(x,y)=0.$$ Operamos la parte convectiva para obtener lo
siguiente:
$$\frac{\partial}{\partial x}((x-y)u)+\frac{\partial}{\partial
y}((y-x)u)=(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}+(y-x)\frac{\partial
u}{\partial y}+2u,$$ y por tanto, tenemos que
$$-2\Delta u+(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}+(y-x)\frac{\partial
u}{\partial y}+(y+2)u=0.$$

Comenzamos a plantear la ecuaci\'on que resulta para el nodo 8 de
coordenadas $(1,1)$. Como ${\mathbf{V}}(1,1)=(0,0)$, entonces
queda:
$$-2\Delta u +3u=0.$$ Aplicando el esquema en diferencias que nos
dice el enunciado necesitamos utilizar dos nodos ficticios que
llamaremos $F_1$ y $F_2$, de coordenadas $(0,1)$ y $(1,2)$,
respectivamente, de modo que,
$$-2(u_{F_2}+0-4u_8+u_9+u_{F_1})+3u_8=0.$$
Para eliminar los valores nodales ficticios utilizamos las
condici\'on de contorno en el lado $L_4$. Consideramos los puntos
$f_1=(0.5,0.5)$ y $f_2=(1.5,1.5)$ situados en $L_4$ y aplcamos la
condici\'on de contorno en dichos puntos. Siendo el vector
velocidad en esos puntos y aplicando la f\'ormula en diferencias
centradas, como dice el enunciado, tenemos que:
$$-2\left( \frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f_1}=0\quad
\Longrightarrow \quad -2\left(
\frac{u_{F_1}-u_{2}}{\sqrt{2}}\right)=0\quad \Longrightarrow \quad
u_{F_1}=u_{2}=0,$$
$$-2\left( \frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f_2}=0\quad
\Longrightarrow \quad -2\left(
\frac{u_{F_2}-u_{9}}{\sqrt{2}}\right)=0\quad \Longrightarrow \quad
u_{F_2}=u_{9}.$$ Por tanto, la ecuaci\'on en el nodo 8 queda:
$$11u_8-4u_9=0.$$

A continuaci\'on, obtenemos las ecuaciones para los nodos
interiores: nodo 9 (2,1), nodo 10 (3,1) y nodo 11 (4,1).
Comenzamos por el nodo 9, teniendo en cuenta que
${\mathbf{V}}(2,1)=(1,-1)$, obtenemos:
$$-2(u_{13}+u_3-4u_9+u_8+u_{10})+1(u_9-u_8)+(-1)(u_{13}-u_9)+3u_9=0,$$
y por las condiciones de contorno, resulta
$$-3u_8+13u_9-2u_{10}=0.$$
En el nodo 10 se tiene que ${\mathbf{V}}(3,1)=(2,-2)$ y por tanto,
$$-2(u_{14}+u_4-4u_{10}+u_{11}+u_9)+2(u_{10}-u_9)+(-2)(u_{14}-u_{10})+3u_{10}=0,$$
$$-4u_9+15u_{10}-2u_{11}=0.$$
En el nodo 11 se tiene que ${\mathbf{V}}(4,1)=(3,-3)$ y por tanto,
$$-2(u_{15}+u_5-4u_{11}+u_{12}+u_{10})+3(u_{11}-u_{10})+(-3)(u_{15}-u_{11})+3u_{11}=0,$$
$$-5u_{10}+17u_{11}-2u_{12}=0.$$

Finalmente planteamos la ecuaci\'on que resulta para el nodo 12 de
coordenadas $(5,1)$ con ${\mathbf{V}}(5,1)=(4,-4)$. Aplicando el
esquema en diferencias necesitamos utilizar dos nodos ficticios
que llamaremos $F_3$ y $F_4$, de coordenadas $(4,2)$ y $(5,1)$,
respectivamente, de modo que,
$$-2(u_{F_3}+u_6-4u_{12}+u_{11}+u_{F_4})+4(u_{12}-u_{11})+(-4)(u_{F_3}-u_{12})+3u_{12}=0.$$
Para eliminar los valores nodales ficticios utilizamos las
condici\'on de contorno en el lado $L_2$. Consideramos los puntos
$f_3=(4.5,1.5)$ y $f_4=(5.5,0.5)$ situados en $L_2$ y tenemos que:
$$-2\left( \frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f_3}+\frac{1}{\sqrt{2}}(3u_{f_3}-3u_{f_3})=0\,
\Longrightarrow \, -2\left(
\frac{u_{F_3}-u_{11}}{\sqrt{2}}\right)=0\, \Longrightarrow \,
u_{F_3}=u_{11},$$
$$-2\left( \frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f_4}+\frac{1}{\sqrt{2}}(5u_{f_4}-5u_{f_4})=0\,
\Longrightarrow \, -2\left(\frac{u_{F_4}-u_{5}}{\sqrt{2}}\right)=0\, \Longrightarrow
\quad u_{F_4}=u_{5}=0.$$ Por tanto, la ecuaci\'on en el nodo 12
queda:
$$-12u_{11}+19u_{12}=0.
$$










%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.7} {\em (Octave)} Sea dado el PVC estacionario 2D asociado a la ecuaci\'on de
Poisson en el dominio $\Omega=(0,1)\times (0,1)$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
-\Delta u=f(x,y),\quad  (x,y)\, \in \, \Omega,\\
u(x,y)=g(x,y),\quad  (x,y)\, \in \, \partial\Omega,\\
\end{array}
\right.
\]
en donde
\begin{align*}
f(x,y) &= 4(\cos(x^2+y^2)-(x^2+y^2)\sin(x^2+y^2)),\\
g(x,y) &= 2-\sin(x^2+y^2).
\end{align*}
Aplicar el algoritmo de ecupoisson.m para calcular la soluci\'on utilizando como pasos de discretizaci\'on $\Delta x=\Delta y=0.01$. Dibujar la soluci\'on. Sabiendo que la soluci\'on exacta es $u(x,y)=2-(x^2+y^2)$, escribir el error
cometido en $(x,y)=(0.24,0.76)$.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} Introducimos los datos:\\

\texttt{$>$ a = 0; b = 1; c = 0; d = 1; dx = 0.01; dy = 0.01;}\\
\texttt{$>$ f = @(x,y) 4.*(cos(x.\^{}2+y.\^{}2)-(x.\^{}2+y.\^{}2).*sin(x.\^{}2+y.\^{}2));}\\
\texttt{$>$ g = @ (x,y) 2-sin(x.\^{}2+y.\^{}2)}\\

N\'otese que la definici\'on de la soluci\'on exacta coincide con
la de $g(x,y)$. Ejecutamos {\em ecupoisson.m} y dibujamos los resultados (aparecen mostrados en la Figura \ref{sol2d_1}):\\

\texttt{$>$  [uh,x,y,er] = ecupoisson(a,b,c,d,dx,dy,f,g,g);}\\
\texttt{$>$  surf(x,y,uh)}\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=.5]{Figuras/sol1_2d.eps}
  \caption{Soluci\'on num\'erica.
}
  \label{sol2d_1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Por \'ultimo hallamos el error cometido en $(0.24,0.76)$:\\

\texttt{$>$  x1 = find(x==0.24); y1 = find(y==0.76); u1 = uh(x1,y1);}\\
\texttt{$>$ e = u1-g(0.24,0.76)}\\

que da como resultado 1.1333$\cdot10^{-5}$.








%\newpage
\subsection{Problemas evolutivos en una dimensi\'on espacial}

\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.8}
 Consideramos el problema evolutivo unidimensional de
convecci\'{o}n si\-guien\-te:
$$
\left\{\begin{array}{rclll}\displaystyle 2\frac{ \partial
u}{\partial t}(x,t)- \frac{ \partial u}{\partial x}(x,t) & = & 2u(x,t)
, & 0< x\leq 1, & 0< t\leq 1, \\ [0.2cm] \noalign{\smallskip} u(0,
t) & = & t , & 0< t\leq 1, &
%\mbox{Condici\'on de Contorno}
\\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = &  (0.5+x)(1.5-x) , & 0\leq x\leq
1.&
%\mbox{Condici\'on Inicial}
\end{array}\right.
$$
Se pide:
\begin{enumerate}
\item[a)] Construir un esquema en diferencias finitas a partir de
una f\'{o}rmula progresiva de orden 1 para aproximar la derivada
temporal y de una f\'{o}rmula regresiva de orden 1 para aproximar
la derivada espacial.
\item[b)] Resolver el problema tomando como paso de
discretizaci\'{o}n espacial y paso de discretizaci\'{o}n temporal
$\Delta x=0.5$ y $\Delta t=0.5.$ \textquestiondown Qu\'e aproximaci\'on se obtiene en el instante $t=1$? \end{enumerate}
\end{ejercicio}


{\bf{Soluci\'on.}} {\em (a)} Primero discretizamos en la variable $t$, y al
aplicar la f\'ormula progresiva se tiene que
$$2\left(\frac{u^{n+1}(x)-u^n (x)}{\Delta t}\right)=\frac{\partial u^n (x)}{\partial x
}+2u^n (x),$$ donde $u^n (x)\sim u(x,n\Delta t)$ para $n\geq0$, que son
los pasos en $t$ que tenemos que dar para cubrir el intervalo
$t\in [0,1]$ y que est\'an asociados a los nodos $x_0=0, \ldots
, x_{N+1}=1$. A continuaci\'on, discretizamos respecto de la
variable $x$, utilizando una f\'ormula progresiva para aproximar
la derivada,
$$2\left(\frac{u^{n+1}_i-u^n_i}{\Delta t}\right)=\frac{ u^n_{i}-u^n_{i-1}}{\Delta x}+2u^n_i,$$ donde $u^n_i (x)\sim u((i-1)\Delta x,n\Delta t)$, para $i=1,\ldots,N+1$ y $n\geq0$.

En conclusi\'on, la f\'ormula que tenemos que utilizar para
resolver el problema es:
$$u^{n+1}_i=u^n_i +0.5\frac{\Delta t}{\Delta x}(u^n_{i}-u^n_{i-1})+\Delta tu^n_i,$$
para $i=1,\ldots,N+1$ y $n\geq0$.

{\em (b)} Tomando $\Delta x=0.5$ y $\Delta t=0.5$ los nodos del mallado son $x_1=0$,
$x_2=0.5$ y $x_3=1$.

Por la condici\'on inicial $u(x,0)=(0.5+x)(1.5-x)$, que aparece como dato, se tiene
que:
$$u_1^0=0.75,\quad u_2^0=1,\quad u_3^0=0.75,$$ y por la condici\'on de contorno $u(0,
t) = t$, se tiene que:
$$u_1^1=0.5, \quad u_1^2=1.$$

El resto de valores se obtienen siguiendo el esquema en diferencias obteniendo las aproximaciones:
\begin{align*}
u^1 &= (0.5, 1.625, 1) \text{, en $t=0.5$},\\
u^2 &= (1, 3, 1.1875) \text{, en $t=1$}.
\end{align*}








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.9}
Sea dado el Problema de Valor Inicial y de Contorno:

\[
(PVIC)=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} =\displaystyle D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t),
&  x\in (0,L),\quad t>0, \\[0.4cm]
\displaystyle u(0,t)=u_I (t),  &  t >0,
\\[0.4cm]
u(L,t)=u_D (t), &  t >0,
\\[0.4cm]
\displaystyle u(x,0)=u^0 (x), &  x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
siendo $L=1$, $D=1$, $u_I (t)=u_D (t)=0$, $\forall\,t>0$ (condiciones de contorno de tipo Dirichlet homog\'eneas)
y dato inicial:

$$
u^0 (x) =\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle 2x  &  x\leq 1/2 , \\[0.3cm]
\displaystyle 2(1-x)  &  x >1/2 .
\end{array}
\right.
$$
El t\'ermino de forzamiento es $f(x,t)=x+t$. Considerando una discretizaci\'on espacial $\Delta x =L/N$ y un paso temporal $\Delta t=(1/2)(L^2 /N^2 )$,
dividimos el intervalo $I=[0,L]$ en $N$ subintervalos de la forma $[x_i ,x_{i+1} ]$, $x_i =(i-1)\Delta x$, $i=1,...,N$.

Tomando $N=4$, se pide determinar la expresi\'on de la soluci\'on del problema en la forma:
$$
A\bar{u}^{n+1}=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1},
$$
calculando expl\'{\i}citamente las matrices $A$, $B$ y el vector $\bar{b}^{n+1}$ al que conduce la aplicaci\'on de un esquema en diferencias finitas centradas en el espacio y para la parte temporal un m\'etodo de tipo:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Euler expl\'{\i}cito,
\item[(b)] Euler impl\'{\i}cito,
\item[(c)] Crank-Nicolson.
\end{enumerate}

En cada uno de los tres casos, calcular la aproximaci\'on de la soluci\'on en el instante $T=\Delta t$, es decir, calcular  $\bar{u}^1 \sim u(x_i ,\Delta t)$.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

Empezaremos calculando el mallado sugerido. Al ser $N=4$ (n\'umero de sub-intervalos), se tiene $\Delta x=L/N=1/4$, $\Delta t =(1/2)(L^2 /N^2 )=1/32$, lo que asegura estabilidad del m\'etodo al cumplirse la condici\'on $\alpha=\Delta t/(\Delta x )^2 =1/2$. Los $N+1=5$ nodos del mallado son $x_i =(i-1)\Delta x =(i-1)/4$, $i=1,\ldots,5$, siendo $x_1 =0$, $x_5 =1$, los $2$ nodos frontera y $x_2$, $x_3$, $x_4$, los $N-1=3$, nodos interiores del mallado.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Al aplicar los esquemas de Euler expl\'icito se tiene:
$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D \displaystyle \left( \frac{u_{i-1}^n -2u_i^n +u_{i+1}^n}{(\Delta x)^2}\right) +f_i^{n+1},
$$
siendo $f_i^{n+1}$ el t\'ermino de forzamiento actuando s\'olo en los nodos interiores ($i=2,3,4$) en la forma:
$$
f_i^{n+1} =f(x_i , t^{n+1})=x_i +t^{n+1} =(i-1)\Delta x +(n+1)\Delta t .
$$
Operando obtenemos:
$$
u_i^{n+1} =\alpha Du_{i-1}^n +(1-2\alpha D)u_i^n+\alpha Du_{i+1}^n +\Delta t  f_i^{n+1} \text{, para $i=2,3,4$}.
$$
Al sustituir los valores de $\alpha=0.5$ y $D=1$, la soluci\'on general (para todo tiempo) en la forma $A\bar{u}^{n+1}=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1}$ ser\'a:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 0& 1/2& 0 \\
0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
0\\
\Delta t  (\Delta x +(n+1)\Delta t ) \\
\Delta t  (2\Delta x +(n+1)\Delta t)\\
\Delta t  (3\Delta x +(n+1)\Delta t)\\
0\\
\end{pmatrix},
$$

de donde $A=I_d$ al ser esquema expl\'{\i}to. Observar que la primera y \'ultima filas de la matriz $B$ son nulas para poder imponer las condiciones de contorno a trav\'es del vector $\bar{b}^{n+1}$.

Evaluando el dato inicial en los nodos del mallado se tiene:
$$
\bar{u}^0 = (u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^0 =(0, 1/2, 1, 1/2 ,0 ),
$$
y utilizando la f\'ormula para $n=0$, obtenemos que la aproximaci\'on pedida es:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{1}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & 0& 1/2& 0 \\
0 & 0 & 1/2 & 0 & 1/2  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0\\
1/2  \\
1 \\
1/2 \\
0 \\
\end{pmatrix}^{0}
+\begin{pmatrix}
0\\
0.0088 \\
0.0166 \\
0.0244 \\
0\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\
0.5088 \\
0.5166 \\
0.5244 \\
0\\
\end{pmatrix}.
$$


\item[(b)] Al aplicar el esquemas de Euler impl\'icito se tiene:

$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D \displaystyle
\left( \frac{u_{i-1}^{n+1} -2u_i^{n+1} +u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^2} \right)+f_i^{n+1}.
$$
Operando obtenemos:
$$
-\alpha D u_{i-1}^{n+1} +(1+2\alpha D )u_i^{n+1} -\alpha D u_{i+1}^{n+1} =u_i^n +\Delta t f_i^{n+1},
$$
para $i=2,3,4$ y $n\geq0$. Tenemos, por tanto, en este caso las matrices
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-\alpha D & 1+2\alpha D & -\alpha D & 0 & 0 \\
0 & -\alpha D & 1+2\alpha D & -\alpha D & 0 \\
0 & 0 & -\alpha D & 1+2\alpha D & -\alpha D  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix},
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$
y el vector $\bar{b}^{n+1}$ definido por (usando las condiciones de contorno Dirichlet homog\'eneas)
$$
\bar{b}^{n+1}= \begin{pmatrix}
u_I (t^{n+1}) \\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
u_D (t^{n+1})\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
0\\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
0\\
\end{pmatrix}.
$$
Al sustituir los valores $\alpha =1/2$, $D=1$, se tiene que la soluci\'on general (para todo tiempo) ser\'a:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/2 & 2 & -1/2 & 0 & 0 \\
0 & -1/2 & 2& -1/2& 0 \\
0 & 0 & -1/2 & 2 & -1/2  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}
0\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
0 \\
\end{pmatrix}^{n}
+\begin{pmatrix}
0\\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
0\\
\end{pmatrix}.
$$
Resolvemos el sistema mediante inversi\'on de la matriz $A$, quedando en la forma:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.2679 & 0.5357 & 0.1429 & 0.0357 & 0.0179 \\
0.0714 & 0.1429 & 0.5714& 0.1429& 0.0714 \\
0.0179 & 0.0357 & 0.1429 & 0.5357 & 0.2679  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0\\
u_2^n +\Delta t f_2^{n+1}  \\
u_3^n +\Delta t f_3^{n+1}\\
u_4^n +\Delta t f_4^{n+1} \\
0 \\
\end{pmatrix}.
$$
Para obtener la aproximaci\'on pedida, tomamos $n=0$, obteniendo:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.2679 & 0.5357 & 0.1429 & 0.0357 & 0.0179 \\
0.0714 & 0.1429 & 0.5714& 0.1429& 0.0714 \\
0.0179 & 0.0357 & 0.1429 & 0.5357 & 0.2679  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
0\\
0.5088\\
1.0166\\
0.5244\\
0 \\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0\\ 4365\\ 0.7285\\ 0.4443 \\0
\\
\end{pmatrix},
$$
que representa una aproximaci\'on de la soluci\'on exacta $u(x,\Delta t)$.



\item[(c)] Al aplicar el esquema indicado se tiene:
$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=
\frac{D}{2} \displaystyle \left[ \left(\frac{u_{i-1}^{n} -2u_i^{n} +u_{i+1}^{n}}{(\Delta x)^2} \right)
+ \displaystyle \left(\frac{u_{i-1}^{n+1} -2u_i^{n+1} +u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}\right)\right]+f_i^{n+1},
$$
para $i=2,3,4$ y $n\geq0$. Operando, tenemos que:
$$
-\frac{1}{2}\alpha D u_{i-1}^{n+1} +(1+\alpha D )u_i^{n+1} -\frac{1}{2}\alpha D u_{i+1}^{n+1} =
\frac{1}{2}\alpha D u_{i-1}^n +(1-\alpha D )u_i^n +\frac{1}{2}\alpha D u_{i+1}^n +\Delta t f_i^{n+1},
$$
de donde se obtienen las matrices
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-\alpha D/2 & 1+\alpha D & -\alpha D/2 & 0 & 0 \\
0 & -\alpha D /2& 1+\alpha D & -\alpha D/2 & 0 \\
0 & 0 & -\alpha D/2 & 1+\alpha D & -\alpha D /2  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix},
$$
$$
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\alpha D/2 & 1-\alpha D & \alpha D/2 & 0 & 0 \\
0 & \alpha D /2& 1-\alpha D & \alpha D/2 & 0 \\
0 & 0 & \alpha D/2 & 1-\alpha D & \alpha D /2  \\
0&0&0&0&0  \\
\end{pmatrix},
$$
$$
\bar{b}^{n+1}= \begin{pmatrix}
u_I (t^{n+1}) \\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
u_D (t^{n+1})\\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0\\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
0\\
\end{pmatrix}.
$$

La soluci\'on general (para todo tiempo) ser\'a por tanto:
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/4 & 3/2 & -1/4 & 0 & 0 \\
0 & -1/4 & 3/2& -1/4& 0 \\
0 & 0 & -1/4 & 3/2 & -1/4  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
$$
$$
=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/4 & 1/2 & 1/4 & 0 & 0 \\
0 & 1/4 & 1/2& 1/4& 0 \\
0 & 0 & 1/4 & 1/2 & 1/4  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
0\\
\Delta t f_2^{n+1}\\
\Delta t f_3^{n+1}\\
\Delta t f_4^{n+1}\\
0\\
\end{pmatrix}.
$$

Al igual que en el apartado anterior, la resoluci\'on de este sistema necesita la inversi\'on de la matriz $A$. En el caso de la aproximaci\'on pedida, tomamos $n=0$ y se obtiene:
$$
\bar{u}^1=(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^1 =(0, 4496, 0.6627, 0.46 ,0 ),
$$
que representa una aproximaci\'on de la soluci\'on exacta $u(x,\Delta t)$.

