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\begin{document}
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\begin{titlepage}

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\centering{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{URJC-Logo-PNG-1.eps}\par}
\vspace{1.5cm} %\raggedleft
\begin{center} {\bfseries\Large APUNTES DE TEOR\'IA\par} \vspace{0.5cm}
 {\bfseries\Large M\'ETODOS MATEM\'ATICOS APLICADOS A LA
\par} \vspace{0.5cm}

{\bfseries\Large INGENIER\'IA\par} \vspace{1.5cm}



 {\scshape \large  M\'etodos matem\'aticos
aplicados a la Ingenier\'{\i}a de Materiales \par} \vspace{0.5cm}

 {\scshape \large  M\'etodos matem\'aticos
aplicados a la Ingenier\'{\i}a de la Energ\'{\i}a \par}
\vspace{0.5cm}


{\scshape \large M\'etodos num\'ericos (m\'odulo I) en el M\'aster
en Ingenier\'{\i}a Industrial \par} \vspace{0.5cm}
%{\scshape\Large PARA M\'ASTER Y GRADOS EN INGENIER\'IA \par}
\vspace{2cm}

%{\itshape\Large M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la
%Ingenier\'{\i}a  \par}

%\vfill {\Large Autores: \par}
{\Large E. Schiavi, A. I. Mu\~noz Montalvo, C. Conde\par}

{\Large Septiembre 2022
\par}\vspace{1cm}

{\large{\copyright 2022. Autores: E. Schiavi, A. I. Mu\~noz
Montalvo, C. Conde.\\
Algunos derechos reservados.\\
Este documento se distribuye bajo la licencia internacional
Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International
License.\\ Disponible en:
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}}\vspace{0.5cm}

{\large{Publicado en: https://burjcdigital.urjc.es}}
\end{center}

\end{titlepage}



%\tableofcontents
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%\thispagestyle{empty} \mbox{}
%\newpage
%\thispagestyle{empty} \mbox{} {\bf M\'{E}TODOS
%MATEM{\'A}TICOS\\PARA LOS GRADOS EN INGENIER\'IA\\
%PRIMERA PARTE: \\TEOR\'IA}\\\vspace{0.27in}
%E. Schiavi, A. I. Mu\~noz y C. Conde.\\
%                     \\
%Universidad Rey Juan Carlos}
%\dedication{\centering}

%\date{This work is licensed under the Creative
%Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International License. To view
%a copy of this license, visit
%http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/ or send a letter to
%Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.}

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%\author{}

%\maketitle


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\tableofcontents
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%\listoftables

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\chapter{Introducci\'on a las ecuaciones en derivadas parciales}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{aCap11}%
\section{Generalidades.}

Todas las operaciones b\'asicas, f\'{\i}sicas y qu\'{\i}micas de
la Ingenier\'{\i}a Qu\'{\i}mica, implican el transporte de una o
varias de las tres magnitudes fundamentales siguientes: cantidad
de movimiento, energ\'{\i}a y materia. Estos fen\'omenos de
transporte se producen en el seno de los fluidos o entre s\'olidos
y fluidos, bien como consecuencia de las diferencias de
concentraciones de dichas magnitudes en aquellos (representando la
tendencia de todos los sistemas a alcanzar el equilibrio) bien
como consecuencia del movimiento de los propios fluidos. Para
poder dise\~nar adecuadamente los equipos e instalaciones donde
hayan de de\-sa\-rro\-lla\-rse las operaciones indicadas, se
requiere una informaci\'on precisa sobre los caudales de
transporte de las citadas
magnitudes f\'{\i}sicas\footnote{%
Los tres fen\'omenos de transporte se producen casi siempre
simult\'aneamente en todas las operaciones b\'asicas, tanto
f\'{\i}sicas como qu\'{\i}micas, pero la importancia relativa de
los mismos var\'{\i}a en cada caso, siendo frecuente que s\'olo
uno de ellos, por su mayor lentitud, determine el tama\~no del
equipo necesario para el desarrollo de dichas operaciones. V\'ease
el libro de Costa Novella, Vol 2 (Fen\'omenos de transporte).}. El
an\'alisis de los fen\'omenos de transporte nos conduce
\emph{naturalmente} a la consideraci\'on de las ecuaciones de
conservaci\'on de la masa (ecuaci\'on de continuidad), de la
cantidad de movimiento (ecuaci\'on del equilibrio) y de la
energ\'{\i}a. Tales ecuaciones suelen ser de un tipo determinado,
llamado ecuaciones en derivadas parciales o,
m\'as brevemente, EDP\footnote{%
Usaremos indistintamente la sigla EDP para indicar una ecuaci\'on
en derivadas parciales o un conjunto de ecuaciones en derivadas
parciales.}. \es

En este curso desarrollaremos las t\'ecnicas matem\'aticas
b\'asicas que permiten abordar tales problemas desde los puntos de
vista anal\'{\i}tico (exacto) y num\'erico (aproximado). Tras
haber introducido la notaci\'on y definiciones b\'asicas para los
sucesivos tratamientos, y puesto que en el an\'alisis del flujo
(transporte) de fluidos (l\'{\i}quidos o gases) las ecuaciones del
movimiento (vectorial), continuidad (escalar) y energ\'{\i}a
(escalar) se pueden combinar en una \'unica ecuaci\'on vectorial
de conservaci\'on (v\'ease la secci\'on dedicada a los sistemas
hiperb\'olicos de leyes de conservaci\'on) empezaremos este tema
con el an\'alisis de las ecuaciones hiperb\'olicas cuasilineales
de primer orden lo que nos permitir\'a, mediante la
interpretaci\'on din\'amica (en t\'erminos de la mec\'anica de
fluidos) del proceso de resoluci\'on, entrar r\'apidamente en
materia relacionando los fen\'omenos f\'{\i}sicos y su
formulaci\'on matem\'atica rigurosa, adquirir una cierta soltura
en el manejo de los operadores de derivaci\'on parcial, introducir
el concepto de caracter\'{\i}sticas, ver su aplicaci\'on e
interpretaci\'on geom\'etrica, fa\-mi\-lia\-ri\-zar\-nos con los
problemas de valor inicial (PVI) y los problemas de valor inicial
y de contorno (PVIC) entendidos como procedimientos para
seleccionar entre las infinitas soluciones posibles de una EDP
aquella con
sentido f\'{\i}sico\footnote{%
No nos referimos aqu\'{\i} a las soluciones de entrop\'{\i}a, para
las cuales se necesitan fundamentos matem\'aticos muy avanzados
sino a la b\'usqueda de soluciones que cumplan unas condiciones de
contorno y/o iniciales obtenidas mediante experimentos y
mediciones.}. Digamos que relacionaremos r\'apidamente las
t\'ecnicas matem\'aticas con la problem\'atica
f\'{\i}sico-qu\'{\i}mica a estudiar creando un v\'{\i}nculo entre
nuestra asignatura y las asignaturas del \'area
f\'{\i}sico-qu\'{\i}mica donde el formalismo matem\'atico es
conveniente y, a veces, necesario.

\subsection{Notaci\'on y Conceptos fundamentales. Ejemplos}

Siguiendo la notaci\'on introducida en el curso de Elementos de
Matem\'aticas, denotaremos las derivadas parciales de una
funci\'on de varias variables, digamos $u(x,t)$, en las formas
\[
\dis u_x = \deri{u}{x},\qquad u_{xx}=\dderi{u}{x},\qquad u_{xt}=\frac{%
\partial^2 u}{\partial x\partial t},\qquad u_t =\deri{u}{t}.
\]
Utilizaremos indistintamente ambos tipos de notaci\'on aunque
observamos que al trabajar con campos de velocidades (que aparecen
en los problemas de fluidodin\'amica) la notaci\'on con el
sub\'{\i}ndice puede generar algo de confusi\'on y no es
recomendada. En los libros de texto se suele, en efecto, denotar
$\bfm{v}= (v_x ,v_y ,v_z )$ donde $v_x$ indica la componente
ho\-ri\-zon\-tal de la velocidad y no su derivada parcial. En este
caso es conveniente utilizar la notaci\'on extendida de operadores
$\partial /\partial x$ pues, de lo contrario, al calcular la
aceleraci\'on de una part\'{\i}cula en un campo de fuerzas
tendr\'{\i}amos $\dis a = v_{x_x}$ lo que resultar\'{\i}a bastante
incomprensible. Una notaci\'on alternativa, suficientemente clara,
ser\'{\i}a $a=(v_x)_x$. Pasamos ahora a describir las
regiones del espacio donde ha de satisfacerse una EDP. Denotaremos por $%
\Omega \subset\R^n$, $n=1,2,3$ (ocasionalmente se utilizar\'a la
letra $N$ para indicar la dimensi\'on espacial) a una regi\'on
(dominio) abierta del espacio $n$-dimensional, que eventualmente
podr\'a ser infinita (no acotada)
y coincidente con todo el espacio: $\Omega \equiv \R^n$. El s\'{\i}mbolo $%
\equiv$ denota igualdad entre conjuntos. Tambi\'en se usa para
indicar que una funci\'on es, por ejemplo, id\'enticamente nula en
una regi\'on, en la forma $f\equiv 0$. El s\'{\i}mbolo $\doteq $
denotar\'a igualdad \emph{por definici\'on} y es el an\'alogo del
operador de asignaci\'on $:=$ que aparece en muchos programas
inform\'aticos (por ejemplo en Maple). \es

Si $\Omega$ es una regi\'on acotada\footnote{%
Recu\'erdese que la condici\'on necesaria y suficiente para que un
conjunto est\'e acotado es que exista una bola cerrada que lo
contenga. V\'ease el
tema 7 de los guiones del primer curso.} entonces su frontera, denotada por $%
\partial \Omega$, se supondr\'a suficientemente regular para que el
an\'alisis posterior tenga validez \footnote{%
Puede parecer excesivo todo este tipo de precisiones sobre el
dominio y su frontera pero es conveniente observar que muchos
resultados y t\'ecnicas de an\'alisis matem\'atico est\'an
condicionados a la geometr\'{\i}a del dominio en consideraci\'on.
Su frontera tiene tambi\'en un papel fundamental y la teor\'{\i}a
de trazas que aparece en el c\'alculo variacional lo confirma.
Para la definici\'on exacta y una clasificaci\'on muy rigurosa de
los dominios dependiendo de su frontera se puede consultar el
libro de Adams (v\'ease la referencia en la secci\'on final de
este cap\'{\i}tulo dedicada a la bibliograf\'{\i}a avanzada).}. En
general la condici\'on de regularidad
que pediremos ser\'a la existencia de un vector normal en todo punto de $%
\partial \Omega$. Denotaremos adem\'as por $\bar{\Omega}=\Omega \cup
\partial\Omega$ al cierre del dominio $\Omega$. Cuando una de las variables
independientes re\-pre\-sen\-ta el tiempo se suele introducir otra
notaci\'on (y nomenclatura) que utilizaremos al trabajar con
problemas de evoluci\'on (es decir donde el estado del sistema
evoluciona con el tiempo). \es

Otras notaciones t\'{\i}picas, del tipo $(x_1 ,x_2 )=(x,y)$ y
$(x_1 ,x_2 ,x_3 )=(x,y,z)$ (para denotar puntos del plano o del
espacio en coordenadas cartesianas) o $\bfm{F}$, $\vec{v}$ (para
denotar vectores) y $[A]$ para denotar matrices, ser\'an tambi\'en
utilizadas.

\subsubsection*{Conceptos y definiciones}

Entramos ahora en materia considerando la definici\'on general de
una ecuaci\'on en derivadas parciales.

\begin{dfn}
Se llama ecuaci\'on diferencial en derivadas parciales a una
ecuaci\'on de la forma:
\begin{equation}\label{genedp}
F\left( x_1 ,x_2 ,... ,x_n , u,\deri{u}{x_1}
,...,\deri{u}{x_n},....., \frac{\partial^m u}{\partial x_1^{k_1}
\partial x_2^{k_2} ...
\partial x_n^{k_n}}\right)=0,
\end{equation}
que relaciona las variables independientes $x_1 ,x_2 ,..x_n $
($n>1$), la variable dependiente $u=u(x_1 ,x_2 ,...,x_n )$ y sus
derivadas parciales hasta el orden $m$, siendo $m$ un n\'umero
entero tal que $m\geq 1$. Los super\'{\i}ndices $k_1 ,k_2 ,..,k_n
$ son n\'umeros enteros no negativos tales que $k_1 +k_2 + ...
+k_n =m$.
\end{dfn}

\bejem T\'{\i}picos ejemplos de ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales pueden ser:
\[
\dis 1)\quad u_{xx}+u_{yy} =0, \quad \dis 2)\quad u_{t}=\alpha^2
u_{xx},\quad 3)\quad u_{tt}=-\beta^2 u_{xxxx} ,\quad 4)\quad u_t
=i \beta u_{xx},
\]
(siendo $\alpha$, $\beta$ constantes reales e $i$ la unidad
imaginaria). Tambi\'en:
\[
5)\quad u_{xx}+u_{yy} +\alpha^2 u =0,\qquad 6)\quad u_t +\alpha
uu_x +\beta u_{xxx} =0,\qquad 7)\quad u_{xx}+xu_{yy}=0
\]
\enejem
En todos los casos se trata de ecuaciones en derivadas parciales \emph{%
famosas} que suelen llevar el nombre de su descubridor. En
concreto se trata de la ecuaci\'on de Laplace (1), de la
ecuaci\'on de Fourier (2), de la ecuaci\'on de Euler-Bernoulli
(3), de la ecuaci\'on de Schrodinger (4), de la ecuaci\'on de
Helmholtz (5), de la ecuaci\'on de Korteweg-de Vries (6) y de la
ecuaci\'on de Tricomi (7). Aparecen en numerosos problemas de la
f\'{\i}sica matem\'atica. Algunas de ellas las aprenderemos a
conocer a lo largo del curso; otras, distintas, las iremos
descubriendo al entrar m\'as en materia. \es

Precisaremos ahora lo que se entiende por orden de una EDP (puesto
que en los ejemplos anteriores han aparecido diferentes \'ordenes
de derivaci\'on parcial en la misma ecuaci\'on). N\'otese que se
trata de una extensi\'on directa de la definici\'on an\'aloga de
orden de una EDO.

\begin{dfn}
Se llama orden de una ecuaci\'on diferencial del tipo
(\ref{genedp}) al mayor de los \'ordenes de las derivadas
parciales que aparecen en la ecuaci\'on.
\end{dfn}
Las 7 ecuaciones propuestas en el ejemplo son (respect.) de orden
2,2,4,2 y
2,3,2. Una EDP t\'{\i}pica de primer orden es la ecuaci\'on de advecci\'on%
\footnote{%
Originariamente el t\'ermino advecci\'on se utilizaba para los
fen\'omenos de transporte de masas de aire y se extendi\'o
despu\'es su uso al transporte gen\'erico de materia
reserv\'andose el t\'ermino de convecci\'on para el transporte de
energ\'{\i}a. Actualmente se suele abarcar todos estos fen\'omenos
de transporte con el t\'ermino de convecci\'on.} (o convecci\'on):
\[
u_t +a u_x =0,
\]
que ser\'a analizada m\'as adelante. \es

Cuando se consideran varias EDP simult\'aneamente se generan
sistemas de ecuaciones en derivadas parciales. Excepto unos pocos
casos concretos es extremadamente dif\'{\i}cil el estudio de tales
sistemas, especialmente si
se consideran ecuaciones de distinta naturaleza\footnote{%
V\'ease la secci\'on referente a la clasificaci\'on de las
ecuaciones en derivadas parciales en el\'{\i}pticas, parab\'olicas
e hiperb\'olicas.}. Un caso especial lo constituyen los sistemas
de EDP de primer orden. Bajo ciertas hip\'otesis existe una
teor\'{\i}a anal\'{\i}tica y un tratamiento num\'erico de estos
sistemas que aparecen, a menudo, trabajando con fen\'omenos de
transporte. Veamos por ejemplo el sistema que modeliza la
propagaci\'on de una peque\~na perturbaci\'on en un gas (una onda
sonora). Se trata de un modelo matem\'atico para la propagaci\'on
del sonido.

\bejem\label{gas} El movimiento unidimensional de un gas, cuya
viscosidad es inapreciable, se describe mediante:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dis \rho \deri{u}{x}+u \deri{\rho}{x}+\deri{\rho}{t} & = & 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis \rho \deri{u}{t}+\rho u
\deri{u}{x}+\deri{p}{x} & = & \rho F,
\end{array}
\right.
\]
donde $u(x,t)$ es la velocidad en el punto $x$ y en el tiempo $t$,
$\rho (x,t)$ es la densidad de masa, $p(x,t)$ es la presi\'on y
$F(x,t)$ es una fuerza dada por unidad de masa. La primera de
estas ecuaciones expresa la conservaci\'on de la masa; la otra es
la segunda ley de Newton del movimiento. \enejem

\es

Consideremos nuevamente la ecuaci\'on diferencial en derivadas parciales (%
\ref{genedp}) de orden $m$. La ecuaci\'on estar\'a planteada (en
el sentido de que se tiene que satisfacer) en una regi\'on abierta
(eventualmente infinita) de $\R^n$, digamos $\Omega\subset\R^n$,
$n\geq 2$. Denotamos adem\'as por $C^m (\Omega)$ al conjunto de
funciones continuas con derivadas continuas hasta el orden $m$ en
la regi\'on $\Omega$.
%N\'otese que $C^m (\Omega)$ es
%un espacio de Banach (espacio vectorial infinito dimensional normado
%y completo\footnote{V\'ease el tema 7 de la asignatura del primer curso para
%detalles sobre este tipo de terminolog\'{\i}a.}).
Para $m=1$ se tiene el espacio $C^1 (\Omega )$ de funciones
continuamente diferenciables (o diferenciables con continuidad).
\es

Introducida la definici\'on de ecuaci\'on en derivadas parciales y
caracterizado el orden de la misma, veamos lo que se entiende por
soluci\'on de una EDP.

\begin{dfn}\label{clasi}
Se llama soluci\'on de una ecuaci\'on diferencial de orden $m$ del
tipo (\ref{genedp}) en cierta regi\'on abierta $\Omega\subset
\R^n$ de variaci\'on de las variables independientes $x_1 ,x_2
,..,x_n$ a una funci\'on
$$
u=u(x_1 ,x_2 ,...,x_n )\in C^m (\Omega),
$$
tal que sustituyendo esta funci\'on y sus derivadas en la
ecuaci\'on (\ref{genedp}) se obtiene una identidad.
\end{dfn}

\beobse En la definici\'on anterior no se especifica la
regularidad de la soluci\'on en la frontera $\partial\Omega$ de la
regi\'on (abierta) $\Omega$. Lo que
generalmente se pide es que la funci\'on sea continua o diferenciable en $%
\partial \Omega$, que admita todas las derivadas parciales que aparecen en
la ecuaci\'on en el interior de $\Omega$ (que es lo mismo que
$\Omega$ pues es una regi\'on abierta por hip\'otesis) y que se
satisfaga la ecuaci\'on en el interior de $\Omega$. \enobse

\beobse La definici\'on anterior caracteriza las soluciones de una
EDP de orden $m$ como aquellas funciones de clase $C^m (\Omega )$
que satisfacen la ecuaci\'on en todo punto de $\Omega
\subset\R^n$, $n=1,2,3$. A este tipo de soluciones se les suele
llamar \textbf{soluciones cl\'asicas} pues son soluciones (en el
sentido de que es posible realizar las operaciones de derivaci\'on
parcial que aparecen en la ecuaci\'on alcanzando una identidad)
y son cl\'asicas pues esta identidad se tiene en todo punto de la regi\'on $%
\Omega$. Este tipo de soluciones son las que han sido objeto de
estudio a partir de los primeros trabajos de Fourier, Laplace,
Liouville, etc... En realidad es posible demostrar la existencia
de un tipo de soluciones, llamadas \textbf{soluciones d\'ebiles},
que satisfacen la ecuaci\'on (o una
versi\'on modificada de la misma \footnote{%
Se est\'a hablando aqu\'{\i} de las ecuaciones en forma de
divergencia a las cuales son aplicables las t\'ecnicas del
c\'alculo variacional. Para ello es b\'asica la teor\'{\i}a de
distribuciones de L. Schwartz en la que no profundizaremos en este
curso.}) no en todo punto del dominio sino en una
parte digamos \emph{significativa} (en casi\footnote{%
Es fundamental aqu\'{\i} el concepto de conjunto de medida cero
que aparece en la teor\'{\i}a de la medida de Lebesgue.}
%paramem Es conveniente mencionar su existencia e introducirlo intuitivamente.}
todo punto). No entraremos en detalles sobre la teor\'{\i}a (la
Teor\'{\i}a de Distribuciones de L. Schwartz) que justifica este
tipo de an\'alisis (conocido como an\'alisis funcional) pero
avisamos al lector de la existencia de este tipo de soluciones que
han sido y son actualmente objeto de atento estudio e
investigaci\'on. Varios ejemplos de soluciones d\'ebiles se
encontrar\'an al final de la parte de este tema dedicada a las
ecuaciones en derivadas parciales de primer orden donde
consideraremos unos problemas
de Cauchy con ecuaciones de tipo lineal o cuasilineal\footnote{%
M\'as adelante daremos definiciones precisas de todo este tipo de
terminolog\'{\i}a.} cuya soluci\'on no es de clase $C^1 (\Omega )$
(y no es, por tanto, una soluci\'on cl\'asica en el sentido de la
definici\'on (\ref {clasi}) sino d\'ebil). Veremos c\'omo la
prescripci\'on de datos iniciales discontinuos o cuya derivada es
discontinua puede generar soluciones discontinuas. \enobse \es

Como ya se ha se\~nalado en la introducci\'on se llaman
\emph{ecuaciones diferenciales en derivadas parciales} a
aqu\'ellas ecuaciones en las que las funciones desconocidas
dependen de m\'as de una variable independiente y aparecen
operadores de derivaci\'on parcial. El proceso de resoluci\'on de
una EDP se llama tambi\'en \textbf{integraci\'on} de la EDP. En
algunos casos la re\-so\-lu\-ci\'on de la ecuaci\'on en derivadas
parciales es directa entendiendo por ello que se realiza mediante
una integraci\'on directa. Recordemos, para ello, las f\'ormulas
de integraci\'on para derivadas parciales que vienen dadas por

\[
\dis \int \dis\deri{f(x,y)}{x}dx =f(x,y) +\phi (y),\qquad \dis \int \dis%
\deri{f(x,y)}{y}dx =f(x,y) +\psi (x),
\]
siendo $\phi (y)$, $\psi (x)$ funciones derivables arbitrarias.
Las f\'ormulas anteriores se aplican en la integraci\'on
indefinida. Por
ejemplo, si conocemos la derivada parcial primera de una funci\'on, digamos $%
f_x (x,y)=2xy$, entonces considerando $y$ como constante e
integrando en $x$ se tiene:
\[
%\dis \int \dis\deri{f(x,y)}{x}dx =
\dis \int 2xy dx =2y\int x dx =yx^2 +\phi (y),
\]
luego $f(x,y)=yx^2 +\phi (y)$. N\'otese que cualquier funci\'on del tipo $%
f(x,y)=yx^2 +\phi (y)$ satisface $f_x =2xy$, independientemente de
la funci\'on $\phi$ elegida. Es una gene\-ra\-li\-za\-ci\'on del
concepto de primitivas para funciones de una variable real. \es

Para la integraci\'on definida (es decir especificando los
extremos de integraci\'on) se tiene:

\[
\dis \int_{h_1 (y)}^{h_2 (y)}\dis\deri{f(x,y)}{x}dx =[f(x,y)+\phi (y) \dis %
]_{x=h_1 (y)}^{x=h_2 (y)} =f(h_2 (y),y)-f(h_1 (y),y).
\]
Por ejemplo, si $h_1 (y)=1$, $h_2 (y)=2y$ la integraci\'on
definida de $f_x (x,y)=2xy$ nos dar\'a:
\[
\dis \int_1^{2y} 2xy dx =y\int_1^{2y} 2x dx =[yx^2 +\phi \dis
(y)]_{x=1}^{x=2y} = 4y^3 -y =f(2y ,y)-f(1,y),
\]
siendo $f(x,y)= yx^2 +\phi (y)$. Es una generalizaci\'on de la
Regla de Barrow para funciones de una variable. De forma an\'aloga
se tiene la f\'ormula:

\[
\dis \int_{g_1 (x)}^{g_2 (x)}\dis\deri{f(x,y)}{y}dy =[f(x,y)+\psi
(x) ]_{g_1 (x)}^{g_2 (x)} =f(x,g_2 (x))-f(x,g_1 (x)).
\]
N\'otese que la variable de integraci\'on no puede aparecer en los
l\'{\i}mites de integraci\'on. Por ejemplo, no tiene sentido escribir $\dis %
\int_0^x y dx$. Simplemente se introduce una variable \emph{muda}
en la forma $\dis \int_0^x y ds$ lo que indica claramente que el
resultado de la integraci\'on es una funci\'on de $x$ (el extremo
superior del intervalo de integraci\'on) \es

Podemos ahora considerar el siguiente ejemplo:

\bejem\label{ejp1} Resolver la ecuaci\'on:
\[
\dis \deri{u}{x}(x,y)=y+x.
\]
\enejem Se trata evidentemente de una EDP de primer orden que es
del tipo (\ref {genedp}) para los valores param\'etricos $m=1$,
$n=2$, $k_1 =1$, $k_2 =0$ y
la notaci\'on $(x_1 ,x_2 )=(x,y)$. Buscamos una soluci\'on del tipo $%
z=u(x,y) $ (dependiente de dos variables) que sea de clase $C^1$.
Integrando directamente (y de manera indefinida) respecto a $x$,
obtenemos:

\[
u(x,y)=xy+\dis \frac{x^2}{2}+\phi (y),
\]
donde $\phi (y)$ es una funci\'on derivable arbitraria de $y$.
Para cada elecci\'on concreta de $\phi (y)$ tendremos una \'unica
soluci\'on, es decir una funci\'on $u=z(x,y)$ tal que $u_x =y+x$.

Por ser $\phi (y)$ arbitraria hemos obtenido infinitas soluciones
de la EDP que dependen de \emph{una} funci\'on arbitraria. La
expresi\'on anterior es por tanto la \textbf{soluci\'on general}
de la EDP en cuesti\'on. N\'otese que la gr\'afica de una
soluci\'on del tipo $z=u(x,y)$ es una superficie. En el caso
bidimensional, las superficies que son soluciones de una EDP de
primer orden se llamar\'an \textbf{superficies integrales} de la
EDP. Matizaremos este concepto en la secci\'on dedicada a la
interpretaci\'on geom\'etrica del proceso de resoluci\'on de una
EDP de primer orden. \es

\bejem\label{ejp2} Resolver la ecuaci\'on:
\[
\dis \frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}(x,y) =0.
\]
\enejem Se trata de una EDP de segundo orden que es del tipo
(\ref{genedp}) para los
valores param\'etricos $m=2$, $n=2$, $k_1 =1$, $k_2 =1$ y la notaci\'on $%
(x_1 ,x_2 )=(x,y)$. Buscamos una soluci\'on del tipo $z=u(x,y)$
que sea de clase $C^2$. Integrando respecto a $x$, obtenemos:

\[
\dis \deri{u}{y}(x,y) =\phi (y),
\]
donde $\phi (y)$ es una funci\'on (continua) arbitraria de $y$.
Integrando ahora respecto a $y$ se obtiene:

\[
u (x,y)=\dis \int \phi (y)dy +\phi_1 (x),
\]
donde $\phi_1 (x)$ es una funci\'on (derivable) arbitraria de $x$.
O bien, designando

\[
\dis \int \phi (y)dy =\phi_2 (y)
\]
a una primitiva de $\phi (y)$, tendremos finalmente

\[
u(x,y)=\phi_1 (x)+\phi_2 (y),
\]
donde $\phi_2 (y)$, en virtud de la arbitrariedad (y continuidad)
de $\phi (y)$, es tambi\'en una funci\'on arbitraria (y derivable)
de $y$. \es

Los ejemplos expuestos sugieren por tanto que la soluci\'on
general de una ecuaci\'on en derivadas parciales de primer orden
depende de una funci\'on arbitraria; la soluci\'on general de una
ecuaci\'on en derivada parciales de segundo orden depende de dos
funciones arbitrarias, y la soluci\'on general de una ecuaci\'on
en derivada parciales de orden $p$ probablemente depender\'a de
$p$ funciones arbitrarias. Estas consideraciones son ciertas, pero
deben ser precisadas. De ello se ocupa el teorema de S.V.
Koval\'eskaia (1850-1891) sobre la existencia y unicidad de la
soluci\'on del problema de Cauchy asociado a una ecuaci\'on en
derivadas parciales. Las hip\'otesis y
el enunciado del teorema de Sofya Koval\'eskaia \footnote{%
V\'ease, por ejemplo el libro de Fritz John, Partial Differential
Equations, pag 61, donde se presenta el teorema bajo el nombre de
teorema de Cauchy-Koval\'eskaia.} desbordan los objetivos de este
curso (pues exigen la aplicaci\'on del concepto de derivada para
funciones de variable compleja y
de la teor\'{\i}a de las funciones anal\'{\i}ticas \footnote{%
La condici\'on de analiticidad de una funci\'on en un punto
introduce una restricci\'on muy fuerte a una funci\'on. Implica en
efecto la existencia de todas las derivadas de orden superior en
un entorno del punto y esto garantiza la existencia de una serie
de potencias convergente que representa la funci\'on en un entorno
del punto. Esto est\'a en marcado contraste con el comportamiento
de las funciones reales, para las que es posible que exista la
derivada primera y que sea continua sin que por ello se pueda
deducir la existencia de la derivada segunda. Las funciones
anal\'{\i}ticas tienen un papel muy importante en la resoluci\'on
de problemas de flujos bidimensionales a trav\'es de la funci\'on
de corriente. Una introducci\'on bastante sencilla a la
teor\'{\i}a de las funciones anal\'{\i}ticas se puede encontrar en
el libro de Apostol, T.M., (1982), An\'alisis matem\'atico.
Segunda ed. Editorial Revert\'e. cap\'{\i}tulo 16. Resultados
matem\'aticos avanzados se encuentran en el cap\'{\i}tulo 3 del
libro de F. John. Una aplicaci\'on a los problemas de
fluidodin\'amica se encuentra en el cap\'{\i}tulo 2, Vol 5 del
libro de Costa Novella dedicado al flujo potencial de un fluido
perfecto (o ideal). Nosotros introduciremos paulatinamente este
tipo de problemas mediante un ejemplo concreto de flujo potencial
que analizaremos seg\'un se vayan desarrollando las t\'ecnicas
matem\'aticas necesarias para su tratamiento (y comprensi\'on).
Una introducci\'on muy interesante al uso de la funci\'on de
corriente en la resoluci\'on de problemas de flujos incompresibles
(l\'{\i}quidos) que aparecen en mec\'anica de fluidos en el caso
bidimensional se encuentra en el libro de W. Deen, Analysis of
Transport Phenomena, cap\'{\i}tulo 5, secci\'on 5.9, pag 239.
Aplicaciones avanzadas de la teor\'{\i}a se encuentran en los
cap\'{\i}tulos 7 y 8 del mismo libro.}) y no ser\'an considerados.
Alternativamente desarrollaremos un an\'alisis local del problema
de Cauchy asociado a ecuaciones en derivadas parciales de primer
orden que nos proporcionar\'a los resultados te\'oricos de
existencia y unicidad de soluciones del problema considerado. \es

En este tema estudiaremos brevemente s\'olo los m\'etodos de
integraci\'on (resoluci\'on) de las ecuaciones en derivadas
parciales de primer orden, cuya teor\'{\i}a est\'a estrechamente
ligada a la integraci\'on de ciertos sistemas de ecuaciones
ordinarias. Las ecuaciones en derivadas parciales de
orden mayor se integran por m\'etodos completamente distintos\footnote{%
En realidad en los temas 2 y 3 presentaremos algunos m\'etodos de
resoluci\'on de EDP de segundo orden que se pueden aplicar
tambi\'en a ecuaciones de primer orden. Nos referimos por ejemplo
al m\'etodo de separaci\'on de variables o al m\'etodo de la
transformada de Laplace.} y ser\'an tratadas (en el caso de las
ecuaciones de segundo orden) en los temas siguientes (temas 2 y
3). La resoluci\'on num\'erica de las ecuaciones en derivadas
parciales de primer y segundo orden se considerar\'a en el tema 6.
\es

Finalizamos esta secci\'on resolviendo un problema muy b\'asico y
com\'un de la teor\'{\i}a de campos que aparece en
fluidodin\'amica: la determinaci\'on de la funci\'on de corriente
asociada a un campo de velocidades bidimensional irrotacional.

Calcularemos tambi\'en el potencial del campo resolviendo as\'{\i}
el problema de la determinaci\'on de las l\'{\i}neas
equipotenciales de un campo escalar de $\R^2$ planteado en el tema
12, secci\'on 12.1.4 del gui\'on de la asignatura del primer curso
dedicado a la Teor\'{\i}a de Campos. Mediante el conocimiento de
las l\'{\i}neas de corriente y de las l\'{\i}neas equipotenciales
analizaremos algunas propiedades geom\'etricas interesantes del
flujo.

\subsubsection{Una aplicaci\'on de la teor\'{\i}a de campos}

Empezaremos introduciendo el concepto y la definici\'on de la
funci\'on de corriente asociada a un campo de velocidades. \es

La funci\'on de corriente es un objeto matem\'atico extremadamente
\'util para resolver pro\-ble\-mas de flujo de fluidos
incompresibles (l\'{\i}quidos) donde s\'olo hay dos componentes
del campo no nulas y s\'olo dos coordenadas espaciales. Esto
incluye los fluidos con un movimiento plano o los procesos de
transporte (flujo) sim\'etricos respecto a un eje. Se trata de una
herramienta muy \'util para deducir los campos de velocidad y
presiones en tales pro\-ble\-mas y proporciona adem\'as
informaci\'on para la visualizaci\'on de los patrones de flujo.
Detalles sobre la terminolog\'{\i}a utilizada en esta aplicaci\'on
se encuentran en los temas de Teor\'{\i}a de Campos, EDO y
Sistemas de EDO de los guiones de la asignatura de Elementos de
Matem\'aticas del primer curso. Mayores detalles
se pueden encontrar en el libro de Deen\footnote{%
W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena. Oxford University Press.}%
, pag 239, donde se deducen las ecuaciones que gobiernan
(determinan) la funci\'on de corriente en los distintos sistemas
de coordenadas, cartesianas, cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas
t\'{\i}picamente utilizados en la Ingenier\'{\i}a Qu\'{\i}mica.
\es

\noindent{\underline{Funci\'on de corriente}} \es

Introducimos la definici\'on de la funci\'on de corriente como un
campo escalar $\psi \,:\,\R^2 \to \R$ cuya gr\'afica (dada por la
superficie de ecuaci\'on $z=\psi (x,y)$) verifica un cierto
problema geom\'etrico. En este caso se busca la superficie $\psi
(x,y)$ tal que sus l\'{\i}neas de nivel (tambi\'en llamadas
l\'{\i}neas de corriente) sean tangentes a un campo de velocidades
$\bfm{v}$ dado (es decir conocido). Puesto que el gradiente de
esta superficie, $\nabla \psi$, es ortogonal a las l\'{\i}neas de nivel de $%
\psi$, para que \'estas sean tangentes al campo de velocidades
$\bfm{v}$ se tiene que $\nabla \psi$ deber\'a ser ortogonal al
mismo campo luego tendr\'a que ser de la forma $\dis \nabla \psi
=(-v_y ,v_x )$ ya que
\[
(v_x ,v_y )\cdot (-v_y ,v_x )=-v_x v_y +v_y v_x \equiv 0,
\]
es decir,

\begin{equation}  \label{defun}
\nabla \psi \cdot \bfm{v}= \left(\dis
\deri{\psi}{x},\deri{\psi}{y}\right) \cdot (v_x ,v_y )=\dis
\deri{\psi}{x} v_x + \deri{\psi}{y} v_y =0,
\end{equation}
siendo

\begin{equation}  \label{funcor}
\left\{\quad \dis\deri{\psi}{x}=-v_y ,\qquad
\dis\deri{\psi}{y}=v_x.\qquad \right.
\end{equation}
Esta es la definici\'on t\'{\i}picamente utilizada para la
funci\'on de
corriente en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares $(x,y)\in\R%
^2 $ y un campo de velocidades $\bfm{v}:\,\R^2 \to \R^2$ definido
por:
\[
\bfm{v} (x,y)=(v_x (x,y) ,v_y (x,y)).
\]
N\'otese que ser\'{\i}a perfectamente equivalente definir $\dis
\nabla \psi =(v_y ,-v_x )$ (es decir en la direcci\'on
perpendicular pero en el sentido opuesto) puesto que la
condici\'on de ortogonalidad $\bfm{v}\cdot \nabla\psi =0$,
ser\'{\i}a igualmente cierta. \es

Conociendo el campo de velocidades $\bfm{v}=(v_x ,v_y )$, podremos
determinar la funci\'on de corriente mediante integraci\'on
directa de las EDP que aparecen en el sistema (\ref{funcor}). \es

La utilidad de la funci\'on de corriente en la visualizaci\'on del
flujo de
un fluido nace del hecho que $\psi$ (la funci\'on de corriente) es \emph{%
constante a lo largo de una l\'{\i}nea de corriente}. N\'otese que
el operador
\[
\dis\bfm{v}\cdot \nabla \psi,
\]
mide la tasa de cambio de $\psi$ a lo largo de una l\'{\i}nea de
corriente y la ecuaci\'on $\dis\bfm{v}\cdot \nabla \psi=0$ nos
dice simplemente que la tasa es nula (pues $\psi$ es constante a
lo largo de cada una de ellas por definici\'on). \es

Veremos m\'as adelante que las l\'{\i}neas sobre las que $\psi
(x,y)$ es constante deben ser perpendiculares a las l\'{\i}neas
equipotenciales (que son las l\'{\i}neas a lo largo de las cuales
el potencial $\phi (x,y)$ es constante).

\es

Como aplicaci\'on de lo anterior obtendremos un posible m\'etodo
para el c\'alculo de las \emph{l\'{\i}neas de campo} de un campo
vectorial, por ejemplo de un campo de velocidades $\bfm{v}$.

Recordamos que las l\'{\i}neas de campo se interpretan
geom\'etricamente
como las curvas que en todos sus puntos son tangentes al vector de campo $%
\bfm{v}$ (en todo instante $t$) y tienen una interpretaci\'on
f\'{\i}sica muy clara. Se trata en efecto de un problema
t\'{\i}pico que aparece en mec\'anica de fluidos y fen\'omenos de
transporte (fluidodin\'amica) donde
las l\'{\i}neas de campo se llaman tambi\'en \textbf{l\'{\i}neas de corriente%
} o \textbf{trayectorias}. Si el campo de velocidades es
estacionario
%Este t\'ermino es debido a que
la trayectoria que seguir\'{\i}a una part\'{\i}cula puntual de
fluido depositada en un punto coincide con la l\'{\i}nea trazada
por la co\-rrien\-te del fluido y esto justifica la
terminolog\'{\i}a adoptada. Establecida la analog\'{\i}a entre los
conceptos de l\'{\i}neas de campo y l\'{\i}neas de corriente (para
campos es\-ta\-cio\-na\-rios \'estas \'ultimas no son otra cosa
que las primeras consideradas en el contexto de la mec\'anica de
fluidos), podemos ahora considerar el siguiente ejemplo:

\bejem\label{ej15} Se considera el campo de velocidad
bidimensional estacionario $\bfm{v}=(v_x ,v_y)$ dado por
\[
v_x =x ,\qquad v_y =-y.
\]
Determinar las l\'{\i}neas de corriente del campo. Determinar, si
existe, el potencial del campo. \enejem \es

Abordaremos el problema planteado en el ejemplo \ref{ej15}
%en dos formas: la primera resolviendo
%un sistema de
%ecuaciones diferenciales ordinarias para la determinaci\'on de la trayectoria
%de una l\'{\i}nea de corriente (m\'etodo de la trayectoria) y en la
%segunda
resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas
parciales de primer orden para la funci\'on de corriente asociada
al campo. Estas ecuaciones nacen a partir de la definici\'on de la
funci\'on de corriente. De manera similar, es decir, resolviendo
un sistema de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de
primer orden para la funci\'on potencial asociada al campo dado
(que es irrotacional) determinaremos el potencial del campo. \es

%paramem Esta aplicaci\'on, que hace un puente entre el material del primer curso
%y los conceptos de EDP e integraci\'on directa reci\'en introducidos
%ofrece adem\'as una interpretaci\'on en t\'erminos f\'{\i}sicos
%(an\'alisis de la din\'amica de un fluido) de un problema geom\'etrico
%(encontrar trayectorias en el espacio satisfaciendo restricciones
%geom\'etricas) mediante la resoluci\'on de una EDP.
%Los tres aspectos, f\'{\i}sico, geom\'etrico y matem\'atico
%est\'an estrechamente relacionados y ser\'an profundizados en este tema.

%\item
\textbf{C\'alculo de las l\'{\i}neas de corriente mediante la
funci\'on de corriente}. \es

Utilizando la definici\'on de la funci\'on de corriente dada en (\ref{funcor}%
) (v\'alida para coordenadas rect\'angulares con $v_z=0$ y ninguna
dependencia en la variable $z$) se tiene:

\[
\left\{ \quad \dis \deri{\psi}{y}=v_{x}=x,\qquad \deri{\psi}{x}%
=-v_{y}=y.\right.
\]
Integrando directamente estas ecuaciones diferenciales en
derivadas parciales se obtienen las siguientes expresiones para la
funci\'{o}n de corriente:
\[
\psi (x,y)=xy+f(x),\qquad \psi (x,y)=xy+g(y),
\]
siendo $f(x)$, $g(y)$, funciones arbitrarias diferenciables. Las
dos
expresiones co\-rres\-pon\-den a la misma funci\'{o}n, de donde se obtiene que $%
f(x)=g(y)=C$. El valor de $C$ es arbitrario. La funci\'{o}n de
corriente es por tanto:
\[
\psi (x,y)=xy+C.
\]
Si ponemos $C=0$, tenemos
\[
\psi (x,y)=xy,
\]
y la ecuaci\'{o}n para las l\'{\i }neas de corriente es $\psi
(x,y)=xy=K$, siendo $K\in \R$. La elecci\'{o}n hecha para la
constante tiene el efecto de asignar el valor $\psi =0$ a las
l\'{\i }neas de corriente que corresponden a $x=0$ o $y=0$ (es
decir: los ejes coordenados).

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-1.eps}
    \caption{L\'{\i}neas de corriente del fluido: son las curvas de nivel de la función co\-rrien\-te.}
    \label{figura1}
\end{figure}


%\FRAME{ftbpF}{200.75pt}{%
%200.75pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type
%"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width
%200.75pt;height 200.75pt;depth 0pt;original-width 270.125pt;original-height
%269.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'C:/URJC/escet/metodos/guiones/ej1-5a.wmf';tempfile-properties
%"XNP";}}

\es

\noindent{\underline{Funci\'on potencial}} \es

La \textbf{funci\'on potencial} (o \textbf{potencial escalar}) es
un concepto que ya hemos introducido en el tema de teor\'{\i}a de
campos del gui\'on del primer curso.

Recordamos aqu\'{\i} brevemente la definici\'on de potencial
escalar de un campo vectorial. Consideremos nuevamente el campo de
velocidades del ejemplo $\bfm{v}=(v_x ,v_y)$ dado por:
\[
v_x =x ,\qquad v_y =-y.
\]
En este contexto, la funci\'on potencial se llama \textbf{velocidad potencial}%
.

Puesto que

\[
\dis \deri{v_x}{y}=0=\deri{v_y}{x},
\]
se tiene,

\[
\mbox{rot}\bfm{v}(x,y) =\nabla \wedge \bfm{v}(x,y) = \left( %
\deri{v_y}{x}(x,y)-\deri{v_x}{y}(x,y)\right)\bfm{k} =\bfm{0},
\]
luego el campo de velocidades es un campo vectorial plano
irrotacional pues el \textbf{rotacional escalar}
\[
\left( \deri{v_y}{x}(x,y)-\deri{v_x}{y}(x,y)\right),
\]
es nulo. \es

El campo vectorial considerado se puede por tanto identificar con
un campo
conservativo luego deriva de un campo escalar $\phi (x,y)$ llamado \textbf{%
potencial escalar} de forma que
\[
\nabla \phi =\bfm{v}.
\]
\es

\textbf{C\'alculo de las l\'{\i}neas equipotenciales mediante el
potencial escalar}. \es

La determinaci\'on del potencial escalar de un campo conservativo
se realiza integrando las igualdades
\[
\dis \left(\deri{\phi}{x} ,\deri{\phi}{y} \right) =(v_x ,v_y ),
\]
En nuestro caso vemos que la funci\'on escalar $\phi (x,y)$
verifica el sistema de EDP:

\[
\dis \left\{\quad \dis \deri{\phi}{x} =v_x =x ,\qquad \dis
\deri{\phi}{y} =v_y =-y. \qquad \right.
\]
Integrando se tiene:
\[
\dis \left\{\quad \phi (x,y)=\frac{1}{2}x^2 +f (y) ,\qquad \phi (x,y)=-\frac{%
1}{2}y^2 +g (x). \qquad \right.
\]
Derivando parcialmente con respecto a $y$ en la primera
expresi\'on de $\phi$
y derivando parcialmente con respecto a $x$ en la segunda expresi\'on de $%
\phi$ se deduce:

\[
\dis \deri{\phi}{y} =v_y =-y =f^{\prime}(y),\qquad \dis
\deri{\phi}{x} =v_x =x =g^{\prime}(x),
\]
luego para determinar las expresiones de las funciones arbitrarias
$f$ y $g$ es suficiente resolver las EDO:

\[
\dis \left\{\quad f^{\prime}(y)=-y ,\qquad g^{\prime}(x)=x, \qquad
\right.
\]
y obtener:

\[
\dis \left\{\quad f (y)=-\frac{1}{2}y^2 +C_1 ,\qquad g
(x)=\frac{1}{2}x^2 +C_2, \qquad \right.
\]
a partir de las cuales se tiene la siguiente expresi\'on del
potencial escalar del campo de velocidades:

\[
\dis \phi (x,y)=\frac{1}{2}(x^2 -y^2 )+C,
\]
siendo $C=C_1 =C_2$ una constante arbitraria de integraci\'on. Las
l\'{\i}neas equipotenciales de este campo escalar (v\'ease su
definici\'on en el tema de teor\'{\i}a de campos del gui\'on de
primer curso), se definen por $\phi (x,y)= \alpha$, $\alpha\in\R$
es decir,
\[
\dis \phi (x,y)=\frac{1}{2}(x^2 -y^2 )+C =\alpha,
\]
luego tienen la ecuaci\'on:

\[
x^2 -y^2 =K ,\qquad K=2(\alpha -C),
\]
y son por tanto,

\[
\left\{
\begin{array}{rcll}
\dis x & = & \pm \sqrt{K+y^{2}} & K\geq 0 \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip}\dis y & = & \pm \sqrt{x^{2}-K} & K\leq 0,
\end{array}
\right.
\]
y el gradiente de $\phi $ en cada punto (es decir los vectores de \textbf{%
m\'{a}ximo ascenso}) marca la velocidad en ese punto: $\nabla \phi =\bfm{v}$%
.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-2.eps}
    \caption{L\'{\i}neas potenciales: son las curvas de nivel de la función potencial.}
    \label{figura1}
\end{figure}






%\FRAME{ftbpF}{200.75pt}{200.75pt}{0pt}{}{}{Figure
%}{\special{language "Scientific Word";type
%"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file
%"T";width 200.75pt;height 200.75pt;depth 0pt;original-width
%213.75pt;original-height 213.375pt;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'C:/URJC/escet/metodos/guiones/ej1-5b.wmf';tempfile-properties
%"XNP";}}\es

\subsubsection*{Ortogonalidad de las l\'{\i}neas de corriente con las
l\'{\i}neas equipotenciales de un flujo plano irrotacional}

Es posible demostrar que las l\'{\i}neas equipotenciales son
ortogonales a las l\'{\i}neas de campo (o l\'{\i}neas de
corriente). Lo veremos primero en nuestro caso concreto donde:
\[
\phi (x,y) =x^2 -y^2 ,\qquad \psi (x,y)=xy,
\]
son el potencial de velocidad y la funci\'on de corriente
determinados antes (se han elegido constantes arbitrarias tales
que $\phi (0,0)=\psi (0,0)=0$); posteriormente ve\-re\-mos que la
propiedad de ortogonalidad se tiene en general (si el flujo es
plano e irrotacional). \es

Sea $(x_0 ,y_0 )$ un punto gen\'erico del plano $\R^2$. Por
comodidad supondremos $y_0 > 0$ (se razonar\'{\i}a de forma
an\'aloga si $y_0 <0$). Si $y_0 =0$ la l\'{\i}nea de corriente que
pasa por $(x_0 ,0 )$ es $\psi (x,y)=xy=0$, es decir, el eje $y=0$.
Si $(x_0 ,y_0 )=(0,0)$ entonces la
l\'{\i}nea de corriente viene dada por los ejes coordenados de ecuaci\'on $%
y=0$ o $x=0$. \es

La l\'{\i}nea equipotencial y la l\'{\i}nea de corriente que pasa
por $(x_0 ,y_0 )$, $y_0 >0$ ser\'an, respectivamente,
\[
\phi (x,y)=x^2 -y^2 =x_0^2 -y_0^2 ,\qquad \psi (x,y)=xy =x_0 y_0,
\]
es decir,
\[
y =y(x)=\dis \pm \sqrt{x^2 -x_0^2 +y_0^2} ,\qquad y = y(x)=\dis \frac{x_0 y_0%
}{x}.
\]
Calculando sus derivadas (que nos dan el coeficiente angular de
sus rectas tangentes) se tiene:

\[
y^{\prime}=y^{\prime}(x)=\dis \pm \frac{x}{\sqrt{x^2 -x_0^2
+y_0^2}} ,\qquad y^{\prime}=y^{\prime}(x)=-\dis \frac{x_0
y_0}{x^2},
\]
y evaluando en $x_0$ (recu\'erdese que, por hip\'otesis, $y_0
>0$):

\[
y^{\prime}(x_0)=m_1 \doteq \dis \pm \frac{x_0}{|y_0|}= \dis \pm \frac{x_0}{%
y_0} ,\qquad y^{\prime}=y^{\prime}(x_0 )=m_2 \doteq -\dis
\frac{x_0 y_0}{x_0^2} =-\dis \frac{y_0}{x_0}.
\]
Un conocido resultado de la geometr\'{\i}a anal\'{\i}tica nos dice
que dos
rectas son ortogonales cuando el producto de los coeficientes angulares es $%
- 1$. Calculamos entonces el producto $m_1 m_2 $ para obtener
\[
\dis m_1 m_2 = \dis \left( \pm \frac{x_0}{|y_0|}\right)\left(
-\dis \frac{y_0}{x_0}\right)=\mp \frac{y_0}{|y_0 |}=\mp 1,
\]
luego si $y_0 >0$, entonces la l\'{\i}nea equipotencial
\[
y =y(x)=\dis  \sqrt{x^2 -x_0^2 +y_0^2},
\]
cuya recta tangente tiene coeficiente angular $m_1 =x_0 /y_0$, es
ortogonal a la l\'{\i}nea de corriente
\[
y(x)=\dis \frac{x_0 y_0}{x},
\]
cuya recta tangente tiene coeficiente angular $m_2 =-y_0 /x_0$. Si
$y_0 <0$ entonces la l\'{\i}nea equipotencial
\[
y =y(x)=\dis - \sqrt{x^2 -x_0^2 +y_0^2},
\]
cuya recta tangente tiene coeficiente angular $m_1 =x_0 /y_0$, es
ortogonal a la l\'{\i}nea de corriente
\[
y(x)=\dis \frac{x_0 y_0}{x},
\]
cuya recta tangente tiene coeficiente angular $m_2 =-y_0 /x_0$.
\es

En lugar de desarrollar los c\'{a}lculos anteriores, es posible
demostrar la ortogonalidad de las l\'{\i }neas de corriente con
las l\'{\i }neas equipotenciales en el caso de flujos planos
irrotacionales mediante la siguiente observaci\'{o}n. Por la
definici\'{o}n (\ref{funcor}) de la funci\'{o}n de corriente se
tiene que:
\[
\dis
\bfm{v}\cdot \nabla \psi =(v_{x},v_{y})\cdot \left( \dis \deri{\psi}{x},%
\deri{\psi}{y}\right) =\dis v_{x}\deri{\psi}{x}+v_{y}\deri{\psi}{y}%
=-v_{x}v_{y}+v_{y}v_{x}\equiv 0.
\]
Por otra parte, al ser $\bfm{v}$ un campo potencial, se tiene que $\dis %
\nabla \phi =\bfm{v}$. Juntando las dos ecuaciones,
$\dis\bfm{v}\cdot \nabla \psi =0$ y $\dis \nabla \phi =\bfm{v}$,
se deduce,
\[
\dis\nabla \psi \cdot \nabla \phi =0,
\]
lo que expresa la ortogonalidad de los respectivos gradientes. Ahora bien, $%
\nabla \psi (x_{0},y_{0})$ es un vector ortogonal a la l\'{\i }nea
de corriente que pasa por $(x_{0},y_{0})$ mientras que $\nabla
\phi (x_{0},y_{0})$ es un vector ortogonal a la l\'{\i }nea
equipotencial que pasa por $(x_{0},y_{0})$ luego las l\'{\i }neas
mencionadas se cruzan ortogonalmente.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-3.eps}
    \caption{L\'{\i}neas potenciales y de corriente: obs\'ervese la ortogonalidad entre ellas.}
    \label{figura1}
\end{figure}



%\FRAME{ftbphF}{200.75pt}{200.75pt}{0pt}{}{}{Figure }{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
%TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width 200.75pt;height 200.75pt;depth
%0pt;original-width 213.75pt;original-height 213.375pt;cropleft "0";croptop
%"1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'C:/URJC/escet/metodos/guiones/ej1-5c.wmf';tempfile-properties "XNP";}}\es

Volveremos a este ejemplo tras haber introducido otros conceptos,
definiciones y t\'ecnicas de resoluci\'on necesarios para
ulteriores desarrollos. Puesto que los fundamentos de la
interpretaci\'on geom\'etrica del proceso de resoluci\'on de una
EDP se apoyan fuertemente en los de curvas y superficies hemos
resumido algunos resultados b\'asicos en los anexos al primer
tema.

%\subsubsection*{Representaciones de una curva}

\section{Ecuaciones cuasilineales de primer orden}

La ecuaci\'on (\ref{genedp}) en el caso en que $m=1$ nos
proporciona la denominada ecuaci\'on cuasilineal de primer orden:

\begin{equation}  \label{genedp1}
F\left( x_1 ,x_2 ,... ,x_n , u,\deri{u}{x_1}
,...,\deri{u}{x_n}\right) =0,
\end{equation}
que tendr\'a que verificarse en una regi\'on $\Omega \subset\R^n$, siendo $%
n\geq 2$. %eventualmente $\Omega \equiv \R^n$.
Si $n=2$ entonces se pone $(x_1 ,x_2 )=(x,y)\in\Omega \subset\R^2$
y se tiene la forma general de la EDP de primer orden cuasilineal
bidimensional dada por:

\begin{equation}  \label{genedp2}
F\left( x ,y , u,\deri{u}{x} ,\deri{u}{y}\right) =0
\end{equation}
La ecuaci\'on en la forma (\ref{genedp2}) admite una
interpretaci\'on geom\'etrica en t\'erminos de la teor\'{\i}a de
campos (tema 12 de la asignatura de primer curso). \es

Dos problemas que surgen de modo \emph{natural} al estudiar un
campo vectorial continuo (aunque supondremos algo m\'as de
regularidad, digamos campos de clase $C^1$ para poder aplicar las
t\'ecnicas del c\'alculo diferencial vectorial)
%(v\'ease el tema 12 de la asignatura del primer curso sobre la teor\'{\i}a de campos)
son los problemas sobre la determinaci\'on de las l\'{\i}neas
vectoriales y de las superficie vectoriales. Casi con la misma
frecuencia surge el problema sobre la determinaci\'on de la
familia de superficies ortogonales a las l\'{\i}neas vectoriales.
Analizaremos estos problemas en las siguientes secciones haciendo
hincapi\'e en su interpretaci\'on geom\'etrica. Previamente, es
necesario considerar algunos aspectos, conceptos y definiciones de
la teor\'{\i}a matem\'atica general de las EDP de primer orden.

\subsection{Teor\'{\i}a matem\'atica general}

Seguiremos en esta exposici\'on el libro de Elsgoltz\footnote{%
Elsgoltz, L., (1983). Ecuaciones diferenciales y c\'alculo
variacional. Tercera ed. Editorial Mir.} cap\'{\i}tulo 5.
Tambi\'en se ha utilizado el
cap\'{\i}tulo 1 del libro de F. John\footnote{%
Fritz John, (1982). Partial differential equations. IV Ed. Applied
Mathematical Sciences. Springer Verlag.}. \es

Se denomina ecuaci\'on \textbf{cuasilineal de primer orden} en
derivadas parciales en forma normal (o expl\'{\i}cita) a una
ecuaci\'on de la forma:

\begin{equation}  \label{epri}
P_1 (x_1 ,x_2, ...., x_n, u)\deri{u}{x_1} + ..... + P_n (x_1 ,x_2,
...., x_n, u) \deri{u}{x_n} =R (x_1 ,x_2, ...., x_n, u).
\end{equation}
N\'otese que el tipo de ecuaci\'on (\ref{epri}) es un caso particular de (%
\ref{genedp1}) donde la inc\'ognita del problema es $u(x_1
,...,x_n)$. Esta ecuaci\'on es lineal con respecto a las
derivadas, pero puede no ser lineal con respecto a la funci\'on
desconocida $u$ (en cuyo caso es cuasilineal). Concretamente, se
tiene la siguiente clasificaci\'on: \es

\centerline{\underline{CLASIFICACI\'ON}} \es

\begin{enumerate}
\item  Si $R\equiv 0$ y $P_{i}=P_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ (no dependen de
$u$) la ecuaci\'{o}n (\ref{epri}) se llama \textbf{lineal
homog\'{e}nea}:
\[
P_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\deri{u}{x_1}%
+.....+P_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\deri{u}{x_n}=0.
\]
Si definimos $\vec{x}=(x_{1},...,x_{n})$,
$\vec{P}=(P_{1},...,P_{n})$ la ecuaci\'{o}n anterior se puede
escribir en la forma equivalente:
\[
\vec{P}(\vec{x})\cdot \nabla u(\vec{x})=0,
\]
siendo $\vec{x}\in \Omega \subset \R^{n}$. Si adem\'{a}s los coeficientes $%
P_{i}$ son constantes, $P_{i}\equiv c_{i}$, $c_{i}\in \R$,
$i=1,..,n$, la ecuaci\'{o}n (\ref{epri}) se dice \textbf{lineal
homog\'{e}nea con coeficientes constantes}:
\[
c_{1}\deri{u}{x_1}+\,.......\,+c_{n}\deri{u}{x_n}=0.
\]
Si definimos $\vec{c}=(c_{1},...,c_{n})$ y utilizamos la
notaci\'{o}n anterior la ecuaci\'{o}n se puede escribir en la
forma equivalente:
\[
\vec{c}\cdot \nabla u(\vec{x})=0,
\]
siendo $\vec{x}\in \Omega \subset \R^{n}$. Ejemplos concretos
pueden ser:
\[
\dis \deri{u}{x}-\deri{u}{y}=0,\qquad \dis e^{yx}\deri{u}{x}-(x+y)\deri{u}{y}%
=0,
\]
que son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
lineales
homog\'{e}neas. La primera con coeficientes constantes, $\vec{c}%
=(c_{1},c_{2})=(1,-1)$ y la segunda con coeficientes va\-ria\-bles, $\vec{P}=%
\dis (P_{1}(x,y),P_{2}(x,y))=(e^{xy},x+y)$.

\item  Si $R\neq 0$ y $R(x_{1},x_{2},....,x_{n},u)$ es lineal en $u$ y
adem\'{a}s se tiene que los coeficientes $P_{i}$ son funciones del
tipo (como antes) $P_{i}=P_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ (es decir
no dependen de $u $) entonces la ecuaci\'{o}n (\ref{epri}) se
llama \textbf{lineal no homog\'{e}nea}:
\[
P_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\deri{u}{x_1}%
+.....+P_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n})\deri{u}{x_n}%
=a(x_{1},...,x_{n})u+b(x_{1},..x_{n})
\]
siendo $a$, $b$ funciones coeficientes que no dependen de $u$:
\[
R(x_{1},...,x_{n})=a(x_{1},...,x_{n})u+b(x_{1},..x_{n}).
\]
%Si los $P_i$ son constantes, $P_i \equiv c_i $, $c_i \in\R$, $i=1,..,n$,
%la ecuaci\'on (\ref{epri}) se dice {\bf lineal no homog\'enea
%a coeficientes constantes}
%$$
%c_1 \deri{u}{x_1}
%+ ..... + c_n \deri{u}{x_n} =a(x_1 ,...,x_n )u+b(x_1 ,..x_n)
%$$
Esta ecuaci\'{o}n se puede escribir en la forma equivalente
\[
\vec{P}(\vec{x})\cdot \nabla u(\vec{x})=\]
\[a(\vec{x})u+b(\vec{x}),
\]
siendo $\vec{x}\in \Omega \subset \R^{n}$. Ejemplos pueden ser
\[
\dis \deri{u}{x}-\deri{u}{y}=2u-(x^{2}+y^{2}),\qquad \dis e^{yx}\deri{u}{x}%
-(x+y)\deri{u}{y}=x+y+u,
\]
que son dos ecuaciones en derivadas parciales de pri\-mer or\-den
li\-nea\-les no ho\-mo\-g\'{e}neas. La primera con coeficientes
constantes y la segunda con coeficientes va\-ria\-bles.

\item  Si alg\'{u}n coeficiente $P_{i}$ depende de $u$, en la forma $%
P_{i}=P_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n},u)$ y adem\'{a}s $R\equiv 0$ la
ecuaci\'{o}n (\ref{epri}) se llama \textbf{cuasilineal
homog\'{e}nea} y es de la forma:

\[
P_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n},u)\deri{u}{x_1}%
+.....+P_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n},u)\deri{u}{x_n}=0,
\]
donde la homogeneidad se deduce de la condici\'{o}n $R=0$. Esta
ecuaci\'{o}n se puede escribir en la forma equivalente
\[
\vec{P}(\vec{x},u)\cdot \nabla u(\vec{x})=0,
\]
siendo $\vec{x}\in \Omega \subset \R^{n}$. \es

N\'{o}tese que si los coeficientes $P_{i}$ dependen de $u$ en
forma lineal
la ecuaci\'{o}n sigue siendo cuasilineal. Por ejemplo, el t\'{e}rmino $\dis %
uu_{x_{1}}$ es no lineal aunque la dependencia $%
P_{1}(x_{1},x_{2},...,x_{n},u)=u$ es lineal. De hecho, es un
t\'{e}rmino cuadr\'{a}tico pues se puede escribir en la forma:
\[
\dis u\deri{u}{x_1}=\frac{1}{2}\deri{}{x_1}(u^2).
\]

Ejemplo:
\[
\dis u\deri{u}{x}-\deri{u}{y}=0,\qquad \dis e^{yx}\deri{u}{x}-(u+x+y)%
\deri{u}{y}=0,
\]
son dos ecuaciones en derivadas parciales de primer orden
cuasilineales homog\'{e}neas.

\item  Sea $R\neq 0$ (no id\'enticamente nula; puede depender de $u$). Si alg\'{u}n coeficiente $P_{i}$ depende de $u$, $%
P_{i}=P_{i}(x_{1},x_{2},...,x_{n},u),$
%y/o $R$  depende de $u$ en forma no lineal
entonces la ecuaci\'{o}n (\ref{epri}) se llama \textbf{cuasilineal
no homog\'{e}nea}. Esta ecuaci\'{o}n se puede escribir en la forma
equivalente:
\[
\vec{P}(\vec{x},u)\cdot \nabla u(\vec{x})=R(\vec{x},u),
\]
siendo $\vec{x}\in \Omega \subset \R^{n}$. Por ejemplo:
\[
\dis u\deri{u}{x}-\deri{u}{y}=x,\qquad \dis e^{yx}\deri{u}{x}-(u+x+y)%
\deri{u}{y}=-u^{2},
\]
son dos ecuaciones en derivadas parciales de pri\-mer or\-den
cua\-si\-li\-ne\-al\-es no ho\-mo\-g\'{e}neas.
\end{enumerate}

En el caso bidimensional la notaci\'on anterior se simplifica. Si
$n=2$, entonces $(x_1 ,x_2 )=(x,y)\in\Omega \subset\R^2$ y la
ecuaci\'on cuasilineal de primer orden (\ref{epri}) se tranforma
en:

\begin{equation}  \label{epribis}
P(x,y,u)\deri{u}{x}+Q(x,y,u)\deri{u}{y}=R(x,y,u),
\end{equation}
siendo $P_1 (x,y,u)=P(x,y,u)$, $P_2 (x,y,u)=Q(x,y,u)$. Obviamente
la clasificaci\'on co\-rres\-pon\-diente se obtiene
particularizando lo
anterior. T\'{\i}picamente se denota la soluci\'on $u(x,y)$ en la forma $%
z=u(x,y)$, que es la ecuaci\'on (expl\'{\i}cita y en coordenadas
cartesianas) de una superfice en el espacio tridimensional. Las superficies $%
z=u(x,y)$, que son soluciones de la EDP se llaman
\textbf{superficies integrales} de la EDP. \es

Introducida la forma general de las ecuaciones que trataremos en
las secciones si\-guien\-tes pasaremos ahora a dar una
interpretaci\'on geom\'etrica del proceso de resoluci\'on. El
resultado principal que veremos es que la soluci\'on general de
una EDP del tipo (\ref{genedp1}) (o en la forma expl\'{\i}cita
(\ref{epri})) se puede obtener resolviendo sistemas (eventualmente
acoplados) de ecuaciones diferenciales ordinarias que nacen al
considerar ciertos problemas geom\'etricos t\'{\i}picos de la
teor\'{\i}a de campos.

\subsubsection{Interpretaci\'on geom\'etrica}

Daremos ahora una interpretaci\'on geom\'etrica del problema de la
resoluci\'on de una EDP lineal no homog\'enea (o cuasilineal) de
primer orden. \es

Veremos que resolver una EDP de tal tipo implicar\'a buscar las
l\'{\i}neas
de campo (o l\'{\i}neas vectoriales) de un campo vectorial \emph{naturalmente%
} asociado a la EDP. El problema se reconducir\'a por tanto a
resolver un sistema de EDO cuyas soluciones (denominadas las
caracter\'{\i}sticas de la EDP) ser\'an las ecuaciones de las
l\'{\i}neas de campo del campo vectorial. La soluci\'on general de
la EDP original nos dar\'a las ecuaciones de las superficies
vectoriales del campo. Seleccionar una superficie vectorial
concreta equivaldr\'a a resolver un problema de Cauchy prefijando
una curva en el espacio por donde tiene que pasar la superficie
seleccionada. Analizaremos, adem\'as, los problemas que surgen al
prefijar una curva que sea caracter\'{\i}stica para la EDP. \es

Para mayor claridad en la interpretaci\'on geom\'etrica,
estudiemos la ecuaci\'on cuasilineal con dos variables
independientes $(x,y)\in\Omega \subset \R^2 $ dada en
(\ref{epribis}), es decir,

\[
%\begin{equation}\label{epridos}
P(x,y,u)\deri{u}{x}+Q(x,y,u)\deri{u}{y}=R(x,y,u),
\]
%\end{equation}
siendo $u=u(x,y)$ la inc\'ognita del problema. La ecuaci\'on
(\ref{epribis})
se deduce de la ecuaci\'on (\ref{epri}) para $N=2$, $(x_1 ,x_2 )=(x,y)$, $%
(P_1 ,P_2 )=(P,Q)$, $R=R$. Supondremos que las funciones coeficientes $P$, $%
Q $, $R$ son diferenciables con continuidad (de clase $C^1 (\Omega
)$) en la regi\'on considerada de variaci\'on de las variables,
$\Omega$, y que no se anulan simult\'aneamente en un punto de
$\Omega$ pues de lo contrario obtendr\'{\i}amos en aquel punto la
identidad $0=0$ que ser\'{\i}a cierta para cualquier funci\'on y
la ecuaci\'on \emph{desaparecer\'{\i}a}. Otras situaciones
\emph{delicadas} se podr\'{\i}an presentar al anularse uno de los
dos coeficientes $P$ o $Q$. En tal caso la ecuaci\'on
degenerar\'{\i}a, en el sentido de que cambiar\'{\i}a de tipo,
pasando de EDP a EDO pues nos quedar\'{\i}a s\'olo una derivada
parcial. En estos casos ser\'{\i}a todav\'{\i}a posible encontrar
las soluciones de la EDP pero en un sentido d\'ebil. Tambi\'en
podr\'{\i}a ocurrir que ambos coeficientes $P$ y $Q$ se anularan
simult\'aneamente en un punto (sin que lo hiciera $R$). En tal
caso pasar\'{\i}amos de una EDP a una ecuaci\'on algebraica siendo
a\'un m\'as \emph{dram\'atica} la degeneraci\'on. En estos casos
sigue siendo posible desarrollar un an\'alisis local de la
ecuaci\'on pero procuraremos evitar estos casos digamos
\emph{patol\'ogicos}.

\subsubsection*{La interpretaci\'on geom\'etrica}

La idea b\'asica de la interpretaci\'on geom\'etrica consiste en
asociar a la ecuaci\'on (\ref{epribis}) el campo vectorial de
clase $C^1 (\Omega )$, siendo $\Omega$ una regi\'on abierta de
$\R^3$,
\[
\bfm{F}:\Omega \subset \R^3 \to \R^3,
\]
dado por:
\begin{equation}  \label{aso}
\bfm{F}(x,y,u)=P(x,y,u)\bfm{i} + Q(x,y,u)\bfm{j}+ R(x,y,u)\bfm{k},
\end{equation}
siendo $\bfm{i}$, $\bfm{j}$, $\bfm{k}$, vectores unitarios
dirigidos por los ejes de coordenadas. \es

Antes de entrar en detalles con la interpretaci\'on geom\'etrica
recordaremos algunos conceptos y definiciones b\'asicos para
sucesivos tratamientos.

\medskip

Las \textbf{l\'{\i }neas vectoriales} de este campo (es decir, las
l\'{\i
}neas cuyas tangentes tienen en cada punto la direcci\'{o}n del vector $%
\bfm{F}$ en dicho punto) son las \textbf{curvas caracter\'{\i
}sticas} de la
EDP y se determinan por la condici\'{o}n de paralelismo entre el vector $%
\bfm{T}=\bfm{i}dx+\bfm{j}dy+\bfm{k}du$ (vector director de la
tangente a las l\'{\i }neas buscadas) y el vector $\bfm{F}$.
Utilizando el producto vectorial esta condici\'{o}n se escribe en
la forma:
\[
\bfm{T}\wedge \bfm{F}=(Rdy-Qdu)\bfm{i}+(Pdu-Rdx)\bfm{j}+(Qdx-Pdy)\bfm{k}=%
\bfm{0}.
\]
A lo largo de una curva caracter\'{\i }stica se tiene por tanto:

\begin{equation}  \label{ecca}
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{dy}{Q(x,y,u)}=\dis
\frac{du}{R(x,y,u)}.
\end{equation}
Las ecuaciones (\ref{ecca}) se conocen con el nombre de ecuaciones
caracter\'{\i}sticas de la EDP y su resoluci\'on nos proporciona
las l\'{\i}neas vectoriales del campo. \es

Introduciendo un par\'ametro $\theta$ podemos escribir la
condici\'on (\ref {ecca}) (que define las curvas
caracter\'{\i}sticas de la EDP) en la forma
\[
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{dy}{Q(x,y,u)}=\dis
\frac{du}{R(x,y,u)} =d\theta,
\]
para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales:

\[
\dis \left\{ \quad \dis \frac{dx}{d\theta }=P(x,y,u),\qquad \dis \frac{dy}{%
d\theta }=Q(x,y,u),\qquad \dis \frac{du}{d\theta }=R(x,y,u).\quad
\right.
\]
Este sistema se dice aut\'{o}nomo ya que la variable in\-de\-pen\-dien\-te $%
\theta $ no aparece ex\-pl\'{\i }\-ci\-ta\-mente. Su\-po\-nien\-do que $%
P,Q,R $ son de clase $C^{1}(\Omega )$ sabemos por la teor\'{\i }a
de las ecuaciones di\-fe\-ren\-ciales ordinarias (v\'{e}anse los
temas correspondientes de EDO y sistemas de EDO del primer curso)
que a trav\'{e}s de cualquier punto de $\Omega $ pasa exactamente
una curva caracter\'{\i }stica de la EDP o (lo que es lo mismo)
una l\'{\i }nea vectorial del campo. \es

N\'otese que aunque la introducci\'on del par\'ametro $\theta$
pueda parecer bastante \emph{artificial}, ser\'a en realidad
entendida como \emph{natural} al considerar la expresi\'on
param\'etrica de las curvas buscadas. Consideraremos esta
situaci\'on en la secci\'on dedicada al caso
param\'etrico. %en el espacio $\Gamma_0$
%$$
%\Gamma_0 =\left\{\quad (x,y,z)\in\R^3 /\, x=x(\theta ), \quad y=y(\theta ),
%\quad
%z=u(\theta )\quad\right\}
%$$
%y la correspondiente expresi\'on
%param\'etrica del vector a ella tangente

\medskip

Las superficies formadas por las \textbf{l\'{\i }neas vectoriales}
del campo se llaman \textbf{superficies vectoriales}. Si una
superficie $S$ definida por $u=u(x,y)$ es la uni\'{o}n de curvas
caracter\'{\i }sticas, entonces $S$ es una superficie integral (es
decir una soluci\'{o}n de la EDP). Por otra parte, cualquier
superficie integral es uni\'{o}n de curvas caracter\'{\i }sticas
(lo que equivale a afirmar que a trav\'{e}s de cualquier punto de
la superficie $S$ pasa una curva caracter\'{\i }stica contenida en
$S$). Estos resultados son una consecuencia del siguiente teorema
(cuya demostraci\'{o}n se puede encontrar en el libro de F. John,
pag 10)

\beteor\label{unidos} Sea dado un punto $P_0 =(x_0 ,y_0 ,z_0
)\in\R^3$ que pertenece a una superficie integral $S$ de la EDP
definida por $z=u(x,y)$. Sea $\Gamma$ la curva caracter\'{\i}stica
que pasa por el punto $P_0$. Entonces $\Gamma$ est\'a
completamente contenida en $S$. \enteor Como consecuencia directa
de este resultado, dos superficie integrales que tienen un punto
$P_0$ en com\'un se intersecan a lo largo de toda la
caracter\'{\i}stica que pasa por $P_0$ (es decir que ambas
contienen completamente a la caracter\'{\i}stica). Tenemos ahora
una simple descripci\'on de la soluci\'on general de
(\ref{epribis}): las superficies integrales $z=u(x,y)$ que son
uni\'on de curvas caracter\'{\i}sticas. \es

Siendo $\bfm{N}$ un vector normal a la superficie vectorial, esta
superficie
se caracteriza por la ecuaci\'on $\bfm{N}\cdot \bfm{F} =0$ pues el vector $%
\bfm{N}$ que tiene la direcci\'on de la normal a la superficie, es
ortogonal al vector $\bfm{F}$ del campo en todo punto de \'esta.
Esta ecuaci\'on tiene dos expresiones distintas dependiendo del
tipo de representaci\'on que se utilize para definir la
superficie. En concreto, se tiene: \es

\begin{enumerate}
\item  Si la superficie vectorial se determina expl\'{\i }citamente por la
ecuaci\'{o}n $z=u(x,y)$, entonces el vector normal es
\[
\bfm{N}=\dis
\deri{u}{x}\bfm{i}+\deri{u}{y}\bfm{j}-\bfm{k}=(u_{x},u_{y},-1),
\]
y la condici\'{o}n de ortogonalidad $\bfm{N}\cdot \bfm{F}=0$ toma
la forma de la ecuaci\'{o}n (\ref{epribis}). El vector normal
unitario es:
\[
\bfm{n}=\dis \frac{\bfm{N}}{\Vert \bfm{N}\Vert }=\dis
\frac{(u_{x},u_{y},-1)}{\sqrt{1+u_{x}^{2}+u_{y}^{2}}}.
\]

\item  Si la superficie vectorial se determina impl\'{\i }citamente por la
ecuaci\'{o}n $S(x,y,z)=0$, siendo:
\[
\dis \nabla S=\left( \deri{S}{x},\deri{S}{y},\deri{S}{z}\right),
\]
entonces el vector normal es:
\[
\bfm{N}=\dis
\deri{S}{x}\bfm{i}+\deri{S}{y}\bfm{j}+\deri{S}{z}\bfm{k},
\]
y la condici\'{o}n de ortogonalidad $\bfm{N}\cdot \bfm{F}=0$ toma
la forma de la ecuaci\'{o}n:

\begin{equation}
P(x,y,u)\deri{S}{x}+Q(x,y,u)\deri{S}{y}+R(x,y,u)\deri{S}{u}=0,
\label{epritres}
\end{equation}
siendo $S(x,y,u)$ la soluci\'{o}n buscada. El vector normal
unitario es, en este caso:
\[
\bfm{n}=\dis \frac{\nabla S}{\Vert \nabla S\Vert }.
\]
\end{enumerate}

\es

Por consiguiente, para hallar las superficies vectoriales hay que
integrar la ecuaci\'on cuasilineal (\ref{epribis}), o la
ecuaci\'on lineal homog\'enea (\ref{epritres}), seg\'un se busque
la ecuaci\'on de las superficies vectoriales en forma
expl\'{\i}cita o impl\'{\i}cita. \es

\subsubsection{El proceso de resoluci\'on}

Veamos ahora como actuar cuando la integraci\'on de una EDP no es
directa. Puesto que las superficies vectoriales pueden formarse
por l\'{\i}neas
vectoriales, la integraci\'on de la ecuaci\'on cuasilineal no homog\'enea (%
\ref{epribis}) (que nos proporciona las ecuaciones expl\'{\i}citas
de las superficies integrales soluciones de la EDP)
%(o su forma impl\'{\i}cita (\ref{epritres}))
se reduce a la integraci\'on del sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias de las l\'{\i}neas vectoriales que
aparece en (\ref{ecca}) y que aqu\'{\i} recordamos:
\[
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{dy}{Q(x,y,u)}=\dis
\frac{du}{R(x,y,u)}.
\]
Sean $\psi_1 (x,y,u)=c_1$, $\psi_2 (x,y,u)=c_2$ dos soluciones (se
las llama tambi\'en \textbf{integrales primeras}) independientes
del sistema (\ref {ecca}). Obs\'ervese que la independencia se
obtiene al considerar s\'olo
dos %(las dos m\'as sencillas)
de las tres ecuaciones caracter\'{\i}sticas. Esta selecci\'on se
realiza siguiendo los siguientes principios: siempre se considera
la primera de ellas,
\[
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{dy}{Q(x,y,u)},
\]
que nos proporciona las caracter\'{\i}sticas de la EDP y despu\'es
se considera una cualquiera (se suele elegir la m\'as sencilla)
entre
\[
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{du}{R(x,y,u)},\qquad \dis \frac{dy}{%
Q(x,y,u)}=\dis \frac{du}{R(x,y,u)},
\]
lo que nos proporciona las superficies integrales de la EDP. En
general, las curvas $\psi_1$, $\psi_2$ (obtenidas al resolver dos
de las tres ecuaciones diferenciales ordinarias) son las
\textbf{caracter\'{\i}sticas} de la ecuaci\'on en derivadas
parciales. Su expresi\'on define, como ya vimos en la secci\'on
anterior, las l\'{\i}neas vectoriales del campo asociado a la EDP.
Puesto que las superficies vectoriales (soluciones de la EDP)
deben contener todas las caracter\'{\i}sticas podemos encontrar la
ecuaci\'on de las superficies vectoriales estableciendo una
dependencia continua cualquiera $\Phi (c_1 ,c_2 )=0$ entre los
par\'ametros $c_1$, $c_2$ que nos permita \emph{pasar con
continuidad} de una l\'{\i}nea vectorial a otra generando as\'{\i}
una superfice. Eliminando los par\'ametros $c_i$ del sistema:
\[
\psi_1 (x,y,u)=c_1 ,\qquad \psi_2 (x,y,u)=c_2,\qquad \Phi (c_1
,c_2 )=0,
\]
obtenemos la ecuaci\'on buscada:
\[
\Phi (\psi_1 (x,y,u), \psi_2 (x,y,u) )=0,
\]
siendo $\Phi$ una funci\'on arbitraria. De este modo, la integral
de la ecuaci\'on cuasilineal (\ref{epribis}) (dependiente de una
funci\'on arbitraria)
\[
P(x,y,u)\deri{u}{x}+Q(x,y,u)\deri{u}{y}=R(x,y,u),
\]
puede obtenerse por el m\'etodo siguiente:

\begin{enumerate}
\item  Se integra el sistema auxiliar de ecuaciones (\ref{ecca}):
\[
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}=\dis \frac{dy}{Q(x,y,u)}=\dis
\frac{du}{R(x,y,u)}.
\]

\item  Se hallan dos integrales primeras de \'{e}ste:
\[
\psi _{1}(x,y,u)=c_{1},\qquad \psi _{2}(x,y,u)=c_{2}.\qquad
\]

\item  Se obtiene la integral buscada en la forma:
\[
\Phi (\psi _{1}(x,y,u),\psi _{2}(x,y,u))=0,
\]
siendo $\Phi $ una funci\'{o}n arbitraria.
\end{enumerate}

\bejem\label{ej22} Determinar la integral de la ecuaci\'on
\[
\dis \deri{u}{x}+\dis \deri{u}{y}=1
\]
que depende de una funci\'on arbitraria. \enejem

Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes
constantes no homog\'enea. El sistema auxiliar de ecuaciones
caracter\'{\i}sticas es

\[
dx=dy=du.
\]
Considerando las ecuaciones $dx=dy$ y $dx =du$, sus primeras
integrales tienen la forma
\[
1)\quad \psi_1 (x,y,u)=x-y=c_1 ,\qquad 2)\quad \psi_2 (x,y,z)=u-x
=c_2.
\]
La integral (o soluci\'on general) de la EDP original es

\[
3)\qquad \Phi (c_1 ,c_2 )=\Phi (x-y,u-x) =0,
\]
siendo $\Phi$ una funci\'on arbitraria. De $2)$ se tiene que
$u=x+c_2$. Como por $3)$ y $1)$
\[
\Phi (c_1 ,c_2 )=\Phi (x-y,c_2 ) =0,
\]
se tendr\'a que $c_2 =f(c_1 )=f (x-y)$, siendo $f$ es una
funci\'on de clase $C^1 (\R^2 )$ arbitraria. Por tanto,

%Resolviendo las ecuaciones
%$x-y=c_1 $ y $u-x=c_2 $ respecto a $u$ y eliminando constantes
%se tiene:

\[
u=x+f (x-y).
\]

N\'otese en efecto que, al sustituir en la ecuaci\'on se tiene:

\[
\dis \deri{u}{x}+\dis \deri{u}{y}=\dis \deri{}{x}\left( x+f(x-y)\right) +%
\dis \deri{}{y}\left( x+f(x-y)\right) =1+f^{\prime }-f^{\prime
}=1,\quad \forall \,f,
\]
es decir, una identidad, luego $u=x+f(x-y)$ es una familia
(infinita) de superficies que representa la soluci\'{o}n general
de la EDP. Las
caracter\'{\i }sticas de la EDP son las rectas del plano de ecuaci\'{o}n $%
y=x+C$, $C\in \R$.


\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-4.eps}
    \caption{Caracter\'{\i}sticas de la EDP.}
    \label{figura1}
\end{figure}


%\FRAME{ftbphF}{200.75pt}{200.75pt}{0pt}{}{}{Figure }{%
%\special{language "Scientific Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio
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\subsubsection*{Interpretaci\'on geom\'etrica del proceso resolutivo de la
EDP del ejemplo (\ref{ej22})}

El proceso de resoluci\'on seguido en el ejemplo (\ref{ej22}) ha
consistido
en considerar el campo vectorial de clase $(C^1 (\R^3))^3 \doteq C^1 (\R%
^3)\times C^1 (\R^3)\times C^1 (\R^3)$ (es decir, cada componente
del campo es de clase $C^1 (\Omega) $) definido por:

\begin{equation}  \label{asos}
\bfm{F}(x,y,u) =P(x,y,u)\bfm{i} + Q(x,y,u)\bfm{j}+ R(x,y,u)\bfm{k} =\bfm{i}+%
\bfm{j}+\bfm{k},
\end{equation}
es decir, $\bfm{F}(x,y,u)=(1,1,1)$. Las \textbf{l\'{\i}neas
vectoriales} de este campo (es decir, las l\'{\i}neas cuyas
tangentes tienen en cada punto la direcci\'on del vector $\bfm{F}$
en dicho punto) se determinan por la
condici\'on de paralelismo entre el vector $\bfm{T}=dx\bfm{i}+dy\bfm{j}+du%
\bfm{k}$, dirigido por la tangente a las l\'{\i}neas buscadas
(v\'ease la secci\'on en los anexos dedicada a la representaci\'on
de curvas de este mismo gui\'on) y el vector
$\bfm{F}=\bfm{i}+\bfm{j}+\bfm{k}$. Tal condici\'on se expresa en
forma de producto vectorial de la siguiente forma:

\[
\bfm{T}\wedge \bfm{F} =(dy-du)\bfm{i}+(du-dx)\bfm{j}+(dx-dy)\bfm{k} = \bfm{0}%
=(0,0,0),
\]
que es la ecuaci\'on auxiliar $dx=dy=du$ de las
caracter\'{\i}sticas de la EDP. Las l\'{\i}neas vectoriales de
este campo son:

\[
\psi_1 (x,y,u)=x-y=c_1, \qquad \psi_2 (x,y,u)=u-x =c_2,
\]
y son una familia bi-param\'etrica (pues dependen de $(c_1 ,c_2)$)
de l\'{\i}neas vectoriales (las caracter\'{\i}sticas de la EDP).
De esta fa\-mi\-lia se extrajo (arbitrariamente) una fa\-mi\-lia
uniparam\'etrica estableciendo una dependencia continua cualquiera
$\Phi (c_1 ,c_2 )=0$ entre los par\'ametros $(c_1 ,c_2 )$. Esta
operaci\'on de extracci\'on (arbitraria pues $\Phi$ es una
funci\'on arbitraria) de una familia uniparam\'etrica ha
correspondido a la determinaci\'on de la integral de la ecuaci\'on
original:

\[
\Phi (x-y,u-x) = \Phi (c_1 ,c_2 )=0,
\]
que nos proporcion\'o la ecuaci\'on buscada de las superficies
vectoriales:
\[
u=u(x,y)=x+\phi (x-y).
\]
\es
%aqui tray

\subsubsection{Interpretaci\'on geom\'etrica del problema del flujo potencial:
deducci\'on del m\'etodo de las trayectorias}

En esta secci\'on veremos c\'omo la interpretaci\'on geom\'etrica
de las EDP permite interpretar los problemas de flujo asociados a
un campo de velocidades mediante los conceptos de curvas
caracter\'{\i}sticas y superficie integrales. Lo que haremos
ser\'a identificar las curvas caracter\'{\i}sticas con las
l\'{\i}neas de corriente y las superficie integrales con la
gr\'afica de la funci\'on de corriente. Deduciremos as\'{\i} una
forma alternativa de determinar las l\'{\i}neas de corriente de un
campo de velocidades mediante la integraci\'on de una EDO. El
c\'alculo de las l\'{\i}neas de corriente mediante este m\'etodo
se conoce como \textbf{m\'etodo de las trayectorias}. N\'otese que
este m\'etodo se puede usar para cualquier flujo donde el campo de
velocidades es conocido. No es necesario que el flujo sea
bidimensional o incompresible. Tambi\'en se aplica al tratamiento
de problemas de flujo no estacionario. \es

Otra forma de deducir las l\'{\i}neas de corriente ser\'a mediante
la resoluci\'on de un sistema de EDO lo que nos proporcionar\'a
una representaci\'on param\'etrica de estas curvas. Recu\'erdese
que en el ejemplo (\ref{ej15}) las l\'{\i}neas de corriente se
determinaron s\'olo tras la determinaci\'on de la funci\'on de
corriente mediante integraci\'on directa de las EDP que la
definen. \es

En la secci\'on anterior vimos que, dada una EDP de primer orden,
si una superficie $S$ definida por $z =\psi(x,y)$, es la uni\'on
de curvas caracter\'{\i}sticas, entonces $S$ es una superficie
integral (es decir una soluci\'on de la EDP). Por otra parte,
cualquier superficie integral es uni\'on de curvas
caracter\'{\i}sticas. Al trabajar con problemas de flujo
las curvas caracter\'{\i}sticas se denominan \textbf{l\'{\i}neas de corriente%
}\footnote{%
En mec\'anica de medios continuos se distingue claramente entre
l\'{\i}neas de campo (trayectorias) y l\'{\i}neas de corriente.
Sin embargo si el campo de velocidades es estacionario, las
l\'{\i}neas de campo y l\'{\i}neas de corriente son iguales.
Trataremos, en este tema, tan s\'olo este caso (es decir,
estudiaremos s\'olo reg\'{\i}menes de flujo estacionarios).}. Las
superficies formadas por las l\'{\i}neas de corriente del campo de
velocidades se llaman \textbf{superficies vectoriales} y la
gr\'afica de la funci\'on de corriente es una de ellas. \es

Siendo $\bfm{N}$ un vector normal a la superficie vectorial, esta
superficie
se caracteriza por la ecuaci\'on $\bfm{N}\cdot \bfm{v} =0$, pues el vector $%
\bfm{N}$, que tiene la direcci\'on de la normal a la superficie,
es ortogonal al vector $\bfm{v}$ del campo en todo punto de
\'esta. \es

Si la superficie vectorial se determina expl\'{\i}citamente por la
ecuaci\'on $z=\psi(x,y)$, entonces el vector normal es:
\[
\bfm{N}=\dis \deri{\psi}{x}\bfm{i}+\deri{\psi}{y}\bfm{j} -\bfm{k}
=(\psi_x ,\psi_y , -1),
\]
y la condici\'on de ortogonalidad $\bfm{N}\cdot \bfm{v} =0$, toma
la forma de la ecuaci\'on:
\[
v_x \deri{\psi}{x}+v_y \deri{\psi}{y}=0.
\]
\es

La idea b\'asica de la interpretaci\'on geom\'etrica del problema
propuesto en el ejemplo (\ref{ej15}) (determinaci\'on de las
l\'{\i}neas de corriente de un campo de velocidades plano dado)
%(que haremos en el caso bidimensional)
consiste por tanto, en asociar a la ecuaci\'on de primer orden,
lineal homog\'enea,
\[
P(x,y )\deri{\psi }{x}+Q(x,y )\deri{\psi }{y}=0,
\]
el campo vectorial de velocidades,
\[
\bfm{v}(x,y )=v_x (x,y)\bfm{i} + v_y (x,y)\bfm{j}.
\]
La ecuaci\'on que caracteriza la funci\'on de corriente $\psi $
asociada a un campo de velocidades $\bfm{v}$ es:
\[
\bfm{v}\cdot \nabla \psi = v_x \deri{\psi }{x}+v_y \deri{\psi
}{y}=0.
\]
Puesto que el campo dado era $(v_x ,v_y )=(x,-y)$, se obtiene la
EDP (de primer orden lineal homog\'enea):

\[
x \deri{\psi }{x}-y \deri{\psi }{y}=0.
\]
Recordando la definici\'on de $\psi$ dada en (\ref{funcor}):
\[
\deri{\psi }{x} =-v_y ,\qquad \deri{\psi }{y} =v_x,
\]
se deduce que $\psi$ es una superficie integral (soluci\'on) de la
EDP de primer orden. \es

Las \textbf{l\'{\i}neas vectoriales} de este campo (es decir, las
l\'{\i}neas cuyas tangentes tienen en cada punto la direcci\'on del vector $%
\bfm{F}$ en dicho punto) se interpretan como las
\textbf{l\'{\i}neas de corriente} del campo de velocidades y
representan las \textbf{curvas caracter\'{\i}sticas} de la EDP. Se
determinan por la condici\'on de paralelismo entre el vector
$\bfm{T}=\bfm{i}dx+\bfm{j}dy+\bfm{k}d\psi $
(vector director de la tangente a las l\'{\i}neas buscadas) y el vector $%
\bfm{v}$. Utilizando el producto vectorial esta condici\'on se
escribe en la forma:
\[
\bfm{T}\wedge \bfm{v}=
(Rdy-Qdu)\bfm{i}+(Pdu-Rdx)\bfm{j}+(Qdx-Pdy)\bfm{k}
\]
Puesto que $P=v_x$, $Q=v_y$ y $R=0$, se tiene:
\[
\bfm{T}\wedge \bfm{v}= v_y d\psi \bfm{i}+v_x d\psi \bfm{j}+(v_y dx- v_x dy)%
\bfm{k}= \bfm{0}.
\]
A lo largo de una curva caracter\'{\i}stica se tiene por tanto:

\begin{equation}  \label{corecca}
\dis \frac{dx}{v_x}= \dis \frac{dy}{v_y}
\end{equation}
y la soluci\'on $\psi (x,y)$ es constante, $\psi \equiv C$, a lo
largo de una caracter\'{\i}stica pues su tasa de cambio (dada por
$\bfm{v}\cdot \nabla \psi$) es nula por la definici\'on y
construcci\'on de $\psi$. El hecho de que $\psi$ es constante se
denota en la forma:
\[
\dis \frac{dx}{v_x}= \dis \frac{dy}{v_y}=\dis \frac{d\psi }{0}.
\]
Las ecuaciones (\ref{corecca}) se conocen con el nombre de
ecuaciones caracter\'{\i}sticas de la EDP y su resoluci\'on nos
proporciona las l\'{\i}neas de corriente del campo.  \es

\subsubsection*{Ecuaciones param\'etricas de las l\'{\i}neas de corriente}

El m\'etodo de las trayectorias para la determinaci\'on de las
l\'{\i}neas de corriente consiste en la resoluci\'on de la
ecuaci\'on (\ref{corecca}) previa introducci\'on de un
par\'ametro. Este procedimiento permite obtener propiamente las
ecuaciones param\'etricas de las l\'{\i}neas de corriente en
t\'erminos de trayectorias. \es

En efecto, introduciendo un par\'ametro $\theta$ podemos escribir
la condici\'on (\ref{corecca}) (que define las curvas
caracter\'{\i}sticas de la EDP) en la forma:
\[
\dis \frac{dx}{v_x}= \dis \frac{dy}{v_y}=\dis \frac{d\psi }{0}
=d\theta,
\]
para obtener el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias:

\[
\dis \left\{\quad \dis \frac{dx}{d\theta}=P(x,y)=v_x ,\qquad \dis \frac{dy}{%
d\theta}=Q(x,y)=v_y ,\qquad \dis
\frac{d\psi}{d\theta}=R(x,y)=0,\quad\right.
\]
es decir,

\[
\dis \left\{\quad \dis \frac{dx}{d\theta}=x ,\qquad \dis \frac{dy}{d\theta}%
=-y ,\qquad \dis \frac{d\psi}{d\theta}=0.\quad\right.
\]
El sistema es desacoplado (es decir, podemos resolver las
ecuaciones que lo componen de manera independiente, de una en
una). Puesto que se trata de EDO li\-nea\-les de primer orden
separables se obtiene (separando variables) la representaci\'on
param\'etrica de las l\'{\i}neas de corriente:
\[
x(\theta )=c_1 \dis e^{\theta},\qquad y(\theta )=c_2 \dis
e^{-\theta},\qquad \psi (\theta) =c_3.
\]
Los valores de $c_1$, $c_2$ y $c_3$ se determinan imponiendo unas
condiciones ulteriores que complementan la EDP. Analizaremos tales
situaciones en las secciones siguientes, al introducir la
definici\'on de Problema de Cauchy asociado a una EDP de primer
orden.

\subsubsection*{El problema de Cauchy}

Si entre las infinitas superficies vectoriales del campo $\bfm{F}$
se deseara determinar la superficie que pasa por una l\'{\i}nea
dada, definida a su vez por las ecuaciones $\Phi_1 (x,y,u)=0$,
$\Phi_2 (x,y,u)=0$, entonces la funci\'on $\Phi$ ya no ser\'a
arbitraria sino que se determina $\Phi (c_1 ,c_2 )$ por
eliminaci\'on de $x$, $y$, $u$ de las ecuaciones:
\[
 \Phi_1 (x,y,u)=0,\quad \Phi_2 (x,y,u)=0,\quad \psi_1 (x,y,u)=c_1
,\quad \psi_2 (x,y,u)=c_2,
\]
a trav\'es del cual se tiene la ecuaci\'on $\Phi (c_1 ,c_2 )=0$ y
la integral buscada ser\'a
\[
\Phi (\psi_1 (x,y,u), \psi_2 (x,y,u) )=0,
\]
Para poder explicar con rigor este proceso de selecci\'on de
soluciones precisamos antes la definici\'on de Problema de Cauchy
para EDP cuasilineales de primer orden.

\subsubsection{El problema de Cauchy para ecuaciones cuasilineales}

\label{pcc} Para seleccionar una entre las infinitas superficies
integrales de una EDP cuasilineal de primer orden seguiremos el
siguiente camino que nos llevar\'a a la definici\'on del problema
de Cauchy para EDP cuasilineales de primer orden, que no es otra
cosa que un m\'etodo para generar soluciones a partir de la
prescripci\'on de un conjunto de funciones que representan los
datos del problema (digamos la informaci\'on f\'{\i}sica o
experimental) sobre el fen\'omeno a estudiar. Es decir, buscamos
asociar soluciones a datos mediante una aplicaci\'on entre
espacios vectoriales (el espacio de los datos como espacio inicial
y el espacio de las soluciones como espacio de llegada). El
espacio de las soluciones se describe entonces
mediante el espacio (usualmente m\'as simple) de los datos\footnote{%
No queremos (ni podemos) entrar en detalles sobre este tipo de
problemas propio de la teor\'{\i}a de la regularidad de las EDP.
S\'olo se\~nalamos que la caracterizaci\'on del espacio de
soluciones de una EDP mediante la informaci\'on sobre los datos
del problema representa uno de los problemas m\'as interesantes de
la teor\'{\i}a de las ecuaciones en derivadas parciales.}. \es

Una manera simple de seleccionar una funci\'on $u(x,y)$ en el
conjunto infinito de soluciones de (\ref{epribis})
\[
P(x,y,u)\deri{u}{x}+Q(x,y,u)\deri{u}{y}=R(x,y,u),
\]
consiste en prescribir una curva $\Gamma$ en el espacio
tridimensional que debe estar contenida en la superficie integral
$z=u(x,y)$. Sea $\Gamma$ una curva dada param\'etricamente
mediante:

\begin{equation}  \label{jo51}
x=f(s),\qquad y=g(s),\qquad u=h(s)
\end{equation}
Estamos buscando una soluci\'on $u(x,y)$ de (\ref{epribis}), tal
que la relaci\'on

\begin{equation}  \label{jo52}
h(s)=u(f(s),g(s))
\end{equation}
sea una identidad.

\begin{dfn}[Problema de Cauchy]
Sea dada la ecuaci\'on cuasilineal de primer orden
(\ref{epribis}). Un problema de Cauchy asociado a la ecuaci\'on
(\ref{epribis}), consiste en encontrar la funci\'on $u(x,y)$
asociada a los datos $f(s)$, $g(s)$ y $h(s)$ mediante
(\ref{jo51}).
\end{dfn}
Obviamente se entiende por funci\'on asociada a los datos a una
funci\'on que satisface la EDP y la condici\'on (\ref{jo52}).
N\'otese que es posible dar muchas parametrizaciones distintas de
la misma curva $\Gamma$ eligiendo distintos par\'ametros $s$. Sin
embargo la introducci\'on de un par\'ametro diferente $\sigma$ tal
que $s=\phi (\sigma)$ no cambia la soluci\'on del problema de
Cauchy. En cuanto al tipo de soluci\'on, nos contentaremos con
\textbf{soluciones locales}\footnote{%
Es una de las caracter\'{\i}sticas m\'as notables de las EDP de
primer orden hiperb\'olicas: la existencia local, es decir hasta
un tiempo finito.}
definidas para $(x,y)$ en un entorno del punto $x_0 =f(s_0 )$, $y_0 =g(s_0 )$%
. En muchos problemas f\'{\i}sicos la variable $y$ se identifica
con el tiempo y $x$ con la posici\'on en el espacio. Adem\'as en
dichos problemas es frecuente que $y_0$ se tome como inicio del
intervalo temporal en el que se plantea el problema. Es entonces
natural proponerse resolver el problema
de determinar una soluci\'on $u(x,y)$ a partir del conocimiento de su \emph{%
valor inicial} en el tiempo $y=0$:

\begin{equation}  \label{jo53}
u(x,0)=u_0 (x).
\end{equation}


\begin{dfn}[Problema de Valor Inicial]
Sea dada la ecua\-ci\'on cua\-si\-li\-ne\-al de primer orden
(\ref{epribis}). Un problema de valor inicial para la ecuaci\'on
consiste en encontrar la funci\'on $u(x,y)$ que satisface la
ecuaci\'on (\ref{epribis}) y la condici\'on inicial (\ref{jo53}).
\end{dfn}
N\'otese que un problema de valor inicial (PVI) es un caso
especial de un problema de Cauchy en el cual la curva $\Gamma$
tiene la representaci\'on

\begin{equation}  \label{jo54}
x=s,\qquad y=0,\qquad u=u_0 (s).
\end{equation}
Sea $\Omega \subset\R^3 $ y sea $\bfm{F}=(P,Q,R)$ un campo
vectorial de clase $(C^1 (\Omega))^3$. Sea dada adem\'as una curva
inicial $\Gamma_0$ en la forma param\'etrica (\ref{jo51}). Es
posible entonces demostrar que el problema de Cauchy admite
soluci\'on si se verifica la siguiente condici\'on suficiente:

\begin{equation}  \label{jo514}
\Delta =\left|
\begin{array}{cc}
f^{\prime}(s_0 ) & g^{\prime}(s_0 ) \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} P(x_0 ,y_0 ,u_0 ) & Q(x_0 ,y_0 ,u_0 )
\end{array}
\right| =Q_0 f_0^{^{\prime}} -P_0 g^{^{\prime}}_0 \neq 0.
\end{equation}
En el caso del problema de valor inicial se tiene (aplicando
(\ref{jo54}) con $f(s)=s$, $g(s)=0$):

\begin{equation}  \label{jo5144}
\Delta =\left|
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} P(x_0 ,y_0 ,u_0 ) & Q(x_0 ,y_0 ,u_0 )
\end{array}
\right|=Q(x_0 ,y_0 ,u_0 ) \neq 0.
\end{equation}
La condici\'on de no anulaci\'on del determinante jacobiano
$\Delta $ garantiza la existencia (local pues se debe a una
aplicaci\'on del teorema de la funci\'on impl\'{\i}cita v\'alida
en un entorno del punto $(x_0 ,y_0 ,u_0 )\in\R^3$) de una
superficie integral $u=u(x,y)$. La unicidad se deduce del teorema
(\ref{unidos}). N\'otese que la condici\'on (\ref{jo514}) es
fundamental para la existencia de una \'unica soluci\'on $u(x,y)$ de clase $%
C^1 $ pues se puede demostrar que $\Delta=0$ es incompatible con
la existencia de tales soluciones a menos que la curva prefijada
$\Gamma_0$ sea caracter\'{\i}stica (en cuyo caso se tendr\'an
infinitas soluciones). \es

Acabamos la parte te\'orica con el siguiente resultado de
existencia y unicidad para el problema de Cauchy asociado a una
curva inicial $\Gamma_0$ dada en la forma param\'etrica:

\begin{equation}  \label{parapi}
x=f(s),\qquad y=g(s),\qquad u=u_0 (s),
\end{equation}
siendo $f,g$ funciones derivables con continuidad. Se tiene
entonces el siguiente teorema:

\beteor\label{jacoteo} Sea dada la ecuaci\'on en derivadas
parciales
\[
P(x,y,u)\deri{u}{x} +Q(x,y,u)\deri{u}{y} =R(x,y,u),
\]
y sea $\Gamma_0 $ una curva inicial dada por (\ref{parapi}) con la
condici\'on que $(f^{\prime})^2 +(g^{\prime})^2 \neq 0$ (es decir $%
f^{\prime} $ y $g^{\prime}$ no ambas nulas simult\'aneamente). Sea
adem\'as,

\[
\Delta =Q_0 x^{^{\prime}}_0 -P_0 y^{^{\prime}}_0 = Q_0
f^{^{\prime}}_0 - P_0 g^{^{\prime}}_0,
\]
el determinante jacobiano. Se tiene entonces:

\begin{enumerate}
\item  Si $\Delta \neq 0$ en toda $\Gamma _{0}$ entonces existe una
\'{u}nica soluci\'{o}n del problema de Cauchy.

\item  Si $\Delta =0$ en toda $\Gamma _{0}$ y $\Gamma _{0}$ es una curva
caracter\'{\i }stica entonces existen infinitas soluciones del
problema de Cauchy.

\item  Si $\Delta =0$ en toda $\Gamma _{0}$ y $\Gamma _{0}$ \textbf{no} es
una curva caracter\'{\i }stica entonces no existe soluci\'{o}n del
problema de Cauchy.
\end{enumerate}

\enteor Lo anterior se puede interpretar de la siguiente forma: si
el problema de Cauchy (o el PVI) tienen soluci\'on y $\Delta =0$ a
lo largo de $\Gamma_0$ entonces la curva $\Gamma_0$ es ella misma
una curva caracter\'{\i}stica de la EDP. Pero si $\Gamma_0$ es una
curva caracter\'{\i}stica entonces infinitas superficies
integrales pasan a trav\'es de (contienen) $\Gamma_0$.
Observemos que si la funci\'on $u$ no es de clase $C^1$ (en un entorno de $%
\Gamma_0$ y en la misma $\Gamma_0$) entonces no es posible
deducir, a partir de $\Delta =0$, que la curva $\Gamma_0$ es
caracter\'{\i}stica. En efecto, pueden existir soluciones de la
EDP que pasen por una curva no caracter\'{\i}stica $\Gamma_0$ y
para las cuales $\Delta =0$. \es

N\'otese finalmente que este teorema no cubre el caso en el cual
$\Delta =0$ s\'olo en alg\'un punto de $\Gamma_0$ puesto que en
este caso las soluciones no ser\'{\i}an de clase $C^1$.
Aparecer\'{\i}an soluciones d\'ebiles. Existe una teor\'{\i}a al
respecto que no ser\'a aqu\'{\i} considerada. Una referencia a un
posible tratamiento general de este caso se encuentra en el libro
de Courant-Hilbert, pag 65. En general es suficiente considerar
por separado las regiones de degeneraci\'on de los coeficientes de
la EDP (es decir donde se anulan) y utilizar el an\'alisis local
mediante el estudio del determinante jacobiano $\Delta$ a lo largo
de $\Gamma_0$ en las regiones de no degeneraci\'on.

\bejem[Problema de Cauchy] Hallar la superficie integral de la
ecuaci\'on:

\[
\dis x\deri{u}{y}-y\deri{u}{x}=0,
\]
que pasa por la curva inicial $\Gamma_0$ dada por $x=0$, $u=y^2$.
\enejem

Se trata de una EDP de primer orden, lineal, con coeficientes
variables, homog\'enea. Para que la ecuaci\'on no pueda degenerar
imponemos la condici\'on $x^2 +y^2 \neq 0$. El problema de Cauchy
est\'a bien planteado (existe una \'unica soluci\'on). En efecto,
notamos que, parametrizando la curva dada en la forma:
\[
x=f(s)=0, \qquad y=g(s)=s,\qquad u=u_0 (s)=h(s)=s^2,
\]
se tiene $f^{\prime}(s)=0$, $g^{\prime}(s)=1$. Considerando que
$P=-y$, $Q=x$ se deduce $\Delta =Qf^{\prime}-Pg^{\prime}=y \neq 0$
si $y\neq 0$ y esto es cierto a lo largo de la curva $\Gamma_0$
para todo $s\neq 0$. Si $s=0$ entonces $x=y=0$ pero este punto ya
hab\'{\i}a sido excluido con la condici\'on de no degeneraci\'on.
Aplicando el teorema (\ref{jacoteo}) se tiene asegurada la
existencia de una \'unica superficie integral que
contiene la curva inicial $\Gamma_0$. %(que no es caracter\'{\i}stica)
\es

El campo vectorial a estudiar es:
\[
\bfm{F} (x,y,u)=(P (x,y,u),Q(x,y,u),R(x,y,u))=(-y, x , 0).
\]
La ecuaci\'on auxiliar $\bfm{T}\wedge \bfm{F}=\bfm{0}$ nos conduce
en este caso a:

\[
\dis \frac{dx}{-y}= \dis \frac{dy}{x}=\dis \frac{du}{0}.
\]
La notaci\'on $du /0$ significa que $du =0$, es decir, que $u$ es
constante a lo largo de las caracter\'{\i}sticas. Esta notaci\'on
(dividir por cero) se aplica tambi\'en en el caso $P\equiv 0$ o
$Q\equiv 0$. A partir de la ecuaci\'on auxiliar se pueden obtener
las siguientes integrales primeras (caracter\'{\i}sticas o
l\'{\i}neas vectoriales del campo o l\'{\i}neas de corriente si el
campo $\bfm{F}$ se considera un campo de velocidades estacionario
plano $\bfm{F}=\bfm{v}=(v_x ,v_y )$):
\[
xdx =-y dy ,\qquad \Longrightarrow \qquad \dis \frac{1}{2}x^2 =-\frac{1}{2}%
y^2 +K \qquad \Longrightarrow \qquad \dis x^2 +y^2 =2K =C_2,
\]
es decir, $\psi_2 (x,y,u)=x^2 +y^2 =c_2$ y
\[
du =0 \qquad \Longrightarrow \qquad \dis u=C_1,
\]
o sea, $\psi_1 (x,y,u)=u=c_1$. Hemos obtenido:
\[
\psi_1 (x,y,u)=u=c_1, \qquad \psi_2 (x,y,u)=x^2 +y^2 =c_2.
\]
N\'otese que la curva $\Gamma_0$ no es (una curva)
caracter\'{\i}stica pues no satisface ninguna de las ecuaciones
$\psi =c_1$, $\psi =c_2$. Considerando las condiciones $x=0$,
$u=y^2$ se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

\[
u=c_{1}\quad x^{2}+y^{2}=c_{2}\quad x=0\quad u=y^{2},
\]
y se deduce que (eliminando las variables $x$, $y$, $u$)
$c_{1}=c_{2}$. Por ello la superficie integral buscada ser\'{a}
\[
0=c_{1}-c_{2}=\Phi (c_{1},c_{2})=\Phi
(u,x^{2}+y^{2})=u-(x^{2}+y^{2}),
\]
%dada por $\Phi =0$,
es decir,
\[
u=x^{2}+y^{2}.
\]
N\'{o}tese que evidentemente al seccionar la superficie con el
plano $x=0$ se obtiene la curva prefijada $u=y^{2}$. En
t\'{e}rminos de la mec\'{a}nica de fluidos, la superficie integral
obtenida corresponde a la gr\'{a}fica de la funci\'{o}n de
corriente asociada al campo de velocidades.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-5.eps}
    \caption{El problema de Cauchy.}
    \label{figura1}
\end{figure}


%\FRAME{ftbphF}{%
%200.75pt}{200.75pt}{0pt}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific
%Word";type "GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file
%"T";width 200.75pt;height 200.75pt;depth 0pt;original-width
%270.125pt;original-height 269.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright
%"1";cropbottom "0";tempfilename
%'C:/URJC/escet/metodos/guiones/ej2-3.wmf';tempfile-properties
%"XNP";}}

\es

Obs\'ervese adem\'as que el problema quedar\'{\i}a indeterminado
si la curva dada por $\Phi_1 =\Phi_2 =0$ fuese caracter\'{\i}stica
ya que en este caso diferentes superficies integrales
pasar\'{\i}an por dicha curva. Es decir: existir\'{\i}an infinitas
soluciones. Encontraremos concretamente esta situaci\'on en el
siguiente ejemplo:
%que ocurre si la curva prefijada es una
%caracter\'{\i}stica de la EDP

\bejem[Problema de Cauchy] Hallar la superficie integral de la
ecuaci\'on:

\[
\dis x\deri{u}{y}-y\deri{u}{x}=0,
\]
que pasa por la circunferencia $u=1$, $x^{2}+y^{2}=4$. \enejem
Puesto que la l\'{\i }nea dada es caracter\'{\i }stica, el
problema es indeterminado, es decir, existen infinitas soluciones
(superficies) que pasan por la circunferencia dada. Por ejemplo
los paraboloides de revoluci\'{o}n:
\[
u=x^{2}+y^{2}-3,\qquad 4u=x^{2}+y^{2},\qquad u=-x^{2}-y^{2}+5,
\]
son soluciones pues corresponden a las superficies:
\[
\Phi (c_{1},c_{2})=c_{2}-c_{1}-3=0,\qquad \Phi
(c_{1},c_{2})=c_{2}-4c_{1}=0,\qquad \Phi
(c_{1},c_{2})=c_{1}+c_{2}-5=0.
\]
En efecto, cualquier superficie de revoluci\'{o}n $u=\dis \Phi
(x^{2}+y^{2})$, cuyo eje de rotaci\'{o}n coincida con el eje $Oz$,
es superficie integral de la EDP. Tambi\'{e}n la esfera
$x^{2}+y^{2}+u^{2}=5$ es soluci\'{o}n pues corresponde a la
superficie:
\[
\Phi (c_{1},c_{2})=c_{1}^{2}+c_{2}-5=0.
\]
El problema de Cauchy anterior estaba mal planteado (pues existen
infinitas soluciones). N\'{o}tese que, parametrizando la curva
dada en la forma:
$$
x=f(\theta )=2\cos \theta,\qquad y=g(\theta )=2\sin \theta,\qquad
u=u_{0}(\theta )=1,
$$
se tiene, $f^{\prime }(\theta )=-2\sin \theta $, $g^{\prime
}(\theta )=2\cos \theta $. Considerando que $P=-y$, $Q=x$ se
deduce $\Delta =Qf^{\prime }-Pg^{\prime }=-4\sin \theta \cos
\theta +4\sin \theta \cos \theta \equiv 0$, $\forall \,\theta $.

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{cap1-6.eps}
    \caption{Problema mal planteado: existen dos soluciones del mismo problema de Cauchy.}
    \label{figura1}
\end{figure}

%\FRAME{ftbphF}{200.75pt}{200.75pt}{0pt%
%}{}{}{Figure }{\special{language "Scientific Word";type
%"GRAPHIC";maintain-aspect-ratio TRUE;display "USEDEF";valid_file "T";width
%200.75pt;height 200.75pt;depth 0pt;original-width 270.125pt;original-height
%269.75pt;cropleft "0";croptop "1";cropright "1";cropbottom "0";tempfilename
%'C:/URJC/escet/metodos/guiones/ej2-4.wmf';tempfile-properties "XNP";}} \es

Hasta ahora hemos considerado el caso en que la expresi\'on de la
curva inicial ven\'{\i}a dada en coordenadas cartesianas mediante
un sistema de dos ecuaciones, cuya soluci\'on (la curva) es la
intersecci\'on de dos superficies (las ecuaciones). Consideraremos
ahora el caso en el que la curva inicial se expresa en forma
param\'etrica.

\subsubsection{El caso param\'etrico}

Si la ecuaci\'on de la curva $\Gamma_0 $, por la cual se exige
trazar la superficie integral de la ecuaci\'on:

\[
\dis P(x,y,u)\deri{u}{x}+ \dis Q(x,y,u)\deri{u}{y}=R(x,y,u),
\]
se proporciona en forma param\'etrica:

\[
\Gamma_0 =\{\quad x_0 =x_0 (s),\qquad y_0 =y_0 (s),\qquad u_0 =u_0
(s),
\]
entonces, es tambi\'en conveniente buscar la soluci\'on en forma param\'etrica%
\footnote{%
V\'ease el tema 12 de la asignatura de primer curso (y tambi\'en
los anexos a este gui\'on) para la definici\'on de una superficie
param\'etrica.}

\[
x=x(t,s),\qquad y=y(t,s),\qquad u=u(t,s).
\]
Para ello se introduce un par\'ametro $t$ en el sistema
(\ref{ecca}) que determina las caracter\'{\i}sticas, haciendo

\begin{equation}  \label{eccapar}
\dis \frac{dx}{P(x,y,u)}= \dis \frac{dy}{Q(x,y,u)}=\dis
\frac{du}{R(x,y,u)} = dt.
\end{equation}
Para que las caracter\'{\i}sticas pasen por la curva dada, se
busca la soluci\'on del sistema (\ref{eccapar}) que satisface
(para $t=0$ o $t=T_0$) las condiciones iniciales:
\[
x_0 =x_0 (s)=x (T_0 ,s),\qquad y_0 =y_0 (s)=y(T_0 ,s),\qquad u_0
=u_0 (s) =u(T_0 ,s).
\]
Para estas condiciones iniciales (y para $s$ fija) obtenemos una
caracter\'{\i}stica que pasa por un punto (fijado) de la curva.
Cuando $s$ es variable se obtiene la familia biparam\'etrica de
caracter\'{\i}sticas:

\[
x=x(t,s),\qquad y=y(t,s),\qquad u=u(t,s),
\]
que pasan por los puntos de la curva dada (en este caso se
considera que la curva dada no es caracter\'{\i}stica). El
conjunto de puntos que pertenece a esta familia de
caracter\'{\i}sticas forma precisamente la integral buscada. \es

\bejem Sea dada la ecuaci\'on:
\[
\dis \deri{u}{x}-\dis \deri{u}{y}=1.
\]
Clasificar la EDP, determinar el campo asociado y hallar la
superficie integral que pasa por la curva:
\[
x_0 =s,\qquad y_0 =s^2 ,\qquad u_0 =s^3.
\]
\enejem Se trata evidentemente de una EDP de primer orden, lineal,
no homog\'enea con coeficientes constantes. Est\'a asociada al
campo $F=(1,-1,1)$. El sistema de ecuaciones que determina las
caracter\'{\i}sticas tiene la forma:

\[
dx=-dy=du=dt.
\]
Su soluci\'on general es:
\[
x=t+c_1 ,\qquad y =-t +c_2 ,\qquad u=t+c_3.
\]
Las constantes arbitrarias se determinan mediante las condiciones
iniciales:

\[
c_1 =s,\qquad c_2 =s^2 ,\qquad c_3 =s^3,
\]
y sustituyendo en la soluci\'on general se tiene:

\[
x=t+s ,\qquad y =-t +s^2 ,\qquad u=t+s^3.
\]
\es

\subsubsection{$^*$ Parametrizaci\'on mediante la longitud de arco}

Consideraremos EDP de primer orden en dos variables
independientes.

La familia m\'as general se puede escribir en la forma:
\[
A\deri{u}{x}+B\deri{u}{y}=C.
\]
Si $A=A(x,y)$, $B=B(x,y)$ y $C=C(x,y,u)$ es lineal en $u$ la
ecuaci\'on es
\textbf{lineal}. En los dem\'as casos es \textbf{no lineal}\footnote{%
Una clasificaci\'on m\'as precisa, clasifica las ecuaciones no
lineales en semi-lineales, cuasi-lineales, completamente no
lineales y doblemente no lineales dependiendo de las dependencias
funcionales de las funciones coeficientes} En cada punto del plano
$x,y$ podemos definir un vector unitario:
\[
\bfm{s}\equiv \left(\frac{A}{\sqrt{A^2 +B^2}}, \frac{B}{\sqrt{A^2
+B^2}} \right),
\]
y escribir la PDE de primer orden en la forma:

\[
\bfm{s}\cdot \nabla u =\frac{C}{\sqrt{A^2 +B^2}}\equiv D.
\]
Fijada una curva inicial (que no coincida con una
caracter\'{\i}stica) podemos dibujar en el plano, para cada punto
de la curva inicial, una trayectoria que es tangente en cada punto
al vector $\bfm{s}$. La pendiente de la tangente (en cada punto)
es:

\begin{equation}  \label{ec}
\frac{dy}{dx}=\frac{B}{A}
\end{equation}
y es la EDO verificada por la trayectoria. Estas trayectorias se
llaman
\textbf{caracter\'{\i}sticas}. Denotamos con $\sigma$ a la longitud de arco%
\footnote{%
V\'ease el tema 12, secci\'on 10 del gui\'on de la asignatura del
primer curso para la definici\'on de este concepto.} a lo largo de
una caracter\'{\i}stica. Supongamos ahora que los coeficientes
$A$, $B$ y $C$ son constantes reales. Se tiene entonces:
\[
\bfm{s}=\left( \frac{dx}{d\sigma},\frac{dy}{d\sigma}\right).
\]
Este resultado se puede comprobar f\'acilmente definiendo una
parametrizaci\'on de las curvas caracter\'{\i}sticas en la forma:
\[
\bfm{r}(t)=x(t)\bfm{i}+y(t)\bfm{j},\quad t\geq t_0 =0,
\]
luego,

\[
\bfm{r}^{\prime}(t)=x^{\prime}(t)\bfm{i}+y^{\prime}(t)\bfm{j},\qquad \| %
\bfm{r}^{\prime}(t)\| =\sqrt{(x^{\prime})^2 +(y^{\prime})^2 },
\]
y por tanto, puesto que las ecuaciones caracter\'{\i}sticas vienen
dadas por (param\'etricamente):

\[
\dis \left\{ \quad\frac{dx}{dt}=A,\qquad \frac{dy}{dt}=B, \right.
\]
se tiene que la relaci\'on entre el par\'ametro $t$ y el
par\'ametro longitud de arco es:

\[
\sigma \doteq \dis \int_0^t \| \bfm{r}^{\prime}(t) \| dt = \dis \int_0^t (%
\sqrt{A^2 +B^2 })dt =(\sqrt{A^2 +B^2})t,
\]
luego la diferencial de longitud de arco es:

\[
d\sigma = \dis \| \bfm{r}^{\prime}(t) \| dt = \dis  (\sqrt{A^2
+B^2 })dt.
\]

Por lo anterior, escribimos entonces $\bfm{s}\cdot \nabla u=D$ en
la forma:

\begin{equation}  \label{ecc}
\frac{du}{d\sigma}=D.
\end{equation}
Cuando $A(x,y)$, $B(x,y)$ son funciones conocidas de las variables
independientes, podemos integrar primero (\ref{ec}) para encontrar
las
caracter\'{\i}sticas y despu\'es (\ref{ecc}) para obtener $u$. Si $A(x,y,u)$%
, $B(x,y,u)$ dependen de $u$ (pero no de sus derivadas) entonces
las ca\-rac\-te\-r\'{\i}s\-ti\-cas no son conocidas \emph{a
priori} y hay que resolver el problema acoplado (\ref{ec}),
(\ref{ecc}) (generalmente con un m\'etodo num\'erico en
diferencias finitas, ver Mei, pag 21) para encontrar las
caracter\'{\i}sticas y la inc\'ognita $u$. \es

Concluimos esta secci\'on observando que el esquema de
resoluci\'on indicado para el caso bidimensional se puede
generalizar al caso $(n+1)-$dimensional. Detalles se pueden
encontrar en el libro de Elsgoltz, cap\'{\i}tulo 5 pag 252 o en el
libro de Courant-Hilbert, pag 69.

\subsubsection{$^*$ Un ejemplo de formaci\'on de ondas de choque en una
ecuaci\'on cuasilineal. Ecuaci\'on de B\"{u}rgers}

Un problema de valor inicial que a menudo se toma como ejemplo
para ilustrar ciertos fen\'omenos que pueden aparecer al trabajar
con ecuaciones cuasilineales de primer orden es: \emph{Encontrar
una funci\'on $u=u(x,y)$ que satisfaga las igualdades}:

\begin{equation}  \label{jo612}
\left\{
\begin{array}{rcll}
\dis \deri{u}{y}+u\dis \deri{u}{x} & = & 0, & x\in\R,\quad y>0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = & u_0 (x), & x\in\R.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Este problema, que modeliza entre otros fen\'omenos el rompimiento
de la barrera del sonido por aviones supers\'onicos fue propuesto
por J.M.
B\"{u}rgers y, en su honor, se conoce como el problema de B\"{u}rgers%
\footnote{%
En realidad la ecuaci\'on de B\"{u}rgers propiamente dicha es una
ecuaci\'on parab\'olica de segundo orden a partir de la cual se
puede deducir (mediante un l\'{\i}mite asint\'otico que representa
la hip\'otesis de difusi\'on despreciable) la ecuaci\'on
hiperb\'olica cuasilineal de primer orden que analizaremos.}. La
soluci\'on $u$ de la ecuaci\'on cuasilineal se puede interpretar
como un campo de velocidad longitudinal (en la direcci\'on $x$)
que var\'{\i}a con el tiempo $y$. La ecuaci\'on (\ref{jo612})
afirma que cualquier part\'{\i}cula del fluido tiene aceleraci\'on
nula (no hay efectos inerciales), luego tiene velocidad constante
a lo largo de las trayectorias
del fluido. Esto es evidente si ponemos $u=v_x =v_x (x,y)$ siendo $\bfm{v}%
=(v_x (x,y) ,v_y (x,y))=(v_x (x,y),0)$ (n\'otese que la variable
$y$ que aparece en las componentes del campo de velocidades denota
una variable espacial) y calculamos su derivada material definida
mediante el operador de
derivaci\'on total (donde $t$ representa ahora el tiempo) \footnote{%
Algunos libros de texto denominan a la derivada material, derivada
substancial. V\'ease, por ejemplo, el libro de Costa-Novella, Vol
2, dedicado a los fen\'omenos de transporte.}
\[
\dis \frac{D}{Dt} =\deri{}{t}+\bfm{v}\cdot \nabla = \dis\deri{}{t}%
+\sum_{i=1}^n v_i \deri{}{x_i},
\]
siendo $\bfm{v}=(v_1 ,..,v_n )$, $\bfm{x}=(x_1 ,.., x_n )$. En nuestro caso $%
n=2$, $(x_1 ,x_2 )=(x,y)$, $v_1 =v_x $, $v_2 =v_y$. %y
%$$
%\dis \frac{D\bfm{v}}{Dt}\doteq \dis \deri{\bfm{v}{t}+\bfm{v}\cdot
%\nabla \bfm{v}
%$$
La afirmaci\'on anterior equivale por tanto a verificar (se deja
por ejercicio al lector) que $D\bfm{v}/Dt =0$. \es

Consid\'erese nuevamente el problema (\ref{jo612}) siendo $y$ la
variable temporal. La condici\'on inicial $u(x,0)=u_0 (x)$
describe la distribuci\'on inicial de la velocidad, que
corresponde a la curva en el espacio $\R^3$ (v\'ease la ecuaci\'on
(\ref{jo54})):

\begin{equation}  \label{jo54bis}
x=s,\qquad y=0,\qquad u=u_0 (s).
\end{equation}
Introduciendo un par\'ametro $\theta$ las ecuaciones diferenciales
ordinarias asociadas son:

\[
 \dis \frac{dx}{d\theta}=P(x,y,u)=u,\qquad \dis \frac{dy}{%
d\theta}=Q(x,y,u)=1,\qquad \dis \frac{du}{d\theta}=R(x,y,z)=0.
\]
que combinadas con la condici\'on inicial (\ref{jo54bis}) para
$\theta=0$ nos dan la representaci\'on param\'etrica de la
soluci\'on $z=u(x,y)$ del PVI:

\begin{equation}  \label{parambur}
x=s+u\theta ,\qquad y=\theta ,\qquad u=u_0 (s).
\end{equation}
Eliminando los par\'ametros $s,\theta$, se tiene la f\'ormula
(impl\'{\i}cita) de la soluci\'on:
\[
u=u_0 (s)=u_0 (x-u\theta)=u_0 (x-uy).
\]

\subsubsection{$^*$ Discontinuidades y soluciones d\'ebiles}

En la primera parte del ejercicio anterior hemos encontrado una
f\'ormula impl\'{\i}cita de la soluci\'on. Queremos analizar m\'as
en detalle su naturaleza (su comportamiento cualitativo). Si
proyectamos la caracter\'{\i}stica (curva en el espacio) en el
plano $xy$ (es decir eliminamos $u$ en (\ref{parambur})) obtenemos
la curva $C_s$ (proyecci\'on de la caracter\'{\i}stica):
\[
x=s+u_0 (s)y,
\]
a lo largo de la cual la soluci\'on tiene el valor constante,

\[
u(x,0)=u(s,0)=u_0 (s).
\]
F\'{\i}sicamente, $x=s+u_0 (s)y$ define el camino de una
part\'{\i}cula localizada en $x=s$ en el tiempo $y=0$. Veamos que
ocurre si dos caracter\'{\i}sticas tienen un punto en com\'un. Sea
$(x^* ,y^* )\in\R^2$ el punto com\'un a las dos
caracter\'{\i}sticas. Entonces, puesto que la ecuaci\'on de las
caracter\'{\i}sticas es $x=s+u_0 (s)y$ se tendr\'a:

\[
x^* =s_1 +u_0 (s_1 )y^* ,\qquad x^* =s_2 +u_0 (s_2 )y^*,
\]
y se deduce, $s_1 +u_0 (s_1 )y^* =s_2 +u_0 (s_2 )y^* $, es decir,

\[
y^* =\dis -\frac{s_2 -s_1 }{u_0 (s_2 ) -u_0 (s_1 )}.
\]
Si $s_2 \neq s_1$ y $u_0 (s_2 )\neq u_0 (s_1)$ la funci\'on toma
valores distintos $u_0 (s_1)$, $u_0 (s_2 )$, en el punto $(x^*
,y^*)$, luego la funci\'on es multivaluada y \emph{salta}. Hay una
discontinuidad. En particular se puede demostrar que $u$ est\'a
condenada a \emph{saltar} y a presentar una singularidad en su
derivada parcial primera si $u_0 $ tiene soporte compacto (se
entiende por ello que la funci\'on es nula fuera de un intervalo
compacto), excepto en el caso trivial donde $u_0 (s)\equiv 0$. \es

Pensando en $y$ como en el tiempo, para las funciones $u_0 (s)$
(dato inicial del problema) tales que $y^* >0$, esta relaci\'on
define (y predice) la existencia de un instante de explosi\'on
(singularidad) de la soluci\'on.
Es f\'acil comprobar en efecto que, si $u_0^{^{\prime}} (s)<0$, entonces $%
y^* >0$. Para todo este tipo de datos iniciales la soluci\'on
$u(x,y)$ ser\'a discontinua en alg\'un tiempo $y^* >0$. La
naturaleza de esta
singularidad ser\'a m\'as clara si consideramos los valores de la derivada $%
u_x (x,y)$ a lo largo de la caracter\'{\i}stica $x=s+u_0 (s)y$. A
partir de la expresi\'on (impl\'{\i}cita) de la soluci\'on:
\[
u=u_0 (x-uy),
\]
y aplicando derivaci\'on impl\'{\i}cita se tiene:

\[
u_x =[u_0^{^{\prime}}(x-uy)][ (1-u_x y)]=u_0^{^{\prime}} -u_x
u_0^{^{\prime}} y,
\]
y se deduce,

\[
u_x =\dis \frac{u_0^{^{\prime}} (s)}{1+u_0^{^{\prime}} (s)y},
\]
luego si $u_0^{^{\prime}} (s)<0$, entonces $u_x \to\infty$ para
\[
y=-\dis \frac{1}{u_0^{^{\prime}} (s)}.
\]
El tiempo $y$ m\'as peque\~no para el cual esta relaci\'on se
cumple corresponde al valor $s=s_0$ en el cual $u_0^{^{\prime}}
(s)$ tiene un m\'{\i}nimo (negativo). En el instante
$T=y=-1/u_0^{^{\prime}} (s)$ la soluci\'on tiene un crecimiento
incontrolable y su derivada explota (se pone vertical). No puede
existir una soluci\'on de clase $C^1 $ m\'as all\'a del instante
$T$. N\'otese que este tipo de comportamiento es t\'{\i}pico de
las ecuaciones no lineales. \es

Es posible, sin embargo, definir unas soluciones d\'ebiles del PVI
que existen m\'as all\'a del tiempo $T$. Para ello, debemos de dar
un sentido a la EDP cuasilineal para una clase de funciones m\'as
amplia que $C^1$ (o incluso continuas). Para ello se escribe la
EDP

\[
u_y +uu_x =0,
\]
en forma de divergencia (es decir mediante el operador de
divergencia aplicado a funciones adecuadas),

\begin{equation}  \label{fica}
\dis \deri{R(u)}{y}+\deri{S(u)}{x}=0,
\end{equation}
siendo $R(u)$ y $S(u)$ funciones tales que
$S^{\prime}(u)=uR^{\prime}(u)$. Por ejemplo, podr\'{\i}amos elegir
$R(u)=u$ y $S(u)=(1/2)u^2 $. N\'otese que se trata de una
elecci\'on natural pues:
\[
u_y +uu_x =u_y +\dis \frac{1}{2}(u^2 )_x =\mbox{div} \left(u,
\frac{1}{2}u^2  \right) =\mbox{div} (R(u),S(u),)=\dis
\deri{R(u)}{y}+\deri{S(u)}{x}=0.
\]
Integrando la relaci\'on (\ref{fica}) en $x\in (a,b)$, se tiene la \textbf{%
ley de conservaci\'on}:

\begin{equation}  \label{vari}
\dis 0=\frac{d}{dy}\int_a^b R(u(x,y))dx+S(u(b,y))-S(u(a,y)).
\end{equation}
Por otra parte cualquier funci\'on de clase $C^1$ que verifica
(\ref{vari}) es soluci\'on de (\ref{fica}). Ahora bien, la
ecuaci\'on (\ref{vari}) tiene sentido para funciones mucho m\'as
generales y puede ser utilizada para definir las
\textbf{soluciones d\'ebiles} de (\ref{fica}). En particular
consideramos el caso donde $u$ es una soluci\'on $C^1$ de
(\ref{fica}) en cada una de dos regiones del plano separadas por
una curva $x=\xi (y)$ al cruzar la cual la soluci\'on
experimentar\'a un salto (choque). Denotando
los valores l\'{\i}mites de $u$ a la izquierda y la derecha de la curva por $%
u^-$ y $u^+$, respectivamente, se tiene (a partir de (\ref{vari})
que:

\[
\begin{array}{rcl}
0 & = & S(u(b,y))-S(u(a,y))\dis +\frac{d}{dy}\left(\dis
\int_a^{\xi}
R(u(x,y))dx + \int_{\xi}^b R(u(x,y))dx \right) \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} & = &
S(u(b,y))-S(u(a,y))\dis+\xi^{\prime}R(u^- )-\xi^{\prime}R(u^+ )-
\dis \int_a^\xi \deri{S(u)}{x}dx -\int_\xi^b \deri{S
(u)}{x}dx \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} & = & -[R(u^+ )-R(u^- )]\xi^{\prime}- S(u^-
)+S(u^+ ).
\end{array}
\]
Hemos encontrado la \textbf{condici\'on de salto} (\emph{shock
conditions}):

\begin{equation}  \label{hugo}
\dis \deri{\xi}{y} =\dis \frac{S(u^+ )-S(u^- )}{R(u^+ )-R(u^- )},
\end{equation}
que relaciona la velocidad de propagaci\'on $d\xi /dy$ de la
discontinuidad con el tama\~no del salto de $R$ y $S$. N\'otese
que (\ref{hugo}) depende no
s\'olo de la EDP sino tambi\'en de la elecci\'on hecha ($R(u)=u$ y $%
S(u)=(1/2)u^2 $) entre las funciones que satisfacen $S^{\prime}(u)=uR^{%
\prime}(u)$. \es

Con esta elecci\'on de las funciones $S$ y $R$ y para el dato
inicial:
\[
u(x,0)=u_0 (x)=\left\{
\begin{array}{rl}
-\dis \frac{2}{3}\sqrt{3x} & x >0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 0 & x<0,
\end{array}
\right.
\]
es posible verificar que la funci\'on

\[
%\begin{equation}\label{jo626}
u(x,y)=\left\{
\begin{array}{rl}
-\dis \frac{2}{3}\left( y+\sqrt{3x+y^2} \right) & 4x+y^2 >0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 0 & 4x+y^2 <0,
\end{array}
\right.
\]
%\end{equation}
es una soluci\'on d\'ebil de la ecuaci\'on en forma de
divergencia.
%asociada a la condici\'on inicial

%N\'otese que el dato inicial es

%Multiplicando por una funci\'on $\phi \in C_0^{\infty}$ (funciones
%infinitamente derivables con continuidad y a soporte compacto, es decir
%nulas por fuera de una regi\'on acotada y cerrada del plano)
%e integrando por partes la ecuaci\'on
%en forma de divergencia se tiene la siguiente definici\'on de
%soluci\'on d\'ebil:

\subsubsection{$^*$ Propagaci\'on de discontinuidades en EDP de primer orden}

Se considera la ecuaci\'on de primer orden, lineal, no homog\'enea
de coeficientes cons\-tan\-tes:
\[
\dis \deri{u}{x}+\deri{u}{y}=1,\qquad y\geq 0,\quad -\infty
<x<\infty,
\]
donde $u$ es conocida en los puntos $(x_0 ,0)$ del eje $x$: $u(x_0
,0)=u_0 (x)$. La direcci\'on ca\-rac\-te\-r\'{\i}s\-ti\-ca viene
dada por $dx=dy$ luego la caracter\'{\i}stica que pasa por el
punto $(x_0 ,0)$ es (por integraci\'on directa):
\[
y=x-x_0.
\]
A lo largo de la caracter\'{\i}stica se tiene que $du=dy$ luego
por integraci\'on directa deducimos que la soluci\'on a lo largo
de esta recta es:
\[
u (x,y)=u_0 (x-y) +y.
\]
Consideraremos dos posibles situaciones: que los datos iniciales
sean discontinuos o que lo sean sus derivadas. Seguiremos la
exposici\'on que aparece en el libro de Smith, en el cap\'{\i}tulo
dedicado a las ecuaciones hiperb\'olicas y sus
caracter\'{\i}sticas.
%paramem N\'otese que se trata de un texto sobre la resoluci\'on num\'erica de EDP.
%Estas secciones pueden por tanto servir de enlace entre el tratamiento
%anal\'{\i}tico y el tratamiento num\'erico. V\'ease en particular
%la secci\'on dedicada a las discontinuidades y su tratamiento mediante m\'etodos de
%diferencias finitas.

\subsubsection{$^*$ Valores iniciales discontinuos}

Supongamos tener un dato inicial del tipo
\[
u(x,0)=u_0 (x)=\dis \left\{
\begin{array}{rl}
f_1 (x) & -\infty <x< x_A, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} f_2 (x) & x_A < x< \infty,
\end{array}
\right.
\]
y sean $x_p <x_A <x_q $, n\'umeros reales. A la izquierda de la
caracter\'{\i}stica $y=x-x_A$ la soluci\'on $u_I$ es $u_I =f_1
(x_p )+y$ a lo largo de $y=x-x_p$. A la derecha de la l\'{\i}nea
recta $y=x-x_A$ la soluci\'on $u_D$ es $u_D =f_2 (x_q )+y$ a lo
largo de $y=x-x_q$. Luego para el mismo valor de $y$ en las dos
soluciones se tiene:
\[
u_I -u_D =f_1 (x_p )-f_2 (x_q).
\]
Si nos acercamos por ambos lados a $x_A$, vemos que la cantidad
$u_I -u_D$ es discontinua a lo largo de $y=x-x_A$ cuando
\[
\dis \lim_{x_p \to x_A} f_1 (x_p )\neq \dis \lim_{x_q \to x_A} f_2
(x_q ).
\]
Esto muestra que cuando los valores iniciales son discontinuos en un punto $%
x_A$ entonces la soluci\'on es discontinua a lo largo de la
caracter\'{\i}stica que pasa por $x_A$. Adem\'as el efecto de esta
discontinuidad no disminuye seg\'un nos vayamos alejando de $x_A$
a lo largo de la ca\-rac\-te\-r\'{\i}s\-ti\-ca. Con las EDP
parab\'olicas y el\'{\i}pticas el efecto de prescribir una
discontinuidad inicial es muy diferente pues tiende a localizarse
y a disminuir rapidamente al aumentar la distancia al punto de
discontinuidad.

\subsubsection{$^*$ Derivadas iniciales discontinuas}

Supongamos tener ahora un dato inicial del tipo
\[
u(x,0)=u_0 (x)=\dis \left\{
\begin{array}{rl}
0, & -\infty <x \leq 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} x, & 0 < x< \infty.
\end{array}
\right.
\]
Evidentemente la funci\'on (derivada del dato inicial):
\[
\dis \deri{u}{x}(x,0)=\dis \left\{
\begin{array}{rl}
0, & -\infty <x < 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 1, & 0 < x< \infty,
\end{array}
\right.
\]
es discontinua en $(0,0)$. Utilizando la ecuaci\'on vemos que
tambi\'en
\[
\dis \deri{u}{y}(x,0),
\]
es discontinua en $(0,0)$. Por otra parte $u(x,0)$ es continua en
$(0,0)$. Como antes se deduce que la soluci\'on $u$ a lo largo de
la caracter\'{\i}stica $y=x-x_p$ que pasa por el punto $(x_p ,0)$
es
\[
u-u_p =y =x-x_p.
\]
La soluci\'on $u_I$ a la izquierda de $y=x$ es
\[
u_I =u_0 (x-y)+y =0+y=y ,\qquad -\infty <x\leq 0 ,\quad y\geq 0,
\]
y la soluci\'on $u_D$ a la derecha de $y=x$ es
\[
u_D =u_0 (x-y)+y =x-y +y =x ,\qquad 0 <x <\infty ,\quad y\geq 0.
\]
Se deduce que $u_I =u_D$ a lo largo de $y=x$, pero que
\[
\dis \deri{u_I}{x} =0,\qquad \dis \deri{u_D}{x} =1,
\]
es decir, la soluci\'on es continua a lo largo de la
caracter\'{\i}stica que pasa por el punto de discontinuidad pero
las discontinuidades iniciales de las derivadas parciales se
propagan con velocidad constante a lo largo de esta
caracter\'{\i}stica.

\subsubsection{$^*$ Las ecuaciones de Pfaff}

Si en las secciones anteriores hemos visto la relaci\'on existente
entre determinar las l\'{\i}neas vectoriales (y las superficies
vectoriales de un campo) y resolver una EDP de primer orden lineal
no homog\'enea veremos ahora las denominadas \textbf{ecuaciones de
Pfaff} cuya resoluci\'on permite determinar la familia de
superficies ortogonales a las l\'{\i}neas
vectoriales. En efecto, la ecuaci\'on de \'estas superficies tiene la forma $%
\bfm{F}\cdot \bfm{T}=0$, siendo $\bfm{T}$ un vector contenido en
el plano tangente a las superficies buscadas:

\[
\bfm{T} =dx \bfm{i} +dy \bfm{j} +du \bfm{k} =(dx ,dy, du).
\]
Si $\bfm{F}=P\bfm{i}+Q\bfm{j}+R\bfm{k} =(P,Q,R)$, entonces $\bfm{F}\cdot %
\bfm{T} = (P,Q,R)\cdot (dx,dy,du)$ nos conduce a

\begin{equation}  \label{pfaff}
\dis P(x,y,u)dx+ \dis Q(x,y,u)dy +R(x,y,u)du =0.
\end{equation}
Existen dos casos posibles dependiendo de si el campo vectorial $\bfm{F}=P%
\bfm{i}+Q\bfm{j}+R\bfm{k}$ es potencial o no. En el primer caso
(si el campo es potencial) entonces $\bfm{F}=\nabla S$, es decir,

\[
P=\dis\deri{S}{x},\qquad Q=\dis\deri{S}{y},\qquad
P=\dis\deri{S}{z},
\]
y las superficies buscadas son superficies de nivel $S(x,y,z)=c$
de la funci\'on potencial $S$. En este caso, la determinaci\'on de
\'estas no representa dificultad, puesto que

\[
S=\dis\oint_{(x_0 ,y_0 ,z_0 )}^{(x,y,z)} Pdx+Qdy+Rdz,
\]
donde la integral curvil\'{\i}nea se toma por cualquier camino
entre el
punto escogido $(x_0 ,y_0 ,z_0 )$ y el punto con coordenadas variables $%
(x,y,z)$, por ejemplo, por la l\'{\i}nea quebrada compuesta por
segmentos de recta paralelos a los ejes coordenados.

\bejem Sea dada la ecuaci\'on de Pfaff
\[
(6x+yz)dx +(xz-2y)dy +(xy+2z) dz =0.
\]
Determinar la familia de superficies ortogonales a las l\'{\i}neas
vectoriales del campo asociado. \enejem El campo vectorial
asociado es:
\[
\bfm{F}=(6x+yz)\bfm{i}+(xz-2y)\bfm{j}+(xy+2z)\bfm{k},
\]
luego rot$\bfm{F}\equiv \bfm{0}$. Entonces, $\bfm{F}=\nabla S$,
siendo:
\[
S=\dis\oint_{(x_0 ,y_0 ,z_0 )}^{(x,y,z)} Pdx+Qdy+Rdz =
\dis\oint_{(0 ,0 ,0 )}^{(x,y,z)} (6x+yz)dx+(xz-2y)dy+(xy+2z)dz.
\]
Tomemos como camino de integraci\'on una l\'{\i}nea quebrada con
segmentos paralelos a los ejes de coordenadas. Integrando
obtenemos:
\[
S=3x^2 -y^2 +z^2 +xyz.
\]
Por tanto, la integral buscada ser\'a $S=c$, es decir,

\[
3x^2 -y^2 +z^2 +xyz =c.
\]

\es

Si el campo no es potencial, en ciertos casos se puede escoger un
factor escalar $\mu (x,y,z)$ tal que $\mu \bfm{F}=\nabla S$ es
potencial.