\end{enumerate}













%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.10}
Sea dado el Problema de Valor Inicial y de Contorno (PVIC):

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} =\displaystyle D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}-V\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+qu +f(x,t)
&  x\in (0,L),\quad t>0, \\[0.4cm]
\displaystyle u(0,t)=u_I (t),  &  t >0,
\\[0.4cm]
u(L,t)=u_D (t), &  t >0,
\\[0.4cm]
\displaystyle u(x,0)=u^0 (x), &  x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
siendo $L=1$, $D=1$, $V=-2$, $q=4$ y suponiendo un forzamiento nulo, es decir $f(x,t)\equiv 0$. Tenemos por tanto, procesos: difusivo, convectivo y reactivo. Obs\'ervese el
signo del campo de velocidades $V$ en la EDP del transporte.
La forma $-V$ es coherente con la definici\'on, usada a menudo en mec\'anica de fluidos, de derivada material:
$$
\displaystyle \frac{D u}{D t}=\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} +V\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x},
$$
a trav\'es de la cual la EDP se escribe:
$$
\displaystyle \frac{D u}{D t}=\displaystyle D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+qu.
$$
La EDP se complementa con condiciones de contorno de tipo Dirichlet no homog\'eneas de tipo transitorio (dependientes del tiempo):
$$
u_I (t)=2t ,\quad  \forall\,t>0,\qquad u_D (t)=1, \quad  \forall\,t>0,
$$
y el dato inicial:
$$
u^0 (x) =\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle 1, &  x\leq 1/2 , \\[0.3cm]
\displaystyle 2(1-x) , &  x >1/2 ,
\end{array}
\right.
$$
Considerando una discretizaci\'on espacial $\Delta x =L/N$ y un paso temporal $\Delta t=(1/2)(L^2 /N^2 )$
dividimos el intervalo $I=[0,L]$ en $N$ subintervalos de la forma $[x_i ,x_{i+1} ]$, $x_i =(i-1)\Delta x$, $i=1,..., N$.

Tomando $N=4$, se pide determinar la expresi\'on de la soluci\'on del problema en la forma
$$
A\bar{u}^{n+1}=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1},
$$
calculando expl\'{\i}citamente las matrices $A$, $B$ y el vector $\bar{b}^{n+1}$ al que conduce la aplicaci\'on de un esquema en diferencias finitas centradas en el espacio y para la parte temporal un m\'etodo de tipo:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Euler expl\'{\i}cito,
\item[(b)] Euler impl\'{\i}cito,
\item[(c)] Crank-Nicolson.
\end{enumerate}

En cada uno de los tres casos, calcular la aproximaci\'on de la soluci\'on en el instante $T=\Delta t$, es decir, calcular  $\bar{u}^1 \sim u(x_i ,\Delta t)$.
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} Empezaremos calculando el mallado sugerido. Al ser $N=4$ (n\'umero de sub-intervalos) se tiene $\Delta x=L/N=1/4$, $\Delta t =(1/2)(L^2 /N^2 )=1/32$, lo que asegura estabilidad del m\'etodo al cumplirse la condici\'on:
$$
\alpha =\displaystyle D \frac{\Delta t}{(\Delta x )^2} =\frac{1}{2}.
$$
Los $N+1=5$  nodos del mallado son:
$x_i =(i-1)\Delta x =(i-1)/4$, $i=1,\ldots,5$ siendo $x_1 =0$, $x_5 =1$, los $2$ nodos frontera y $x_2$, $x_3$, $x_4$, los $N-1=3$, nodos interiores.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Al aplicar los esquemas indicados se tiene:
$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D \displaystyle \left( \frac{u_{i-1}^n -2u_i^n +u_{i+1}^n}{(\Delta x)^2}\right)
-V\displaystyle \left( \frac{u_{i+1}^n -u_i^n }{\Delta x} \right)+q u_i^n,  $$
siendo $L=1$, $D=1$, $V=-2$, $q=4$, $f(x,t)\equiv 0$ y los par\'ametros de discretizaci\'on $\Delta x=1/4$, $\Delta t =1/32$.

La velocidad es negativa, $V=-2$,
luego utilizaremos una f\'ormula progresiva para ir contracorriente con el t\'ermino convectivo.
Definimos:
$$
\alpha =\displaystyle \frac{\Delta t}{(\Delta x )^2}=
\displaystyle \frac{1}{2}
\qquad \beta =\displaystyle \frac{\Delta t}{\Delta x }=\displaystyle \frac{1}{8}.
$$
Operando, obetemos:
$$
u_i^{n+1} =\alpha D u_{i-1}^n +(1-2\alpha D +\beta V +q\Delta t )u_i^n +(\alpha D -\beta V)u_{i+1}^n,
$$
es decir,
$$
u_i^{n+1} =\alpha  u_{i-1}^n +(1-2\alpha  -2\beta  +4\Delta t )u_i^n +(\alpha  +2\beta )u_{i+1}^n.
$$
Definimos:
$$
u_i^{n+1} =\lambda_{i-1}  u_{i-1}^n + \lambda_{i} u_i^n +\lambda_{i+1} u_{i+1}^n.
$$
siendo
$$
\lambda_{i-1} =\alpha D , \quad \lambda_i = 1-2\alpha D +\beta V +q\Delta t  , \quad  \lambda_{i+1} =
\alpha D -\beta V,
$$
para $i=2,\ldots,N$ (nodos interiores).
N\'otese que $A=I_d$ (la matriz identidad al ser esquema expl\'{\i}to) y $B$ es una matriz tridiagonal:
$$
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{i-1} & \lambda_{i} & \lambda_{i+1}  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$
Obs\'ervese que la primera y \'ultima filas de la matriz $B$ son nulas para poder imponer las condiciones de contorno a trav\'es del vector
$\bar{b}^{n+1}$, dado por:
$$
\bar{b}^{n+1}= \begin{pmatrix}
u_I (t^{n+1}) \\
0\\
0\\
0\\
u_D (t^{n+1})\\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}.
$$
Al sustituir los valores $\alpha =1/2$, $\beta =1/8$, $D=1$,  $V=-2$, $q=4$, se tiene
$$
\lambda_{i-1} =1/2 , \quad \lambda_i = -1/8  , \quad  \lambda_{i+1} = 3/4.
$$
$$
B= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & -1/8 & 3/4 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & -1/8& 3/4 &0 \\
0 & 0 & 1/2 & -1/8 & 3/4  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}.
$$
La soluci\'on general (para todo tiempo) ser\'a:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & -1/8 & 3/4 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & -1/8& 3/4 &0 \\
0 & 0 & 1/2 & -1/8 & 3/4  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
(n+1)/16\\
0  \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Evaluando el dato inicial en los $N+1$ nodos del mallado, se tiene:
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^0 =(1, 1, 1, 1/2 ,0 ).
$$
Sea $n=0$, entonces:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{1}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & -1/8 & 3/4 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 & -1/8& 3/4 &0 \\
0 & 0 & 1/2 & -1/8 & 3/4  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
1  \\
1 \\
1/2 \\
0 \\
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
1/16\\
0  \\
0 \\
0 \\
1 \\
\end{pmatrix},
$$
luego
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^1 =(0.0625, 1.1250, 0.75, 0.4375 ,1 ),
%\approx (0.0625, 0.4375, 0.7500, 0.6875, 1)
$$
que representa una aproximaci\'on de la soluci\'on exacta $u(x_i ,\Delta t)$ en los nodos del mallado.

\item[(b)] Al aplicar los esquemas indicados se tiene:
$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D \displaystyle \left(
\frac{u_{i-1}^{n+1} -2u_i^{n+1} +u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^2}\right)
-V\displaystyle \left( \frac{u_{i+1}^{n+1} -u_i^{n+1} }{\Delta x} \right)+q u_i^{n+1}.
$$
Definimos:
$$
\alpha =\displaystyle \frac{\Delta t}{(\Delta x )^2}
\qquad \beta =\displaystyle \frac{\Delta t}{\Delta x }.
$$
Operando, obtenemos
$$
-\alpha D u_{i-1}^{n+1} +(1+2\alpha D -\beta V -q\Delta t )u_i^{n+1} -(\alpha D -\beta V) u_{i+1}^{n+1} =u_i^n,
$$
es decir,
$$
\lambda_{i-1}  u_{i-1}^{n+1} + \lambda_i u_i^{n+1} +\lambda_{i+1} u_{i+1}^{n+1} =u_i^{n},
$$
siendo
$$
\lambda_{i-1} =-\alpha D , \quad \lambda_i = 1+2\alpha D-\beta V -q\Delta t  , \quad  \lambda_{i+1} =
-(\alpha D -\beta V),
$$
para $i=2,\ldots,N$ (nodos interiores), de donde:
$$
A=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{i-1} & \lambda_{i} & \lambda_{i+1}  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix},\quad
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1& 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}
$$
siendo
$$
\bar{b}^{n+1}= \begin{pmatrix}
u_I (t^{n+1}) \\
0\\
0\\
0\\
u_D (t^{n+1})\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}.
$$
Al sustituir los valores $\alpha =1/2$, $\beta =1/8$, $D=1$,  $V=-2$, $q=4$, tenemos que:
$$
\lambda_{i-1} =-1/2 , \quad \lambda_i = 17/8  , \quad  \lambda_{i+1} = -3/4,
$$
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/2 & 17/8 & -3/4 & 0 & 0 \\
0 & -1/2 & 17/8& -3/4& 0 \\
0 & 0 & -1/2 & 17/8 & -3/4  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}.
$$
La soluci\'on general (para todo tiempo) ser\'a:
$$
A\bar{u}^{n+1}=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/2 & 17/8 & -3/4 & 0 & 0 \\
0 & -1/2 & 17/8& -3/4& 0 \\
0 & 0 & -1/2 & 17/8 & -3/4  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
$$
$$
=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1} = \begin{pmatrix}
0\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
0 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
u_2^n  \\
u_3^n \\
u_4^n \\
1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Resolviendo el sistema mediante inversi\'on de la matriz $A$ se tiene:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.2587 & 0.5i75 & 0.1992 & 0.0703 & 0.0527 \\
0.0664 & 0.1328 & 0.5643& 0.01992& 0.1494 \\
0.0156 & 0.0312 & 0.1328 & 0.5175 & 0.3881  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
u_2^n  \\
u_3^n \\
u_4^n \\
1 \\
\end{pmatrix}.
$$
Evaluando el dato inicial, obtenemos:
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^0 =(1, 1, 1, 1/2 ,0 ),
$$
con condiciones de contorno:
$$
u_I (t^1 )=2\Delta t=1/16, \qquad u_D (t^1 )=u_D (\Delta t )=1.
$$
Para $n=0$, resulta:
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.2587 & 0.5i75 & 0.1992 & 0.0703 & 0.0527 \\
0.0664 & 0.1328 & 0.5643& 0.01992& 0.1494 \\
0.0156 & 0.0312 & 0.1328 & 0.5175 & 0.3881  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1/16\\
1  \\
1 \\
1/2 \\
1 \\
\end{pmatrix}^{0},
$$
luego
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^1 =(0.0625, 0.8207, 0.9502, 0.8118 ,1 ),
$$
que representa una aproximaci\'on de la soluci\'on exacta $u(x_i ,\Delta t)$ en los nodos del mallado.

\item[(c)] Al aplicar los esquemas indicados se tiene:
$$
\displaystyle \frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=
\frac{1}{2}\displaystyle \left[ D \left( \frac{u_{i-1}^{n} -2u_i^{n} +u_{i+1}^{n}}{(\Delta x)^2} \right)
-V\displaystyle \left( \frac{u_{i+1}^n -u_i^n }{\Delta x} \right)+q u_i^n  \right]+
$$
$$
+\frac{1}{2}\displaystyle \left[ D\left(  \frac{u_{i-1}^{n+1} -2u_i^{n+1} +u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^2} \right)
-V\displaystyle \left( \frac{u_{i+1}^{n+1} -u_i^{n+1} }{\Delta x} \right)+q u_i^{n+1} \right].
$$
Operando, obtenemos
$$
-\frac{1}{2}\alpha D u_{i-1}^{n+1} +[1+\alpha D -(\beta V /2)  -(q/2) \Delta t)u_i^{n+1} -\frac{1}{2}(\alpha D -\beta V] u_{i+1}^{n+1} =
$$
$$
=\frac{1}{2}\alpha D u_{i-1}^n +[1-\alpha D -(\beta V /2)+(q/2)\Delta t  ]u_i^n +\frac{1}{2}(\alpha D +\beta V) u_{i+1}^n,
$$
es decir,
$$
\lambda_{i-1}  u_{i-1}^{n+1} + \lambda_i u_i^{n+1} +\lambda_{i+1} u_{i+1}^{n+1} =
 \delta_{i-1}  u_{i-1}^{n} + \delta_i u_i^{n} +\delta_{i+1} u_{i+1}^{n},
$$
siendo las matrices
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 & 0 \\
0 & \lambda_{i-1} & \lambda_i & \lambda_{i+1} & 0 \\
0 & 0 & \lambda_{i-1} & \lambda_{i} & \lambda_{i+1}  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix},
$$
$$
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\delta_{i-1} & \delta_i & \delta_{i+1} & 0 & 0 \\
0 & \delta_{i-1} & \delta_i & \delta_{i+1} & 0 \\
0 & 0 & \delta_{i-1} & \delta_{i} & \delta_{i+1}  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix},
$$
definidas por los coeficientes:
\begin{align*}
\lambda_{i-1} &=-\frac{1}{2}\alpha D, \quad \lambda_i = 1+\alpha D -(\beta V /2) -(q/2)\Delta t  , \quad  \lambda_{i+1} =
-\frac{1}{2}(\alpha D -\beta V),\\
\delta_{i-1} &=\frac{1}{2}\alpha D , \quad \delta_i = 1-\alpha D +(\beta V /2) +(q/2)\Delta t  , \quad  \delta_{i+1} =
\frac{1}{2}(\alpha D -\beta V),
\end{align*}
para $i=2,\ldots,N$ (nodos interiores).
Al sustituir los valores:
$$
\alpha =1/2, \quad \beta =1/8, \quad D=1,  \quad V=-2, \quad q=4,
$$
se tiene:
$$
A=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/4 & 25/16 & -3/8 & 0 & 0 \\
0 & -1/4 & 25/16& -3/8& 0 \\
0 & 0 & -1/4 & 25/16 & -3/8  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
$$
y
$$
B=\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/4 & 7/16 & 3/8 & 0 & 0 \\
0 & 1/4 & 7/16& 3/8& 0 \\
0 & 0 & 1/4 & 7/16 & 3/8  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}.
$$
La soluci\'on general (para todo tiempo) ser\'a:
$$
A\bar{u}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1/4 & 25/16 & -3/8 & 0 & 0 \\
0 & -1/4 & 25/16& -3/8& 0 \\
0 & 0 & -1/4 & 25/16 & -3/8  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{n+1}=
$$
$$
=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1} =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/4 & 7/16 & 3/8 & 0 & 0 \\
0 & 1/4 & 7/16& 3/8& 0 \\
0 & 0 & 1/4 & 7/16 & 3/8  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
2(n+1)\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}.
$$
Evaluando el dato inicial se tiene:
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^0 =(1, 1, 1, 1/2 ,0 ).
$$
Sea $n=0$. Entonces,
$$
B\bar{u}^0+\bar{b}^{1} =\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/4 & 7/16 & 3/8 & 0 & 0 \\
0 & 1/4 & 7/16& 3/8& 0 \\
0 & 0 & 1/4 & 7/16 & 3/8  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
\end{pmatrix}^{0} +
\begin{pmatrix}
2\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}=
$$
$$
= \begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/4 & 7/16 & 3/8 & 0 & 0 \\
0 & 1/4 & 7/16& 3/8& 0 \\
0 & 0 & 1/4 & 7/16 & 3/8  \\
0&0&0&0&0
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
1\\
1  \\
1 \\
1/2 \\
0 \\
\end{pmatrix} +
\begin{pmatrix}
2\Delta t\\
0\\
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2\Delta t\\
1.0625\\
1\\
0.5938\\
1\\
\end{pmatrix},
$$
 y se tiene, resolviendo el sistema $A\bar{u}^{1} =B\bar{u}^0 +\bar{b}^1$ mediante inversi\'on de la matriz $A$
$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
\end{pmatrix}^{1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0.1667 & 0.6666 & 0.1664& 0.0399 & 0.0150 \\
0.0277 & 0.1109 & 0.6932& 0.1664& 0.0624 \\
0.0044 & 0.0177 & 0.1109 & 0.666 & 0.25  \\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0.0625\\
1.0625\\
1\\
0.5938\\
1\\
\end{pmatrix},
$$
luego
$$
(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 )^1 =(0.0625, 0.8980, 0.8666, 0.6786, 1 ),
$$
que representa una aproximaci\'on de la soluci\'on exacta $u(x_i ,\Delta t)$ en los nodos del mallado.



\end{enumerate}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.11} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}
+ f(x,t),\\ [0.25cm]
u(x,t)=g(x,t),\quad x=0,\quad x=1,\\[0.25cm]
u(x,0) = u_0(x),\quad  x \in(0,1),\end{array}\right.\]
donde
$$f(x,t) = 2t-x^2 + 10xt,$$
$$ g(x,t) = x^2(x-1),$$
$$u_0(x) = 0.$$
Aplicar el algoritmo ecucalor.m para calcular la soluci\'on en
el intervalo temporal [0,1] con paso de discretizaci\'on espacial
$\Delta x = 0.05$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t = 0.02$.
Dibujar la soluci\'on obtenida para $\theta= 0 $ (Euler
Expl\'{\i}cito). ?`Puedes justificar la gr\'afica obtenida?
Determinar el paso de discretizaci\'on temporal m\'aximo que
asegura estabilidad y calcular la soluci\'on para ese paso
temporal. \textquestiondown Cu\'anto vale la soluci\'on en el punto $x$ = 0.85?
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar introducimos los datos del problema que vamos a
necesitar para ejecutar {\em ecucalor.m.}:\\

\texttt{$>$ intespacio = [0 1]; intiempo = [0 1]; pasosespacio=20;}\\
\texttt{$>$ pasostiempo=50; theta = 0; c=1;}\\
\texttt{$>$ u0 = @(x) 0.*x;}\\
\texttt{$>$ g =@(t,x) x.\^{}2.*(x-1);}\\
\texttt{$>$ f = @(t,x) 2.*t-x.\^{}2+10.*x.*t;}\\

una vez hecho esto, podemos ejecutar el c\'odigo:\\

\texttt{$>$ [x,uf] = ecucalor(c,intespacio,intiempo, ...}\\
\texttt{$>$ pasosespacio,pasostiempo,theta,u0,g,f);}\\

Representamos el resultado en la Figura \ref{tercersembis1}:\\

\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(x,uf)}\\
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=.5]{Figuras/tercersembis_1.eps}
  \caption{Resultados con $\Delta x = 0.05$ y $\Delta x = 0.02$.
}
  \label{tercersembis1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Como puede observarse hay inestabilidad debido a que el paso
temporal es excesivamente grande. En este caso, el m\'aximo paso
temporal que garantiza la estabilidad ser\'a $\frac{(\Delta x)^2
}{2}$, que es $\Delta t=0.0013$, y por tanto se corresponden con
$800$ pasos temporales. Ejecutamos de nuevo el c\'odigo con este
nuevo paso de discretizaci\'on en tiempo:\\

\texttt{$>$ pasosespacio=20, pasostiempo=800;}\\
\texttt{$>$ [x,uf1] =ecucalor(c,intespacio,intiempo, ...}\\
\texttt{$>$ pasosespacio,pasostiempo,theta,u0,g,f);}\\
\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(x,uf1)}\\

Representamos los resultados en la Figura \ref{tercersembis2}, y
observamos que ahora no aparecen inestabilidades.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=.5]{Figuras/tercersembis_2.eps}
  \caption{Resultados con $\Delta x = 0.05$ y $\Delta x = 0.00013$.
}
  \label{tercersembis2}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Finalmente calculamos el valor de la soluci\'on num\'erica en
$x=0.85$: \\

\texttt{$>$ x1=min(find(x>=0.85));}\\
\texttt{$>$ uf1(x1)}\\
que resulta ser 0.4496.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Sol.12} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = \alpha \frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} +f(x,t), &
\forall\,(x,t)\in (0,L)\times (0,T),\\ [0.5cm]
u(x,t)= (x-3)^2 +e^{-t-(x-3)^2}, &  x=0,\quad x=L,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= \displaystyle e^{-(x-3)^2}, & x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
que representa un proceso de difusi\'on de la concentraci\'on de una especie qu\'{\i}mica, que se realiza durante un tiempo $T=20$ segundos, a trav\'es de una membrana
 de $L=2$ cm de longitud,
siendo $\alpha =0.015$, la difusividad de la especie.
La funci\'on:

$$
f(x,t)=3-x^2+e^{-2t}(x-1),
$$
representa un t\'ermino de forzamiento que hace que la concentraci\'on de la especie
crezca de forma no homog\'enea y no constante en el tiempo.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo ecucalor.m  para calcular la soluci\'on en el dominio $[0,L]$ y en el intervalo temporal $[0, T]$, con paso de discretizaci\'on espacial
$\Delta x=0.05$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t=0.02$, para $\theta =0$ (m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito). Determinar la concentraci\'on m\'axima y m\'{\i}nima de la especie al cabo de $T=20$ segundos. Calcular la concentraci\'on en el punto $x=1.15$ cm. \textquestiondown Sabr\'{\i}as calcular cu\'anto ha disminuido
la concentraci\'on en la frontera derecha?

\item[(b)] Manteniendo los mismos pasos de discretizaci\'on espacial y temporal,
determinar la concentraci\'on m\'axima y m\'{\i}nima de la especie al cabo de $T=2$ minutos. Calcular la concentraci\'on en el punto $x=1.15$ cm.

\end{enumerate}

Para tiempos grandes, $t\to \infty $, la soluci\'on del problema anterior se estabiliza a la soluci\'on del problema estacionario asociado definido por el PVC:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
-\alpha u^{\prime\prime} (x) =3-x^2,& \forall\,x\in (0,L),\\ [0.2cm]
u(0)= 9,\quad u(L)=1, &
\end{array}
\right.
\]
y cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es $
u (x)=\displaystyle 9-\frac{1}{\alpha } \left[ \frac{3}{2}x^2 -\frac{1}{12}x^4 +\left( 4\alpha -\frac{7}{3} \right) x\right]
$.

Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m  para calcular la soluci\'on
en el mismo intervalo $(0,L)$, $L=2$, con paso de discretizaci\'on $h=0.05$.
Se pide:

\begin{enumerate}
\item[(c)] Determinar la concentraci\'on en el punto $x=1.15$ y el error cometido.

\item[(d)] Determinar el m\'aximo y m\'{\i}nimo de concentraci\'on.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}

{\bf{Soluci\'on.}} (a) Los comando necesarios para resolver este apartado son:\\

\texttt{$>$ L = 2; intespacio= [0,L];}\\
\texttt{$>$ T = 20; intiempo = [0,T];}\\
\texttt{$>$ dx= 0.05; dt = 0.02; pasosespacio=L/dx, pasostiempo=T/dt;}\\
\texttt{$>$ theta = 0; c = 0.015;}\\
\texttt{$>$ u0 = @(x) exp(-(x-3).\^{}2);}\\
\texttt{$>$ f = @(x,t) 3-x.\^{}2+exp(-2*t).*(x-1);}\\
\texttt{$>$ g = @(x,t) (x-3).\^{}2+exp(-t-(x-3).\^{}2);}\\
\texttt{$>$ [x,uf] = ecucalor(c,intespacio,intiempo,...}\\
\texttt{$>$ pasosespacio,pasostiempo,theta,mu,u0,g,f);}\\

Calculamos la concentraci\'on m\'axima y m\'inima \\

\texttt{$>$ cmax = max(uf)}\\
\texttt{$>$ cmin = min(uf)}\\

obteniendo, 37.825 y 1, respectivamente. En el punto $x=1.15$ de la membrana, $x=x(24)$ la concentraci\'on al cabo de $T=20$ segundos es \texttt{uf(24)} =29.2232. \\
La disminuci\'on de la concentraci\'on en la frontera derecha es \texttt{g(L,0)-g(L,T)} = 0.3679.\\

(b) Usando los comandos:\\

\texttt{$>$ T2 = 120; intiempo2 = [0,T2];}\\
\texttt{$>$ pasosespacio=L/dx, pasostiempo2=T2/dt;}\\
\texttt{$>$ [x2,uf2] = ecucalor(c,intespacio,intiempo2,...}\\
\texttt{$>$ pasosespacio,pasostiempo2,theta,mu,u0,g,f);}\\

se obtiene que al cabo de $2$ minutos, \texttt{uf2(24)} = 59.9829. El m\'aximo de concentraci\'on en la membrana despu\'es de $2$ minutos es \texttt{max(uf2)}= 67.7643 y el m\'{\i}nimo es \texttt{min(uf2)} =1.\\
Dibujamos las gr\'aficas (ver Figura \ref{Evolutivo1}) de las aproximaciones obtenidas en los dos instantes $T=20$ y $T=120$ segundos con el comando: \\

\texttt{$>$ plot(x,uf,x2,uf2); legend('T=20s', 'T=120s')}\\

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/Evolutivo1.pdf}
  \caption{Aproximaciones en 20 y 120 segundos obtenidas de la concentraci\'on de la especie.}
  \label{Evolutivo1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

(c) Tenemos que usar el algoritmo {\em bvpdirichlet.m} de la siguiente forma: \\

\texttt{$>$ h = 0.05; numeronodos = ((b-a)/h)+1;}\\
\texttt{$>$ f = @(x) 3-x.\^{}2;}\\
\texttt{$>$ [xh,uh]=bvpdirichlet(0,L,numeronodos,c,0,0,f,9,1);}\\

La concentraci\'on estacionaria en el punto $x=xh(24)=1.15$ es $uh(24)=60.7692$. Definiendo la soluci\'on anal\'itica como:\\

\texttt{$>$ uexac = @(x) 9-1/c*(3/2*x.\^{}2-1/12*x.\^{}4+(4*c-7/3).*x);}\\

obtenemos que el error cometido es \texttt{abs(uh(24)-uexac(punto))} = 0.0136.\\

(d) \texttt{max(uh)} = 68.5333, y \texttt{min(uh)} =1.








































%\newpage
\section{Problemas propuestos}



\subsection{Problemas de Transporte estacionarios en dominios unidimensionales}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.1} Considerar el problema de contorno:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle -u^{\prime\prime}(x) +\frac{1}{x}u^\prime(x)-(1-\frac{1}{4x^2})u(x)=0,  &  x\in[1,4] ,\\[0.3cm]
u(1)=1, & \\[0.3cm]
u(4)=-0.47. &
\end{array}
\right.
\]
Tomando un paso de discretizaci\'on $h=1$, plantear un esquema en diferencias finitas descentrado a contracorriente y resolver el problema, expresando el resultado en forma de sistema de ecuaciones lineales $A\bar{u}=\bar{b}$.
\end{ejercicio}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.2} Considerar el problema de contorno:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle u^{\prime\prime}(x)-(x+1)u^\prime(x)+2u(x)=2,  &  x\in(0,1), \\[0.3cm]
u(0)=1, & \\[0.3cm]
u^\prime(1)=4.&
\end{array}
\right.
\]
Resolver el problema tomando un paso de discretizaci\'on $h=\frac{1}{2}$, planteando un esquema en diferencias finitas descentrado a contracorriente.
\end{ejercicio}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.3} Considerar el problema de contorno:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle u^{\prime\prime}(x)-xu^\prime(x)+2(x-2)u(x)=2,  &  x\in(0,1), \\[0.3cm]
u(0)=1, & \\[0.3cm]
u^\prime(1)=2e^2.&
\end{array}
\right.
\]
Tomando un paso de discretizaci\'on $h=\frac{1}{2}$, se pide:
\begin{enumerate}
\item[(a)] Resolver el problema planteando un esquema en diferencias finitas centradas.
\item[(b)] Resolver el problema planteando un esquema en diferencias finitas descentradas a contracorriente para el t\'ermino convectivo.
\end{enumerate}
En ambos casos puedes expresar el resultado en forma de sistema de ecuaciones lineales, $A\bar{u}=\bar{b}$.
\end{ejercicio}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.4} {\em (Octave)} Sea dado el Problema de Transporte Difusivo y Convectivo definido por el PVC:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
-u^{\prime\prime}+u^\prime=-2e^{-x},\quad \forall x\in (0,1),\\[0.25cm]
u(0)=2,\quad u(1)=e+e^{-1},\end{array}\right.\]
cuya soluci\'on
anal\'{\i}tica es: $$u(x) =e^x+e^{-x}.$$
Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m para calcular la soluci\'on en el
intervalo $[0,1]$, con paso de discretizaci\'on $h = 0.01$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Dibujar la soluci\'on anal\'{\i}tica junto con la soluci\'on
num\'erica.
\item[(b)] Determinar los valores m\'aximos y m\'{\i}nimos
de $u$ y su localizaci\'on, tanto para la soluci\'on num\'erica como para
la anal\'{\i}tica.
\item[(c)] Dibujar la gr\'afica del error cometido por el m\'etodo en $x\in[0,1]$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.5} {\em (Octave)} Sea dado el Problema de Transporte Difusivo y Convectivo
definido por el PVC:

\[ \left\{
\begin{array}{l}
-u^{\prime\prime}-4u^\prime=-16x^3+34x-1,\quad \forall x\in (0,2),\\[0.25cm]
u(0)=4,\quad u(2)=2,\end{array}\right.\] cuya soluci\'on
anal\'{\i}tica es: $$u(x) = x^4-x^3-3.5x^2 + 2x + 4,$$ siendo $u(x)$
la concentraci\'on de un contaminante.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m para calcular la soluci\'on en el
intervalo [0, 2] con paso de discretizaci\'on $h = 0.125$.
\item[(b)] Dibujar la soluci\'on anal\'{\i}tica junto con la soluci\'on
num\'erica.
\item[(c)] Determinar los valores m\'aximos y m\'{\i}nimos
de contaminaci\'on as\'{\i} como su localizaci\'on tanto para la
soluci\'on num\'erica, como para la anal\'{\i}tica. Calcular los errores
cometidos.
\item[(d)] Determinar la regi\'on m\'axima de seguridad (donde la concentraci\'on del contaminante es menor que uno), es
decir, $u(x) < 1$. Utilizar la soluci\'on anal\'{\i}tica.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.6} {\em (Octave)} Sea dado el problema de transporte definido por el PVC:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
-4 u^{\prime\prime} (x)-6u^\prime+2u = 2x^3-22x^2-4e^{-x}+20,  & \forall\,x\in (0,4),\\ [0.25cm]
u(0)= 1,\quad u(4)=34-e^{-4}, &
\end{array}
\right.
\]
y cuya soluci\'on anal\'{\i}tica en el intervalo $(0,4)$ es:
$$
u (x)=\displaystyle x^3-2x^2-e^{-x}+2.
$$
Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m  para calcular la soluci\'on con paso de discretizaci\'on $h=0.02$.
Adem\'as, se pide:

%\vspace{1.0cm}

\begin{enumerate}
\item[(a)] Determinar la temperatura m\'inima en el intervalo $(0,4)$ y el error cometido en su estimaci\'on.

\vspace{0.25cm}
\item[(b)] Utiliza el m\'etodo de Newton o el de bisecci\'on para determinar la regi\'on de la varilla para la cual $u(x)>10$. Considera una tolerancia de $10^{-3}$ y un n\'umero m\'aximo de 1000 iteraciones.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}












%\newpage
\subsection{Problemas de Transporte estacionarios en dominios bidimensionales}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.7}
 Considera el dominio abierto $\Omega $ de frontera formada por los lados $L1,$ $L2,$
$L3$ y $L4$ que se recoge en la Figura \ref{figura103}. Sobre dicho dominio se
pretende resolver mediante un m\'{e}todo en diferencias el
problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-\nabla \cdot \left(4\nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right)
+u(x,y)=0,& en\;\Omega, \\ [0.3cm] \left[ -4\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L1\bigcup L3, \\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L2\bigcup L4.
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n que se considera dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=
\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\]
Se pide escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el
plantear un esquema en diferencias finitas de 5 puntos en
cruz para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
descentrado con\-tra\-co\-rrien\-te para la aproximaci\'{o}n del
t\'{e}rmino convectivo, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de
las correspondientes condiciones de contorno, en los nodos $6$,
$8$ y $9$ del mallado dado.

\begin{figure}[h]
 \centering
       \includegraphics[width=0.4\textwidth]{Figuras/dominio4x4.png}
    \caption{Dominio $\Omega $, su frontera $L1 \bigcup L2\bigcup L3\bigcup L4$ y correspondiente mallado de tama\~no h=1.}
    \label{figura103}
\end{figure}
\end{ejercicio}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.8}
Considera el dominio
abierto $\Omega =(0,2)\times (0,3) $ de frontera formada por los lados $N$, $E$,
$S$ y $O$. Sobre dicho dominio se
pretende resolver mediante un m\'{e}todo en diferencias el
problema de contorno siguiente:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-\Delta u +\text{\normalfont{div}}
\left( \left(
 \begin{array}{c}
\displaystyle 1-x \\[0.4cm]
y-2
\end{array}
\right) u\right)+u
=x(y-2)+(y+2),\quad en\;\Omega , \\ [0.8cm]
u(x,0)=2x, \quad en\quad  S,\\ [0.8cm]
u(2,y)=2(y+2) ,\quad en\quad  E,\\ [0.8cm]
u(x,3)=5x, \quad en\quad  N,\\ [0.8cm]
\left[ -
\nabla
u(x,y)+ \left(
\displaystyle \begin{array}{c}
\displaystyle 1-x \\[0.4cm]
y-2
\end{array}
\right) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}=(y+2)(1-x+x^2),\qquad \mbox{en}\quad O.
\end{array}
\right.
\]
Se pide:

\begin{enumerate}
\item[(a)] Desarrollar las operaciones indicadas obteniendo la ecuaci\'on del transporte que define el modelo. Determinar el r\'egimen de flujo, los procesos f\'{\i}sicos y el tipo de fluido definidos por el modelo.

{\em Ayuda}: Recuerda que \normalfont{div}$(V u)=u$\normalfont{div}$(V)+V\cdot\nabla u$ y $\overrightarrow{\mathbf{n}}$ es un vector unitario y normal a la frontera correspondiente.

\item[(b)] Desarrollar las operaciones indicadas obteniendo la ecuaci\'on que define el %%@
flujo en la frontera oeste, $O$,
 y particularizarla para
los nodos $4$ y $7$ de $O$.

\item[(c)] Escribir las $6$ ecuaciones algebraicas a las que conduce el
plantear un esquema en diferencias finitas de \textbf{5 puntos en
cruz} \textbf{para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
descentrado con\-tra\-co\-rrien\-te para la aproximaci\'{o}n del
t\'{e}rmino convectivo}, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de
las correspondientes condiciones de contorno, en los nodos interiores $5$, $8$
y en los nodos $4$ y $7$ de $O$.

\item[(d)] Escribir las $6$ ecuaciones algebraicas calculadas anteriormente en forma de sistema para el vector de inc\'ognitas $\bar{u}= (u_5 ,u_8 ,u_4 ,u_7 ,u_{4a}, u_{7a})$.
\end{enumerate}



\end{ejercicio}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.9}
Considera el dominio abierto $\Omega $, de frontera formada
por los lados $L1,$ $L2,$ $L3$ y $L4$ que se recoge en la Figura \ref{figura102}.\\

Sobre dicho dominio se pretende resolver mediante un m\'{e}todo en
diferencias el problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-2\nabla \cdot\left( \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right)
+2u(x,y)=0, & en\;\Omega,
\\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L1 \bigcup L3, \\ [0.3cm] \left[ - 2\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L2\bigcup L4,
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n que se considera dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=
\begin{pmatrix}
x-y\\
x+y
\end{pmatrix}
\]y $\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)$ es el vector normal unitario
exterior en el punto $(x,y)$ de la frontera de $\Omega $. Se pide
escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el plantear
un esquema en diferencias finitas de 5 puntos en cruz
para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
contracorriente para el convectivo, junto a, en su caso, la
imposici\'{o}n de las correspondientes condiciones de contorno
(considerar f\'ormulas descentradas para aproximar las derivadas
en la direcci\'on de la normal), en los nodos $6$, $8$ y $9$ del
mallado dado.

\begin{figure}[h]
 \centering
       \includegraphics[width=0.45\textwidth]{Figuras/dom_nov.pdf}
   \caption{Dominio $\Omega$ correspondiente mallado de tama\~no h=1,
   estando el nodo 1 localizado en el origen de coordenadas $(0,0)$.}
   \label{figura102}
\end{figure}
\end{ejercicio}











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.10} {\em (Octave)} Sea dado el PVC estacionario 2D asociado a la ecuaci\'on de
Poisson en el dominio $\Omega=(0,1)\times (0,1)$:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
-\Delta u=f(x,y),\quad  (x,y)\, \in \, \Omega,\\[0.3cm]
u(x,y)=g(x,y),\quad  (x,y)\, \in \, \partial\Omega,\\
\end{array}
\right.
\]
donde
\begin{align*}
f(x,y)&=8\pi^2\sin(2\pi x)\cos(2\pi y),\\
g(x,y)&=\sin(2\pi x)\cos(2\pi y).
\end{align*}
Sabiendo que la soluci\'on exacta es
$u(x,y)=g(x,y)$, aplicar el algoritmo {\em ecupoisson.m} para calcular
la soluci\'on utilizando como pasos de discretizaci\'on $\Delta
x=\Delta y=0.01$. Dibujar la soluci\'on obtenida.
\end{ejercicio}













%\newpage
\subsection{Problemas evolutivos en una dimensi\'on espacial}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.11} Sea dado el Problema de Valor Inicial y de Contorno:
\[
(PVIC)=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=
\displaystyle \left( \frac{1}{4}\right) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} -4x,
&  x\in (0,2),\quad t>0 \\[0.6cm]
\displaystyle u(0,t)=t,  &  t >0,
\\[0.3cm]
u(2,t)=8+t, &  t >0,
\\[0.3cm]
\displaystyle u(x,0)=2x^2,&  x\in (0,2).
\end{array}
\right.
\]
Considerando una discretizaci\'on espacial $\Delta x =0.5$ y un paso temporal $\Delta t=0.5,$
se pide:

\begin{enumerate}
\item[(a)] Determinar la expresi\'on de la soluci\'on en la forma:
$$
A\bar{u}^{n+1}=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1},
$$
calculando las matrices $A$, $B$ y el vector $\bar{b}^{n+1}$, obtenidos al aplicar un esquema en diferencias finitas centradas en el espacio para la difusi\'on, descentradas contracorriente para la convecci\'on y un m\'etodo de tipo Euler expl\'{\i}cito para la parte temporal.

\item[(b)] Calcular finalmente $u^1_i \approx u(x_i ,0.5)$, $i=1,...5$, es decir, una aproximaci\'on de la soluci\'on en los nodos $x_i$ del mallado en el instante $t=0.5$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.12}
Sea dado el Problema de Valor Inicial y de Contorno:
\[
(PVIC)=\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+V\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} =\displaystyle D\frac{\partial^2 u}{\partial x^2},
&  x\in (0,1),\quad t>0 \\[0.6cm]
\displaystyle u(0,t)=4-2t,  &  t >0,
\\[0.4cm]
u(1,t)=5-2t, &  t >0,
\\[0.4cm]
\displaystyle u(x,0)=4+x,&  x\in (0,1),
\end{array}
\right.
\]
siendo $V=2$, la velocidad del fluido y $D=1/10$ el coeficiente de difusi\'on. Considerando una discretizaci\'on espacial $\Delta x =L/N=1/5$ y un paso temporal $\Delta t=1/5$,
dividimos el intervalo $I=[0,1]$ en $N=5$ subintervalos de la forma $[x_i ,x_{i+1} ]$, $x_i =(i-1)\Delta x$, $i=1,,...N+1$, $N+1=6$.