\bejem\label{pfaff2} Sea dada la ecuaci\'on de Pfaff:
\[
dx +e^{-x}dy =0.
\]
Determinar la familia de superficies ortogonales a las l\'{\i}neas
vectoriales del campo asociado. \enejem El campo vectorial
asociado es:
\[
\bfm{F}=\bfm{i}+e^{-x}\bfm{j}=(1,e^{-x},0).
\]
Calculando su rotacional se tiene:
\[
\mbox{rot}\bfm{F}=(0,0,-e^{-x})\neq \bfm{0},
\]
%Sin embargo
%$$
%\bfm{F}\cdot \mbox{rot}\bfm{F}=(1,e^{-x},0)\cdot (0,0,-e^{-x})=0
%$$
luego el campo $\bfm{F}$ no deriva de un potencial. Sin embargo si
multiplicamos el campo $\bfm{F}$ por la funci\'on escalar $\mu
(x,y,z)=e^x$ se tiene que el campo:
\[
\bfm{G}=\mu \bfm{F} =e^x \bfm{i}+\bfm{j}=(e^{x},1,0).
\]
es irrotacional (verificarlo por ejercicio), luego
\[
\bfm{G}=\mu \bfm{F} =\dis \nabla S
\]
es potencial, siendo
\[
S=\dis\oint_{(x_0 ,y_0 ,z_0 )}^{(x,y,z)} Pdx+Qdy+Rdz =
\dis\oint_{(0 ,0 ,0 )}^{(x,y,z)} e^x dx+dy.
\]

Integrando se obtiene:
\[
S=e^x +y.
\]
Por tanto, la integral buscada ser\'a $S=c$, es decir,

\[
e^x +y =c.
\]

\beobse Observamos que las l\'{\i}neas vectoriales del campo
$\bfm{F}=(1,e^{-x},0 ),$
son exactamente iguales a las l\'{\i}neas vectoriales del campo $\bfm{G}%
=(e^x ,1,0 )$, puesto que verifican la misma ecuaci\'on
caracter\'{\i}stica:
\[
\dis \frac{dx}{1}= \dis \frac{dy}{e^{-x}}.
\]
\enobse

N\'otese aqu\'{\i} la relaci\'on entre las ecuaciones de Pfaff y
las ecuaciones diferenciales exactas (v\'ease las secciones 2.5,
2.6 del cap\'{\i}tulo 13 del gui\'on de primero). Las ecuaciones
de Pfaff se pueden integrar s\'olo si el campo vectorial de
coeficientes asociado a la ecuaci\'on de Pfaff es potencial o si
existe una funci\'on (factor integrante de la ecuaci\'on) tal que
el producto de esta funci\'on escalar por el campo vectorial es un
campo potencial. En estos casos la ecuaci\'on de Pfaff es una EDO
exacta (o reducible a una EDO exacta) y es directamente resoluble.
\es

Se puede demostrar que la \textbf{condici\'on necesaria y
suficiente} para que exista un factor integrante $\mu$ es que se
cumpla la ecuaci\'on:
\[
\bfm{F}\cdot \mbox{rot} \bfm{F}=0,
\]
es decir, que los vectores $\bfm{F}$ y rot$\bfm{F}$ sean
ortogonales. Si esta condici\'on (llamada condici\'on de
\textbf{integraci\'on total}) no se cumple, entonces no existe
ninguna familia de superficies $S(x,y,z)=c$ ortogonales a las
l\'{\i}neas vectoriales del campo $\bfm{F}(x,y,z)$.
N\'otese que en el ejemplo (\ref{pfaff2}) la condici\'on $\bfm{F}\cdot %
\mbox{rot} \bfm{F}=0$ se cumple.

\bejem Dada la ecuaci\'on de Pfaff
\[
zdx +(x-y)dy +zy dz =0,
\]
se verifica que la condici\'on $\bfm{F}\cdot \mbox{rot}
\bfm{F}=0$, donde
\[
\bfm{F}=z\bfm{i}+(x-y)\bfm{j}+zy\bfm{k}
\]
no se cumple. \enejem

En este caso la ecuaci\'on de Pfaff no es integrable directamente
y hace falta utilizar unas t\'ecnicas que desbordan los objetivos
del curso. M\'as
detalles se pueden encontrar en el libro de Elsgoltz \footnote{%
Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y c\'alculo
variacional. III Ed. Editorial Mir.}.

\subsection{Introducci\'on progresiva de las EDP hiperb\'olicas de primer
orden}

Se entiende por introducci\'on progresiva la presentaci\'on de
distintos mo\-de\-los de dificultad creciente para el
entendimiento del proceso de resoluci\'on de EDP de tipo
hiperb\'olico. Un libro de texto interesante en
este sentido es el libro de Strikwerda\footnote{%
Strikwerda J. C., Finite Difference Schemes and Partial
Differential Equations. Chapman \& Hall. International Thomson
Publishing. 1989}. \es

%\subsection{Problemas de Valor Inicial para EDP de primer orden}
Empezaremos considerando la estructura de un problema de valor
inicial para una ecuaci\'on en derivada parciales de primer orden
lineal o cuasilineal, homog\'enea o no homog\'enea. Extenderemos
el an\'alisis al caso de sistemas de EDP de primer orden y
discutiremos el importante papel de las caracter\'{\i}sticas en el
proceso de resoluci\'on de tales problemas. Tras considerar, en
las secciones siguientes, los problemas de contorno (en dominios
espacialmente acotados), pasaremos al estudio de los problemas de
valor inicial y de contorno, definiendo los conceptos de problemas
bien puestos y problemas mal puestos.

\subsubsection{El caso lineal homog\'eneo con coeficientes constantes}

%La ecuaci\'on de onda uni-direccional}
El prototipo de todas las EDP hiperb\'olicas de primer orden (en
particular de las homog\'eneas con coeficientes constantes) es la
ecuaci\'on de onda
uni-di\-rec\-cio\-nal (conocida tambi\'en con el nombre de \textbf{%
ecuaci\'on de advecci\'on} o de convecci\'on):

\begin{equation}  \label{strik1}
u_t +V u_x =0,
\end{equation}
siendo $V$ una constante: $V\in\R$. Los sub\'{\i}ndices denotan,
como siempre, los o\-pe\-ra\-do\-res de derivaci\'on parcial $u_x
=\partial u/\partial x$ y $u_t =\partial u/\partial t$. Un
\textbf{problema de valores iniciales}
consiste en prescribir el comportamiento de $u$ en un instante inicial, $t=0$%
, digamos $u(x,0)=u_0 (x)$, $\forall\,x\in \R$ y en determinar los
valores
de $u(x,t)$, $\forall\, x\in\R$, $\forall\,t>0$. Es decir, determinar $%
u(x,t) $ tal que:

\begin{equation}  \label{strikk1}
\dis \left\{
\begin{array}{rcll}
\dis \deri{u}{t}+V\deri{u}{x} & = & 0 & 0<x< \infty,\quad t>0, \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = & u_0 (x), & 0<x< \infty ,\quad
t=0.
\end{array}
\right.
\end{equation}

Es f\'acil comprobar que la soluci\'on del problema de valor
inicial (\ref {strikk1}) es:
\begin{equation}\label{unidifor}
u(x,t)=u_0 (x-Vt).
\end{equation}
Se puede adem\'as demostrar (utilizando los resultados de la
secci\'on (\ref {pcc}), concretamente el teorema (\ref{jacoteo}))
que la soluci\'on dada es la \'unica soluci\'on del problema de
valor inicial. En efecto, parametrizamos la curva inicial
$\Gamma_0$:
\[
x=f(s)=s,\qquad y=g(s)=0,\qquad u=u_0 (s),
\]
e identificamos $\bfm{F}=(P,Q,R)=(V,1,0)$. Se tiene entonces que
\[
\Delta = Qf^{\prime}-Pg^{\prime}=1\neq 0.
\]
\es

La f\'ormula de la soluci\'on (\ref{unidifor}) puede decirnos
varias cosas: en primer lugar nos dice que en cualquier instante
la soluci\'on es una copia del dato inicial obtenida por simple
traslaci\'on hacia la derecha si $V>0$ y la izquierda si $V<0$.
Otra forma de verlo consiste en observar que la soluci\'on depende
s\'olo de $\xi =x-Vt$. Las rectas del plano $(x,t)$ donde $\xi$ es
constante se llaman caracter\'{\i}sticas. El par\'ametro $V$ tiene
las dimensiones de una distancia dividida por el tiempo y se llama
la velocidad de propagaci\'on a lo largo de las
caracter\'{\i}sticas. Es decir que se puede interpretar la
soluci\'on como una onda que se propaga con velocidad constante
$V$ sin cambiar de forma a lo largo de la direcci\'on $x$ (de
ah\'{\i} el nombre de ecuaci\'on de onda unidimensional). Un
segundo aspecto relevante de la f\'ormula $u(x,t)=u_0 (x-Vt)$ es
que tiene sentido aunque $u_0$ no sea diferenciable mientras la
ecuaci\'on parece tener sentido s\'olo si $u$ es diferenciable. En
general, se admitir\'an
soluciones discontinuas para las EDP hiperb\'olicas\footnote{%
Un ejemplo de soluci\'on discontinua es una onda de choque (shock
wave), t\'{\i}pica de las ecuaciones no lineales. V\'ease la
secci\'on dedicada a las soluciones discontinuas.}. \es

\subsubsection{El caso lineal no homog\'eneo con coeficientes constantes}

Para ilustrar con m\'as detalle el concepto de caracter\'{\i}stica
consideraremos ahora la EDP hiperb\'olica m\'as general:
\begin{equation}  \label{strik2}
u_t +V u_x +bu =f(x,t),
\end{equation}
siendo $V$ y $b$ constantes, complementada con la
\emph{condici\'on inicial} $u(0,x)=u_0 (x)$. Se trata por tanto de
resolver el problema de valor inicial

\begin{equation}  \label{strikk3}
\dis \left\{
\begin{array}{rcll}
\dis \deri{u}{t}+V\deri{u}{x} +bu & = & f(x,t) & 0<x< \infty,\quad t>0, \\%
[0.2cm] \noalign{\smallskip} u(x,0) & = & u_0 (x), & 0<x<
\infty,\quad t=0.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Si $b=0$ y $f\equiv 0$ recuperamos (\ref{strikk1}). Un cambio de
variables lineal del tipo
\[
\tau =t ,\quad \xi =x-Vt \qquad\Longrightarrow \qquad t=\tau
,\quad x=\xi +V\tau,
\]
junto a
\[
u(x,t)=u(\xi +V\tau ,\tau )=\tilde{u}(\xi ,\tau ),
\]
(las variables $\tilde{u}$ y $u$ representan la misma funci\'on
pero la tilda es necesaria para distinguir entre los dos sistemas
($(x,t)$ y $(\xi ,\tau )$) de coordenadas para las variables
independientes) permite escribir (\ref{strik2}) en la forma:

\begin{equation}  \label{strik3}
\dis \left\{
\begin{array}{rcll}
\dis \deri{\tilde{u}}{\tau}+b\tilde{u} & = & f(\xi +V\tau ,\tau )
& -V\tau
<\xi < \infty,\quad \tau >0, \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} \tilde{u}(\xi ,0) & = & u_0 (\xi ), & 0<\xi <
\infty,\quad \tau =0,
\end{array}
\right.
\end{equation}

que es una EDO en $\tau$ (aunque $\xi$ sea s\'olo un par\'ametro,
la
funci\'on $\tilde{u}$ depende formalmente de las dos variables $(\tau ,\xi)$%
; de ah\'{\i} el significado del s\'{\i}mbolo de derivaci\'on
parcial a\'un cuando se puede considerar la ecuaci\'on en el
sentido de una EDO) que se complementa con la condici\'on inicial
$\tilde{u}(\xi,0)=u_0 (\xi)$. El problema de valor inicial
asociado se puede resolver por la f\'ormula de variaci\'on de las
constantes (v\'ease la secci\'on correspondiente de los guiones de
primer curso para la deducci\'on de la f\'ormula mediante el
m\'etodo de Lagrange):
\[
\tilde{u} (\xi ,\tau ) = u_0 (\xi ) e^{-b \tau} +\dis \int_0^\tau
f(\xi +V\sigma ,\sigma )e^{-b (\tau -\sigma )}d\sigma.
\]
Volviendo a las variables originales tenemos una representaci\'on
para la soluci\'on dada por:

\begin{equation}  \label{strik4}
u (x ,t ) = u_0 (x-Vt ) e^{-b t} +\dis \int_0^t f(x -V(t-s),s
)e^{-b (t -s )}ds.
\end{equation}
A partir de (\ref{strik4}) se deduce que $u(x,t)$ depende s\'olo
del valor de $u_0 (x)$ en el punto $x^*$ tal que $x^* =x-Vt$ y del
valor de $f(x,t)$
en todos los puntos de la caracter\'{\i}stica que pasa por $(x^* ,0)$ para $%
0\leq t^{\prime}\leq t$.

%los valores de $(x' ,t')$ tales que $x' -Vt' =x-Vt$,
%es decir s\'olo de los valores de $u_0 $ y $f$
%a lo largo de la caracter\'{\i}stica que pasa por el punto $(x,t)$
%para $0\leq t' \leq t$.
\es

Este m\'etodo de resoluci\'on se puede f\'acilmente extender a
ecuaciones del tipo:

\begin{equation}  \label{strik5}
u_t +V u_x =f(x,t,u),\qquad u(x,0)=u_0 (x),
\end{equation}
complementadas con $u(x,0)=u_0 (x)$. Se puede mostrar (se deja
como ejercicio propuesto) que (\ref{strik5}) es equivalente a la
familia de P.V.I.:

\begin{equation}  \label{strik6}
\deri{\tilde{u}}{\tau}= f(\xi +V\tau ,\tau ,\tilde{u}),
\end{equation}
con $\tilde{u}(\xi,0)=u_0 (\xi)$. La relaci\'on entre la
soluci\'on del problema original (\ref{strik5}) y la soluci\'on
del problema (\ref{strik6}) viene dada por:
\[
u(x,t)=\tilde{u}(x-Vt ,t).
\]
No siempre es posible resolver expl\'{\i}citamente el problema (\ref{strik6}%
). En tales casos es necesario acudir a m\'etodos num\'ericos.

\subsection{Sistemas hiperb\'olicos con coeficientes constantes}

Consideraremos sistemas hiperb\'olicos espacialmente unidimensionales, $\vec{%
x}=x\in\R$, con coeficientes cons\-tan\-tes. La variable $\vec{U}$
es un vector de dimensi\'on $d$:

\[
\vec{U}=\vec{U}(x,t)=(u_1 (x,t),..., u_d (x,t))\in\R^d ,\quad
d\geq 2.
\]

\begin{dfn}
Un sistema de la forma:
\begin{equation}\label{sispon}
\vec{U}_t +[A] \vec{U}_x +[B] \vec{U} =\vec{F}(x,t),
\end{equation}
se dice que es {\bf hiperb\'olico} si la matriz $[A]$ es
diagonalizable con autovalores reales. Los autovalores $a_i $ de
$[A]$ se denominan {\bf velocidades caracter\'{\i}sticas} del
sistema.
\end{dfn}
Recu\'erdese que si $[A]$ es diagonalizable, entonces existe una
matriz no singular $[P]$ tal que $[D] =[P^{-1}][A][P]$, siendo
$[D] $ una matriz diagonal. \es

En el caso particular de que $[B]\equiv 0$, definiendo entonces el
cambio de variables $\vec{W}=[P^{-1}]\vec{U}$, se tiene:
\[
\vec{W}_t +[D] \vec{W}_x =[P^{-1}]\vec{F}(x,t)=\vec{G}(t,x),
\]
es decir,
\[
w_t^i +\lambda_i w_x^i =g^i (t,x),\qquad i=1...d,
\]
que es de la forma (\ref{strik2}) para las componentes de los vectores $\vec{%
W}=(w^1 ,...w^d )$, $\vec{G}=(g^1 ,...g^d )$ y los autovalores $\lambda_i$, $%
i=1,..,d$ de la matriz del sistema $[A]$. \es

Por tanto, cuando $[B]\equiv 0$ el sistema hiperb\'olico se reduce
a un sistema desacoplado de ecuaciones hiperb\'olicas escalares
independientes que se resuelven por separado. Consideraremos esta
situaci\'on en el siguiente ejemplo, donde supondremos $[B]\equiv
0$ y $\vec{F}(x,t)\equiv 0$ (caso homog\'eneo).

\bejem Se considera el PVI dado por el sistema hiperb\'olico:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dis u_t +2u_x +v_x & = & 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis v_t +u_x +2v_x & = & 0,
\end{array}
\right.
\]
y las condiciones iniciales:
\[
u (x,0)=u_0 (x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1 & |x|\leq 1 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 0 & |x|>1
\end{array}
\right. ,\qquad v(x,0)=v_0 (x)=0.
\]
Encontrar su soluci\'on. \enejem

Se utiliza la teor\'{\i}a matricial, concretamente la t\'ecnica de
diagonalizaci\'on de matrices cuadradas. \es

El sistema se puede escribir en la forma:
\[
\left(
\begin{array}{c}
u \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} v
\end{array}
\right)_t + \left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 1 & 2
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
u \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} v
\end{array}
\right)_x =0,
\]
siendo $\vec{U}=(u,v)$. Es decir,
\[
\vec{U}_t +[A]\vec{U}_x =0,\qquad [A]=\left(
\begin{array}{cc}
2 & 1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 1 & 2
\end{array}
\right).
\]

\es

Es f\'acil ver que la matriz $[A]$ (que es sim\'etrica) tiene
autovalores
\[
\lambda_1 =3,\qquad \lambda_2 =1.
\]
Los autovectores son $\vec{\mu}_1 =(1,1)$ y $\vec{\mu}_2 =(1,-1)$.
La matriz
es diagonalizable y el sistema se puede desacoplar mediante el cambio $\vec{W%
}=[P^{-1}] \vec{U}$. N\'otese que la matriz $[P]$ viene dada por
(escribiendo en columna las componentes de los autovectores
$\vec{\mu}_1$ y $\vec{\mu}_2$)

\[
[P]=\dis \left(
\begin{array}{cc}
1 & 1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 1 & -1
\end{array}
\right),\qquad [P^{-1}]=\left(
\begin{array}{cc}
\dis\frac{1}{2} & \dis\frac{1}{2} \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis\frac{1}{2} & -\dis\frac{1}{2}
\end{array}
\right),
\]
luego,

\[
\left(
\begin{array}{c}
w^1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} w^2
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{cc}
\dis\frac{1}{2} & \dis\frac{1}{2} \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis\frac{1}{2} & -\dis\frac{1}{2}
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
u \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} v
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
\dis\frac{1}{2}(u+v) \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis\frac{1}{2}(u-v)
\end{array}
\right).
\]

Un simple razonamiento nos confirma que el cambio de coordenadas a
efectuar es el anterior. En efecto, sumando y restando las dos
ecuaciones:

\[
\dis u_t +2u_x +v_x = 0 ,\qquad \dis v_t +u_x +2v_x = 0,
\]
el sistema se puede reescribir en la forma:
\[
\begin{array}{c}
\dis\frac{1}{2}\left[(u+v)_t +3(u+v)_x \right]=0 ,\qquad 0<x< \infty, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} \dis\frac{1}{2}\left[(u-v)_t +(u-v)_x\right]
=0,\qquad 0<x< \infty,
\end{array}
\]
y definiendo $w^1 =u+v$, $w^2 =u-v$, se tienen los dos PVI para
las componentes $(w^1 ,w^2 )$.

\begin{equation}  \label{strikkky}
\dis \left\{
\begin{array}{rcl}
\dis w^1_t +3w^1_x & = & 0 \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} w^1 (0,x) & = & \dis \frac{1}{2}u_0 (x)
\end{array}
\right. ,\qquad \dis \left\{
\begin{array}{rcl}
\dis w^2_t +w^2_x & = & 0 \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} w^2 (0,x) & = & \dis \frac{1}{2}u_0 (x)
\end{array}
\right.,
\end{equation}
donde las condiciones de contorno se deducen observando que $v_0
(x)=0$. La soluci\'on es por tanto,
\[
w^1 (t,x)=w^1_0 (x-3t),\qquad w^2 (t,x)=w^2_0 (x-t).
\]
En t\'erminos de las componentes originales $(u(x,t),v(x,t))$ se
tiene:
\[
\begin{array}{rcl}
u(x,t) & = & w^1 +w^2= \dis\frac{1}{2}[u_0 (x-3t)+
u_0 (x-t)], \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} v(x,t) & = &w^1 -w^2= \dis\frac{1}{2}[u_0
(x-3t)-u_0 (x-t)].
\end{array}
\]
\es

En las hip\'otesis $[B]\equiv 0$, $F(x,t)\equiv 0$, el proceso de
resoluci\'on de un sistema hiperb\'olico del tipo (\ref{sispon})
se puede resumir (utilizando una notaci\'on matricial) en los
siguientes pasos: \es

\centerline{M\'ETODO DE RESOLUCI\'ON DE SISTEMAS HOMOG\'ENEOS} \es

\begin{enumerate}
\item  Resolver el sistema hiperb\'{o}lico $\dis \vec{U}_{t}+[A]\vec{U}%
_{x}=0 $, siendo $\vec{U}=(u,v)$ un vector y $[A]$ una matriz
cuadrada.

\item  Diagonalizar la matriz $[A]$ y obtener la matriz $[P]$ tal que $%
[D]=[P^{-1}][A][P]$. Recu\'{e}rdese que siempre es posible por
definici\'{o}n de sistema hiperb\'{o}lico.

\item  Observar que $[A]=[P][D][P^{-1}]$, luego debemos resolver
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
\[
\vec{U}_{t}+[A]\vec{U}_{x}=\vec{U}_{t}+[P][D][P^{-1}]\vec{U}_{x}=0,
\]
de donde se deduce la ecuaci\'{o}n matricial
\[
[P]\vec{U}_{t}+[D][P]\vec{U}_{x}=0.
\]

\item  Definir $\vec{W}=[P^{-1}]\vec{U}$ (es decir se utiliza la matriz de paso $%
[P]$ para obtener las coordenadas en las cuales $[A]$ es
diagonalizable).

\item  Resolver el sistema hiperb\'{o}lico desacoplado $\dis \vec{W}_{t}+[D]%
\vec{W}_{x}=0$ resolviendo una por una las ecuaciones
hiperb\'{o}licas escalares y los PVI asociados.
\end{enumerate}

Si $[B]\neq 0$ el sistema es acoplado. El efecto de los t\'erminos $[B] \vec{%
U}$ puede ser aquel de generar cre\-ci\-mien\-to, decaimiento u
oscilaciones en la soluci\'on pero no modifica la propiedad
cualitativa de propagaci\'on a lo largo de las
caracter\'{\i}sticas t\'{\i}pica de los problemas hiperb\'olicos.
La definici\'on de sistema hiperb\'olico para una dimensi\'on
gen\'erica espacial, $\vec{x}=(x_1 ,.., x_n )\in\R^n$, $n>1$, se
encuentra en el cap. 9 del libro de Strikwerda.

\subsection{Ecuaciones hiperb\'olicas lineales homog\'eneas con coeficientes
va\-ria\-bles}

Consideraremos unas ecuaciones hiperb\'olicas con coeficientes
variables para las cuales la velocidad caracter\'{\i}stica es una
funci\'on del tiempo y del espacio. En concreto, sea dada la
ecuaci\'on
\begin{equation}  \label{strik7}
u_t +a(x,t)u_x =0,
\end{equation}
complementada con la condici\'on inicial $u(x,0)=u_0 (x)$, cuya
velocidad de
propagaci\'on es $a(x,t)$. Tal y como hicimos con la ecuaci\'on (\ref{strik2}%
) (coeficientes constantes) introducimos las variables $\tau$ y
$\xi$, siendo $t=\tau$ y dejando $\xi$ todav\'{\i}a indeterminada.
Se tiene:
\[
\deri{\tilde{u}}{\tau} =\deri{t}{\tau}u_t+\deri{x}{\tau}u_x= u_t+%
\deri{x}{\tau}u_x.
\]
Siguiendo la analog\'{\i}a con el caso de coeficientes constantes,
ponemos:
\[
\dis\frac{dx}{d\tau}=a(x,t)=a(x,\tau ),
\]
que es una EDO para $x$ que nos da la velocidad a lo largo de la
caracter\'{\i}stica a trav\'es del punto $(x,\tau)$ como $a(x,\tau
)$. Prescribimos adem\'as el valor inicial para la curva
caracter\'{\i}stica que pasa por el punto $(x,\tau )$ como $\xi$
(de esta forma queda determinado el cambio de variables). Luego la
ecuaci\'on (\ref{strik7}) es equivalente al PVI constituido por el
sistema de EDO y las condiciones iniciales:
\begin{equation}  \label{strik8}
\left\{
\begin{array}{rcll}
\dis \frac{d\tilde{u}}{d\tau} & = & 0, & \tilde{u}(\xi ,0 )=u_0 (\xi) \\%
[0.1cm] \noalign{\smallskip} \dis \frac{dx}{d\tau} & = & a(x,\tau
), & x(0)=x_0 =\xi,
\end{array}
\right.
\end{equation}
donde $\xi$ es un par\'ametro que permite \emph{recorrer} con
continuidad las caracter\'{\i}sticas de la EDP (es constante a lo
largo de cada caracter\'{\i}stica pero var\'{\i}a pasando de una a
otra). \es

Tal y como se deduce a partir de la primera ecuaci\'on del
sistema, $u$ es constante a lo largo de cada curva
caracter\'{\i}stica, pero la caracter\'{\i}stica no tiene por
qu\'e ser una recta (lo ser\'{\i}a si $a$ fuese constante).

%poner ejemplo pag 5 de strik
\bejem[Problema de valor inicial] Se considera el PVI:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dis u_t +x u_x & = & 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis u(x,0) & = & u_0 (x),
\end{array}
\right.
\]
siendo la condici\'on inicial:
\[
u (x,0)=u_0 (x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1 & 0\leq x\leq 1, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 0 & x\not\in [0,1],
\end{array}
\right.
\]
Encontrar su soluci\'on. \enejem

Utilizando (\ref{strik8}) se tienen las ecuaciones
\[
\dis \frac{d\tilde{u}}{d\tau}=0,\qquad \dis \frac{dx}{d\tau}=x.
\]
La soluci\'on general de la EDO para $x(\tau)$ es $x(\tau )=c
e^{\tau}$. Puesto que $x(0)=\xi$ se tiene $x(\tau )=\xi e^{\tau}$
es decir,
\[
\dis \xi =xe^{-\tau}.
\]
La ecuaci\'on para la $\tilde{u}$ muestra que $\tilde{u}$ es
independiente de $\tau$ y utilizando la condici\'on inicial se
tiene:
\[
\tilde{u}(\tau ,\xi )=u_0 (\xi ),
\]
luego,

\[
u(x,t)=\tilde{u}(\tau ,\xi )=u_0 (\xi )=u_0 (xe^{-t}),
\]
y se tiene, para $t>0$,

\[
u (x,t)=\left\{
\begin{array}{rl}
1, & 0\leq x\leq e^t , \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 0, & x\not\in [0,e^t].
\end{array}
\right.
\]
\es

\beobse N\'otese que el dato inicial del problema, $u_0 (x)$ es
una funci\'on de
soporte compacto\footnote{%
Se entiende por ello una funci\'on que es id\'enticamente nula por
fuera de un intervalo cerrado y acotado de la recta real.}, siendo
el soporte el intervalo $[0,1]$. Para cada instante de tiempo
fijado, digamos $t^*$, tambi\'en la soluci\'on tiene soporte
compacto $\dis [0,e^{t^*}]$. La soluci\'on representa por tanto
una propagaci\'on del dato inicial a lo largo de las
caracter\'{\i}sticas. El soporte se dilata pero sigue siendo
compacto para cada instante. Esta es una propiedad cualitativa
t\'{\i}pica de las ecuaciones de tipo hiperb\'olico. \enobse

\bejem[Problema de valor inicial] Se considera el PVI:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dis u_t +x u_x & = & u, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis u(x,0) & = & u_0 (x),
\end{array}
\right.
\]
siendo la condici\'on inicial:
\[
u (x,0)=u_0 (x)=\left\{
\begin{array}{rl}
1 & 0\leq x\leq 1, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 0 & x\not\in [0,1].
\end{array}
\right.
\]
Encontrar su soluci\'on. \enejem

El problema es ahora no homog\'eneo. Se define $u(x,t)=\tilde{u}
(\xi ,\tau ) $ y se aplica la regla de la cadena para obtener las
ecuaciones:

\[
\dis \frac{d\tilde{u}}{d\tau}= \tilde{u},\qquad \dis
\frac{dx}{d\tau}=x.
\]
La soluci\'on general de la EDO para $x(\tau)$ es $x(\tau )=c
e^{\tau}$. Puesto que $x(0)=\xi$ se tiene $x(\tau )=\xi e^{\tau}$,
es decir,

\[
\dis \xi =xe^{-\tau}.
\]
La ecuaci\'on para la $\tilde{u}$ muestra que:

\[
\tilde{u} (\tau ,\xi )=Ce^{\tau}.
\]
Utilizando la condici\'on inicial:
\[
\tilde{u}(0 ,\xi )=u_0 (\xi ) =C,
\]
luego $\tilde{u}(\tau ,\xi )=u_0 (\xi )e^{\tau}$ y por tanto,

\[
u(x,t)=\tilde{u}(\tau ,\xi )=u_0 (\xi )e^{\tau}=u_0 (xe^{-t}) e^t,
\]
y se tiene, para $t>0$,

\[
u (x,t)=\left\{
\begin{array}{rl}
e^t & 0\leq x\leq e^t, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 0 & x\not\in [0,e^t ].
\end{array}
\right.
\]
\es

N\'otese finalmente que estos m\'etodos se pueden extender
tambi\'en a ecuaciones no lineales (cuasilineales) de la forma:
\[
u_t +a(x,t)u_x =f(x,t,u).
\]
%ver ejer 7

\es Las ecuaciones para las cuales las velocidades
caracter\'{\i}sticas dependen de $u$, es decir con velocidad
caracter\'{\i}stica $a(t,x,u)$, por ejemplo las ecuaciones del
tipo:
\[
u_t +a(x,t,u)u_x =f(x,t,u),
\]
requieren un cuidado especial pues las curvas caracter\'{\i}sticas
se pueden intersecar. En este caso la soluci\'on toma valores
distintos a lo largo de cada una de las caracter\'{\i}sticas luego
en el punto de intersecci\'on debe haber un salto. Hay una
discontinuidad. Los gradientes de la soluci\'on se ponen
verticales y tienden al infinito. Se genera un frente y hay
singularidad en las derivadas parciales.

\subsection{$^*$ Sistemas hiperb\'olicos con coeficientes variables}

Consideraremos en esta secci\'on los sistemas unidimensionales
(espacialmente) de ecuaciones hiperb\'olicas de primer orden con
coeficientes variables. Utilizaremos la misma notaci\'on adoptada
en el caso de coeficientes constantes. Las matrices se entienden
ahora como funciones matriciales.

\begin{dfn}
El sistema
$$
\vec{U}_t +[A(x,t)]\vec{U}_x +[B(x,t)] \vec{U} =\vec{F}(x,t),
$$
complementado con la condici\'on inicial $\vec{U}(x,0)=\vec{U}_0
(x)$ es {\bf hiperb\'olico} si existe una funci\'on matricial
$[P(x,t)]$ tal que
$$
[P^{-1}(x,t)][A(x,t)][P(x,t)]=[D (x,t)]=
\left(\begin{array}{ccccccc}
a_1 (x,t) & & & & & & 0\\
\noalign{\smallskip}
   & &\cdot  & & & & \\
\noalign{\smallskip}
 & & & \cdot   & & & \\
\noalign{\smallskip}
 & & & & \cdot    & & \\
\noalign{\smallskip}
0  & & & &  & & a_d (x,t)\\
\noalign{\smallskip}
\end{array}\right)
$$
es diagonal, con autovalores reales y las normas matriciales de
$[P(x,t)]$, $[P^{-1} (x,t)]$ est\'an acotadas en $x$ y $t$ para
$x\in\R$, $t\geq 0$.
\end{dfn}
Las curvas caracter\'{\i}sticas del sistema vienen dadas por las
soluciones de las EDO:
\[
\dis \frac{dx^{i}}{dt}=a_i (x,t), \quad x^{i} (0)=\xi^{i},\qquad
i=1,..,d.
\]
Definiendo $\vec{W}=[P^{-1}(x,t)]\vec{U}$, obtenemos el sistema
para la $\vec{W}$:

\[
\vec{W}_t +[D(x,t)] \vec{W}_x =[P^{-1}(x,t)]\vec{F}(x,t)+ [G
(x,t)]\vec{W}
\]
siendo $\dis [G]=-[P]^{-1}([P]_t +[A] [P]_x -[B][P])$.

\subsection{$^*$ Problemas de valor inicial y de contorno para una EDP de primer
orden con coeficientes constantes}

Consideraremos ahora EDP hiperb\'olicas de primer orden en un
intervalo finito en lugar de en toda la recta real. La
mayor\'{\i}a de las aplicaciones de las EDP se plantean en
dominios con una frontera y es muy importante prescribir
correctamente los datos del problema a lo largo de la frontera, es
decir las \textbf{condiciones de contorno}. El problema de
determinar una soluci\'on de una ecuaci\'on diferencial cuando se
pres\-cri\-ben datos iniciales y datos en el contorno se llama un
\textbf{problema de valor inicial y de contorno}. El an\'alisis de
este tipo de problemas mostrar\'a nuevamente la importancia del
concepto de caracter\'{\i}stica. \es

En esta secci\'on consideraremos los problemas de valor inicial y
de contorno para EDP de primer orden (hiperb\'olicas) en una
dimensi\'on espacial. \es

Se considera la ecuaci\'on de onda unidimensional
\begin{equation}  \label{strik21}
u_t +V u_x =0,\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t\geq 0.
\end{equation}
Si $V>0$ las caracter\'{\i}sticas en esta regi\'on son l\'{\i}neas
rectas que se propagan de izquierda a derecha. Podemos prescribir
la soluci\'on en la frontera $x=0$, junto a una condici\'on
inicial, para que la soluci\'on est\'e definida $\forall\,t\geq
0$. Por otra parte no podemos prefijar arbitrariamente la
funci\'on en la otra frontera ($x=1$) pues la soluci\'on
podr\'{\i}a estar sobre determinada (es decir podr\'{\i}a no
existir una soluci\'on que cumpla todas las condiciones
impuestas).

Si especificamos un dato inicial
\[
u(x,0)=u_0 (x),
\]
y un dato de contorno

\[
u(0,t)=g(t),
\]
entonces la soluci\'on del problema de valor inicial y de contorno
constituido por la ecuaci\'on (\ref{strik21}) y las condiciones
l\'{\i}mite anteriores es:

\[
u (x,t)=\left\{
\begin{array}{rl}
u_0 (x-Vt) & x-Vt >0, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} g(t-V^{-1}x) & x-Vt <0.
\end{array}
\right.
\]
A lo largo de la caracter\'{\i}stica dada por $x-Vt=0$ tendremos
una discontinuidad de salto en $u$ si $u_0 (x=0)\neq g(t=0)$. Si
$V<0$ el papel de las dos fronteras se invierte y el an\'alisis es
similar. \es

\bejem % Smith pg 150 libro viejo
Calcular la soluci\'on de la ecuaci\'on
\[
\dis \deri{u}{t}+\deri{u}{x}=0,\qquad 0<x<\infty ,\quad t>0,
\]
complementada con la condici\'on de contorno:
\[
u(0,t)=g(t)=2t,\quad t>0,
\]
y la condici\'on inicial:
\[
u (x,0)=u_0 (x)=\left\{
\begin{array}{rl}
x (x-2) & 0\leq x\leq 2, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 2(x-2) & x\geq 2.
\end{array}
\right.
\]
\enejem

Puesto que $V\equiv 1$, se tiene que la soluci\'on es:
\[
u (x,t)=\left\{
\begin{array}{rl}
u_0 (x-t) & x-t >0, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} g(t-x) & x-t <0.
\end{array}
\right.
\]
N\'otese que en el origen $(x,t)=(0,0)$ se tiene $u_0 (0)=g (0)$ y
no hay discontinuidad de salto. Expl\'{\i}citamente (utilizando
los datos del problema) la expresi\'on de la soluci\'on es:

\[
u(x,t)=\dis \left\{
\begin{array}{ll}
\left\{
\begin{array}{ll}
(x-t) (x-t-2) & 0< x-t\leq 2, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 2(x-t-2) & x-t\geq 2
\end{array}
\right\} & x-t >0, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} 2(t-x) & x-t <0.
\end{array}
\right.
\]
Veamos el porqu\'e. El sistema auxiliar es:
\[
\dis dt=dx=\frac{du}{0},
\]
luego $u$ es constante a lo largo de la l\'{\i}nea recta
caracter\'{\i}stica $t=x+C$. Por tanto la ecuaci\'on de la
caracter\'{\i}stica que pasa por el punto $(x_0 ,0)$ del eje $x$
es $t=x-x_0$ y si $u(x,0)=u_0 (x)$ entonces la soluci\'on a lo
largo de esta caracter\'{\i}stica es:
\[
u(x,t)=u_0 (x_0 )=u_0 (x-t).
\]
Adem\'as, puesto que el dato inicial viene dado en $0<x<\infty$,
se tiene que $u_0 (s)$ est\'a definida para $s>0$ luego la
expresi\'on anterior de la soluci\'on es v\'alida s\'olo en la
regi\'on tal que $s=x-t >0$. De manera an\'aloga, si $u(0,t)=g
(t)$, la soluci\'on a lo largo de la caracter\'{\i}stica $t-t_0
=x$ que pasa por el punto $(0,t_0 )$ es:
\[
u(x,t)=g (t_0 )=g (t-x).
\]
Puesto que el dato de contorno viene dado para $t>0$, se tiene que
$g (s)$ est\'a definida para $s>0$ luego la expresi\'on anterior
de la soluci\'on es v\'alida s\'olo en la regi\'on tal que $s=t-x
>0$. Juntando las dos expresiones se tiene:

\[
u (x,t)=\left\{
\begin{array}{rl}
u_0 (x-t) & x-t >0, \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} g (t-x) & x-t <0.
\end{array}
\right.
\]

\es

%paramem Este ejemplo se puede encontrar en el libro de Smith donde
%se utiliza este modelo para discutir la resoluci\'on num\'erica del
%mismo mediante el m\'etodo de Lax-Wendroff expl\'{\i}cito.

\subsubsection{$^*$ Problemas de valor inicial y de contorno para sistemas de
primer orden con coeficientes constantes}

Consideremos ahora el sistema hiperb\'olico:
\begin{equation}  \label{sih}
\left(
\begin{array}{c}
u^1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^2
\end{array}
\right)_t + \left(
\begin{array}{cc}
a & b \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} b & a
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
u^1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^2
\end{array}
\right)_x =0 ,\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t\geq 0.
\end{equation}
Los autovalores (o velocidades caracter\'{\i}sticas) del sistema
son:
\[
\lambda_1 =a+b ,\qquad \lambda_2 =a-b.
\]
Considereremos s\'olo el caso donde $a$ y $b$ son positivos. Si
$0<b<a$, entonces los auto\-va\-lo\-res son ambos positivos y las
dos familias de caracter\'{\i}sticas se propagan de izquierda a
derecha. Esto significa que la soluci\'on (vector) $\vec{U}=(u^1
,u^2 )^T $ se debe prefijar en $x=0$ y ning\'un dato se debe
especificar en $x=1$. N\'otese que la pendiente de las
caracter\'{\i}sticas es el inverso de la velocidad ($a^{-1}$),
luego las caracter\'{\i}sticas m\'as lentas ser\'an aquellas con
mayor pendiente. El caso m\'as interesante se da cuando $0<a<b$.
Los autovalores son de signo contrario y las familias de
caracter\'{\i}sticas se propagan en direcciones opuestas.
Escribimos el sistema en la forma:

\[
\left(
\begin{array}{c}
u^1 +u^2 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^1 - u^2
\end{array}
\right)_t + \left(
\begin{array}{cc}
a+b & 0 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 0 & a-b
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
u^1 +u^2 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^1 - u^2
\end{array}
\right)_x =0,
\]
donde las ecuaciones se tienen que verificar para $0\leq x\leq 1$ y $t\geq 0$%
. Ciertamente una forma de determinar una \'unica soluci\'on
consiste en prescribir $u^1 +u^2$ en $x=0$ y prescribir $u^1 -u^2
$ en $x=1$. Sin embargo existen otras posibilidades. Por ejemplo,
cualquier condici\'on de la forma
\begin{equation}  \label{condi}
\begin{array}{rcll}
u^1 +u^2 & = & \alpha_0 (u^1 -u^2 )+\beta_0 (t) & \quad\mbox{en}\, x=0, \\%
[0.1cm]
\noalign{\smallskip} u^1 -u^2 & = & \alpha_1 (u^1 +u^2 )+\beta_1 (t) & \quad%
\mbox{en}\, x=1,
\end{array}
\end{equation}
determinar\'a (\'unicamente) la soluci\'on del problema. Los coeficientes $%
\alpha_0 $, $\alpha_1 $ pueden ser funciones de $t$ o constantes.
Las condiciones de contorno que determinan una \'unica soluci\'on
se dicen \textbf{bien puestas} y el problema se dice \textbf{bien
planteado}. Las condiciones (\ref{condi}) est\'an bien puestas
para el sistema (\ref{sih}).
Adem\'as son las \'unicas condiciones bien puestas posibles para el sistema (%
\ref{sih}). Las condiciones de contorno (\ref{condi}) expresan el
valor de
las variables caracter\'{\i}sticas en la caracter\'{\i}stica \emph{entrante}%
\footnote{%
Por caracter\'{\i}stica entrante se entiende una
caracter\'{\i}stica que entra en el dominio en la frontera
considerada. Una caracter\'{\i}stica saliente es una que deja el
dominio.} en t\'erminos de la variable
caracter\'{\i}stica \emph{saliente}. Por tanto, si especificamos $u^1 $ o $%
u^2$ en $x=0$ el problema est\'a bien planteado y las condiciones
bien puestas. Especificar $u^1 $ o $u^2$ en $x=1$ tambi\'en genera
un problema bien planteado con condiciones bien puestas. Sin
embargo, especificar $u^1 -u^2 $ en $x=0$ o especificar $u^1 +u^2
$ en $x=1$ origina un problema mal planteado pues las condiciones
est\'an mal puestas. \es

Para que un problema hiperb\'olico de valores iniciales y de
contorno est\'e bien puesto, el n\'umero de condiciones de
contorno debe ser igual al n\'umero de caracter\'{\i}sticas
\emph{entrantes} en el dominio.

\bejem % strik pg 8
Consid\'erese el sistema hiperb\'olico (\ref{sih}) en el intervalo
$[0,1]$, con $a=0$ y $b=1$ y las condiciones de contorno $u^1
(0,t)=0$ (en la frontera lateral izquierda) y $u^1 (1,t)=1 $ (en
la frontera lateral derecha). Determinar su soluci\'on siendo $u^1
(x,0)=x$ y $u^2 (x,0)=1$ los datos iniciales. \enejem

Las condiciones de contorno est\'an bien puestas pues son del tipo
(\ref {condi}) para los valores param\'etricos $\alpha_0 =-1$,
$\alpha_1 =-1$ y las funciones $\beta_0 (t)\equiv 0$, $\beta_1
(t)\equiv 2$. \es

Los autovalores (o velocidades caracter\'{\i}sticas) del sistema
son:
\[
\lambda_1 =a+b=1 ,\qquad \lambda_2 =a-b =-1.
\]
Escribimos el sistema en la forma:

\[
\left(
\begin{array}{c}
u^1 +u^2 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^1 - u^2
\end{array}
\right)_t + \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 0 & -1
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
u^1 +u^2 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^1 - u^2
\end{array}
\right)_x =0 ,
\]
donde las ecuaciones se tienen que verificar para $0\leq x\leq 1$ y $t\geq 0$%
. Introduciendo, como antes, las componentes $w^1 =\dis
\frac{1}{2}(u^1 +u^2)$ y $w^2 =\dis \frac{1}{2}(u^1 -u^2) $ se
tiene:

\[
\left(
\begin{array}{c}
w^1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} w^2
\end{array}
\right)_t + \left(
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} 0 & -1
\end{array}
\right) \left(
\begin{array}{c}
w^1 \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} w^2
\end{array}
\right)_x =0 ,
\]
y nos hemos reconducido a resolver los dos PVI para las
componentes $(w^1 ,w^2 )$:

\[
%\begin{equation}\label{strikkky}
\dis \left\{
\begin{array}{rcl}
\dis w^1_t +w^1_x & = & 0, \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} w^1 (x,0) & = & \dis\frac{1}{2}(u^1_0
(x)+u^2_0 (x)) =\dis\frac{1}{2}(x +1),
\end{array}
\right.
\]

\begin{equation}  \label{astrikkky}
\dis \left\{
\begin{array}{rcl}
\dis w^2_t -w^2_x & = & 0, \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} w^2 (x,0) & = & \dis\frac{1}{2}(u^1_0 (x)-
u^{2}_0 (x))=\dis\frac{1}{2}(x-1),
\end{array}
\right.
\end{equation}
donde las condiciones de contorno se deducen a partir de los datos
del problema. La soluci\'on es por tanto:
\[
w^1 (x,t)=w^1_0 (x-t)=\dis\frac{1}{2}(x-t+1),\qquad w^2
(x,t)=w^2_0 (x+t)=\dis\frac{1}{2}(x+t-1).
\]
En t\'erminos de las componentes originales $(u(x,t),v(x,t))$ se
tiene:
\[
\begin{array}{rcl}
u^1 (x,t) & = &w^1 +w^2=w^1_0
(x-t)+w^2_0 (x+t)=x, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} u^2 (x,t) & = &w^1 -w^2=w^1_0 (x-t)-w^2_0
(x+t)]=1-t.
\end{array}
\]
Se comprueba directamente que las condiciones de contorno para la
componente $u^1$ en las fronteras laterales est\'an satisfechas.
\es

%paramem Finalmente observamos que los sistemas hiperb\'olicos del tipo
%(\ref{sih}) son un caso particular de los sistemas del tipo
%$$
%\dis \deri{\bfm{u}}{t}+A(\bfm{u})\deri{\bfm{u}}{x} =0
%$$
%donde $A(\bfm{u})$ es una matriz que depende
%(o puede depender) de la misma inc\'ognita. Suelen ser por
%tanto sistemas no lineales que se integran con m\'etodos num\'ericos.
%En el libro de Smith se encuentra el esquema num\'erico
%de Lax-Wendroff para sistemas de este tipo. En la secci\'on (avanzada)
%dedicada a los sistemas de leyes de conservaci\'on utilizaremos
%la notaci\'on de operadores (mediante el operador de divergencia)
%para definir e introducir algunos sistemas importantes en las aplicaciones
%qu\'{\i}micas.

\subsubsection{$^*$ Problemas peri\'odicos}

Es posible considerar tambi\'en \textbf{problemas peri\'odicos}.
Por ejemplo, supongamos que se quiera resolver la ecuaci\'on de
onda unidimensional en el intervalo $[0,1]$, donde la soluci\'on
satisface:
\[
u(0,t)=u(1,t),\qquad \forall\,t\geq 0.
\]
Esta condici\'on se llama condici\'on de contorno peri\'odica. Un
problema peri\'odico para una funci\'on $u(x,t)$ con $x\in[0,1]$
es equivalente a un problema en la recta real sustituyendo la
condici\'on anterior por:

\[
u(x,t)=u(x+p ,t),\qquad \forall\,t\geq 0,\quad\forall\,p \in
\mathbb{Z}.
\]
N\'otese que, hablando con rigor, una condici\'on de tipo
peri\'odico no es una condici\'on de contorno puesto que para las
soluciones de los problemas peri\'odicos no existe frontera (o
contorno). No se aplican por tanto los comentarios hechos sobre
las condiciones de contorno bien (y mal) puestas.

\subsection{$^*$ Sistemas de leyes de conservaci\'on: la notaci\'on de o\-pe\-ra\-do\-res}

En esta secci\'on presentamos la forma general de un sistema de
leyes de conservaci\'on en varias variables espaciales y daremos
un ejemplo importante que aparece en la f\'{\i}sica matem\'atica
al describir la din\'amica de gases. \es

Sea $\Omega$ una regi\'on abierta de $\R^n$ y sean $f_j$, $1\leq
j\leq d$ funciones de clase $C^1$ tales que $f_j\, :\,\Omega
\subset \R^n \to\R^n$, es decir: sean dadas $d$ funciones
vectoriales de $n$ variables suficientemente regulares para que
est\'e bi\'en definido y sea continuo el gradiente de cada una de
ellas. Consideraremos el sistema de $n$ ecuaciones de
conservaci\'on dado por:
\begin{equation}  \label{sisco}
\dis \deri{\bfm{u}}{t}+\sum_{j=1}^d \deri{f_j }{x_j} (\bfm{u}) =0,
\end{equation}
para $\bfm{x}=(x_1 ,...,x_d )\in\R^d $ y $t>0$, y donde
$\bfm{u}=(u_1 ,...,u_n )$ es un campo vectorial $\bfm{u}\,:\, \R^d
\times (0,+\infty )\to\Omega$. El sistema (\ref{sisco}) se puede
escribir en la forma de divergencia:
\[
\bfm{u}_t +\mbox{div}\bfm{f}(\bfm{u})=0,
\]
siendo $\bfm{f}$ una funci\'on matricial con valores en $M_{nd}$.
El conjunto $\Omega$ se llama el \textbf{conjunto de estados} (del
sistema). Las funciones $f_j =(f_{1j},...,f_{nj})$ (es decir las
componentes vectoriales de la funci\'on matricial) se llaman las
\textbf{funciones de flujo}. Formalmente el sistema (\ref{sisco})
expresa la conservaci\'on de
las cantidades $u_1 ,..., u_n$. En efecto, sea $D$ un dominio arbitrario de $%
\R^d$ y sea $\bfm{n}=(n_1 ,...,n_d )$ el vector normal unitario
exterior a la frontera $\partial D$ de $D$. Entonces integrando la
ecuaci\'on (\ref {sisco}) en $D \subset\R^d$ y aplicando el
teorema de la divergencia (en el caso $d$-dimensional) se tiene:

\[
\dis \frac{d}{dt}\int_D \bfm{u} d\bfm{x}+\dis \sum_{j=1}^d
\int_{\partial D} f_j (\bfm{u} )n_j dS =0.
\]
Esta ecuaci\'on de equilibrio (balance) tiene un significado muy
natural: la variaci\'on de $\dis \int_D \bfm{u} d\bfm{x}$,
representada por:
\[
\dis \frac{d}{dt}\int_D \bfm{u} d\bfm{x},
\]
es igual a las p\'erdidas a trav\'es de la frontera:
\[
\dis \sum_{j=1}^d \int_{\partial D} f_j (\bfm{u} )n_j dS.
\]
Caracterizaremos ahora los sistemas estr\'{\i}ctamente hiperb\'olicos\footnote{%
N\'otese que la mayor\'{\i}a de los sistemas de leyes de
conservaci\'on que aparecen en las aplicaciones son
hiperb\'olicos. M\'as exactamente, son simetrizables y esto
implica que son hiperb\'olicos. La simetrizabilidad se debe a la
existencia de una funci\'on de entrop\'{\i}a. M\'as detalles se
pueden encontrar en el libro de Godlewski y Raviart que aparece en
la bibliograf\'{\i}a avanzada.}. Para ello se calcula la matriz
jacobiana de cada funci\'on de flujo $f_j (\bfm{u})$ dada por:
\[
\dis \left[ A_j (\bfm{u})\right] =\left(\deri{f_{ij}}{u_k
}(\bfm{u}) \right)_{1\leq i,k\leq n}.
\]
El sistema (\ref{sisco}) se dice \textbf{hiperb\'olico} si, $\forall\,\bfm{u}%
\in\Omega$ y cada $\bfm{w}=(w_1,...,w_d )$ la matriz

\[
\dis \left[ A (\bfm{u},\bfm{w})\right] =\sum_{j=1}^d w_j A_j
(\bfm{u})
\]
tiene $n$ autovalores reales:
\[
\lambda_1 (\bfm{u},\bfm{w})\leq \lambda_2 (\bfm{u},\bfm{w})\leq
..........\leq \lambda_n (\bfm{u},\bfm{w})\leq ...
\]
y $n$ correspondientes autovectores linealmente independientes
\[
r_1 (\bfm{u},\bfm{w}),\, r_2 (\bfm{u},\bfm{w}),\,........\, , r_n (\bfm{u},%
\bfm{w}).
\]
Si adem\'as los autovalores son todos distintos entonces el
sistema (\ref {sisco}) se denomina \textbf{estr\'{\i}ctamente
hiperb\'olico}. Definimos finalmente el problema de Cauchy para
sistemas de leyes de conservaci\'on.
\begin{dfn}[Problema de Cauchy]
Determinar una funci\'on
$$
\bfm{u}:\,\R^d \times [0,+\infty )\to\Omega , \qquad \bfm{u}=
\bfm{u}(\bfm{x},t)\in\Omega,
$$
que satisfaga la ecuaci\'on (\ref{sisco}) y la condici\'on
inicial:

$$
\bfm{u} (\bfm{x},0)=\bfm{u}_0 (\bfm{x}),\quad\bfm{x}\in\R^d,
$$
siendo $\bfm{u}_0 \,:\,\R^d \to\Omega $ una funci\'on dada.
\end{dfn}

\es Como aplicaci\'on de lo anterior consideraremos ahora las
ecuaciones de las
din\'amicas de los gases en coordenadas eulerianas\footnote{%
Utilizar coordenadas eulerianas consiste en dar una descripci\'on
espacial de la regi\'on considerada. Se centra as\'{\i} la
atenci\'on en los puntos del espacio en lugar de seguir la
evoluci\'on temporal de las pat\'{\i}culas que componen la
distribuci\'on de masas inicial del sistema (lo que
equivaldr\'{\i}a a una descripci\'on \emph{lagrangiana} (o material)).} $(%
\vec{x},t)=(x_1 ,x_2 ,x_3 ,t)$. Lo que haremos ser\'a escribir
estas
ecuaciones en la forma de una \'unica ecuaci\'on de conservaci\'on del tipo (%
\ref{sisco}).

\bejem Un ejemplo muy importante en las aplicaciones es el sistema
de ecuaciones que gobierna la din\'amica de los gases.
Despreciando la conducci\'on de calor, las ecuaciones de Euler
para un fluido compresible no viscoso (un gas) son \enejem

\begin{equation}  \label{gasdin}
\left\{
\begin{array}{l}
\dis \deri{\rho}{t} +\dis \sum_{i=1}^3 \deri{}{x_j}(\rho v_j ) = 0, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis \deri{}{t}(\rho v_i )+ \dis \sum_{i=1}^3 %
\deri{}{x_j}(\rho v_i v_j +p \delta_{ij} )=0,\qquad 1\leq i\leq 3, \\[0.3cm]
\noalign{\smallskip} \dis \deri{}{t}(\rho e )+ \dis \sum_{i=1}^3 %
\deri{}{x_j}((\rho e +p )v_j )=0.
\end{array}
\right.
\end{equation}
siendo $\rho$ la densidad del fluido, $\bfm{v}=(v_1 ,v_2 ,v_3 )$
la velocidad, $p$ la presi\'on, $\epsilon$ la energ\'{\i}a interna
espec\'{\i}fica (por unidad de masa), $e=\epsilon +\| \bfm{u}\|
/2$ la energ\'{\i}a total espec\'{\i}fica y $\delta_{ij}$ el
s\'{\i}mbolo de Kronecker: $\delta_{ij}=1$ si $i = j$,
$\delta_{ij}=0$ si $i\neq j$. \es

Las ecuaciones (\ref{gasdin}) expresan las leyes de conservaci\'on
de la masa, del momento y de la energ\'{\i}a total del fluido. Se
tienen que complementar con una ecuaci\'on de estado (que
caracteriza el gas estudiado) que suele ser del tipo
\begin{equation}  \label{estado}
p=p(\rho ,\epsilon ).
\end{equation}
Las ecuaciones (\ref{gasdin}) y (\ref{estado}) constituyen un sistema de $%
5+1=6$ ecuaciones en las $6$ variables $(\rho , v_1 ,v_2 ,v_3 , p,\epsilon )$%
. En el caso de un gas ideal politr\'opico la ecuaci\'on de estado
ser\'{\i}a por ejemplo $p=(\gamma -1 )\rho \epsilon $, siendo
$\gamma >1$. Si definimos $m_i =\rho v_i$, $i=1..3$, $E=\rho e$ el
sistema (\ref{gasdin})
se puede escribir en la forma de una \'unica ecuaci\'on vectorial del tipo (%
\ref{sisco}):

\[
%\begin{equation}\label{pisco}
\dis \deri{\bfm{\Phi }}{t}+\sum_{j=1}^d \deri{f_j }{x_j}
(\bfm{\Phi}) =0,
\]
%\end{equation}
siendo la inc\'ognita dada por el campo vectorial
\[
\Phi =\left(
\begin{array}{c}
\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_1 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_2 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_3 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} E
\end{array}
\right),
\]
las funciones de flujo dadas por
\[
f_1 (\Phi ) =\left(
\begin{array}{c}
m_1 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} p+m_1^2 /2 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_1 m_2 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_1 m_3 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} (E+p)m_1 /\rho
\end{array}
\right) ,\, f_2 (\Phi ) =\left(
\begin{array}{c}
m_2 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_1 m_2 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} p+ m_2^2 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_2 m_3 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} (E+p)m_2 /\rho
\end{array}
\right) ,\, f_3 (\Phi ) =\left(
\begin{array}{c}
m_3 \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_1 m_3 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} m_2 m_3 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} p+ m_3^2 /\rho \\[0.1cm]
\noalign{\smallskip} (E+p)m_3 /\rho
\end{array}
\right) ,
\]
la ecuaci\'on de estado
\[
p=p(\rho ,(E-|m|^2 /2\rho )/\rho ) =(\gamma -1 )(E-|m|^2 /2\rho )
\]
y el conjunto de estados

\[
\Omega =\{ (\rho , \bfm{m}=(m_1 ,m_2 ,m_3 ),E)\,/\, \rho >0
,\bfm{m}\in \R^3 , E-|m|^2 /2\rho >0 \},
\]
donde aparecen las condiciones de admisibilidad f\'{\i}sica de las
soluciones del problema. %\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%% Fin primera parte - edpmet1a.tex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{acap12}
\section{Ecuaciones lineales de segundo orden}
La forma general de una ecuaci\'on diferencial en derivadas
parciales {\bf lineal} de segundo orden con dos variables
independientes $x$, $y$ es
\begin{equation}\label{fg}
A(x,y)\dderi{u}{x}+B(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial
y}+C(x,y)\dderi{u}{y} +a(x,y)\deri{u}{x}+b(x,y)\deri{u}{y}+c(x,y)u
=f(x,y),
\end{equation}
siendo $A$, $B$, $C$, $a$, $b$, $c$, $f$ funciones reales. Si las
funciones $A$, $B$, $C$ son id\'enticamente nulas, es decir
$A(x,y)=B(x,y)=C(x,y)\equiv 0$ en un dominio $\Omega \subset \R^2$
entonces la ecuaci\'on es de primer orden y se estudia con las
t\'ecnicas expuestas en las dos primeras secciones de este tema.
Si $f(x,y)\equiv 0$ en $\Omega$ entonces la ecuaci\'on se dice que
es {\bf homog\'enea}, y en caso contrario, {\bf no homog\'enea}.
Al designar el primer miembro de (\ref{fg}) por $L[u]$ (notaci\'on
de operadores) se puede escribir de forma m\'as compacta la
ecuaci\'on (\ref{fg}) como:
$$
L[u]=f(x,y),
$$
siendo la ecuaci\'on homog\'enea correspondiente $L[u]=0$.
Aqu\'{\i} $L$ es el operador diferencial lineal definido en el
espacio $C^2 (D)$ mediante la funci\'on $u(x,y)$. Con m\'as
precisi\'on, se define el operador $L[\cdot]:C^2 (D)\to C(D)$ por:

$$
L[u] =\left( A(x,y)\dderi{}{x}+B(x,y)\frac{\partial^2 }{\partial
x\partial y}+C(x,y)\dderi{}{y} +a(x,y)\deri{}{x}+\right.$$
$$\left. b(x,y)\deri{}{y}+c(x,y)\right)[u].
$$%\end{equation}
El operador $L$ es, evidentemente, lineal pues verifica
$$
L [\alpha u+\beta v ]=\alpha L[u]+\beta L[v]
,\qquad\forall\,u,v\in C^2 (\Omega ), \quad\,\forall\,\alpha,\beta
\in\R.
$$

\beobse N\'otese que no todos los operadores son lineales. Por
ejemplo, el o\-pe\-ra\-dor $L$ tal que:
$$
L[u]\doteq \dis\left(\deri{u}{x}\right)^2 +
\dis\left(\deri{u}{y}\right)^2,
$$
no lo es. En realidad, muchos problemas f\'{\i}sicos implican
operadores no lineales. Las hip\'otesis de simplificaci\'on que se
suelen hacer al considerar un mo\-de\-lo matem\'atico de la
realidad f\'{\i}sica est\'an dirigidas a sustituir un operador no
lineal por uno lineal. Esto es t\'{\i}pico, en el sentido  de que
es posible aproximar las soluciones de muchos problemas
sustituyendo operadores no lineales por otros lineales. En el
tratamiento anal\'{\i}tico exacto desarrollado en este curso nos
referiremos tan s\'olo a tales casos. El {\em mundo} no lineal
ser\'a considerado en el cap\'{\i}tulo dedicado a la
aproximaci\'on num\'erica. \enobse

Ya sabemos (v\'ease el tema de EDO del primer curso) que si una
EDO es lineal y homog\'enea entonces a partir de soluciones
conocidas es posible generar otras soluciones por superposici\'on.
Para una EDP lineal homog\'enea la situaci\'on es parecida. En
efecto, utilizando la linealidad del operador $L$, se tienen las
siguientes propiedades de las soluciones de ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales:\vspace{1.3cm}

\centerline{PROPIEDADES} \es

\begin{enumerate}
\item {\bf Caso homog\'eneo}.

\beteor Si $u(x,y)$ es una soluci\'on de la ecuaci\'on en
derivadas parciales lineal homog\'enea
$$
L[u]=0,
$$
entonces $cu(x,y)$ (donde $c$ es una constante cualquiera) es
tambi\'en soluci\'on de $L[u]=0$. \enteor

\beteor Si $u_1 (x,y)$  y $u_2 (x,y)$ son soluciones de la
ecuaci\'on en derivadas parciales lineal homog\'enea
$$
L[u]=0,
$$
entonces la suma $u_1 (x,y)+u_2 (x,y)$ es tambi\'en soluci\'on de
$L[u]=0$. \enteor Los teoremas anteriores se resumen diciendo que
el conjunto de soluciones de una EDP lineal homog\'enea es un
espacio vectorial. De otra forma, si cada una de las funciones
$u_1 (x,y)$, $u_2 (x,y)$, ... $u_k (x,y)$ es soluci\'on de la
ecuaci\'on lineal homog\'enea $L[u]=0$ entonces la combinaci\'on
lineal
$$
c_1 u_1 (x,y)+ c_2 u_2 (x,y)+ .... + c_k u_k (x,y),
$$
donde $c_i $, $i=1,...k$ son constantes reales arbitrarias,
tambi\'en es soluci\'on de esta ecuaci\'on. N\'otese que esta
propiedad tiene lugar tambi\'en para las EDO lineales homog\'eneas
(v\'ease la definici\'on de sistema fundamental de soluciones para
una EDO lineal homog\'enea de orden $n$ de la secci\'on 3 del
cap\'{\i}tulo 13 del gui\'on del primer curso). Sin embargo una
EDO lineal homog\'enea de orden $n$ tiene {\em exactamente} $n$
familias de soluciones (un n\'umero finito por tanto) linealmente
independientes (cuya combinaci\'on lineal genera la soluci\'on
general de la EDO). Una EDP lineal homog\'enea puede tener un
conjunto infinito de soluciones linealmente independientes.
%, tal
%y como vimos en los ejemplos (\ref{ejp1}) y (\ref{ejp2}).
Consecuentemente para EDP lineales homog\'eneas tendremos que
operar no s\'olo con combinaciones lineales de un n\'umero finito
de soluciones, sino tambi\'en con las series
infinitas\footnote{Nos encontraremos con este tipo de soluciones,
en forma de series infinitas, al resolver las EDP con el m\'etodo
de separaci\'on de variables (tema 2 de este gui\'on).}
$$
\sum_{n=1}^{\infty} c_n u_n (x,y).
$$
Es decir, el conjunto de soluciones de una EDP del tipo (\ref{fg})
es un espacio lineal (vectorial) de dimensi\'on infinita
contrariamente a lo que ocurr\'{\i}a con las EDO de orden $n$ cuyo
espacio de soluciones tiene dimensi\'on $n$.
\item {\bf Caso no homog\'eneo}.

\beteor Si $u(x,y)$ es soluci\'on de la EDP lineal no homog\'enea
$$
L[u]=f
$$
y $v(x,y)$ es soluci\'on de la EDP homog\'enea correspondiente
$$
L[u]=0,
$$
entonces la suma $u+v$ es soluci\'on de la EDP no homog\'enea
$L[u]=f$. \enteor

Se tiene adem\'as el siguiente resultado conocido con el nombre de
{\bf Principio de superposici\'on.} \es

\beteor Si $u_1 (x,y)$ es una soluci\'on de la ecuaci\'on
$$
L[u]=f_1
$$
y $u_2 (x,y)$ es una soluci\'on de
$$
L[u]=f_2,
$$
entonces $u_1 +u_2 $ es soluci\'on de la ecuaci\'on $L[u]=f_1 +f_2
$. \enteor
\end{enumerate}
\es

En el pr\'oximo tema veremos que el principio de superposici\'on
tiene una gran aplicaci\'on en el proceso de resoluci\'on de los
problemas de contorno y/o iniciales para EDP lineales de segundo
orden.


\subsection{Ecuaciones de segundo orden: curvas caracter\'{\i}sticas
y clasificaci\'on}

Sea dada la ecuaci\'on diferencial lineal general de segundo orden
(\ref{fg}):
$$%\begin{equation}\label{fgdos}
A(x,y)\dderi{u}{x}+B(x,y)\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial
y}+C(x,y)\dderi{u}{y} +a(x,y)\deri{u}{x}+b(x,y)\deri{u}{y}+c(x,y)u
=f(x,y)
$$%\end{equation}
en cierta regi\'on $\Omega \subset \R^2$. Esta ecuaci\'on, en un
punto $(x,y)$, se denomina hiperb\'olica, parab\'olica o
el\'{\i}ptica seg\'un el siguiente criterio:\newpage

\centerline{\underline{CRITERIO DE CLASIFICACI\'ON}} \es

\begin{enumerate}
\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf hiperb\'olica} en $\Omega$ si:
$$
\Delta =B^2 -4AC >0 \quad\mbox{ en $\Omega$.}
$$
\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf parab\'olica} en $\Omega$ si:
$$
\Delta =B^2 -4AC \equiv 0 \quad\mbox{ en $\Omega$.}
$$
\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf el\'{\i}ptica} en $\Omega$ si:
$$
\Delta =B^2 -4AC < 0 \quad\mbox{ en $\Omega$.}
$$
\end{enumerate}
N\'otese que las funciones coeficientes $a$, $b$ y $c$ de los
t\'erminos de primer orden no aparecen en absoluto en el criterio
de clasificaci\'on. Esto se interpreta diciendo que los t\'erminos
de primer orden no pueden modificar la {\em naturaleza} de una
ecuaci\'on lineal de segundo orden. Es decir, los t\'erminos de
primer orden influyen cuantitativamente pero no cualitativamente
en las soluciones de la ecuaci\'on. \es


A partir del tipo de ecuaci\'on considerado se pueden deducir
importantes propiedades que sugieren no s\'olo qu\'e m\'etodos de
resoluci\'on son adecuados sino tambi\'en criterios para
determinar si un problemas est\'a bien planteado o no. \es

Los conceptos de hiperbolicidad, parabolicidad y elipticidad son
locales, es decir, se tienen en un punto concreto $(x_0 ,y_0 )$.
El conjunto de los puntos donde se tienen estas propiedades son
las regiones donde la ecuaci\'on (o el operador diferencial que la
define) es hiperb\'olica, parab\'olica y el\'{\i}ptica. \es

\bejem Clasificar la ecuaci\'on de Tricomi:
$$
u_{xx}+x u_{yy}=0.
$$
\enejem Se trata evidentemente de una EDP de segundo orden lineal
y homog\'enea. I\-den\-ti\-fi\-can\-do coeficientes se tiene
$$
A(x,y)\equiv 1 ,\qquad B(x,y)\equiv 0,\qquad C(x,y)=x.
$$
Por tanto, $\dis B^2 -4AC =-4x$, luego la ecuaci\'on es
hiperb\'olica si $x<0$ y es el\'{\i}ptica si $x>0$. Si $x=0$ (en
el eje $y$) la ecuaci\'on es degenerada, pues cambia de tipo
pasando de EDP a EDO (param\'etrica). \es

\beobse Los t\'erminos hiperb\'olico, parab\'olico y el\'{\i}ptico
derivan de la clasificaci\'on t\'{\i}pica (de la geometr\'{\i}a
anal\'{\i}tica) de las curvas cuadr\'aticas (c\'onicas). \enobse

\subsection*{Formas can\'onicas}

Haciendo unos cambios adecuados en las variables independientes,
$$
\xi =f (x,y),\quad \eta =g (x,y),\qquad f,g \in C^2,
$$
y aplicando la regla de la cadena obtenemos las siguientes formas
can\'onicas:

\begin{enumerate}
\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf hiperb\'olica} en $\Omega$ si
se puede reconducir a una de las dos siguientes expresiones:
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta} =F\left( \xi ,\eta
,u ,\deri{u}{\xi},\deri{u}{\eta} \right),\qquad
\dderi{u}{\xi}-\dderi{u}{\eta} =\Phi\left( \xi ,\eta ,u
,\deri{u}{\xi},\deri{u}{\eta} \right)
$$
(son dos formas can\'onicas de las ecuaciones de tipo
hiperb\'olico de segundo orden). Las curvas (coordenadas) $(\xi
,\eta )$ se llaman {\bf caracter\'{\i}sticas}. En el caso
hiperb\'olico li\-ne\-al uni-dimensional con coeficientes
constantes hay exactamente dos curvas (rectas)
caracter\'{\i}sticas dadas por:
$$
\xi =y-\alpha_{-} x ,\qquad \eta =y -\alpha_{+} x
$$
donde las pendientes $\alpha_{\pm}$ vienen dadas por:
$$
\alpha_{\pm} =\frac{1}{2A}\left[-B \pm \sqrt{B^2 -4AC}\right]
$$
Las formas can\'onicas son:
$$
u_{\xi\eta} +a u_{\xi} +bu_{\eta} +c u +d =0,
$$
y (definiendo $\sigma =(\xi +\eta )/2$, $\tau =(\xi -\eta )/2$)
$$
u_{\sigma \sigma} -u_{\tau \tau} +(a+b) u_{\sigma} +(a-b) u_{\tau}
+c u +d =0
$$
El prototipo de EDP de segundo orden hiperb\'olica es la
ecuaci\'on de ondas $u_{tt}=c^2 \Delta u$. En el caso
unidimensional se expresa en la forma $u_{tt}=c^2 u_{xx}$. La
ecuaci\'on de ondas se puede resolver f\'acilmente introduciendo
las nuevas coordenadas (las caracter\'{\i}sticas)
$$
\xi =x+ct ,\qquad\eta =x-ct,
$$
y aplicando la regla de la cadena a trav\'es de la cual se deduce
la simple ecuaci\'on:
$$
\dis \frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial\eta} =0.
$$
Esta ecuaci\'on se satisface si y s\'olo si
$$
u(\xi ,\eta )=p(\xi )+q(\eta ),
$$
es decir,

$$
u(x ,t )=p(x+ct )+q(x-ct ),
$$
donde $p$ y $q$ son funciones derivables cualesquiera de una
variable. En consecuencia si $u$ es soluci\'on de la ecuaci\'on de
ondas tiene que ser del tipo anterior. La f\'ormula anterior es la
integral general de la ecuaci\'on de onda
u\-ni\-di\-men\-sio\-nal. D' Alembert la encontr\'o en 1747. Esta
ecuaci\'on nos dice que toda soluci\'on es la suma de una onda que
se desplaza hacia la izquierda con velocidad $-c$ y de otra que lo
hace hacia la derecha con velocidad $+c$. Puesto que las ondas se
desplazan en direcciones opuestas, la forma de $u(x,t)$ en general
cambiar\'a con el tiempo. Esta interpretaci\'on origin\'o el
nombre de ecuaci\'on de ondas. Resolver un problema de valores
iniciales y de contorno concreto corresponder\'a a determinar las
funciones $p$ y $q$ adecuadas. Una referencia cl\'asica muy clara
es el libro de Weimberger, cap\'{\i}tulo 2, dedicado a la
ecuaci\'on de ondas unidimensional. Como en el caso de las EDP de
primer orden se admiten soluciones discontinuas (es decir
d\'ebiles o generalizadas) y las discontinuidades se propagan a lo
largo de las caracter\'{\i}sticas. \es



\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf parab\'olica} en $\Omega$ si:
$$
\dderi{u}{\eta} =\Phi\left( \xi ,\eta ,u
,\deri{u}{\xi},\deri{u}{\eta} \right)
$$
En este caso existe s\'olo una familia de caracter\'{\i}sticas
reales con pendiente
$$
\alpha=\alpha_1 =\alpha_2 =\dis \frac{B}{2A}.
$$
En el caso unidimensional lineal de coeficientes constantes la
forma can\'onica es:
$$
u_{\eta \eta}  +a u_{\xi} +bu_{\eta} +c u +d =0,
$$
El prototipo de EDP de segundo orden parab\'olica es la ecuaci\'on
del calor $u_{t}=k \Delta u$. En el caso unidimensional se expresa
en la forma $u_{t}=k u_{xx}$. Nos ocuparemos de ella m\'as tarde.