Se pide determinar la expresi\'on de la soluci\'on en la forma:
$$
\bar{u}^{n+1}=A\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1},
$$
calculando expl\'{\i}citamente la matriz $A$ y el vector $\bar{b}^{n+1}$ al que conduce la aplicaci\'on de un esquema en diferencias finitas centradas en el espacio para la difusi\'on, descentradas contracorriente para la convecci\'on y un m\'etodo de tipo Euler expl\'{\i}cito para la parte temporal.

Calcular finalmente $u^1_i \approx u(x_i ,\Delta t )$, $i=1...6$, es decir, una aproximaci\'on de la soluci\'on en los nodos del mallado.

\end{ejercicio}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
\begin{ejercicio} \label{Ej.T3.Prop.13} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial ^2 u}{\partial x^2}
+ f(x,t),\\[0.25cm]
u(x,t)=g(x,t),\quad x=0,\quad x=2,\\[0.25cm]
u(x,0) = u_0(x),\quad  x \in(0,2),\end{array}\right.\]
donde
\begin{align*}
f(x,t) &=  t\sin(x),\\
g(x,t) &= 0,\\
u^0(x) &= \left\{ \begin{array}{ll}x, & \text{ para } 0\le x \le 1 ,\\ [0.25cm]
2-x, & \text{  para } 1< x \le 2.
\end{array}\right.
\end{align*}

Aplicar el algoritmo ecucalor.m para calcular la soluci\'on en
el intervalo temporal [0,1] con paso de discretizaci\'on espacial
$\Delta x = 0.05$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t = 0.02$.
Dibujar la soluci\'on obtenida para $\theta= 0.5 $ en $t=1$.
\textquestiondown Cu\'anto vale la soluci\'on en el punto $x$ = 1?
\end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.14} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = \alpha\frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} + f(x,t), &
\forall\,(x,t)\in (0,L)\times (0,T),\\ [0.5cm]
u(x,t)= g(x,t), &  x=0,\quad x=L,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= u_0 (x),& x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
que representa un proceso de difusi\'on de la temperatura en una varilla de $L=4$ cm de longitud, siendo $\alpha=0.08$, la difusividad del material que compone la varilla. La funci\'on
$$
f(x,t)=x\sin(t)+\displaystyle\frac{x^2}{1+(x-2)^2},
$$
representa un t\'ermino de forzamiento que hace que la temperatura var\'{\i}e de forma no homog\'enea y no constante en el tiempo. El comportamiento en la frontera para todo instante $t$ vienen dado por:
$$
g(x,t)=\displaystyle t^3-t^2+e^{-t}+1+x(4-x),
$$
siendo la distribuci\'on inicial de temperaturas de la varilla dada por:
$$
u_0 (x)=\displaystyle 1 + \frac{\sin(x)}{1+(x-2)^2}.
$$


%\vspace{0.15cm}

\begin{enumerate}
\item[(a)] Tomando $\Delta x=0.01$ y $\Delta t=0.01$, calcula la soluci\'on del problema para $\theta =0.5$ (Crank-Nicolson), al cabo de 2 segundos. \textquestiondown Qu\'e temperatura se alcanza en el punto $x=1$? Compar\'ando dicha temperatura con el instante inicial, \textquestiondown la varilla en $x=1$ se ha calentado o enfriado?

%\vspace{0.15cm}
\item[(b)] Calcula la temperatura m\'inima en el instante inicial y al cabo de los 2 segundos, as\'i como los lugares de la varilla en donde se alcanzan.

%\vspace{0.15cm}
\item[(c)] Resuelve el problema para $\theta=0$ (Euler expl\'icito), con los mismos valores de $\Delta x$ y $\Delta t$ del apartado $(a)$. En caso de aparecer inestabilidades determinar, manteniendo fijo $\Delta t$, el paso de discretizaci\'on espacial $\Delta x$ m\'inimo que asegura la estabilidad y con ese valor volver a aplicar el algoritmo de Euler expl\'icito. \textquestiondown Qu\'e temperatura m\'inima se alcanza con este m\'etodo?

%\vspace{0.15cm}
\item[(d)] Representar en una misma gr\'afica el forzamiento $f(x,t)$ en los instantes $t=0$ y $t=1$. Determinar el punto donde el forzamiento es m\'aximo en ambos casos.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}











\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.15} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = \frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} +f(x,t), & \forall\,(x,t)\in (0,1)\times (0,1),\\ [0.5cm]
u(x,t)= g(x,t), &  x=0,\quad x=1,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= u_0 (x),& x\in (0,1),
\end{array}
\right.
\]
donde

$$
f(x,t)=2t-x^2+10xt,\quad g(x,t)=x^2(x-1),\quad  u_0 (x)=0.
$$


\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo ecucalor.m  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0, 1]$ con paso de discretizaci\'on espacial $\Delta x=0.05$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t=0.02$.

Dibujar la soluci\'on obtenida para $\theta =0$ (Euler expl\'{\i}cito). \textquestiondown Puedes justificar la gr\'afica obtenida?
Determinar el paso de discretizaci\'on  temporal m\'aximo que asegura estabilidad y calcular la soluci\'on para ese paso temporal.

\textquestiondown Cu\'anto vale la soluci\'on en el punto $x=0.85$?

\item[(b)] Aplicar el algoritmo de Crank-Nicolson para calcular la soluci\'on
del PVIC en las mismas condiciones. Dibujar la soluci\'on calculada y evaluarla en el punto $x=0.85$.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}





\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.16} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} - \frac{1}{10}\frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} = f(x,t), &
\forall\,(x,t)\in (0,L)\times (0,T),\\ [0.5cm]
u(x,t)= g(x,t), &  x=0,\quad x=L,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= u_0 (x),& x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
que representa un proceso de difusi\'on de la temperatura en una varilla de $L=2\pi$ cm de longitud, donde la funci\'on
$$
f(x,t)=\cos(x),
$$
representa un t\'ermino de forzamiento que hace que la temperatura var\'{\i}e de forma no homog\'enea y no constante en el tiempo. Las condiciones de contorno que definen el comportamiento de la temperatura en la frontera para todo instante $t$, vienen dadas por:
$$
g(x,t)=\displaystyle 1-\cos(x),
$$
siendo la distribuci\'on inicial de temperaturas de la varilla dada por:
$$
u_0 (x)=\displaystyle \sin(x).
$$


%\vspace{0.15cm}

\begin{enumerate}
\item[(a)] Calcula la soluci\'on del problema con $\theta =0.5$ (m\'etodo de Crank-Nicolson), para calcular la soluci\'on en el dominio $[0,2\pi]$ al cabo de 5 segundos, tomando 100 intervalos en $x$ y un paso de discretizaci\'on temporal $\Delta t=0.5$.

\vspace{0.15cm}
\item[(b)] Determinar la temperatura m\'axima y m\'inima de la varilla al cabo de $T=5$ segundos, as\'i como el lugar de la varilla donde se alcanzan.

\vspace{0.15cm}
\item[(c)] Calcular la temperatura que se alcanza en el punto medio de la varilla, es decir, en $x=\pi$. Comparando con su temperatura inicial, determina si el punto $x=\pi$, se ha enfriado o calentado.
\end{enumerate}

\end{ejercicio}











\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.17} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = \left( \frac{1}{10}\right) \frac{ \partial^2 u}{\partial x^2}, & \forall\,(x,t)\in (0,10)\times (0,5),\\ [0.5cm]
u(x,t)= g(x,t), &  x=0,\quad x=10,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= u_0 (x),& x\in (0,10),
\end{array}
\right.
\]
donde:

$$
g(x,t)=-x(x-10),\quad  u_0 (x)=\displaystyle 2x^2[H(x-3)-H(x-4)],
$$
siendo $H$ la funci\'on de Heaviside. El dato inicial $u_0 (x)$ simula un vertido a lo largo de una carretera
entre el km 3 y el km 4.

\begin{enumerate}
\item[(a)] Aplicar el algoritmo ecucalor.m  para calcular la soluci\'on
en el intervalo temporal $[0, 5]$, con paso de discretizaci\'on espacial $\Delta x=0.1$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t=0.1$.

Dibujar la soluci\'on obtenida con $\theta =0$ (Euler expl\'{\i}cito). \textquestiondown  Puedes justificar la gr\'afica obtenida?

\item[(b)] Aplicar el algoritmo del m\'etodo Euler Impl\'{\i}cito para calcular la soluci\'on
del PVIC en las mismas condiciones anteriores. Dibujar la soluci\'on calculada.

Utilizar los resultados obtenidos para aproximar el valor m\'aximo de concentraci\'on del contaminante as\'{\i} como
su localizaci\'on.

Si la concentraci\'on del contaminante fuese letal en dosis superiores a $5$, 
\textquestiondown sabr\'{\i}as aproximar la regi\'on que habr\'{\i}a que evacuar?
\textquestiondown Y al cabo de un tiempo $T=20$? (no olvides mantener las mismas condiciones aunque el tiempo sea
mayor).
\end{enumerate}

\end{ejercicio}






\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}\label{Ej.T3.Prop.18} {\em (Octave)} Sea dado el PVIC:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = \alpha \frac{ \partial^2 u}{\partial x^2} +f(x,t), &
\forall\,(x,t)\in (0,L)\times (0,T),\\ [0.5cm]
u(x,t)= g(x,t), &  x=0,\quad x=L,\\ [0.2cm]
u(x, 0)= u_0 (x),& x\in (0,L),
\end{array}
\right.
\]
que representa un proceso de difusi\'on de la temperatura que se realiza durante un tiempo $T=30$ segundos a trav\'es de una varilla
de $L=4$ cm de longitud,
siendo $\alpha =0.008$, la difusividad del material que compone la varilla.
La funci\'on

$$
f(x,t)=\displaystyle 4\cos(2x)+(x-1)e^{-t},
$$
representa un t\'ermino de forzamiento que hace que la temperatura var\'{\i}e
de forma no homog\'enea y no constante en el tiempo. Las condiciones de contorno que definen el comportamiento de la temperatura en la frontera para todo instante $t$, vienen dadas por:

$$
g(x,t)=\displaystyle \frac{t}{1+t^2}+x(x-4).
$$
La distribuci\'on inicial de temperaturas de la varilla dada por el dato inicial:

$$
 u_0 (x)=\displaystyle
\left\{
\begin{array}{ll}
0 ,& 0<x \leq 1,\\ [0.2cm]
\displaystyle x^3-1, & 1< x < 3 ,\\ [0.2cm]
0, & 3 \leq x <4.
\end{array}
\right.
$$
Aplicar el algoritmo ecucalor.m  para calcular la soluci\'on en el dominio $[0,L]$, $L=4$ y
en el intervalo temporal $[0, T]$, $T=30$ segundos, con paso de discretizaci\'on espacial
$\Delta x=0.04$ y discretizaci\'on temporal $\Delta t=0.15$. Se pide:


\begin{enumerate}
\item[(a)] Calcular la soluci\'on para $\theta =0$ (m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito). En caso de aparecer inestabilidades, determinar el paso de discretizaci\'on temporal m\'aximo que asegura la estabilidad y con este valor volver a aplicar el algoritmo de Euler expl\'{\i}cito determinando la temperatura m\'axima de la varilla al cabo de $T=30$ segundos.

Calcular la temperatura en el punto $x=2.36$.

Comparando con su temperatura inicial, determinar si el punto $x=2.36$. se ha enfriado o calentado.

\item[(b)] Manteniendo los mismos pasos de discretizaci\'on espacial y temporal,
determinar la temperatura m\'axima y m\'{\i}nima de la varilla al cabo de $T=2$ minutos y calcula la temperatura en el punto $x=2.36$.

Dibuja la gr\'afica de la temperatura en la frontera derecha en cada instante $t\in [0,T]$.

Calcular num\'ericamente el valor del m\'aximo de temperatura en la frontera derecha y el instante en el cual se alcanza el m\'aximo.
\end{enumerate}

Para tiempos grandes, $t\to \infty $, la soluci\'on del problema anterior se estabiliza a la soluci\'on del problema estacionario
asociado definido por el PVC:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
-\alpha u^{\prime\prime} (x) =\displaystyle 4\cos(2x), & \forall\,x\in (0,L),\\ [0.2cm]
u(0)= 0,\quad u(L)=0, &
\end{array}
\right.
\]
y cuya soluci\'on anal\'{\i}tica es:
$$
u (x)=\displaystyle \frac{1}{\alpha}\left[\cos(2x)-\frac{1}{4}(\cos(8)-1)x-1\right].
$$
Aplicar el algoritmo bvpdirichlet.m  para calcular la soluci\'on
en el mismo intervalo anterior $(0,L)$, $L=4$, con paso de discretizaci\'on $h=0.04$.
Se pide:

\begin{enumerate}
\item[(c)] Determinar la temperatura en el punto $x=2.36$ y el error cometido.

\item[(d)] Da una estimaci\'on de la temperatura m\'axima en el intervalo $(0,L)$, y determina el error cometido con respecto al m\'aximo de la soluci\'on anal\'itica.

\end{enumerate}
\end{ejercicio}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Aplicaciones}


\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}[Deflexi\'on de una placa]\label{Ej.T3.Aplic.1} La deflexi\'on $w(x)$ de una placa rectangular larga y uniformemente cargada, y que se encuentra bajo una fuerza de tensi\'on axial, se rige por la ecuaci\'on diferencial de segundo orden:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
\displaystyle w''(x)-\frac{S}{D}w(x)=\frac{-ql}{2D}x+\frac{q}{2D}x^2,~~~~0\leq x\leq l ,\\
w(0)= 0,\quad w(l)=0, & \\
\end{array}
\right.
\]
donde $S$ es la fuerza axial, $q$ es la intensidad de la carga uniforme, $l$ es la longitud de la placa y $D$ es la rigidez de deflexi\'on de la placa.

\begin{enumerate}
\item Aproxima la deflexi\'on de la placa en intervalos de $1$ pulgada para los valores $q=200~lb/plg^2$, $S=100~lb/plg$, $D=8.8\times10^7~lb/plg$ y $l=50~plg$ ({\em no es necesario que cambies las unidades}).
\item Si la regulaci\'on estatal fija el m\'aximo de deflexi\'on en $0.1$, \textquestiondown cumple esta placa la normativa?
\end{enumerate}
\end{ejercicio}



\vspace{0.3cm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{ejercicio}[Deformaci\'on de un cilindro]\label{Ej.T3.Aplic.2} La ecuaci\'on que analiza las relaciones de esfuerzo-deformaci\'on y las propiedades materiales de un cilindro sujeto alternativamente al calentamiento y enfriamiento viene dada por:

\[
\displaystyle \frac{1}{4K}\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial^2T}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial T}{\partial r}, \quad\quad 0.5\leq r<1,\quad t>0,
\]
\vspace{0.25cm}\\
en donde $T(r,t)$ es la temperatura, $r$ es la distancia radial respecto al centro del cilindro, $t$ es el tiempo y $K=0.0025$ es el coeficiente de difusividad.

Tomando las condiciones iniciales y de frontera dadas por
\begin{align*}
&T(0.5,t) = t, \quad\quad\quad\quad\quad t\geq 0,\\
&T(1,t) = 100+40t, \quad\quad t\geq 0,\\
&T(r,0) = 200(r-0.5), \quad 0.5\leq r\leq 1.
\end{align*}

Se pide: 
\begin{enumerate}
\item[(a)] Resolver el problema con los pasos de discretizaci\'on $\Delta r=0.1$ y $\Delta t=0.5$, utilizando el m\'etodo de Euler expl\'icito para aproximar la parte temporal.
Determinar la expresi\'on $A\bar{u}^{n+1}=B\bar{u}^n+\bar{b}^{n+1}$ de la soluci\'on \\general calculando las matrices $A$, $B$ y el vector $\bar{b}^{n+1}$.
\item[(b)] Calcular las aproximaciones obtenidas en el instante $T=0.5$.
\end{enumerate}
\end{ejercicio}








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\chapter{Soluciones a los problemas propuestos}



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\section{Resoluci\'on de ecuaciones no lineales}

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{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.1}.} $sol =  0.76625$, $niter =  5$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.2}.} {\em (a)} $x_5 =  0.88168$ con residuo  $f(x_5)=0.094766$.

{\em (b)} Tomando como semilla $x_0=1$, la aproximaci\'on dentro de la tolerancia pedida es $x_3 =  0.89541$. El residuo en este caso es $|\phi_N(x_3)-x_3|=6.4071\cdot10^{-13}$, menor que en el apartado anterior.

{\em (c)} Con $\phi_N(x)=x-f(x)/f^\prime(x)$, se obtienen las ra\'ices $z_1 = -0.82026$, $z_2 = -0.047530$ y $z_3 =  0.8954$. Tomando $\phi_1(x)=\frac{1}{\pi}\arcsin(\frac{x-1/4}{2})$ se obtiene \'unicamente la ra\'iz $z_2=-0.047530$.

{\em (d)} Utilizando el m\'etodo de Newton para resolver la ecuaci\'on $f^\prime(x)=0$, con la semilla $x_0=1.5$, se obtiene un m\'aximo de $3.2754$ localizado en el punto $x=1.5509$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.3}.} {\em (a)} Tomado $x_0 =  3$, obtenemos como aproximaci\'on $x_3 =  3.0571$.

{\em (b)} Para el m\'etodo de punto fijo obtenemos como aproximaci\'on dentro de la tolerancia pedida $x_4=3.0571$, por lo que es una iteraci\'on m\'as lento.

{\em (c)} El m\'etodo de Newton-Raphson produce la aproximaci\'on $soln =  3.0571$, con un residuo de $4.4409\cdot10^{-16}$ en 4 iteraciones, mientras que el m\'etodo de punto fijo obtiene $solpf =  3.0571$, con un residuo de $1.0411\cdot10^{-7}$ en 7 iteraciones.

{\em (d)} Utilizando el m\'etodo de Newton-Raphson obtenemos el valor $x=3.6737$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.4}.} (a) Tras dibujar la ecuaci\'on se observa que la ecuaci\'on tiene tres ra\'{\i}ces reales. Utilizando el intervalo $[-2,-1]$, se tiene
$x=-1.3193$, $itera=9$. Utilizando el intervalo $[-1,0]$,
se tiene
$x=-0.43262$, $itera=9$, y utilizando el intervalo $[1,2]$,
se tiene
$x=1.7529$, $itera=9$.

(b) Calculamos para ello la derivada de la funci\'on, obteniendo
$f' (x)=-6x^2+5$.
Utilizando el m\'etodo de Newton con $x_0=-1.5$ se tiene,
$x=-1.32$, $itera=4$.
Utilizando el el m\'etodo de Newton con $x_0=-0.5$ se tiene,
$x=-0.43232$, $itera=3$.
Utilizando el m\'etodo de Newton con $x_0=1.5$ se tiene,
$x=1.7523$, $itera=4$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.5}.} (a) El an\'alisis de la gr\'afica de la funci\'on revela que la ecuaci\'on admite una \'unica soluci\'on.
Considerando el esquema num\'erico asociado al m\'etodo de Newton como un esquema de punto fijo,
se tiene que:

$$
\phi_N (x)=x-\frac{f(x)}{f' (x)},
$$
y el esquema $x=\phi_N (x)$.
Utilizando el m\'etodo de punto fijo
con semilla $x_0 =1$, se tiene
$x=1.0875$, $itera=4$.
Utilizando el m\'etodo de Aitken con la misma semilla,
se tiene,
$x=1.0875$, $itera=3$.
Ambos m\'etodos son convergentes, pero el m\'etodo de Aitken es ligeramente m\'as r\'apido.

(b) Utilizando el m\'etodo de punto fijo
con semilla $x_0 =1$, se tiene,
$x=1.0875$, $itera=6$. Con Aitken se alcanza la misma soluci\'on, pero en $7$ iteraciones, resultando en este caso ligeramente m\'as lento.

(c) Utilizando el m\'etodo de punto fijo con semilla $x_0 =1$, la sucesi\'on no est\'a definida (aparece un NaN) en la s\'eptima iteraci\'on.
 Con Aitken se alcanza la soluci\'on  $x=1.0875$, en $7$ iteraciones. En este caso el m\'etodo de Aitken nos ha proporcionado un m\'etodo convergente, mientras que el de puntofijo no ha convergido.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.6}.} El resultado es $x=1.4096$, $itera=5$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.7}.} {\em (a)} $x=1.47498$ en 3 iteraciones. \\
{\em (b)} Definimos $\phi_2(x) = (\sqrt{x}\sin(x)+2)^{1/3}$ y obtenemos $x=1.47498$ en 3 iteraciones.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.8}.} $x=-0.56076$, $y=-1.10400$ e $itera=6$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.9}.} $x=1.77245$,
$y=1.77245$ e $itera=6$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.10}.} Resolvemos la ecuaci\'on $f(x) = x^2-2-e^x=0$ tomando $a=-2$ y $b=-\sqrt{2}$. Para esta elecci\'on tenemos que hacer $\log_2((-\sqrt{2}+2)/10^{-2})=5.8723<k=6$ iteraciones, obteneniendo $x_6 = -1.4966$. El punto de corte es $(-1.4966,0.23981)$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Prop.11}.} {\em (a)} $f$ alcanza un m\'aximo de 0.89412 y un m\'inimo de -0.39871.

{\em (b)} El \'unico punto de inflexi\'on es $(-0.46311,0.56387)$.

{\em (b)} Los puntos de intersecci\'on son $(-0.62695,0.77906)$ y $(0.96688,0.25522)$.











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T1.Aplic.1}.} Aplicando el algoritmo de Newton-Raphson para sistemas, obtenemos los siguientes valores considerando una tolerancia de $10^{-6}$: $p_2$=43.9589, $Q$=24.2662, $Q_1$= 14.1355 y $Q_2$=10.1307. Como semilla hemos considerado los valores: $p_2$=20, $Q$=2, $Q_1$= 1 y $Q_2$=1.





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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage
\section{Problemas de Valor Inicial}

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\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.1}.} Al tomar $h=0.5$, s\'olo tenemos que realizar un paso. La aproximaci\'on pedida, $y_1$, es soluci\'on de la ecuaci\'on no lineal $F(x)=x-\sqrt{2}-0.3033/x=0$, que resuelta con el m\'etodo de Newton-Raphson, tomando como semilla $x_0=\sqrt{2}$, da por soluci\'on, $x_1=1.546$ y $x_2=1.602.$
Por tanto, tomamos $y_1=1.602$.

La soluci\'on exacta del PVI es $y(t)=\sqrt{4-2e^{-t}}$, por tanto, el error cometido es
$e=|y(0.5)-y_1|=|1.669-1.602|=0.067.$







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.2}.} Los nodos temporales utilizados son $t_0=0$, $t_{0,1}=0$, $t_{0,2}=0.5$, $t_1=0.5$, $t_{1,1}=0.5$ y $t_{1,2}=1$. Para el primer paso tenemos que $y_{0,1}=y_{0,2}=1$ y $y_1=0.75$. Para el segundo paso $y_{1,1}=0.75$, $y_{1,2}=0.46875$ y la aproximaci\'on pedida es $y_2=0.499515$.

La soluci\'on exacta del PVI es $y(t)=\frac{1}{t^2+1}$, por lo que el error cometido por el m\'etodo en $t=1$ es $e = |y(1)-y_2|=0.000485$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.3}.} Los nodos temporales utilizados son $t_0=0$, $t_{0,1}=0$, $t_{0,2}=0.5$, $t_1=0.5$, $t_{1,1}=0.5$ y $t_{1,2}=1$. Para el primer paso tenemos que $y_{0,1}=1$, $y_{0,2}=0.5$ y $y_1=0.64695$. Para el segundo paso $y_{1,1}=0.64695$, $y_{1,2}=0.302069$ y la aproximaci\'on pedida es $y_2=0.412502$.

La soluci\'on exacta del PVI es $y(t)=\frac{1}{e^t}=e^{-t}$, por lo que el error cometido por el m\'etodo en $t=1$ es $e = |y(1)-y_2|=0.04462$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.4}.} Los nodos temporales utilizados son $t_0=0$, $t_{0,1}=0$, $t_{0,2}=0.5$, $t_1=0.5$, $t_{1,1}=0.5$ y $t_{1,2}=1$. Para el primer paso tenemos que $y_{0,1}=1$, $y_{0,2}=1$ e $y_1=1.25$. para el segundo paso $y_{1,1}=1.25$, $y_{1,2}=1.809017$ y la aproximaci\'on pedida es $y_2=2.202007$.

La soluci\'on exacta del PVI es $y(t)=(0.5t^2+1)^2$, por lo que el error cometido por el m\'etodo en $t=1$ es $e = |y(1)-y_2|=0.04793$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.5}.} {\em (a)} En la primera iteraci\'on se obtiene $y_1=0.4375$ al resolver con bisecci\'on la ecuaci\'on $y_1-0.5\sqrt{1-y_1^2}=0$ con un intervalo inicial de $[0,0.5]$.

En la segunda iteraci\'on se obtiene la aproximaci\'on pedida $y_2=0.78906$ al resolver con biseci\'on la ecuaci\'on $y_2-0.5\sqrt{1-y_1^2}-0.4375=0$ con el intervalo inicial $[0.4375,1]$. El error cometido es de $0.052408$.

{\em (b)} La gr\'afica se encuentra en la Figura \ref{CMFig1}. La aproximaci\'on es $0.66687$ cometiendo un error de $4.5331\cdot10^{-6}$.
\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.3]{Figuras/Parcial_ITI_CM2_1617_A_Fig1.pdf}
      \caption{Aproximaci\'on obtenida de $y(t)=\sen(x)$ en el intervalo $[0,1.5]$ junto con la recta $y=0.6$.}
   \label{CMFig1}
\end{figure}

{\em (c)} Intervalo aproximado $=[0.65, 1.5]$, Intervalo exacto $=[0.6435, 1.5]$, cometi\'endose un error de $0.0064987$ en el extremo izquierdo.

{\em (d)} El error m\'aximo es de $4.6758\cdot10^{-6}$ (ver Figura \ref{CMFig2}).
\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.3]{Figuras/Parcial_ITI_CM2_1617_A_Fig2.pdf}
   \caption{Gr\'afica del error.}
   \label{CMFig2}
\end{figure}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.6}.} En la Figura \ref{segundosem3} aparece la soluci\'on aproximada junto con la exacta. Puede observarse que los resultados son muy parecidos y en la gr\'afica aparecen solapados.

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/sol_segundosem3.eps}
  \caption{Con c\'{\i}rculos rojos aparecen representados los resultados obtenidos con Heun y con asteriscos azules
  los obtenidos con Simpson (rungekuttao3).}
  \label{segundosem3}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Los resultados obtenidos para cada uno de los m\'etodos para $t=0.1$, $t=0.5$ y $t=1$ son $1.82623$, $1.43530$, $1.22542$ para {\em heun.m} y $1.82621$, $1.43527$, $1.22540$ para {\em rungekuttao3.m} respectivamente.











%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.7}.} S\'olo la soluci\'on $y2$ es estable ya que  $y1$ oscila de manera explosiva e $y3$ oscila de manera amortiguada. El l\'{\i}mite de estabilidad de este problema es $h_e <1/6$.  Aparecen oscilaciones que son amortiguadas hasta $h< 1/3$, luego constantes para $h=1/3$ y finalmente  explosivas para $h>1/3$.
Para su determinaci\'on se define el cambio de variable $y(t)=\ln (v(t)+t)+1$ y se estudia el problema para $v(t)$.

El m\'{\i}nimo de concentraci\'on se da en el instante $t=(1/6)\ln (60)=0.68239$
y un valor de $0.83637$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.8}.} (a) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (19)=18h=3.6$ y $u_{ee}(19)=49.892$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(3.6)=68.499$, por tanto, el error cometido
es $e_{ee}=18.607$. Para calcular la soluci\'on en el instante  $t=3.627$,
se define $Nh=5000$, lo que nos da $h=10^{-3}$ y se ejecuta
nuevamente el algoritmo. Se tiene  $u_{ee}(3628)=70.245$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(3.627)=70.372$, por tanto, el error cometido
es $e_{ee} =0.12722$.

(b) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (19)=18h=3.6$, con
$u_{ei}(19)=103.93$ y $u_{cn} (19)=68.286$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(3.6)=68.499$, por tanto, los errores cometidos son
$e_{ei} =35.435$ y $e_{cn} =0.21256$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.9}.} (a) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (26)=25h=1.25$ y $u_{ee}(26)=1.2347$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(1.25)=1.2876$ por tanto, el error cometido
es $e_{ee} =0.052912$. El m\'{\i}nimo de concentraci\'on se da en el instante $t=1$
con valores $y(1)=1.2752$ y $t (21)=20h=1.0$ con $u_{ee}(21)= 1.2271$.

En caso de haber resuelto el problema con paso de discretizaci\'on $h=0.004$ y pidiendo la evaluaci\'on en $t=1.24$, se tendr\'{\i}a: $Nh=500$, $t(311)=310h=1.24$, $u_{ee}(311)=1.2827$, $y(1.24)=1.2866$ y $e_{ee}=0.003865$.

(b) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (26)=1.25$, con
$u_{he}(26)=1.2869$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(1.25)=1.2876$ y el error cometido es
$e_{he} =7.009\times 10^{-4}$. El m\'etodo m\'as preciso es el de Heun.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.10}.} Es claro que s\'olo $u_{ee1}$ es estable ya que $u_{ee2}$ oscila inicialmente mientras que $u_{ee3}$ oscila de manera constante. El l\'{\i}mite de estabilidad de este problema es $h_e <0.25$,
aparecen oscilaciones que son amortiguadas hasta $h< 0.5$, luego constantes para $h=0.5$ y finalmente  explosivas para $h>0.5$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.11}.} (a) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (2)=h=0.2$ y $u_{ee}(2)=0.8$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(0.2)=1.4181$, por tanto, el error cometido
es $e_{ee} (0.2)=0.6181.$

(b) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (2)=h=0.2$, con
$u_{ei}(2)=1.5568$ y $u_{cn}=1.3073$
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(0.2)=1.4181$ por tanto, los errores cometidos son
$e_{ei}(0.2)=0.13867$ y $e_{cn} (0.2)=0.11080$. El m\'etodo m\'as preciso es el de Crank-Nicolson.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.12}.} (a) Puesto que $t(m)=(m-1)h$, se tiene $t (107)=106h=10.6$ y $u_{ee}(107)=6.9828$.
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(10.6)=2.4510$, por tanto, el error cometido
es $e_{ee} =4.5318.$

(b) Puesto que $t(m)=(m-1)h$ se tiene $t (107)=10.6$, con
$u_{he}(107)=4.0716$ y $u_{sim}=2.4210$
La soluci\'on anal\'{\i}tica es $y(10.6)=2.4510$, por tanto, los errores cometidos son
$e_{he} =1.6205$ y $e_{sim}=0.029969$. El m\'etodo m\'as preciso es el de Simpson.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.13}.} S\'olo $u_{ee3}$ es estable ya que $u_{ee2}$ oscila inicialmente, mientras que $u{ee1}$ oscila de manera explosiva. El l\'imite de estabilidad de este problema es $h_e<0.1$, aparecen oscilaciones que son amortiguadas hasta $h<0.2$, luego constantes para $h=0.2$ y finalmente explosivas para $h>0.2$. Para la determinaci\'on de la soluci\'on exacta se define el cambio de variable $y(t) = 2-v(t)$ y se estudia el problema para $v(t)$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.14}.} (a) Puesto que $t(m) = (m-1)h$, se tiene $t(13) = 12h = 0.3$ y $u_{ee}(13) = 3.9320$. La soluci\'on anal\'itica es $y(0.3) = 3.9468$, por tanto, el error cometido es $e_{ee}= 0.014752$.

(b) Puesto que $t(m) = (m-1)h$, se tiene $t(13) = 12h = 0.3$, con $u{ei}(4) = 3.9621$ y $u_{cn} = 3.9468$. La soluci\'on anal\'itica es $y(0.3) = 3.9468$, por tanto, los errores cometidos son $e_{ei} = 0.015335$ y $e_{cn}= 5.9019\times10^{-5}$.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.15}.} (a) Puesto que $t(m) = (m-1)h$, se tiene $t(311) = 310h = 1.24$ y $u_{ee}(311) = 0.38373$. La soluci\'on anal\'itica es $y(1.24) = 0.38433$, por tanto, el error cometido es $e_{ee} = 6.0292\times10^{-4}$. El m\'inimo de concentraci\'on se da en el instante $t = 1$, con valores $y(1) = 0.37754$ y $u_{ee}(251) = 0.37706$.

(b) Puesto que $t(m) = (m-1)h$, se tiene $t(311) = 1.24$, con $u{he}(311) = 0.38433$ y $u{sim}(311) = 0.38433$. La soluci\'on anal\'itica es $y(1.24) = 0.38433$ y los errores cometidos son $e_{he} = 4.0405\times10^{-8}$ y $e_{sim} = 3.1418\times10^{-11}$. El m\'etodo m\'as preciso es el de Simpson (rungekuttao3.m).





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.16}.} (a) Soluci\'on exacta 2.5992. El m\'as preciso es Simpson y el menos, Euler explícito.
\[
\begin{tabular}{ccc}
    & Aproximaci\'on ($pos=20$) & Error \\
Euler Expl\'icito & 2.4095 & 0.18964 \\
Euler Impl\'icito & 2.7882 &  0.18901 \\
Heun  & 2.6151 & 0.015927 \\
Simpson (rungekuttao3) & 2.5990 & 1.5213$\cdot10^{-4}$ \\
\end{tabular}
\]
(b) La gr\'afica del error se muestra en la Figura \ref{err1}:
\begin{figure}[h]
  \centering\includegraphics[scale=0.25]{Figuras/GraficaErrorIAJun15.png}
     \caption{Gr\'afica del error del Problema \ref{Ej.T2.Prop.16}}
  \label{err1}
\end{figure}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Prop.17}.} (a) Soluci\'on exacta 1.49. El m\'as preciso es Simpson y el menos, Euler impl\'{i}cito.
\[
\begin{tabular}{ccc}
    & Aproximaci\'on ($pos=8$) & Error \\
Euler Expl\'icito & 1.4123 & 0.077721 \\
Euler Impl\'icito & 1.5719 &  0.081884 \\
Heun  & 1.4888 & 0.0012153 \\
Simpson (rungekuttao3) & 1.4900 & 3.6444$\cdot10^{-5}$ \\
\end{tabular}
\]

(b) La gr\'afica del error se muestra en la Figura \ref{err2}:
\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.25]{Figuras/GraficaError.png}
   \caption{Gr\'afica del error del Problema \ref{Ej.T2.Prop.17}}
  \label{err2}
\end{figure}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Aplic.1}.} {\bf{Capa l\'{\i}mite laminar.}} Este ejercicio lo resolvemos utilizando el siguiente c\'odigo Octave:

\texttt{$>$ odefun1=@(t,x,y,z) y;}\\
\texttt{$>$ odefun2=@(t,x,y,z) z;}\\
\texttt{$>$ odefun3=@(t,x,y,z) -x.*z;}\\
\texttt{$>$ inicial1=0;}\\
\texttt{$>$ inicial2=0;}\\
\texttt{$>$ inicial3=0.47;}\\
\texttt{$>$ Nh=1000;}\\
\texttt{$>$ tspan=10;}\\
\texttt{$>$ n=1001;}\\
\texttt{$>$ h=0.01;}\\
\texttt{$>$ t=ones(n);}\\
\texttt{$>$ x=ones(n);}\\
\texttt{$>$ y=ones(n);}\\
\texttt{$>$ z=ones(n);}\\
\texttt{$>$ x(1)=inicial1;}\\
\texttt{$>$ y(1)=inicial2;}\\
\texttt{$>$ z(1)=inicial3;}\\
\texttt{$>$ t(1)=0;}\\
\texttt{$>$ for i=2:n;}\\
\texttt{$>$  t(i)=h.*(i-1); }\\
\texttt{$>$  x(i)=x(i-1)+h*odefun1(t(i-1),x(i-1),y(i-1),z(i-1));}\\
\texttt{$>$  y(i)=y(i-1)+h*odefun2(t(i-1),x(i-1),y(i-1),z(i-1)); }\\
\texttt{$>$  z(i)=z(i-1)+h*odefun3(t(i-1),x(i-1),y(i-1),z(i-1));}\\
\texttt{$>$ end}\\

El perfil pedido aparece representado en la figura \ref{perfil328}.

\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.25]{Figuras/figura328.png}
   \caption{Gr\'afica del perfil. Problema 3.28.}
  \label{perfil328}
\end{figure}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Aplic.2}.}

\texttt{$>$odefun1=@(t,x,y) -x.\^2+y;}\\
\texttt{$>$odefun2=@(t,x,y) -2.*y+x.\^2;}\\
\texttt{$>$inicial1=1;}\\
\texttt{$>$inicial2=0;}\\
\texttt{$>$h=0.01;}\\
\texttt{$>$tspan=0.8;}\\
\texttt{$>$n=1+(tspan/h);}\\

\texttt{$>$t=ones(n);}\\
\texttt{$>$x=ones(n);}\\
\texttt{$>$y=ones(n);}\\

\texttt{$>$x(1)=inicial1;}\\
\texttt{$>$y(1)=inicial2;}\\

\texttt{$>$t(1)=0;}\\
\texttt{$>$for i=2:n;}\\
\texttt{$>$ t(i)=h.*(i-1); }\\
\texttt{$>$ x(i)=x(i-1)+h*odefun1(t(i-1),x(i-1),y(i-1));}\\
\texttt{$>$ y(i)=y(i-1)+h*odefun2(t(i-1),x(i-1),y(i-1));}\\
\texttt{$>$end}\\
\texttt{$>$plot(t,x,'r',t,y,'b');}\\
\texttt{$>$legend('y1','y2');}\\
\texttt{$>$x(n),y(n)}\\

 Los valores obtenidos tomando un paso de discretizaci\'on $h=0.01$, son $y_1=0.6451$ e $y_2=0.2185$. Los perfiles aparecen dibujados en la figura\ref{perfil329}.

\begin{figure}[h]
   \includegraphics[scale=0.25]{Figuras/figura329_y1.png}
   \includegraphics[scale=0.25]{Figuras/figura329_y2.png}
   \caption{Perfiles referentes al ejercicio 3.29.}
  \label{perfil329}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Aplic.3}.}

\texttt{$>$odefun1=@(t,x,y) y;}\\
\texttt{$>$odefun2=@(t,x,y) -6.54.*x-0.8.*y;}\\
\texttt{$>$inicial1=0;}\\
\texttt{$>$inicial2=1;}\\
\texttt{$>$h=0.05;}\\
\texttt{$>$tspan=10;}\\
\texttt{$>$n=1+(tspan/h);}\\
\texttt{$>$t=ones(n);}\\
\texttt{$>$x=ones(n);}\\
\texttt{$>$y=ones(n);}\\

\texttt{$>$x(1)=inicial1;}\\
\texttt{$>$y(1)=inicial2;}\\

\texttt{$>$t(1)=0;}\\
\texttt{$>$for i=2:n;}\\
\texttt{$>$ t(i)=h.*(i-1); }\\
\texttt{$>$ x(i)=x(i-1)+h*odefun1(t(i-1),x(i-1),y(i-1));}\\
\texttt{$>$ y(i)=y(i-1)+h*odefun2(t(i-1),x(i-1),y(i-1));}\\
\texttt{$>$ end}\\

El resultado pedido aparece representado en la figura \ref{perfil330}.

\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.25]{Figuras/figura330.png}
   \caption{Resultado del ejercicio 3.30.}
   \label{perfil330}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Aplic.4}.} La velocidad terminal te\'orica es de 24.978, que coincide (con 3 cifras decimales) con la obtenida por el m\'etodo Runge-Kutta a partir de los 12.52 segundos, al tomar un paso de discretizaci\'on $h=0.01$. La Figura \ref{vterm} muestra la velocidad de la moneda seg\'un va cayendo.

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[scale=.35]{Figuras/MMAI_S2_Ej4_Fig1.png}
 \caption{Velocidad de la moneda}
  \label{vterm}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T2.Aplic.5}.} El tanque se vac\'ia (aproximadamente) a los 56.5 minutos.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Problemas de Contorno}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.1}.} El sistema viene dado por:
\[
\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-3/2 &26/16 &-1 &0\\ 0& -4/3& 49/36& -1\\ 0& 0& 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ 0\\ 0\\ -0.47\end{pmatrix}
\]
que da como soluci\'on $(u_1,u_2,u_3,u_4)=(1, 1.78909, 1.40727, -0.47000)$.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.2}.} A\~nadiendo el nodo ficticio $x_4=3/2$, el sistema que resuelve el problema viene dado por:
\[
\begin{pmatrix}1&0&0&0\\-4 &13 &-7 &0\\ 0& -4& 10& -4\\ 0& -1& 0& 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\ 2\\ 10\\ 4\end{pmatrix}
\]
que da como soluci\'on $(u_1,u_2,u_3)=(0, 2.7297, 4.7838)$, sin considerar la aproximaci\'on $u_4$ en el nodo ficticio.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.3}.} El mallado es $x_1=0$, $x_2=0.5$, $x_3=1$ y el nodo ficticio $x_4=1.5$.
\begin{enumerate}
\item[(a)] Esquema centrado conduce a:
\[
\begin{pmatrix}-10&3&0\\4&-10&4\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\2e^2\\2e^2\end{pmatrix}
\]
con soluci\'on $(u_2,u_3,u_4)=(2.4411,6.3863,17.2192)$.
\item[(b)] Esquema descentrado conduce a:
\[
\begin{pmatrix}-11&7/2&0\\4&-10&4\\-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_2\\u_3\\u_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-9/2\\2e^2\\2e^2\end{pmatrix}
\]
con soluci\'on $(u_2,u_3,u_4)=(2.2764,6.2545,17.0545)$.