\item La ecuaci\'on (\ref{fg}) es {\bf el\'{\i}ptica} en $\Omega$ si:
$$
\dderi{u}{\xi}+\dderi{u}{\eta} =\Phi\left( \xi ,\eta ,u
,\deri{u}{\xi},\deri{u}{\eta} \right).
$$
En este caso $B^2 -4AC <0$ luego las ra\'{\i}ces $\alpha_1$,
$\alpha_2$ son complejas y no existen caracter\'{\i}sticas reales.
En el caso bi-dimensional con coeficientes constantes si definimos
$\sigma =(\xi +\eta )/2$, $\tau =(\xi -\eta )/2i$ se tiene la
forma can\'onica para ecuaciones el\'{\i}pticas:
$$
u_{\sigma \sigma} +u_{\tau \tau} +(a+b) u_{\sigma} +(a-b) u_{\tau}
+c u +d =0.
$$
El prototipo de EDP de segundo orden el\'{\i}ptica es la
ecuaci\'on de Laplace $\Delta u =0$. En el caso bidimensional se
expresa en la forma $u_{xx}+u_{yy}=0$. Este tipo de ecuaci\'on
ser\'a abordada m\'as adelante.

\end{enumerate}
\es

Los razonamientos anteriores puden ser generalizados al caso de
coeficientes variables. A diferencia del caso con coeficientes
constantes, pueden existir caracter\'{\i}sticas reales s\'olo en
una parte del dominio de inter\'es. Las ecuaciones pueden cambiar
de tipo de una regi\'on a otra. Esto ocurre, por ejemplo, en
din\'amica de gases ({\em transonic gas dynamics}). En el libro de
Mei, pag 28, puden encontrarse m\'as detalles.

\es

Resumimos lo anterior considerando el operador:
$$
L[u]\doteq A \dderi{u}{t}+B\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial
t}+ C\dderi{u}{x},
$$
siendo $A,B,C$ constantes dadas. Nos concentramos por tanto en la
parte de segundo orden del operador lineal general de segundo
orden (pues es la parte que gobierna el proceso de
clasificaci\'on). Utilizaremos adem\'as variables $(x,t)$
t\'{\i}picas de los pro\-ble\-mas de evoluci\'on (parab\'olicos e
hiperb\'olicos). Podemos entonces transformar $L[u]$ en un
m\'ultiplo de
$$
\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta }
$$
si y s\'olo si
$$
 B^2 -4AC >0.
$$
Siempre que esto se cumple, $L$ es {\bf hiperb\'olico}. La
transformaci\'on en este caso viene dada por:
$$
\xi =2Ax +[-B +\sqrt{B^2 -4AC} ]t ,\qquad \eta =2Ax +[-B
-\sqrt{B^2 -4AC} ]t
$$
y el operador se transforma en
$$
L[u]=-4A(B^2 -4AC)\frac{\partial^2 u}{\partial \xi\partial \eta }
$$
El caso $A=0$ (y $C\neq 0$) puede tratarse del mismo modo, con
$\xi =t $, $\eta =x-(C/B)t$. El caso $A=C=0$ es trivial puesto que
el operador ya es de la forma buscada.

\es

Si $B^2 -4AC =0$ se dice que $L$ es {\bf parab\'olico}. En este
caso la transformaci\'on:
$$
\xi =2Ax -Bt ,\qquad \eta =t,
$$
transforma $L[u]$ en
$$
L[u]=A\dderi{u}{\eta},
$$
que es la forma corriente para un operador parab\'olico. La
soluci\'on general de $L[u]=0$ es ahora:
$$
p(\xi )+\eta q(\xi ).
$$
Esta soluci\'on puede interpretarse como una onda de forma fija
que se mueve con velocidad $B/2A$ junto con otra que crece
linealmente con el tiempo y se mueve con la misma velocidad. Un
operador parab\'olico tiene s\'olo una familia de
caracter\'{\i}sticas $\xi =C$ (constantes). Las discontinuidades
de las derivadas se propagan a lo largo de estas
caracter\'{\i}sticas. \es

Finalmente, si $B^2 -4AC <0$, el operador $L$ es {\bf
el\'{\i}ptico}. El prototipo de operador el\'{\i}ptico es:
$$
\dis \dderi{u}{\xi}+\dderi{u}{\eta}.
$$
No tiene caracter\'{\i}sticas. Sin embargo, la transformaci\'on
$$
\xi =\dis \frac{2Ax -Bt}{\sqrt{4AC-B^2 }}  ,\qquad \eta =t,
$$
hace

$$
L[u]=A\dis \left[ \dderi{u}{\xi}+ \dderi{u}{\eta} \right].
$$
En la forma $L[u]=0$, se tiene la ecuaci\'on de Laplace. Las
derivadas parciales de una soluci\'on de la ecuaci\'on de Laplace
no presentan discontinuidades. \es

Un gran n\'umero de problemas f\'{\i}sicos puede reducirse a una o
varias de las ecuaciones anteriores.

\beobse Cuando el n\'umero $n$ de variables independientes es
superior a dos, tambi\'en se diferencian las ecuaciones de tipo
hiperb\'olico, parab\'olico y el\'{\i}ptico. Finalmente observamos
que no existe relaci\'on entre la clasificaci\'on de las EDP de
segundo orden y las de primer orden ya que \'estas \'ultimas son
todas hiperb\'olicas y el criterio las clasificar\'{\i}a (poniendo
$A=B=C\equiv 0$), err\'oneamente, como parab\'olicas. Sin embargo
s\'{\i} existe relaci\'on entre las ecuaciones lineales
hiperb\'olicas de primer y segundo orden. Esta relaci\'on ata\~ne
las propiedades cualitativas de las soluciones. Por ejemplo, la
propiedad de propagaci\'on con velocidad finita de las
perturbaciones (el dato inicial). Este fen\'omeno (v\'ease la
observaci\'on referente la existencia de soluciones de soporte
compacto para EDP de primer orden) no puede ocurrir en las
ecuaciones lineales parab\'olicas en las cuales la velocidad de
propagaci\'on es infinita, entendiendo por ello que si el dato
inicial tiene soporte compacto la soluci\'on se propaga
instant\'aneamente a todo el dominio (es decir se difunde en todo
el espacio). \enobse



\subsection{Problemas de contorno}
Para describir completamente uno u otro proceso f\'{\i}sico no
basta con tener s\'olo la ecuaci\'on diferencial que rige el
proceso, hace falta plantear el estado inicial de este proceso
(condiciones iniciales para problemas de evoluci\'on) y el
r\'egimen en la frontera $\partial \Omega$ de la regi\'on $\Omega$
donde tiene lugar el proceso. Se distinguen dos tipos principales
de problemas de contorno para EDP:
\begin{enumerate}
\item Problemas de contorno para ecuaciones de tipo el\'{\i}ptico.
Se trata de problemas estacionarios donde se plantean las
condiciones en la frontera $\partial \Omega$ y no hay condiciones
iniciales.
\item Problemas de contorno y de valores iniciales para ecuaciones
en derivadas parciales en dominios acotados. Se trata de problemas
de evoluci\'on para ecuaciones de tipo hiperb\'olico o
parab\'olico donde se plantean condiciones iniciales y de contorno
en dominios acotados $\Omega \subset \R^n$, $|\Omega |\doteq
\mbox{diam}\,\Omega <\infty$.
\end{enumerate}

Empezando por el caso m\'as sencillo consideramos la ecuaci\'on
parab\'olica de conductibilidad t\'ermica unidimensional, conocida
con el nombre de ecuaci\'on del calor:

\begin{equation}\label{rk1}
\deri{u}{t}=k\dderi{u}{x},\qquad 0< x< 1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $k>0$ la conductividad t\'ermica del medio conductor
(supuesto homog\'eneo) considerado. Complementamos la ecuaci\'on
(\ref{rk1}) con una condici\'on inicial (n\'otese que el orden de
derivaci\'on temporal de la EDP es uno)
\begin{equation}\label{k2}
u(x,0)=f (x),\qquad 0< x< 1,
\end{equation}
y con condiciones de contorno en las {\em fronteras laterales} del
dominio. Por ejemplo (de\-ta\-lla\-re\-mos en la siguiente
secci\'on los distintos tipos de condiciones de contorno que se
suelen utilizar) podr\'{\i}amos escribir

\begin{equation}\label{k3}
u(0,t)= \phi_0 (t),\quad t>0 ,\qquad u(1,t)=\phi_1 (t),\quad t>0,
\end{equation}
en $x=0$, $\forall\,t>0$ y $x=1$, $\forall\,t>0$, siendo $\phi_0
(t)$, $\phi_1 (t)$ funciones dadas (conocidas). \es

N\'otese que por fronteras laterales se entienden los conjuntos de
puntos $\Gamma_0 , \,\Gamma_1\subset\R^2$ definidos por:
$$
\Gamma_0 =\dis \{ (x,t)\in\R^2 /\,(x,t)=(0,
t),\,t>0\}=\{0\}\times(0,\infty)
$$
y
$$
\Gamma_1 =\dis \{ (x,t)\in\R^2 /\,(x,t)=(1, t),\,t>0\}
=\{1\}\times(0,\infty).
$$
M\'as en general, si $\Omega \subset\R^N$ es un dominio
N-dimensional de frontera $\partial\Omega$ entonces la ecuaci\'on
se tiene en el cilindro (temporal) $Q=\Omega \times (0,T)$ de
frontera lateral $\Sigma=\partial\Omega \times (0,T)$ donde $T\in
\R^+ $ (soluciones locales en tiempo) o $T=+\infty$ (soluciones
globales). En este caso el problema de valor inicial y de contorno
asociado a la ecuaci\'on del calor con los valores de la
soluci\'on prefijados en el contorno (frontera lateral) se
formula: {\em Hallar una funci\'on}

$$u(x,t):\bar{\Omega}\times [0,+\infty )\to \R $$
{\em tal que,}

$$
\dis \left\{\begin{array}{rcll} \dis \deri{u}{t} & = &  \dis
\Delta u, & \mbox{en $Q$,} \\ [0.2cm] \noalign{\smallskip} u (x,t)
& = & g(x,t), & \mbox{en $\Sigma$,} \\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = & u_0 (x), & \mbox{en $\Omega$.}
\end{array}\right.
$$
donde $\dis \Delta =\dis \sum_{i=1}^{N}\dderi{}{x_i}$, designa el
operador laplaciano respecto de las variables espaciales, $t$ es
la variable tiempo y $u_0 (x)$ es una funci\'on dada.

A veces es \'util considerar (pues ah\'{\i} se suele\footnote{La
naturaleza de las hip\'otesis que garantizan la veracidad de esta
afirmaci\'on va mucho m\'as all\'a de los objetivos de este curso.
Una exposici\'on clara pero de nivel avanzado se puede encontrar
en el cap\'{\i}tulo 10 sobre problemas de evoluci\'on del libro de
H. Brezis, (1983). An\'alisis Funcional. Teor\'{\i}a y
aplicaciones. Alianza Editorial.} localizar el m\'aximo de la
soluci\'on) la frontera parab\'olica $\partial Q$ del cilindro
$Q=\Omega \times (0,T)$ que se define por:
$$
\partial Q=(\bar{\Omega}\times \{0\} )\,\bigcup \,(\partial \Omega \times [0,T]
).
$$
\es

Cuando $\Omega$ es infinito se suelen distinguir los casos $\Omega
=\R^N$, $N=1,2,3$ y, en el caso unidimensional, $\Omega =(-\infty
,0)$, $\Omega =(0,\infty )$ que corresponden al caso de dominio
semi-infinito.



\subsection{Condiciones iniciales y de contorno}
Para presentar los distintos tipos de condiciones iniciales y de
contorno que se suelen im\-po\-ner en las aplicaciones
consideraremos la ecuaci\'on del calor unidimensional. Existen
tres tipos principales de condiciones iniciales y de contorno:

\begin{enumerate}
\item \underline{Especificar la funci\'on en la frontera del dominio}.
Se conoce como condici\'on del tipo Dirichlet. Por ejemplo, si
nuestra inc\'ognita es la funci\'on $u(x,t)$ y queremos resolver
la EDP del calor
$$
\dis \deri{u}{t}=k\dderi{u}{x}=\nabla \cdot(k\nabla u),
$$
en un dominio acotado (un intervalo abierto de la recta real)
$\Omega =(a,b)$ se pueden prefijar las siguientes condiciones
l\'{\i}mite:

$$
u(x,0)=f(x)\, (t=0),\, u(a,t)=g_1 (t)\,(x=a),\, u(b,t)=g_2 (t)
\,(x=b)
$$
Este tipo de condiciones, junto con la EDP, genera lo que se llama
un {\bf problema de Dirichlet} o de primer tipo. N\'otese que se
ha impuesto {\em una} condici\'on inicial de tipo Dirichlet y {\em
dos} condiciones de contorno (siempre de tipo Dirichlet) en las
fronteras laterales $\Gamma_a $ y $\Gamma_b$.
\item \underline{Especificar la {\em derivada} de la funci\'on en
la frontera del dominio}. Se co\-no\-ce como con\-di\-ci\'on del
tipo Neumann y el problema asociado se llama {\bf problema de
Neumann} (o de segundo tipo). Por ejemplo,
$$
\dis \deri{u}{x}(a,t)=0\quad (x=a),\qquad -k\dis
\deri{u}{x}(b,t)=q\quad (x=b),
$$
siendo $q$ una constante. Para dominios $\Omega \subset\R^n$,
$n>1$, se prescribe la componente normal de vector gradiente en la
forma:
$$
\dis \nabla u\cdot \bfm{n}=\deri{u}{\bfm{n}},
$$
siendo $\bfm{n}$ el vector normal a la curva (o hipersuperficie)
que representa la frontera del dominio. F\'{\i}sicamente este tipo
de condici\'on define el flujo de calor que atraviesa la frontera,
que por ley de Fourier de la conducci\'on del calor, es
proporcional al gradiente de temperaturas. Por ejemplo, en un
problema \underline{estacionario} de conducci\'on de calor en una
geometr\'{\i}a cil\'{\i}ndrica (coordenadas $(r,z)$)
podr\'{\i}amos escribir
$$
\bfm{q}=-k\nabla u,
$$
siendo las componentes del flujo
$$
q_r =-k\deri{u}{r},\qquad q_z =-k\deri{u}{z}.
$$
La componente $q_r (r,z)$ del vector de flujo $\bfm{q}=(q_r ,q_z)$
denota flujo de calor molecular en la direcci\'on radial mientras
$q_z (r,z)$ representa el flujo de calor molecular en la
direcci\'on axial. \es

Se trata en este caso de un flujo puramente difusivo. Si
consideramos tambi\'en el flujo convectivo (que es un fen\'omeno
de transporte del calor que tiene lugar debido al transporte de
materia) se tienen condiciones del tipo:
$$
\dis q_r = -k\deri{u}{r} +V_r u ,\qquad \dis q_z = -k\deri{u}{z}
+V_z u ,
$$
siendo $(V_r ,V_z )$ las componentes radial y normal
(respectivamente) de un campo de velocidades conocido.
\item \underline{Especificar la funci\'on y su
derivada en la frontera del dominio}. \es

Se conoce como condici\'on de tipo {\bf Robin} (o mixto) y el
problema asociado es un {\bf problema mixto} (o de tercer tipo).
Si consideramos por ejemplo el flujo de calor a trav\'es de las
paredes de un conducto por el cual fluye un fluido
$$
-k\dis \deri{u}{r}=h(u-u_\infty )\quad r=R,\quad\forall\,z,
$$
siendo $h$ un coeficiente de transporte de calor
caracter\'{\i}stico del material s\'olido del conducto que
controla el flujo (de calor) en la frontera y $u_{\infty}$ un
valor conocido (dato del problema) de la temperatura ambiente
alrededor del sistema. Hay que controlar cuidadosamente los signos
que aparecen en este tipo de condici\'on. En procesos de
enfriamiento la cantidad $u-u_{\infty}$ es positiva (pues
obviamente la temperatura externa que controla el sistema es menor
que la temperatura del fluido que se quiere enfriar) luego
$$
\dis \deri{u}{r}< 0,
$$
pues se est\'a perdiendo calor por las fronteras laterales. En
efecto el flujo de calor $q_r$ es positivo,
$$
q_r =-\dis \deri{u}{r}> 0,
$$
y esto quiere decir que el calor se est\'a difundiendo de donde
hay m\'as (en el interior del conducto) hacia donde hay menos (en
el exterior). Comentarios parecidos se pueden hacer en los
procesos de transporte (difusi\'on molecular) de materia donde se
aplica la ley de Fick. La componente radial del flujo en
coordenadas cil\'{\i}ndricas ser\'{\i}a por ejemplo:
$$
J_r =-\dis D\deri{c}{r},
$$
siendo $c(r,z)$ la concentraci\'on de una especie qu\'{\i}mica y
$D$ su coeficiente de difusi\'on.

\es

Este tipo de condiciones es muy realista pues expresa que el flujo
de calor conductivo es proporcional a la diferencia de
temperaturas entre las paredes del conducto y el exterior.
\end{enumerate}

Las condiciones anteriores se dicen {\bf homog\'eneas} si se
satisfacen (sin cambiar de expresi\'on) para un m\'ultiplo
cualquiera de la variable inc\'ognita.

El primer tipo de condiciones (condiciones de tipo Dirichlet)
incluye las condiciones iniciales, que para una funci\'on $u(x,t)$
se pueden escribir en la forma:
$$
u(x,0)=f(x).
$$
Esta condici\'on significa que en el instante $t=0$ la
distribuci\'on de temperatura viene dada por la funci\'on $f(x)$.
%(lo que no excluye el caso de temperatura inicial constante: $f(x)=C$).
En alguna frontera podr\'{\i}a haber variaciones temporales
as\'{\i} que podr\'{\i}amos tener, por ejemplo en $x=0$:
$$
u(0,t)=g(t).
$$
Ninguna de las dos condiciones del tipo 1 planteadas es
homog\'enea (a menos que las funciones $f$ y $g$ sean
id\'enticamente nulas). Sin embargo, si el valor en el contorno es
una constante fijada, del tipo:
$$
u (0,t)=u_0,
$$
entonces podemos definir otra variable dependiente $\theta =u-u_0
$ y obtener una condici\'on
$$
\theta (0,t)=0,
$$
que es homog\'enea en la frontera. \es

En ocasiones las condiciones del tipo 2, en sistemas de
coordenadas cil\'{\i}ndricas y esf\'ericas, es posible utilizarlas
como condici\'on de simetr\'{\i}a:
$$
\dis \deri{u}{r} =0,\quad r=0.
$$
N\'otese que para tales sistemas de co\-or\-de\-na\-das $r\geq 0$,
luego para a\-se\-gu\-rar per\-fi\-les si\-m\'e\-tri\-cos de $u$
tenemos que imponer la condici\'on anterior. En el caso de una
pared de un conducto aislada t\'ermicamente (si se considera un
problema de transporte de calor) o impermeable (si se considera un
problema de flujo de materia en un medio poroso saturado), la
condici\'on es
$$
-k\dis \deri{u}{r} =0,\quad r=R.
$$


En el caso de las paredes de un conducto calentadas
el\'ectricamente, la entrada de calor puede ser uniforme y
constante (controlando por ejemplo la intensidad de corriente)
luego podr\'{\i}amos imponer en un contorno del conducto:

$$
\dis -k\deri{u}{r} =q,\quad r=R.
$$
\es

El tercer tipo de condiciones es mixto e incluye la funci\'on y su
derivada (o su integral). Por ejemplo, la condici\'on:

$$
-k\dis \deri{u}{r}=h(u-u_\infty )\quad r=R,\quad\forall\,z,
$$
que simplemente modeliza el equilibrio entre el flujo conductivo y
la transferencia de calor en la pared de un conducto. Puede ser
reconducida a una condici\'on homog\'enea definiendo $\theta
=u-u_\infty $ (si $u_\infty $ es constante):

$$
-k\dis \deri{\theta}{r}=h\theta \quad r=R,\quad\forall\,z.
$$
En los l\'{\i}mites  $h\to\infty$ y $h\to 0$ se recuperan las
condiciones homog\'eneas del tipo 1 y 2. Este tipo de condiciones
de contorno se conoce tambi\'en con el nombre de {\bf condici\'on
de tipo convectivo}\footnote{V\'ease por ejemplo pag 42 del libro
de W.M. Deen, (1998), Analysis of Transport Phenomena. Oxford
University Press.}. Ocasionalmente, una condici\'on de tipo mixto
puede nacer como un equilibrio integro-diferencial. Un ejemplo se
encuentra en Rice y Do, pag 408. Tal tipo de condiciones se suele
abarcar con la t\'ecnica de la transformada de Laplace que veremos
en el tercer tema de esta asignatura. \es

Otros tipos de condiciones de contorno son igualmente posibles. En
los procesos de transporte de calor por radiaci\'on (por ejemplo
en combusti\'on o en procesos que se desarrollan a altas
temperaturas) se aplica la ley de Stefan-Boltzmann para describir
el mecanismo de transporte de calor entre superficies s\'olidas
separadas por gases (que se asumen trans\-pa\-ren\-tes a la
radiaci\'on). Otras condiciones se imponen en procesos de fusi\'on
o evaporaci\'on donde tienen lugar cambios de fases\footnote{Muy
interesante en este sentido es el cap\'{\i}tulo 2 secci\'on 2.5,
pag 41 del libro de Deen dedicado a la transferencia de calor en
las interfases.}. \es

El n\'umero de condiciones de contorno o iniciales necesario para
resolver una EDO corres\-ponde al n\'umero de constantes
arbitrarias generadas en el curso del an\'alisis. Una ecuaci\'on
de orden $n$ genera $n$ constantes arbitrarias. Esto implica que
el n\'umero total de condiciones (de contorno o iniciales) a
imponer es $n$. En las ecuaciones en derivadas parciales, existen
siempre al menos dos variables independientes as\'{\i}, por
ejemplo, una ecuaci\'on que describe el r\'egimen transitorio de
distribuci\'on de temperatura en una barra cil\'{\i}ndrica de
metal:

$$
\dis \rho c_p \dis \deri{T}{t}=k\dis \frac{1}{r}\deri{}{r} \left(
r\deri{T}{r} \right) =k\left(\dis
\dderi{T}{r}+\frac{1}{r}\deri{T}{r}\right),
$$
necesitar\'a (normalmente) una condici\'on para el tiempo (una
condici\'on inicial) y dos para las fronteras fijas espaciales
(digamos $r=0$ y $r=R$). En principio, por tanto, se necesita
fijar generalmente una condici\'on para cada orden de cada
derivada parcial. Sin embargo, esto no siempre es el caso. Por
ejemplo, una condici\'on inicial no es necesaria si buscamos una
soluci\'on peri\'odica en el tiempo. Un caso particular
ser\'{\i}a:

$$
T(r,t)=f(r)e^{iwt}.
$$
En tales casos, s\'olo es necesario imponer condiciones en las
fronteras ($r=0$ y $r=R$). Comentarios parecidos se aplican cuando
se habla de la posici\'on angular en coordenadas cil\'{\i}ndricas
o esf\'ericas. Concretamente cuando la soluci\'on debe ser
peri\'odica en el \'angulo:

$$
T(r,\theta)=T(r,\theta +2 \pi ).
$$





%\newpage

\section{Ecuaciones el\'{\i}pticas.}
El estudio de los procesos estacionarios (que no var\'{\i}an con
el tiempo) de diferente naturaleza f\'{\i}sica conduce a la
consideraci\'on de EDP de tipo el\'{\i}ptico.

\subsection{Ecuaciones de Laplace y de Poisson}

El operador lineal:
$$
\Delta u =\nabla^2 u =(\nabla \cdot \nabla )u= \nabla \cdot
(\nabla u)= \mbox{div}(\nabla u)=\dis \sum_{i=1}^N \dderi{u}{x_i},
%=\dderi{u}{x_1}+\dderi{u}{x_2}+....+\dderi{u}{x_N}
$$
se llama {\bf laplaciano N-dimensional} de $u$. Al operador
$$
\Delta  =\dis \sum_{i=1}^N \dderi{}{x_i} =
\dderi{}{x_1}+\dderi{}{x_2}+....+\dderi{}{x_N},
$$
se le llama {\bf operador laplaciano} en honor del matem\'atico
franc\'es Pierre Laplace (1749-1827). A la ecuaci\'on
$$
\Delta u =0,\qquad \Omega\subset\R^N,
$$
se la conoce como ecuaci\'on de Laplace y es la m\'as simple de
las ecuaciones de tipo el\'{\i}ptico. La ecuaci\'on de Laplace
siempre es homog\'enea. Si se considera la ecuaci\'on no
homog\'enea
$$
\Delta u = f(x_1 ,..x_N),\qquad\Omega \subset\R^N,
$$
entonces tenemos la ecuaci\'on de Poisson (EDP el\'{\i}ptica
lineal no homog\'enea que lleva este nombre en honor del
matem\'atico S. D. Poisson (1781-1840)) que corresponde a un
estado de equilibrio originado por una fuerza exterior. Si $f$
dependiera tambi\'en de $u$ en la forma:
$$
\Delta u+\lambda u =0,
$$
entonces tendr\'{\i}amos la ecuaci\'on (lineal) de Helmholtz que
es un caso particular de las ecuaciones el\'{\i}pticas
semilineales,

$$
-\Delta u +f(x,u)=0,\qquad \Omega\subset\R^N.
$$
Otra clase de EDP el\'{\i}pticas muy importante en las
aplicaciones son las cuasilineales (ecuaciones no lineales donde
las no linealidades aparecen en las derivadas de orden
inmediatamente m\'as bajo del orden de la ecuaci\'on). Su
expresi\'on general es:

$$
-\Delta u +f(x,u,\nabla u)=0,\qquad \Omega\subset\R^N.
$$
Por \'ultimo, definimos el operador bi-laplaciano:
$$
\dis \nabla^4 u= \nabla^2 (\nabla^2 u) =\Delta (\Delta u)=
\Delta^2 u,
$$
que es un operador el\'{\i}ptico del cuarto orden. Se trata en
este caso de resolver la ecuaci\'on el\'{\i}ptica bi-arm\'onica de
cuarto orden
$$
\nabla^4 u =u_{xxxx}+2u_{xxyy}+u_{yyyy} =0.
$$
Se puede demostrar (v\'ease el libro de Deen, cap\'{\i}tulo 5, pag
239) que la funci\'on de corriente de un fluido incompresible
estacionario bidimensional satisface la ecuaci\'on bi-arm\'onica
lo que expresa la conservaci\'on de la cantidad de movimiento para
flujos (lentos) de Stokes de fluidos newtonianos. Los flujos de
Stokes ({\em creeping flows} en la literatura anglosajona)
%est\'an relacionados con un n\'umero de Reynolds peque\~no
%se le llama ecuaci\'on bi-harm\'onica.
tienen muchas aplicaciones tecnol\'ogicas (microcirculaci\'on,
reolog\'{\i}a de suspensiones, dispersiones coloidales o el
procesado de pol\'{\i}meros) y aparecen relacionados con varios
fen\'omenos naturales a\-so\-cia\-dos a fluidos muy
viscosos.% (fluidos geof\'{\i}sicos).
\es






Dependiendo de los valores de $n$ (es decir del n\'umero de
variables independientes consideradas) se tienen las siguientes
expresiones del operador laplaciano en coordenadas cartesianas:
$$
N=1 \quad \Delta u \equiv \frac{d^2 u}{dx^2} =0,\qquad N=2 \quad
\Delta u \equiv \dderi{u}{x}+\dderi{u}{y} =0,
$$
$$
N=3 \quad \Delta u \equiv \dderi{u}{x}+\dderi{u}{y}+\dderi{u}{z}
=0
$$
donde el caso $N=1$ corresponde a una EDO y los casos $n=2,3$
corresponden a una EDP.

\begin{dfn}
Una funci\'on $u\in C^2 (\Omega)$ tal que $\Delta u=0$ en una
regi\'on $\Omega \subset \R^N$ se dice {\bf arm\'onica} en
$\Omega$.
\end{dfn}

\bejem Demostrar que la funci\'on:
$$
f(x,y)=e^x \cos y,
$$
es arm\'onica en el plano $\R^2$. \enejem La funci\'on dada es
evidentemente de clase $C^2 (\R^2 )$ (de hecho es de clase
$C^\infty$). Es inmediato calcular
$$
f_x (x,y)=e^x \cos y ,\qquad f_{xx}(x,y)= e^x \cos y,
$$
y
$$
f_y (x,y)=-e^x \sin y ,\qquad f_{yy}(x,y)=- e^x \cos y,
$$
por tanto, la laplaciana de $f$ es
$$
\Delta f(x,y)=f_{xx}(x,y)+f_{yy}(x,y)=e^x \cos y -e^x \cos y
\equiv 0,
$$
y as\'{\i} $f$ es arm\'onica. \es

Existen muchas aplicaciones f\'{\i}sicas de las funciones
arm\'onicas pues describen con alto grado de precisi\'on
diferentes fen\'omenos naturales. Por ejemplo, los procesos de
conducci\'on del calor en estado estacionario (es decir, una vez
que la temperatura del material conductor se ha estabilizado y que
no var\'{\i}a en el tiempo) donde se considera el vector densidad
del flujo de calor cuyo potencial $\phi (x,y)$ (la temperatura en
el medio conductor) satisface la ecuaci\'on de Laplace en todo
punto del espacio donde no haya fuentes o sumideros de calor. Las
funciones arm\'onicas aparecen tambi\'en al describir el flujo de
un fluido {\em ideal} (no viscoso pues no hay p\'erdidas de
energ\'{\i}a por fricci\'on interna) incompresible donde se
considera el campo de velocidades de un fluido irrotacional
(ausencia de v\'ortices o remolinos) cuyo potencial es arm\'onico
o en la teor\'{\i}a de la electrost\'atica donde la
concentraci\'on del flujo el\'ectrico en un punto del espacio se
describe por medio del vector densidad de flujo el\'ectrico cuyo
potencial electrost\'atico verifica, en una regi\'on sin cargas,
la ecuaci\'on de Laplace.


\subsubsection{Laplaciana bidimensional en coordenadas polares}
La introducci\'on de coordenadas polares:
$$
x=r\cos \theta ,\quad y=r \sin\theta,
$$
transforma $u(x,y)$ en $v(r,\theta)$ y considerando la laplaciana
bidimensional:
\begin{equation}\label{l2}
\Delta u = \dderi{u}{x}+\dderi{u}{y},
\end{equation}
se tiene (aplicando la regla de la cadena estudiada en el primer
curso) la siguiente f\'ormula:
$$
\Delta u\equiv %\dderi{u}{x}+\dderi{u}{y} =
\dderi{v}{r} +\frac{1}{r}\deri{v}{r} + \frac{1}{r^2}
\dderi{v}{\theta}.
$$

\bejem Probar que la funci\'on $u(r,\theta )=r^2 \cos 2\theta$ es
una funci\'on arm\'onica. \enejem

Es an\'alogo al ejemplo hecho en coordenadas cartesianas.
Escribiendo la ecuaci\'on de Laplace en coordenadas polares se
tiene que $u$ es una funci\'on arm\'onica si
$$
\dderi{u}{r} +\frac{1}{r}\deri{u}{r} + \frac{1}{r^2}
\dderi{u}{\theta} \equiv 0.
$$
Efectuando las derivaciones indicadas se tiene:
$$
\dderi{u}{r}=2\cos 2\theta ,\quad \frac{1}{r}\deri{u}{r}=2\cos
2\theta ,\quad \frac{1}{r^2} \dderi{u}{\theta} =-4\cos 2\theta.
$$
luego $u$ es arm\'onica. \es





%paramem Un ejemplo de conducci\'on de calos estacionaria en un c\'{\i}rculo se
%encuentra en el libro de Mei, pag 82.

\subsubsection{Laplaciana tri-dimensional en coordenadas cil\'{\i}ndricas}
La introducci\'on de coordenadas cil\'{\i}ndricas:
$$
x=r\cos \theta   ,\quad y=r \sin\theta  ,\quad z=z,
$$
transforma $u(x,y,z)$ en $v(r,\theta,z)$ y considerando la
laplaciana tri-dimensional:
\begin{equation}\label{l3}
\Delta u = \dderi{u}{x}+\dderi{u}{y}+\dderi{u}{z},
\end{equation}
se tiene (mediante aplicaci\'on de la regla de la cadena) la
siguiente f\'ormula:
$$
\Delta u %\dderi{u}{x}+\dderi{u}{y}+\dderi{u}{z}
\equiv \dderi{v}{r} +\frac{2}{r}\deri{v}{r} + \frac{1}{r^2}
\dderi{v}{\theta} +\dderi{v}{z}.
$$



\subsubsection{Laplaciana tri-dimensional en coordenadas esf\'ericas}
La introducci\'on de coordenadas esf\'ericas:
$$
x=r\cos \theta \sin\phi  ,\quad y=r \sin\theta \sin\phi ,\quad
z=r\cos \phi,
$$
transforma $u(x,y,z)$ en $v(r,\theta,\phi)$ y considerando la
laplaciana tri-dimensional (\ref{l3}) se tiene (por aplicaci\'on
de la regla de la cadena) la siguiente f\'ormula:
$$
\Delta u %\dderi{u}{x}+\dderi{u}{y}+\dderi{u}{z}
\equiv \dderi{v}{r} +\frac{2}{r}\deri{v}{r} + \frac{1}{r^2}
\dderi{v}{\phi} +\frac{1}{r^2}\frac{\cos
\phi}{\sin\phi}\deri{v}{\phi} + \frac{1}{r^2}\frac{1}{\sin\phi}
\dderi{v}{\theta}.
$$


\subsubsection{Laplaciana N-dimensional en coordenadas radiales}
Un tipo de coordenadas extremadamente \'util en el estudio de
problemas de transporte en los cuales existan ciertas condiciones
de simetr\'{\i}a son las coordenadas radiales. Sea
$\bfm{x}\in\Omega \subset\R^N$, $\bfm{x}=(x_1 ,x_2 ,..., x_N )$.
Definimos el cambio de variables:

$$
r=\dis \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + .... +x_N^2},\qquad u(\bfm{x})=v(r).
$$
Entonces se tiene que:

$$
\Delta u \equiv \dis \frac{1}{r^{N-1}}\dis \frac{d}{dr} \left(
r^{N-1}\dis\frac{dv}{dr}\right) = \dis \frac{d^2 v}{dr^2}+\dis
\frac{N-1}{r}\frac{dv}{dr}.
$$


%\subsection{Problemas de contorno: condiciones de contorno de Neumann,
%Dirichlet y mixtas}

\subsection{Algunos fen\'omenos f\'{\i}sico-t\'ecnicos que
modelizan} Tal y como vimos en la secci\'on anterior las
ecuaciones de Laplace y Poisson en dos o tres dimensiones aparecen
en problemas que conciernen campos potenciales como el
electrost\'atico, el gravitacional o el campo de velocidades (en
mec\'anica de fluidos al trabajar con flujos potenciales
incompresibles). Por ejemplo, la velocidad potencial para el flujo
estacionario de un fluido incompresible y no viscoso satisface la
ecuaci\'on de Laplace. En estas hip\'otesis tambi\'en la funci\'on
de corriente verifica la ecuaci\'on de Laplace. Es la expresi\'on
matem\'atica de la idea de que en ausencia de fuentes o sumideros
la tasa con la cual el fluido incompresible entra en una regi\'on
es la misma con la cual la deja. Una soluci\'on de la ecuaci\'on
de Laplace se puede interpretar tambi\'en como la distribuci\'on
de temperatura en un estado de equilibrio estable. Aparece por
tanto en la descripci\'on de un r\'egimen (de conducci\'on)
estacionario. Tambi\'en es indicativa para la descripci\'on del
comportamiento de algunos sistemas transitorios (que evoluciona
con el tiempo) que se estabilizan para tiempos grandes (a largo
plazo). \es

De forma parecida, el potencial el\'ectrico $V$ asociado a una
distribuci\'on bidimensional de electrones con densidad de carga
$\rho$ satisface la ecuaci\'on
$$
\dderi{V}{x}+\dderi{V}{y} +\frac{\rho}{\epsilon} =0,
$$
siendo $\epsilon$ la constante diel\'ectrica. Esta ecuaci\'on no
es otra cosa que la expresi\'on del teorema de Gauss que afirma
que el flujo el\'ectrico total a trav\'es de cualquier superficie
cerrada es igual a la carga total encerrada por la superficie. \es

Otra ecuaci\'on destacada de la Matem\'atica Aplicada es la
ecuaci\'on el\'{\i}ptica bidimensional de difusi\'on-convecci\'on
estacionaria
$$
\dis \underbrace{\bfm{v}\cdot \nabla T}_{\mbox{convecci\'on}}
=\underbrace{\epsilon\nabla^2 T}_{\mbox{difusi\'on}} ,
$$
que se verifica en un dominio $\Omega \subset\R^2$ donde el campo
de velocidades $\bfm{v}$ es irrotacional, es decir,
$$
\bfm{v}=(\psi_y ,-\psi_x ),
$$
siendo $\psi (x,y)$ la funci\'on de corriente y donde $\epsilon$
es el coeficiente de dispersi\'on del medio. Las l\'{\i}neas de
corriente del flujo son las curvas donde $\psi$ es constantes
(v\'ease el ejemplo examinado al comienzo de este tema para el
c\'alculo de las l\'{\i}neas de corriente en el flujo de un
fluido).



\subsection{$^*$ F\'ormulas de Green}
Introduciremos ahora las {\bf f\'ormulas de
Green}\footnote{Recu\'erdese que las f\'ormulas de Green ya han
sido consideradas en la secci\'on 12.4 del tema 12 del primer
curso. Un ejercicio interesante se encuentra propuesto (y
resuelto) en el gui\'on de ejercicios.}, una herramienta muy
importante en la teor\'{\i}a del potencial. Su aplicaci\'on a las
funciones arm\'onicas permitir\'a deducir sus propiedades
fundamentales. \es

Recordemos en primer lugar el teorema de la divergencia (primer
curso, tema 13) a partir del cual ser\'a posible deducir las
f\'ormulas de Green.

\beteor[Gauss-Ostrogradski] Sea $\Omega \subset\R^3 $ un dominio
acotado limitado por la superficie ${\partial\Omega}$, orientable
y cerrada. Sea $\bfm{F}:\,D \subset \R^3 \to \R^3$, $\Omega\subset
D$, un campo vectorial
$$
\bfm{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\bfm{i}+Q(x,y,z)\bfm{j}+R(x,y,z)\bfm{k},
$$
tal que sus componentes $P$, $Q$ y $R$ son campos escalares
continuos con derivadas parciales continuas en $\Omega$:
$\bfm{F}\in (C^1 (\Omega ))^3$. Entonces el flujo del campo
$\bfm{F}$ a trav\'es de la superficie (cerrada) ${\partial\Omega}$
es igual a la integral triple (integral de volumen) de la
divergencia del campo:
$$
\int_{{\partial\Omega}} \bfm{F}\cdot \bfm{n} ds =\int_{\Omega}
\mbox{div}(\bfm{F}) dxdydz,
$$
siendo $\bfm{n}$ el vector normal exterior a la superficie, y

$$
\mbox{div}(\bfm{F})=\nabla\cdot \bfm{F}
=\deri{P}{x}+\deri{Q}{y}+\deri{R}{z},
$$
el operador de divergencia. \enteor \es

Utilizando el teorema de Gauss podemos ahora deducir las
f\'ormulas de Green. \es

Sean $\phi$, $\psi$ dos funciones escalares de clase $C^2$ en
$\Omega$.

\beobse Hip\'otesis de regularidad suficientes para la
aplicaci\'on de las f\'ormulas de Green son: $\psi \in C^2
(\Omega)\cap C^1 (\bar{\Omega})$, $\phi \in C^1 (\Omega)\cap C^0
(\bar{\Omega})$ para la primera y $\psi,\phi \in C^2 (\Omega)\cap
C^1 (\bar{\Omega})$ para la segunda f\'ormula de Green (ver
Courant-Hilbert, pag 252). Tales hip\'otesis no son en realidad
necesarias y es posible suponer una regularidad menor. Para ello
es necesario conocer la teor\'{\i}a de distribuciones que no se
contempla en este curso. \enobse


Entonces, utilizando las propiedades del operador de divergencia:
$$
\nabla\cdot (\phi \nabla \psi)=\nabla \phi\cdot \nabla\psi
+\phi\nabla \cdot \nabla \psi =\nabla \phi\cdot \nabla\psi
+\phi\Delta \psi
$$
y considerando $\bfm{F}=\phi\nabla \psi$ en el teorema de la
divergencia se tiene: \es

\centerline{\underline{\bf Primera f\'ormula de Green}} \es


\begin{equation}\label{fg1}
\int_\Omega (\nabla \phi\cdot \nabla \psi +\phi\nabla^2 \psi
)d\Omega = \int_{\partial\Omega} \phi \deri{\psi}{\bfm{n}}ds,
\end{equation}
donde $\dis \deri{\psi}{\bfm{n}}=\bfm{n}\cdot \nabla \psi$ es la
componente normal exterior del vector gradiente. \es

La relaci\'on (\ref{fg1}) se conoce con el nombre de primera
f\'ormula de Green. Intercambiando $\phi$ y $\psi$ y restando se
tiene la segunda f\'ormula de Green: \es

\centerline{\underline{\bf Segunda f\'ormula de Green}} \es

\begin{equation}\label{fg2}
\int_\Omega (\phi \nabla^2 \psi -\psi\nabla^2 \phi )d\Omega =
\int_{\partial\Omega} \left( \phi \deri{\psi}{\bfm{n}}
-\psi\deri{\phi}{\bfm{n}}\right) ds.
\end{equation}
N\'otese finalmente que f\'ormulas an\'alogas se tienen en el
plano y en dimensiones arbitrarias (ver Courant-Hilbert, pag 257).
\es

Utilizando las f\'ormulas anteriores es posible deducir las
siguientes propiedades de las funciones arm\'onicas:

\beteor\label{par1} Si $u \in C^2 (\Omega)\cap C^1 (\bar{\Omega})$
es una funci\'on arm\'onica y si $\partial \Omega$ es una
superfice orientable y cerrada, entonces la integral de superficie
de su derivada normal vale cero:

\begin{equation}\label{gaussint}
\int_{\partial\Omega} \deri{u}{\bfm{n}} =0
\end{equation}
\enteor La demostraci\'on de lo anterior es inmediata considerando
$\phi =1$, $\psi =u$ arm\'onica ($\Delta u=0$) y aplicando la
primera f\'ormula de Green. La integral (de superficie)
(\ref{gaussint}) se denomina Integral de Gauss. \es

Si $\phi\in C^2 (\Omega)\cap C^1 (\bar{\Omega})$ es una funci\'on
arm\'onica y consideramos $\phi=\psi$ en la primera f\'ormula de
Green se obtiene la identidad:
$$
\int_\Omega |\nabla \phi |^2 d\Omega =\int_{\partial\Omega}
\phi\deri{\phi}{\bfm{n}}.
$$
La integral de volumen que aparece en la f\'ormula anterior se
conoce con el nombre de Integral de Dirichlet y juega un papel muy
importante en la teor\'{\i}a del potencial. Una consecuencia
inmediata de la identidad anterior es el siguiente teorema para
funciones arm\'onicas:

\beteor Siendo $u \in C^2 (\Omega)\cap C^1 (\bar{\Omega})$ una
funci\'on arm\'onica, $\Omega \subset\R^3 $ un dominio acotado
limitado por la superficie $\partial \Omega $ orientable y cerrada
se verifica:
\begin{enumerate}
\item Si $u$ se anula en la superficie ${\partial\Omega}$ entonces $u\equiv 0$ en $\Omega$.
\item Si $\dis \deri{u}{\bfm{n}}=0$ en ${\partial\Omega}$ entonces $u$ es constante en $\Omega$.
\end{enumerate}
\enteor

La demostraci\'on es inmediata observando que en ambos casos $\dis
\int_{\partial\Omega} \phi\deri{\phi}{\bfm{n}}=0$ luego la
integral de Dirichlet es nula y por tanto $u$ es constante. En el
primer caso adem\'as la constante tiene que coincidir con el valor
en la frontera (que es cero). \es

Si $\Omega$ es una esfera de centro $(x_0 ,y_0 ,z_0 )$, radio $R$,
superficie ${\partial\Omega}$ y $u$ es una funci\'on arm\'onica
que satisface el teorema (\ref{par1}) se tiene:
$$
u(x_0 ,y_0 ,z_0 )=\frac{1}{4\pi R^2}\int_{\partial\Omega} u ds,
$$
es decir:

\beteor\label{mean} El valor de una funci\'on arm\'onica en un
punto $(x_0 ,y_0 ,z_0 )$ es igual a la media aritm\'etica de sus
valores en cada esfera centrada en $(x_0 ,y_0 ,z_0 )$. \enteor

El teorema (\ref{mean}) tiene importante consecuencias:
\subsubsection{Principio del m\'aximo para funciones arm\'onicas}

\beteor\label{maxar} Sea $u$ una funci\'on regular en una regi\'on
conexa $\Omega$ y continua en la superficie ${\partial\Omega}$ que
la limita. Entonces el valor m\'aximo y m\'{\i}nimo de $u$ se
alcanzan en la frontera ${\partial\Omega}$. La funci\'on $u$
alcanza sus valores m\'aximo y m\'{\i}nimo en el interior $\Omega$
si y s\'olo si $u$ es constante. \enteor

\becoro\label{const} Si una funci\'on arm\'onica $u$, regular en
$\Omega$ y continua en la frontera ${\partial\Omega}$ es constante
en ${\partial\Omega}$ entonces es constante en todo $\Omega$.
\encoro

\subsubsection{Unicidad para la ecuaci\'on de Laplace}
Una simple aplicaci\'on de la primera f\'ormula de Green permite
demostrar la unicidad de soluciones de la ecuaci\'on de Laplace en
un volumen $\Omega\subset \R^3$ con condiciones Dirichlet no
homog\'eneas en la superficie del volumen ${\partial\Omega}$.
\footnote{Este tipo de razonamiento se puede extender para obtener
la unicidad de la soluci\'on de la ecuaci\'on de Laplace con
condiciones de contorno m\'as generales.} \es

Sean $\psi_1$ y $\psi_2$ dos soluciones de la ecuaci\'on de
Laplace en un volumen $\Omega \subset \R^3$ sa\-tis\-fa\-cien\-do
la condici\'on de contorno $\psi_i =f(x)$, $i=1,2$ en la frontera
${\partial\Omega}$. Entonces, por la linealidad del operador, se
tiene que la funci\'on diferencia, $\Theta =\psi_1 -\psi_2 $
verifica $\Delta \Theta =0$ y $\Theta =0$ en la frontera y por la
I f\'ormula de Green se tiene:
$$
\int_\Omega \vert \nabla \Theta \vert^2 d\Omega =
\int_{\partial\Omega} \Theta \deri{\Theta}{n} d{\partial\Omega};
$$
pero $\Theta =0$ en ${\partial\Omega}$, luego
$$
\int_\Omega \vert \nabla \Theta \vert^2 d\Omega =0.
$$
Por ser el integrando no negativo lo anterior implica $\vert
\nabla \Theta \vert^2 =0$ en cualquier punto de $\Omega$ luego
$\Theta$ es constante en $\Omega$ y como vale cero en
${\partial\Omega}$ se tiene: $\Theta \equiv 0$ y $\psi_1 \equiv
\psi_2$.


Otra forma de expresar este resultado (utilizando los teoremas
anteriores) es la siguiente:

\beteor\label{unilap} Dos funciones arm\'onicas en $\Omega$ que
sean continuas en $\Omega \cup {\partial\Omega}$ y coincidan en
${\partial\Omega}$ son id\'enticas en todo $\Omega$. \enteor

La demostraci\'on es inmediata observando que la diferencia entre
dos funciones arm\'onicas que satisfagan el teorema (\ref{unilap})
es tambi\'en una funci\'on arm\'onica que se anula en la frontera
luego, por el corolario (\ref{const}), es id\'enticamente nula en
$\Omega$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% FIN ELIPTICAS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% PARABOLICAS %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Ecuaciones parab\'olicas.}
Las ecuaciones en derivadas parciales de segundo orden de tipo
parab\'olico se presentan al estudiar los procesos de conducci\'on
t\'ermica, difusi\'on de materia y en general procesos
termodin\'amicos. Modelizan fen\'omenos transitorios, de
evoluci\'on (en contraposici\'on con los estados de equilibrio de
las ecuaciones el\'{\i}pticas, estacionarias), donde el estado del
sistema var\'{\i}a con el tiempo. En general, tales fen\'omenos de
difusi\'on pueden completarse con procesos de convecci\'on y
dispersi\'on que aparecen, por ejemplo, en varios modelos de
difusi\'on de contaminantes o en filtraci\'on de aguas
subterr\'aneas.

\subsection{La ecuaci\'on de difusi\'on y algunas variantes}
Empezaremos por el caso m\'as sencillo: la ecuaci\'on parab\'olica
de conducci\'on t\'ermica uni-dimensional, conocida con el nombre
de ecuaci\'on del calor:

\begin{equation}\label{k1}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x},\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t>0.
\end{equation}
N\'otese la ausencia de fuentes de calor internas al sistema (la
ecuaci\'on es, en efecto, homog\'enea). Las ecuaciones del tipo
(\ref{k1}) se resolver\'an anal\'{\i}ticamente en el tema 2
(mediante el m\'etodo de separaci\'on de variables) y en el tema 3
(mediante la t\'ecnica de la transformada de Laplace) donde se
considerar\'an situaciones m\'as generales. La ecuaci\'on
(\ref{k1}) puede ser generalizada de distintas formas: \es
\begin{enumerate}
\item Introduciendo un t\'ermino de fuente (o sumidero) estacionario $q(x)$
en el interior del dominio:

\begin{equation}\label{ak4}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x}+q(x),\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t>0,
\end{equation}
donde $q(x)>0$ si es una fuente y $q(x)<0$ si es un sumidero. La
ecuaci\'on (\ref{ak4}) aparece en problemas de conducci\'on de
calor transitorios (evolutivos) con generaci\'on de energ\'{\i}a.
El t\'ermino de generaci\'on de energ\'{\i}a (o t\'ermino de
fuente) $q(x)$ se conoce en la literatura como {\em steady
forcing} (fuente estacionaria). Este tipo de ecuaciones se puede
resolver anal\'{\i}ticamente con algunas variantes de los
m\'etodos que se utilizan para las ecuaciones del tipo (\ref{k1}).
Un ejemplo de aplicaci\'on a un problema concreto se puede
encontrar en el libro de Mei, pag 75.
\item Introduciendo un t\'ermino de fuente transitorio
(o fuente de calor) en el interior del dominio:

\begin{equation}\label{k4}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x}+f(x,t),\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $f(x,t)>0$. La ecuaci\'on (\ref{k4}) es la cl\'asica
ecuaci\'on de reacci\'on-difusi\'on lineal. El t\'ermino de
generaci\'on de energ\'{\i}a $f(x,t)$ se conoce en la literatura
como {\em transient forcing} (fuente transitoria). Tambi\'en este
tipo de ecuaciones se puede resolver an\'aliticamente con algunas
variantes de los m\'etodos que se utilizan para las ecuaciones del
tipo (\ref{k1}) y (\ref{ak4}). Un ejemplo de aplicaci\'on a un
problema concreto se puede encontrar en el libro de Mei, pag 75.

\item Considerando los efectos de disipaci\'on viscosa
(producci\'on de energ\'{\i}a t\'ermica y disipaci\'on de la
energ\'{\i}a mec\'anica) en el interior del dominio debidos a
procesos termodin\'amicos:
\begin{equation}\label{k44}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x}+f(x,t,u),\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $f(x,t,u)>0$. Debido al signo (positivo) de $f(x,t,u)$ este
t\'ermino tiene el efecto cualitativo de generar crecimiento en
las soluciones, pudiendo aparecer efectos de {\em blow up}
(singularidades o {\em explosiones}) de las mismas soluciones que
tienen as\'{\i} un car\'acter local. La ecuaci\'on (\ref{k44}) es
{\bf lineal} si $f(x,t,u)$ es lineal en $u$. Si $f(x,t,u)$ no es
lineal en $u$ entonces se dice {\bf semilineal}. Si $f$ fuese del
tipo $f(x,t,u,u_x)$, es decir si dependiera tambi\'en de la
derivada parcial primera $u_x$ y adem\'as lo hiciera en forma no
lineal entonces la ecuaci\'on ser\'{\i}a de tipo {\bf
cuasilineal}.
\item Incluyendo un t\'ermino de absorci\'on (o sumidero)
en el interior del dominio:
\begin{equation}\label{k444}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x}-f(x,t,u),\qquad 0\leq x\leq 1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $f(x,t,u)>0$. Valen las mismas consideraciones sobre el
car\'acter de linealidad de (\ref{k444}) hechas en el caso
anterior. Cualitativamente el t\'ermino de absorci\'on causa un
decaimiento en los perfiles de las soluciones. En la forma
$f(x,t,u)=u$ y en problemas de conducci\'on de calor, se le conoce
como el t\'ermino de enfriamiento de Newton.

\item Permitiendo un coeficiente de difusi\'on variable espacialmente
\begin{equation}\label{k5}
\deri{u}{t}=\deri{}{x}\left[a(x)\deri{u}{x}\right], \qquad 0\leq
x\leq 1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $a=a(x)$ una funci\'on positiva y acotada en $[0,1]$, es
decir $0<a (x)<\infty$. Este tipo de ecuaciones nace, por ejemplo,
al considerar procesos de conducci\'on de calor siendo la
conductividad calor\'{\i}fica $k$ una funci\'on no constante en
todo el medio: $k=k(x)$.
\item Introduciendo efectos no lineales de difusi\'on
mediante un coeficiente del tipo $a(x,u)$:
\begin{equation}\label{ak5}
\deri{u}{t}=\deri{}{x}\left[a(x,u) \deri{u}{x}\right],\qquad 0\leq
x\leq 1,\quad t>0.
\end{equation}
La ecuaci\'on (\ref{ak5}) describe fen\'omenos de filtraci\'on en
medios porosos donde la expresi\'on t\'{\i}pica del coeficiente es
$a(x,u)=u^m$ o procesos de conducci\'on calor\'{\i}fica en un
medio cuya conductibilidad t\'ermica depende de la propia
temperatura.

Son ecuaciones de tipo {\bf no lineal} y no suelen tener
soluciones anal\'{\i}ticas exactas, especialmente cuando se
complementan con un t\'ermino de fuente $f(x,t)$. En estos casos
se suelen calcular num\'ericamente las soluciones de (\ref{ak5}).
\item Modelizando el flujo de fluidos no newtonianos mediante
un coeficiente del tipo $a(x,u,u_x )$:

\begin{equation}\label{bk5}
\deri{u}{t}=\deri{}{x}\left[a(x,u,u_x ) \deri{u}{x}\right],\qquad
0\leq x\leq 1,\quad t>0.
\end{equation}
Los comentarios hechos para (\ref{ak5}) valen, obviamente, en este
caso m\'as general. No suele ser posible resolver\footnote{En
realidad, como ya observamos, la posibilidad de resoluci\'on
anal\'{\i}tica no est\'a descartada en presencia de ciertas
simetr\'{\i}as en la ecuaci\'on y en las condiciones de contorno.
En tal caso se suele usar el m\'etodo de combinaci\'on de
variables que es un m\'etodo aplicable al caso lineal en los
supuestos anteriores. M\'as detalles sobre este m\'etodo se
ver\'an en el tema 3.} este tipo de ecuaciones en forma exacta y
hay que acudir a m\'etodos num\'ericos.
\item Considerando fen\'omenos de con\-vec\-ci\'on
(por ejemplo en pro\-ble\-mas de fluido\-di\-n\'a\-mi\-ca)

\begin{equation}\label{kx}
\deri{u}{t}+V(x,t)\deri{u}{x}=\mu \dderi{u}{x},\qquad 0\leq x\leq
1,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $V(x,t)$ una distribuci\'on de velocidades en la
direcci\'on longitudinal $x$ conocida. La ecuaci\'on (\ref{kx}) es
una ecuaci\'on de difusi\'on-convecci\'on. Es lineal pues $V(x,t)$
es un dato del problema independiente de $u$. La inc\'ognita $u$
suele representar la concentraci\'on de un contaminante (o m\'as
en general de una especie qu\'{\i}mica) o la temperatura de un
fluido y $\mu$ es el coeficiente de difusi\'on del medio.
\item Si $V(x,t)=u(x,t)$, siendo $u$ la inc\'ognita del problema
representando un campo de velocidades en la direcci\'on $x$ se
tiene
\begin{equation}\label{burger}
\deri{u}{t}+u\deri{u}{x}=\mu \dderi{u}{x},\quad t>0.
\end{equation}
Si $\mu =\epsilon$, siendo $0<\epsilon \ll 1 $ un par\'ametro
peque\~no, la ecuaci\'on anterior modeliza flujos poco viscosos y
se conoce en la literatura como la ecuaci\'on de B\"{u}rgers. La
ecuaci\'on (\ref{burger}) es una ecuaci\'on de tipo no lineal
debido al t\'ermino no lineal $\dis uu_x$ de convecci\'on. El
t\'ermino de {\em viscosidad} $\dis \epsilon u_{xx}$ tiene un
papel {\em regularizante} sobre las soluciones. En el l\'{\i}mite
$\epsilon\to 0$ se tiene la ecuaci\'on hiperb\'olica de primer
orden considerada en la primera parte de este tema. Se pierden las
propiedades regularizantes propias de la ecuaci\'on del calor y se
pueden desarrollar singularidades en forma de ondas de choque.
\item Simulando fen\'omenos de dispersi\'on:
\begin{equation}\label{k4k}
\dis c(x,t)\deri{u}{t}=\dderi{u}{x},\qquad 0\leq x\leq 1,\quad
t>0,
\end{equation}
siendo $c(x,t)>0$. En problemas t\'ermicos $c(x,t)$ est\'a
relacionada con la capacidad calor\'{\i}fica del medio. En
problemas de flujo con el coeficiente de almacenamiento.
%En problemas de transporte
\item Dejando variar $x$ en todo $\R$ se pueden considerar
problemas en dominios infinitos:
\begin{equation}\label{k6}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x},\qquad -\infty < x <\infty ,\quad t>0.
\end{equation}
Dos aplicaciones concretas de este tipo de modelos se encuentran
en el libro de Mei, pag 137 y 139. Este tipo de problemas de
difusi\'on (o conducci\'on) unidimensional en dominios no acotados
se resolver\'an an\'aliticamente mediante el m\'etodo de la
Transformada de Fourier en el tema 3. Se suelen completar con
condiciones de decaimiento en el infinito ($u\to\pm\infty$ cuando
$|x|\to\infty$) y con condiciones iniciales especiales que simulan
impulsos (fuerzas puntuales, localizadas) aplicadas al sistema.
Tambi\'en se modelizan problemas con cargas puntuales o
temperaturas iniciales discontinuas.
\item Dejando variar $x$ en todo $\R^+ =(0 ,\infty)$
(dominio semi-infinito):

\begin{equation}\label{k6k}
\deri{u}{t}=\dderi{u}{x},\qquad 0< x <\infty ,\quad t>0.
\end{equation}
Nuevamente se trata de procesos de difusi\'on o conducci\'on
unidimensional. Se suelen resolver con el m\'etodo de las
Transformadas senos y cosenos de Fourier. Analizaremos algunos
casos modelo en el segundo tema.

\item Considerando m\'as variables espaciales:
\begin{equation}\label{k7}
\deri{u}{t}=\Delta u,\qquad  x \in\Omega \subset \R^n ,\quad t>0,
\end{equation}
siendo $\Omega$ un dominio acotado. Para $n=2$ se puede encontrar
un ejemplo de proceso de conducci\'on de calor bidimensional en un
rect\'angulo en el libro de Mei, pag 78. Varios ejemplos aparecen
tambi\'en en el libro de Zill y en general en la bibliograf\'{\i}a
comentada al final del cap\'{\i}tulo. En el tema 2 desarrollaremos
un ejemplo de difusi\'on de la concentraci\'on de una especie
qu\'{\i}mica en un dominio circular.
\item Incluyendo varios de los fen\'omenos y casos anteriores en la
clase de ecuaciones parab\'olicas cuasilineales:
\begin{equation}\label{k77}
\dis c\deri{u}{t}=\Delta u +f(x,t,u,\nabla u),\qquad x \in\Omega
\subset \R^n ,\quad t>0,
\end{equation}
de reacci\'on-difusi\'on-dispersi\'on-convecci\'on.
\end{enumerate}

Las ecuaciones anteriores y otras similares se tienen que
complementar con una condici\'on inicial y adecuadas condiciones
en el contorno del dominio para obtener problemas de valor inicial
y de contorno o problemas (el\'{\i}pticos) s\'olo de contorno que
est\'en bien planteados. En el caso de dominios no acotados (sin
contorno, del tipo que aparece en (\ref{k6k})), complementando la
ecuaci\'on  con una condici\'on inicial se obtiene el problema de
Cauchy o de valor inicial para ecuaciones
en derivadas parciales.%visto en el (\ref{ejemplo1})
\es

%Obviamente estos tipos de situaciones se pueden combinar entre ellos para
%generar distintos modelos.




\subsection{$^*$ Algunos fen\'omenos f\'{\i}sico-t\'ecnicos que modelizan}

Ilustramos aqu\'{\i}, muy brevemente, otros modelos matem\'aticos
(algunos b\'asicos y otros avanzados) que aparecen en las ciencias
aplicadas\footnote{V\'ease el libro de A.C. Fowler, Mathematical
Models in the Applied Sciences. (1997).}. \es

El proceso de difusi\'on (de materia o calor por ejemplo) se
vuelve m\'as interesante cuando otros procesos tienen lugar. Por
ejemplo, si durante una reacci\'on qu\'{\i}mica se libera calor
internamente con una tasa, digamos $f(T)$, por unidad de volumen
entonces la ecuaci\'on del calor toma la forma:
$$
T_t =\dis \nabla^2 T +f(T).
$$
Aunque las soluciones existan y sean \'unicas para las elecciones
t\'{\i}picas que aparecen en las aplicaciones, \'estas no tienen
porque existir para todo tiempo $t$. As\'{\i}, podemos ver que $T$
se hace singular en un tiempo finito si $f^{''} >0$ (funciones
convexas), caso, por ejemplo en el que $f(T)=T^2$ y este
fen\'omeno se conoce como {\em blow up}. El ejemplo m\'as conocido
es cuando $f(T)=\lambda e^T$ que aparece en teor\'{\i}a de la
combusti\'on. Este fen\'omeno es propio de la difusi\'on no
lineal. \es

Otra ecuaci\'on de difusi\'on no lineal viene dada por ejemplo por
la ecuaci\'on de calor con conductibilidad t\'ermica dependiente
de la temperatura:
$$
\rho c_p T_t =\dis \nabla \left( k(T)\nabla T \right).
$$
Informaci\'on sobre este tipo de dependencia en los modelos
qu\'{\i}micos se puede encontrar en el vol 2 del libro de Costa
Novella sobre Fen\'omenos de Transporte donde hay una aplicaci\'on
concreta pero al caso unidimensional (EDO). \es

El flujo de un gas en un medio poroso es otro fen\'omeno
t\'{\i}pico de difusi\'on no lineal. Para verlo, se considera la
ley de conservaci\'on (de la masa)
$$
\rho_t +\nabla \cdot \bfm{q} =0,
$$
donde $\bfm{q}$ es el flujo (de materia) y $\rho$ la densidad del
gas. En analog\'{\i}a con la ley de Fourier y la ley de Fick, este
flujo viene dado (en hip\'otesis de flujo lento) por la ley de
Darcy:
$$
\bfm{q}=-\dis \frac{k}{\mu}\rho \nabla p,
$$
donde $k$ es la {\em permeabilidad} y $\mu$ la viscosidad del gas.
Aqu\'{\i} $p$ representa la presi\'on (res\-pon\-sa\-ble del
flujo). Finalmente, utilizando la ley constitutiva para los gases
perfectos (o ideales) $p=\rho RT$ se tiene que (en hip\'otesis de
flujo isotermo, es decir, $T$ constante):
$$
\rho_t =\dis \nabla \cdot \left[ \left\{
\dis\frac{kRT}{\mu}\right\} \rho\nabla \rho \right],
$$
que es una ecuaci\'on del tipo (\ref{ak5}). Esta ecuaci\'on,
escrita en variables a\-di\-men\-sio\-na\-les adecuadas se puede
resolver mediante el m\'etodo de combinaci\'on de variables que
estudiaremos en el tercer tema de esta asignatura. N\'otese que el
coeficiente de difusi\'on $a(x,\rho)=c\rho$ ($c=kRT/\mu$ es
constante) tiende a cero cuando $\rho$ tiende a cero, un
comportamiento muy interesante conocido con el nombre de {\em
degeneraci\'on} y que consideraremos m\'as adelante. S\'olo
observamos que la se\~nal evidente de difusi\'on no lineal
degenerada es la existencia de un frente que se propaga con
velocidad finita (contrariamente al caso de la ecuaci\'on del
calor propiamente dicha donde hay velocidad inifinita de
propagaci\'on de las perturbaciones). Digamos que las ecuaciones
parab\'olicas degeneradas tienen propiedades cualitativas m\'as
propias de las ecuaciones hiperb\'olicas que de las parab\'olicas.
\es

Otro contexto donde se generan ecuaciones parab\'olicas no
lineales degeneradas es el de la modelizaci\'on del flujo de aguas
subterr\'aneas en un medio poroso no saturado. Complementando la
Ley de Darcy con una ecuaci\'on para la conservaci\'on de la fase
(o las fases\footnote{Por ejemplo en un yacimiento
petrol\'{\i}fero las fases son petr\'oleo y agua.}) y siendo
$\phi$ la porosidad del suelo, $\rho$ la densidad material (masa
por unidad de volumen {\em del fluido}) la ecuaci\'on que describe
el modelo para el flujo en un medio poroso r\'{\i}gido es:
$$
\dis\deri{(\rho \phi )}{t} =\dis \nabla \cdot \left[
\dis\frac{k}{\mu}\rho\nabla \rho \right].
$$
Otro ejemplo es el flujo de agua en un terreno saturado que se
describe (en el caso unidimensional y en la direcci\'on
transversal $z$) mediante la ecuaci\'on:
$$
\phi_t -V\phi_x =(D\phi_z )_z,
$$
siendo $V$ y $D$ constantes positivas y $\phi$ la porosidad del
medio. \es

Ecuaciones del tipo (\ref{ak5}) (complementadas con un t\'ermino
de reacci\'on del tipo $f(x,t)$) surgen tambi\'en al describir la
evoluci\'on (en el caso isotermo) del espesor $h(x,t)$ de una capa
de hielo, en la forma:
$$
h_t =\dis \deri{}{x}\left[\frac{1}{3}h^3 h_x \right] +a(x,t).
$$
En este caso $m=3$, y $a(x,t)$ es una funci\'on que representa la
tasa de acumulaci\'on/ablaci\'on de hielo debida a las condiciones
atmosf\'ericas y la ecuaci\'on es una ecuaci\'on de difusi\'on no
lineal degenerada\footnote{Intuitivamente hay degeneraci\'on
cuando el coeficiente de difusi\'on se anula en alguna
sub-regi\'on del dominio. Se trata de un fen\'omeno propio de las
ecuaciones no lineales (es decir no puede ocurrir en las
ecuaciones lineales) pero no ocurre en todas las ecuaciones no
lineales siendo caracterizado por un delicado balance entre la
velocidad de difusi\'on y el tama\~no del dominio. Un estudio
detallado se encuentra en el libro de J.I. D\'{\i}az sobre
fronteras libres citado en la bibliograf\'{\i}a avanzada. N\'otese
que el fen\'omeno puede darse tanto en ecuaciones el\'{\i}pticas
como en ecuaciones parab\'olicas siendo necesario pero no
suficiente el car\'acter no lineal del t\'ermino de difusi\'on.}.
Excepto cuando $a(x,t)\equiv 0$ esta ecuaci\'on no puede ser
resuelta anal\'{\i}ticamente. Se puede sin embargo analizar
cuantitativamente (es decir, a nivel nu\-m\'e\-ri\-co) o
cualitativamente (mediante m\'etodos de energ\'{\i}a). Tambi\'en
es posible realizar un detallado an\'alisis asint\'otico (una
t\'ecnica propia de la teor\'{\i}a de la perturbaci\'on). Una
ulterior dificultad (especialmente a nivel num\'erico aunque
existen t\'ecnicas avanzadas para su tratamiento) consiste en el
hecho que el dominio donde se tiene que verificar la ecuaci\'on no
es conocido {\em a priori} y tiene que ser determinado junto con
la soluci\'on. El marco correcto en el cual considerar esta
ecuaci\'on se construye mediante la teor\'{\i}a de operadores
mult\'{\i}vocos y el problema es unilateral\footnote{Se trata de
un tipo de formulaci\'on matem\'atica muy utilizado en mec\'anica
de fluidos que permite incorporar al problema matem\'atico
distintas fenomenolog\'{\i}as que satisfacen unas condiciones de
admisibilidad f\'{\i}sica.} (del tipo problema de obst\'aculo). La
teor\'{\i}a y el comportamiento cualitativo de las soluciones de
esta ecuaci\'on no lineal depende, cr\'{\i}ticamente, de los
valores de $m$ seg\'un que se tenga $0<m<1$ (caso singular) o
$m>1$ (caso degenerado).


\es En general se emplea la ecuaci\'on (\ref{bk5}) (de tipo no
lineal parab\'olico eventualmente degenerado) para modelizar las
din\'amicas no lineales de los fluidos geof\'{\i}sicos. Por
ejemplo, la expresi\'on $a(x,u,u_x )=| u_x |^{p-2} $ permite
describir el flujo lento, viscoso, no newtoniano de las grandes
masas de hielo polar que recubren la Ant\'artida y Groenlandia.
Otro fluido geof\'{\i}sico no newtoniano es el magma. \es

Finalizamos este tema con unos comentarios sobre los sistemas de
ecuaciones en derivadas parciales. Es evidente (v\'eanse los
comentarios en la primera secci\'on sobre los fen\'omenos de
transporte) que una descripci\'on detallada del estado de un
sistema se puede obtener a partir de la consideranci\'on
simult\'anea de las ecuaciones en derivadas parciales que nacen al
aplicar las leyes de conservaci\'on. Surgen as\'{\i} unos sistemas
{\bf modelo} que aparecer\'an muy a menudo en la carrera de un
ingeniero qu\'{\i}mico. El modelo fundamental o b\'asico, a partir
del cual se obtienen otros casos digamos {\em habituales}, es el
sistema de ecuaciones que se genera al considerar la ecuaci\'on de
conservaci\'on de la masa (ecuaci\'on de continuidad) con la de
conservaci\'on de la cantidad de movimiento (ecuaci\'on del
equilibrio) para la descripci\'on del flujo de un fluido
newtoniano. Nos referimos al sistema de {\bf Navier Stokes}:

\begin{equation}\label{navier}
\left\{ \begin{array}{rcl} \nabla \cdot \bfm{u} & = & 0, \\
[0.3cm] \noalign{\smallskip} \bfm{u}_t +(\bfm{u}\cdot \nabla
)\bfm{u} & = & -\dis \frac{1}{\rho}\nabla p +\nu \nabla^2 \bfm{u},
\end{array}\right.
\end{equation}
siendo $\nu =\mu /\rho$ la {\em viscosidad cinem\'atica}, $\mu$ la
viscosidad din\'amica, $\rho$ la densidad, $p$ la presi\'on y
$\bfm{u}$ la velocidad. Si $U$ es una velocidad t\'{\i}pica del
fluido y $l$ es una dimensi\'on t\'{\i}pica de la geometr\'{\i}a
del flujo entonces el sistema (\ref{navier}) se puede escribir en
variables adimensionales en la forma

\begin{equation}\label{navieradi}
\left\{ \begin{array}{rcl} \nabla \cdot \bfm{u} & = & 0, \\
[0.3cm] \noalign{\smallskip} \bfm{u}_t +(\bfm{u}\cdot \nabla
)\bfm{u} & = & -\dis \nabla p +\frac{1}{\mbox{Re}}\nabla^2
\bfm{u},
\end{array}\right.
\end{equation}
siendo el par\'ametro adimensional Re$=Ul/\nu $ llamado {\bf
n\'umero de Reynolds}. Si Re$\ll 1$ (es decir, para valores del
n\'umero de Reynolds muy peque\~nos) el movimiento del flujo es
muy lento (se llama {\bf flujo de Stokes}) y la ecuaci\'on del
momento se puede aproximar por:
$$
\nabla p =\nabla^2 \bfm{u},
$$
donde la presi\'on ha sido reescalada mediante $1/\mbox{Re}$. Se
trata de una perturbaci\'on regular, al menos en dominios finitos.
Si Re$\gg 1$ (es decir, si el n\'umero de Reynolds es muy grande)
entonces la aproximaci\'on de la ecuaci\'on del equilibrio es la
{\bf ecuaci\'on de Euler}:

$$
\bfm{u}_t +(\bfm{u}\cdot \nabla )\bfm{u}  = -\dis \nabla p,
$$
que se obtiene en el l\'{\i}mite:
$$
\dis \lim_{\mbox{Re}\to\infty}\dis \left(
\frac{1}{\mbox{Re}}\nabla^2 \bfm{u} \right) \to 0.
$$
Se trata de una perturbaci\'on singular pues al eliminar los
efectos viscosos se reduce el orden de la ecuaci\'on y pueden
aparecer muchas complicaciones. \es

Tras el abanico de posibilidades evidenciado en esta secci\'on (y
en las anteriores) podemos afirmar que las ecuaciones
diferenciales en derivadas parciales gobiernan numerosos
fen\'omenos que aparecen en f\'{\i}sica-matem\'atica. Esto no
quiere decir que las ecuaciones ordinarias (que suelen aparecer en
modelos m\'as b\'asicos) no puedan ser v\'alidas para modelizar
adecuadamente un fen\'omeno. Tampoco es cierto (en general) que
las ecuaciones ordinarias son simples y m\'as facilmente
resolubles pero es evidente que las simplificaciones (mediante
an\'alisis dimensional) de los modelos suelen empobrecer el grado
de aproximaci\'on a la realidad del fen\'omeno f\'{\i}sico
considerado. Digamos que se suele simplificar el
modelo\footnote{Una t\'ecnica consolidada en la modelizaci\'on
consiste en efecto en desmontar el modelo (deducido a partir de
las leyes de conservaci\'on y de las leyes constitutivas) en sus
piezas fundamentales, analizarlo y, tras ello, volver a
considerar, uno a uno, los t\'erminos inicialmente despreciados
para tener as\'{\i} una idea de los efectos producidos y de su
importancia relativa.} hasta poder alcanzar una soluci\'on
anal\'{\i}tica exacta o anal\'{\i}tica aproximada del mismo que
permita va\-li\-dar los resultados num\'ericos. Tales
simplificaciones suelen venir sugeridas por el an\'alisis
dimensional (previo) de las ecuaciones lo que proporciona una
aproximaci\'on {\em sensible} del modelo originario. Las
ecuaciones en derivadas parciales representan, por tanto, un grado
superior de aproximaci\'on a la realidad del fen\'omeno modelizado
sin que ello haga in\'util o redundante el manejo de las
ecuaciones ordinarias. N\'otese en efecto que utilizaremos EDO
para resolver anal\'{\i}ticamente EDP. \es

Para
los ingenieros qu\'{\i}micos %(a quien est\'a dirigido este programa)
el campo de aplicaci\'on dominante de las ecuaciones en derivadas
parciales es, sin duda, el de los fen\'omenos de transporte
entendi\'endose por ello el transporte
difusivo-dispersivo-convectivo-reactivo de materia o transporte
conductivo-convectivo de calor. Adem\'as las t\'ecnicas que
veremos para su resoluci\'on tendr\'an m\'ultiples aplicaciones,
por ejemplo la Transformada de Laplace al trabajar con control y
dise\~no de experimentos o las series de Fourier en el an\'alisis
de la estabilidad de los esquemas num\'ericos en diferencias
finitas utilizados para aproximar las soluciones de las EDP.
Di\-ga\-mos que proporcionaremos m\'etodos para resolver problemas
con la idea de que el alcance de los m\'etodos vaya mucho m\'as
all\'a de la resoluci\'on del problema inicialmente planteado.
Entraremos en detalles en este tipo de problemas en los temas 2 y
3, al considerar algunos ejemplos concretos que se pueden
encontrar, por ejemplo, en los libros de Costa Novella que
aparecen en la bibliograf\'{\i}a. \es



\newpage


\section{Anexo}
En esta secci\'on recordaremos r\'apidamente varios conceptos
necesarios para el en\-ten\-di\-mien\-to de las otras secciones.
Se trata de un material que b\'asicamente se vi\'o en el curso de
primero pero que ha sido complementado con una interpretaci\'on
directa y pr\'actica del lenguaje matem\'atico asociado a los
conceptos de trayectorias y superficies en t\'erminos de la
mec\'anica de fluidos. Sirven de enlace con la terminolog\'{\i}a
adoptada en cursos paralelos a \'este.
%En las secciones dedicadas
%al movimiento de un fluido  asociado a un campo vectorial de velocidades
%se define la notaci\'on a utilizar y se introducen los conceptos
%b\'asicos de
%flujo, derivada material,

\subsection{Introducci\'on a las trayectorias}
Matem\'aticamente es \'util pensar en una curva $C$ como un
conjunto de va\-lo\-res de una funci\'on que manda un intervalo de
n\'umeros reales al plano o al espacio. A dicha aplicaci\'on le
llamaremos {\bf trayectoria}. Por lo com\'un se denota una
trayectoria mediante $\bfm{c}$. Entonces la imagen $C$ de una
trayectoria corresponde a la curva. Frecuentemente escribimos $t$
como la variable independiente y la imaginamos como el tiempo, de
manera que $\bfm{c}(t)$  es la posici\'on en el tiempo $t$ de una
part\'{\i}cula en movimiento, la cual describe una curva conforme
$t$ var\'{\i}a. Tambi\'en decimos que $\bfm{c}$ (la trayectoria)
parametriza $C$ (la curva).

\begin{dfn}
Una {\bf trayectoria} en $\R^n$ es una aplicaci\'on
$\bfm{c}:[a,b]\to \R^n$; Si $n=2$, es una {\bf trayectoria en el
plano} y si $n=3$, es una {\bf trayectoria en el espacio}. La
colecci\'on $C$ de puntos $\bfm{c}(t)$, conforme $t$ var\'{\i}a en
$[a,b]$ se denomina {\bf curva}, y $\bfm{c}(a)$, $\bfm{c}(b)$ son
sus {\bf puntos extremos}. Se dice que la trayectoria $\bfm{c}$
{\bf parametriza} la curva $C$.

Si $\bfm{c}$ es una trayectoria en $\R^3$, podemos escribir:
$$
\bfm{c}(t)=(x(t),y(t),z(t)),
$$
y llamamos a $x(t),y(t),z(t)$ {\bf funciones componentes} de
$\bfm{c}$. Formamos de manera an\'aloga las funciones componentes
en $\R^2 $ o, en general, en $\R^n$.
\end{dfn}

Si imaginamos los puntos $\bfm{c}(t)$ como la curva descrita por
una part\'{\i}cula y $t$ como el tiempo, es razonable definir el
vector velocidad como sigue:

\begin{dfn}
Si $\bfm{c}$ es una trayectoria y es diferenciable, decimos que
$\bfm{c}$ es una {\bf trayectoria diferenciable}. La {\bf
velocidad} de $\bfm{c}$ en el tiempo $t$ se define mediante:
$$
\bfm{c}' (t)=\dis \lim_{h\to 0}\frac{\bfm{c}(t+h)-\bfm{c}(t)}{h}.
$$
La {\bf rapidez} de la trayectoria $\bfm{c}(t)$ es la longitud del
vector velocidad: $|| \bfm{c}' (t) ||$.
\end{dfn}

Si $\bfm{c}(t) =(x(t),y(t))$ en $\R^2$ entonces:
$$
\bfm{c}' (t)=(x' (t),y' (t)) =x' (t)\bfm{i}+y' (t)\bfm{j},
$$
y si $\bfm{c}(t) =(x(t),y(t),z(t))$ en $\R^3$ entonces:
$$
\bfm{c}' (t)=(x' (t),y' (t),z' (t)) =x' (t)\bfm{i}+y' (t)\bfm{j}
+z' (t)\bfm{k}.
$$

%\begin{dfn}[Vector tangente]
N\'otese que la velocidad $\bfm{c}' (t)$ es un vector {\bf
tangente} a la trayectoria $\bfm{c}(t)$ en el tiempo $t$. Si $C$
es una curva descrita por $\bfm{c}$ y si $\bfm{c}' (t)\neq
\bfm{0}$, entonces $\bfm{c}' (t)$ es un vector tangente a la curva
$C$ en el punto $\bfm{c}(t)$.
%\end{dfn}
\es

Si $\bfm{c}$ representa la trayectoria de una part\'{\i}cula que
se mueve, entonces su {\bf vector velocidad} es una funci\'on
vectorial $\bfm{v}=\bfm{c}' (t)$ (que depende de $t$) y su {\bf
rapidez} es $|| \bfm{v}||$. La derivada $\bfm{a}=d\bfm{v}/dt
=\bfm{c}^{''}(t)$ se llama {\bf aceleraci\'on } de la curva. Si la
curva es $(x(t),y(t),z(t))$, entonces la aceleraci\'on en el
tiempo $t$ est\'a dada por:
$$
\bfm{a}(t)=x^{''}(t)\bfm{i}+ y^{''}(t)\bfm{j}+ z^{''}(t)\bfm{k}.
$$
\es

Muy a menudo se tratar\'a de evaluar campos escalares a lo largo
de curvas en el espacio. Particularmente \'util es el siguiente
resultado (que es un caso particular de la regla de la cadena):

\beteor Sea $\bfm{c}:\R\to \R^3$, $\bfm{c}(t)=(x(t),y(t),z(t))$,
una trayectoria diferenciable y $f:\R^3 \to \R$ un campo escalar.
Sea $h:\R\to\R$ definida por:
$$
h(t)=f(\bfm{c}(t))= f(x(t),y(t),z(t)).
$$

Entonces,
$$
\dis \frac{dh}{dt}=\nabla f(\bfm{c}(t))\cdot \bfm{c}' (t),
$$
donde $\bfm{c}' (t)=(x' (t),y' (t),z' (t))$. \enteor \es

Nos preguntamos cual es la longitud de una trayectoria. Puesto que
la rapidez $|| \bfm{c}' (t)||$ es la tasa de cambio de la
distancia recorrida respecto al tiempo, la distancia recorrida por
un punto que se mueve a lo largo de la curva debe ser la integral
de la rapidez respecto al tiempo sobre el intervalo de tiempo
$[t_0 ,t_1 ]$.

\begin{dfn}
La longitud de una trayectoria, llamada {\bf longitud de arco} $s
$ (tambi\'en se suele denotar por $\sigma$), es:
$$
s \doteq \dis \int_{t_0}^{t_1} || \bfm{c}' (t)|| dt.
$$
\end{dfn}

Se deduce que la longitud de arco de la trayectoria
$\bfm{c}(t)=(x(t),y(t),z(t))$, para $t_0 \leq t \leq t_1 $ es:

$$
s \doteq \dis \int_{t_0}^{t_1} \sqrt{x' (t)^2 +y' (t)^2 +z' (t)^2}
dt.
$$
La {\bf funci\'on de longitud de arco} $s(t)$ para una trayectoria
dada $\bfm{c}(t)$ se define por:

$$
s(t) \doteq \dis \int_{t_0}^{t} || \bfm{c}' (\tau)|| d\tau,
$$
y representa la distancia que una part\'{\i}cula, viajando por la
trayectoria $\bfm{c}$, habr\'a re\-co\-rri\-do en el tiempo $t$ si
comienza en el tiempo $t_0$; esto es, proporciona la longitud de
$\bfm{c}$ entre $\bfm{c}(t_0 )$ y $\bfm{c}(t)$. \es

Pasamos ahora a la definici\'on de la diferencial de la longitud
de arco.

\begin{dfn}
Un {\bf desplazamiento infinitesimal} de una part\'{\i}cula que
sigue una trayectoria:
$$
\bfm{c}(t)=x(t)\bfm{i}+ y(t)\bfm{j}+ z(t)\bfm{k},
$$
es

$$
d\bfm{s} = dx\bfm{i}+ dy\bfm{j}+ dz\bfm{k} = \dis
\left(\frac{dx}{dt}\bfm{i}+ \frac{dy}{dt}\bfm{j}+
\frac{dz}{dt}\bfm{k} \right)dt,
$$
y su longitud:
$$
ds =\dis \sqrt{dx^2 +dy^2 +dz^2 }= \dis
\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\bfm{i}\right)^2+
\left(\frac{dy}{dt}\bfm{j} \right)^2 +\left(\frac{dz}{dt}\bfm{k}
\right)^2}dt,
$$
es la {\bf diferencial de longitud de arco}.
\end{dfn}

La f\'ormulas anteriores nos ayudan a recordar la f\'ormula de la
longitud de arco:
$$
s =\dis \int_{t_0}^{t_1} ds,
$$
y, en general, la definici\'on de {\bf integral de trayectoria} (o
integral curvil\'{\i}nea o integral del campo escalar $f(x,y,z)$ a
lo largo de la trayectoria).

\begin{dfn}
Sea $\bfm{c}: [a,b]\to\R^3$ una trayectoria de clase $C^1$ y $f:
\bfm{c}(t)\subset \R^3 \to \R$ continua para cada $t\in [a,b]$. Se
define entonces la integral de trayectoria del campo escalar $f$
como:
$$
\dis \int_{\bfm{c}} fds\doteq \int_{t_0}^{t_1} f(x(t),y(t),z(t))
|| \bfm{c}' (t) || dt.
$$
\end{dfn}
Los elementos diferenciales $ds$ con respecto de los cuales se
integra vienen dados por la longitud de la diferencial de longitud
de arco. N\'otese que, a veces, la integral de trayectoria se
denota con:
$$
\dis \int_{\bfm{c}} fds =\int_{\bfm{c}} f(x,y,z)ds =\dis
\int_{t_0}^{t_1} f(\bfm{c} (t)) || \bfm{c}' (t) || dt.
$$
%Las hip\'otesis de regularidad anteriores se puede
%debilitar para incluir trayectorias de clase $C^1$ {\em a trozos}
% funciones continuas {\em a trozos}, intendendo por ello
%que la propiedad de continuidad aludida se puede perder
%como mucho en un conjunto numerable de puntos (es decir que puede
%existir un n\'umero infinito pero numerable de discontonuidades de salto.
\es

Un caso importante de la integral de trayectoria se presenta
cuando la trayectoria $\bfm{c}$ des\-cri\-be una curva plana.
Suponiendo que $f$ es una funci\'on real de dos variables la
integral de trayectoria a lo largo de $\bfm{c}$ es:

$$
\dis \int_{\bfm{c}} f(x,y) ds =\int_{t_0}^{t_1}
f(x(t),y(t))\sqrt{x' (t)^2 +y' (t)^2} dt.
$$
Otro tipo de integral de trayectoria, esta vez de un campo
vectorial $\bfm{F}:\R^3 \to\R^3$ continuo sobre una trayectoria
diferenciable con continuidad es la {\bf integral de l\'{\i}nea}
(o integral de circulaci\'on). El elemento diferencial considerado
es ahora $d\bfm{s}$ es decir la diferencial de longitud de arco.
Con m\'as precisi\'on se tiene:

\begin{dfn}
Sea $\bfm{F}$ un campo vectorial continuo sobre la trayectoria
$\bfm{c}$ de clase $C^1$ en $[t_0 ,t_1 ]$. Definimos la {\bf
integral de l\'{\i}nea} de $\bfm{F}$ a lo largo de $\bfm{c}$ como

$$
\dis \int_{\bfm{c}} \bfm{F}\cdot d\bfm{s} \doteq \dis
\int_{t_0}^{t_1} \bfm{F}(\bfm{c} (t)) \cdot  \bfm{c}' (t)  dt.
$$
\end{dfn}
Para trayectorias que satisfagan $\bfm{c}' (t)\neq 0$, hay otra
f\'ormula \'util para la integral de l\'{\i}nea. Siendo
$\bfm{T}(t)=\bfm{c}' (t)$ el vector tangente a la trayectoria
($\bfm{t}=\bfm{c}' (t)/|| \bfm{c}' (t)||$ es el vector tangente
unitario), tenemos:

$$
\dis \int_{\bfm{c}} \bfm{F}\cdot d\bfm{s} \doteq \dis
\int_{t_0}^{t_1} \bfm{F}(\bfm{c} (t)) \cdot  \bfm{c}' (t)  dt =
\dis \int_{t_0}^{t_1} \left[ \bfm{F}(\bfm{c} (t)) \cdot  \bfm{T}
(t)\right]|| \bfm{c}' (t)||   dt.
$$
Esta f\'ormula nos dice que la integral de l\'{\i}nea del campo
vectorial es igual a la integral de trayectoria de su componente
tangencial. \es

Para campos vectoriales gradientes (o conservativos o
irrotacionales) existe una f\'ormula muy f\'acil de c\'alculo
%, que generaliza el teorema fundamental del c\'alculo,
de sus integrales de l\'{\i}nea.
\begin{dfn}
Sea $f:\R^3 \to \R$ un campo escalar de clase $C^1$ sobre la
trayectoria $\bfm{c}$ de clase $C^1$ en $[t_0 ,t_1 ]$. Entonces:
$$
\dis \int_{\bfm{c}} \nabla f \cdot d\bfm{s} = f(\bfm{c} (t_1))
-f(\bfm{c} (t_0)).
$$
\end{dfn}
\es

Volviendo al concepto de longitud de arco notamos que se puede
extender a trayectorias en el espacio $n$-dimensional. V\'ease a
este respecto la secci\'on 4.2, pag 260, del libro de Marsden y
Tromba. \es

Construimos ahora una {\bf reparametrizaci\'on} de $\bfm{c}$
mediante la longitud de arco. Para ello caracterizamos primero el
concepto de reparametrizaci\'on. Sea $\bfm{c} (t)$ una trayectoria
dada para $t\in [a,b]$. Sea $s=\alpha (t)$ una nueva variable
donde $\alpha (t)$ una funci\'on de clase $C^1$ estr\'{\i}ctamente
creciente definida en $[a,b]$. Las hip\'otesis efectuadas aseguran
que para cada $s\in [\alpha (a),\alpha (b)] $ existe un $t$
\'unico tal que $\alpha (t)=s$. Definimos entonces la trayectoria
$\bfm{d}: [\alpha (a),\alpha (b)]\to \R^3 $ mediante
$\bfm{d}(s)=\bfm{c}(t)$. Las curvas imagenes de $\bfm{c}$ y
$\bfm{d}$ son las mismas (es decir que $\bfm{d}$ es una
reparametrizaci\'on de la curva imagen de la trayectoria
$\bfm{c}$) y $\bfm{c}$ y $\bfm{d}$ tienen la misma longitud de
arco. Elegimos ahora la funci\'on $\alpha (t)$, definiendo
$$
s=\alpha (t)=\dis \int_a^t || \bfm{c}' (\tau )|| d\tau.
$$
Si definimos $\bfm{d}$ como se hizo antes, mediante
$\bfm{d}(s)=\bfm{c}(t)$ entonces se verifica que:
$$
|| \bfm{d}' (s) || =1.
$$
Se dice entonces que $\bfm{d}(s)$ es una {\bf reparametrizaci\'on}
de $\bfm{c}$ dada por la {\bf longitud de arco}. Una trayectoria
parametrizada mediante la longitud de arco tiene rapidez unitaria.
\es

Pasamos a la definici\'on de los conceptos geom\'etricos de
tangente unitaria, rapidez unitaria, vector normal principal y
vector binormal.

\begin{dfn}
Dada una trayectoria $\bfm{c}:[a,b]\to\R^3$ tal que
$\bfm{c}'(t)\neq 0$ para todo $t$ el vector
$$
\bfm{t} (t)\doteq \dis \frac{\bfm{c}' (t)}{ || \bfm{c}' (t)  ||}
$$
es tangente a $\bfm{c}$ en $\bfm{c}(t)$ y, como $|| \bfm{t} ||
=1$, el vector $\bfm{t}$ se llama {\bf tangente unitaria} a
$\bfm{c}$.
\end{dfn}
Dada una trayectoria parametrizada mediante la longitud de arco,
digamos por $\bfm{c}(s)$, la {\bf curvatura} en un punto
$\bfm{c}(s)$ sobre una trayectoria se define por:
$$
k=|| \bfm{t}' (s)|| =|| \bfm{c}^{''} (s)||.
$$
Pasamos ahora a la definici\'on de vector normal principal y
vector binormal.

\begin{dfn}
Dada una trayectoria $\bfm{c} (t)$, si $\bfm{t}' (t)\neq \bfm{0}$
se tiene que el vector:
$$
\bfm{n} (t)\doteq \dis \frac{ \bfm{t}' (t)}{ || \bfm{t}' (t) ||},
$$
es normal a $\bfm{t} (t)$ y es unitario. El vector $\bfm{n}$ se
llama vector normal principal. Un tercer vector unitario que es
perpendicular tanto a $\bfm{t}$ como a $\bfm{n}$ se define por
$\bfm{b}=\bfm{t}\wedge \bfm{n}$ y se llama {\bf vector binormal}.
Los vectores $\bfm{t}$, $\bfm{n}$ y $\bfm{b}$ forman un sistema de
vectores ortogonales entre s\'{\i} que siguen la regla de la {\em
mano derecha} y que se va moviendo a lo largo de la trayectoria.
\end{dfn}
\es

Una aplicaci\'on muy importante del concepto de trayectoria
consiste en la ca\-rac\-te\-ri\-za\-ci\'on de las {\bf l\'{\i}neas
de flujo} de un campo vectorial. En mec\'anica de fluidos el campo
vectorial a considerar es el campo de velocidades de un fluido. Un
campo de velocidades se dice {\bf estacionario} en una regi\'on
del espacio (o del plano para campos bidimensionales) si la
velocidad del fluido que pasa por los puntos de la regi\'on
considerada no cambia con el tiempo (n\'otese que esto no quiere
decir que el fluido no se est\'a moviendo). Por ejemplo se dice
que el flujo de agua por una tuber\'{\i}a es estacionario si en
cada punto de la tuber\'{\i}a la velocidad del fluido que pasa por
ese punto no cambia con el tiempo.


\begin{dfn}
Si $\bfm{F}$ es un campo vectorial, una {\bf l\'{\i}nea de flujo}
para $\bfm{F}$ es una trayectoria $\bfm{c}(t)$ tal que verifica el
sistema de EDO:
$$
\bfm{c}' (t)=\bfm{F}(\bfm{c}(t)).
$$
Esto es, el campo de velocidad de la trayectoria viene {\em
generado} (o producido) por el campo vectorial $\bfm{F}$.
\end{dfn}
En el contexto del flujo de agua por una tuber\'{\i}a una
l\'{\i}nea de flujo se puede asemejar a la trayectoria seguida por
una part\'{\i}cula {\em peque\~na} (con densidad igual a la del
fluido y rozamiento con \'el nulo) suspendida en el fluido. Por
ello, las l\'{\i}neas de flujo se llaman, apropiadamente, {\bf
l\'{\i}neas de corriente} o {\bf curvas integrales}. El vector
velocidad $\bfm{v}$ de un fluido es tangente a una l\'{\i}nea de
flujo y la expresi\'on de esta propiedad es $\bfm{v}\wedge \bfm{t}
=\bfm{0}$, que es la ecuaci\'on vectorial del sistema de EDO que
determina las l\'{\i}neas de flujo del campo dado por $\bfm{c}'
(t)=\bfm{F}(\bfm{c}(t))$. Si
$$
\bfm{c} (t)= (x (t),y (t),z (t)) =x (t)\bfm{i}+y (t)\bfm{j} +z
(t)\bfm{k} ,\qquad \bfm{F}=\bfm{v}=P\bfm{i}+Q\bfm{j}+R\bfm{k},
$$
siendo

$$
P= P(x,y,z),\qquad Q= Q(x,y,z),\qquad R= R(x,y,z),\qquad
$$
se tiene que el sistema de EDO es:

$$
\left\{\begin{array}{rcl} x' (t) & = & P (x (t), y(t),z(t)), \\
[0.2cm] \noindent{\smallskip} y' (t) & = & Q (x (t), y(t),z(t)), \\
[0.2cm] \noindent{\smallskip} z' (t) & = & Z (x (t), y(t),z(t)).
\end{array}\right.
$$

\bejem Probar que la trayectoria $\bfm{c}(t)=(\cos t,\sin t )$ es
una l\'{\i}nea de flujo para el campo $\bfm{F} (x,y)=(-y ,x )$.
Determinar las otras l\'{\i}neas de flujo. \enejem

En primer lugar, interpretamos el campo vectorial como un campo de
velocidades de un fluido:
$$
\bfm{F}(x,y)=\bfm{v}(x,y)=(v_x (x,y), v_y (x,y) )= (-y ,x )=-y
\bfm{i}+x \bfm{j}.
$$
La imagen de la trayectoria dada es un c\'{\i}rculo. Para que sea
una l\'{\i}nea de flujo debe verificar las ecuaciones $\bfm{c}'
(t)=\bfm{F}(\bfm{c} (t))$, lo que es cierto pues:
$$
\bfm{c}' (t) =-\sin (t )\bfm{i}+ \cos (t )\bfm{j}=F(\cos (t),\sin
(t) )= -\sin (t )\bfm{i}+ \cos (t )\bfm{j},
$$
as\'{\i} que tenemos una l\'{\i}nea de flujo. Las otras
l\'{\i}neas de flujo tambi\'en son c\'{\i}rculos. En efecto,
puesto que $P(x,y)=-y$, $Q(x,y)=x$ y no hay dependencia en la
variable $z$ (pues se trata de un flujo plano) se tiene que
resolver:

$$
\left\{\begin{array}{rcl}
x' (t) & = & - y(t), \\
\noindent{\smallskip} y' (t) & = & x (t),
\end{array}\right.
$$
sujeto a las condiciones iniciales $x(t_0 )=x_0$, $y(t_0 )=y_0$.

Utilizando las t\'ecnicas expuestas en el tema 14 de la asignatura
de Elementos de Matem\'aticas y recordando la operaci\'on de
exponenciaci\'on de matrices se deduce que las soluciones del
sistema son:

$$
\begin{array}{rcl}
x (t) & = & R \cos (t-t_0 ), \\
\noindent{\smallskip} y (t) & = & R \sin (t -t_0),
\end{array}
$$
es decir, las trayectorias:

$$
\bfm{c}(t)=(R \cos (t-t_0 ), R \sin (t-t_0 )),
$$
cuyas im\'agenes son las curvas dadas por todos los c\'{\i}rculos
centrados en el origen, de radio R y que {\em arrancan} en los
puntos del semieje positivo de las $x$ dados por $(x_0 ,y_0
)=(R,0)$. Por cada punto del plano $xy$ y en cada instante de
tiempo pasa una \'unica l\'{\i}nea de flujo.

\subsubsection{Flujo de un campo}
Es conveniente utilizar una notaci\'on especial para la \'unica
soluci\'on que pasa por un punto dado en el tiempo $t=0$. Es
posible razonar en una gen\'erica dimensi\'on $n$. \es

Se fija una condici\'on inicial $\bfm{x}_0 =\bfm{x}(0)\in\R^n$ y
se sigue a lo largo de la l\'{\i}nea de flujo durante un tiempo
$t$ hasta alcanzar la nueva posici\'on $\phi (\bfm{x} ,t)$. Es
decir, que $\phi (\bfm{x} ,t)\in\R^n$, se define como la
posici\'on del punto en la l\'{\i}nea de flujo que pasa por
$\bfm{x}_0$ despu\'es de haber transcurrido un tiempo $t$.
Matem\'aticamente esto se traduce diciendo que $\phi (\bfm{x} ,t)$
est\'a definida como la soluci\'on del PVI asociado al sistema:

$$
\left\{\begin{array}{rcl}
\dis \deri{}{t}\phi (\bfm{x} , t) & = & \bfm{F} (\phi (\bfm{x}, t)), \\
\noindent{\smallskip} \phi (\bfm{x} ,0) & = & \bfm{x}_0.
\end{array}\right.
$$
La funci\'on $\phi$, que se considera como funci\'on de las
variables $(\bfm{x} ,t)$, $\phi :\R^n \times [0,\infty )\to \R^n$
se llama {\bf flujo} de $\bfm{F}$. Se demuestra tambi\'en que
$\phi$ es una funci\'on diferenciable.

\es

El concepto de flujo nos permite introducir el concepto del
operador diferencial {\bf derivada material} de un campo escalar
$f$ res\-pec\-to a un campo vectorial $\bfm{F}$. En concreto, sea
$f(\bfm{x},t)$ una funci\'on con valores reales, $f:\R^n \times
[0,\infty )$ y sea $\bfm{F}:\R^n \to \R^n$ un campo vectorial.

\begin{dfn}
Se define la {\bf derivada material} de un campo escalar $f$ con
res\-pec\-to a un campo vectorial $\bfm{F}$ como:
$$
\dis \frac{Df}{Dt}\doteq \dis \deri{f}{t} +\nabla f(\bfm{x} )\cdot
\bfm{F}.
$$
\end{dfn}
La definici\'on anterior se interpreta observando que la derivada
material coincide con la derivada con respecto de $t$ de $f$
transportada por el flujo de $\bfm{F}$, es decir, la derivada con
respecto de $t$ de $f (\phi (\bfm{x},t ),t)$.

\subsubsection{Flujos potenciales}
Recordaremos en esta secci\'on las definiciones de la funci\'on
potencial para flujos irrotacionales (potenciales). Este tipo de
flujo es propio de los fluidos no viscosos (que m\'as adelante
caracterizaremos como ideales o perfectos). En efecto, en un
fluido sin viscosidad no pueden existir tensiones (fuerzas)
tangenciales o rasantes (de cizalla) sobre sus elementos, y las
fuerzas de presi\'on o campo que act\'uen sobre ellos, podr\'an
provocar deformaciones pero nunca rotaciones de los mismos.
Finalmente observamos que en los supuestos de flujo plano y
estacionario las l\'{\i}neas de corriente de un flujo potencial
siempre empiezan (y acaban) en el infinito.


\es

Sea $\bfm{v}=(v_x ,v_y ,v_z )$ un campo vectorial de velocidades
estacionario\footnote{Esta hip\'otesis no es absolutamente
necesaria. S\'olo simplifica el tratamiento matem\'atico.} tal que
$\bfm{w}=\mbox{rot}\bfm{v}=0$ (es decir con vorticidad $\bfm{w}$
nula). Entonces existe una funci\'on potencial $\phi (x,y,z)$ tal
que $\bfm{v}=\dis \nabla \phi$. Nos limitaremos aqu\'{\i} al caso
bidimensional. Dependiendo del sistema de coordenadas se tiene:
\vspace{0.5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{||l|l||} \hline\hline
{\bf Sistema de Coord.} & {\bf Funci\'on potencial $\phi$}      \\
\hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
Rectangulares & $\displaystyle \bfm{v} =\displaystyle \left( v_x
,v_y \right)=
\left( \deri{\phi}{x},\deri{\phi}{y}\right) $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Polares & $\displaystyle  \bfm{v} =\displaystyle \left( v_r
,v_\theta \right)= \left( \deri{\phi}{r},
\frac{1}{r}\deri{\phi}{\theta}\right)$ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\subsubsection{Flujos incompresibles}
Recordaremos brevemente las definiciones de la funci\'on de
corriente para flujos incompresibles en los sistemas de
coordenadas rectangulares y cil\'{\i}ndricas. \es

Obs\'ervese que los fluidos incompresibles se caracterizan por la
condici\'on de divergencia nula. Si la densidad del fluido es
constante entonces el fluido es, por supuesto, incompresible. Por
otra parte existen fluidos incompresibles cuya densidad no es
constante. En efecto, en condiciones isotermas, la compresibilidad
de un fluido, $c$, se define mediante:
$$
c=\dis \frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dp},
$$
siendo $\rho$ la densidad y $p$ la presi\'on del fluido. Si el
fluido es incompresible:
$$
\dis\frac{d\rho}{dp} =0.
$$
Esto se cumple obviamente si $\rho$ (la densidad) es constante en
todo el fluido. Tambi\'en se puede cumplir si $\rho$ no es
constante {\it pero es independiente de la presi\'on}, $\rho =\rho
(\bfm{x})$, $\bfm{x}\in \Omega$, como por ejemplo en el caso de
flujos multif\'asicos incompresibles (agua-petr\'oleo, por
ejemplo). En este sentido la incompresibilidad se puede traducir
como {\em constancia de la densidad respecto a la presi\'on}
(aunque pueda depender de otras variables que no sean a su vez
funci\'on de la posici\'on. \es

El flujo de un l\'{\i}quido siempre es incompresible (digamos que
se puede despreciar el efecto de la compresibilidad) pero el flujo
de un gas podr\'a tambi\'en ser considerado como tal (es decir
puede fluir sin importantes variaciones de su densidad) si el
flujo es subs\'onico\footnote{La clasificaci\'on del flujo de un
gas en subs\'onico (flujo incompresible) y trans\'onico,
supers\'onico o hipers\'onico (flujos compresibles) se realiza
mediante el c\'alculo del n\'umero de Mach que expresa la
relaci\'on entre la velocidad media del gas y la del sonido en su
seno.} pero no deja de ser m\'as que una idealizaci\'on.


Sea $\bfm{v}=(v_x ,v_y ,v_z )$ un campo vectorial de velocidades
estacionario tal que $\mbox{div}\bfm{v}=0$ (es decir con
divergencia nula). Entonces existe una funci\'on de corriente
$\psi (x,y,z)$ tal que $\bfm{v}\cdot \nabla\psi =0$. Nos
limitaremos aqu\'{\i} al caso bidimensional luego tendremos,
respectivamente, cuatro casos:\vspace{-0.3cm}
\begin{enumerate}
\item[I] Coordenadas rectangulares con $v_z =0$
y ninguna dependencia en la variable $z$.\vspace{-0.2cm}
\item[II] Coordenadas cil\'{\i}ndricas con $v_z =0$
y ninguna dependencia en la variable $z$ (son equivalentes a las
coordenadas polares).\vspace{-0.2cm}
\item[III] Coordenadas cil\'{\i}ndricas con $v_\theta =0$
y ninguna dependencia en la variable $\theta$.\vspace{-0.2cm}
\item[IV] Coordenadas Esf\'ericas con $v_\phi =0$
y ninguna dependencia en la variable $\phi$.\vspace{-0.2cm}
\end{enumerate}

Dependiendo del sistema de coordenadas se tiene: \vspace{0.2cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{||l|l||} \hline\hline
{\bf Sistema de Coord.} & {\bf Funci\'on de corriente}      \\
\hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
I)\quad Rectangulares con $v_z =0$ & $\displaystyle \bfm{v}
=\displaystyle \left( v_x ,v_y \right)=
\left( \deri{\psi}{y},-\deri{\psi}{x}\right) $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
II)\quad Cil\'{\i}ndricas con $v_z =0$ & $\displaystyle \bfm{v}
=\displaystyle \left( v_r ,v_\theta \right)= \left(
\frac{1}{r}\deri{\psi}{\theta},- \deri{\psi}{r},
\right)$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
III)\quad Cil\'{\i}ndricas con $v_\theta =0$ & $\displaystyle
\bfm{v} =\displaystyle \left( v_r ,v_z \right)= \left(
\frac{1}{r}\deri{\psi}{z},- \frac{1}{r}\deri{\psi}{r},
\right)$ \\
&   \\ \hline
& \\
IV)\quad Esf\'ericas con $v_\phi =0$ & $\displaystyle  \bfm{v}
=\displaystyle \left( v_r ,v_\theta \right)= \left( \frac{1}{r^2
\sin\theta }\deri{\psi}{\theta},- \frac{1}{r\sin\theta}
\deri{\psi}{r}
\right)$ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}


\subsubsection{Fluidos perfectos}
Deduciremos ahora la {\bf ecuaci\'on de Euler} para un {\bf fluido
perfecto} (o ideal) entendiendo por ello un fluido que fluye sin
viscosidad\footnote{En muchos textos (v\'ease por ejemplo el vol.
2 sobre fen\'omenos de Transporte, cap\'{\i}tulo 1, secci\'on 7.4,
pag 50 de los libros de Costa Novella) se identifican los fluidos
perfectos como los fluidos cuyo flujo es no viscoso, incompresible
e irrotacional. Otros textos a\~naden la hip\'otesis de flujo
estacionario.} (el an\'alogo del rozamiento entre los s\'olidos).
El flujo {\em real} es el flujo de los fluidos reales con
viscosidad apreciable, siempre rotacional. \es


Consideremos un fluido no viscoso que se mueve en un campo de
velocidad $\bfm{v}$. Cuando decimos que el fluido es perfecto
queremos decir que en cualquier parte del fluido $\Omega$,
act\'uan fuerzas de presi\'on sobre la frontera $\partial \Omega$
a lo largo de su normal. Suponemos que la fuerza por unidad de
\'area que act\'ua sobre $\partial \Omega$ es $-p\bfm{n}$, siendo
$p(x,y,z,t)$ la funci\'on de {\bf presi\'on} (es un campo
escalar). As\'{\i} la fuerza total de presi\'on que act\'ua sobre
$\partial \Omega$ es:
$$
\dis \bfm{F}_{\partial \Omega}
=\mbox{Fuerza}\,=-\int\!\!\int_{\partial\Omega} p\bfm{n}d S.
$$
\'Esta es una cantidad vectorial. Si aplicamos el teorema de la
divergencia a cada componente del campo vectorial de fuerzas se
tiene que:

$$
\dis \bfm{F}_{\partial \Omega} =-\int\!\!\int\!\!\int_{\Omega}
\nabla pdxdydz.
$$
Sea $\phi_t (\bfm{x})=\phi (\bfm{x},t)$ el flujo del campo
$\bfm{v}$ y sea $\Omega_t =\phi_t (\Omega )$ una regi\'on en
movimiento. Aplicando la segunda ley de Newton a $\Omega_t$, la
raz\'on de cambio (la variaci\'on) de la cantidad de movimiento de
$\Omega_t$ es igual a la fuerza que act\'ua sobre ella:
$$
\dis \frac{d}{dt}\tr_{\Omega_t} \rho\bfm{v}dxdydz = \dis
\bfm{F}_{\partial \Omega_t } =-\dis
\int\!\!\int\!\!\int_{\Omega_t} \nabla p\,dxdydz.
$$
Utilizando la {\bf ecuaci\'on del transporte} que afirma que en
cualquier regi\'on $\Omega_t$ que se mueve con el fluido se tiene:

$$
\dis \frac{d}{dt}\tr_{\Omega_t} f(x,y,z,t)dxdydz = \dis
\tr_{\Omega_t}\left( \frac{Df}{Dt}+f\mbox{div}\bfm{F}\right)
dxdydz,
$$
(siendo $Df/Dt$ el operador de derivaci\'on material) y aplicando
el {\bf teorema del transporte} se obtiene:

$$
\dis \tr_{\Omega_t}\left[ \deri{}{t}(\rho \bfm{v} )+ \bfm{v}\cdot
\nabla (\rho \bfm{v}) +\rho \bfm{v}\mbox{div}\bfm{v}\right] dxdydz
=-\dis \tr_{\Omega_t} \nabla p\,dxdydz.
$$
Puesto que $\Omega_t$ es arbitraria (es decir que lo anterior es
cierto para cualquier regi\'on que se mueve con el fluido), esto
es equivalente a

$$
\dis  \deri{}{t}(\rho \bfm{v} )+ \bfm{v}\cdot \nabla (\rho
\bfm{v}) +\rho \bfm{v}\mbox{div}\bfm{v} =-\dis\nabla p.
$$
Utilizando la ecuaci\'on de continuidad $\rho_t
+\mbox{div}\bfm{J}=0$ siendo $\bfm{J}=\rho\bfm{v}$ escrita en la
forma:
$$
\dis \deri{\rho}{t}+\bfm{v}\cdot \nabla \rho +\rho\mbox{div}
\bfm{v} =0,
$$
se deduce:

\begin{equation}\label{aeuler}
\rho \left(\deri{ \bfm{v}}{t}+\bfm{v}\cdot \nabla \bfm{v}
\right)=-\nabla p,
\end{equation}
que es la ecuaci\'on de Euler para un fluido perfecto. Para
fluidos compresibles, $p$ (la presi\'on) es una funci\'on dada
(conocida) de $\rho$ (por ejemplo, para muchos gases
$p=A\rho^\gamma$ para constantes $A$ y $\gamma$ dadas). Si, por
otra parte el fluido es incompresible, $p$ se determina a partir
de la condici\'on $\mbox{div}\bfm{v}=0$. En este caso, la
condici\'on de divergencia nula complementada con la ecuaci\'on de
Euler (\ref{aeuler}) gobiernan el movimiento del fluido.

%\newpage
\subsection{Representaciones de curvas y superficies} %apostol 2, pag 509 cap 12
Existen b\'asicamente tres m\'etodos de representaci\'on de
superficies que permiten expresar anal\'{\i}ticamente tal lugar
geom\'etrico\footnote{ Una superficie, a groso modo, puede
identificarse con el lugar geom\'etrico de un punto que se mueve
en el espacio con dos grados de libertad. V\'ease el libro de
Apostol, Vol 2, cap\'{\i}tulo 12.} . Uno es la {\em
representaci\'on impl\'{\i}cita} en el que se considera una
superficie como un conjunto de puntos $(x,y,z)$ que satisfacen una
ecuaci\'on de la forma:
$$
F(x,y,z)=0.
$$
Por ejemplo, la esfera de radio 1 y centro en el origen tiene la
representaci\'on impl\'{\i}cita:
$$
x^2 +y^2 +z^2 -1=0.
$$


Algunas veces (v\'ease la secci\'on 9.13 del gui\'on del primer
curso dedicada a las funciones definidas impl\'{\i}citamente)
podemos despejar en la ecuaci\'on una de las coordenadas en
funci\'on de las otras dos, por ejemplo, $z$ en funci\'on de $x$ e
$y$. Cuando esto es posible obtenemos una {\em representaci\'on
expl\'{\i}cita} dada por una o varias ecuaciones de la forma:
$$
z=f(x,y).
$$
Por ejemplo, al despejar $z$ en la representaci\'on impl\'{\i}cita
anterior de la esfera se tiene:
$$
z=\dis \sqrt{1-x^2 -y^2},\qquad z=\dis -\sqrt{1-x^2 -y^2}.
$$
La primera es la representaci\'on expl\'{\i}cita de la semiesfera
superior y la segunda de la inferior. \es

Existe un tercer m\'etodo de representaci\'on de superficies que
es m\'as \'util en el estudio de las mismas; es la {\em
representaci\'on param\'etrica} o {\em vectorial} por medio de
tres ecuaciones que expresan $x$, $y$, $z$ en funci\'on de dos
par\'ametros $u$ y $v$:

\begin{equation}\label{reprepara}
x=X(u,v),\qquad y=Y(u,v),\qquad z=Z(u,v).
\end{equation}
Aqu\'{\i} el punto $(u,v)$ puede variar en un conjunto conexo
bidimensional $\Omega$ en el plano $uv$, y los puntos $(x,y,z)$
correspondientes constituyen una porci\'on de superficie en el
espacio $\R^3$. Este m\'etodo es an\'alogo al de la
representaci\'on de una curva en $\R^3$ mediante tres ecuaciones
con un solo par\'ametro. La presencia de los dos par\'ametros en
(\ref{reprepara}) permite transmitir dos grados de libertad al
punto $(x,y,z)$. Si introducimos el radio vector que une el origen
con un punto gen\'erico $(x,y,z)$ de la superficie, podemos
combinar las tres ecuaciones param\'etricas (\ref{reprepara}) en
una ecuaci\'on vectorial de la forma:

\begin{equation}\label{radiovec}
\bfm{r}(u,v)=X(u,v)\bfm{i}+Y(u,v)\bfm{j}+Z(u,v)\bfm{k},
\end{equation}
donde $(u,v)\in \Omega$. \'Esta es la llamada {\em ecuaci\'on
vectorial} de la superficie. Existen muchas representaciones
param\'etricas de la misma superficie. Una de ellas puede
obtenerse a partir de la forma expl\'{\i}cita $z=f(x,y)$, tomando:
$$
X(u,v)=u,\qquad Y(u,v)=v ,\qquad Z(u,v)=f(u,v).
$$

\bejem La representaci\'on param\'etrica de una esfera de radio
$a$ y centro en el origen es:

$$
x=a\cos u\cos v ,\qquad y= a\sin u\cos v ,\qquad z=a\sin v.
$$
Si elevamos al cuadrado las tres ecuaciones y sumamos resulta
$$
x^2 +y^2 +z^2 =a^2
$$
y vemos que todo punto $(x,y,z)$ que satisface las ecuaciones
param\'etricas est\'a en la esfera. \enejem

Consid\'erese ahora una superficie representada por la ecuaci\'on
vectorial (\ref{radiovec}). Si $X$, $Y$ y $Z$ son derivables en
$\Omega$ podemos considerar los dos vectores:
$$
\dis \deri{\bfm{r}}{u} =\dis \deri{X}{u}\bfm{i}+\deri{Y}{u}\bfm{j}
+\deri{Z}{u}\bfm{k},\qquad \dis \deri{\bfm{r}}{v}
=\deri{X}{v}\bfm{i}+\deri{Y}{v}\bfm{j} +\deri{Z}{v}\bfm{k}.
$$
Ambos vectores son tangentes a la superficie. M\'as concretamente,
el vector $\dis \partial \bfm{r}/\partial u$ es tangente a una
$u$-curva en la superficie (con la expresi\'on $u$-curva se
entiende una curva en la superficie que se obtiene manteniendo $v$
constante) y el vector $\dis \partial \bfm{r}/\partial v$ es
tangente a una $v$-curva en la superficie (una curva en la
superficie que se obtiene manteniendo $u$ constante). En general
estos vectores no son ortogonales entre ellos y tampoco son
unitarios. Sin embargo su producto vectorial es ortogonal a ambos
luego es normal a la superficie. El producto vectorial:
$$
\dis \bfm{N}\doteq \dis \deri{\bfm{r}}{u}\wedge \deri{\bfm{r}}{v}
= \bfm{r}_{u}\wedge \bfm{r}_{v},
$$
se denomina {\bf producto vectorial fundamental} de la
representaci\'on $\bfm{r}$. Si $(u,v)$ es un punto en $\Omega$ en
el cual $\partial\bfm{r}/\partial u$ y $\partial\bfm{r}/\partial
v$ son continuas y el producto vectorial fundamental no es nulo,
el punto imagen $\bfm{r}(u,v)$ se llama {\em punto regular} de
$\bfm{r}$. Los puntos donde al menos una de estas condiciones no
se verifica se llaman puntos singulares. Una superfice se llama
{\bf regular} si todos sus puntos son regulares. En cada punto
regular los vectores $\partial\bfm{r}/\partial u$ y
$\partial\bfm{r}/\partial v$ determinan un plano que tiene el
vector $\partial\bfm{r}/\partial u \wedge \partial\bfm{r}/\partial
v$ como normal. Por esta raz\'on el plano determinado por
$\partial\bfm{r}/\partial u $ y $ \partial\bfm{r}/\partial v$ se
llama {\bf plano tangente}. En cada punto regular de una
superficie se designa como $\bfm{n}$ al vector unitario normal que
tenga el mismo sentido que el producto vectorial fundamental:
$$
\bfm{n}=\dis \dis \frac{\dis  \deri{\bfm{r}}{u}\wedge
\deri{\bfm{r}}{v} }{ \dis \left\| \deri{\bfm{r}}{u}\wedge
\deri{\bfm{r}}{v}\right\| } = \dis \frac{\bfm{r}_{u}\wedge
\bfm{r}_{v}}{\left\| \bfm{r}_{u}\wedge \bfm{r}_{v}\right\|}.
$$
La continuidad de las derivadas parciales implica la continuidad
de su producto vectorial y esto, a su vez, significa que el plano
tangente se mueve con continuidad en una superfice regular. \es

\beobse Una manera alternativa de calcular un vector normal
unitario consiste en representar la superficie como $S(x,y,z)=0$ y
utilizar la f\'ormula:
$$
\bfm{n}=\dis \frac{\nabla S}{\left\| \nabla S \right\|}.
$$
\enobse \es

Aplicando lo anterior veremos ahora c\'omo se determina el vector
normal a una superficie con representaci\'on expl\'{\i}cita
$z=f(x,y)$.

Para ello podemos usar $x$ e $y$ como par\'ametros lo que nos
proporciona la ecuaci\'on vectorial:

$$
\bfm{r}(x,y)=x\bfm{i}+y\bfm{j}+f(x,y)\bfm{k}.
$$
Para calcular el producto vectorial fundamental observemos que, si
$f$ es diferenciable,
$$
\dis \deri{\bfm{r}}{x} =\bfm{i}+\deri{f}{x}\bfm{k},\qquad \dis
\deri{\bfm{r}}{y} =\bfm{j} +\deri{f}{y}\bfm{k}.
$$
Esto nos conduce a:
$$
\dis \deri{\bfm{r}}{u}\wedge \deri{\bfm{r}}{v}= -\dis
\deri{f}{x}\bfm{i}-\deri{f}{y}\bfm{j} +\bfm{k}.
$$
N\'otese que el producto vectorial fundamental nunca es nulo para
este tipo de re\-pre\-sen\-ta\-ci\'on puesto que la componente $z$
del producto vale $1$. Los \'unicos puntos singulares que pueden
presentarse son los puntos en los que al menos una de las
derivadas parciales $f_x$ o $f_y$ no es continua.

\bejem Calcular el vector normal a la superficie dada por la
ecuaci\'on:
$$
z=f(x,y)=\dis\sqrt{1-x^2-y^2},
$$
que representa un hemisferio de radio $1$ y centro en el origen si
$x^2 +y^2 \leq 1$. \enejem

En primer lugar parametrizamos la superficie usando $x$ e $y$ como
par\'ametros. La ecuaci\'on vectorial es:
$$
\bfm{r}(x,y)=x\bfm{i}+y\bfm{j}+ \dis \left(
\sqrt{1-x^2-y^2}\right) \bfm{k}.
$$
N\'otese que $\bfm{r}$ aplica el disco unidad $D=\{(x,y)\,:\, x^2
+y^2 \leq 1 \,\}$ sobre el hemisferio y dicha aplicaci\'on es uno
a uno\footnote{Recu\'erdese que esto quiere decir que puntos
distintos en el disco unidad tienen imagen distinta en el
hemisferio.}. Las derivadas parciales $\partial \bfm{r}/\partial
x$, $\partial \bfm{r}/\partial y$ existen y son continuas en el
interior del disco pero no existen en su frontera. Por
consiguiente todo punto del ecuador es un punto singular de esta
representaci\'on. En el interior del disco (donde $f$ es
diferenciable) se tiene:
$$
\dis \deri{\bfm{r}}{x}=\bfm{i}+\deri{f}{x}\bfm{k}
=\bfm{i}-\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\bfm{k},
$$

$$
\dis \deri{\bfm{r}}{y}=\bfm{j}+\deri{f}{y}\bfm{k}
=\bfm{j}-\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\bfm{k}.
$$
El producto vectorial fundamental es:
$$
\deri{\bfm{r}}{x}\wedge \deri{\bfm{r}}{y}
=-\deri{f}{x}\bfm{i}-\deri{f}{y}\bfm{j} +\bfm{k} =
\frac{x}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\bfm{i}+\frac{y}{\sqrt{1-x^2-y^2}}\bfm{j}
+\bfm{k},
$$
luego su norma es
$$
\left\| \deri{\bfm{r}}{u}\wedge \deri{\bfm{r}}{v}\right\| =\dis
\sqrt{\frac{x^2}{1-x^2-y^2}+\frac{y^2}{1-x^2-y^2} +1} =\dis
\sqrt{\frac{1}{1-x^2 -y^2}}= \dis \frac{1}{\sqrt{1-x^2 -y^2}}.
$$
El vector unitario normal a la superficie ser\'a por tanto,
$$
\bfm{n}=\dis \dis \frac{\dis  \deri{\bfm{r}}{x}\wedge
\deri{\bfm{r}}{x} }{ \dis \left\| \deri{\bfm{r}}{x}\wedge
\deri{\bfm{r}}{x}\right\| } =\left( \dis x,y,\sqrt{1-x^2 -y^2
}\right).
$$
N\'otese que es unitario pues $\dis \left\| \bfm{n}\right\|
=x^2+y^2 +1 -x^2 -y^2 =1$.

\es

A continuaci\'on se presentan unas tablas para los distintos
sistemas de coordenadas m\'as utilizados, la expresi\'on de los
operadores vectoriales de derivaci\'on en cada uno de los sistemas
y la forma final de las ecuaciones de conservaci\'on utilizadas en
numerosos problemas.



\subsection{Tablas de operadores diferenciales}
Es habitual trabajar en alguno de los tres sistemas de coordenadas
siguientes: coor\-de\-na\-das cartesianas (tambi\'en llamadas
rectangulares),
%coordenadas polares,
coordenadas cil\'{\i}ndricas y coordenadas esf\'ericas.

Las coordenadas polares, que se usan en $\R^2$, se pueden obtener
f\'acilmente al proyectar en el plano $z\equiv 0$ las coordenadas
cil\'{\i}ndricas y no ser\'an descritas como caso aut\'onomo sino
que se considerar\'an como un caso particular de las
cil\'{\i}ndricas (que representan por tanto su generalizaci\'on a
$\R^3$).

%Ya se han introducido estos sistemas de coordenadas en el tema 11
%de la asignatura de primer curso al considerar el problema de la
%integraci\'on m\'ultiple en dos y tres dimensiones, pues hemos
%visto que ciertas curvas tienen una descripci\'on (ecuaci\'on)
%m\'as simple en coordenadas polares que en cartesianas o ciertas
%superficies y s\'olidos en el espacio se pueden describir m\'as
%f\'acilmente en coordenadas ci\'{\i}ndricas y esf\'ericas que en
%cartesianas. Su utilidad fue por tanto simplificar la operaci\'on
%de integraci\'on m\'ultiple para el c\'alculo, por ejemplo, de
%\'areas, vol\'umenes, centros de gravedad y momentos de inercia.
%En el tema 12 de la asignatura de primer curso dedicado a la
%teor\'{\i}a de campos se definieron los operadores de derivaci\'on
%vectoriales gradiente, divergencia y rotacional. Recordaremos
%aqu\'{\i} su expresi\'on en t\'erminos del sistema de coordenadas
%empleado. Antes, daremos unas sencillas f\'ormulas de conversi\'on
%entre los distintos sistemas de referencia en el caso espacial
%tridimensional. Una gran cantidad de ejemplos donde se puede
%apreciar la importancia del sistema de coordenadas utilizado en el
%proceso de clasificaci\'on y resoluci\'on de una ecuaci\'on
%diferencial se pueden encontrar en el tema 2 de estos guiones
%as\'{\i} como en el Vol. 2 del libro de Costa Novella sobre
%Fen\'omenos de Transporte.

La notaci\'on utilizada ser\'a: $(x,y,z)$ para la localizaci\'on
de un punto en coordenadas cartesianas, $(r,\theta ,z)$ para la
localizaci\'on de un punto en coordenadas cil\'{\i}ndricas y
$(\rho ,\theta ,\phi)$ para la localizaci\'on de un punto en
coordenadas esf\'ericas.


%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||l|c||} \hline\hline
{\bf  Coordenadas} & {\bf F\'ormulas de conversi\'on}      \\
\hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas $\to$ Cartesianas & $x=r\cos\theta, \qquad
y=r\sin\theta,\qquad z=z$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cartesianas $\to$ Cil\'{\i}ndricas & $\displaystyle
r=\sqrt{x^2 +y^2},\qquad \tan\theta =(y/x), \qquad z=z$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas $\to$ Cartesianas & $x=\rho\sin\phi \cos\theta,\qquad
y=\rho\sin\phi \sin\theta,\qquad z=\rho\cos\phi$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cartesianas $\to$ Esf\'ericas & $\rho=\sqrt{x^2 +y^2 +z^2},\qquad
\tan\theta =(y/x )$, \\ [0.3cm]
 & $\phi =\mbox{arccos}\displaystyle
\left(\frac{z}{\sqrt{x^2 +y^2 +z^2}}
\right)$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas $\to$ Cil\'{\i}ndricas & $r=\rho\sin\phi ,\qquad
\theta =
\theta ,\qquad z=\rho\cos\phi$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas $\to$ Esf\'ericas & $\rho=\sqrt{r^2 +z^2},\qquad
\theta =\theta ,\qquad \phi =\mbox{arccos}\dis
\left(\frac{z}{\sqrt{r^2 +z^2}}
\right)$ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}




\subsubsection{Operador Divergencia}
Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de
distinta manera. Si el campo vectorial $\bfm{v}$ viene dado en
coordenadas rectangulares entonces $\bfm{v}=(v_x ,v_y ,v_z )$. Si
viene dado en coordenadas cil\'{\i}ndricas entonces $\bfm{v}=(v_r
,v_\theta ,v_z )$ y si viene dado en coordenadas esf\'ericas
entonces $\bfm{v}=(v_r ,v_\theta ,v_\phi )$. \vspace{0.5cm}

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||l|l||} \hline\hline
{\bf  Coordenadas} & {\bf Operador de Divergencia}      \\
\hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
Rectangulares & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v} =\displaystyle
\deri{v_x}{x}+\deri{v_y}{y}+\deri{v_z}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v}
=\displaystyle \frac{1}{r}\deri{}{r}(rv_r )+\displaystyle
\frac{1}{r}\deri{v_\theta}{\theta} +\deri{v_z}{z}=\deri{v_r}{r}
+\frac{1}{r}v_r +\displaystyle \frac{1}{r}\deri{v_\theta}{\theta}
+\deri{v_z}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v} =\displaystyle
\frac{1}{r^2 }\deri{}{r}(r^2 v_r )+\displaystyle \frac{1}{r\sin
\theta} \deri{}{\theta} (v_{\theta}\sin\theta )+\displaystyle
\frac{1}{r\sin \theta}
\deri{v_\phi}{\phi}  $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}
%\newpage

\subsubsection{Operador Derivada Material}
Las leyes generales de conservaci\'on en mec\'anica de fluidos se
pueden escribir m\'as f\'acilmente en t\'erminos del operador
diferencial:

\begin{equation}\label{derimat}
\dis \frac{D}{Dt}\equiv \deri{}{t}+\bfm{v}\cdot \nabla,
\end{equation}
que se conoce con el nombre de {\bf derivada material}. La
derivada material tiene un significado f\'{\i}sico concreto: es la
tasa de cambio de un campo escalar vista por un observador que se
mueve con el fluido. Por ejemplo, aparece en la ecuaci\'on de
conservaci\'on de la energ\'{\i}a aplicado al campo escalar de
temperaturas. Tambi\'en se aplica a un campo vectorial (por
ejemplo, el campo de velocidades) actuando componente a
componente. \vspace{0.5cm}

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c||} \hline\hline
{\bf Coordenadas} & {\bf Operador de Derivada Material aplicado a
$T$}      \\ \hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
Rectangulares $T(x,y,z,t)$ & $\displaystyle \frac{DT}{Dt}
=\displaystyle \deri{T}{t}+
v_x \deri{T}{x}+v_y \deri{T}{y}+v_z \deri{T}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas $T(r, \theta,z,t)$ & $\displaystyle \frac{DT}{Dt}
=\displaystyle \deri{T}{t}+
v_r \deri{T}{r}+\dis \frac{v_\theta}{r} \deri{T}{\theta}+v_z \deri{T}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas $T(r,\theta,\phi,t)$ & $\displaystyle \frac{DT}{Dt}
=\displaystyle \deri{T}{t}+ v_r \deri{T}{r}+\dis
\frac{v_\theta}{r} \deri{T}{\theta}+\dis
\frac{v_{\phi}}{r\sin\theta}  \deri{T}{\phi}  $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}

%\newpage
Consideremos el mismo operador pero aplicado al campo vectorial de
velocidades:

\begin{equation}\label{aderimat}
\dis \frac{D\bfm{v}}{Dt}\equiv \deri{\bfm{v}}{t}+\bfm{v}\cdot
\nabla \bfm{v}.
\end{equation}
Se tiene entonces:

\vspace{2.0cm}

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c||} \hline\hline
{\bf Coord. Rectangulares} & {\bf Operador de Derivada Material
aplicado a $\bfm{v}$}      \\ \hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
$v_x (x,y,z)$ & $\displaystyle \frac{Dv_x }{Dt} =\displaystyle
\deri{v_x}{t}+
v_x \deri{v_x}{x}+v_y \deri{v_x}{y}+v_z \deri{v_x}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
$v_y (x,y,z)$ & $\displaystyle \frac{Dv_y }{Dt} =\displaystyle
\deri{v_y}{t}+ v_x \deri{v_y}{x}+v_y \deri{v_y}{y}+v_z
\deri{v_y}{z}
  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
$v_z (x,y,z)$ & $\displaystyle \frac{Dv_z }{Dt} =\displaystyle
\deri{v_z}{t}+
v_x \deri{v_z}{x}+v_y \deri{v_z}{y}+v_z \deri{v_z}{z}  $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}
%\newpage



\subsubsection{Operador Laplaciano}
El operador laplaciano puede aparecer\footnote{Por ejemplo no
aparece al trabajar con fluidos perfectos que satisfacen la
ecuaci\'on de Euler.} en las ecuaciones de conservaci\'on de la
cantidad de movimiento y de la energ\'{\i}a. En el primer caso (es
decir considerando la ecuaci\'on de conservaci\'on de la cantidad
de movimiento) es sabido que para un fluido newtoniano con
densidad y viscosidad constantes se tiene:

$$
\dis \nabla \cdot [\tau ] =\mu\nabla^2 \bfm{v},
$$
siendo $[\tau ]$ el tensor de tensiones (que denotamos como una
matriz cuadrada)\footnote{No consideraremos en este curso la
definici\'on de tensor. S\'olo observamos que un escalar se puede
considerar un tensor de orden cero, un vector se considera un
tensor de orden uno y que que un tensor de segundo orden en el
espacio tridimensional es un objeto matem\'atico que se puede
representar como un conjunto ordenado de nueve n\'umeros. Cada uno
de ello se asocia con dos direcciones. Habitualmente se utilizan
las matrices para denotar los tensores.} (o fuerzas) viscosas,
siendo $\mu$ la viscosidad del fluido. T\'{\i}picamente se denota
$\nabla^2 \bfm{v}=\Delta \bfm{v} $. En el segundo caso, al aplicar
la ley de conducci\'on del calor de Fourier se tiene:

$$
-\nabla\cdot \bfm{q} =-\nabla\cdot (-k\nabla T ) =k\nabla^2 T,
$$
siendo $\bfm{q}$ el vector de flujo (de calor) y $k$ la
conductibilidad calor\'{\i}fica. Nuevamente se suele denotar
$\nabla^2 T=\Delta T$. En general dado un campo escalar
$u(x,y,z,t)$ (que puede ser $T$ o una componente del campo de
velocidades) se tiene: \vspace{0.5cm}

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||c|c||} \hline\hline
{\bf  Coordenadas} & {\bf Operador Laplaciano}      \\
\hline\hline
% *********************************************************
  &   \\
Rectangulares %$u(x,y,z,t)$
& $\displaystyle \Delta u =\displaystyle
\dderi{u}{x}+ \dderi{u}{y}+ \dderi{u}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas %$u(r, \theta,z,t)$
& $\displaystyle \Delta u =\displaystyle \frac{1}{r}
\deri{}{r}\left( r\dis  \deri{u}{r}\right)+
\frac{1}{r^2}\dderi{u}{\theta}+\dderi{u}{z}=\dderi{u}{r}
+\frac{1}{r} \deri{u}{r} +\displaystyle
\frac{1}{r^2}\dderi{u}{\theta}
+\dderi{u}{z}  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas %$T(r,\theta,\phi,t)$
& $\displaystyle \Delta u =\displaystyle \frac{1}{r^2 }
\deri{u}{r}\left( r^2 \dis  \deri{u}{r}\right)+ \frac{1}{r^2
\sin\phi}\deri{}{\phi}\left( \sin\phi \deri{u}{\phi}\right)+
\frac{1}{r^2 \sin^2 \phi}\left( \dderi{u}{\theta}
\right)  $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Radiales & $\displaystyle \Delta u =\displaystyle \frac{1}{r^{N-1}
} \deri{}{r}\left( r^{N-1} \dis  \deri{u}{r}\right)=
\dis\dderi{u}{r}+\frac{(N-1)}{r}\deri{u}{r},\quad N=1,2,3  $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}

\vspace{0.5cm}





%\newpage

\subsection{Tablas de Ecuaciones}
Recordaremos aqu\'{\i} las expresiones en distintos sistemas de
coordenadas de las ecuaciones b\'asicas que aparecen en los
problemas de transporte de la mec\'anica de fluidos.