\end{enumerate}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.4}.} Los comandos necesarios son:\\
\texttt{$>$ f = @(x) -2.*exp(-x);}\\
\texttt{$>$ [xh,uh] = bvpdirichlet(0,1,101,1,1,0,f,2,exp(1)+exp(-1));}\\
Definimos la soluci\'on exacta y dibujamos ambas funciones:\\
\texttt{$>$ uexact = @(x) exp(x)+exp(-x);}\\
\texttt{$>$ figure; plot(xh,uh,xh,uexact(xh)); legend('aprox','exacta')}\\
Los resultados aparecen en la Figura \ref{tercersem1}.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.35]{Figuras/tercersem1.pdf}
  \caption{En rojo aparecen representados los resultados num\'ericos y
  en verde la soluci\'on exacta.
}
  \label{tercersem1}%}
  %\end{center}
\end{figure}

El valor m\'aximo es 3.08616 y se alcanza en $x=1$. El m\'{\i}nimo es 1.92256 y se alcanza en $x=0.27$. Los comandos utilizados son:\\
\texttt{$>$ nmax = max(uh)}\\
\texttt{$>$ nmin = min(uh)}\\
el valor m\'{\i}nimo de $u$ es , y vemos en qu\'e valores de $x$ se alcanzan:\\
\texttt{$>$ xm = find(uh==nmax)};\\
\texttt{$>$ xmin = find(uh$==$nmin)};\\
\texttt{$>$ locmax = xh(xm)}\\
\texttt{$>$ locmin = xh(xmin)}\\
Finalmente dibujamos el error cometido (v\'ease la Figura \ref{tercersem1_2}).

\begin{figure}
\centering\includegraphics[scale=.35]{Figuras/tercersem1_2.pdf}
  \caption{Funci\'on error.
}
  \label{tercersem1_2}%}
  %\end{center}
\end{figure}
\noindent\texttt{$>$ verror = abs(uh-uexact(xh));}

\texttt{$>$ figure; plot(xh,verror); title('ERROR')}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.5}.} Antes de ejecutar bvpdirichlet.m, debemos introducir:\\
\texttt{$>$ a = 0; b = 2; D = 1; V = -4; Q = 0;}\\
\texttt{$>$ f =@(x) -16.*x.\^{}3+34.*x-1;}\\
\texttt{$>$ ua = 4; ub = 2; numeronodos = 17;}\\
\texttt{$>$ [xh,uh] = bvpdirichlet(a,b,N,D,V,Q,f,ua,ub);}\\
Para dibujar en un mismo plot la soluci\'on num\'erica y la
exacta, primero debemos definir la soluci\'on exacta:\\
\texttt{$>$ solexac = xh.\^{}4-xh.\^{}3-3.5.*xh.\^{}2+2.*xh+4;}\\
\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ plot(xh,uh,'r',xh,solexac,'g')}\\
Los resultados aparecen en la Figura \ref{sem6}.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/sem6.eps}
  \caption{En rojo aparecen representados los resultados num\'ericos y
  en verde la soluci\'on exacta.
}
  \label{sem6}%}
  %\end{center}
\end{figure}
Ahora calculamos el valor m\'aximo, que da 4.32345, y el m\'{\i}nimo,  0.72331: \\
\texttt{$>$ nmax = max(uh)}\\
\texttt{$>$ nmin = min(uh)}\\
y vemos en qu\'e valores de $x$ se alcanzan:\\
\texttt{$>$ xm = find(uh>=nmax); xh(xm)}\\
\texttt{$>$ xmin = find(uh<=nmin); xh(xmin)}
El valor m\'aximo se alcanza en $x=0.25$ y el valor m\'{\i}nimo se alcanza en $x=1.625$. Tambi\'en calculamos el valor m\'aximo 4.26953 y el m\'{\i}nimo 0.68969 de la soluci\'on exacta:\\
\texttt{$>$ emin = min(solexac)}\\
\texttt{$>$ emax = max(solexac)}\\
y dibujamos el error cometido en la Figura \ref{sem6_2}.
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/sem6_2.eps}
  \caption{Funci\'on error.
}
  \label{sem6_2}%}
  %\end{center}
\end{figure}
\texttt{$>$ figure;}\\
\texttt{$>$ verror = uh-solexac;}\\
\texttt{$>$ plot(xh,verror)}

Finalmente, para la determinaci\'on de la regi\'on de seguridad se resuelve la ecuaci\'on $u(x)=1$ definiendo una funci\'on $f(x)=u(x)-1$ y aplicando dos veces el m\'etodo de Newton-Raphson.
Se tiene que para $x_0=1.5$ obtenemos $x=1.4142$ en 3 iteraciones y para $x_0=2$ obtenemos $x=1.8229$ en 4 iteraciones. Una regi\'on de seguridad es por tanto, $[1.5,1.75]$.







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.6}.}
\begin{enumerate}
\item[(a)] Temperatura m\'inima $= 0.54209$ y en $x=1.26$.\\ Con soluci\'on la soluci\'on exacta, el m\'inimo es $0.54152$, con error $=5.7613\cdot10^{-4}$.

\item[(b)] La regi\'on es $[2.9349,4]$.
\end{enumerate}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.7}.} La ecuaci\'on de Transporte que debemos aproximar es:
$$-4\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2
u}{\partial y}\right)-\frac{\partial u}{\partial
x}+\frac{\partial u}{\partial y}+u=0.$$

Ecuaci\'on para el nodo 6: $-5u_2-4u_5+19u_6-5u_7-4u_{10}=0.$


Para el nodo 8, a\~nadimos el nodo ficticio $A=(4,1)$. Utilizando la condici\'on de contorno, tenemos que $u_A=\frac{3}{4}u_8$, que sustituido en la ecuaci\'on en diferencias obtenida para el nodo 8, da lugar a la ecuaci\'on $-4u_7-\frac{61}{4}u_8-4u_{12}=0.$

Para el nodo 9, a\~nadimos el nodo ficticio $B=(-1,2)$. Utilizando la condici\'on de contorno, tenemos que $u_B=\frac{5}{4}u_9$, que sustituido en la ecuaci\'on en diferencias obtenida para el nodo 8, da lugar a la ecuaci\'on $-5u_5+14u_9-5u_{10}=0.$





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.8}.} (a) La ecuaci\'on del transporte es:
$$
-(u_{xx}+u_{yy})+\displaystyle  \left( 1-x \right) u_x +(y-2) u_y +u =x(y-2)+(y+2)
$$
El r\'egimen de flujo es estacionario bidimensional, los procesos de transporte son el difusivo y el convectivo. Hay absorci\'on y forzamiento.
El fluido es un l\'{\i}quido, ya que el campo de velocidades tiene divergencia nula.

(b) Particularizando en la frontera oeste con $\mathbf{n}=(-1,0)^T$, se obtiene la ecuaci\'on
$$
u_x -\displaystyle \left( 1-x  \right) u =(y+2)(1-x+x^2).
$$
En el nodo $4=(0,1)$,  se tiene la  ecuaci\'on $u_x -u=3$ y en el nodo $7=(0,2)$, se tiene la ecuaci\'on $u_x-u=4$.

(c) La ecuaci\'on algebraica que se verifica en el nodo $5$ es $6u_5 -u_4 -2u_{8}=10$, en el nodo $8=(1,2)$, tenemos $5 u_8 -u_{5}-u_7  =17$, en el nodo $4$, obtenemos $7u_{4}-u_{5} -2u_{7} -2u_{4a}=3$, en el nodo 7 (introduciendo el nodo artificial $7a = (-1,2)$), es $6 u_{7}-u_4 -u_8 - 2u_{7a} =4$. La ecuaci\'on de flujo en el nodo frontera $4=(0,1)$ (introduciendo el nodo artificial $4a = (-1,1)$), es $u_5-u_{4a}-2u_4 =6$, mientras que en la frontera $7=(2,2)$ (utilizando diferencias finitas centradas al ser un flujo difusivo), es $u_8-u_{7a}-2u_7=8$.

(d)
$$
\begin{pmatrix}
6 & -2 & -1 & 0 & 0 & 0   \\
-1 & 5 & 0 & -1& 0 & 0 \\
-1 & 0 & 7 & -2& -2 & 0  \\
0 & -1 & -1 & 6& 0 & -2 \\
1 & 0 & -2 & 0 & -1 & 0  \\
0 & 1 & 0 &  -2& 0 & -1\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_5 \\
u_8 \\
u_4 \\
u_7 \\
u_{4a} \\
u_{7a}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
10\\
17\\
3 \\
4\\
6\\
8
\end{pmatrix}
$$
y la soluci\'on num\'erica es $(u_5 ,u_8 ,u_4 ,u_7 ,u_{4a}, u_{7a})=(3,4,0,0,-3,-4)$.







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.9}.} La ecuaci\'on de difusi\'on-convecci\'on que hay que resolver es $-2\Delta u+(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}+(x+y)\frac{\partial u}{\partial y}+4u=0$ y las ecuaciones en los nodos pedidos son:

Nodo 6: $-2u_7+\frac{229}{20}u_6=0.$

Nodo 8: $-4u_7+18u_8-2u_9=0.$

Nodo 9: $-5u_8+15u_9=0.$






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.10}.} Introducimos los datos:\\
\texttt{$>$ a = 0; b = 1; c = 0; d = 1; dx = 0.01; dy = 0.01;}\\
\texttt{$>$ f = @(x,y) 8.*pi\^{}2.* sin (2.*pi.*x).*cos(2.*pi.*y);}\\
\texttt{$>$ g =@(x,y) sin(2.*pi.*x).* cos(2.*pi.*y);}\\
\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.5]{Figuras/sol2_2d.eps}
  \caption{Soluci\'on num\'erica.}
  \label{sol2d_2}%}
  %\end{center}
\end{figure}

N\'otese que la definici\'on de la soluci\'on exacta coincide con
la de $g(x,y)$. Ejecutamos el c\'odigo:\\
\texttt{$>$ [u,x,y,er] = ecupoisson(a,b,c,d,dx,dy,f,g,g);}\\
y dibujamos los resultados (aparecen mostrados en la figura $5.14$.\ref{sol2d_2})\\
\texttt{$>$  surf(x,y,u)}







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.11}.} {\em (a)} La soluci\'on general para $n\geq0$ viene dada por:
\[
\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\-0.5&1&0.5&0&0\\0&-0.5&1&0.5&0\\0&0&-0.5&1&0.5\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}u_1\\u_2\\u_3\\u_4\\u_5\end{pmatrix}^n+\begin{pmatrix}t^{n+1}\\-1\\-2\\-3\\8+t^{n+1}\end{pmatrix}
\]
{\em (b)} $(u_1, u_2, u_3, u_4, u_5)^1=(0.5, 0.5, 2, 4.5, 8.5)$.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.12}.}  La soluci\'on general (para todo tiempo) es:

$$
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
u_3\\
u_4\\
u_5\\
u_6 \\
\end{pmatrix}^{n+1}=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
5/2 & - 2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 5/2 & - 2& 1/2& 0 & 0 \\
0 & 0 & 5/2 & - 2 & 1/2 & 0  \\
0 & 0 & 0 & 5/2 &- 2 & 1/2   \\
0&0&0&0&0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1\\
u_2  \\
u_3 \\
u_4 \\
u_5 \\
u_6 \\
\end{pmatrix}^{n} +
\begin{pmatrix}
4-2(n+1)/5\\
0  \\
0 \\
0 \\
0 \\
5-2(n+1)/5
\end{pmatrix}
$$
Con el dato inicial $(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 ,u_6  )^0 =(4,4.2,4.4,4.6,4.8,5)$, se tiene que $(u_1 ,u_2 ,u_3 ,u_4 ,u_5 ,u_6 )^1 =(3.6, 3.8, 4, 4.2, 4.4, 4.6)$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.13}.} Puesto que nos pide utilizar el c\'odigo ecucalor.m, debemos introducir los datos siguientes comandos:\\
\texttt{$>$ intespacio = [0 2]; intiempo = [0 1]; pasosespacio=40; pasostiempo=50;}\\
\texttt{$>$ theta = 0.5; c=1;}\\
El dato inicial,\\
\texttt{$>$ u0 = @(x) x.*(heaviside(x)-heaviside(x-1))+...}\\
\texttt{$>$ (2-x).*(heaviside(x-1)-heaviside(x-2));}\\
utilizando la funci\'on {\em heaviside.m}. El dato de contorno y el forzamiento:\\
\texttt{$>$ g = @(t,x) 0.*x.*t;}\\
\texttt{$>$ f = @(t,x) t.*sin(x);}\\
Finalmente, podemos ejecutar el c\'odigo:\\
\texttt{$>$ [x,u] = ecuacalor(c,intespacio,intiempo,pasosespacio,...}\\
\texttt{$>$ pasostiempo,theta,u0,g,f);}\\
y dibujar la soluci\'on (Figura \ref{tercersem2}):\\
\texttt{$>$ plot(x,u)}\\

\begin{figure}[h]
\centering\includegraphics[scale=.45]{Figuras/tercersem2.eps}
  \caption{Soluci\'on num\'erica.
}
  \label{tercersem2}%}
  %\end{center}
\end{figure}

Por \'ultimo, calculamos lo que vale la soluci\'on en $x=1$, que es
0.35166, mediante el comando:\\
\texttt{$>$ x1 = min(find(x>=1))}\\
\texttt{$>$ u(x1)}






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.14}.} (a) La temperatura en $x=1$ es de 4.4188. \\ En el instante inicial es de 1.4207, por tanto, se ha calentado.

(b) M\'inimo inicial $= 0.84864$ en $x=4$, m\'inimo a los 2 segundos $= 2.5454$ en $x = 0.39.$

(c) $\Delta x_{min}=0.04$. Temperatura m\'inima $=2.5481.$

(d) En $t=0$, forzamiento m\'aximo en $x=2.5$. En $t=1$, forzamiento m\'aximo en $x=2.662$.
\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.25]{Figuras/forz.png}
\end{figure}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.15}.} (a) Puesto que $
\alpha =\mu \frac{\Delta t}{(\Delta x )^2} =8
$ la soluci\'on es inestable y aparecen oscilaciones.
Si definimos $\Delta t=0.00125$ entonces $\alpha =0.5$ y desaparecen las oscilaciones.
Calculando la soluci\'on, con $\Delta x=0.05$, se tiene $x(18)=0.85$
y $u(18)=0.44957058$.

(b) Se define $\theta = 0.5$, para utilizar el m\'etodo de Crank-Nicolson en el algoritmo ecucalor.m. Para la soluci\'on se tiene $x(18)=0.85$ y $u(18)=0.44957077$.





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.16}.} (a) El perfil de la soluci\'on es el siguiente:
\begin{figure}[h]
   \centering\includegraphics[scale=0.3]{Figuras/hh.png}
\end{figure}

(b) M\'aximo $=  2.2036$ en $x= 0.75398$, m\'inimo $= -3.9834$ en $x =  3.2673$,

(c) Temperatura en $x=\pi$ es de $-3.9381$ ($pos = 51$). \\
La diferencia con el instante inicial es de $3.9381$ grados, por lo que se ha enfriado.






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.17}.} (a) Puesto que $\alpha =\mu \frac{\Delta t}{(\Delta x )^2} =1,$
la soluci\'on es inestable y aparecen oscilaciones.

(b) Se define $\theta = 1$, para utilizar el m\'etodo de Euler impl\'{\i}cito en el algoritmo ecucalor.m. La representaci\'on gr\'afica muestra que han desaparecido las oscilaciones.
El m\'aximo de la concentraci\'on es $u=9.50785$ y se encuentra en el km $x=3.6$.

La regi\'on a evacuar es $x(25:48)$ que corresponde a los km $2.4-4.7$.

Al cabo de $T=20$ ya no hay concentraci\'on superior a $5$ y toda la regi\'on es segura.







%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Prop.18}.} (a) El coeficiente de estabilidad es $\alpha\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}=0.75>0.5$, por tanto, la soluci\'on presenta inestabilidades. El coeficiente m\'aximo es de $0.1$, con el cual se obtiene una temperatura m\'axima al cado de 30 segundos de 86.526 grados.

En el punto $x=2.36$ la temperatura es de $10.724$ grados.

La diferencia entre la temperatura en el instante inicial y al cabo de 30 segundos es de $1.4201$ grados, por lo que la temperatura en este punto se ha enfriado.

(b) Al cabo de 2 minutos la temperatura m\'axima es de $133.07$ grados, la temperatura m\'inima es de $-141.74$ y la temperatura en el punto $x=2.36$ es de $2.6361$ grados.

La temperatura en la frontera derecha viene dada por la funci\'on $g(4,t)=\frac{t}{1+t^2}$, que tiene por gr\'afica la Figura \ref{TFront}
\begin{figure}[h]
\centering
   \includegraphics[scale=0.25]{Figuras/FronteraDcha.png}
   \caption{Temperatura en la frontera derecha.}
    \label{TFront}
\end{figure}

La temperatura m\'axima en la frontera derecha es de $0.5$ grados y se alcanza al cabo de 1 segundo.

(c) La temperatura es de $-39.589$ grados y el error cometido es de $0.021110$.

(d) El m\'aximo num\'erico es de $113.76$, mientras que el m\'aximo de la soluci\'on anal\'itica es de $113.70$, por lo que hemos cometido un error de $0.060658$ grados.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Aplic.1}.} La aproximaci\'on de la funci\'on se muestra en la Figura \ref{deflec}.
\begin{figure}[h]
    \centering
    \includegraphics[scale=0.25]{Figuras/Deflec.png}
    \caption{Deflexi\'on producida sobre la placa.}
    \label{deflec}
\end{figure}
Alcanza valores por encima de 0.1, por lo que la placa no cumple la normativa.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\vspace{0.3cm}
{\bf Ejercicio \ref{Ej.T3.Aplic.2}.} {\em (a)}  Por el contorno $T_1^{n+1}=t^{n+1}$ y $T_6^{n+1}=100+40t^{n+1}$. \\Para $i=2,\ldots,5$ se tiene $T_i^{n+1} = (0.5-\frac{0.05}{r_i})T_{i-1}^n+\frac{0.05}{r_i}T_i^n+0.5T_{i+1}^n$.\\

$B=\begin{pmatrix}0&0&0&0&0&0\\5/12&1/12&1/2&0&0&0\\0&6/14&1/14&1/2&0&0\\0&0&7/161/16&1/2&0\\0&0&0&8/18&1/18&1/2\\0&0&0&0&0&0\end{pmatrix}$, $b=\begin{pmatrix}t^{n+1}\\0\\0\\0\\0\\100+10t^{n+1}\end{pmatrix}$ y $A=Id$.

{\em (b)} $\bar{u}^1=(0.5, 21.6666, 41.42856, 61.25, 81.1112, 120).$








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Ap\'endice A. Comandos de Octave/Matlab}

\section{Funciones}

\subsection{Definici\'on}

\begin{itemize}
\item {\bf Funciones en linea}. Se definen como cadenas de caracteres con el comando \texttt{inline}:

\medskip
\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ f = inline('x.\^{}2-3*x+2','x')} & Define la funci\'on $x^2-3x+2$ \\
& como funci\'on de $x$. \\
\texttt{$>$ g = inline('sin(x)','x')} & Define $\sin(x)$ como funci\'on de $x$. \\
\texttt{$>$ h = inline('y./sin(x)','x,y')} & Define la funci\'on $h(x)=y/\sin(x)$ \\
&como funci\'on de $x$ e $y$. \\
\end{tabular}

Como la funci\'on puede ser evaluada en vectores o matrices, debemos indicar que las operaciones $*$, \^{},$/$ tienen que hacerse t\'ermino a t\'ermino. Es decir, {\bf se escribe un punto antes de $*$, \^{} y $/$} cuando se vayan a evaluar vectores. Por ejemplo, si hubi\'eramos definido:

\smallskip
\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ f = inline('x\^{}2-3*x+2','x')} \\
\end{tabular}

entonces el comando \texttt{f(34)} funcionar\'ia pero \texttt{f([1,2,3,4])} no, ya que la multiplicaci\'on $[1,2,3,4]^2=[1,2,3,4]\cdot[1,2,3,4]$ solo puede hacerse si es t\'ermino a t\'ermino.