\subsubsection{Ecuaci\'on de continuidad}

%En mec\'anica de fluidos se la suele conocer
%con el nombre de ecuaci\'on de continuidad.
En general se corresponde a la ley de conservaci\'on de la materia
total (v\'ease por ejemplo la ecuaci\'on 3.75 del vol. 2 del libro
de Costa Novella). En forma de balance local de masa:

\begin{equation}\label{eccon1}
\dis \deri{\rho}{t}+\dis\nabla\cdot (\rho \bfm{v}) =0,
\end{equation}
siendo $\rho$ la densidad de masa por unidad de volumen y
$\bfm{v}$ el campo de velocidades\footnote{Recu\'erdese que en
Mec\'anica de Medios Continuos se entiende por fluido un cuerpo
cuyas mol\'eculas tienen poca coherencia entre si, de modo que
pueden deslizarse libremente una sobre otras (l\'{\i}quidos), o
separase y desplazarse con completa independencia (gases), tomando
siempre la forma del recipiente que lo contiene.}.
De\-sa\-rro\-llan\-do las operaciones de derivaci\'on que aparecen
en (\ref{eccon1}) se tiene:
\begin{equation}\label{mari}
\dis \deri{\rho}{t}+\bfm{v}\cdot \nabla\rho +\rho \nabla\cdot
\bfm{v} =0.
\end{equation}
Esta ecuaci\'on (o su forma m\'as compacta (\ref{eccon1})) expresa
la conservaci\'on de materia en fen\'omenos en que esta se
transporta s\'olo convectivamente (por ejemplo en el movimiento de
un fluido). Pero no es el caso m\'as general pues no incluye otras
formas de transporte. La identificaci\'on de la ecuaci\'on de
conservaci\'on de la masa con el nombre de {\bf ecuaci\'on de
continuidad} es propio de la mec\'anica de
fluidos\footnote{N\'otese que la mec\'anica de fluidos abarca la
hidrost\'atica, la hidrodin\'amica (para fluidos incompresibles) y
la aerodin\'amica (para fluidos compresibles) subs\'onica o
supers\'onica.} y es una consecuencia de aplicar la ley de
conservaci\'on de la materia al fluido. Volviendo al ejemplo
(\ref{gas}) (que describe el movimiento unidimensional de un gas)
ponemos  $\bfm{v}=u(x)$, $\mbox{div}\bfm{v}=u_x$, $\dis \nabla\rho
=\rho_x$ y vemos que la ecuaci\'on de conservaci\'on de la masa
propuesta en (\ref{gas}):
$$
\dis \rho \deri{u}{x}+u\deri{\rho}{x}+\deri{\rho}{t}=0,
$$
es del tipo (\ref{mari}) siendo $\bfm{v}\cdot \nabla\rho =u\rho_x$
y $\rho (\nabla\cdot \bfm{v})=\rho u_x$. \es

Si la densidad del fluido es constante (fluidos incompresibles) la
ecuaci\'on de continuidad se simplifica a la condici\'on de
divergencia nula:


\begin{equation}\label{eccon2}
\dis\nabla\cdot \bfm{v} =0,
\end{equation}
que es la expresi\'on matem\'atica de la conservaci\'on de la masa
para materiales incompresibles (representados por campos cuya
divergencia es nula). \es

Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de
distinta manera. \vspace{0.5cm}

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||l|l||} \hline\hline
{\bf Sistema de Coord.} & {\bf Ecuaci\'on de continuidad para
fluidos incomp.}      \\ \hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
Rectangulares & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v} =\displaystyle
\deri{v_x}{x}+\deri{v_y}{y}+\deri{v_z}{z} =0 $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Cil\'{\i}ndricas & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v}
=\displaystyle \frac{1}{r}\deri{}{r}(rv_r )+\displaystyle
\frac{1}{r}\deri{v_\theta}{\theta}
+\deri{v_z}{z} =0 $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
Esf\'ericas & $\displaystyle \nabla \cdot \bfm{v} =\displaystyle
\frac{1}{r^2 }\deri{}{r}(r^2 v_r )+\displaystyle \frac{1}{r\sin
\theta} \deri{}{\theta} (v_{\theta}\sin\theta )+\displaystyle
\frac{1}{r\sin \theta}
\deri{v_\phi}{\phi} =0 $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{Ecuaci\'on de conservaci\'on de la cantidad de movimiento}
Se trata de una ecuaci\'on vectorial. En mec\'anica de fluidos se
la suele llamar con el nombre de ecuaci\'on del equilibrio o
ecuaci\'on de Navier-Stokes y modeliza los fluidos newtonianos con
densidad y viscosidad constantes. \es

Obs\'ervese que la nomenclatura utilizada para las ecuaciones de
conservaci\'on de la masa (ecuaci\'on de continuidad) y la
ecuaci\'on de conservaci\'on de la cantidad de movimiento
(ecuaci\'on de Navier-Stokes) surge de su aplicaci\'on a la
mec\'anica de fluidos\footnote{La mec\'anica de fluidos es s\'olo
una rama de la mec\'anica de medios continuos que es la ciencia
que estudia en general los medios deformables constituidos por
{\em infinitos} puntos. Otra rama nace por ejemplo al estudiar los
cuerpos el\'asticos (membranas, vigas, cuerdas vibrantes).}. \es

En realidad hay tres {\em grandes} leyes de conservaci\'on:
%f\'{\i}sicas que se corresponden a los
%tres {\em grandes} principios termodin\'amicos
ley de conservaci\'on de la masa, ley de conservaci\'on de la
energ\'{\i}a y ley de conservaci\'on de la cantidad de movimiento.
Su aplicaci\'on al caso de los fluidos proporciona la ecuaci\'on
de continuidad, las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuaci\'on de
la energ\'{\i}a. La aplicaci\'on a otras parcelas, como la
mec\'anica de s\'olidos r\'{\i}gidos, la mec\'anica cu\'antica
(distancias microsc\'opicas), la mec\'anica relativista
(distancias macrosc\'opicas) o el electromagnetismo, se manifiesta
por otras ecuaciones que se conocen con otros nombres pero que
responden a las mismas leyes de conservaci\'on. La ecuaci\'on
(vectorial) de Navier-Stokes es, por ejemplo, una consecuencia de
la ecuaci\'on de conservaci\'on de la cantidad de movimiento:
\begin{equation}\label{ecmom}
\dis \rho\frac{D \bfm{v}}{Dt} =\rho\bfm{g} -\nabla P +\mu\nabla^2
\bfm{v}.
\end{equation}
Dependiendo del sistema de coordenadas utilizado se expresa de
distinta manera. Por ejemplo, las ecuaciones de Navier-Stokes en
coordenadas rectangulares son:


%\centerline{Ecuaciones de Navier-Stokes }
%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||l|c||} \hline\hline
 & {\bf Ecuaciones de Navier-Stokes
en Coord. Rectangulares}      \\ \hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
 $x$ & $\displaystyle
\rho \left[ \displaystyle \deri{v_x}{t}+v_x \deri{v_x}{x}+v_y
\deri{v_x}{y}+v_z \deri{v_x}{z}\right]= \rho g_x -\dis
\deri{P}{x}+\mu \left[\dderi{v_x}{x}+\dderi{v_x}{y}
+\dderi{v_x}{z}\right]$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
 $y$ & $\displaystyle
\rho \left[ \displaystyle \deri{v_y}{t}+v_x \deri{v_y}{x}+v_y
\deri{v_y}{y}+v_z \deri{v_y}{z}\right]= \rho g_y -\dis
\deri{P}{y}+\mu \left[\dderi{v_y}{x}+\dderi{v_y}{y}
+\dderi{v_y}{z}\right]$ \\
&   \\ \hline
  &   \\
 $z$ & $\displaystyle
\rho \left[ \displaystyle \deri{v_z}{t}+v_x \deri{v_z}{x}+v_y
\deri{v_z}{y}+v_z \deri{v_z}{z}\right]= \rho g_z -\dis
\deri{P}{z}+\mu \left[\dderi{v_z}{x}+\dderi{v_z}{y}
+\dderi{v_z}{z}\right]$ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}
%\newpage


Las ecuaciones de Navier-Stokes en Coordenadas Cil\'{\i}ndricas
son:


%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||l|c||} \hline\hline
{\bf Componente } & {\bf Ecuaciones de Navier-Stokes}      \\
\hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
  &   \\
componente $r$ & $\displaystyle \rho \left[ \displaystyle
\deri{v_r}{t}+v_r
\deri{v_r}{r}+\dis\frac{v_{\theta}}{r}\deri{v_r}{\theta} -\dis
\frac{v_\theta^2}{r}+v_z \deri{v_r}{z}\right]= $ \\ [0.4cm] &
$\dis \rho g_r -\deri{P}{r}+\mu \left[ \dis \deri{}{r}\left(
\frac{1}{r}\deri{}{r} (rv_r )\right)+\dis \frac{1}{r^2}
\dderi{v_r}{\theta}-\frac{2}{r^2}\deri{v_\theta}{\theta}+
\dderi{v_r}{z^2}\right] $ \\
&   \\ \hline
  &   \\
componente $\theta$ & $\displaystyle \rho \left[ \displaystyle
\deri{v_\theta}{t}+v_r \deri{v_\theta}{r}+\dis\frac{v_{\theta}}{r}
\deri{v_\theta}{\theta} +\dis \frac{v_r v_\theta}{r}+v_z
\deri{v_\theta}{z}\right]= $ \\ [0.6cm] & $\dis \rho g_\theta
-\deri{P}{\theta }+\mu \left[ \dis \deri{}{r}\left(
\frac{1}{r}\deri{}{r} (rv_\theta )\right)+\dis \frac{1}{r^2}
\dderi{v_\theta}{\theta}+\frac{2}{r^2}\deri{v_\theta}{\theta}+
\dderi{v_\theta}{z^2}\right] $
 \\
&   \\ \hline
  &   \\
componente $z$ & $\displaystyle \rho \left[ \displaystyle
\deri{v_z}{t}+v_r
\deri{v_z}{r}+\dis\frac{v_{\theta}}{r}\deri{v_z}{\theta} +v_z
\deri{v_z}{z}\right]= $ \\ [0.6cm] & $\dis \rho g_z
-\deri{P}{z}+\mu \left[ \dis \deri{}{r}\left(
\frac{1}{r}\deri{}{r} \left( r\deri{v}{z}\right)\right)+\dis
\frac{1}{r^2} \dderi{v_z}{\theta}+
\dderi{v_z}{z^2}\right] $ \\
&   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

%\newpage

\subsubsection{Ecuaci\'on de conservaci\'on de la energ\'{\i}a}
En muchos problemas que requieren una ecuaci\'on de la
energ\'{\i}a los efectos t\'ermicos son mucho m\'as importantes
que los efectos mec\'anicos. Esto ocurre por ejemplo cuando
existen en el sistemas grandes variaciones de temperatura o cuando
se produce calor por reacci\'on. Si suponemos que la densidad
$\rho$ y el calor espec\'{\i}fico $c_p$
%(a presi\'on constante)
son constantes entonces la ecuaci\'on de la energ\'{\i}a toma la
forma:

\begin{equation}\label{energy}
\rho c_p \dis \frac{DT}{Dt}=-\nabla\cdot \bfm{q} +H_V,
\end{equation}
donde el t\'ermino de fuente $H_V$ representa la tasa de
producci\'on de energ\'{\i}a debida a fuentes de energ\'{\i}a
externas por unidad de volumen. El ejemplo m\'as com\'un es el
calor que se produce por la resistencia al flujo de una corriente
el\'ectrica. El flujo de calor en un s\'olido o en un fluido puro
se calcula utilizando la ley de Fourier:

$$
\bfm{q} =-k\dis \nabla T.
$$
Si la conductividad calor\'{\i}fica $k$ es constante entonces la
forma usual de la ecuaci\'on de la energ\'{\i}a interna es:

\begin{equation}\label{energy2}
\rho c_p \dis \frac{DT}{Dt}=k\nabla^2 T +H_V.
\end{equation}
En esta ecuaci\'on no est\'a representado el fen\'omeno de la
disipaci\'on viscosa que es la conversi\'on de la energ\'{\i}a
cin\'etica en calor debida a la fricci\'on interna al fluido.
Normalmente es despreciable exceptuando algunos flujos a alta
velocidad (con gradientes de velocidades elevados) o el flujo de
fluidos extremadamente viscosos (el hielo o el magma de los
volcanes por ejemplo) Dependiendo del sistema de coordenadas
considerado se tienen las siguientes expresiones de la ecuaci\'on
(\ref{energy2}), siendo $T(x,y,z,t)$ en coordenadas rectangulares,
$T(r, \theta,z,t)$ en coordenadas cil\'{\i}ndricas y
$T(r,\theta,\phi,t)$ en coordenadas esf\'ericas:

%{\large
\begin{center}
\begin{tabular}{||c||} \hline\hline
 {\bf Conservaci\'on de la Energ\'{\i}a}      \\ \hline\hline
%empeza la tabla 5.4 pag 226 deen *********************************************************
   \\
Coordenadas Rectangulares $(x,y,z)$\\
\\
 $\displaystyle
\deri{T}{t}+ v_x \deri{T}{x}+v_y \deri{T}{y}+v_z \deri{T}{z} =
\displaystyle \alpha \left[\dderi{T}{x}+ \dderi{T}{y}+
\dderi{T}{z}\right]
+\dis \frac{H_V}{\rho c_p}$ \\
   \\ \hline
   \\
Coordenadas Cil\'{\i}ndricas $(r,\theta ,z )$\\
\\
$\displaystyle \deri{T}{t}+ v_r \deri{T}{r}+\dis
\frac{v_\theta}{r} \deri{T}{\theta}+v_z \deri{T}{z}= \alpha \left[
\frac{1}{r} \deri{}{r}\left( r\dis  \deri{T}{r}\right)+
\frac{1}{r^2}\dderi{T}{\theta}+\dderi{T}{z}\right]+\dis \frac{H_V}{\rho c_p}  $ \\
   \\ \hline
   \\
Coordenadas Esf\'ericas $(r,\theta ,\phi )$\\
\\
$\displaystyle \deri{T}{t}+ v_r \deri{T}{r}+\dis
\frac{v_\theta}{r} \deri{T}{\theta}+\dis
\frac{v_{\phi}}{r\sin\theta}  \deri{T}{\phi} = $\\ [0.8cm]
$=\alpha\left[\displaystyle \frac{1}{r^2 } \deri{T}{r}\left( r^2
\dis  \deri{T}{r}\right)+ \frac{1}{r^2
\sin\theta}\deri{}{\theta}\left( \sin\theta
\deri{T}{\theta}\right)+ \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta}\left(
\dderi{T}{\theta} \right)\right]
+\dis \frac{H_V}{\rho c_p}  $ \\
   \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}%}

\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\section{Bibliograf\'{\i}a}

\begin{itemize}
\item Apostol, T.M., (1982),
An\'alisis matem\'atico. II ed. Editorial Revert\'e.
\item Apostol, T.M., (1996),
Calculus. II ed. Editorial Revert\'e.
\item Costa Novella, E. (1986). Ingenier\'{\i}a Qu\'{\i}mica.
Vol. 2, Fen\'omenos de Transporte. Vol. 3, Flujo de Fluidos. Vol.
4, Transmisi\'on de Calor. Vol. 5, Transferencia de Materia.
Alhambra Universidad.
\item Courant, R y Hilbert, D. (1989). Partial Differential Equations.
Vol 2. John Wiley \& Sons, Inc.
\item Deen, W.M., (1998). Analysis of Transport
Phenomena. Oxford University Press.
\item Elsgoltz, L. (1983). Ecuaciones diferenciales y c\'alculo variacional.
III Ed. Editorial Mir.
\item Kreyszig, E. (1993). Advanced Engineering Mathematics. VII Ed.
John Wiley \& Sons, Inc.
\item Marsden, J. E. y Tromba, A. J. (1991). C\'alculo vectorial.
(III edici\'on). Ed. Addison-Wesley Iberoamericana
\item Mei, C.C. (1997). Mathematical analysis in
Engineering. Cambridge University Press.
\item Rice, R.G, Do, D.D., (1995).
Applied Mathematics and Modelling for Chemical Engineers. John
Wiley \& Sons, Inc.
\item Smith, G.D. (1999). Numerical Solutions of
Partial Differential Equations. Finite Difference Methods. III Ed.
Oxford University Press.
\item Strikwerda J. C., (1989). Finite Difference Schemes and Partial
Differential Equations. Chapman \& Hall. International Thomson
Publishing.
\item Weinberger, H., (1965). A first course in partial differential equations.
Blaisdell.
\item Zill, D.G., (1977). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado.
International Thomson Ed. 6 ed.
\end{itemize}

\subsection{Bibliograf\'{\i}a avanzada}

\begin{itemize}
\item Adams, R., (1975), Sobolev spaces. Academic Press.
\item Brezis, H., (1983) Analyse Fonctionelle. Masson. Paris.
\item D\'{\i}az, J.I., (1985). Nonlinear Partial Differential Equations
and Free Boundaries. Ed. Pitman. Londres.
\item Fowler, A.C, (1997). Mathematical Models in the Applied Sciences.
Cambridge texts in Applied Mathematics. Cambridge University
Press.
\item Froment, G.F y Bischoff, K.B., (1990). Chemical Reactor Analysis
and Design. II Ed. John Wiley \& Sons, Inc.
\item Godlewski, E., Raviart, P.A., (1991). Hyperbolic Systems of
Conservation Laws. Ed. Ellipses.
\item John, F., (1982). Partial differential equations.
IV Ed. Applied Mathematical Sciences. Springer Verlag.
\end{itemize}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{tema1_1}
\chapter{M\'etodos num\'ericos para la resoluci\'on de ecuaciones no li\-nea\-les}
\section{Motivaci\'{o}n y generalidades}

\bejem (Hanna et al.[9]): La ecuaci\'{o}n de Peng-Robinson es una
e\-cua\-ci\'{o}n de estado que proporciona la presi\'{o}n P de un
gas mediante:
\[
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V (V+b)+b (V-b)}
\]
donde $a$ y $b$ son constantes, $T$ es la temperatura absoluta a
la que se encuentra el gas, $V$ es el volumen espec\'{i}fico y $R$
es la constante de los gases perfectos (8.31441J/(mol
${{}^{o}}$K)). Para el CO$_{2}$ las
constantes a y b toman los valores a = 364.61 m$^{6}$.kPa / (kg.mol)$^{2}$ $%
\;$y\ b = 0.02664 m$^{3}$/kg.mol. Supongamos que se desea
encontrar la densidad (es decir 1/V) del CO$_{2}$ a una
presi\'{o}n de 1$\cdot $10$^{4}$ kPa y a una temperatura de
340${{}^{o}}$K usando la ecuaci\'{o}n de Peng-Robinson. Ello
implicar\'{\i}a tener que encontrar el valor de V para el que:
$10^{4}=\frac{8.31441  340}{V-0.02664}-\frac{364.61}{V
(V+0.02664)+0.02664(V-0.02664)},$ lo cual no es en modo alguno
evidente. La soluci\'{o}n ..... m\'{a}s adelante. \enejem

\bejem (Hanna et al. [9]): Una mezcla de un mol de CO y $3$ moles
de H$_{2}$ se deja reaccionar a 500${{}^{o}}$C y 1 atm\'{o}sfera
de presi\'{o}n hasta alcanzar su equilibrio qu\'{\i}mico y se
desea estimar la composici\'{o}n de la mezcla de equilibrio. Las
reacciones significativas (y las constantes de equilibrio) para
este sistema son:

\[
\begin{array}{rcll}
3H_{2} + CO & \rightleftharpoons & CH_{4} + H_{2}O & (K = 69.18) \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} CO + H_{2}O & \rightleftharpoons & CO_{2} +
H_{2} & (K
= 4.68) \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} CO_{2} + C & \rightleftharpoons & 2CO & (K = 0.0056) \\%
[0.2cm] \noalign{\smallskip} 5H_{2} + 2CO & \rightleftharpoons &
C_{2}H_{6} + 2H_{2}O & (K = 0.141)
\end{array}
\]
Puesto que todos los componentes de las reacciones anteriores,
salvo el C, aparecen en fase gaseosa, las relaciones de
equilibrio, asumiendo que los gases se comportan como gases
perfectos, se pueden expresar mediante:

\begin{equation}
\frac{y_{CH_{4}}y_{H_{2}O}}{y_{H_{2}}^{3}y_{CO}}=69.18  \tag{a}
\label{eq1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{y_{CO_{2}}y_{H_{2}}}{y_{CO}y_{H_{2}O}}=4.68  \tag{b}
\label{eq2}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{y_{CO}^{2}}{y_{CO_{2}}}=0.0056  \tag{c}  \label{eq3}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{y_{C_{2}H_{6}}y_{H_{2}O}^{2}}{y_{H_{2}}^{5}y_{CO}^{2}}=0.141
\tag{d} \label{eq4}
\end{equation}
donde y$_{\alpha }$ es la fracci\'{o}n molar de la especie
``$\alpha $''. Usando las ``coordenadas de reacci\'{o}n'' x$_{i}$
(i = 1, 2, 3, 4) de cada una de las cuatro reacciones anteriores y
denotando por especie 1 al H$_{2},$ por especie 2 al CO, por
especie 3 al CH$_{4}$, por especie 4 al H$_{2}$O, por especie 5 al
CO$_{2}$ y por especie 6 al C$_{2}$H$_{6}$, las fracciones molares
de cada especie y$_{i}$ (i = 1, 2, 3, 4, 5, 6) satisfacen el
sistema de ecuaciones siguiente:
\begin{eqnarray*}
y_{1} &=&(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})/D \\
y_{2} &=&(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})/D \\
y_{3} &=&x_{1}/D \\
y_{4} &=&(x_{1}-x_{2}+2x_{4})/D \\
y_{5} &=&(x_{2}-x_{3})/D \\
y_{6} &=&x_{4}/D
\end{eqnarray*}
donde $D$ = $(4-2x_{1}+x_{3}-4x_{4})$ representa el n\'{u}mero
total de moles presentes en el equilibrio. Entrando con estas
expresiones en las ecuaciones (a), (b), (c) y (d) se obtiene
finalmente el sistema de cuatro ecuaciones no lineales:
\begin{eqnarray*}
\frac{x_{1}(x_{1}-x_{2}+2x_{4})D^{2}}{%
(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})^{3}(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})} &=&69.18 \\
\frac{(x_{2}-x_{3})(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})}{%
(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})(x_{1}-x_{2}+2x_{4})} &=&4.68 \\
\frac{(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})^{2}}{(x_{2}-x_{3})D} &=&0.0056 \\
\frac{x_{4}(x_{1}-x_{2}+2x_{4})^{2}D^{4}}{%
(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})^{5}(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})^{2}}
&=&0.141
\end{eqnarray*}

La resoluci\'{o}n del sistema de ecuaciones no lineales anterior
nos conduce a los valores de las coordenadas de reacci\'{o}n y, a
partir de ellas, a la determinaci\'{o}n de las fracciones molares
de cada especie. Una soluci\'{o}n de este sistema, con sentido
qu\'{\i}mico, es
\[
x_{1}=0.681604, \quad x_{2} = 1.58962\cdot 10^{-2},\quad x_{3} =
-0.128703 ,\quad x_{4} =1.40960.10^{-5}
\]
o
\[
y_{1}=0.387162,\quad y_{2} = 0.00179676, \quad y_{3} =
0.271769,\quad
\]
\[
y_{4}= 0.265442, \quad y_{5} = 0.0576549, \qquad y_{6} =
5.62034\cdot 10^{-6}.
\]

La cuesti\'{o}n es \textquestiondown c\'{o}mo se han calculado
estas soluciones? \enejem

\vspace{0.4cm}

Los dos ejemplos anteriores pretenden ilustrar el hecho de que en
numerosas aplicaciones f\'{\i}sicas y t\'{e}cnicas, y en concreto
en muchos problemas propios de ingenier\'{\i}a, aparece la
necesidad de tener que resolver ecuaciones o sistemas de
ecuaciones no lineales.

Este tipo de sistemas tiene peculiaridades que los diferencian
notablemente de los sistemas lineales. As\'{\i} por ejemplo, los
sistemas lineales de n ecuaciones con n inc\'{o}gnitas en los que
la matriz del sistema es regular s\'{o}lo admiten una
soluci\'{o}n. A diferencia de este caso, los sistemas no lineales,
aunque tengan el mismo n\'{u}mero de inc\'{o}gnitas que de
ecuaciones, desde un punto de vista matem\'{a}tico, pueden admitir
una, ninguna o varias soluciones. El elegir entre ellas las que
sirven a la aplicaci\'{o}n concreta que motiv\'{o} el sistema de
ecuaciones debe hacerse en funci\'{o}n de los criterios
f\'{\i}sicos, qu\'{\i}micos y t\'{e}cnicos que regulen el problema
en cuesti\'{o}n (por ejemplo, aunque matem\'{a}ticamente puedan
tener sentido, qu\'{\i}micamente ser\'{\i}an inadmisibles
fracciones molares 1 de una especie qu\'{\i}mica negativas o
superiores a 1).

Una segunda diferencia es la debida al hecho de que un sistema
lineal que admita soluci\'{o}n \'{u}nica puede ser resuelto de
forma exacta mediante un n\'{u}mero finito de operaciones
(recu\'{e}rdense los m\'{e}todos directos de resoluci\'{o}n de
sistemas lineales de ecuaciones: Gauss, LU, Choleski, Crout, QR,
etc...). En el caso de los sistemas no lineales, en general, la
soluci\'{o}n no podr\'{a} ser encontrada mediante un n\'{u}mero
finito de operaciones. En este sentido, los m\'{e}todos de
resoluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones no lineales ser\'{a}n
m\'{e}todos de tipo iterativo mediante los cuales se
construir\'{a} una sucesi\'{o}n de vectores que, en los casos en
que el m\'{e}todo funcione, se ir\'{a}n aproximando hacia uno de
los vectores soluci\'{o}n del sistema no lineal.

\es

\beobse Interpr\'{e}tese correctamente lo que se acaba de leer. No
quiere ello decir que ninguna ecuaci\'{o}n no lineal pueda
resolverse de forma directa. Ah\'{\i} est\'{a}n las ecuaciones de
segundo grado que, siendo no lineales, pueden resolverse de forma
exacta mediante un n\'{u}mero finito de operaciones. O si se
buscan las soluciones de la ecuaci\'{o}n: $(x-1)^{10}=0$
tambi\'{e}n es obvio que estas son $x = 1$ (con multiplicidad
$10$). Lo que se est\'{a} diciendo es que no hay, por ejemplo,
ning\'{u}n m\'{e}todo directo que nos permita calcular las
ra\'{\i}ces de cualquier polinomio de grado $10$. \enobse

\es

El hecho de que los m\'{e}todos de resoluci\'{o}n de ecuaciones y
sistemas no lineales sean de tipo iterativo nos plantea muchas
cuestiones.\ Entre ellas cabe citar las siguientes:
\begin{itemize}
\item[a)] \textquestiondown C\'{o}mo se genera la sucesi\'{o}n de vectores que
puedan aproximarse a la soluci\'{o}n?
\item[b)] Dado que es imposible evaluar los infinitos vectores de la sucesi\'{o}n
anterior, \textquestiondown c\'{o}mo se sabe que ya se est\'{a}
``suficientemente'' cerca de una soluci\'{o}n?.
\item[c)] Si la soluci\'{o}n encontrada mediante un m\'{e}todo no es la que pueda
interesarnos \textquestiondown c\'{o}mo buscar otras posibles
soluciones?.
\item[d)] En el caso de tener diferentes m\'{e}todos que nos proporcionen las
soluciones de un sistema \textquestiondown c\'{o}mo elegir el
mejor entre ellos?.
\end{itemize}
\es

A estas y otras cuestiones intentaremos dar respuesta en el
presente tema. La des\-crip\-ci\'{o}n general de los principales
m\'{e}todos de resoluci\'{o}n puede hacerse de una forma muy
intuitiva sin necesidad de recurrir a artificios matem\'{a}ticos
complicados. No obstante la justificaci\'{o}n rigurosa de las
t\'{e}cnicas de resoluci\'{o}n y el an\'{a}lisis de las
condiciones que pueden garantizar su convergencia as\'{\i} como el
estudio de la velocidad con que convergen exigir\'{a} acudir a
conceptos matem\'{a}ticos previos.

Conviene por \'{u}ltimo que el lector tome conciencia desde el
primer momento de un hecho relativo a los m\'{e}todos de
resoluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones no lineales: \textbf{no
existe un m\'{e}todo universal de resoluci\'{o}n de sistemas de
ecuaciones no lineales}. Algunos de ellos funcionar\'{a}n sobre
ciertos sistemas y no servir\'{a}n para resolver otros. Los
m\'{e}todos que presenten un buen comportamiento sobre algunos
sistemas pueden no ser los mejores para resolver otros sistemas
diferentes. M\'{a}s bien cabr\'{\i}a decir que \textbf{cada
sistema no lineal requerir\'{a} su m\'{e}todo de resoluci\'{o}n
id\'{o}neo}.

\section{Conceptos previos}

Puesto que, como se acaba de se\~{n}alar, los m\'{e}todos que
abordaremos ser\'{a}n de tipo iterativo y en ellos se generar\'{a}
una sucesi\'{o}n de vectores que, en el mejor de los casos, se
vayan aproximando hacia un vector soluci\'{o}n, conviene comenzar
recordando algunos conceptos sobre sucesiones. En este sentido, en
primer lugar, nos ubicaremos en conjuntos sobre los que se haya
definido una forma de medir la distancia entre sus elementos (esto
es, en un espacio m\'{e}trico (E, d)). En este espacio m\'{e}trico
comenzamos recordando la siguiente definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Dada una sucesi\'{o}n infinita de elementos $\left\{ x_{i}\right\}
_{i=1}^{\infty }$del espacio m\'{e}trico $(E,d)$ se dice que la
sucesi\'{o}n es \textbf{convergente} hacia el elemento x*$\in $E,
si para cualquier valor $\varepsilon > 0$ siempre se puede
encontrar un n\'{u}mero natural N tal que para todo \'{\i}ndice
$n> N$ se verifica que $ d(x_{n},x^{*})<\varepsilon .$ Al elemento
x* anterior, si existe, se le denomina \textbf{l\'{\i}mite} de la
sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{\infty }$.
\end{dfn}

Una sucesi\'{o}n de un espacio m\'{e}trico podr\'{a} tener
l\'{\i}mite o no tenerlo pero en el caso de que exista este
l\'{\i}mite siempre ser\'{a} el \'{u}nico l\'{\i}mite de la
sucesi\'{o}n.

Se llama la atenci\'{o}n del lector sobre el hecho de que el
l\'{i}mite de una sucesi\'{o}n, si existe, tiene que ser un
elemento del propio espacio m\'{e}trico al que pertenecen los
elementos de la sucesi\'{o}n. As\'{\i} por ejemplo, si nos
ubicamos en el espacio de los n\'{u}meros racionales (Q) con
la distancia fundamental ($d_{f}(x,y) = | x-y |$) la sucesi\'{o}n $%
\left\{ x_{n}={\sum }^{n}_{i=1}(1/i!)\right\} _{n=1}^{\infty }$
tiene elementos tan cercanos al n\'{u}mero $e$ como se desee. En
efecto, recu\'{e}rdese que el n\'{u}mero $e$, entre otras
definiciones, se pod\'{\i}a obtener mediante $e=
{\sum}_{i=1}^{\infty } (1/i!)$ por lo que dado un valor de $%
\varepsilon $ bastar\'{a} escoger $N$ suficientemente elevado para
que todos los elementos $x_{n}$ de la sucesi\'{o}n anterior con $n
> N$ disten de $e$ una cantidad inferior a $\varepsilon $.
Parecer\'{\i}a pues que el n\'{u}mero $e$ es el l\'{\i}mite de la
sucesi\'{o}n anterior. Sin embargo $e$ no es un n\'{u}mero
racional por lo que la sucesi\'{o}n anterior no tendr\'{a}
l\'{\i}mite en el espacio ($Q,\, d_{f}$) considerado. S\'{\i} lo
tendr\'{\i}a sin embargo, en el espacio $(\R ,\, d_{f}$).

Las sucesiones que ``parece'' que convergen (a falta de saber si
hacia lo que convergen es un elemento del espacio en el que se
est\'{a} trabajando) tienen un nombre concreto: sucesiones de
Cauchy. M\'{a}s rigurosamente se puede dar la siguiente
definici\'{o}n de este tipo de sucesiones:

\begin{dfn}
Dada una sucesi\'{o}n infinita de elementos $\left\{ x_{i}\right\}
_{i=1}^{\infty }$del espacio m\'{e}trico $(E,d)$ se dice que la
sucesi\'{o}n es una \textbf{sucesi\'{o}n de Cauchy}, si para
cualquier valor $\varepsilon > 0$ siempre se puede encontrar un
n\'{u}mero natural $N$ tal que para todo par de \'{\i}ndices $n >
N$ y $m > N$ se verifica que $d(x_{n},x_{m})<\varepsilon .$
\end{dfn}

\bejem Trabajando con la distancia fundamental $d_{f}$
(en el espacio m\'etrico $Q$) la su\-ce\-si\'{o}n $\dis %
\left\{ x_{n}={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i!}\right\} _{n=1}^{\infty }
$ es una sucesi\'{o}n de Cauchy. En efecto se tiene que, dados
tres n\'{u}meros naturales $N$, $n$ y $m$ tales que $N< n< m$ :
\[
d(x_{n},x_{m})=\dis \left|{\sum }_{i=1}^n\frac{1}{i!}-%
{\sum }_{i=1}^m\frac{1}{i!}\right| =\dis {\sum }_{n+1}^{m}\frac{1}{i!}\leq {\sum %%@
}_{N+1}^{\infty}\frac{1}{i!}= \dis e-{\sum }_{i=1}^n%
\frac{1}{i!}
\]
por lo que para cualquier valor de $\varepsilon $ (positivo)
bastar\'{a} escoger $N$ suficientemente elevado para que
$d_{f}(x_{n},x_{m})<\varepsilon $ para todo par de n\'{u}meros $n$
y $m$ mayores que $N$. \enejem

\bejem En $(\R,d_{f})$ la sucesi\'{o}n $\left\{
x_{n}=\frac{1}{n+1}\right\} _{n=1}^{\infty }$ es una sucesi\'{o}n
de Cauchy pues, siendo $N < n $ y $N < m$ se verificar\'{a}:
\[
d_{f}(x_{n},x_{m})=\dis \left| \frac{1}{n+1}-\frac{1}{m+1}\right|
\leq \left| \frac{1}{n+1}\right| +\left| \frac{1}{m+1}\right| \leq
\]
\[\left| \frac{1}{N+1}\right| +\left| \frac{1%
}{N+1}\right| =\frac{2}{N+1}
\]
por lo que dado cualquier valor de $\varepsilon $ bastar\'{a} con tomar $%
N>\left( \frac{2}{\varepsilon }-1\right) $ para que
$d_{f}(x_{n},x_{m})$ sea inferior a $\varepsilon $. \enejem

Seg\'{u}n la definici\'{o}n que se ha dado anteriormente las
sucesiones de Cauchy son tales que las distancias entre todos sus
elementos pueden hacerse inferiores a cualquier valor $\varepsilon
$, a partir de un cierto \'{\i}ndice N (que depender\'{a} del
valor $\varepsilon $ elegido), es decir,
que cuanto mayor sea el \'{\i}ndice n, menos distar\'{a} $x_{n}$ de $%
"x_{\infty }".$ En otros t\'{e}rminos, parece que estas sucesiones
convergen hacia ``algo''. Lo \'{u}nico que faltar\'{\i}a para que
ese ``algo'' fuese el l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n es que
perteneciese al espacio m\'{e}trico en el que se considere la
sucesi\'{o}n. En este sentido, para evitar el problema de que el
supuesto l\'{\i}mite tuviera la descortes\'{\i}a de no pertenecer
al espacio, cuando sea posible se trabajar\'{a} con espacios que
tengan la sana costumbre de incluir entre sus elementos a todos
los posibles l\'{\i}mites de sus sucesiones. Estos espacios
tambi\'{e}n tienen un nombre concreto: espacios m\'{e}tricos
completos. M\'{a}s rigurosamente:

\begin{dfn}
Se dice que el espacio m\'{e}trico $(E, d)$ es un \textbf{espacio
m\'{e}trico completo} si toda sucesi\'{o}n de Cauchy de elementos
de $E$ es una sucesi\'{o}n convergente en $(E, d)$.
\end{dfn}

\bejem En $\R^{n}$ se pueden considerar las distancias
\[
d_{1}(\mathbf{x},\mathbf{y})= {\sum }_{i=1}^n\left|
x_{i}-y_{i}\right| ,\qquad d_{2}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n\left| %%@
x_{i}-y_{i}\right| ^{2}},
\]
\[ d_{\infty }(%
\mathbf{x},\mathbf{y})=\max_{1\le i\le n}\left\{ \left|
x_{i}-y_{i}\right| \right\}
\]

Los espacios m\'{e}tricos $(\R^{n},d_{1}),$ $(\R^{n},d_{2}) $ y
$(\R^{n},d_{\infty })$ son espacios m\'{e}tricos completos. Y
siendo C un
conjunto cerrado de $\R^{n}$ los espacios m\'{e}tricos $(C,d_{1}),$ $%
(C,d_{2})$ y $(C,d_{\infty })$ son tambi\'{e}n espacios
m\'{e}tricos completos. \enejem

\bejem En el conjunto de los n\'{u}meros reales $\R$ se define la
distancia fundamental mediante $d_{f}(x,y)$ = $\left| x-y\right|
.$ El espacio
m\'{e}trico $(\R,\, d_{f})$ es un espacio m\'{e}trico completo. Y siendo $%
[a, b]$ un intervalo cerrado el espacio $([a,b],d_{f})$
tambi\'{e}n es un espacio m\'{e}trico completo. \enejem

Lo hasta aqu\'{\i} dicho es aplicable a espacios m\'{e}tricos en
general. No obstante ser\'{a} habitual trabajar en espacios que
tengan la estructura de espacios vectoriales (por ejemplo para
buscar en ellos el vector soluci\'{o}n de un sistema no lineal).
En ellos la forma de medir distancias se asocia al concepto de
norma de un vector (que, a su vez, generaliza el concepto de
m\'{o}dulo de un vector). De forma m\'{a}s concreta puede darse la
siguiente definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Siendo $E$ un espacio vectorial definido sobre un cuerpo $K$
(habi\-tual\-men\-te $K = \R$ o $K = C$) se denomina
\textbf{norma} sobre $E$, y se representa por $\| \cdot \|$, a
toda aplicaci\'{o}n definida en $E$, que toma valores reales no
negativos y verifica las condiciones siguientes:
$$
i)\qquad ||\mathbf{x}||=0\Leftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{0}
$$
$$
ii)\qquad ||\lambda \mathbf{x}||=|\lambda |||\mathbf{x}||, \qquad
\forall \lambda \in K,\quad \forall \mathbf{x}\in E
$$
$$
iii)\qquad ||\mathbf{x}+\mathbf{y}||\leq ||\mathbf{x}||+||\mathbf{y}%
||\qquad \forall\, \mathbf{x},\mathbf{y}\in E
$$

A todo espacio vectorial $E$ sobre el que se defina una norma $\|
\cdot \|$ se le denomina {\bf espacio vectorial normado} y se
representar\'{a} por $(E, \,\|\cdot \|)$.
\end{dfn}

\beobse
En la definici\'{o}n anterior $|\lambda |$ representa el valor absoluto de $%
\lambda $ si se trabaja en el cuerpo $K = \R$ de los n\'{u}meros
reales y el m\'{o}dulo de $\lambda $ si se trabajase sobre el
cuerpo $K = C$ de los n\'{u}meros complejos. \enobse

\bejem En $\R^{n}$ son normas vectoriales las siguientes
aplicaciones: \enejem

\[
||\mathbf{x}||_{1}={\sum }_{i=1}^n\left| x_{i}\right|,\qquad
||\mathbf{x}||_{2}=\sqrt{{\sum }_{i=1}^n\left| x_{i}\right| ^{2}},
\]

\[
||\mathbf{x}||_{\infty }={\max}_{1\le i\le n}\left\{ \left|
x_{i}\right| \right\}
\]

\begin{dfn}
Siendo $\| \cdot \|$ y $\| \cdot \|'$ dos normas definidas sobre
un mismo espacio vectorial $E$, se dice que ambas normas son
\textbf{equivalentes} si existen dos constantes $k_{1}$ y $k_{2}$
tales que se verifica:
$$
k_{1} ||\mathbf{x}||\leq ||\mathbf{x} ||^{\prime }\leq k_{2}
||\mathbf{x}||,\qquad \forall \,\mathbf{x}\in E.
$$
\end{dfn}

\bejem Si n es finito las normas sobre\ $\R^{n}$ introducidas en
el ejemplo anterior son equivalentes. Es m\'{a}s, si la
dimensi\'{o}n del espacio vectorial E es finita, todas las normas
vectoriales sobre \'{e}l definidas son equivalentes. Aun
podr\'{\i}a decirse m\'{a}s: si la dimensi\'{o}n del espacio
vectorial normado es finita el espacio es completo. \enejem

En un espacio vectorial normado $(E, \| \cdot \| )$ podr\'{\i}an
definirse muy diferentes distancias. Entre todas ellas es habitual
trabajar con la distancia que induce la norma vectorial. De forma
m\'{a}s precisa, se puede definir como sigue:

\beprop Siendo $(E,\| \cdot \|)$ un espacio vectorial normado se
verifica que la aplicaci\'{o}n $d(
\mathbf{x},\mathbf{y})=||\mathbf{x}-\mathbf{y}||$ es una distancia
denominada \textbf{distancia asociada a la norma} $\| \cdot \|$.
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:}

Se verifica que:
\[
d(\mathbf{x},\mathbf{x})=\|\mathbf{x}-\mathbf{x}\|=0
\]
\[
\forall \mathbf{x,y}\in E\;/\;\mathbf{x}\neq \mathbf{y}:\;\;d(\mathbf{x},%
\mathbf{y})=\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\|>0
\]
\[
\forall \mathbf{x,y}\in E:\;d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\|\mathbf{x}-\mathbf{y}%
\|=\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|=d(\mathbf{y},\mathbf{x})
\]
\[
\forall \mathbf{x,y,z}\in E:\;d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\|\mathbf{x}-\mathbf{y%
}\|\leq \|\mathbf{x}-\mathbf{z}\|+\|\mathbf{z}-\mathbf{y}\|=d(\mathbf{x,z}%
)+d(\mathbf{z},\mathbf{y})
\]
por lo que la aplicaci\'{o}n definida es una distancia.

\hspace{10cm}c.q.d.

\bejem A las normas antes definidas se les asocian
res\-pec\-tivamente las distancias d$_{1},$ d$_{2}$ y d$_{\infty
}$ consideradas en ejemplos precedentes. \enejem

Una conclusi\'{o}n de lo anterior es que los espacios vectoriales normados: $(%
\R^{n},\|\cdot\|_{1}),$ $(\R^{n},\|\cdot\|_{2})$ y
$(\R^{n},\|\cdot\|_{\infty })$ son espacios m\'{e}tricos
completos.

\beobse El que dos normas sean equivalentes no quiere decir que al
aplicarlas a un mismo vector tomen el mismo valor pero s\'{\i} que
nos indica que si una de ellas toma un valor ``elevado'' al
aplicarla a un cierto vector de E, la otra tambi\'{e}n tomar\'{a}
un valor ``elevado'' al aplicarla al mismo vector. Y si el valor
es ``peque\~{n}o'' para una de ellas tambi\'{e}n lo ser\'{a} para
la otra. En ese sentido las distancias que a ellas est\'{a}n
asociadas tambi\'{e}n ser\'{a}n equivalentes. Y por ello si una
sucesi\'{o}n es convergente con la distancia asociada a una de las
normas tambi\'{e}n lo ser\'{a} con la otra. Como en el caso de
trabajar en $\R^{n}$ todas las normas son equivalentes a efectos
de analizar la convergencia de una sucesi\'{o}n de vectores
ser\'{a} equivalente hacerlo con una u otra norma que se considere
en $\R^{n}.$ \enobse

En algunas ocasiones trabajaremos con el espacio formado por las
matrices cuadradas de orden $n$. Estos conjuntos tienen estructura
de espacio vectorial y por tanto sobre ellos ser\'{i}a posible
definir tambi\'{e}n normas y distancias como se acaba de
describir. No obstante sobre el espacio de las matrices cuadradas
de orden n a las normas que en \'{e}l se utilizan se las exige
algo m\'{a}s. De forma concreta para estos espacios se tiene la
siguiente definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Siendo $M_{n}$ el espacio de las matrices cuadradas de orden $n$
definidas sobre un cuerpo $K$ (con $K = \R$ o $K = C$) se denomina
\textbf{norma matricial} definida sobre $M_{n}$ a toda
aplicaci\'{o}n definida en $M_{n}$ que toma valores reales no
negativos y que verifica las propiedades siguientes:
\end{dfn}

\[
i)\qquad \|\mathbf{A}\|=0\Leftrightarrow \mathbf{A}=\mathbf{0}
\]
\[
ii)\qquad \|\lambda \mathbf{A}\|=|\lambda |\|\mathbf{A}\|,\qquad
\forall \lambda \in K,\quad \forall \mathbf{A}\in M_{n}
\]
\[
iii)\qquad \|\mathbf{A}+\mathbf{B}\|\leq
\|\mathbf{A}\|+\|\mathbf{B} \|\qquad \forall
\mathbf{A},\mathbf{B}\in M_{n}
\]
\[
iv)\qquad \|\mathbf{A B}\|\leq \|\mathbf{A}\| \|\mathbf{B}\|,
\qquad \forall \mathbf{A},\mathbf{B}\in M_{n}
\]

\bejem En $M_{n}$ son normas matriciales las siguientes:
\[
\dis \| \mathbf{A}\|_{F} = \dis
\sqrt{{\sum}_{j=1}^{n}{\sum}_{i=1}^{n}|a_{ij}|^{2}},\,\|\mathbf{A}\|_{1}=\dis%
\max_{1\leq j\leq n}\left\{{\sum}_{i=1}^{n}|a_{ij}|\right\},\,\]

\[
 \|\mathbf{A}\|_{\infty }=\dis \max_{1\leq i\leq
n}\left\{{\sum}_{j=1}^{n}|a_{ij}|\right\}
\]
donde $\| \mathbf{A}\|_F$ se conoce como la norma de
Fr\"{o}benius. \enejem

Asimismo, siendo $\rho (\mathbf{A})$ el radio espectral de la matriz \textbf{%
A} (es decir, el m\'{o}dulo del valor propio de \textbf{A} que
tenga mayor m\'{o}dulo) y designando por \textbf{A*} a la matriz
adjunta de \textbf{A}
(la traspuesta si \textbf{A} es una matriz real) la aplicaci\'{o}n $\|%
\mathbf{A}\|_{2}=\sqrt{\rho (\mathbf{A}^{*}\mathbf{\cdot A})}$
tambi\'{e}n es una norma matricial sobre $M_{n}$. \es

Entre todas las normas matriciales que se pueden definir en
$M_{n}$ es \'{u}til considerar un grupo de ellas que tiene una
peculiaridad interesante: estar definidas a partir de una norma
vectorial y, por tanto, estar vinculadas a normas vectoriales.
Este grupo de normas matriciales se conocen con el nombre de
normas matriciales subordinadas a una norma vectorial y pasamos a
definirlo a continuaci\'{o}n (mediante una propiedad que puede
consultarse por ejemplo en Ciarlet \& Lions [4])

\beprop Sea $\| \cdot \|$ una norma vectorial definida sobre
$K^{n}$ (con $K = \R$ o $K = C$) y sea $M_{n}$ el espacio de las
matrices cuadradas de orden n definidas sobre $K$. La
aplicaci\'{o}n $\| \cdot \|$ definida de cualquiera de las formas
(equivalentes entre s\'{\i}) siguientes:

\[
\| \mathbf{A}\|=\dis
{Sup}_{\{\mathbf{v}\in K^{n}\backslash\mathbf{0}\}}\left( \frac{\| \mathbf{Av}%
\|}{\|\mathbf{v}\|}\right) ={Sup}_{\{\mathbf{v}\in K^{n}\backslash\mathbf{%
0/\|v\|\leq }1\}}\left( \|\mathbf{Av}\|\right) =$$
$${Sup}_{\{\mathbf{%
v}\in K^{n}/\,\|\mathbf{v}\|=1\}}\left( \|\mathbf{A v}\|\right)
\]
es una norma matricial que se denomina \textbf{norma matricial
subordinada} a la norma vectorial $\| \cdot \|$. \enprop

\beobse En la definici\'{o}n anterior se ha utilizado el mismo
s\'{\i}mbolo ($\| \cdot \|$) para referirse a la norma matricial y
a la norma vectorial. F\'{a}cilmente distinguir\'{a} el lector
entre una y otra por el tipo de elemento al que se aplica. \enobse

Las normas matriciales subordinadas permiten trabajar con formas
de medir ``coherentes'' entre los vectores y las matrices cuando
estos aparecen mezclados en los problemas que deban abordarse. Es
importante en este sentido tener siempre presente la siguiente
propiedad que relaciona el valor de una norma vectorial con la
norma matricial subordinada a ella:

\beprop
Siendo $\| \cdot \|$ una norma matricial (subordinada a la norma vectorial $%
\| \cdot \|$) se verifica que:

\[
\|\mathbf{Av}\| \leq \|\mathbf{A}\|\|\mathbf{v}\|\qquad \forall \mathbf{A}%
\in M_{n},\qquad \forall \mathbf{v}\in K^{n}
\]
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Si $\mathbf{v} = \mathbf{0}$ entonces $\| \mathbf{Av}\|=0$ y $\|
\mathbf{A}\|  \| \mathbf{v}\| =0$, $\forall \,\mathbf{A}\in M_{n}$
por lo que se verifica el teorema (con el signo ``=''). \es

Si $\mathbf{v}\neq \mathbf{0}$ se tiene que $\|\mathbf{v}\|\neq 0$
y por tanto:

$$
\|\mathbf{Av}\|=\left\| \mathbf{A}\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}\|%
\mathbf{v}\|\right\| =\left\| \mathbf{A}\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}%
\right\| \|\mathbf{v}\|=\frac{\|\mathbf{Av}\|}{\|\mathbf{v}\|}\|\mathbf{v}%
\| \leq
$$

$$
\leq {Sup}_{\mathbf{u}\in K^{n}\setminus \mathbf{0}}\left( \frac{\|%
\mathbf{Au}\|}{\|\mathbf{u}\|}\right) \|\mathbf{v}\| =
\|\mathbf{A}\|\| \mathbf{v}\|
$$
y esto se tiene $\forall \,\mathbf{A}\in M_{n}$ y $\forall
\,\mathbf{v}\in K^{n}\setminus \mathbf{0}$.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Las normas matriciales $\| \cdot \|_1$, $\| \cdot \|_2$, y
$\| \cdot \|_\infty$ antes definidas son normas matriciales
subordinadas a las normas vectoriales de $\R^{n}$ definidas con
los mismos sub\'{\i}ndices. Sin embargo, la norma de Fr\"{o}benius
no es una norma matricial subordinada. \enobse

\bejem Sea $\mathbf{A}$ la matriz:
\[
\mathbf{A}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array}
\right)
\]

Se verifica que:
\[
{\sum }_{j=1}^{3}|a_{1,j}|=|1|+|1|+|0|=2
\]
\[
{\sum }_{j=1}^{3}|a_{2,j}|=|1|+|2|+|1|=4
\]
\[
{\sum }_{j=1}^{3}|a_{3,j}|=|-1|+|1|+|2|=4
\]
por lo que $\|\mathbf{A}\|_{\infty }=\mbox{Sup}(2,4,4)=4.$ Por
otra parte:

\[
{\sum }_{i=1}^{3}|a_{i,1}|=|1|+|1|+|-1|=3
\]
\[
{\sum }_{i=1}^{3}|a_{i,2}|=|1|+|2|+|1|=4
\]
\[
{\sum }_{i=1}^{3}|a_{i,3}|=|0|+|1|+|2|=3
\]
por lo que $\|\mathbf{A}\|_{1}=\mbox{Sup}(3,4,3)=4.$ Asimismo:

\[
\mathbf{A}^{T}\mathbf{.A}=\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & -1 \\
1 & 2 & 1 \\
0 & 1 & 2
\end{array}
\right) .\left(
\begin{array}{rrr}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
-1 & 1 & 2
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{rrr}
3 & 2 & -1 \\
2 & 6 & 4 \\
-1 & 4 & 5
\end{array}
\right)
\]

El polinomio caracter\'{\i}stico de \textbf{A}$^{T}$\textbf{A} es:
\[
p(\lambda )=\left|
\begin{array}{rrr}
(3-\lambda ) & 2 & -1 \\
2 & (6-\lambda ) & 4 \\
-1 & 4 & (5-\lambda )
\end{array}
\right| =-\lambda (\lambda ^{2}-14\lambda +12)
\]
cuyas ra\'{\i}ces son los valores propios $\lambda _{1}=0,$ $\lambda _{2}=7+%
\sqrt{7}$ y $\lambda _{3}=7-\sqrt{7}.$ Por tanto el radio
espectral de
\textbf{A}$^{T}$\textbf{A} es: $\rho (\mathbf{A}^{T}\mathbf{.A})=Sup(0,7+%
\sqrt{7},7-\sqrt{7})=7+\sqrt{7}.$ Y la norma-2 de \textbf{A}
ser\'{a}:
\[
\|\mathbf{A}\|_{2}=\sqrt{\rho
(\mathbf{A}^{T}\mathbf{A})}=\sqrt{7+\sqrt{7}} \approx 3.106
\]
\enejem

En los m\'{e}todos iterativos que plantearemos en este
cap\'{\i}tulo, la sucesi\'{o}n de vectores que, en su caso, vayan
aproxim\'{a}ndose hacia la soluci\'{o}n, se generar\'{a} a partir
de un vector inicial $\mathbf{x}^{(0)}$ mediante un
esquema de c\'{a}lculo que se traducir\'{a} en determinar una funci\'{o}n $%
\mathbf{g}(\mathbf{x})$ con la que el proceso iterativo se
reducir\'{a} a:
\[
\mathbf{x}^{(0)}\;\;\;\;dado
\]
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;\;\;%
\;(i=0,1,2,......)
\]

M\'{a}s adelante estudiaremos la forma de definir esta funci\'{o}n $\mathbf{g%
}(\mathbf{x})$ (que obviamente tendr\'{a} que ver con el sistema
que se quiera resolver). No obstante ya puede apreciarse con la
consideraci\'{o}n que acaba de hacerse que el buen funcionamiento
de un m\'{e}todo depender\'{a} de c\'{o}mo sea la funci\'{o}n
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$ escogida. Por tanto, nos interesar\'{a}
trabajar, cuando ello sea posible con aplicaciones
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$ para las que se pueda asegurar que la
sucesi\'{o}n que con ellas se genere es convergente hacia alguna
soluci\'{o}n del sistema que se quiere resolver.

\beobse
En este sentido, dado un sistema de ecuaciones $\mathbf{f}(\mathbf{x})=%
\mathbf{0}$ y considerado un m\'{e}todo de resoluci\'{o}n del
mismo en la
forma: ``Dado $\mathbf{x}^{(0)}\in D,$\textit{\ }$\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{%
g}(\mathbf{x}^{(i)})$, $(i=0, 1, ...)$'', se dice que el
m\'{e}todo es
consistente con el sistema de ecuaciones cuando para toda soluci\'{o}n $%
\mathbf{x}^{*}$ del sistema se verifica que $\mathbf{x}^{*}=\mathbf{g}(%
\mathbf{x}^{*})$ y, viceversa, todo vector que verifique que $\mathbf{x}^{*}=%
\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})$ es soluci\'{o}n del sistema. Asimismo
se
dir\'{a} que el m\'{e}todo es estable cuando para cualquier vector $\mathbf{x%
}^{(0)}$ de partida tomado en $D$ se verifique que la sucesi\'{o}n
$\left\{ \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\right\}
_{i=0}^{\infty }$ es una sucesi\'{o}n convergente. Y por
\'{u}ltimo diremos que el m\'{e}todo es convergente en el dominio
$D,$ para el sistema considerado, cuando para cualquier
$\mathbf{x}^{(0)}\in D$ se verifique que la sucesi\'{o}n $\left\{
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\right\}
_{i=0}^{\infty }$ converge hacia alguna ra\'{\i}z $\mathbf{x}^{*}$
de la ecuaci\'{o}n. Obs\'{e}rvese que con estas definiciones, todo
m\'{e}todo que sea a la vez consistente y estable es convergente y
que todo m\'{e}todo que sea convergente es consistente y estable.
Esta relaci\'{o}n de consistencia, estabilidad y convergencia
volveremos a plantearlas al estudiar m\'{e}todos num\'{e}ricos
para la resoluci\'{o}n de ecuaciones diferenciales y, all\'{\i},
ser\'{a} de enorme utilidad para el an\'{a}lisis de la
convergencia de los esquemas num\'{e}ricos. Nosotros, en este
cap\'{\i}tulo, nos limitaremos a analizar la convergencia de los
m\'{e}todos num\'{e}ricos por otros procedimientos. \enobse

Si $\mathbf{x}^{*}$ fuese el l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n
generada mediante el esquema anterior y adem\'{a}s la
aplicaci\'{o}n $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ fuese continua se
verificar\'{a} que:
\[
\lim_{i\to \infty }(\mathbf{x}^{(i+1)})= \lim_{i\to \infty
}\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)}) \quad \Leftrightarrow \quad
\mathbf{x}^{*}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})
\]

Los puntos $\mathbf{x}^{*}$, del dominio sobre el que est\'{a}
definida una
aplicaci\'{o}n $\mathbf{g}(\mathbf{x}),$ que verifican que $\mathbf{x}^{*}=%
\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})$ reciben el nombre de puntos fijos de
la aplicaci\'{o}n. M\'{a}s concretamente:

\begin{dfn}
Siendo $\mathbf{g}$ una aplicaci\'{o}n definida en un espacio
m\'{e}trico
(E, d) y con valores en el mismo espacio m\'{e}trico, se denomina \textbf{%
punto fijo} de la aplicaci\'{o}n $\mathbf{g}$ a todo elemento $\mathbf{x}%
^{*} $ de E tal que $\mathbf{x}^{*}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*}).$
\end{dfn}

Interesar\'{a} por tanto trabajar con funciones $\mathbf{g}$ que
posean un punto fijo. Un tipo de tales funciones son las que se
denominan contracciones y que pasamos a definir a
continuaci\'{o}n:

\begin{dfn}
Sean (E, d) y (V, d') dos espacios m\'{e}tricos y sea
$g:E\rightarrow V$ una aplicaci\'{o}n definida en E y con valores
en V. Se dice que $g$ es una \textbf{aplicaci\'{o}n lipschitciana}
cuando existe una constante real $k>0$ tal que:
$$
d^{\prime }(g(x),g(y))\leq k d(x,y)\qquad \forall \,x,y\in E
$$

A la menor constante k que verifica la condici\'{o}n anterior se
la denomina \textbf{constante de Lipschitz (o raz\'{o}n)} de la
aplicaci\'{o}n.
\end{dfn}

\beobse En el caso de que se est\'{e} trabajando sobre los
espacios vectoriales
normados $(E,\,\|\cdot\|)$ y $(V,\, \|\cdot\|' )$ toda aplicaci\'{o}n $%
\mathbf{g}:E\rightarrow V$ que sea lipschitciana de raz\'{o}n k
verificar\'{a}:
\[
\|\mathbf{g}(\mathbf{x})-\mathbf{g}(\mathbf{y})\|^{\prime }\leq k  \|\mathbf{x%
}-\mathbf{y}\| ,\qquad \forall \,\mathbf{x,y}\in E
\]
\enobse

\beprop
Toda aplicaci\'{o}n lipschitciana definida en $(E, d)$ y con valores en $%
(V,d^{\prime})$ es una aplicaci\'{o}n continua en todo $E$.
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Si $\mathbf{g}:E\rightarrow V$ es una aplicaci\'{o}n lipschitciana
con constante de Lipschitz $k$ se
verificar\'{a} que $d^{\prime }(\mathbf{g}(\mathbf{x}),\mathbf{g}(\mathbf{y}%
))\leq k \cdot d(\mathbf{x},\mathbf{y}).$ Por tanto para cualquier valor de $%
\varepsilon $ estr\'{\i}ctamente positivo y para cualquier punto
$\mathbf{x} \in E$ se tiene que:

\[
\forall \,\varepsilon >0,\quad \exists \,\delta =\frac{\varepsilon }{k}%
\;\;\diagup d(\mathbf{x},\mathbf{y})<\delta \Rightarrow d^{\prime }(\mathbf{g%
}(\mathbf{x}),\mathbf{g}(\mathbf{y}))\leq k \cdot d(\mathbf{x},\mathbf{y}%
)<\varepsilon
\]

Por tanto $g$ es continua en todo punto $x\in E.$

\hspace{10cm}c.q.d.

%paramem\beobse
%A\'{u}n podr\'{i}a decirse m\'{a}s: toda aplicaci\'{o}n lipschitciana es
%uniformemente continua. \enobse

\begin{dfn}
A toda aplicaci\'{o}n lipschitciana que verifique las dos
condiciones si\-guien\-tes:

\begin{itemize}
\item[$1^{a}$)] Estar definida en un espacio m\'{e}trico $(E, d)$
sobre s\'{\i} mismo: $g:E\rightarrow E$,
\item[$2^{a}$)]
Tener una constante de Lipschitz estr\'{\i}ctamente inferior a
$1$,
\end{itemize}
se la denomina \textbf{contracci\'{o}n} sobre E.
\end{dfn}

El hecho de que para las contracciones se garantice la
convergencia de la sucesi\'{o}n generada mediante el esquema de
c\'{a}lculo:

\[
\mathbf{x}^{(0)}\;\;\;\;dado
\]
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;\;\;%
\;(i=0,1,2,......)
\]
se debe al teorema que se expone a continuaci\'{o}n. Se recomienda
prestar atenci\'{o}n a la demostraci\'{o}n del mismo, realizada
mediante la t\'{e}cnica de \textbf{a\-pro\-xi\-ma\-cio\-nes
sucesivas}, pues en ella se recogen las bases de los m\'{e}todos
de resoluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones.

\beteor[del punto fijo]\label{fico} Toda contracci\'{o}n definida
sobre un espacio m\'{e}trico completo admite un \'{u}nico punto
fijo. \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

a) {\bf Existencia}. Comencemos demostrando la existencia del punto fijo. Sea %%@
$\mathbf{g}%
:E\rightarrow E$ una contracci\'{o}n, de constante de Lipschitz
$k<1$, definida en el espacio m\'{e}trico $(E, d)$ y sea
$\mathbf{x}^{(0)}$ un elemento cualquiera de $E$. Consid\'{e}rese
entonces la sucesi\'{o}n formada a partir de $\mathbf{x}^{(0)}$
mediante:

\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)}),\qquad i = 0, 1,
2, ,....
\]

Para la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}^{(i)}\right\}
_{i=0}^{\infty }$ se verificar\'{a}:

\[
d(\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)})=d(\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(0)}),\mathbf{g%
}(\mathbf{x}^{(1)}))\leq k d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})
\]

\[
d(\mathbf{x}^{(2)},\mathbf{x}^{(3)})=d(\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(1)}),\mathbf{g%
}(\mathbf{x}^{(2)}))\leq k
d(\mathbf{x}^{(1)},\mathbf{x}^{(2)})\leq k^{2}
d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})
\]

\[
............
\]

\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})\leq k^{n} d(\mathbf{x}^{(0)},%
\mathbf{x}^{(1)})
\]

\[
..........
\]

De estas desigualdades, aplicando la desigualdad triangular de las
distancias, resultar\'{a} que:

\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+p)})\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}%
^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}^{(n+p)})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+d(\mathbf{x}^{(n+2)},\mathbf{x}^{(n+p)})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+.....+d(\mathbf{x}^{(n+p-1)},\mathbf{x}^{(n+p)})\leq
\]

\[
\leq k^{n} d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})+k^{(n+1)} d(%
\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})+.....+k^{(n+p-1)} d(\mathbf{x}^{(0)},%
\mathbf{x}^{(1)})=
\]

\[
=k^{n}
d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})[1+k+....+k^{(p-1)}]\leq k^{n}
d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)}) \left( {\sum }_{i=0}^{\infty
} k^{i}\right)
\]

En la expresi\'{o}n anterior, el sumatorio que aparece representa
la suma de una progresi\'{o}n geom\'{e}trica de raz\'{o}n $k(<1)$
y cuyo primer t\'{e}rmino toma el valor 1. Por tanto:

\[
\dis {\sum }_{i=0}^{\infty }k^{i}=\dis \frac{1}{1-k}
\]
lo que nos conduce a que:
\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+p)})\leq \frac{k^{n}}{1-k}d(\mathbf{x}%
^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})
\]
y puesto que, al ser $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ una contracci\'{o}n,
$k$ es estr\'{\i}ctamente inferior a $1$, para cualquier valor de
$\varepsilon $ positivo bastar\'{a} con considerar el \'{\i}ndice
natural $N$ de forma que:

\[
N\geq \dis \frac{\log \left( \frac{\varepsilon (1-k)}{d(\mathbf{x}^{(0)},%
\mathbf{x}^{(1)})}\right) }{\log (k)}
\]
para que se verifique que
$d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(m)})<\varepsilon $ para todo par
de \'{\i}ndices $n$ y $m$ mayores que $N$. En definitiva, la
sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}^{(i)}\right\} _{i=0}^{\infty }$
es una sucesi\'{o}n de Cauchy. Y como, por las hip\'{o}tesis del
teorema, se est\'{a} trabajando en un espacio m\'{e}trico
completo, admitir\'{a} l\'{\i}mite $\mathbf{x}^{*}$. Y puesto que
al ser $\mathbf{g}$ una contracci\'{o}n es continua se
verificar\'{a} que:

\[
\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})={\lim }_{i\rightarrow \infty }\mathbf{g}%
(\mathbf{x}^{(i)})={\lim }_{i\rightarrow \infty }\mathbf{x}%
^{(i+1)}=\mathbf{x}^{*}
\]

Luego $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ admite un punto fijo que es el
l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n generada mediante:

\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)}),\qquad i = 0, 1,
2,...
\]
a partir de cualquier elemento $\mathbf{x}^{(0)}$ perteneciente a
$E$. \es

b) {\bf Unicidad}. Demostremos ahora la unicidad del punto fijo.
Esta cuesti\'{o}n es c\'{o}moda demostrarla mediante reducci\'{o}n
al absurdo. En efecto, consideremos por un momento que en las
condiciones del teorema hubiera dos elementos distintos de $E$,
que denotaremos por $\mathbf{a}$ y $\mathbf{b}$, que fuesen puntos
fijos. Al ser distintos se tendr\'{a} que
$d(\mathbf{a},\mathbf{b}) > 0$. Pero por otra parte se debe
verificar que:

\[
d(\mathbf{a},\mathbf{b})=d(\mathbf{g}(\mathbf{a}),\mathbf{g}(\mathbf{b}%
))\leq kd(\mathbf{a},\mathbf{b})<d(\mathbf{a},\mathbf{b})
\]

Y que un n\'{u}mero real sea estr\'{\i}ctamente menor que s\'{\i}
mismo obviamente es absurdo. Obs\'{e}rvese que si por el contrario
se supusiera que $\mathbf{a} = \mathbf{b}$, las desigualdades
anteriores se transformar\'{\i}an en:
\[
0=d(\mathbf{a},\mathbf{b})=d(\mathbf{g}(\mathbf{a}),\mathbf{g}(\mathbf{b}%
))\leq k d(\mathbf{a},\mathbf{b})=0
\]
que s\'{\i} tiene sentido. Por tanto, es absurdo suponer que
existen puntos fijos distintos.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Enti\'{e}ndase bien el teorema anterior. En \'{e}l
s\'{o}lo se afirma lo que se afirma. Ello no imposibilita que
otras aplicaciones que no sean contracciones, o que est\'{e}n
definidas en espacios que no sean completos, puedan tener uno o
varios puntos fijos. Simplemente nos asegura que si nuestra
aplicaci\'{o}n es una contracci\'{o}n y est\'{a} definida sobre un
espacio m\'{e}trico completo siempre existir\'{a} un \'{u}nico
punto fijo de la aplicaci\'{o}n. La demostraci\'{o}n de la
existencia del punto fijo nos indica adem\'{a}s c\'{o}mo puede
encontrarse: como l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n
$\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})$ generada a a
partir de cualquier $\mathbf{x}^{(0)}$ perteneciente al espacio
$E$. \enobse

\bejem A continuaci\'on se consideran algunas situaciones
concretas que ilustran las caracter\'{\i}ticas principales del
teorema del punto fijo.

\begin{enumerate}
\item  La aplicaci\'{o}n $g:(\R,\,d_{f})\rightarrow (\R,\,d_{f})$ definida
mediante $g(x)=\frac{x}{2}$ es una contracci\'{o}n ya que:

\[
\dis d_{f}(g(x),g(y))=\left| \frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right| = \dis \frac{1}{2%
}\left| x-y\right| = \dis \frac{1}{2}d_{f}(x,y)\leq
\frac{1}{2}d_{f}(x,y).
\]

Esta aplicaci\'{o}n, al estar definida en un espacio m\'{e}trico
completo s\'{o}lo admite un punto fijo: $x=0.$

\item  La misma aplicaci\'{o}n anterior pero definida en el espacio
m\'{e}trico $(]0, 1[,\,d_{f}$) no admite punto fijo pues $0$ no
pertenece al espacio. Obs\'{e}rvese que ($]0, 1[,d_{f}$) no es
completo.

\item  La misma aplicaci\'{o}n pero definida en el espacio $([1, 2], d _{f})$
tampoco admite punto fijo. Obs\'{e}rvese que aunque $([1, 2],
d_{f})$ s\'{i} es completo $g$ no es una contracci\'{o}n pues no
toma valores en ($[1, 2], d_{f})$ (pues por ejemplo $g(1.5) =
3/4\notin [1, 2]$).

\item  La misma aplicaci\'{o}n definida en $(]-1, 1[, \,d_{f})$ tiene por
punto fijo $x = 0$. N\'{o}tese que no est\'{a} definida sobre un
completo y sin embargo admite un (\'{u}nico) punto fijo.

\item  La aplicaci\'{o}n $g(x)=\frac{2 x+6}{3 x+2}$ definida en ($%
E, d_{f}$) siendo $E=\left\{ x\in \R/x\geq 2/3\right\} $ es una
contracci\'{o}n ya que:

\[
\dis
\left| g(x)-g(y)\right| =\dis \left| \frac{2 x+6}{3 x+2}-\frac{%
2 y+6}{3 y+2}\right| =\dis \left| \frac{14 y-14 x}{%
9 x y+6 x+6 y+4}\right| =
\]

\[
\dis = \frac{14 \left| x-y\right| }{\left| 9 x y+6 x+6 y+4\right|
} \leq \frac{14 \left| x-y\right| }{\left| 9
\frac{2}{3} \frac{2}{3}+6 \frac{2}{3}+6 \frac{2}{3}+4\right| }%
= \dis \frac{7}{8}\left| x-y\right|
\]

Al estar definida en un espacio m\'{e}trico completo y tomar
valores en \'{e}l admitir\'{a} un \'{u}nico fijo que est\'{a} dado
por:

\[
x^{*}=g(x^{*})\Leftrightarrow x^{*}=\frac{2 x^{*}+6}{3 x^{*}+2}%
\Leftrightarrow 3 (x^{*})^{2}+2 x^{*}=2 x^{*}+6\Rightarrow
x^{*}=\sqrt{2}
\]

\item  La misma aplicaci\'{o}n del ejemplo anterior sobre $(\R-\{2/3\},
\,d_{f})$ admite dos puntos fijos dados por $x^{*}=\pm \sqrt{2}.$
Obs\'{e}rvese que el espacio sobre el que est\'{a} definida la
aplicaci\'{o}n no es un espacio m\'{e}trico completo pues al haber
quitado
de $\R$ el punto $2/3$ habr\'{a} sucesiones de Cauchy (como por ejemplo $%
\left\{ x_{i}=\frac{2}{3}+\frac{1}{i+1}\right\} _{i=0}^{\infty })$
que no tengan l\'{\i}mite.
\end{enumerate}

\enejem

\beobse\label{richi} La demostraci\'{o}n de la existencia del
punto fijo que se ha realizado en el teorema precedente ya pone de
manifiesto muchos aspectos importantes sobre los m\'{e}todos
iterativos de resoluci\'{o}n de ecuaciones no lineales. En efecto,
si logramos definir una contracci\'{o}n $\mathbf{g}$ con la que
generar una sucesi\'{o}n que converja hacia la soluci\'{o}n de las
ecuaciones no lineales a resolver ya habremos dado un primer paso.
La
distancia que separe $\mathbf{x}^{(n)}$ de la soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}(=%
\mathbf{``x}^{(\infty )}\mathbf{")}$ podr\'{a} estimarse mediante:

\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{*})=d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(\infty
)})\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x%
}^{(\infty )})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+d(\mathbf{x}^{(n+2)},\mathbf{x}^{(\infty )})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+...+d(\mathbf{x}^{(n+j)},\mathbf{x}^{(n+j+1)})+.....\leq
\]

\[
\leq k^{n} d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})+k^{(n+1)} d(%
\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})+.....+k^{(n+j)} d(\mathbf{x}^{(0)},%
\mathbf{x}^{(1)})+...=
\]

\[
=k^{n} d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}%
^{(1)})[1+k+....+k^{(j)}+...]=k^{n} d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}%
^{(1)}) \left( {\sum }_{i=0}^{\infty } k^{i}\right)
\]
luego

\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{*})\leq
\frac{k^{n}}{1-k}d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})
\]
Ello pone de manifiesto diferentes hechos (para el caso en que ya
se haya resuelto el problema de que la sucesi\'{o}n converja).
Entre ellos podemos citar:

\begin{itemize}
\item[a)]  No es indiferente el elemento $\mathbf{x}^{(0)}$ con el que se
inicialice la sucesi\'{o}n pues el ``aho\-rrar\-nos'' iteraciones
en el proceso depende de $d(\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)}).$
\item[b)]  Cuanto m\'{a}s pr\'{o}xima a $1$ sea la constante de Lipschitz de
la contracci\'{o}n m\'{a}s peque\~{n}o ser\'{a} $(1-k)$ y por
tanto mayor ser\'{a} el n\'{u}mero ($n$) de iteraciones que se
necesitar\'{a}n para estar ``ra\-zo\-na\-ble\-mente'' cerca de la
soluci\'{o}n. En otros t\'{e}rminos cuanto m\'{a}s pr\'{o}xima a
$0$ sea la constante de Lipschitz de las contracciones con las que
se trabaje, menor ser\'{a} el esfuerzo de c\'{a}lculo necesario
para obtener ``buenas'' aproximaciones de las soluciones.
\item[c)]  Si en lugar de acotar la distancia a la soluci\'{o}n con $d(
\mathbf{x}^{(0)},\mathbf{x}^{(1)})$ se acotara con $d(\mathbf{x} ^{(n)},%
\mathbf{x}^{(n-1)})$ se tendr\'{\i}a que:
\end{itemize}

\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{*})=d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(\infty
)})\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x%
}^{(\infty )})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+d(\mathbf{x}^{(n+2)},\mathbf{x}^{(\infty )})\leq
\]

\[
\leq d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n+1)})+d(\mathbf{x}^{(n+1)},\mathbf{x}%
^{(n+2)})+...+d(\mathbf{x}^{(n+j)},\mathbf{x}^{(n+j+1)})+.....\leq
\]

\[
\leq k d(\mathbf{x}^{(n-1)},\mathbf{x}^{(n)})+k^{2} d(\mathbf{x}%
^{(n-1)},\mathbf{x}^{(n)})+.....+k^{(j)} d(\mathbf{x}^{(n-1)},\mathbf{x}%
^{(n)})+...=
\]

\[
=k d(\mathbf{x}^{(n-1)},\mathbf{x}^{(n)})[1+k+....+k^{(j)}+...]=k
d(\mathbf{x}^{(n-1)},\mathbf{x}^{(n)}) \left( {\sum
}_{i=0}^{\infty } k^{i}\right)
\]
luego
\[
d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{*})\leq
\frac{k}{1-k}d(\mathbf{x}^{(n)},\mathbf{x}^{(n-1)})
\]

Ello nos indica que la distancia entre dos aproximaciones
consecutivas de la soluci\'{o}n es una forma de medir la distancia
de la \'{u}ltima de ellas a la soluci\'{o}n... ponderada por el
factor $\frac{k}{1-k}$ (lo que nos vuelve a llevar a la
consideraci\'{o}n de que interesan valores de la constante de
Lipschitz lo m\'{a}s peque\~{n}os posible). \enobse

\section{M\'{e}todos generales para la resoluci\'{o}n de una \'{u}nica
ecuaci\'{o}n no lineal}

En este apartado se expondr\'{a}n m\'{e}todos generales que nos
permiten encontrar soluciones de una ecuaci\'{o}n no lineal. Como
se se\~{n}ala en el \'{u}ltimo subapartado, para ecuaciones no
lineales concretas (por ejemplo polin\'{o}micas) es posible
adaptar algunos de estos m\'{e}todos y, en algunos casos, existen
m\'{e}todos de aplicaci\'{o}n espec\'{\i}fica a ellas.

Una ecuaci\'{o}n no lineal la representaremos gen\'{e}ricamente en la forma $%
f(x)=0$. Obs\'{e}rvese que lo anterior no quiere decir que la funci\'{o}n $%
f(x)$ sea la funci\'{o}n id\'{e}nticamente nula. Simplemente es
una forma de representar la ecuaci\'{o}n a la que nos enfrentemos.
M\'{a}s concretamente, tras la expresi\'{o}n $f(x)=0$ se
ocultar\'{a} el siguiente problema: \es

{\em Dada una funci\'{o}n $f(x)$ determ\'{\i}nese, si es posible,
alg\'{u}n valor $x^{*}$ para el que se verifique que
$f(x^{*})=0$}. \es

A los valores $x^{*}$ para los que la funci\'{o}n $f(x)$ se anula
habitualmente se les denomina ra\'{\i}ces (o ceros) de la
funci\'{o}n. En general si $f(x)$ admite el valor $x^{*}$ como
ra\'{\i}z, se podr\'{a} encontrar un n\'{u}mero positivo $m$ y una
funci\'{o}n $\varphi (x)$ tales que $\varphi (x^{*})\neq 0$ y, en
un entorno de $x^*$,
\[
f(x)=(x-x^{*})^{m} \varphi (x).
\]
En esa situaci\'{o}n se dir\'{a} que $x^{*}$ es una ra\'{\i}z de
multiplicidad $m.$ As\'{\i} por ejemplo, la funci\'{o}n
$f(x)=(x-1)^{2} (x+2) \sin(x)$ admite, entre otras, las
ra\'{\i}ces $x_{1}^{*}=1$
(de multiplicidad 2) y $x_{2}^{*}=-2$ (de multiplicidad 1). O la funci\'{o}n $%
f(x)=\sqrt[3]{x} (x-4)^{2} e^{x}$ admite la ra\'{\i}z
$x_{1}^{*}=0$ (de multiplicidad 1/3) y la ra\'{\i}z $x_{2}^{*}=4$
(de multiplicidad 2).