El punto antes de estas operaciones no es necesario si estamos haciendo operaciones entre n\'umeros $1/3, \sin(3)*\log(5), \ldots$ etc. o si por ejemplo multiplicamos \texttt{3*x} ya que la multiplicaci\'on por escalar ya se hace t\'ermino a t\'ermino.

\item {\bf Funciones an\'onimas}. Las funciones an\'onimas no usan cadenas de caracteres y en este caso se utiliza la arroba @ seguida por las variables de la funci\'on entre par\'entesis:

\smallskip
\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ f = @(x) x.$^\wedge$2-3*x+2;} \\
\texttt{$>$ g = @(x) sin(x)}. \\
\texttt{$>$ h = @(x,y) y./sin(x);} \\
\end{tabular}

{\em Matlab} recomienda el uso de funciones an\'onimas frente a las inline.

\medskip
\item Tambi\'en podemos definir funciones utilizando el comando \\\texttt{function $\ldots$ endfunction}, como en el siguiente ejemplo:

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ function y = fun(x)}\\
\texttt{$>$ \hspace{10pt}y = x.$^\wedge$2-1+exp(x);} \\
\texttt{$>$ endfunction} \\
\end{tabular}

Este tipo de funciones suele guardarse en un archivo .m (en el directorio de trabajo) de forma separada al que se le llama cada vez que queramos utilizar la funci\'on.

\end{itemize}


\subsection{Gr\'aficas}

Es importante tener en cuenta que {\bf Octave siempre dibuja vectores} de la siguiente forma:
\begin{enumerate}
\item Sean dos vectores de la misma longitud: uno $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ con las coordenadas del eje $x$ y otro $y=(y_1,y_2,\ldots,y_n)$ con las coordenadas del eje $y$.
\item El comando \texttt{plot(x,y)} construye los pares $(x_i,y_i)$ y dibuja la funci\'on mediante {\bf interpolaci\'on} de los pares $(x_i,y_i)$.
\end{enumerate}

\medskip
{\bf Ejemplos:}

\begin{itemize}
\item Para dibujar los puntos $(-1,2), (1,4), (2,8), (3,1)$ escribimos

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ x = [-1, 1, 2, 3];} \\
\texttt{$>$ y = [2, 4, 8, 1];} \\
\texttt{$>$ plot(x,y)}\\
\end{tabular}  \\

\item En el comando \texttt{plot(x,y)} podemos a\~nadir {\bf atributos} de color o forma a continuaci\'on de la pareja de vectores. Algunos de estos atributos son:

\begin{tabular}{rlrl}
 \texttt{'b'} & - blue &  \texttt{'o'} & - dibuja c\'irculos \\
\texttt{'r'} & - red & \texttt{'x'} & - dibuja cruces\\
\texttt{'g'} & - green & \texttt{'-'} & - dibuja un recta entre dos puntos sucesivos.\\
\texttt{'k'} & - black & \\
\end{tabular}

Prueba por ejemplo con los siguientes comandos:

 \begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ plot(x,y,'r')} \\
\texttt{$>$ plot(x,y,'or')} \\
\texttt{$>$ plot(x,y,'g-')}\\
\end{tabular}\\
\end{itemize}

Para dibujar la {\bf gr\'afica de una funci\'on} en un intervalo \texttt{[a,b]}, tenemos que crear un vector con numerosos puntos entre $a$ y $b$ con los comandos:

\medskip
\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ [a:n:b]} & Crea un vector con entradas desde \texttt{a} hasta \texttt{b}, con pasos de \texttt{n} en \texttt{n}.\\
\texttt{$>$ linspace(a,b,n)} & Crea un vector con $n$ entradas equiespaciadas entre \texttt{a} y \texttt{b}.\\
\end{tabular}\\

\medskip
{\bf Ejemplo:} La gr\'afica de la funci\'on $f(x)=x^2+x+1$, en el intervalo $[-2,2]$, se dibujar\'ia de la siguiente forma: \\
%\[
\begin{tabular}{cc}

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f = inline('x.\^{}2+x+1','x');} \\
\texttt{$>$ I = [-2:0.01:2];} \\
\texttt{$>$ plot(I,f(I))} \\
\end{tabular}

&

\raisebox{-.5\height}{
\includegraphics[scale=.25]{Figuras/EjFun1.pdf} }

\end{tabular}

\medskip
Prueba a dibujar $f(x)$ usando el intervalo \texttt{J=[-2:1:2]} \textquestiondown Qu\'e ocurre?




\subsection{Presentaci\'on de gr\'aficas}

\begin{itemize}
\item Para {\bf dibujar varias funciones en la misma ventana} se van a\~nadiendo al comando plot de dos en dos:

\begin{tabular}{cc}
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f = inline('x.*sin(x)','x');}\\
\texttt{$>$ g = inline('sin(x)./x','x');}\\
\texttt{$>$ I = [-5:0.01:5];}\\
\texttt{$>$ plot(I,f(I),I,g(I))}\\
\end{tabular}
&
\raisebox{-.5\height}{
\includegraphics[scale=.25]{Figuras/EjFun2.pdf} }
\end{tabular}

\noindent Despu\'es de cada "pareja de vectores" se pueden incluir atributos de color, forma, etc. Prueba con los siguientes comandos:

\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ I = [-5:0.25:5];}\\
\texttt{$>$ plot(I,f(I),'b',I,g(I)),'ok')}\\
\end{tabular}

\item Para {\bf dibujar distintas gr\'aficas en distintas ventanas} se usa el comando \texttt{figure} antes de cada plot:

\begin{tabular}{ll}
\texttt{$>$ figure(1)} \\
\texttt{$>$ f = inline('x.*sin(x)','x');} & \\
\texttt{$>$ figure(2)} \\
\texttt{$>$ g = inline('sin(x)./x','x');} & \\
\end{tabular}

\item Para {\bf dibujar varias subventanas en la misma imagen} se utiliza el comando \texttt{subplot}. La idea es crear una matriz de $m$ filas por $n$ columnas en donde incluir las gr\'aficas e ir indicando d\'onde incluir cada una con un \'indice. Por ejemplo,

\begin{tabular}{cc}

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f = inline('x.*sin(x)','x');} \\
\texttt{$>$ g = inline('sin(x)./x','x');}  \\
\texttt{$>$ I = [-5:0.001:5];} \\
\texttt{$>$ subplot(2, 1, 1)} \\
\texttt{$>$ plot(I,f(I));} \\
\texttt{$>$ subplot(2, 1, 2)}  \\
\texttt{$>$ plot(I,g(I));}\\
\end{tabular}

&
\raisebox{-.5\height}{
\includegraphics[scale=.25]{Figuras/EjFun3.pdf} }
\end{tabular}

\medskip
\item Podemos a\~nadir despu\'es de cada plot comandos para incluir un t\'itulo, nombres en los ejes, leyendas, etc.

\begin{tabular}{cc}

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f1 = inline('cos(x)','x');}\\
\texttt{$>$ f2 = inline('sin(x)','x');}\\
\texttt{$>$ I = [-5:0.01:5];}\\
\texttt{$>$ plot(I,f1(I),I,f2(I))}\\
\texttt{$>$ title('FUNCIONES SENO Y COSENO')}\\
\texttt{$>$ legend('COS(x)','SEN(x)')}\\
\texttt{$>$ xlabel('EJE X'); ylabel('EJE Y')}\\
\end{tabular}

&

\raisebox{-.5\height}{
\includegraphics[scale=.25]{Figuras/EjFun4.pdf} }

\end{tabular}

\end{itemize}



\section{Comandos y funciones \'utiles}


\subsubsection{\texttt{clear all}, \texttt{close all}, \texttt{clf}, \texttt{clc} y \texttt{warning off}}

\[
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\texttt{clear all} & Limpia las variables almacenadas hasta ese momento. \\
\hline
\texttt{clear all} & Cierra todas las gr\'aficas abiertas hasta ese momento. \\
\hline
\texttt{clf} & Limpia (sin cerrar) las gr\'aficas abiertas hasta ese momento. \\
\hline
\texttt{clc} & Limpia la ventana de comandos. \\
\hline
\texttt{warning off} & Si existen {\em warnings} no los muestra. \\
\hline
\end{tabular}
\]
Suele ser conveniente utilizar algunos de estos comandos como las primeras l\'ineas de nuestro c\'odigo (en especial \texttt{clear all}).



\subsubsection{Salida de resultados. Los comandos \texttt{disp} y \texttt{printf}}

El comando \texttt{disp('\ldots')} presenta por la ventana de comandos el texto incluido entre las comillas simples. Se puede combinar con alguna variable despu\'es de una coma para presentar (en la l\'inea siguiente) un resultado. Por ejemplo,\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ a = 2.33;}\\
\texttt{$>$ disp('La soluci\'on es'), a}\\
\end{tabular} \\

\noindent que muestra por pantalla:\\

\noindent {\em La soluci\'on es} \\
\noindent $a =  2.3300$\\


\noindent El comando \texttt{printf} es m\'as completo y permite combinar texto y variables de manera m\'as eficiente. Un ejemplo de su uso es\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ a = 2.33;}\\
\texttt{$>$ printf('La soluci\'on es \%f $\backslash$n',a)}\\
\end{tabular} \\

\noindent que muestra por pantalla: {\em La soluci\'on es $a =  2.3300$} \\

El s\'imbolo \texttt{\%} indica la posici\'on en la que queremos que se sit\'ue la variable $a$, la letra \texttt{f} le da un formato (ver la tabla para las distintas posibilidades) y el s\'imbolo \texttt{$\backslash$n} hace que Octave realice un salto de l\'inea al finalizar.

\[
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\%f & n\'umero en coma flotante (decimal) \\
\hline
\%e & notaci\'on cient\'ifica \\
\hline
\%g & como \%f o \%e pero sin ceros a la derecha \\
\hline
\%i & n\'umero entero \\
\hline
\%c & caracter \\
\hline
\%s & cadena de caracteres (string) \\
\hline
\end{tabular}
\]
Otros comandos \'utiles que se pueden incluir dentro del comando son:
\[
\begin{tabular}{|c|l|}
\hline
\%n & nueva l\'inea \\
\hline
\%t & tabular \\
\hline
\%b & elimina un espacio \\
\hline
\end{tabular}
\]

Se pueden incluir varias variables en el comando \texttt{printf}, teniendo en cuenta que el orden de los \%, coincide con el orden de las variables separadas por comas al final del comando. Por ejemplo,\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ niter = 9;z = log(10);}\\
\texttt{$>$ printf('Al cabo de \%i iteraciones el resultado es \%g $\backslash$n',niter,z)}\\
\end{tabular} \\

\noindent devolviendo en la ventana de comandos: {\em Al cabo de 9 iteraciones el resultado es 2.30259.}

\subsubsection{Los comandos \texttt{max} y \texttt{min}}

Dado un vector cualquiera $u$, los comandos de Octave \texttt{max} y \texttt{min} devuelven los valores m\'aximo y m\'inimo que contiene un vector. \\

Por ejemplo, si definimos el vector $u=(2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)$, entonces \texttt{max(u)} devuelve 6 y \texttt{min(u)} devuelve 1: \\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ u = [2,3,4,5,6,5,4,3,2,1]}\\
\texttt{$>$ max(u)}\\
\texttt{$>$ min(u)}
\end{tabular} \\

\noindent Si adem\'as incluimos dos par\'ametros de salida de la forma\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [M,posM] = max(u)}\\
\texttt{$>$ [m,posm] = min(u)}
\end{tabular} \\

\noindent en las variables \texttt{M} y \texttt{m} se almacenan el valor m\'aximo y el m\'inimo de \texttt{u} respectivamente, y en \texttt{posM} y \texttt{posm} se almacenan las posiciones en el vector \texttt{u}  donde se alcanzan.

\medskip


\subsubsection{C\'alculo de posiciones. El comando \texttt{find}.}

Dado un vector cualquiera $u$, el comando \texttt{find} devuelve la posici\'on (dentro del vector) en la que se encuentra uno o varios valores de $u$. Es importante tener en cuenta que en Octave {\em los vectores empiezan en la posici\'on 1}. \\

Por ejemplo, si tomamos de nuevo el vector $u=(2,3,4,5,6,5,4,3,2,1)$ y escribimos: \\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ find(u==6)}\\
\texttt{$>$ find(u==4)}\\
\end{tabular}
\medskip

\noindent el primer comando devuelve el valor (posici\'on) 5 y el segundo comando devuelve los valores 3 y 7, que son en efecto las posiciones en las que se encuentra el 4 dentro de $u$. \\

El comando \texttt{find} permite tambi\'en recuperar las posiciones donde los valores del vector verifican alguna condici\'on $>,<,>=,<=,\sim=$. \\Por ejemplo, el comando \\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ find(u>=4)}\\
\end{tabular}
\medskip

\noindent devuelve las posiciones $3,4,5,6$ y $7$.\\

\medskip
\noindent{\bf Forma alternativa de calcular posiciones.} En la mayor parte de los problemas que trataremos, las b\'usquedas de posiciones las realizaremos en vectores que representan los mallados:
\[
t_0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_m < \ldots < t_{N-1} < t_{N},
\]
que consideramos para resolver de manera num\'erica los problemas que se nos plantean. En este caso, si tomamos como constante el paso de discretizaci\'on $h$ (constante), podemos recuperar todos los puntos del mallado dentro del vector $t$, en la posici\'on $m$, mediante la f\'ormula $t_m = t_0+(m-1)h$, la cual nos sirve para calcular la posici\'on $m$ de la forma:
\[
m = \displaystyle \frac{t_m-t_0}{h}+1.
\]

Por ejemplo, si queremos calcular la aproximaci\'on obtenida a partir del m\'etodo de Euler expl\'icito en un intervalo $[1,3]$ en el instante $t=1.6$ habiendo tomado un paso de discretizaci\'on $h=0.1$, tenemos que:
\[
m=\frac{1.6-1}{0.1}+1=7.
\]

\subsubsection{Funciones definidas a trozos. La funci\'on Heaviside.}

Las funciones definidas a trozos vamos a implementarlas usando la {\em funci\'on Heaviside} o funci\'on escal\'on:
\[
heaviside(x) = \left\{\begin{array}{ll}0,&x<0,\\1/2,&x=0,\\1,&x>0.\end{array}\right.
\]
Para utilizarla en Octave usamos la funci\'on \texttt{heaviside.m}, la cual podremos combinar para construir todo tipo de funciones definidas a trozos.

Por ejemplo, prueba a dibujar las siguientes funciones en el intervalo $[0,5]$, usando Octave:\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f = inline('heaviside(x-2)','x')}\\
\texttt{$>$ f = inline('heaviside(x-2)-heaviside(x-4)','x')}\\
\texttt{$>$ f = inline('exp(x).*(heaviside(x-2)-heaviside(x-4))','x')}
\end{tabular} \\

\vspace{0.3cm}
\noindent{\bf Ejercicio:} Dibuja con Octave la siguiente funci\'on definida a trozos:
\[
\left\{\begin{array}{ll}0,&x<3,\\x^2-8,&3\leq x<4,\\e^{-x+4},&x\geq4.\end{array}\right.
\]

\begin{figure}[h]
  \centering\includegraphics[scale=0.5]{Figuras/EjPartes.pdf}
\end{figure}









%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\section{Ecuaciones no lineales}

Si queremos aproximar la ra\'iz de la ecuaci\'on $f(x)=0$, con una tolerancia \texttt{errorper} y en un n\'umero m\'aximo de iteraciones, \texttt{maxitera}, definiremos la funci\'on $f$ como una funci\'on inline (o an\'onima) con el comando:
\smallskip

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ fecu = inline('\ldots','x')}
\end{tabular}
\smallskip
o 
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ fecu =@(x) \ldots}
\end{tabular}
\smallskip

\noindent y eligiremos alguno de los siguientes m\'etodos:

\begin{itemize}
\item {\large{\bf M\'etodo de la bisecci\'on}}

Se eligen $a$ y $b$ de manera que $f$ contenga una \'unica ra\'iz en el intervalo $[a,b]$ y se ejecuta el comando:

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [sol,itera] = metbiseccion(fecu,a,b,errorper,maxitera)}
\end{tabular}

\item {\large{\bf M\'etodo de Newton.}}

Se define la derivada \texttt{dfecu} de $fecu$ como otra funci\'on inline, se elige el valor inicial \texttt{x0} y se ejecuta el comando:

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [sol,itera] = metnewton1ec(fecu,dfecu,x0,errorper,maxitera)}
\end{tabular}
\smallskip

\item {\large{\bf M\'etodo de la secante.}}

Se eligen los valores iniciales \texttt{x0}, \texttt{x1}, y se ejecuta el comando:

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [sol,itera] = metsecante(fecu,x0,x1,errorper,maxitera)}
\end{tabular}
\smallskip

\item {\large{\bf M\'etodo de `regula falsi".}}

Se eligen $a$ y $b$ de manera que $f$ contenga una \'unica ra\'iz en el intervalo $[a,b]$ y se ejecuta el comando:

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [sol,itera] = metregulafalsi(fecu,a,b,errorper,maxitera)}
\end{tabular}
\smallskip


\end{itemize}

En la {\bf salida} de todos ellos, \texttt{sol} contiene la aproximaci\'on buscada e \texttt{itera} es el n\'umero de iteraciones que ha tardado el m\'etodo en alcanzar \texttt{sol}.


\subsection*{M\'etodo del punto fijo y m\'etodo de Aitken.}

Si queremos resolver el problema de punto fijo, $g(x)=x$, primeramente se define $g$ como una funci\'on inline (o an\'onima) con el comando:
\smallskip

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ g = inline('\ldots','x')}
\end{tabular}
\smallskip
o

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ g =@(x) \ldots}
\end{tabular}
\smallskip

\noindent Se elige el valor inicial $x_0$ y se ejecuta uno de los comandos:
\smallskip

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [sol,itera] = metpuntofijo(g,x0,errorper,maxitera)} \\
\texttt{$>$ [sol,itera] =metodoaitken(g,x0,errorper,maxitera)}
\end{tabular}
\smallskip

dependiendo de si queramos aplicar el m\'etodo del punto fijo o el m\'etodo de aceleraci\'on de Aitken, respectivamente.\\

En la {\bf salida} de ambos, \texttt{sol} contiene la aproximaci\'on buscada, e \texttt{itera} el n\'umero de iteraciones que ha tardado el m\'etodo en alcanzar \texttt{sol}.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sistemas de Ecuaciones no lineales. \\M\'etodo de Newton-Raphson.}

Sea el sistema de ecuaciones no lineales: 
$$
\left\{
\begin{array}{c}
f_1(x_1,x_2,\ldots,x_n) = 0, \\
\vdots \\
f_n(x_1,x_2,\ldots,x_n) = 0.
\end{array}
\right.
$$ Para encontrar aproximaciones de un vector soluci\'on por el m\'etodo de Newton-Raphson, se toma como dato inicial el vector columna ${\bf x_0}=(x^{(0)}_1,\ldots,x^{(0)}_n)^T\in\R^n$, y creamos 2 archivos .m auxiliares: \\

1. Archivo \texttt{fecusistema.m} que contiene al vector columna ${\bf f}=(f_1,\ldots,f_n)^T$,

2. Archivo \texttt{jacobiana.m} que contene la matriz Jacobiana $J_{\bf f}$,\\

\noindent donde las variables $x_1,\ldots,x_n$ se denotan por $x(1),\ldots,x(n)$. y se ejecuta el comando:
\begin{center}
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [vectorsol,itera] = metnewtonsistema(@fecusistema,@jacobiana,...}\\
\texttt{$>$ vectorx0,errorper,maxitera)}
\end{tabular}

\end{center}



\noindent{\bf Ejemplo:} Sea el sistema de ecuaciones no lineales:
$
\left\{
\begin{array}{r}
x^2-10x+y^2+8 = 0, \\
xy^2+x-10y+8 = 0.
\end{array}
\right.
$
Tomando como vector semilla ${\bf x_0}=(0.5,0.5)^T$, tenemos que
\[
f = \begin{pmatrix}x^2-10x+y^2+8 \\ xy^2+x-10y+8 \end{pmatrix}\text{ y } J_{\bf f}({\bf x})=\begin{pmatrix}2x-10& 2y \\ y^2+1 & 2xy-10\end{pmatrix}
\]
por lo que creamos los archivos \texttt{fecusistema.m} y \texttt{jacobiana.m} de la siguiente forma: \\

Archivo \texttt{fecusistema.m} \\

\fbox{\parbox[b]{\linewidth}{
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ function F=fecusistema(x,y)} \\
\texttt{$>$ F(1,1) = x$^\wedge$2-10$\ast$x+y$^\wedge$2+8;} \\
\texttt{$>$ F(2,1) = x$\ast$y$^\wedge$2+x-10$\ast$y+8;} \\
\texttt{$>$ endfunction}
\end{tabular}
}}
\medskip

Archivo \texttt{jacobiana.m} \\

\fbox{\parbox[b]{\linewidth}{
\begin{tabular}{l}.
\texttt{$>$ function J=jacobiana(x,y)} \\
\texttt{$>$ J(1,1) = 2$\ast$x-10;} \\
\texttt{$>$ J(1,2) = 2$\ast$y;} \\
\texttt{$>$ J(2,1) = y$^\wedge$2+1;} \\
\texttt{$>$ J(2,2) = 2$\ast$x$\ast$y-10;} \\
\texttt{$>$ endfunction} \\
\end{tabular}
}}

\bigskip
\noindent Ahora el sistema se resuelve mediante los comandos:\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ vectorx0 = [0.5;0.5]; errorper=1.e-6; maxiter=1000;} \\
\texttt{$>$ [vectorsol,itera] = metnewtonsistema(@fecusistema,@jacobiana,...}\\
\texttt{$>$ vectorx0,errorper,maxitera)}
\end{tabular}




\section{Problemas de Valor Inicial}

Para resolver un Problema de Valor Inicial (PVI) de la forma
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y'=f(t,y),~~~t\in[t_0,t_N]\\
y(t_0)=y_0,
\end{array}\right.\]

\noindent primeramente definimos la funci\'on $f(t,y)$ en las variables $t$, $y$, como una funci\'on inline o an\'onima, el intervalo en el que se presenta el problema $[t_0,t_N]$, y la condici\'on inicial $y_0$ como:

\smallskip
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ f = inline('\ldots','t,y')} \\
\texttt{$>$ intiempo = [t0,tN]} \\
\texttt{$>$ y0=valorini = \ldots}
\end{tabular}
\medskip


\noindent Despu\'es se especifica el n\'umero de intervalos, \texttt{npasos}, del mallado utilizado, es decir, el n\'umero de intervalos en los que se divide el intervalo $[t_0,t_N]$, calculado a partir del paso de discretizaci\'on $h$ (que vamos a tomar siempre constante). En otras palabras:

\smallskip
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ npasos = $\displaystyle\frac{\texttt{tN-t0}}{\texttt{h}}$}
\end{tabular}
\medskip

\noindent y resolvemos el PVI por medio de alguno de los siguientes m\'etodos: \\


{\bf\large M\'etodo de Euler Expl\'icito} 

\texttt{$>$ [solt,soly] = eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos)}


{\bf\large M\'etodo de Euler Impl\'icito} 

\texttt{$>$ [solt,soly] =eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos)}


{\bf\large M\'etodo de Crank-Nicolson} 

\texttt{$>$ [solt,soly] = cranknicolson(f,intiempo,valorini,npasos)}


{\bf\large M\'etodo de Heun}

\texttt{$>$[solt,soly]  = heun(f,intiempo,valorini,npasos)}


{\bf\large M\'etodo de Simpson} 

\texttt{$>$ [solt,soly] = rungekuttao3(f,intiempo,valorini,npasos)}



\bigskip
Para todos los m\'etodos, la {\bf salida} consiste en el vector \texttt{solt}, que contiene los $npasos+1$ puntos del mallado en los que se ha dividido el intervalo $[t_0,t_N]$, y en el vector \texttt{soly}, que contiene las aproximaciones a la soluci\'on exacta $y(t)$ en los puntos del mallado. \\

Una vez ejecutado el m\'etodo podemos dibujar la aproximaci\'on mediante el comando \texttt{plot(solt,soly)} \\

El algoritmo \texttt{heun.m} contiene el m\'etodo de Heun, mientras que el algoritmo \texttt{rungekuttao3.m} contiene el m\'etodo de Runge-Kutta de orden 3, denominado de Simpson, dado por la tabla:
\[
\begin{array}{c|ccc}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 2 & 0 \\
\hline
 & 1/6 & 4/6 & 1/6
\end{array}
\]




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Problemas de Contorno}



\subsection{Problemas de transporte estacionario 1-dimensionales}

\begin{itemize}
\item {\bf Coeficientes constantes y condiciones frontera tipo Dirichlet.}


El siguiente problema de transporte:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
-D u^{\prime\prime}(x)+V u^\prime(x)+Q u(x)=f(x), & x\in (a,b)\\ [0.15cm]
u(a)= u_a,\\[0.15cm]
u(b)=u_b, \\
\end{array}
\right.
\]
se resuelve mediante el comando:

\smallskip
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [xh,uh] = bvpdirichlet(a,b,numeronodos,D,V,Q,f,ua,ub)}
\end{tabular}

\noindent en donde:

\begin{tabular}{l}
-\texttt{D, V, Q}: constantes;\\
-\texttt{f}: funci\'on inline o an\'onina;\\
-\texttt{numeronodos} =N+2=$1+\frac{b-a}{h}$: {n\'umero de nodos,}\\
siendo $h$ es el paso de discretizaci\'on;\\
-\texttt{xh}: vector que contiene los nodos de la discretizaci\'on $\texttt{xh}=(x_1,\ldots,x_{N+2})$;\\
-\texttt{uh}: vector que contiene las aproximaciones num\'ericas $\texttt{uh}=(u_1,\ldots,u_{N+2})$;\\
\end{tabular}
\medskip


\item {\bf Coeficientes no constantes y condiciones frontera generales.}\\
El siguiente problema de transporte:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
-D(x)u^{\prime\prime}(x)+V(x)u^\prime(x)+Q(x)u(x)=f(x), & x\in (a,b)\\ [0.15cm]
c_{11}u^\prime(a)+c_{12}u(a)= u_a,\\[0.15cm]
c_{21}u^\prime(b)+c_{22}u(b)= u_b, \\
\end{array}
\right.
\]
se resuelve mediante el comando:

\smallskip
\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [x,u] = bvp2cvrobinup(a,b,N,D,V,Q,f,c11,c12,...}\\

\texttt{$>$c21,c22,ua,ub,esquema)}
\end{tabular}

\noindent donde:

\begin{tabular}{l}
-\texttt{D, V, Q}: funciones inline o an\'onimas; \\
-\texttt{f}: funci\'on inline o an\'onina; \\
-\texttt{N}: {\em n\'umero de nodos internos},\\
es decir, $N=\frac{b-a}{h}-1$ en donde $h$ es el paso de discretizaci\'on;\\
-\texttt{esquema} : \texttt{'C'} para usar f\'ormulas centradas; \\
-\texttt{'U'} para usar un esquema, a contracorriente ({\em upwind}),\\
para aproximar el t\'ermino convectivo;\\
-\texttt{xh}: vector que contiene los nodos espaciales, $\texttt{xh}=(x_1,\ldots,x_{N+2})$;\\
-\texttt{uh}: vector que contiene las aproximaciones num\'ericas $\texttt{uh}=(u_1,\ldots,u_{N+2})$;\\
\end{tabular}
\end{itemize}


\subsection{Problemas de difusi\'on evolutiva 1-dimensionales}

El siguiente Problema de Valor Inicial y de Contorno (PVIC):
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle \frac{\partial u}{ \partial t} = c\frac{ \partial^2 u}{\partial x^2}+f(x,t), & \forall\,(x,t)\in (a,b)\times (0,T),\\ [0.4cm]
u(x,t) = g(x,t),&  x=a,\quad x=b,\\ [0.2cm]
u(x, 0) = u_0(x), & x\in (a,b),
\end{array}
\right.
\]
se resuelve mediante el comando:\\

\begin{tabular}{l}
\texttt{$>$ [x,uf] = ecucalor(c,intespacio,intiempo,...}\\
\texttt{$>$ pasosespacio,pasostiempo,theta,u0,g,f)}\\
\end{tabular}
\\
donde:


\smallskip
\begin{tabular}{ll}
-\texttt{intespacio = [a,b]}& es el intervalo espacial; \\
-\texttt{intiempo = [0,T]}& es el intervalo temporal;\\
-\texttt{pasosespacio y pasostiempo}& son el n\'umero de intervalos espaciales y temporales; \\
-\texttt{theta = $\theta$} & indica el $\theta$-m\'etodo de la parte temporal\\
& ($\theta=0$ EE, $\theta=0.5$ CN, $\theta=1$ EI);\\
-\texttt{c:}  &es una constante positiva;\\
-\texttt{u0,g,f:} & son  funciones inline o an\'onimas. \\
\end{tabular}
\medskip

En la {\bf salida}, Octave almacena en el vector $\texttt{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_{N+2})$, los puntos del mallado espacial y 
en $\texttt{uf}=(u^T_1,u^T_2,\ldots,u^T_{N+2})$, los valores de la aproximaci\'on buscada en el instante $t=T$.\\

{\bf Observaci\'on.} El m\'etodo es {\bf estable}  s\'{\i} y s\'olo s\'{\i}  $\iff \displaystyle c(1-2\theta)\frac{\Delta t}{(\Delta x)^2}\leq\frac{1}{2},$ 

donde  $\Delta t$ y $\Delta x$, son los tama\~nos de discretizaci\'on en tiempo y espacio, respectivamente.


\subsection{Problemas de transporte estacionario 2-dimensionales}
El siguiente problema de transporte (tipo Poisson):
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\displaystyle -\Delta u(x,y) = f(x,y), & \forall\,(x,t)\in\Omega (a,b)\times(c,d),\\ [0.25cm]
u(x,y)= cc(x,y),  & \forall\,(x,y)\in\partial\Omega, \\
\end{array}
\right.
\]
se resuelve mediante los comandos:
\begin{align*}
\texttt{$>$ } & \texttt{[u,x,y] = ecupoisson(a,b,c,d,dx,dy,f,cc)} \\
\texttt{$>$ } & \texttt{[u,x,y,error] = ecupoisson(a,b,c,d,dx,dy,f,cc,solexac)}
\end{align*}
dependiendo de si la soluci\'on exacta es conocida o no. Los argumentos son los siguientes:

\begin{tabular}{ll}
-\texttt{dx} &es el  tama\~no de discretización en $x$;\\
-\texttt{dy} &es el tama\~no de discretización en $y$;\\
-\texttt{f} & es una funci\'on inline o an\'onima, con el forzamiento externo;\\
-\texttt{cc} &es una funci\'on inline o an\'onima, con la condici\'on de contorno;\\
-\texttt{solexac} &es una funci\'on inline o an\'onima, con la soluci\'on exacta (si es conocida);\\
-\texttt{error} & muestra el {\em error nodal relativo} entre $u$ y $solexac$\\
&(error nodal = $\max_{i,j}|u(x_i,y_j)-u_{ij}|/\max_{i,j}|u(x_i,y_j)|$).
\end{tabular}\\

\noindent Para mostrar la soluci\'on utilizamos el comando \texttt{mesh(x,y,u)}.








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Ap\'endice B. F\'ormulas en diferencias finitas}

\section{F\'ormulas en diferencias finitas 1-dimensionales}

Sea el intervalo $\Omega=[0,L]$ y tomemos un mallado unidimensional $\{x_i\}_{i=1,\ldots,N+1}$ con $x_1=0$ y $x_{N+1}=L$, donde consideramos un paso de discretizaci\'on constante $h$.

Si nos centramos en un punto $x_i$ del mallado

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
 {
 \node (a) at (-2,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (a1) at (-2,0.25) {$x_{i-1}$};

 \node (b) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (b1) at (0,0.275) {$x_i$};

 \node (c) at (2,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (2,0.25) {$x_{i+1}$};
  \draw[-] (a) to (c);
 }
\end{tikzpicture}
\end{center}

tenemos las siguientes {\bf f\'ormulas en diferencias finitas}:\\

{\bf 1.} Para aproximar el valor de $\displaystyle u^\prime(x)=\displaystyle\frac{du}{dx}(x)$ en el nodo $x=x_i$ tenemos:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 \text{F\'ormula} & \text{Error de Truncamiento} & \text{Esquema} \\% [0.5cm]
 \hline
\text{\bf Progresiva} ~~~ \displaystyle u^\prime(x_i) \approx \frac{u_{i+1}-u_i}{h}  & \text{$E_{tr}=O(h)$} & \begin{tikzpicture}[baseline=(O.base),start chain]
 {
 \node (O) [on chain] {};
 \node (a) at (-1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt]{};
 \node (a1) at (-1,0.25) {$$};

 \node (b) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (b1) at (0,0.25) {$-1$};

 \node (c) at (1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (1,0.25) {$+1$};
  \draw[-] (a) to (c);
 \draw[-] (1.25,-0.5) to (1.75,0.5);
 \node at (2,0) {$h$};
 }
\end{tikzpicture} \\ [0.5cm]
\text{\bf Regresiva} ~~~ \displaystyle u^\prime(x_i) \approx \frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}  & \text{$E_{tr}=O(h)$} & \begin{tikzpicture}[baseline=(O.base),start chain]
 {
 \node (O) [on chain] {};
 \node (a) at (-1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt]{};
 \node (a1) at (-1,0.25) {$-1$};

 \node (b) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (b1) at (0,0.25) {$+1$};

 \node (c) at (1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (1,0.25) {$$};
  \draw[-] (a) to (c);
 \draw[-] (1.25,-0.5) to (1.75,0.5);
 \node at (2,0) {$h$};
 }
\end{tikzpicture} \\ [0.5cm]
\text{\bf Centrada} ~~~ \displaystyle u^\prime(x_i) \approx \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h}  & \text{$E_{tr}=O(h^2)$} & \begin{tikzpicture}[baseline=(O.base),start chain]
 {
 \node (O) [on chain] {};
 \node (a) at (-1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt]{};
 \node (a1) at (-1,0.25) {$-1$};

 \node (b) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (b1) at (0,0.25) {$$};

 \node (c) at (1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (1,0.25) {$+1$};
  \draw[-] (a) to (c);
 \draw[-] (1.25,-0.5) to (1.75,0.5);
 \node at (2,0) {$2h$};
 }
\end{tikzpicture} \\
\hline
\end{array}
\]



{\bf 2.} Para aproximar el valor de $\displaystyle u^{\prime\prime}(x)=\displaystyle\frac{d^2u}{dx^2}(x)$ en el nodo $x=x_i$ tenemos:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
 \text{F\'ormula} & \text{Error de Truncamiento} & \text{Esquema} \\% [0.5cm]
 \hline
\text{\bf Centrada} ~~~ \displaystyle u^{\prime\prime}(x_i) \approx \frac{u_{i-1}-2u_i+u_{i+1}}{h^2}  & \text{$E_{tr}=O(h^2)$} & \begin{tikzpicture}[baseline=(O.base),start chain]
 {
 \node (O) [on chain] {};
 \node (a) at (-1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt]{};
 \node (a1) at (-1,0.25) {$+1$};

 \node (b) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (b1) at (0,0.25) {$-2$};

 \node (c) at (1,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (1,0.25) {$+1$};
  \draw[-] (a) to (c);
 \draw[-] (1.25,-0.5) to (1.75,0.5);
 \node at (2,0) {$h^2$};
 }
\end{tikzpicture} \\
\hline
\end{array}
\]














%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{F\'ormulas en diferencias finitas bidimensionales}

Sea un dominio rectangular $\Omega=[0,L_x]\times[0,L_y]$ y el mallado $\{(x_i,y_j)\}$ con pasos de discretizaci\'on constantes $h=\Delta x$ y $k=\Delta y$. Si nos centramos en un nodo $C=(x_i,y_j)$ con los puntos ``vecinos": $N$, $S$, $E$ y $W$, como muestra la Figura, tenemos las siguientes {\bf f\'ormulas en diferencias finitas}:
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.65]
 {
 \node (n) at (0,2) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (n1) at (0,2.35) {\small $N\!=\!(x_{i},y_{j+1})$};
 \node (s) at (0,-2) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (s1) at (0,-2.35) {\small $S=(x_{i},y_{j-1})$};
 \node (o) at (-2,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (o1) at (-3.75,0) {\small $(x_{i-1},y_j)=W$};
 \node (c) at (0,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (c1) at (0.25,0.35) {\small $C=(x_i,y_j)$};
 \node (e) at (2,0) [circle, fill=black,inner sep=1.5pt] {};
 \node (e1) at (3.75,0) {\small $E=(x_{i+1},y_j)$};


 \draw[-] (o) to (e);
 \draw[-] (n) to (s);
 }
\end{tikzpicture}
\end{center}

{\bf 1.} Para aproximar las derivadas parciales de primer orden:\\
 $\displaystyle u_x(x,y)=\displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)$ y $\displaystyle u_y(x,y)=\displaystyle\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)$ en $C=(x_i,y_i)$, tenemos:

\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{F\'ormula} &  \text{Aproximaci\'on $u_x$} & \text{Error}  \\
 \hline
\text{\bf Progresiva} & \displaystyle u_x(C) \approx \frac{u_{E}-u_C}{h}  & {\centering\text{$E_{tr}=O(h)$}}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Regresiva} & \displaystyle u_x(C) \approx \frac{u_{C}-u_{W}}{h}  & \text{$E_{tr}=O(h)$}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Centrada} & \displaystyle u_x(C) \approx \frac{u_{E}-u_{W}}{2h}  & \text{$E_{tr}=O(h^2)$}  \\[0.25cm]
\hline
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{F\'ormula} &  \text{Aproximaci\'on $u_y$} & \text{Error}  \\
 \hline
\text{\bf Progresiva} & \displaystyle u_y(C) \approx \frac{u_{N}-u_C}{k}  & {\centering\text{$E_{tr}=O(k)$}}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Regresiva} & \displaystyle u_y(C) \approx \frac{u_{C}-u_{S}}{k}  & \text{$E_{tr}=O(k)$}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Centrada} & \displaystyle u_y(C) \approx \frac{u_{N}-u_{S}}{2k}  & \text{$E_{tr}=O(k^2)$}  \\[0.25cm]
\hline
\end{array}
\]

{\bf 2.} Para aproximar $\displaystyle u_{xx}(x,y)=\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$, $\displaystyle u_{yy}(x,y)=\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial y^2}$, $\displaystyle u_{xy}(x,y)=\displaystyle\frac{\partial^2u}{\partial x\partial y}$ en $C=(x_i,y_i)$:
\[
\begin{array}{|c|c|c|}
\hline
\text{F\'ormula} &  \text{Aproximaci\'on $u_x$} & \text{Error}  \\
 \hline
\text{\bf Centrada} & \displaystyle u_{xx}(C) \approx \frac{u_{W}-2u_C+u_E}{h^2}  & {\centering\text{$E_{tr}=O(h^2)$}}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Centrada} & \displaystyle u_{yy}(C) \approx \frac{u_{S}-2u_{C}+u_N}{k^2}  & \text{$E_{tr}=O(k^2)$}  \\ [0.5cm]
\text{\bf Centrada} & \displaystyle u_{xy}(C) \approx \frac{u_{NE}-u_{SE}+u_{SW}-u_{NW}}{4hk}  & \text{$E_{tr}=O(\frac{h^3}{k},h^2,hk,k^2,\frac{k^3}{h})$}  \\[0.25cm]
\hline
\end{array}
\]





\addcontentsline{toc}{chapter}{Bibliograf\'ia}

\bibliographystyle{plain}
\begin{thebibliography}{}

\bibitem{QS}
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\newblock {\em C\'alculo cient\'ifico con MATLAB y Octave.}
\newblock Springer, 2006.

\bibitem{SMC}
E. Schiavi, A. I. Mu\~noz y C. Conde.
\newblock {\em M\'etodos Matem\'aticos para los grados en ingenier\'ia. Primera parte: Teor\'ia.}
\newblock Dykinson S.L., 2012.

\bibitem{SMN}A. I. Mu\~noz, A. Nolla y E. Schiavi.
\newblock  {\em C\'odigos en Octave/MATLAB, seminarios y pr\'acticas. M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la Ingenier\'{\i}a.}
\newblock Publicado en htpps://burjcdigitalurjc.es.
\end{thebibliography}



\end{document})