No siempre est\'{a} tan claro cu\'{a}l es la multiplicidad de una
ra\'{i}z. Por ejemplo, la funci\'{o}n $f(x)=\sin (x)$ tiene una
ra\'{i}z en $x=0.$ Para expresarla en la forma $f(x)=x g(x)$ la
funci\'{o}n $g(x)$ deber\'{i}a ser $g(x)=\sin (x)/x $ pero esta
funci\'{o}n no est\'{a} definida en $x=0$. Por ello, teniendo en
cuenta que ${\lim }_{x\rightarrow 0}[\sin (x)/x] =1$ la
funci\'{o}n $g(x)$ se define en este caso como:
\[
g(x)=\dis \left\{
\begin{array}{cr}
\dis \frac{\sin(x)}{x} & \mbox{si} \quad x\neq 0 \\[0.2cm]
\noalign{\smallskip} 1 & \mbox{si}\quad  x=0
\end{array}
\right.
\]

De forma an\'{a}loga podr\'{\i}amos operar con las dem\'{a}s
ra\'{\i}ces de la funci\'{o}n ($x=n \pi $, siendo $n$ un n\'umero
entero no negativo). \es

A las ra\'{\i}ces de multiplicidad $1$ se las llama ra\'{\i}ces
simples. A las de multiplicidad $2$ se las designa como ra\'{i}ces
dobles, a las de multiplicidad $3$ como ra\'{\i}ces triples,
etc... Pero seg\'{u}n como se ha definido anteriormente las
multiplicidad de una ra\'{\i}z, \'estas pueden ser en general
n\'{u}meros reales no necesariamente enteros. \es

No obstante, el concepto de multiplicidad de una ra\'{\i}z que
nosotros consideraremos se referir\'{a} s\'{o}lo a valores enteros
positivos. En este
sentido, siendo $m$ un entero positivo y $f(x)$ una funci\'{o}n de clase $%
C^{m}(I)$ (donde $I$ es el intervalo en el que est\'{a} definida),
diremos que una ra\'{\i}z $x^{*}$ de $f(x)$ es de multiplicidad
$m$ si se verifica que:
\[
f(x^{*})=f^{\prime }(x^{*})=f^{\prime \prime
}(x^{*})=....=f^{(m-1}(x^{*})=0,\;\;\;f^{(m}(x^{*})\neq 0
\]

En efecto, si se verifican las condiciones anteriores, al ser $f$
suficientemente regular, un desarrollo en serie de Taylor nos
permitir\'{a} escribir que para todo $x\in I$ existe $\xi _{x}\in
I$ tal que,

\[f(x)=f(x^{*})+(x-x^{*}) f^{\prime }(x^{*})+\frac{(x-x^{*})^{2}%
}{2} f^{\prime \prime }(x^{*})+........+
\]
\[
+\frac{(x-x^{*})^{(m-1)}}{(m-1)!} f^{(m-1}(x^{*})+\frac{(x-x^{*})^{m}}{%
m!} f^{(m}(\xi _{x})=
\]
\[
=(x-x^{*})^{m} \frac{1}{m!} f^{(m}(\xi _{x})=(x-x^{*})^{m} \varphi
(x)
\]
donde se ha denotado por $\varphi (x)$ a la funci\'{o}n $\varphi (x)=\frac{1%
}{m!} f^{(m}(\xi _{x}).$ Ello demuestra que las condiciones
impuestas efectivamente conducen a que la ra\'{\i}z sea de
multiplicidad $m$ en el sentido de la definici\'{o}n dada
inicialmente.

\beobse Es importante hacer las siguientes observaciones:

\begin{enumerate}
\item  Los m\'{e}todos num\'{e}ricos que se abordan a continuaci\'{o}n, en
general, perder\'{a}n velocidad de convergencia cuando las
ra\'{\i}ces a determinar tengan multiplicidad superior a $1$. De
aqu\'{\i} la importancia de poder distinguir entre las ra\'{\i}ces
simples y las ra\'{\i}ces m\'{u}ltiples.

\item  Si se ha determinado una ra\'{i}z $x^{*}$ de multiplicidad $m$ de la
funci\'{o}n $f(x)$ y se desean determinar otras ra\'{\i}ces, puede
calcularse la funci\'{o}n:

\[
\varphi (x)=\dis \left\{
\begin{array}{lr}
\dis \frac{1}{(x-x^{*})^{m}} f(x) & \mbox{si} \quad x\neq x^{*} \\%
[0.2cm]
\noalign{\smallskip} \dis {\lim }_{x\rightarrow x^{*}} \dis \frac{1%
}{(x-x^{*})^{m}} f(x) & \mbox{si} \quad x=x^{*}
\end{array}
\right.
\]
y determinar las ra\'{\i}ces de $\varphi (x)$ que ya no
admitir\'{a} a $x^{*}$ como ra\'{\i}z y sin embargo s\'{\i} que
admitir\'{a} a las dem\'{a}s ra\'{\i}ces de $f(x)$ como
ra\'{\i}ces suyas.
\end{enumerate}

\enobse

Como ya se se\~{n}al\'{o}, los m\'{e}todos iterativos que
analizaremos en este apartado con\-sis\-tir\'{a}n en, a partir de
un valor $x_{0}$ dado, generar una sucesi\'{o}n $\left\{
x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ que converja hacia alguna
soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n. \es

Comencemos presentando un m\'{e}todo muy intuitivo que nos
permitir\'{a} ir asentando ideas.

\subsection{El m\'{e}todo de bipartici\'{o}n}

Consid\'{e}rese una ecuaci\'{o}n no lineal de la forma $f(x)=0$ y
supongamos
que se conocen dos puntos $a$ y $b$ del dominio en el que est\'{a} definida $%
f(x)$ tales que: $a<b$ y que en ellos $f(a)$ tiene signo contrario
a $f(b)$, es decir que $f(a) f(b)<0$. Obviamente estamos
suponiendo que $f(a)$ y $f(b)$ son no nulos pues si alguno de
ellos fuese nulo ya se tendr\'{\i}a una soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n. En estas condiciones si $f(x)$ es una funci\'{o}n
continua en $[a,b],$ por aplicaci\'{o}n del teorema de los valores
intermedios, existir\'{a} al menos un punto $x^{*}$ de este
intervalo en el que $f(x)$ se anule. Por ello, junto a la
hip\'{o}tesis de que $f(a) f(b)<0$ supondremos tambi\'{e}n que
$f\in C([a,b]).$

\beobse El que exista ``al menos'' un punto en el que se anule
$f(x)$ no quiere decir que s\'{o}lo haya uno. Contando cada
ra\'{\i}z de $f(x)$ tantas veces como sea su multiplicidad, si
$f(a) f(b)<0$, habr\'{a} en general un
n\'{u}mero impar de ra\'{\i}ces de $f(x)$ en el intervalo $[a,b]$. Y si $%
f(a) f(b)$ fuese positivo o no hay ninguna ra\'{\i}z o habr\'{a}
un n\'{u}mero par de ellas. \enobse

Una primera aproximaci\'{o}n de este punto $x^{*}$ puede ser el
punto medio:
\[
x_{1}=\frac{a+b}{2}
\]

Si $f(x_{1})=0$ ya se tendr\'{i}a calculada una ra\'{\i}z. Pero
por lo
general, salvo que se tenga mucha suerte, se tendr\'{a} que $%
f(x_{1})\neq 0.$ Pero, al haber supuesto que la funci\'{o}n es continua, si $%
f(a)f(x_{1})<0$ se podr\'{a} afirmar que en el intervalo
$[a,x_{1}]$
habr\'{a} al menos una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n. Y si $%
f(a).f(x_{1})>0 $ se verificar\'{a} que $f(x_{1})f(b)<0$ lo que
nos indicar\'{\i}a que en el intervalo $[x_{1},b]$ existir\'{a} al
menos una
ra\'{\i}z. Por tanto se habr\'{a} definido as\'{\i} un nuevo intervalo $%
[a_{1},b_{1}]$ en el que existir\'{a} una soluci\'{o}n. A \'{e}l
puede aplic\'{a}rsele nuevamente el proceso anterior. \es

En general, partiendo de un intervalo $[a_{j},b_{j}]$ en el que $%
f(a_{j})f(b_{j})<0$ se denotar\'{a} por $x_{j+1}$ al punto medio
del intervalo:
\[
x_{j+1}=\frac{a_{j}+b_{j}}{2}
\]

procediendo a continuaci\'{o}n de la forma siguiente:

\begin{itemize}
\item[a)]  Si $f(x_{j+1})=0$ se habr\'{a} obtenido una soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n: el punto $x_{j+1}.$

\item[b)]  Si $f(a_{j}) f(x_{j+1})<0$ se denotar\'{a} por: $%
a_{j+1}=a_{j}$ y por $b_{j+1}=x_{j+1}$.

\item[c)]  Si $f(a_{j}) f(x_{j+1})>0$ se denotar\'{a} por: $%
a_{j+1}=x_{j+1}$ y por $b_{j+1}=b_{j}$.
\end{itemize}

Al nuevo intervalo $\left[ a_{j+1},b_{j+1}\right] $ se le vuelve a
aplicar el mismo proceso. \es

El problema que se nos puede plantear es: y si ning\'{u}n valor
$f(x_{j})$ (j = 1, 2, ....) tiene la gracia de anularse
\textquestiondown cu\'{a}ndo se detiene el proceso iterativo?. La
respuesta a esta pregunta depender\'{a} de la precisi\'{o}n con la
que se desee obtener la aproximaci\'{o}n de la soluci\'{o}n
buscada. En efecto, si se parte de un intervalo $[a,$ $b]$ la
longitud del mismo es $|b-a|.$ En la primera iteraci\'{o}n se
obtendr\'{a} un intervalo $[a_{1},b_{1}]$ cuya longitud ser\'{a}
la mitad del anterior, es decir $\frac{|b-a|}{2}$ . A su vez, en
la segunda iteraci\'{o}n se obtendr\'{a} un intervalo
$[a_{2},b_{2}]$ de longitud mitad que el anterior, es decir
$\frac{|b-a|}{2^{2}}.$ Siguiendo este proceso, en la j-\'{e}sima
iteraci\'{o}n se obtendr\'{a} un intervalo $[a_{j},b_{j}]$ cuya
longitud ser\'{a} $\frac{|b-a|}{2^{j}}.$ Si se tomara como
aproximaci\'{o}n de la soluci\'{o}n $x^{*}$ existente en dicho
intervalo el punto medio $x_{j+1}$ es evidente que
$$
\dis |x_{j+1}-x^{*}|\leq
\frac{|b_{j}-a_{j}|}{2}=\frac{|b-a|}{2^{(j+1)}}.
$$
Por tanto, si se desease estar seguro de que la distancia de la
aproximaci\'{o}n $x_{j+1}$ a la ra\'{i}z $x^{*}$ fuese inferior a
un determinado valor $\varepsilon $ deber\'{\i}an realizarse un
n\'{u}mero $j$ de iteraciones tal que:
\[
\frac{|b-a|}{2^{(j+1)}}<\varepsilon \quad \Rightarrow \quad
(j+1)\log (2)>\log \left( \frac{|b-a|}{\varepsilon }\right)
\quad \Rightarrow \quad j>\frac{\log \left( \frac{|b-a|%
}{\varepsilon }\right) }{\log (2)}-1
\]

\beobse Obs\'{e}rvese que el n\'{u}mero de iteraciones anterior
asegurar\'{i}a la precisi\'{o}n deseada pero que ello no impide el
que alg\'{u}n valor $x_{i}$ calculado en alguna iteraci\'{o}n
anterior pueda estar igual de cerca (o m\'{a}s) de la soluci\'{o}n
buscada. \enobse

Todo el proceso que hasta aqu\'{\i} se acaba de describir
podr\'{i}a sintetizarse en el si\-guien\-te algoritmo: \es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de bipartici\'{o}n:}}
\es

Dada la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$, el indicador de precisi\'{o}n
$\varepsilon $ y dos puntos $a$ y $b$ en los que $f(a) f(b)<0$,

\begin{enumerate}
\item  Estimar el menor n\'{u}mero natural $N$ tal que:
\[
N>\dis \frac{\log \left( \frac{|b-a|}{\varepsilon }\right) }{\log
(2)}-1
\]

\item  \textbf{Para} $j=1,$ \textbf{hasta} $j=N,$ \textbf{con paso} $1$,
\textbf{hacer:}
\[
x_{j}\leftarrow \frac{a+b}{2}
\]

\hspace{1cm}\textbf{Si} $(f(x_{j})=0)\;$\textbf{entonces:}

\hspace{2cm}tomar $x_{j}$ como ra\'{\i}z $x^{*}$ y finalizar el
proceso

\hspace{1cm}\textbf{si no:}

\hspace{2cm}\textbf{Si} $(f(x_{j}) f(a)$ $<$ $0)$
\textbf{entonces}:

$\hspace{3cm}b\leftarrow x_{j}$

\hspace{2cm}\textbf{si no}:

$\hspace{3cm}a\leftarrow x_{j}$

\hspace{2cm}\textbf{fin condici\'{o}n.}

\hspace{1cm}\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin bucle} en j.

$x^{*}\approx \dis \frac{a+b}{2}$
\end{enumerate}

\textbf{Fin del algoritmo.} \es

El algoritmo anterior nos permitir\'{a} encontrar, en las
condiciones que garantizan el \'{e}xito del proceso (esto es que
$f(x)$ sea continua), una de las ra\'{\i}ces existentes en
$[a,b]$. ż`Pero qu\'{e} condiciones nos
podr\'{i}an garantizar que dicha ra\'{\i}z es la \'{u}nica existente en $%
[a,b] $?. Una posibilidad para ello podr\'{\i}a ser el que la funci\'{o}n $%
f(x)$ fuese estrictamente mon\'{o}tona en el intervalo $[a,b]$. En
otros t\'{e}rminos, el proceso anterior nos demuestra el siguiente
resultado:

\beprop Si la funci\'{o}n $f(x)$ es continua y estr\'{\i}ctamente
mon\'{o}tona en el intervalo $[a,b]$ y adem\'{a}s es tal que $f(a)
f(b)<0$, dado un valor real positivo $\varepsilon $ y denotando
por $N$ al menor n\'{u}mero natural tal que:
\[
N>\frac{\log \left( \frac{|b-a|}{\varepsilon }\right) }{\log
(2)}-1
\]
se verifica que $N$ iteraciones del proceso de bipartici\'{o}n
antes descrito conducen a un valor $x_{N+1}$ que dista de la
\'{u}nica soluci\'{o}n existente en el intervalo $[a,b]$ de la
ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ una magnitud inferior a $\varepsilon $.
\enprop

Ilustremos el m\'{e}todo descrito con un ejemplo.

\bejem (Cortes\'{i}a del Pr. J. Aguado): La presi\'{o}n de vapor
del n-hexano y del n-octano se pueden relacionar con la
temperatura a la que se encuentren mediante las siguientes
expresiones:
\[
\log (P_{C_{6}}^{0})=15.8737-\frac{2697.55}{T-48.784}
\]
\[
\log (P_{C_{8}}^{0})=15.9798-\frac{3127.60}{T-63.633}
\]
donde la presi\'{o}n $P_{i}^{0}$ est\'{a} dada en mil\'{\i}metros
de mercurio y la temperatura $T$ en grados Kelvin. Ello nos
permite estimar la temperatura de ebullici\'{o}n del n-hexano a 2
atm\'{o}sferas (1520 mm Hg)
en 364.39${{}^{o}}$K y la del n-octano a la misma presi\'{o}n en 425.07${%
{}^{o}}$K. Se desea conocer, tambi\'{e}n a la presi\'{o}n de 2
atm\'{o}sferas, la tem\-pe\-ra\-tu\-ra de ebullici\'{o}n de una
mezcla l\'{\i}quida que contenga un 50\% en moles de ambos
componentes. \enejem

Para ello, denotando por $x_{1}$ a la fracci\'{o}n molar en la
fase l\'{\i}quida de n-hexano y por $x_{2}$ a la fracci\'{o}n
molar del n-octano se tendr\'{a} que $x_{1}=$ $x_{2}=0.5.$ Puesto
que el vapor estar\'{a} en
equilibrio, siendo P su presi\'{o}n total (1520 mm Hg) y designando por $%
y_{1}$ e $y_{2}$ a las fracciones de cada componente en el vapor
se tendr\'{a} que:
\[
y_{1}=\frac{P_{1}^{0}}{P} x_{1}=\frac{P_{1}^{0}}{2 P}
\]
\[
y_{2}=\frac{P_{2}^{0}}{P} x_{2}=\frac{P_{2}^{0}}{2 P}
\]
debiendo verificarse que:
\[
y_{1}+y_{2}=1 \quad
\Leftrightarrow \quad \frac{P_{1}^{0}}{2 P}+\frac{P_{2}^{0}}{%
2 P}=1
\]
lo que, reemplazando $P_{1}^{0}$ y $P_{2}^{0}$ por sus expresiones
en funci\'{o}n de la temperatura, nos conduce a la ecuaci\'{o}n no
lineal:
\[
f(T)=\dis
\frac{e^{15.8737-\frac{2697.55}{T-48.784}}}{3040}+\frac{e^{15.9798-\frac{%
3127.60}{T-63.633}}}{3040}-1=0
\]

La temperatura de ebullici\'{o}n $T^{*}$ de la mezcla ser\'{a}
superior a la temperatura de ebullici\'{o}n del n-hexano puro
(364.39${{}^{o}}$K) e inferior a la del n-octano puro
(425.07${{}^{o}}$K). Por ello un intervalo natural en el que
buscar la soluci\'{o}n puede ser [364, 425]. En este intervalo se
verifica que $f(T)$ es una funci\'{o}n continua (es suma de
exponenciales cuyos exponentes est\'{a}n bien definidos en el
intervalo de trabajo) y adem\'{a}s es estr\'{\i}ctamente
mon\'{o}tona creciente (pues es la suma de funciones
estr\'{\i}ctamente mon\'{o}tonas crecientes).

Si en la ecuaci\'{o}n anterior a $T$ se le da el valor \
$T=364{^{o}}K$ se
tendr\'{a} que $f(364)<0.$ An\'{a}logamente si a $T$ se le da el valor \ $%
T=425{{}^{o}}K$ se tendr\'{a} que $f(425)>0.$ Por todo ello
existir\'{a} una \'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n en
dicho intervalo. Si se desea encontrar esta soluci\'{o}n con una
precisi\'{o}n de $\varepsilon =10^{-6}$ deber\'{a}n realizarse al
menos un n\'{u}mero $N$ de iteraciones del m\'{e}todo de
bipartici\'{o}n tal que:
\[
N>\dis \frac{\log \left( \frac{61}{10^{-6}}\right) }{\log
(2)}-1\approx 24.862
\]
es decir $25$ iteraciones. En la primera iteraci\'{o}n se
tomar\'{a}:
\[
x_{1}=\frac{364+425}{2}=394.5
\]
resultando que $f(394.5)=0.277432>0.$ Por tanto, la ra\'{\i}z
buscada estar\'{a} en el intervalo [364, 394.5]. En la segunda
iteraci\'{o}n se considerar\'{a}:
\[
x_{2}=\frac{364+394.5}{2}=379.25
\]
resultando que $f(379.25)=-0.123283<0$ por lo que la soluci\'{o}n
se buscar\'{a} en [379.25, 394.5]. En la tercera iteraci\'{o}n:
\[
x_{3}=\frac{379.25+394.5}{2}=386.875
\]
valor para el que $f(386.875)=0.0626451>0$ por lo que la
soluci\'{o}n se buscar\'{a} en el intervalo [379.25, 386.875].
Posteriores iteraciones del
m\'{e}todo de bipartici\'{o}n nos van conduciendo a los valores: $%
x_{4}=383.0625,$ $x_{5}=384.96...,$ $.....,$
$x_{26}=384.4294930547....$ verific\'{a}ndose en este punto que
\[
f(384.4294930547..)=-0.857630E-08
\]

\beobse Las primeras referencias sobre este m\'{e}todo de
resoluci\'{o}n de ecuaciones, aplicado a la determinaci\'{o}n de
las ra\'{\i}ces de un polinomio de grado 3, se deben al
polifac\'{e}tico cient\'{\i}fico belga Simon Stevin que vivi\'{o}
entre 1548 y 1620. \enobse

\subsection{El m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas}

El m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas (o del punto fijo) para
determinar una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no lineal $f(x)=0$
se basa en el teorema del punto fijo demostrado en la secci\'{o}n
anterior (teorema (\ref{fico})). Para ello el primer paso que se
realiza en este m\'{e}todo consiste en reescribir la ecuaci\'{o}n
$f(x)=0$ en la forma $x=g(x)$.

Advi\'{e}rtase que existen m\'{u}ltiples posibilidades para
transformar la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en otra del tipo $x=g(x)$.
Por ejemplo podr\'{\i}a
despejarse (de la forma que sea) $x$ de la expresi\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $%
f(x)=0$. O podr\'{a} sumarse la variable $x$ en ambos lados de la
ecuaci\'{o}n y designar por $g(x)$ a $(f(x)+x)$:
\[
0=f(x)\Leftrightarrow x=f(x)+x=g(x)
\]

O, siendo $\alpha \neq 0$ podr\'{a} realizarse el proceso:
\[
0=f(x)\Leftrightarrow x=\alpha  f(x)+x=g(x)
\]

O bien, siendo $\alpha \neq 0$ y $\beta \neq 0:$%
\[
0=f(x)\Leftrightarrow \alpha  x=\alpha  x+\beta
f(x)\Leftrightarrow x=\frac{\alpha  x+\beta  f(x)}{\alpha }=g(x)
\]

O bien:
\[
0=f(x)\Leftrightarrow x^{k}=\alpha  f(x)+x^{k}\Leftrightarrow x=\sqrt[k%
]{\alpha  f(x)+x^{k}}=g(x)
\]

O por ejemplo:
\[
0=f(x)\Leftrightarrow \cos (x)=f(x)+\cos (x)\Leftrightarrow
x=\arccos (f(x)+\cos (x))
\]

Y muchas otras opciones ser\'{\i}an posibles. No obstante, no debe
confundirse el hecho de que sea posible considerar m\'{u}ltiples
formas de rescribir la ecuaci\'{o}n en la forma $x=g(x)$ con el
que sea indiferente la forma de hacerlo. En efecto la elecci\'{o}n
de la funci\'{o}n $g(x)$ no es
independiente de la eficacia del m\'{e}todo pudi\'{e}ndose formar funciones $%
g(x)$ que no est\'{e}n definidas en parte del intervalo en el que
se vaya a trabajar, o que no sean aplicaciones, o que no sean
continuas, o que .....no sean contracciones. Desde luego no
tendr\'{a}n el mismo comportamiento unas que otras. Pero dejemos
para un poco m\'{a}s adelante el an\'alisis sobre cuales son las
``buenas'' funciones $g(x)$ que nos interesan. En todo caso, una
vez rescrita la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en la forma $x=g(x)$ el
m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas busca un punto fijo de la
aplicaci\'{o}n $g(x)$ mediante el {\bf esquema de c\'{a}lculo}
siguiente:

\hspace{1cm}{\em Dado un valor $x_{0}$ se genera la sucesi\'{o}n}
$\left\{ x_{i+1}=g(x_{i})\right\} _{i=0}^{\infty }$. \es

Seg\'{u}n lo visto en la secci\'{o}n anterior se tiene el
siguiente resultado:

\beteor\label{ac0} Si $g(x)$ es una contracci\'{o}n definida sobre
un intervalo $[a,b]$ entonces el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas que se acaba de describir ge\-ne\-ra, a partir de
cualquier valor inicial $x_{0}\in [a,b],$ una sucesi\'{o}n
$\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ que converge hacia la
\'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$ en el intervalo
$[a,b]$. \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} En virtud del teorema del punto fijo, por ser $%
g(x)$ una contracci\'{o}n definida sobre el espacio m\'{e}trico completo $%
\left( \left[ a,b\right] ,d_{f}\right) $ admitir\'{a} un \'{u}nico
punto fijo $x^{*}$ que ser\'{a} el l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n
$\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }.$

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Es necesario hacer las siguientes observaciones:

\begin{enumerate}
\item  Puesto que la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ es equivalente a $x=g(x),$ en las
condiciones del teorema anterior, $x^{*}$ ser\'{a} soluci\'{o}n en
$[a,b]$ de la ecuaci\'{o}n equivalente $f(x)=0$.

\item  En otros t\'{e}rminos las buenas funciones $g(x)$ que nos interesan
son aquellas que sean contracciones sobre un determinado intervalo
$[a,b]$ en el que se buscar\'{a} la \'{u}nica soluci\'{o}n en
\'{e}l existente. Adem\'{a}s, como se justific\'{o} en las notas
realizadas al teorema del punto fijo, cuanto menor sea la
constante de Lipschitz de la contracci\'{o}n $g(x)$ m\'{a}s
r\'{a}pidamente converger\'{a} el m\'{e}todo hacia la
soluci\'{o}n.

\item  Interpr\'{e}tese bien el teorema anterior. En \'{e}l se asegura que
bajo ciertas hip\'{o}tesis (el ser $g(x)$ una contracci\'{o}n en $%
([a,b],d_{f}))$ el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas nos
conduce a la \'{u}nica soluci\'{o}n existente en $[a,b]$ de la
ecuaci\'{o}n $f(x)=0$. Pero no se impide que el m\'{e}todo
funcione si no se verifican las hip\'{o}tesis. Simplemente no se
asegura su buen funcionamiento.
\end{enumerate}

\enobse

El demostrar que una aplicaci\'{o}n $g(x)$ es una contracci\'{o}n
mediante la determinaci\'{o}n de su constante de Lipschitz puede,
en ciertas ocasiones, resultar algo laborioso. Por ello pueden
contemplarse variantes m\'{a}s restrictivas (pero m\'{a}s
f\'{a}cilmente aplicables en la pr\'{a}ctica) del teorema
anterior. Un ejemplo de ello es el siguiente teorema:

\beteor\label{ac1} Si $g(x)$ es una aplicaci\'{o}n de clase
$C^{1}([a,b])$, que toma valores en $[a,b]$ y ve\-ri\-fi\-cando la
condici\'{o}n:
\[
\exists k<1\;\;/\;\;|g^{\prime }(x)|\leq k,\qquad \forall x\in
[a,b]
\]
entonces la sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$
generada, a partir de cualquier $x_{0}\in [a,b],$ converge hacia
la \'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$ en $[a,b]$.
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por aplicaci\'{o}n del teorema del
valor medio se verificar\'{a} que:
\[
\forall x,y\in [a,b]\quad \exists \,z\in ]a,b[\,\diagup \quad
g(x)-g(y)=g^{\prime }(z)(x-y)
\]
y por haber supuesto que la primera derivada estaba acotada en
valor absoluto se tendr\'{a} que:
\[
\forall x,y\in [a,b]:\;\;\;\left| g(x)-g(y)\right| \leq k \left|
x-y\right| <\left| x-y\right|
\]
por lo que, teniendo en cuenta que $g:[a,b]\rightarrow [a,b],$ resulta que $%
g(x)$ es una contracci\'{o}n. Aplicando el teorema precedente
quedar\'{a} totalmente demostrado este.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse De hecho una aplicaci\'on $g$ de clase $C^1 ([a,b],\R )$
s\'olo puede contracci\'on si $| g^{\prime}(x)| <1$. Pero puede
haber aplicaciones de clase $C^0$ que sean contracciones y que en
alg\'un punto no admitan derivadas. De aqu\'{\i} el hecho de que
el teorema anterior (\ref{ac1}) sea algo m\'as restrictivo que el
teorema (\ref{ac0}). \enobse

\beobse Cuando en las aplicaciones se utilice este teorema para
comprobar que la aplicaci\'{o}n considerada es una contracci\'{o}n
se tomar\'{a} como aproximaci\'{o}n de la constante de Lipschitz
el valor $k=\dis \max_{%
x\in [a,b]} \left\{ |g^{\prime }(x)|\right\} .$ \enobse

Los dos teoremas precedentes establecen condiciones suficientes de
convergencia global del m\'{e}todo sobre un intervalo $[a,b]$
(esto es independientemente del punto $x_{0}\in [a,b]$ con el que
se arranque el proceso iterativo). Cuando se conozca un cierto
entorno de la soluci\'{o}n buscada pueden establecerse resultados
de convergencia local (esto es para valores de $x_{0}$
suficientemente cercanos a la soluci\'{o}n). As\'{\i} por ejemplo
se tiene el siguiente teorema:

\beteor Si existe una soluci\'{o}n $x^{*}$ de la ecuaci\'{o}n
$x=g(x)$ en un intervalo $[a,b]$ en el que $g(x)$ es de clase
$C^{1}([a,b])$ y $|g^{\prime }(x^{*})|<1$ entonces existe un valor
$\delta >0$ tal que si $\left| x^{*}-x_{0}\right| <\delta $ la
sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i+1}=g(x_{i})\right\} _{i=0}^{\infty }$
verifica que:

\begin{itemize}
\item[a)]
$\dis \left| x^{*}-x_{i}\right| <\delta ,\,\forall\, x_{i}$,
\item[b)]
$\dis {\lim }_{i\rightarrow \infty } x_{i}=x^{*}$.
\end{itemize}

\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por ser $g^{\prime }(x)$ continua en todo $%
x\in [a,b]$ existir\'{a} un intervalo abierto de centro $x^{*}$ y radio $%
\delta ^{\prime }$ tal que en \'{e}l se verifique:
\[
|g^{\prime }(x)|\leq k<1\;\;\;\;\;\;\forall x\in ]x^{*}-\delta
^{\prime },x^{*}+\delta ^{\prime }[
\]

Considerando un valor $\delta <\delta ^{\prime }$ se tendr\'{a}
por tanto que:
\[
|g^{\prime }(x)|\leq k<1\;\;\;\;\;\;\forall x\in [x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]
\]

Adem\'{a}s, al ser $g$ de clase $C^{1}([x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta
])$, un desarrollo en serie de Taylor nos conduce a que:
\[
\forall x\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]\quad \exists\, \xi
_{x}\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]\,\mbox{tal que}
\]
\[
\quad g(x)=g(x^{*})+(x-x^{*}) g^{\prime }(\xi _{x})
\]
luego $\forall x\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$ se tiene que

$$
\left| x^{*}-g(x)\right| \leq \left| x-x^{*}\right| \leq \delta
$$
lo que demuestra que $\forall x\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$ la imagen $%
g(x)$ tambi\'{e}n pertenece al intervalo $[x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]$. Consecuentemente $g(x)$ es una contracci\'{o}n
en $[x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ].$ Ello conduce a que: $\forall
x_{i}\in \left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{\infty}$ se tiene que
$$
|x_{i}-x^{*}|=|g(x_{i-1})-g(x^{*})|\leq k |x_{i-1}-x^{*}|\leq
$$
\[
\leq k^{2} |x_{i-2}-x^{*}|\leq .....\leq k^{i} |x_{0}-x^{*}|\leq
k^{i} \delta
\]

Al ser $k<1$ bastar\'{a} con escoger el \'{\i}ndice $i$
suficientemente elevado para que todos los elementos de la
sucesi\'{o}n con \'{\i}ndice mayor que $i$ sean tan cercanos a
$x^{*}$ como se desee. En otros t\'{e}rminos
$$
x^{*}=\lim_{x\to\infty} x_{i}.
$$

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Cuanto menor sea el valor de $|g^{\prime }(x^{*})|$ menor
ser\'{a} la cota de $|x_{i}-x^{*}|$\ obtenida en la
demostraci\'{o}n anterior y por ello
mejor (en el sentido de m\'as r\'apida) ser\'{a} la convergencia del m\'{e}todo si se %%@
parte de un punto suficientemente cercano a la soluci\'{o}n.
\enobse

Los teoremas precedentes establecen condiciones suficientes para
que el m\'{e}todo de apro\-xi\-ma\-cio\-nes sucesivas converja. De
esta forma, si se verifican las hip\'{o}tesis de cualquiera de los
teoremas anteriores, seleccionado el punto inicial $x_{0},$ todo
consistir\'{a} en generar a partir de \'{e}l $x_{1}=g(x_{0}),$ y a
partir de este $x_{2}=g(x_{1}),$ y as\'{\i} sucesivamente. Tras
hacer infinitas iteraciones alcanzar\'{\i}amos la soluci\'{o}n
buscada. Pero, evidentemente, no pueden realizarse ``infinitas''
iteraciones. Por ello la cuesti\'{o}n que nos planteamos ahora es
\textquestiondown cu\'{a}ntas iteraciones nos garantizar\'{\i}an
una precisi\'{o}n determinada?. La respuesta a este dilema nos la
proporciona el siguiente teorema:

\beteor \label{22} Siendo $g(x)$ una contracci\'{o}n definida en
el intervalo $[a,b]$ la distancia entre la \'{u}nica soluci\'{o}n
$x^{*}$ de la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$ y cualquier elemento de la
sucesi\'{o}n $\left\{ x_{n}=g(x_{n-1})\right\} _{n=0}^{\infty },$
generada a partir de cualquier valor $x_{0}\in [a,b],$ est\'{a}
acotada mediante la expresi\'{o}n:
\[
\left| x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{k^{n}}{1-k} \left|
x_{1}-x_{0}\right|
\]
donde $k$ es la constante de Lipschitz de la contracci\'{o}n.
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} V\'{e}ase la segunda observaci\'on
realizada tras la demostraci\'{o}n del teorema del punto fijo
(\ref{fico}).

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Es importante notar que:

\begin{enumerate}
\item  Bajo las hip\'{o}tesis del teorema precedente, si se desea asegurar
que el error cometido es menor que un cierto valor $\varepsilon $
la expresi\'{o}n anterior nos conduce que deben realizarse un
n\'{u}mero $N$ de iteraciones tal que:
\[
\dis
\frac{k^{N}}{1-k} \left| x_{1}-x_{0}\right| <\varepsilon \Rightarrow N> %
\dis \left| \frac{\log \left( \frac{\varepsilon  (1-k)}{|x_{1}-x_{0}|}%
\right) }{\log (k)}\right|
\]

\item  Si no se conoce el valor exacto de la constante de Lipschitz de la
aplicaci\'{o}n puede estimarse de forma aproximada de diferentes
formas. Por ejemplo, tras cada iteraci\'{o}n del m\'{e}todo
podr\'{i}a obtenerse una aproximaci\'{o}n de dicha constante
mediante:
\[
k\approx |g^{\prime }(x_{i})| \approx \frac{\left|
g(x_{i-1})-g(x_{i-2})\right| }{\left| x_{i-1}-x_{i-2}\right|
}=\frac{\left| x_{i}-x_{i-1}\right| }{\left|
x_{i-1}-x_{i-2}\right| }
\]

\item  Una interpretaci\'{o}n gr\'{a}fica del m\'{e}todo consiste
simplemente en buscar la intersecci\'{o}n entre la bisectriz del
primer cuadrante y la contracci\'{o}n $g(x)$\ mediante sucesivos
``escalones'' comprendidos entre la gr\'{a}fica de $g(x)$ y la
bisectriz del primer cuadrante. Es decir:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig41.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%@
%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{enumerate}

\enobse

En la pr\'{a}ctica, en lugar de calcular a priori el n\'{u}mero de
iteraciones a realizar se va estimando en cada iteraci\'{o}n la
distancia del valor en ella hallado a la soluci\'{o}n exacta. Esta
estimaci\'{o}n se realiza simplemente evaluando la diferencia
entre las dos \'{u}ltimas aproximaciones halladas que, cuando
$g(x)$ es una contracci\'{o}n, son un indicador de la cercan\'{i}a
a la soluci\'{o}n exacta en virtud del siguiente teorema:

\begin{theorem}
Siendo $g(x)$ una contracci\'{o}n definida en el intervalo $[a,b]$
la distancia entre la \'{u}nica soluci\'{o}n $x^{*}$ de la
ecuaci\'{o}n $x=g(x)$ y cualquier elemento de la sucesi\'{o}n
$\left\{ x_{n}=g(x_{n-1})\right\} _{n=0}^{\infty },$ generada a
partir de cualquier valor $x_{0}\in [a,b],$ est\'{a} acotada
me\-dian\-te la expresi\'{o}n:
\[
\left| x^{*}-x_{n}\right| \leq \frac{k}{1-k} \left|
x_{n}-x_{(n-1)}\right|
\]
donde $k$ es la constante de Lipschitz de la contracci\'{o}n.
\end{theorem}

\underline{Demostraci\'{o}n:} V\'{e}ase la observaci\'on
(\ref{richi}), apartado c), realizada tras la demostraci\'{o}n del
teorema del punto fijo (\ref{fico}).

\hspace{10cm}c.q.d.

Con ello, cuando $g(x)$ sea una contracci\'{o}n, al ser $k<1$,
bastar\'{a} con hacer un n\'{u}mero de iteraciones tal que $\left|
x_{n}-x_{(n-1)}\right| $ sea suficientemente peque\~{n}o para asegurar que $%
\left| x^{*}-x_{n}\right| $ tambi\'{e}n es peque\~{n}o. Este
control de la convergencia debe acompa\~{n}arse con la
limitaci\'{o}n del n\'{u}mero de
iteraciones a realizar en previsi\'{o}n de los casos en los que, no siendo $%
g(x)$ una contracci\'{o}n, el m\'{e}todo no converja. M\'{a}s
concretamente un algoritmo del m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas, en el que se parte de la ecuaci\'{o}n equivalente
$x=g(x)$ es el siguiente: \es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas:}} \es

Dada la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$, el indicador de precisi\'{o}n
$\varepsilon $ , un valor m\'{a}ximo del n\'{u}mero de iteraciones
que se permiten realizar $(maxiter)$ y un punto $x_{0}$ con el que
inicializar el proceso,

$tol\leftarrow 2 \varepsilon $

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 0$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} $%
\mathbf{(}tol>\varepsilon )$ \textbf{)}, \textbf{hacer:}
\[
x_{1}\leftarrow g(x_{0})
\]
\[
tol\leftarrow \left| x_{1}-x_{0}\right|
\]
\[
iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1
\]
\[
x_{0}\leftarrow x_{1}
\]

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} $(tol<\varepsilon )\;$\textbf{entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $x_{1}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.} \es

Ilustremos el m\'{e}todo que se acaba de describir mediante un
ejemplo.

\bejem (Cortes\'{\i}a del Pr. J. Arsuaga): La expresi\'{o}n de
Plank proporciona la densidad de energ\'{\i}a radiada $u$
(energ\'{\i}a por unidad de volumen) por un emisor perfecto (un
cuerpo negro) que se encuentre a la
temperatura absoluta $T$ en el intervalo de frecuencias desde un valor $%
\vartheta $ hasta $\vartheta +\delta \vartheta $ mediante:
\[
u(\vartheta ,T)=\frac{8\pi h}{c^{3}}
\dis \frac{\vartheta ^{3}}{e^{\frac{%
h \vartheta }{k T}}-1}
\]

En la ecuaci\'{o}n anterior $\pi $ puede tomarse como 3.1416, $h$
es la constante de Plank $(6.626 10^{-34}J\,s)$, $k$ es la
constante de Boltzmann $(1.38066 10^{-23}J/K\mathcal{)}$ y $c$ es
la velocidad de la
luz en el vac\'{i}o $(c=3 10^{8}m/s).$ Se desea saber la frecuencia $%
\vartheta >0$ para la que, a una determinada temperatura fija
$T>0$, se hace m\'{a}xima la densidad de energ\'{i}a emitida.
\enejem

Para ello, siendo $u(\vartheta ,T)=u_T (\vartheta )$ la
energ\'{\i}a radiada a temperatura prefijada $T>0$, es decir

\[
u_{T}(\vartheta )=\frac{8\pi h}{c^{3}} \frac{\vartheta ^{3}}{e^{\frac{%
h \vartheta }{k T}}-1}
\]
denotemos por $M$ a la constante:
\[
M=\frac{8\pi h}{c^{3}}
\]
y por $N$ a la constante:
\[
N=\frac{h}{k}
\]

Con esta notaci\'{o}n resultar\'{a} que:
\[
u_{T}(\vartheta )=M \dis \frac{\vartheta ^{3}}{e^{N \frac{
\vartheta }{T}}-1}.
\]

El extremo de esta funci\'{o}n se alcanzar\'{a} en alg\'{u}n punto
en el que se anule su primera derivada, es decir, que para
calcularlo debe resolverse la ecuaci\'{o}n no lineal:
\[
\frac{du_{T}}{d\vartheta }(\vartheta )=M.\frac{3 \vartheta ^{2}
\left( e^{N \frac{\vartheta }{T}}-1\right) -\vartheta ^{3}
\frac{N}{T} e^{N \frac{\vartheta }{T}}}{\left( e^{N \frac{%
\vartheta }{T}}-1\right) ^{2}}=0.
\]

Puesto que el denominador de la expresi\'{o}n anterior nunca se
anula (los valores de $\vartheta $ considerados son
estr\'{\i}ctamente positivos) y la constante $M$ tampoco es nula,
las soluciones de la ecuaci\'{o}n anterior son las mismas que las
de la ecuaci\'{o}n:
\[
3 \vartheta ^{2} \left( e^{N \frac{ \vartheta }{T}%
}-1\right) -\vartheta ^{3} \frac{N}{T} e^{N \frac{\vartheta }{%
T}}=0
\]
o, dividiendo esta expresi\'{o}n por $\vartheta ^{2},$ (lo cual
nos eliminar\'{\i}a dos veces la frecuencia $\vartheta =0$ que
est\'{a} descartada del conjunto de frecuencias con inter\'{e}s
pr\'{a}ctico) se obtiene otra ecuaci\'{o}n con las mismas
soluciones no nulas que las de la ecuaci\'{o}n anterior:
\[
3 \left( e^{N \frac{ \vartheta }{T}}-1\right) -N \frac{%
\vartheta }{T} e^{N \frac{\vartheta }{T}}=0
\]

Llamando $\alpha $ a la relaci\'{o}n: $\alpha =N \frac{\vartheta
}{T}$ la ecuaci\'{o}n anterior se transforma en:
\[
3 \left( e^{\alpha }-1\right) -\alpha  e^{\alpha
}=0\Longleftrightarrow \left( 3-\alpha \right)  e^{\alpha
}=3\Leftrightarrow
\]
\[
\Leftrightarrow 3-\alpha =3e^{-\alpha }\Leftrightarrow \alpha =3
(1-e^{-\alpha })
\]

Una soluci\'{o}n de esta ecuaci\'{o}n, obviamente, es la
soluci\'{o}n trivial $\alpha =0.$ Esta soluci\'{o}n nos
conducir\'{\i}a a $\vartheta =0,$ es decir otra vez a la
frecuencia nula que est\'{a} descartada del conjunto de
frecuencias con inter\'{e}s pr\'{a}ctico. Por tanto intentaremos
buscar otras soluciones de la ecuaci\'{o}n $\alpha =g(\alpha
)=3\left( 1-e^{-\alpha }\right) .$ Ello puede hacerse mediante el
{\bf m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas}. Para ello, teniendo en cuenta que $N$, $T$ y $%
\vartheta $ son positivas podr\'{\i}amos pensar en ubicarnos, en
principio, en el espacio m\'{e}trico $([0,\infty [,d_{f})$ que es
un espacio m\'{e}trico completo. Sin embargo en \'{e}l $g(\alpha
)$ no es una contracci\'{o}n (basta con comprobar que $g^{\prime
}(1)=3/e \approx 1.104$. Busquemos pues un intervalo en el que
$g(\alpha )$ s\'{i} sea una contracci\'{o}n. Puesto que:
\[
g^{\prime }(\alpha )=3e^{-\alpha }
\]
se verificar\'{a} que:
\[
0<g^{\prime }(\alpha )<1, \qquad \forall \,\alpha >\log (3)\approx
1.0986
\]

Por este motivo buscaremos la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n en
$[\ln (3) ,\infty [.$ N\'{o}tese que al ser $g(\alpha )$ una
funci\'{o}n continua mon\'{o}tona creciente y verificarse que
$g(0) = 3 (1-1) = 0$ y que
\[
\dis g(\ln (3))=3 (1-e^{-\ln (3)})\approx 2 >\ln (3)
\]
s\'{o}lo se ha perdido la soluci\'{o}n (in\'{u}til en la pr\'{a}ctica) $%
\alpha =0$ al descartar el intervalo $[0, \ln (3)[$ del espacio de
b\'{u}squeda de las soluciones, y que adem\'{a}s:

\begin{itemize}
\item[a)]  s\'{o}lo habr\'{a} una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $\alpha
=g(\alpha ) $ distinta de la soluci\'{o}n nula,

\item[b)]  la \'{u}nica soluci\'{o}n existente pertenece a $[\ln (3), \infty
[,$

\item[c)]  el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas nos va a conducir a
dicha soluci\'{o}n no nula.
\end{itemize}

Apliquemos pues el m\'{e}todo partiendo de $\alpha _{0}=1.1.$ Se
ir\'{a}n obteniendo sucesivamente los valores siguientes:
\[
\alpha _{1}=g(\alpha _{0})=3 (1-e^{-1.1})=2.001386749
\]
\[
\alpha _{2}=g(\alpha _{1})=3 (1-e^{-2.001386749})=2.594556788
\]
\[
\alpha _{3}=g(\alpha _{2})=3 (1-e^{-2.594556788})=2.775963098
\]
\[
\alpha _{4}=g(\alpha _{3})=3 (1-e^{-2.775963098})=2.813131625
\]
\[
\alpha _{5}=g(\alpha _{4})=3 (1-e^{-2.813131625})=2.819949757
\]
\[
\alpha _{6}=g(\alpha _{5})=3 (1-e^{-2.819949757})=2.821173187
\]
\[
\alpha _{7}=g(\alpha _{6})=3 (1-e^{-2.821173187})=2.821391836
\]
\[
\alpha _{8}=g(\alpha _{7})=3 (1-e^{-2.821391836})=2.821430884
\]
\[
\alpha _{9}=g(\alpha _{8})=3 (1-e^{-2.821430884})=2.821437856
\]
\[
\alpha _{10}=g(\alpha _{9})=3 (1-e^{-2.821437856})=2.821439101
\]
\[
\alpha _{11}=g(\alpha _{10})=3 (1-e^{-2.821439101})=2.821439324
\]
\[
\alpha _{12}=g(\alpha _{11})=3 (1-e^{-2.821439324})=2.821439364
\]
\[
\alpha _{13}=g(\alpha _{12})=3 (1-e^{-2.821439364})=2.821439371
\]
\[
\alpha _{14}=g(\alpha _{13})=3 (1-e^{-2.821439371})=2.821439372
\]
\[
\alpha _{15}=g(\alpha _{14})=3 (1-e^{-2.821439372})=2.821439372
\]
no obteni\'{e}ndose diferencias de valor, con los 9 decimales que
hemos utilizado en el c\'{a}lculo, para posteriores iteraciones.
Por tanto la soluci\'{o}n buscada ser\'{a} $\alpha ^{*}\approx
2.821439372.$ A partir de este valor, puesto que hab\'{\i}amos
denotado por $\alpha =N \frac{\vartheta }{T}$, se tendr\'{a} que
la frecuencia a la que se maximiza la energ\'{\i}a est\'{a} dada
por:
\[
\vartheta^{*}\approx 2.821439372 \frac{T}{N} =2.821439372 \dis
\frac{hT}{k}.
\]

\beobse N\'otese que:
\begin{enumerate}
\item  El resultado del ejercicio anterior muestra que la relaci\'{o}n entre
la frecuencia a la que se emite la m\'{a}xima energ\'{\i}a y la
temperatura siempre es:
\[
\frac{\vartheta ^{*}}{T}\approx \frac{2.821439372}{N}=\frac{2.821439372}{%
\frac{h}{k}}=\frac{2.821439372 1.38066 10^{-23}}{6.626
10^{-34}}\approx
\]
\[
\approx 5.879 10^{10}s^{-1} K^{-1}
\]

\item  La anterior es una forma de expresar la llamada ``ley del
desplazamiento'' de Wien que dice que la frecuencia a la que se
produce la emisi\'{o}n m\'{a}xima es directamente proporcional a
la temperatura absoluta del cuerpo emisor.

\item  A partir de la f\'{o}rmula de Plank:
\[
u(\vartheta ,T)=\frac{8\pi h}{c^{3}} \dis
\frac{\vartheta ^{3}}{e^{\frac{%
h \vartheta }{k T}}-1}
\]
se puede obtener la ecuaci\'{o}n de Stefan-Boltzmann (que
hist\'{o}ricamente es anterior) seg\'{u}n la cual la potencia
total radiada por unidad de superficie (a todas las frecuencias) a
una determinada temperatura absoluta es directamente proporcional
a la 4${{}^{a}}$\ potencia de la misma, es decir:
\[
S=\sigma T^{4}
\]
donde $\sigma $\ es la constante de Stefan-Boltzmann. Basta para
obtener
esta expresi\'{o}n efectuar el proceso de integraci\'{o}n: $%
\dis S=\int_{0}^{\infty }u(\vartheta ,T) d\vartheta $...... pero
eso es objeto de otra disciplina.
\end{enumerate}

\enobse

%%%%%%%%%%%%% QUITAR PARA LOS CHICOS

\subsubsection{La t\'{e}cnica de sobreiteraci\'{o}n}

En ocasiones la aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas a la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$ conducir\'{a} a un proceso
que converge muy lentamente (por tener su constante de Lipschitz
pr\'{o}xima a 1) o que no converge. En esas ocasiones ser\'{a}
conveniente modificar la ecuaci\'{o}n equivalente
convirti\'{e}ndola en otra de la forma $x=h(x)$ en la que $h(x)$
tenga mejores propiedades de cara a la convergencia del m\'{e}todo
hacia la soluci\'{o}n $x^{*}$. Una estrategia que en ocasiones nos
puede ayudar en este proceso consiste en modificar la ecuaci\'{o}n
de la forma:
\[
x=g(x)\Leftrightarrow x+\rho  x=g(x)+\rho  x\Leftrightarrow x=%
\frac{g(x)+\rho  x}{1+\rho }=h(x)
\]

Se dispone as\'{i} de un par\'{a}metro $\rho $ con el que intentar
mejorar la velocidad de convergencia del algoritmo de
aproximaciones sucesivas. Ello se podr\'{\i}a lograr, en virtud
del teorema de convergencia local antes presentado, dando a $\rho
$ el valor de $-g^{\prime }(x^{*})$ (cuando este sea no nulo) pues
en ese caso:
\[
h^{\prime }(x^{*})=\frac{g^{\prime }(x^{*})+(-g^{\prime }(x^{*}))}{%
1-g^{\prime }(x^{*})}=0
\]

La dificultad de este proceso, conocido con el nombre de
t\'{e}cnica de sobreiteraci\'{o}n, radica en estimar el valor de
$g^{\prime }(x^{*})$ .... sin conocer $x^{*}.$ No obstante, aunque
parezca incre\'{\i}ble, en ocasiones esto podr\'{a} hacerse. Como
bot\'{o}n de muestra sirva el siguiente ejemplo.

\bejem
Determinar la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no lineal $x^{2}-a=0$ siendo $%
a\in \R$, $a>0$. \enejem

Si se desea conocer la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no lineal
$x^{2}-a=0$ siendo $a$ un n\'{u}mero estr\'{\i}ctamente positivo
puede procederse, en primer lugar de la siguiente forma
\[
x^{2}-a=0\Leftrightarrow x x=a\Leftrightarrow x=\frac{a}{x}=g(x)
\]

No obstante, esta funci\'{o}n $g(x)$ nos sirve de poco para
calcular la ra\'{\i}z pues si se parte de un valor $x_{0}\neq
\sqrt{a}$ se tendr\'{a} que:
\[
x_{1}=g(x_{0})=\frac{a}{x_{0}};\;\;\;x_{2}=g(x_{1})=\frac{a}{\frac{a}{x_{0}}}%
=x_{0};\;\;\;\;x_{3}=g(x_{2})=\frac{a}{x_{0}};....
\]
es decir, que la sucesi\'{o}n que nos proporciona el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas ser\'{a}:
\[
\left\{ x_{0},\frac{a}{x_{0}},x_{0},\frac{a}{x_{0}},x_{0},\frac{a}{x_{0}}%
,.......\right\}
\]
que como se ve no converge hacia nada.

No obstante en este caso se tendr\'{a} que:
\[
g^{\prime }(x^{*})=-\frac{a}{(x^{*})^{2}}
\]
y como en la soluci\'{o}n buscada se verificar\'{a} que:
$(x^{*})^{2}=a$ resultar\'{a} que:
\[
g^{\prime }(x^{*})=-\frac{a}{a}=-1
\]

Por tanto puede intentarse el m\'{e}todo de sobreiteraci\'{o}n
tomando como valor
$$
\rho =-g^{\prime }(x^{*})=1.
$$

Con ello la ecuaci\'{o}n se transformar\'{a} en:
\[
x=h(x)=\dis \frac{\frac{a}{x}+x}{1+1}=\frac{a+x^{2}}{2
x}=\frac{1}{2} (x+\frac{a}{x})
\]

As\'{\i} si por ejemplo, se considera que $a=16$ el esquema
anterior, partiendo de $x_{0}=1$ nos conduce a que:
\[
x_{1}=h(x_{0})=\frac{17}{2}=8.5
\]
\[
x_{2}=h(x_{1})=\frac{88.25}{17}=5.191176470
\]
\[
x_{3}=4.136664722
\]
\[
x_{4}=4.002257525
\]
\[
x_{5}=4.000000637
\]
\[
x_{6}=4.000000001
\]
\[
x_{6}=4.000000000
\]

\beobse Este procedimiento de c\'{a}lculo de ra\'{\i}ces cuadradas
es atribuido a Her\'{o}n de Alejandr\'{\i}a (arquitecto e
ingeniero que vivi\'{o} en la segunda mitad del siglo I) y se
conoce con el nombre de regla de Her\'{o}n o regla mec\'{a}nica
para el c\'{a}lculo de ra\'{\i}ces cuadradas. A pesar de llevar el
nombre de Her\'{o}n, pues la regla aparece recogida por primera
vez en su obra ``M\'{e}trica'', se cree que este m\'{e}todo es
debido en realidad a Arqu\'{\i}medes de Siracusa (ingeniero y
matem\'{a}tico del siglo III antes de Cristo). A pesar de su
antig\"{u}edad, este m\'{e}todo es empleado actualmente en
numerosas calculadoras cient\'{\i}ficas debido a su gran velocidad
de convergencia hacia el valor de la ra\'{\i}z cuadrada de
cualquier n\'{u}mero real positivo $a$. \enobse


%%%%%%%%%%%% HASTA AQUI

\subsection{El m\'{e}todo de Newton-Raphson}

Consid\'{e}rese la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en la que supongamos que
$f(x)$ es una funci\'{o}n de clase $C^{2}([a,b]).$ Supongamos
adem\'{a}s que la
ecuaci\'{o}n anterior admite una soluci\'{o}n $x^{*}$ en el intervalo $%
[a,b]. $ Para cualquier otro valor $x_{0}\in [a,b]$, denotando por
$h$ al valor tal que $x^{*}=x_{0}+h,$ la expresi\'{o}n del
desarrollo en serie de Taylor nos permitir\'{\i}a escribir que:
\[
0=f(x^{*})=f(x_{0}+h)=f(x_{0})+h  f^{\prime }(x_{0})+\frac{h^{2}}{2}%
 f^{''}(x_{0}+\theta h),\qquad \theta \in [0,1].
\]

Si conocido $x_{0}$ se fuese capaz de determinar $h$ resolviendo
la ecuaci\'{o}n:
\[
f(x_{0})+hf^{\prime }(x_{0})+\frac{h^{2}}{2}f^{''}(x_{0}+\theta
h)=0
\]
podr\'{i}a evaluarse $x^{*}$ como $x^{*}=x_{0}+h.$ Pero para
resolver esta ecuaci\'{o}n primero deber\'{\i}amos conocer el
valor de $\theta $ (lo cual no es obvio) y una vez conocido
resolver una ecuaci\'{o}n, en general, no
lineal pues obs\'{e}rvese que $h$ interviene en la expresi\'{o}n $%
f^{''}(x_{0}+\theta h).$ Por tanto, salvo en situaciones muy
particulares, no se ganar\'{\i}a gran cosa reemplazando el
problema de resolver $f(x)=0$ por el de resolver
\[
F(h)=f(x_{0})+h f^{\prime }(x_{0})+\frac{h^{2}}{2}
f^{''}(x_{0}+\theta h)=0.
\]

El {\bf m\'{e}todo de Newton-Raphson} (o m\'{e}todo de
linealizaci\'{o}n de Newton) se sustenta en simplificar la
expresi\'{o}n anterior linealiz\'{a}ndola. Para ello considera que
si se est\'{a} suficientemente cerca de la soluci\'{o}n (es decir,
si $h$ es suficientemente peque\~{n}o) el t\'{e}rmino $\dis
\frac{h^{2}}{2} f^{''}(x_{0}+\theta h)$ podr\'{a} despreciarse
frente a los otros t\'{e}rminos de la ecuaci\'{o}n. Por ello
resuelve la ecuaci\'{o}n lineal:
\[
f(x_{0})+Hf^{\prime }(x_{0})=0
\]
de la que se obtiene que:
\[
H=-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}
\]

Obviamente, al ser diferente la ecuaci\'{o}n linealizada que la
proporcionada por el desarrollo de Taylor, se tendr\'{a} que
$H\neq h$ y por tanto
\[
x^{*}=x_{0}+h\neq x_{1}=x_{0}+H.
\]
De una forma intuitiva (que m\'{a}s adelante deberemos precisar
cu\'{a}ndo es correcta) puede pensarse que aunque $x_{1}$ sea
diferente de $x^{*}$ ser\'{a} un valor m\'{a}s pr\'{o}ximo a
$x^{*}$ que $x_{0}$ pues lo hemos obtenido ``aproximando'' el
valor $h$ que nos llevaba de $x_{0}$ a $x^{*}.$ Ello, al menos,
ser\'{a} as\'{\i} cuando $h$ sea suficientemente peque\~{n}o, es
decir cuando $x_{0}$ sea suficientemente pr\'{o}ximo a $x^{*}.$
Con ello el m\'{e}todo de Newton-Raphson propone repetir este
proceso de forma recursiva hasta estar lo suficientemente cercanos
a la soluci\'{o}n buscada. M\'{a}s concretamente el {\bf
m\'{e}todo de Newton-Raphson} consiste en:

\hspace{1cm}{\em Dado un valor} $x_{0},$ {\em generar la
sucesi\'{o}n} $\dis \left\{ x_{i+1}=\dis
x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}\right\} _{i=0}^{\infty
}.$

%%%%%%%%%%%%% QUITAR PARA LOS CHICOS

\beobse Un poco de historia sobre el m\'{e}todo. Esta idea para
a\-pro\-xi\-mar las ra\'{i}ces de las ecuaciones tiene sus
antecedentes en trabajos anteriores a Newton, debidos al
matem\'{a}tico franc\'{e}s Fran\c{c}ois Vi\`{e}te que vivi\'{o}
entre 1540 y 1603. El m\'{e}todo se recogi\'{o} por primera vez en
la obra ``Algebra'' del matem\'{a}tico ingl\'{e}s John Wallis
aparecida en 1685. No obstante el prol\'{i}fico matem\'{a}tico y
f\'{\i}sico ingl\'{e}s Sir Isaac Newton la hab\'{\i}a aplicado ya
a la resoluci\'{o}n de algunas ecuaciones no lineales en escritos
suyos anteriores partiendo de un valor suficientemente pr\'{o}ximo
de la ra\'{\i}z y calculando, en una primera aproximaci\'{o}n, el
incremento que le acercaba m\'{a}s a la ra\'{\i}z, en una segunda
aproximaci\'{o}n, el incremento del incremento que mejoraba la
aproximaci\'{o}n anterior, en una tercera aproximaci\'{o}n el
incremento del incremento del incremento, y as\'{\i}
sucesivamente. As\'{\i}, Newton aplica el m\'{e}todo a la
ecuaci\'{o}n
\[
x^{3}-2 x-5=0\;\;\;\;\;\;\;\;(1)
\]
y considera como valor $x_{0}=2,$\ que supone que dista menos de
la unidad de una soluci\'{o}n exacta, suponiendo entonces que una
ra\'{\i}z de esta ecuaci\'{o}n es $x^{*}=(2+\delta x).$\
Sustituyendo esta expresi\'{o}n en la propia ecuaci\'{o}n obtiene:
\[
\left( \delta x\right) ^{3}+6 \left( \delta x\right) ^{2}+10
(\delta x)-1=0\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)
\]

Al haber supuesto que $\delta x<1,$\ Newton desprecia los t\'{e}rminos en $%
\left( \delta x\right) ^{3}$\ y en $\left( \delta x\right) ^{2}$\
aproximando $\delta x\approx 0.1.$\ Tras ello considera que
$\delta x=0.1+\delta ^{2}x$\ con lo que inyectada esta
expresi\'{o}n en (2) se obtiene que:
\[
\left( \delta ^{2}x\right) ^{3}+6.3 \left( \delta ^{2}x\right)
^{2}+11.23 (\delta ^{2}x)+0.061=0\;\;\;\;\;\;(3)
\]
de donde despreciando los t\'{e}rminos en $\left( \delta
^{2}x\right) ^{3}$ y en $\left( \delta ^{2}x\right) ^{2}$ obtiene
que $\delta ^{2}x\approx
-0.0054$ por lo que $\delta x\approx 0.1-0.0054$. Considera entonces que $%
\delta ^{2}x=-0.054+\delta ^{3}x$ y vuelve a repetir el proceso
anterior,
sustituyendo esta expresi\'{o}n en (3) y obteniendo una aproximaci\'{o}n de $%
\delta ^{3}x.$ Procediendo de forma iterativa Newton obtiene una
aproximaci\'{o}n aceptable de la ra\'{\i}z.

En 1690 en una publicaci\'{o}n del matem\'{a}tico ingl\'{e}s
Joseph Raphson, en la que no menciona a Newton, se describe el
m\'{e}todo de una forma m\'{a}s pr\'{o}xima a c\'{o}mo se utiliza
hoy en d\'{\i}a: actualizando el valor de la aproximaci\'{o}n de
la ra\'{\i}z y calculando un nuevo incremento para esta
actualizaci\'{o}n. Concretamente, sobre la misma ecuaci\'{o}n no
lineal Raphson realizar\'{\i}a la primera iteraci\'{o}n considerando que $%
x^{*}=(2+\Delta_{1}x)$ y obteniendo, al igual que Newton,
$\Delta_{1}x=0.1$ por lo que llama $x_{1}=2.1$ Tras ello supone
que $x^{*}=2.1+\Delta_{2}x$ y procede sustituyendo
$(2.1+\Delta_{2}x)$ en la ecuaci\'{o}n (1),
despreciando los t\'{e}rminos cuadr\'{a}ticos y c\'{u}bicos y estimando que $%
\Delta _{2}x=-0.0054$ y continuando as\'{\i} el proceso.

Como puede apreciarse ambas formas de proceder son equivalentes,
pero, operacionalmente, es m\'{a}s sencilla la forma en que
Raphson modifica la t\'{e}cnica propuesta por Newton. Pero
tambi\'{e}n puede observarse que en ambas formas de proceder no
aparece expl\'{\i}citamente la primera derivada de la funci\'{o}n
que define la ecuaci\'{o}n. T\'{e}ngase en cuenta que es por esta
misma \'{e}poca cuando el propio Newton en Inglaterra y el gran
matem\'{a}tico Gottfried Wilhelm Leibniz en el continente europeo
est\'{a}n asentando las bases del c\'{a}lculo
in\-fi\-ni\-te\-si\-mal. Adem\'{a}s, por supuesto que la forma de
obtener el m\'{e}todo tanto por Newton como por Raphson fue
m\'{a}s heur\'{\i}stica (pues hasta el a\~{n}o 1715 en la
publicaci\'{o}n del matem\'{a}tico ingl\'{e}s Brook Taylor
``Methodus incrementorum directa e inversa'' no se present\'{o} el
desarrollo en serie que lleva su nombre). Hubo que esperar m\'{a}s
de un siglo, hasta 1818, para que el matem\'{a}tico franc\'{e}s
Joseph Fourier comenzase el an\'{a}lisis de las condiciones de
convergencia del m\'{e}todo y acabase de formularlo en la forma en
que es utilizado hoy en d\'{\i}a. \enobse

%%%%%%%%%%% HASTA AQUI


Sobre este m\'{e}todo, en primer lugar, puede observarse que si
denotamos por:
\[
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}
\]
estamos en presencia de un caso particular del m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas antes contemplado. En otros t\'{e}rminos,
se tienen las siguientes propiedades:

\beprop Si la funci\'{o}n $g(x)=\dis x-\frac{f(x)}{f^{\prime
}(x)}$ es una contracci\'{o}n definida en $[a,b]$ la sucesi\'{o}n
dada por
\[
\dis \left\{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime
}(x_{i})}\right\} _{i=0}^{\infty }
\]
obtenida a partir de cualquier punto $x_{0}\in [a,b]$ converge
hacia la \'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en
$[a,b].$ \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} Es un caso particular de los
teoremas de convergencia del m\'{e}todo de
a\-pro\-xi\-ma\-cio\-nes sucesivas.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beprop Si la funci\'{o}n $g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$
definida en $[a,b]$ toma va\-lo\-res en $[a,b],$ es de clase
$C^{1}([a,b])$ y adem\'{a}s:
\[
|g^{\prime }(x)|=\left| \frac{f^{''}(x)  f(x)}{(f^{\prime
}(x))^{2}}\right| <1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall x\in [a,b]
\]
entonces la sucesi\'{o}n dada por
\[
\dis \left\{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime
}(x_{i})}\right\} _{i=0}^{\infty }
\]
obtenida a partir de cualquier punto $x_{0}\in [a,b]$ converge
hacia la \'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en
$[a,b].$ \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} Es un caso particular del teorema
1.8. de convergencia del m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Obs\'ervese lo siguiente:

\begin{enumerate}
\item  Que la aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo de Newton-Raphson
exige que los va\-lo\-res de $f^{\prime }(x_{i})$\ no se anulen.

\item  Una interpretaci\'{o}n gr\'{a}fica del m\'{e}todo puede obtenerse
teniendo en cuenta que $f^{\prime }(x_{i})$\ geom\'{e}tricamente
representa la tangente trigonom\'{e}trica de la recta tangente a
la gr\'{a}fica de $f(x) $ en el punto $(x_{i},f(x_{i}))$ por lo
que $\dis \left| f(x_{i})/ f^{\prime }(x_{i})\right| $ ser\'{a} la
distancia existente entre $x_{i}$\ y el punto de corte de la recta
tangente a $f(x)$ en $(x_{i},f(x_{i}))$ con el eje de abscisas. Es
decir que las primeras iteraciones del proceso se pueden
representar de la forma en que se recoge en la figura siguiente:
\end{enumerate}

\enobse
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig42.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura2}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5


Al igual que se hizo con el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas, las condiciones que garantizan la convergencia global
del m\'{e}todo pueden ser sustituidas por otras que garantizan su
convergencia local (esto es si el punto $x_{0}$ con el que se
inicializa el m\'{e}todo es suficientemente cercano a la
soluci\'{o}n buscada). Con ello se pueden rebajar las
``exigencias'' sobre la funci\'{o}n que garanticen el co\-rrec\-to
funcionamiento del m\'{e}todo. En concreto es de aplicaci\'{o}n a
este m\'{e}todo el siguiente teorema:

\beteor
Si $f\in C^{2}[a,b]$ y $x^{*}$ es una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $%
f(x)=0 $ en la que $f^{\prime }(x^{*})\neq 0$ entonces existe un valor $%
\delta >0$ tal que la sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{%
f^{\prime }(x_{i})}\right\} _{i=0}^{\infty }$ generada a partir de
cualquier punto $x_{0}\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$ converge
hacia $x^{*}.$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por ser $f^{\prime }(x)$ continua en
$x^{*}$
existir\'{a} un intervalo $[x^{*}-\delta _{1},x^{*}+\delta _{1}]$ en el que $%
f(x)\neq 0$, $\forall \,x\in [x^{*}-\delta _{1},x^{*}+\delta
_{1}].$ Por tanto la aplicaci\'{o}n:
\[
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}
\]
tambi\'{e}n estar\'{a} definida y ser\'{a} continua en
$[x^{*}-\delta _{1},x^{*}+\delta _{1}]$ y verificar\'{a} que
$x^{*}=g(x^{*}).$ Adem\'{a}s como:
\[
g^{\prime }(x)=\frac{f(x) f^{''}(x)}{(f^{\prime }(x))^{2}}
\]
y se ha supuesto que $f(x)\in C^{2}([a,b])$ resultar\'{a} que
$g(x)\in C^{1}([x^{*}-\delta _{1},x^{*}+\delta _{1}]).$ Y como
$f(x^{*})=0$ se tendr\'{a} que:
\[
g^{\prime }(x^{*})=\frac{f(x^{*}) f^{''}(x^{*})}{(f^{\prime }(x^{*}))^{2}}%
=0
\]

Luego se tiene una aplicaci\'{o}n $g(x)$ de clase
$C^{1}([x^{*}-\delta _{1},x^{*}+\delta _{1}])$ y tal que
$|g^{\prime }(x^{*})|=0<1.$ Por tanto, al ser $g^{\prime }(x)$
continua en $x^{*}$ para cualquier valor $k<1$ existir\'{a} un
valor $0<\delta \leq \delta _{1}$ tal que:
\[
|g^{\prime }(x)|\leq k<1 ,\qquad \forall \, x\in [x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]
\]

Adem\'{a}s se verificar\'{a} que $\forall x\in [x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]$ tal que $g(x)\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$.
En efecto, si $x\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$ se tendr\'{a}
que $|x^{*}-x|\leq \delta $ y por el teorema de los incrementos
finitos se tendr\'{a} que $\exists z\in [x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]$:
\[
\left| g(x)-x^{*}\right| =\left| g(x)-g(x^{*})\right| =|g(z)|
\left| x-x^{*}\right| \leq k  \delta <\delta
\]

En resumen $g(x)$ es una contracci\'{o}n definida sobre el espacio
m\'{e}trico completo $([x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ],d_{f})$ y por
tanto admitir\'{a} un \'{u}nico punto fijo $x^{*}$ que es el
l\'{\i}mite de la sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i+1}=g(x_{i})\right\}
_{i=0}^{\infty }$ sea cual sea el punto $x_{0}\in [x^{*}-\delta
,x^{*}+\delta ]$ con el que se inicialice.

\hspace{10cm}c.q.d. \es

El teorema anterior puede ser completado estimando cotas de la
distancia a la soluci\'{o}n de la aproximaci\'{o}n obtenida en una
iteraci\'{o}n respecto a la obtenida en la iteraci\'{o}n
precedente. En efecto, esto se hace en el siguiente teorema:

\beteor Dada la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ y suponiendo que $f(x)$ es
una funci\'{o}n que verifica las siguientes hip\'{o}tesis:

\begin{itemize}
\item[a)]  est\'{a} definida en un intervalo $[a,b]$ en el que existe una
soluci\'{o}n $x^{*}$ de la ecuaci\'{o}n

\item[b)]  $f^{\prime }(x)$ es una aplicaci\'{o}n lipschitciana de raz\'{o}n
$k$ en $[a,b]$

\item[c)]  $\exists \beta >0$ tal que $|f^{\prime }(x)|>\beta $ \ \ \ \ \ $%
\forall x\in [a,b]$
\end{itemize}
entonces existe alg\'{u}n valor $\delta $ tal que si se considera
$x_{0}\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ,]$ la sucesi\'{o}n
\[
\dis \left\{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime
}(x_{i})}\right\} _{i=0}^{\infty }
\]
converge hacia $x^{*}$ y adem\'{a}s se verifica que:
\[
|x_{i+1}-x^{*}|\leq \frac{k}{2 \beta } |x_{i}-x^{*}|
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Demostremos en primer lugar la
\'{u}ltima desigualdad del teorema. Para ello se sabe que:
\[
x_{i+1}-x^{*}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i)}}-x^{*}=x_{i}-x^{*}-%
\frac{f(x_{i})-f(x^{*})}{f^{\prime }(x_{i)}}=
\]
\[
=\frac{1}{f^{\prime }(x_{i})}.\left[ f(x^{*})-f(x_{i})-f^{\prime
}(x_{i}) (x^{*}-x_{i})\right]
\]

Como por otra parte se tendr\'{a} que:
\[
f(x^{*})-f(x_{i})=\int_{x_{i}}^{x^{*}}f^{\prime }(x)dx
\]
y por tanto:
\[
f(x^{*})-f(x_{i})-f^{\prime }(x_{i})
(x^{*}-x_{i})=\int_{x_{i}}^{x^{*}}(f^{\prime }(x)-f^{\prime
}(x_{i}))dx
\]
se obtiene que:
\[
\left| f(x^{*})-f(x_{i})-f^{\prime }(x_{i}) (x^{*}-x_{i})\right|
=\left| \int_{x_{i}}^{x^{*}}(f^{\prime }(x)-f^{\prime
}(x_{i}))dx\right| \leq
\]
\[
\leq \int_{x_{i}}^{x^{*}}\left| f^{\prime }(x)-f^{\prime
}(x_{i})\right| .dx\leq k \int_{x_{i}}^{x^{*}}\left|
x-x_{i}\right| dx\leq \frac{k}{2} \left| x-x_{i}\right| ^{2}
\]
por lo que:
\[
\left| x_{i+1}-x^{*}\right| \leq \frac{k}{2 \beta } \left|
x-x_{i}\right| ^{2}
\]

%\hspace{14cm}c.q.d.

Una vez demostrada la desigualdad anterior la convergencia de la
sucesi\'{o}n se garantizar\'{\i}a logrando que fuese una
sucesi\'{o}n de Cauchy y que estuvi\'{e}ramos trabajando en un
espacio m\'{e}trico completo. Para ello basta con tomar $\delta
_{1}=\min \{|x^{*}-a|,|x^{*}-b|\}$ y considerar
\[
\dis \delta =\min\dis \left\{ \delta _{1},\theta  \left( \frac{2
\beta }{k}\right) \right\}
\]
donde $\theta $ es un valor de $]0,1[$ elegido de tal forma que
$\theta
 \left( \frac{2 \beta }{k}\right) <1.$ Con ello la distancia entre
$x_{0}\in [x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ]$ y $x^{*}$ ser\'a inferior
o igual a
$\theta  \left( \frac{2 \beta }{k}\right) <1$, la distancia entre $%
x_{1}$ y $x^{*}$ verificar\'{a} que:
\[
\left| x_{1}-x^{*}\right| \leq \frac{k}{2 \beta } \left|
x-x_{0}\right| ^{2}\leq \theta ^{2} \frac{2\beta }{k}\leq \theta
 =\theta
\]
y por recurrencia se comprueba que la distancia a la sucesi\'{o}n
va decreciendo de forma tal que bastar\'{a} con considerar un
\'{\i}ndice lo suficientemente grande para hacerla, a partir de
\'{e}l, tan peque\~{n}a como se desee. Por tanto, al ser
($[x^{*}-\delta ,x^{*}+\delta ],d_{f})$ un completo si $x_{0}$
pertenece a este intervalo quedar\'{a} garantizada la convergencia
del m\'{e}todo de Newton-Raphson.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Obs\'{e}rvese lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item   Que la desigualdad del teorema anterior
\[
|x_{i+1}-x^{*}|\leq \frac{k}{2 \beta } |x_{i}-x^{*}|
\]
no garantiza por s\'{\i} sola la convergencia del m\'{e}todo pues
simplemente establece una cota del valor de $|x_{i+1}-x^{*}|.$ Es
la pertenencia del valor inicial $x_{0}$ a un intervalo
suficientemente peque\~{n}o en torno a la ra\'{\i}z la que
garantiza el \'{e}xito del proceso.

\item  En este sentido es interesante reflexionar sobre el significado de la
relaci\'{o}n $k/2\beta $. En ella $k$ es la constante de Lipschitz de $%
f^{\prime }(x).$ Pero multiplicando la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ por
un par\'{a}metro $\alpha \neq 0$ se obtiene una ecuaci\'{o}n
equivalente $\alpha
f(x)=F(x)=0$ en la que la constante de Lipschitz de la funci\'{o}n $%
F^{\prime }(x)$se ve afectada por el par\'{a}metro $\alpha $.
Obviamente tambi\'{e}n se ver\'{\i}a afectado por este
par\'{a}metro el valor de $\beta $ (cota inferior del valor
absoluto que toma $f^{\prime }(x)$\ en el intervalo de trabajo).
Por ello la relaci\'{o}n $k /\beta $ es un l\'{\i}mite superior de
la ``no linealidad'' de $f(x)$ y la desigualdad del teorema
anterior nos indica que cuanto menor sea este \'{\i}ndice de no
linealidad m\'{a}s r\'{a}pida ser\'{a} la convergencia hacia la
soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n. En el caso extremo de que $f(x)$
sea lineal (una recta de ecuaci\'{o}n $k x+c$) la constante de
Lipschitz de $f^{\prime }(x)$ ser\'{a} $0$ y la cota inferior de
la derivada ser\'{a} $k$ por lo que la convergencia se
alcanzar\'{a} en una iteraci\'{o}n del m\'{e}todo.
\end{enumerate}

\enobse

Ilustremos el proceso anterior con un ejemplo que si bien no es
propio de la ingenier\'{\i}a qu\'{\i}mica es real como la vida
misma:

\bejem El dinero necesario para pagar la cuota correspondiente a
un cr\'{e}dito hipotecario a inter\'{e}s fijo se suele estimar
mediante la denominada ``ecuaci\'{o}n de la anualidad ordinaria'':
\[
Q=\frac{A}{i} [1-(1+i)^{-n}]
\]
en donde $Q$ es la cantidad (en euros) pedida en pr\'{e}stamo, $A$
es la cuota (en euros) que debe pagar el beneficiario del
pr\'{e}stamo, $i$ es la tasa de inter\'{e}s (en tanto por 1)
fijado por la entidad bancaria que concede el pr\'{e}stamo y $n$
es el n\'{u}mero de periodos durante los cuales se realizan pagos
de la cuota (meses si se paga mensualmente, trimestres si se paga
trimestralmente, semestres si se paga semestralmente o a\~{n}os si
se paga anualmente).

Una pareja que desea comenzar una vida en com\'{u}n se plantea
adquirir una vivienda y para ello saben que necesitan pedir un
pr\'{e}stamo de 150000 euros a pagar semestralmente durante un
plazo que ellos desean que sea de 10 a\~{n}os. Sabiendo que para
atender este pago pueden destinar una cantidad m\'{a}xima de 600
euros mensuales, calc\'{u}lese cual es el tipo m\'{a}ximo de
inter\'{e}s al que pueden negociar su pr\'{e}stamo con las
entidades bancarias.

Puesto que el pago es semestral, en 10 a\~{n}os realizar\'{a}n un
total de 20 cuotas. Adem\'{a}s dado que pueden pagar 600 euros al
mes, cada semestre podr\'{a}n afrontar el pago de 3600 euros. Ello
hace que la ecuaci\'{o}n de la anualidad ordinaria quede:
\[
150000=\frac{3600}{i} [1-(1+i)^{-20}]
\]
o bien
\[
f(i)=150000-\frac{3600}{i} [1-(1+i)^{-20}]=0
\]

Se tiene entonces que:
\[
f^{\prime }(i)=\frac{3600}{i} \left[ \frac{1}{i}\left(
1-(1+i)^{-20}\right) -20 (1+i)^{-21}\right]
\]
por lo que el m\'{e}todo de Newton nos conducir\'{i}a al esquema
de c\'{a}lculo:
\[
i_{j+1}=i_{j}-\frac{150000-\frac{3600}{i_{j}} [1-(1+i_{j})^{-20}]}{%
\frac{3600}{i_{j}} \left[ \frac{1}{i_{j}}\left(
1-(1+i_{j})^{-20}\right) -20 (1+i_{j})^{-21}\right] }
\]
que, partiendo de $i_{0}=0.03$ nos proporcionar\'{a} la siguiente
sucesi\'{o}n de valores:

$$
i_{1}=-0.1647..,\qquad i_{2}=-0.1212...,\qquad
i_{3}=-0.0852...,\qquad i_{4}=-0.0659..,
$$
$$
i_{5}=-0.0617...,\qquad i_{6}=-0.0616...,\qquad i_{7}=-0.0616...
$$

Como resultado de lo anterior se dan cuenta que dif\'{\i}cilmente
podr\'{a}n encontrar la vivienda que desean pues parece razonable
pensar que ning\'{u}n banco o caja de ahorros les conceder\'{a} un
pr\'{e}stamo a un inter\'{e}s semestral negativo del $-6.16 \%$.
Por ello tras planear dejar de ver a sus respectivas amistades y
reinvertir el dinero que gastan en copas para adquirir la casa de
sus sue\~{n}os aumentan la cantidad que mensualmente pueden
dedicar a amortizar el cr\'{e}dito hasta 5400 euros semestrales y
asumen endeudarse durante 15 a\~{n}os en lugar de 10. Con ello el
m\'{e}todo de Newton-Raphson se convierte ahora en el esquema
iterativo:
\[
i_{j+1}=i_{j}-\frac{150000-\frac{5400}{i_{j}} [1-(1+i_{j})^{-30}]}{%
\frac{5400}{i_{j}} \left[ \frac{1}{i_{j}}\left(
1-(1+i_{j})^{-30}\right) -30 (1+i_{j})^{-31}\right] }
\]
y les proporciona la siguiente sucesi\'{o}n:
\[
i_{0}=0.03,\quad i_{1}=-0.0022..,\quad i_{2}=0.0044...,\quad
i_{3}=0.050..., \quad i_{4}=0.0050...
\]

Tras innumerables gestiones, la pareja en cuesti\'{o}n no
encuentra ninguna entidad bancaria que les conceda el pr\'{e}stamo
de 150000 euros al 0.5\% de inter\'{e}s semestral. Por ello,
haciendo de tripas coraz\'{o}n, deciden endeudarse durante 20
a\~{n}os en lugar de 15 pero pagando la misma cantidad de 5400
euros semestrales pues (al ser un miembro de la pareja profesor
asociado de tipo 1 en la Universidad Rey Juan Carlos y el otro
administrativo de la escala C en un Organismo Oficial) les es
imposible pagar m\'{a}s. Con ello el esquema iterativo se
convierte en:
\[
i_{j+1}=i_{j}-\frac{150000-\frac{5400}{i_{j}} [1-(1+i_{j})^{-40}]}{%
\frac{5400}{i_{j}} \left[ \frac{1}{i_{j}}\left(
1-(1+i_{j})^{-40}\right) -40 (1+i_{j})^{-41}\right] }
\]
y les conduce a que: $i_{0}=0.03,$ $i_{1}=0.0175...,$ $i_{2}=0.0190...,$ $%
i_{3}=0.0191...,$ $i_{4}=0.0191...$

Desmoralizados al seguir sin encontrar entidad bancaria alguna que
les conceda el pr\'{e}stamo al inter\'{e}s del $1^{\prime}91\%$
semestral, la pareja toma la decisi\'{o}n de renunciar a su casa
ideal y busca otra (m\'{a}s alejada de la zona que les gusta, sin
buenas comunicaciones, m\'{a}s antigua, m\'{a}s peque\~{n}a y
constru\'{\i}da con materiales de peor calidad) para la que
s\'{o}lo necesitan un pr\'{e}stamo de 100000 euros y mantienen las
dem\'{a}s condiciones anteriores: pago de 5400 euros semestrales y
20 a\~{n}os de ``condena''. El esquema de Newton-Raphson en este
caso les lleva a:
\[
i_{j+1}=i_{j}-\frac{100000-\frac{5400}{i_{j}} [1-(1+i_{j})^{-40}]}{%
\frac{5400}{i_{j}} \left[ \frac{1}{i_{j}}\left(
1-(1+i_{j})^{-40}\right) -40 (1+i_{j})^{-41}\right] }
\]
luego $i_{0}=0.03,$ $i_{1}=0.0423..,$ $i_{2}=0.0444...,$ $i_{3}=0.0445...,$ $%
i_{4}=0.0445..,$

Como finalmente ya encuentran una entidad que (tras duras
negociaciones y previo a\-va\-la\-mien\-to de fiadores solventes)
les otorga el pr\'{e}stamo al inter\'{e}s del $4^{\prime}45\%$ la
pareja puede comenzar una feliz vida en pareja en la que durante
20 a\~{n}os renunciar\'{a}n a sus amigos (tranquilos que ellos
tambi\'{e}n se pringar\'{a}n) sin dinero para nada que no sea la
supervivencia m\'{a}s elemental y, por supuesto, pagar la
vivienda, y residiendo en una casa que no es la que les gusta.
\enejem

\beobse T\'engase en cuenta lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item  Esperamos que el lector que haya seguido el ejemplo anterior no eche
la culpa de la situaci\'{o}n a Sir Isaac Newton
%(matem\'{a}tico y f\'{i}sico ingles de finales del siglo XVII y comienzos del XVIII),
que aunque algo tuvo que ver con la banca no es el que fija los
sueldos ni los tipos de inter\'{e}s bancario, ni al matem\'{a}tico
ingl\'{e}s contempor\'{a}neo de Newton, Joseph Raphson.
Adem\'{a}s, para tranquilidad del lector, hemos de informarle que
en la pareja del ejemplo uno de ellos, el ad\-mi\-nis\-tra\-ti\-vo
del Organismo Oficial (pues el otro, aunque cobraba poco, se
encontraba a gusto en una Universidad de calidad), al poco tiempo,
sali\'{o} elegido concejal del ayuntamiento en el pueblo al que
fueron a vivir y de all\'{\i} salt\'{o} al Consejo de
Ad\-mi\-nis\-tra\-ci\'{o}n de Telef\'{o}nica en el que, aparte de
olvidar el m\'{e}todo de Newton-Raphson, obtuvo ping\"{u}es
beneficios comprando lo que se llama algo as\'{\i} como ``stock
options''.
\item  Hablando m\'{a}s en serio, obs\'{e}rvese que en el primer caso del
ejemplo anterior, cuando la amortizaci\'{o}n del cr\'{e}dito era
de 3600 euros y el plazo de pago 20 semestralidades el dinero
total que se pagaba es de 72000 euros que no cubre el pr\'{e}stamo
solicitado (150000 euros).\ Por ello no es extra\~{n}o que el
inter\'{e}s resultante sea negativo aun cuando ello no tenga
sentido en la realidad.\ Pero es que tampoco lo tiene que en un
pr\'{e}stamo se devuelva menos dinero del recibido.
\item  Tambi\'{e}n se puede observar utilizando el ejemplo anterior que la
convergencia del m\'{e}todo depende de la ``cercan\'{\i}a'' del
punto de partida a la soluci\'{o}n. En efecto si en el \'{u}ltimo
de los supuestos considerados (pr\'{e}stamo de 100000 euros,
amortizaci\'{o}n semestral de 5400 euros y 40 pagos semestrales)
se hubiese partido de un inter\'{e}s inicial del 300\% (es decir
$i_{0}=3$ ) la sucesi\'{o}n obtenida (y los
valores de $f(i_{j})$ ) resultan ser: $i_{1}=-160.66666..$ $%
(f(i_{1})=1.00034 10^{6}$, $f^{\prime }(i_{1})=0.20919..)$, $%
i_{1}=-478.35425..$ $(f(i_{1})=1.00000 10^{6},$ $f^{\prime
}(i_{1})=0.2359 10^{-7}),$ ....valores que no convergen hacia
nada.
\end{enumerate}

\enobse

\beobse
Si se quiere encontrar el valor de la ra\'{\i}z cuadrada de un n\'{u}mero $%
a>0 $ puede buscarse como la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n no lineal $%
f(x)=x^{2}-a=0.$ Para ello el m\'{e}todo de Newton-Raphson nos
conduce al esquema:

\[
x_{i+1}=x_{i}-\frac{x_{i}^{2}-a}{2 x_{i}}=\frac{1}{2} \left( x_{i}+%
\frac{a}{x_{i}}\right)
\]
recuper\'{a}ndose as\'{\i} el %conocida con el nombre de
m\'{e}todo de Her\'{o}n (o regla mec\'{a}nica) con el que
ilustr\'{a}bamos la t\'{e}cnica de sobreiteraci\'{o}n. \enobse

En ocasiones, para funciones $f(x)$ que satisfagan alguna
hip\'{o}tesis adicional, pueden rebajarse las condiciones que
aseguran la convergencia del m\'{e}todo de Newton Raphson. Un
ejemplo de ello es el siguiente teorema:

\beteor Si $f(x)\in C^{2}([a,b])$, es creciente y convexa en
$[a,b]$ y admite alguna ra\'{i}z en $[a,b],$ entonces la
sucesi\'{o}n $\dis
\left\{ x_{i+1}=x_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime } (x_{i})}%
\right\}_{i=0}^{\infty }$ generada a partir de cualquier valor
$x_{0}\in [a,b],$ converge hacia la \'{u}nica soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ en $[a,b].$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} La unicidad de la soluci\'{o}n de
$f(x)$ $=0$ es evidente por ser $f(x)$ continua y creciente en
$[a,b].$ Adem\'{a}s por ser $f(x)$ convexa se verificar\'{a} que
$f^{''}(x)>0$, $\forall \,x\in [a,b].$ Y por ser creciente se
verificar\'{a} que $f^{\prime }(x)>0$, $\forall x\in [a,b].$
Denotemos por $h_{i}=x_{i}-x^{*}.$ Se tendr\'{a} que:
\[
h_{i+1}=x_{i+1}-x^{*}=x_{i}-x^{*}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}=\frac{%
h_{i} f^{\prime }(x_{i})-f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}
\]

Como por otra parte, desarrollando en serie de Taylor se tiene que
existe un punto $\xi _{i}\in [a,b]$ para el que:
\[
0=f(x^{*})=f(x_{i}-h_{i})=f(x_{i})-h_{i} f^{\prime }(x_{i})+\frac{1}{2}%
 h_{i}^{2} f^{''}(\xi _{i})
\]
resultar\'{a} que:
\[
h_{i} f^{\prime }(x_{i})-f(x_{i})=\frac{1}{2} h_{i}^{2} f^{''}(\xi
_{i})
\]

Entrando con esta expresi\'{o}n en la que nos proporcionaba
$h_{i+1}$ se obtiene:
\[
h_{i+1}=\frac{h_{i} f^{\prime }(x_{i})-f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}=%
\frac{1}{2} \frac{f^{''}(\xi _{i})}{f^{\prime }(x_{i})}
h_{i}^{2}>0
\]

Lo anterior nos indica que $x_{i+1}$ siempre ser\'{a} mayor que
$x^{*}$. Adem\'{a}s, por ser $f(x)$ creciente,
$f(x_{i+1})>f(x^{*})=0.$ Luego las sucesiones $\left\{
x_{i}\right\} _{i=1}^{\infty }$ y $\left\{ f(x_{i})\right\}
_{i=1}^{\infty }$ son sucesiones acotadas in\-fe\-rior\-mente por
$x^{*}$ y por $0$ respectivamente. Por otra parte se tiene que:
\[
h_{i+1}=\frac{h_{i} f^{\prime }(x_{i})-f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}%
=h_{i}-\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}<h_{i}
\]
lo que nos indica que la sucesi\'{o}n $\left\{ h_{i}\right\}
_{i=1}^{\infty } $ es una sucesi\'{o}n decreciente y siempre
positiva (pues recu\'{e}rdese que $x_{i}>x^{*}$ para todo $i>0)$.
Ello quiere decir que su l\'{\i}mite ser\'{a} $0$ y por tanto el
l\'{\i}mite de $\left\{ x_{i}\right\} _{i=1}^{\infty }$ ser\'{a}
$x^{*}.$

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Resultados similares al anterior podr\'{i}an obtenerse si
$f(x),$ adem\'{a}s de ser de clase $C^{2}([a,b])$ fuese convexa
decreciente, o c\'{o}ncava creciente o c\'{o}ncava decreciente.
Dejamos al lector la demostraci\'{o}n de los mismos.\enobse

En cuanto a la forma de detener el proceso iterativo, cuando $g(x)$ $=x-%
\dis \frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$ sea una contracci\'{o}n puede
seguirse la misma estrategia que en el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas, es decir que cuando $|x_{i}-x_{i-1}|$
sea inferior a un cierto $\varepsilon $ puede
considerarse que $x_{i}$ es una buena aproximaci\'{o}n de la soluci\'{o}n $%
x^{*}$. Pero un c\'{o}digo inform\'{a}tico que recoja el
m\'{e}todo de Newton-Raphson deber\'{\i}a ser aplicable a
situaciones en las que $g(x)$ no es una contracci\'{o}n y detectar
por s\'{\i} solo si se encuentra una soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n o no. \textquestiondown C\'{o}mo saber en esos casos
que se est\'{a} cerca de la soluci\'{o}n buscada?. Obs\'{e}rvese
por ejemplo que si $f^{\prime }(x_{i})$ toma un valor elevado el valor de $%
|x_{i+1}-x_{i}|$ puede hacerse muy peque\~{n}o sin necesidad de que $%
f(x_{i}) $ sea pr\'{o}ximo a $0.$ Eso nos llevar\'{\i}a a que un
criterio de detenci\'{o}n del proceso iterativo ser\'{\i}a que
$|f(x_{i+1})|<\delta $ donde $\delta $ es un par\'{a}metro fijado
de antemano y suficientemente peque\~{n}o. Lamentablemente este
criterio tampoco es fiable pues puede darse el caso de funciones
en las que $f(x_{i+1})$ sea muy peque\~{n}o est\'{a}ndose muy
alejados de la soluci\'{o}n. Por ejemplo, si se considera la
funci\'{o}n $f(x)=xe^{-x}$ y se quiere encontrar una soluci\'{o}n
no negativa de la ecuaci\'{o}n $f(x)=0,$ la \'{u}nica soluci\'{o}n
es $x^{*}=0$ pero para valores de $x_{i}=10^{i}$ el valor de
$f(x_{i})$ se hace tan
peque\~{n}o como se desee con tal de tomar $i$ lo suficientemente elevado.%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig43.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura3}
\end{figure}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

Puede entonces pensarse en que cuando las derivadas de la
funci\'{o}n tengan valor absoluto elevado los valores de
$|x_{i+1}-x_{i}|$ ser\'{a}n peque\~{n}os pero el criterio de que
$|f(x_{i+1})|<\delta $ nos servir\'{a} para saber si se est\'{a}
cerca o lejos de la soluci\'{o}n buscada en tanto que cuando
$|f(x_{i+1})|<\delta $ ser\'{a} el analizar si
$|x_{i+1}-x_{i}|<\varepsilon $ lo que nos permitir\'{a} discernir
si estamos cerca o no de la soluci\'{o}n buscada. Lamentablemente
tampoco este criterio cubre todas las situaciones que puedan darse
pues puede haber situaciones en las que la sucesi\'{o}n se acumule
en torno a un m\'{i}nimo suficientemente pr\'{o}ximo a $0$ pero
lejano de la soluci\'{o}n. Por ejemplo, si la gr\'{a}fica de una
funci\'{o}n fuera como la de la figura, en torno a $x = 6$ se
puede producir una acumulaci\'{o}n de valores que nos
conducir\'{a}n hacia el m\'{\i}nimo de la funci\'{o}n en lugar de
hacia la soluci\'{o}n $x^{*}=0.$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig44.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura4}
\end{figure}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

N\'{o}tese que en este caso la derivada de $f(x)$ se anula en
alg\'{u}n punto por lo que no se verifican las hip\'{o}tesis que
aseguran la convergencia del proceso. En tal caso proceder\'{\i}a
cambiar de punto de arranque del proceso para ubicarnos en una
zona en la que s\'{\i} est\'{e} garantizada la convergencia.

Aunque existen test de control de la cercan\'{\i}a a la
soluci\'{o}n basados en la consideraci\'{o}n de los valores de
$|x_{i+1}-x_{i}|$ y de los de $f$ y sus derivadas en $x_{i+1},$
cambiando de punto de arranque del proceso iterativo cuando el
m\'{e}todo se ``atasca'' en torno a alg\'{u}n punto que no es
ra\'{\i}z, nosotros nos limitaremos en estos apuntes a considerar
como
control de cercan\'{\i}a a la soluci\'{o}n el que $|x_{i+1}-x_{i}|<%
\varepsilon $ y que $|f(x_{i+1})|<\delta $ . Esta estrategia
ser\'{a} suficiente para los casos en que est\'{e} asegurada la
convergencia del m\'{e}todo y ser\'{a} acompa\~{n}ada con la
limitaci\'{o}n del n\'{u}mero m\'{a}ximo de iteraciones que se
permite realizar para asegurar la finalizaci\'{o}n del algoritmo
en los casos en que no haya convergencia.

Ello nos permite escribir un algoritmo recogiendo el m\'{e}todo de
Newton-Raphson como el que sigue: \es

\centerline{ {\bf Algoritmo del m\'{e}todo de Newton-Raphson:}}
\es

Dada la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$, los indicadores de precisi\'{o}n
$\varepsilon $ y $\delta $, un valor m\'{a}ximo del n\'{u}mero de
iteraciones que se permiten realizar $(maxiter)$ y un punto
$x_{0}$ con el que inicializar el proceso,

$tolx\leftarrow 2 \varepsilon $

$tolf\leftarrow 2 \delta $

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 0$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} ($%
\mathbf{(}tolx>\varepsilon )$ \textbf{o} $(tolf>\delta )$
\textbf{)}, \textbf{hacer:}

\hspace{2cm}\textbf{Si} $(f^{\prime }(x_{0})=0)$
\textbf{entonces:}

\hspace{3cm}\textbf{Escribir} mensaje de error (derivada nula) y

\hspace{3cm}finalizar el proceso

\hspace{2cm}\textbf{si no:}

\[
x_{1}\leftarrow x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}
\]
\[
tolx\leftarrow \left| x_{1}-x_{0}\right|
\]
\[
tolf\leftarrow |f(x_{1})|
\]

\[
iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1
\]
\[
x_{0}\leftarrow x_{1}
\]

\hspace{2cm}\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} ($(tolx<\varepsilon )\;\mathbf{y}$ $(tolf<\delta )$ ) \textbf{%
entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $x_{1}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.}

\beobse En muchas ocasiones la diferencia entre dos valores
consecutivos de las aproximaciones obtenidas se relativizan para
expresarlas porcentualmente. Para ello en el algoritmo anterior
puede sustituirse la l\'{\i}nea:
\[
tolx\leftarrow \left| x_{1}-x_{0}\right|
\]
por otras que sean de la forma: \enobse

\textbf{Si} ($x_{1}\neq 0$ ) \textbf{entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $tolx\leftarrow \frac{|x_{1}-x_{0}|}{|x_{1}|}
100$

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $tolx\leftarrow |x_{1}-x_{0}|$

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\subsubsection{Variantes del m\'{e}todo de Newton-Raphson: m\'{e}todos de la
secante y de ``regula falsi''}

El m\'{e}todo de Newton que se acaba de exponer es un m\'{e}todo
que, ge\-ne\-ral\-men\-te, tiene un buen comportamiento en la
resoluci\'{o}n de muy diferentes ecuaciones no lineales. Su
principal inconveniente pr\'{a}ctico consiste en la necesidad de
calcular los valores de $f^{\prime }(x_{i})$ en cada
iteraci\'{o}n. Por ello existen variantes del m\'{e}todo de Newton
que tratan de obviar este c\'{a}lculo aproximando el valor de
$f^{\prime }(x_{i}) $. Entre ellos, los m\'{a}s populares son los
denominados {\bf m\'{e}todo de la secante} y {\bf m\'{e}todo de
regula falsi}. \es

\begin{itemize}
\item[a)]  \underline{ M\'{e}todo de la secante.}
\end{itemize}

Este m\'{e}todo aproxima el valor de $f^{\prime }(x_{i})$
mediante:
\[
f^{\prime }(x_{i})\approx
\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}
\]
con lo que el esquema iterativo del m\'{e}todo de Newton-Raphson
se ve mo\-di\-fi\-ca\-do a:
\[
x_{i+1}=x_{i}-\dis
\frac{f(x_{i})}{\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{x_{i}-x_{i-1}}}=%
\frac{x_{i-1} f(x_{i})-x_{i} f(x_{i-1})}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}
\]

Obs\'{e}rvese que para aplicar el m\'{e}todo se necesitan dos
valores $x_{0}$ y $x_{1}$ con los que inicializar el proceso. Por
ello en el m\'{e}todo de la secante la primera iteraci\'{o}n se
realiza mediante el m\'{e}todo de Newton sigui\'{e}ndose el
siguiente proceso:
\begin{eqnarray*}
&&Dado\;x_{0} \\ [0.4cm] x_{1} &\leftarrow
&x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f^{\prime }(x_{0})}
\end{eqnarray*}
\[
x_{i+1}\leftarrow \frac{x_{i-1} f(x_{i})-x_{i} f(x_{i-1})}{%
f(x_{i})-f(x_{i-1})}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i=1,2,.....
\]

\beobse El m\'{e}todo de la secante toma su nombre del hecho de
que gr\'{a}ficamente se puede interpretar el m\'{e}todo de forma
similar al de Newton pero sustituyendo la recta tangente a la
curva por el punto $(x_{i},f(x_{i}))$
por la recta secante que pasa por los puntos $(x_{i-1},f(x_{i-1}))$ y $%
(x_{i},f(x_{i})).$ \enobse

Ilustremos el funcionamiento del m\'{e}todo con un ejemplo:

\bejem (Cortes\'{\i}a del Pr. E. Conde): La energ\'{\i}a
el\'{e}ctrica que habitualmente consumimos se genera y transmite
por las redes el\'{e}ctricas en forma de corriente alterna, es
decir, en forma de onda sinusoidal, a una determinada frecuencia
(en Europa 50 Hz). La existencia de campos magn\'{e}ticos hace
aparecer efectos inductivos y capacitivos en la red que introducen
desfases entre las ondas de corriente y las ondas de tensi\'{o}n.
Una forma de representar estas ondas sinusoidales es mediante
variables del campo complejo. En este sentido puede hablarse de la
denominada ``potencia activa'' (P) que es la potencia \'{u}til
(capaz de transformarse en trabajo) que se transmite por la red.
Pero tambi\'{e}n existe la denominada ``potencia reactiva'' (Q)
que es aquella que no realiza trabajo \'{u}til pero que es
necesaria para la creaci\'{o}n de los campos magn\'{e}ticos y
el\'{e}ctricos de los componentes del sistema. Es a esta potencia
reactiva a la que se le asigna la componente imaginaria en la
forma de analizar los sistemas el\'{e}ctricos. Tambi\'{e}n en
estos sistemas se define la ``potencia aparente'' (S) que no es
m\'{a}s que el m\'{o}dulo de la potencia transmitida, es decir
$\left| S\right| =\sqrt{P^{2}+Q^{2}}$. De esta forma la potencia
transmitida S (que es demandada por las cargas conectadas a la
red) se puede descomponer en una potencia activa (P, parte real de
S) y una potencia reactiva (Q, parte imaginaria de S). El
argumento principal de la potencia transmitida ($\omega
=arctg(P/Q))$ representa el desfase existente entre la onda de
tensi\'{o}n y la de intensidad.

La secci\'{o}n de los generadores de polos salientes, instalados
en diferentes centrales el\'{e}ctricas, es del estilo a la que se
recoge en la figura siguiente.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig45.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura5}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%@
%%%

En dicha secci\'{o}n se observa la existencia de una parte
m\'{o}vil giratoria en la que existe un campo
electromagn\'{e}tico, llamada rotor (y que es accionada
normalmente por una turbina a la que arrastra el vapor a
presi\'{o}n generado en las calderas de las centrales
t\'{e}rmicas, o la corriente de agua en las centrales
hidr\'{a}ulicas) y una parte fija, el est\'{a}tor, en la que
existe un bobinado en el que se genera el campo el\'{e}ctrico (por
el movimiento del rotor) que es el que entrega, previa
transformaci\'{o}n, la potencia a trasmitir por la red
el\'{e}ctrica. Al no existir una distancia fija entre todos los
puntos del contorno del rotor y del est\'{a}tor, la resistencia en
cada punto al paso del flujo magn\'{e}tico (reluctancia) es
diferente en unas direcciones u otras. Por ello para su estudio se
recurre a una aproximaci\'{o}n que descompone los fen\'{o}menos de
la m\'{a}quina seg\'{u}n el denominado eje directo ``d'' (menor
entrehierro) y el denominado eje de cuadratura ``q'' (m\'{a}ximo
entrehierro).

Al girar el rotor se genera en el est\'{a}tor una fuerza
electromotriz E (que no es m\'{a}s que una tensi\'{o}n). Sin
embargo, como el generador no es ideal, existe una diferencia
entre esta fuerza electromotriz y la tensi\'{o}n V que se tiene en
los bornes del generador. Como ambas son ondas sinusoidales, entre
una y otra onda aparece un desfase que se denomina \'{a}ngulo de
carga.

Es este \'{a}ngulo de carga el que determina la relaci\'{o}n entre
la potencia activa, la reactiva y la potencia aparente que puede
suministrar el generador para una fuerza electromotriz E y una
tensi\'{o}n en bornes V dadas. Para asegurar un funcionamiento
adecuado del generador el \'{a}ngulo de carga se debe mantener
dentro de unos l\'{\i}mites. Por ejemplo, en una central
el\'{e}ctrica, cuando se quiere aumentar la potencia
su\-mi\-nis\-trada manteniendo los valores de V y de E, se aumenta
el flujo motriz de la turbina, lo cual a su vez hace aumentar el
\'{a}ngulo de carga. Pero esto no se puede hacer de forma
descontrolada puesto que se deben respetar los
l\'{i}mites de estabilidad (desde luego nunca se deben sobrepasar los 90${%
{}^{o}}$). En la pr\'{a}ctica este \'{a}ngulo se mantiene entre
30${{}^{o}}$ y 40 ${{}^{o}}$.

Un generador de energ\'{\i}a el\'{e}ctrica de polos salientes,
similar a los habitualmente instalados en las centrales
hidroel\'{e}ctricas, tiene como caracter\'{\i}sticas asignadas:

\hspace{1cm} $S_{N}=$ Potencia aparente nominal = $15$ MVA

\hspace{1cm} $V_{N}=$ Tensi\'{o}n nominal = 13.6 kV

\hspace{1cm} $f_{N}=$ frecuencia nominal = 50 Hz

\hspace{1cm} $X_{d}=$ reac$\tan $cia s\'{\i}ncrona seg\'{u}n eje
directo = 0.91 por unidad

\hspace{1cm} $X_{q}=$ reac$\tan $cia s\'{\i}ncrona seg\'{u}n el
eje de cuadratura = 0.76 por unidad

En un momento determinado el generador est\'{a} entregando a la
red el\'{e}ctrica una potencia activa de 10 MW, teniendo en bornes
su tensi\'{o}n nominal (13.6 kV) y una fuerza electromotriz
interna $E=16.592$ kV. Se desea encontrar el \'{a}ngulo de carga
del generador (es decir, el \'{a}ngulo formado entre la
tensi\'{o}n en bornes $V$ y la fuerza electromotriz $E).$ \enejem

La fuerza electromotriz de un generador de polos salientes
(despreciando la resistencia interna) se puede expresar por:
\[
E=V+i X_{d} I_{d}+i X_{q} I_{q}
\]

Las potencias activa y reactiva por unidad suministradas a su vez
se relacionan con la tensi\'{o}n en bornes $V$ y con la fuerza
electromotriz $E$ mediante las expresiones:
\[
P=\frac{\left| V\right|  \left| E\right| }{X_{d}} \sin%
(\delta )+\frac{\left| V\right| ^{2}}{2} \left( \frac{1}{X_{q}}-\frac{1%
}{X_{d}}\right)  \sin(2 \delta )
\]
\[
Q=\frac{\left| V\right|  \left| E\right| }{X_{d}} \cos (\delta
)-\left| V\right| ^{2} \left( \frac{\cos (\delta
)}{X_{d}}+\frac{\sin^2(\delta )}{X_{q}}\right)
\]
considerando los valores nominales de la m\'{a}quina
resultar\'{a}:
\[
P=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}
\]
\[
\left| V\right| =\frac{13.6}{13.6}=1
\]
\[
\left| E\right| =\frac{16.592}{13.6}=1.22
\]
valores para los que la expresi\'{o}n de la potencia activa por
unidad nos conduce a
\[
\frac{2}{3}=C_{1} \sin(\delta )+C_{2} \sin(2 \delta )
\]
donde
\[
C_{1}=\frac{16.592}{13.6 0.91}
\]
\[
C_{2}=\frac{1}{2} \left( \frac{1}{0.76}-\frac{1}{0.91}\right)
\]

En otros t\'{e}rminos se trata de encontrar una soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n:
\[
f(\delta )=C_{1} \sin(\delta )+C_{2} \sin(2 \delta )-\frac{2}{3}=0
\]

Para ello, puesto que
\[
f^{\prime }(\delta )=C_{1} \cos (\delta )+2 C_{2} \cos (2 \delta )
\]
utilizando el m\'{e}todo de Newton, se tendr\'{a} que:
\[
\delta _{i+1}=\delta _{i}-\frac{C_{1} \sin(\delta _{i})+C_{2}
\sin(2 \delta _{i})-\frac{2}{3}}{C_{1} \cos (\delta _{i})+2 C_{2}
\cos (2 \delta _{i})}
\]

Partiendo de $\delta _{0}=0$ se tiene la siguiente tabla de
valores:
\[
\begin{tabular}{rrr}
\underline{$Iteraci\acute{o}n$} & \underline{$\delta _{i}$} & \underline{$%
f(\delta _{i})$} \\
1 & $0.428023270207$ & $-0.0282916312890$ \\
2 & $0.448797366525$ & $-0.193426752032 10^{-3}$ \\
3 & $0.448941379375$ & $-0.954971755910 10^{-8}$ \\
4 & $0.448941386486$ & $0.293818788744 10^{-16}$%
\end{tabular}
\]
por lo que el \'{a}ngulo buscado ser\'{a} $\delta ^{*}\approx
0.448941386486$ $rad$ $(\approx 25.72246{{}^{o}})$

Si en lugar del m\'{e}todo de Newton se hubiese utilizado el
m\'{e}todo de la secante, la primera iteraci\'{o}n se
realizar\'{\i}a exactamente igual que en el m\'{e}todo de Newton
y, a partir de ella, se emplear\'{i}a el esquema:
\[
\delta _{i+1}\leftarrow \frac{\delta _{i-1} f(\delta _{i})-\delta
_{i} f(\delta _{i-1})}{f(\delta _{i})-f(\delta _{i-1})}%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i=1,2,.....
\]
es decir, que en este caso:
\[
\delta _{i+1}=\frac{\delta _{i-1} (C_{1} \sin(\delta
_{i})+C_{2} \sin(2 \delta _{i})-\frac{2}{3})-}{C_{1} (%
\sin(\delta _{i})-\sin(\delta _{i-1}))+C_{2} (\sin%
(2 \delta _{i})-\sin(2 \delta _{i-1}))}-
\]
\[
-\frac{\delta _{i} (C_{1} \sin(\delta _{i-1})+C_{2} \sin(2 \delta
_{i-1})-\frac{2}{3})}{C_{1} (\sin(\delta
_{i})-\sin(\delta _{i-1}))+C_{2} (\sin(2 \delta _{i})-%
\sin(2 \delta _{i-1}))}\;\;\;(i=1,2,...)
\]
lo que, partiendo tambi\'{e}n de $\delta _{0}=0.$ nos conduce a la
tabla:
\[
\begin{tabular}{rrr}
\underline{$Iteraci\acute{o}n$} & \underline{$\delta _{i}$} & \underline{$%
f(\delta _{i})$} \\
1 & $0.428023270207$ & $-0.0282916312890$ \\
2 & $0.446992490293$ & $0.189692200865 10^{-1}$ \\
3 & $0.448927715744$ & $0.193522545103 10^{-2}$ \\
4 & $0.448941377367$ & $0.136616228246 10^{-4}$ \\
5 & $0.448941386486$ & $0.911888545601 10^{-8}$%
\end{tabular}
\]

En esta ocasi\'{o}n hemos necesitado una iteraci\'{o}n m\'{a}s
para obtener una soluci\'{o}n sa\-tis\-fac\-to\-ria. Como luego se
justificar\'{a}, el m\'{e}todo de la secante tiene una velocidad
de convergencia inferior al m\'{e}todo de Newton aunque superior
al m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas. Obs\'{e}rvese
tambi\'{e}n que el valor del residuo es, en nuestra soluci\'{o}n
aproximada por el m\'{e}todo de la secante, superior al residuo
que obtuvimos con el m\'{e}todo de Newton. Ello es debido a que,
aunque los 12 primeros decimales utilizados en el desarrollo del
ejemplo coinciden en ambos casos, hay diferencias en decimales
posteriores que el programa con el que se han realizado los
c\'{a}lculo s\'{\i} tuvo en cuenta. \es

\begin{itemize}
\item[b)]  \underline{ El m\'{e}todo de ``Regula Falsi''.}
\end{itemize}

Este m\'{e}todo es una combinaci\'{o}n del m\'{e}todo de
bipartici\'{o}n y el m\'{e}todo de la secante. En \'{e}l se
considera una ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ y un intervalo $[a,b]$ en el
que $f(x)$ sea continua y adem\'{a}s se verifique que $f(a)
f(b)<0.$ Con ello, seg\'{u}n se indic\'{o} al
analizar el m\'{e}todo de bipartici\'{o}n se puede estar seguro de que en $%
[a,b]$ existe al menos una ra\'{\i}z. Tras ello se denomina
$x_{1}$ al punto
de corte con el eje de abscisas de la recta secante que pasa por los puntos $%
(a,f(a)),$ $(b,f(b))$, es decir, que ser\'{a} el punto:
\[
x_{1}=\frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}
\]

Si $f(x_{1}) f(a)<0$ se puede asegurar que en el intervalo
$(a,x_{1})$ existir\'{a} una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n. En
el caso de que $f(x_{1}) f(a)>0$ se puede afirmar lo mismo para el
intervalo $(x_{1},b)$. Y en el caso de que $f(x_{1})=0$ se
habr\'{a} determinado ya la soluci\'{o}n. En todo caso o se tiene
la soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n o se dispone de un intervalo
m\'{a}s peque\~{n}o en el que volver a repetir el proceso. Esta
forma de proceder es repetida las veces que sea necesario hasta
encontrar un intervalo en el que exista una soluci\'{o}n y con una
longitud inferior a la precisi\'{o}n deseada. M\'{a}s
concretamente el algoritmo del m\'{e}todo ser\'{a}: \es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de Regula Falsi:}} \es

Dada la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$, el indicador de precisi\'{o}n
$\varepsilon $ y dos puntos $a$ y $b$ en los que $f(a) f(b)<0$,

\textbf{Mientras }$|b-a|>\varepsilon ,$ \textbf{hacer:}
\[
x\leftarrow \frac{a f(b)-b f(a)}{f(b)-f(a)}
\]

\hspace{1cm}\textbf{Si} $(f(x)=0)\;$\textbf{entonces:}

\hspace{2cm}tomar $x$ como ra\'{\i}z $x^{*}$ y finalizar el
proceso

\hspace{1cm}\textbf{si no:}

\hspace{2cm}\textbf{Si} $(f(x) f(a)$ $>$ $0)$ \textbf{entonces}:

$\hspace{3cm}b\leftarrow x$

\hspace{2cm}\textbf{si no}:

$\hspace{3cm}a\leftarrow x$

\hspace{2cm}\textbf{fin condici\'{o}n.}

\hspace{1cm}\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin bucle} \textbf{condicional}.

$x^{*}\leftarrow x$

\textbf{Fin del algoritmo.}

%%%%%%%%%%%%%% CHICOS QUITAR

\beobse Este m\'{e}todo de ``regula falsi'', aqu\'{\i} presentado
como variante del m\'{e}todo de Newton-Raphson, hist\'{o}ricamente
es anterior. En efecto, las primeras re\-fe\-ren\-cias de este
m\'{e}todo (aunque pro\-ba\-ble\-mente sea anterior), consistentes
en la aplicaci\'{o}n a la resoluci\'{o}n de algunos ejemplos de
ecuaciones lineales, se deben al gran matem\'{a}tico \'{a}rabe
Muhamad ibn Mus\`{a} al-Kwarizmi que trabaj\'{o} en el califato de
Bagdad a finales del siglo VIII y comienzos del siglo IX. No
obstante no es esta la m\'{a}s importante contribuci\'{o}n de este
matem\'{a}tico. En efecto, Al-Kwarizmi contribuy\'{o} notablemente
a la introducci\'{o}n del sistema de numeraci\'{o}n decimal
(ar\'{a}bigo) tomado del sistema de numeraci\'{o}n hind\'{u} y en
el que entre otras cosas se introduce el n\'{u}mero $0$ (no
existente en los sistemas de numeraci\'{o}n anteriores). Con ello
adem\'{a}s divulga c\'{o}mo operar con los n\'{u}meros decimales
frente a los m\'{e}todos, entonces tradicionales, basados en
\'{a}bacos. En su obra ``Aritm\'{e}tica'' Al-Kwarizmi proporciona
las reglas para realizar las operaciones aritm\'{e}ticas en este
sistema decimal. Las traducciones que de esta obra se hiceron
posteriormente al lat\'{i}n y en las que su nombre era latinizado
dieron origen a la palabra ``algoritmo'' que hoy, en general,
denota los procesos que conducen a la consecuci\'{o}n de
objetivos. Asimismo, Al-Kwarizmi pu\-bli\-c\'{o} una obra (``Hibab
al-jabar wa-ad-muquabala'') sobre la resoluci\'{o}n de ecuaciones
en las que ''restaura el orden'' (en \'{a}rabe al-jabar) de las
ecuaciones que pretende resolver. Esta pu\-bli\-ca\-ci\'{o}n es
con\-si\-de\-rada como el inicio de la rama de las matem\'{a}ticas
que hoy en d\'{i}a se llama \'{A}lgebra (que debe su nombre a la
latinizaci\'{o}n del t\'{e}rmino al-jabar).

Volviendo al m\'{e}todo de regula falsi, otro matem\'{a}tico del
califato de Bagdad, Abu Kamil, en torno al a\~{n}o 900, usa este
m\'{e}todo, en su obra ``Sobre los aumentos y las disminuciones'',
para la resoluci\'{o}n de ecuaciones lineales de una inc\'{o}gnita
mediante 1 \'{o} 2 ensayos. \enobse

\es

\begin{itemize}
\item[c)]  \underline{ Otras variantes del m\'etodo de Newton.}
\end{itemize}

Existen otras variantes del m\'{e}todo de Newton que son
relativamente utilizadas en algunas aplicaciones. As\'{\i} por
ejemplo est\'{a} el
denominado \textbf{m\'{e}todo de Newton modificado} en el que el valor de $%
f^{\prime }$ se estima s\'{o}lo cada $k$ iteraciones
actu\'{a}ndose entre dichas iteraciones con el \'{u}ltimo valor de
$f^{\prime }$ calculado.

Otra variante, conocida con el nombre de \textbf{m\'{e}todo de
Newton mejorado} se basa en en el siguiente razonamiento: al
justificar los or\'{\i}genes del m\'{e}todo de Newton
escrib\'{\i}amos:
\[
0=f(x^{*})=f(x_{i})+(x^{*}-x_{i}) f^{\prime }(x_{i})+\frac{%
(x^{*}-x_{i})^{2}}{2}f^{''}(x_{i})+....
\]
desarrollo que una vez linealizado nos conduc\'{\i}a a que: $%
(x^{*}-x_{i})\approx -\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}$ de
donde se
obten\'{i}a una aproximaci\'{o}n $x_{i+1}$ de la soluci\'{o}n como $x_{i}-%
\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})}.$ En el m\'{e}todo de Newton
mejorado se
usa el hecho de que $(x^{*}-x_{i})\approx -\frac{f(x_{i})}{f^{\prime }(x_{i})%
}$ para sustituir esta expresi\'{o}n en uno de los dos factores $%
(x^{*}-x_{i})$ que intervienen en el t\'{e}rmino de segundo grado
del desarrollo de Taylor, despreciando los de mayor orden, con lo
que:
\[
0=f(x^{*})\approx f(x_{i})+(x^{*}-x_{i}) f^{\prime
}(x_{i})-(x^{*}-x_{i})\frac{f(x_{i})}{2 f^{\prime
}(x_{i})}f^{''}(x_{i})
\]
de donde
\[
(x^{*}-x_{i})\approx -\frac{f(x_{i})}{f^{\prime
}(x_{i})-\frac{f(x_{i}) f^{''}(x_{i})}{2 f^{\prime
}(x_{i})}}=-\frac{2 f(x_{i}) f^{\prime }(x_{i})}{2 (f^{\prime
}(x_{i}))^{2}-f(x_{i}) f^{''}(x_{i})}
\]
y gener\'{a}ndose, a partir de un $x_{0},$ la sucesi\'{o}n:
\[
x_{i+1}=x_{i}-\frac{2 f(x_{i}) f^{\prime }(x_{i})}{2 (f^{\prime
}(x_{i}))^{2}-f(x_{i}) f^{''}(x_{i})}
\]

\beobse Este m\'{e}todo tambi\'{e}n es conocido con el nombre de
m\'{e}todo de Halley en honor al astr\'{o}nomo ingl\'{e}s Edmund
Halley, contempor\'{a}neo y amigo de Newton, que observ\'{o} y
estudi\'{o} el famoso cometa que lleva su nombre y del que, en
1707, calcul\'{o} su periodo prediciendo su aparici\'{o}n cada 76
a\~{n}os e identific\'{a}ndolo por tanto como el mismo cometa que
hab\'{\i}a aparecido en las cercan\'{\i}as de la tierra en
numerosas ocasiones anteriores y de las que se ten\'{\i}an
numerosas referencias. Entre ellas la que le sirvi\'{o} a Giotto
para dibujarlo en su cuadro sobre la Natividad como la famosa
estrella de los Reyes Magos. \enobse

%%%%%%%%% HASTA AQUI


\subsection{Velocidad de convergencia de los m\'{e}todos iterativos}

Una misma ecuaci\'{o}n no lineal podr\'{a} ser resuelta en
ocasiones por diferentes m\'{e}todos i\-te\-ra\-ti\-vos. Para
poder optar entre uno u otro interesar\'{a} conocer cual de ellos
nos acerca m\'{a}s r\'{a}pidamente a la soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n. Ello se hace a trav\'{e}s del concepto denominado
``orden de convergencia'' que pasamos a definir a
continuaci\'{o}n:

\begin{dfn}
Siendo $\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ una sucesi\'{o}n
convergente hacia $x^{*}$ en la que $x_{i}\neq x^{*}$ para todo
valor del \'{\i}ndice $i,$
se dice que \textbf{la sucesi\'{o}n converge} hacia $x^{*}$ \textbf{con orden%
} $p$ \textbf{y con una constante de error asint\'{o}tico} $\beta
$ cuando existen dos n\'{u}meros reales positivos $p$ y $\beta $
tales que:
\[
{\lim }_{i\rightarrow \infty } \frac{|x_{i+1}-x^{*}|}{%
|x_{i}-x^{*}|^{p}}=\beta
\]

En este sentido se dice que un \textbf{m\'{e}todo iterativo} de la forma $%
x_{i+1}=g(x_{i})$ es \textbf{de orden} $p$ cuando la sucesi\'{o}n
$\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ converja hacia una
soluci\'{o}n de $x=g(x)$ con orden $p.$ En el caso de que $p$ sea
igual a 1 se dice que el m\'{e}todo \textbf{converge linealmente}.
Y si $p$ = 2 se dice que el m\'{e}todo \textbf{converge
cuadr\'{a}ticamente}. Cuando $p>1$ se dir\'{a} que la
\textbf{convergencia} es \textbf{superlineal}.
\end{dfn}

En general, dada una sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i}\right\} $ que
converja hacia $x^{*}$ con orden de convergencia $p$ y otra
sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i}^{^{\prime }}\right\} $ que converja
hacia $x^{*}$ con orden de convergencia $q<p$ se verifica que los
elementos de $\left\{ x_{i}\right\} $ se acercan m\'{a}s
r\'{a}pidamente hacia $x^{*}$ por lo menos a partir de un cierto
\'{\i}ndice de los elementos de la sucesi\'{o}n.

Una forma c\'{o}moda de conocer el orden de un m\'{e}todo
iterativo, cuando \'este est\'{a} dado por un n\'{u}mero natural,
nos la proporciona el siguiente teorema:

\begin{theorem}
Siendo $g(x)$ una funci\'{o}n de clase $C^{p+1}([a,b])$ y tal que
en $[a,b]$ admite un \'{u}nico punto fijo $x^{*}$ en el que se
cumplen las hip\'{o}tesis:
\[
g^{(k}(x^{*})=0\;\;\;\;\;\;para\;k=1,2,...,(p-1)
\]
\[
g^{(p}(x^{*})\neq 0
\]
entonces se verifica que la sucesi\'{o}n generada a partir de un
$x_{0}\in [a,b]$, mediante $\left\{ x_{i+1}=g(x_{i})\right\}
_{i=0}^{\infty }$ si converge hacia $x^{*}$ lo hace con un orden
de convergencia $p.$
\end{theorem}

\underline{Demostraci\'{o}n:} Considerando el desarrollo en serie
de Taylor:
\[
x_{i+1}=g(x_{i})=g(x^{*}+(x_{i}-x^{*}))=g(x^{*})+(x_{i}-x^{*})
g^{\prime }(x^{*})+......+
\]
\[
+......+\frac{(x_{i}-x^{*})^{p}}{p!}
g^{(p}(x^{*})+O((x_{i}-x^{*})^{(p+1)})
\]
y dado que $x^{*}=g(x^{*})$ y que las (p-1) primeras derivadas de
$g$ son nulas en $x^{*}$ se tendr\'{a} que
\[
\frac{(x_{i+1}-x^{*})}{(x_{i}-x^{*})^{p}}=\frac{1}{p!}
g^{(p}(x^{*})+O((x_{i}-x^{*}))
\]
por lo que si la sucesi\'{o}n converge hacia $x^{*}$ se
verificar\'{a}
\[
{\lim }_{i\rightarrow \infty } \frac{(x_{i+1}-x^{*})}{%
(x_{i}-x^{*})^{p}}=\frac{1}{p!} g^{(p}(x^{*})
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema anterior nos permite analizar f\'{a}cilmente el orden
de convergencia de los m\'{e}todos iterativos cuando este orden es
un n\'{u}mero entero. As\'{\i} para el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas y para el m\'{e}todo de Newton-Raphson se
tiene:

\beprop Si $g(x)$ es una contracci\'{o}n en $[a,b]$, el m\'{e}todo
de aproximaciones sucesivas es, al menos, de convergencia lineal.
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} Basta con comprobar que $g^{\prime
}(x^{*})$ no tiene por qu\'{e} ser nula.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beprop
En las condiciones de convergencia del m\'{e}todo de Newton-Raphson, si $%
x^{*}$ es una soluci\'{o}n simple de la ecuaci\'{o}n $f(x)=0,$ y
$f(x)$ es de clase $C^{2}([a,b])$, este m\'{e}todo es, al menos,
de convergencia cuadr\'{a}tica. \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} En el m\'{e}todo de Newton-Raphson:
\[
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}
\]
por lo que si $x^{*}$ es una ra\'{\i}z simple de $f(x)$ se
verificar\'{a} que
\[
g^{\prime }(x^{*})=\frac{f(x^{*}) f^{''}(x^{*})}{\left( f^{\prime
}(x^{*})\right) ^{2}}=0
\]
y
\[
g^{''}(x^{*})=\frac{f^{''}(x^{*})}{f^{\prime }(x^{*})}
\]
que en general no tiene por qu\'{e} anularse.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Advi\'{e}rtase que en la proposici\'{o}n anterior se
especifica que la ra\'{i}z buscada debe ser simple. Si no lo fuese
$f^{\prime }(x^{*})$ ser\'{\i}a nulo y el razonamiento anterior no
ser\'{\i}a correcto. En general si $x^{*}$ fuese una ra\'{\i}z de
multiplicidad $m$ y el m\'{e}todo de Newton-Raphson convergiese
hacia ella, se podr\'{a} escribir la ecuaci\'{o}n en la forma:
\[
f(x)=(x-x^{*})^{m} h(x)=0
\]
en la que $x^{*}$ no es ra\'{\i}z de $h(x),$ por lo que
\[
f^{\prime }(x)=m(x-x^{*})^{(m-1)} h(x)+(x-x^{*})^{m} h^{\prime
}(x)
\]
de donde
\[
g(x)=x-\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=x-\frac{(x-x^{*}) h(x)}{m
h(x)+(x-x^{*}) h^{\prime }(x)}
\]
y
\[
g^{\prime }(x^{*})=1-\frac{h(x^{*}) m h(x^{*})}{m^{2}
h^{2}(x^{*})}=1-\frac{1}{m}
\]

En resumen, en este caso s\'{o}lo se puede asegurar la
convergencia lineal. \enobse

Otros m\'{e}todos en los que el orden de convergencia no es entero
deben analizarse a partir de la definici\'{o}n dada para el orden
de convergencia de la sucesi\'{o}n que generan. As\'{\i} por
ejemplo se tiene la siguiente propiedad:

\beprop Siendo $f$ una funci\'on de clase $C^3 ([a,b])$, el
m\'{e}todo de la secante para la b\'usqueda de ra\'{\i}ces simples
de la ecuaci\'{o}n $f(x)=0 $,
cuando converge, presenta una convergencia de orden $\left( \frac{1+\sqrt{5}%
}{2}\right) .$ \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:}

Denotemos por $h_{i}=x_{i}-x^{*}.$ Se tiene entonces que
\[
h_{i+1}=x_{i+1}-x^{*}=\frac{x_{i-1} f(x_{i})-x_{i} f(x_{i-1})}{%
f(x_{i})-f(x_{i-1})}-x^{*}=
\]
\[
=\frac{f(x_{i}) (x_{i-1}-x^{*})-f(x_{i-1}) (x_{i}-x^{*})}{%
f(x_{i})-f(x_{i-1})}=
\]
\[
=\frac{f(x_{i}) h_{i-1}-f(x_{i-1}) h_{i}}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}=
\]
\[
=\frac{x_{i}-x_{i-1}}{f(x_{i})-f(x_{i-1})} \dis \frac{\frac{f(x_{i})}{%
h_{i}}-\frac{f(x_{i-1})}{h_{i-1}}}{x_{i}-x_{i-1}} h_{i} h_{i-1}
\]

Examinemos las fracciones que intervienen en la expresi\'{o}n
anterior. En primer lugar puesto que mediante desarrollos en serie
de Taylor:
\[
f(x_{i})=f(x^{*}+h_{i})=h_{i} f^{\prime }(x^{*})+\frac{1}{2}
h_{i}^{2} f^{''}(x^{*})+O(h_{i}^{3})\quad \Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \quad \frac{f(x_{i})}{h_{i}}=\frac{1}{2} h_{i}
f^{''}(x^{*})+O(h_{i}^{2})
\]
y an\'{a}logamente,
\[
\frac{f(x_{i-1})}{h_{i-1}}=\frac{1}{2} h_{i-1}
f^{''}(x^{*})+O(h_{i-1}^{2})
\]
resultar\'{a} que
\[
\frac{f(x_{i})}{h_{i}}-\frac{f(x_{i-1})}{h_{i-1}}=\frac{1}{2}
(h_{i}-h_{i-1}) f^{''}(x^{*})+O(h_{i-1}^{2})
\]
de donde, dado que $%
x_{i}-x_{i-1}=(x_{i}-x^{*})-(x_{i-1}-x^{*})=h_{i}-h_{i-1},$ se
tiene que
\[
\dis
\frac{\frac{f(x_{i})}{h_{i}}-\frac{f(x_{i-1})}{h_{i-1}}}{x_{i}-x_{i-1}}=%
\frac{1}{2} f^{''}(x^{*})+O(h_{i-1}^{2})
\]

An\'{a}logamente, combinando los desarrollos en serie anteriores
se obtiene que
\[
\frac{x_{i}-x_{i-1}}{f(x_{i})-f(x_{i-1})}=\frac{1}{f^{\prime }(x^{*})}%
-O(h_{i-1}^{2})
\]

En resumen,
\[
h_{i+1}=\frac{x_{i}-x_{i-1}}{f(x_{i})-f(x_{i-1})} \dis  \frac{\frac{%
f(x_{i})}{h_{i}}- \frac{f(x_{i-1})}{h_{i-1}}}{x_{i}-x_{i-1}} h_{i}
h_{i-1}\approx \frac{f^{^{\prime\prime}}(x^{*})}{2f^{\prime
}(x^{*})} h_{i} h_{i-1}=
\]
\[
=C h_{i} h_{i-1}
\]

Si el m\'{e}todo converge con un orden $p$ y una constante de
error asint\'{o}tico $\beta $ se verificar\'{a} que
\[
{\lim }_{i\to\infty } \frac{h_{i+1}}{h_{i}^{p}}=\beta
\]
lo que nos llevar\'{\i}a a que
\[
{\lim }_{i\to \infty } h_{i}=\left(\frac{1}{\beta } {\lim }_{i\to
\infty } h_{i+1}\right)^{1/p}
\]
y an\'{a}logamente
\[
{\lim }_{i\to \infty } h_{i-1}=\left(\frac{1}{\beta } {\lim
}_{i\to \infty }h_{i}\right)^{1/p}
\]
por lo que tomando l\'{i}mites en la expresi\'{o}n antes obtenida,
\[
h_{i+1}\approx C h_{i} h_{i-1}\Rightarrow {\lim }_{i\to \infty } %%@
h_{i+1}=C {\lim }_{i\to \infty }%
h_{i} (\frac{1}{\beta } {\lim }_{i\to \infty }%
h_{i})^{1/p}= \frac{C}{\beta ^{\frac{1}{p}}} ({\lim }_{i\to\infty
} h_{i})^{1+\frac{1}{p}}
\]
\[
\Rightarrow \beta {\lim }_{i\to\infty } h_{i}^{p}=\frac{C}{%
\beta ^{\frac{1}{p}}} ({\lim }_{i\to\infty }%
h_{i})^{1+\frac{1}{p}}
\]
de donde finalmente,
\[
\frac{\beta ^{1-\frac{1}{p}}}{C}=\dis ({\lim }_{i\to \infty }
h_{i})^{1-p+\frac{1}{p}}
\]

Puesto que el lado izquierdo de la igualdad anterior es una
constante distinta de cero, mientras que al haber supuesto la
convergencia del m\'{e}todo se verifica que ${\lim }_{i\rightarrow
\infty } h_{i}=0,$ se debe verificar que
\[
1-p+\frac{1}{p}=0
\]
o lo que es lo mismo que: $1+p-p^{2}=0$ de donde $p=\frac{1\pm
\sqrt{5}}{2}.$ En esta expresi\'{o}n de $p$ el signo negativo no
tiene sentido pues conducir\'{\i}a a \'{o}rdenes de convergencia
negativos por lo que finalmente $p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

\hspace{10cm}c.q.d.


\beobse Se observa que:

\begin{enumerate}
\item  En resumen el m\'{e}todo de la secante (para la b\'usqueda de
ra\'{\i}ces simples) tiene una convergencia del orden $1.62..$ es
decir menor que el m\'{e}todo de Newton pero mayor que (en
general) el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas. No obstante en
el m\'{e}todo de Newton el esfuerzo computacional en cada
iteraci\'{o}n puede ser mayor ya que debe estimarse en cada
iteraci\'{o}n el valor de $f(x_{i})$ y el de $f^{\prime }(x_{i})$
lo que nos conduce a que debe optarse entre un menor n\'{u}mero de
iteraciones m\'{a}s costosas o un mayor n\'{u}mero de iteraciones
menos costosas.

\item  El n\'{u}mero $\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right) $ se conoce con el
nombre de n\'{u}mero a\'{u}reo y aparece en otras parcelas de las
matem\'{a}ticas tales como la optimizaci\'{o}n. Este n\'{u}mero,
por ejemplo, es el l\'{\i}mite de la relaci\'{o}n entre cada uno
de los n\'{u}meros y su precursor de la conocida sucesi\'{o}n de
Fibonacci (generada por el matem\'{a}tico italiano, de finales del
siglo XII y comienzos del XIII, Leonardo de Pisa (o Pisano)
m\'{a}s conocido como Fibonacci al ser ``filo de Bonaccio''). Pero
esto, como ya se ha dicho, es objeto de otra parcela de las
matem\'{a}ticas.
\end{enumerate}

\enobse

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} Demu\'{e}strese que el
m\'{e}todo de Newton mejorado (o de Halley) es de orden 3.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{tema1_2}
\subsection{Aceleraci\'{o}n de la convergencia de los m\'{e}todos
iterativos: m\'{e}todo $\Delta ^{2}$ de Aitken}

Cuando el m\'{e}todo de resoluci\'{o}n de ecuaciones no lineales
que se est\'{e} empleando para resolver una ecuaci\'{o}n no lineal
no posea convergencia, al menos, cuadr\'{a}tica, puede utilizarse
la estrategia conocida con el nombre de m\'{e}todo delta-dos
($\Delta ^{2})$ de A. C. Aitken (matem\'{a}tico del siglo XX) para
mejorar su velocidad de convergencia. Antes de examinar en qu\'{e}
consiste esta estrategia presentemos los fundamentos te\'{o}ricos
de la misma.

\begin{definition}
Dada una sucesi\'{o}n $\left\{ x_{i}\right\} _{i}^{\infty }$ se
denomina \textbf{diferencia progresiva de primer orden} en el
punto $x_{i},$ y se representar\'{a} por $\Delta x_{i},$ al valor:
\[
\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\geq 0
\]

An\'{a}logamente se define la \textbf{diferencia progresiva de
orden} \textbf{m} en el punto $x_{i,}$ y se representar\'{a} por
$\Delta ^{m}x_{i},$ mediante:
\[
\Delta ^{m}x_{i}=\Delta \left( \Delta ^{(m-1)}x_{i}\right),
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\geq 0,\;\;\;m\geq 2
\]
\end{definition}

En concreto la \textbf{diferencia progresiva de orden 2} ser\'{a},
seg\'{u}n la definici\'{o}n anterior:
\[
\Delta ^{2}x_{i}=\Delta \left( \Delta x_{i}\right) =\Delta
x_{i+1}-\Delta x_{i}=x_{i+2}-2
x_{i+1}+x_{i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\geq 0
\]

\beteor Sea $\left\{ x_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ una
sucesi\'{o}n convergente hacia $x^{*},$ y sea $\left\{
y_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ una nueva sucesi\'{o}n generada a
partir de la primera mediante:
\[
y_{i}=x_{i}-\frac{\left( \Delta x_{i}\right) ^{2}}{\Delta ^{2}x_{i}}=\frac{%
x_{i}x_{i+2}-x_{i+1}^{2}}{x_{i+2}-2 x_{i+1}+x_{i}}%
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\geq 0
\]

Bajo la hip\'{o}tesis de que exista una constante $c$ tal que
$|c|<1$ y una sucesi\'{o}n $\{\delta _{i}\}_{i=0}^{\infty }$ tal
que ${\lim }_{i\rightarrow \infty } \delta _{i}=0$ y tales que:
\[
x_{i+1}-x^{*}=(c+\delta _{i})
(x_{i}-x^{*})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i\geq 0
\]
se verifica entonces que la sucesi\'{o}n $\left\{ y_{i}\right\}
_{i=0}^{\infty }$ converge hacia $x^{*}$ y adem\'{a}s:
\[
{\lim }_{i\rightarrow \infty } \frac{y_{i}-x^{*}}{x_{i}-x^{*}}=0
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Denotemos por $h_{i}=x_{i}-x^{*}.$
Se tiene entonces que para todo valor del \'{\i}ndice $i$:
\[
y_{i}=\frac{x_{i} x_{i+2}-x_{i+1}^{2}}{x_{i+2}-2 x_{i+1}+x_{i}}=%
\frac{(x^{*}+h_{i}) (x^{*}+h_{i+2})-(x^{*}+h_{i+1})^{2}}{%
(x^{*}+h_{i+2})-2 (x^{*}+h_{i+2})+(x^{*}+h_{i})}=
\]
\[
=x^{*}+\frac{h_{i} h_{i+2}-h_{i+1}^{2}}{h_{i+2}-2 h_{i+1}+h_{i}}
\]

Utilizando el hecho de que $h_{i+1}=(c+\delta _{i}) h_{i}$ se
tiene que
\[
h_{i+2}=(c+\delta _{i+1}) (c+\delta _{i})h_{i}
\]
y
\[
y_{i}-x^{*}=\frac{(c+\delta _{i+1})(c+\delta _{i})
h_{i}^{2}-(c+\delta _{i})^{2} h_{i}^{2}}{(c+\delta _{i+1})
(c+\delta _{i})h_{i}-2(c+\delta _{i}) h_{i}+h_{i}}=
\]
\[
=\frac{(c+\delta _{i+1})(c+\delta _{i})-(c+\delta
_{i})^{2}}{(c+\delta _{i+1})(c+\delta _{i})-2(c+\delta
_{i})+1}h_{i}
\]

Tomando l\'{\i}mites en la expresi\'{o}n anterior, dado que $c\neq
1$ (\'{u}nica ra\'{\i}z de $c^{2}-2\cdot c+1=0$) que
\{$x_{i}\}_{i=^1}^{\infty }$ converge hacia $x^{*}$ y que $\left\{
\delta _{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ converge hacia 0, es
evidente que $\left\{ y_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$
converger\'{a} hacia $x^{*}.$ Adem\'{a}s de dicha expresi\'{o}n
resultar\'{a} que:
\[
{\lim }_{i\rightarrow \infty }\frac{y_{i}-x^{*}}{h_{i}}=%
{\lim }_{i\rightarrow \infty }\frac{(c+\delta _{i+1}) (c+\delta
_{i})-(c+\delta _{i})^{2}}{(c+\delta _{i+1}) (c+\delta _{i})-2
(c+\delta _{i})+1}=0
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema anterior nos muestra que la sucesi\'{o}n $\left\{
y_{i}\right\} _{i=0}^{\infty }$ converge m\'{a}s r\'{a}pidamente
hacia $x^{*}$ que la soluci\'{o}n dada. \es

Consid\'{e}rese ahora una sucesi\'{o}n $\left\{
x_{i+1}=g(x_{i})\right\} _{i=0}^{\infty },$ generada por un
m\'{e}todo de orden menor que 2, que converja hacia $x^{*}$ y tal
que $|g^{\prime }(x^{*})|<1.$ Por ser el orden de convergencia
superior o igual a 1 pero inferior a 2 se verificar\'{a}, a partir
de un desarrollo de Taylor y teniendo en cuenta que $g^{\prime
}(x^{*})\neq 0,$ que:
\[
\frac{x_{i+1}-x^{*}}{x_{i}-x^{*}}=g^{\prime
}(x^{*})+O((x_{i}-x^{*})^{2})
\]
por lo que llamando $c=g^{\prime }(x^{*})$ y $\delta
_{i}=O((x_{i}-x^{*})^{2})$ se verificar\'{a}n las condiciones del
teorema anterior.

Todo lo anterior puede utilizarse para elaborar un algoritmo que
mejore la velocidad de convergencia de los m\'{e}todos de orden de
convergencia inferior a 2. Este algoritmo, conocido tambi\'{e}n
con el nombre de m\'{e}todo de Steffensen, es el que se recoge a
continuaci\'{o}n: \es


\centerline{ {\bf Algoritmo del m\'{e}todo de Steffensen:}} \es

Dada la ecuaci\'{o}n $x=g(x)$, el indicador de precisi\'{o}n
$\varepsilon$, un valor m\'{a}ximo del n\'{u}mero de iteraciones
que se permiten realizar $(maxiter)$ y un punto $x_{0}$ con el que
inicializar el proceso,

$tol\leftarrow 2 \varepsilon $

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 0$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} $%
\mathbf{(}tol>\varepsilon )$ \textbf{)}, \textbf{hacer:}
\begin{eqnarray*}
x_{1} &\leftarrow &g(x_{0}) \\
x_{2} &\leftarrow &g(x_{1})
\end{eqnarray*}

\hspace{2cm}\textbf{Si} $((x_{2}-2 x_{1}+x_{0})\neq 0)$ \textbf{%
entonces:}

\[
x_{3}\leftarrow x_{0}-\frac{(x_{1}-x_{0})^{2}}{x_{2}-2
x_{1}+x_{0}}
\]

\hspace{2cm}\textbf{si no:}

\hspace{2cm}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ $\,$hacer $tol\leftarrow \frac{%
\varepsilon }{2}$

\hspace{2cm}\textbf{fin condici\'{o}n}.

\[
tol\leftarrow \left| x_{3}-x_{0}\right|
\]
\[
iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1
\]
\[
x_{0}\leftarrow x_{3}
\]

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} $(tol<\varepsilon )\;$\textbf{entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $x_{3}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.} \es

\beobse En el algoritmo anterior se calcula $x_{3}$ en cada
iteraci\'{o}n (valor de la sucesi\'{o}n corregida) tras asegurarse
de que el denominador ($\Delta ^{2}x_{0})$ es no nulo. Si lo fuese
se da como soluci\'{o}n aproximada la obtenida en la
i\-te\-ra\-ci\'{o}n anterior. \enobse


\bejem Puesto que estamos llegando al final de la materia que se
va a incluir en estos guiones sobre los m\'{e}todos de
resoluci\'{o}n de una ecuaci\'{o}n no lineal, ilustremos el
funcionamiento del m\'{e}todo de Steffensen sobre el primero de
los ejemplos (tomados de O.T. Hanna \& O.C. Sandall [9]) con los
que abr\'{\i}amos este tema. Recordemos que su enunciado era: \es

La ecuaci\'{o}n de Peng-Robinson es una ecuaci\'{o}n de estado que
proporciona la presi\'{o}n P de un gas mediante:
\[
P=\frac{R T}{V-b}-\frac{a}{V (V+b)+b (V-b)}
\]
donde $a$ y $b$ son constantes, $T$ es la temperatura absoluta a
la que se encuentra el gas, $V$ es el volumen espec\'{\i}fico y
$R$ es la constante de los gases perfectos
($8.31441\,\mbox{J}/(\mbox{mol}{}^{o}\mbox{K}))$. Para el CO$_{2}$
las constantes $a$ y $b$ toman los valores $a=364.61
\,\mbox{m}^{6}\mbox{kPa}/(\mbox{kg\,mol})^{2}$ y $b=0.02664
\,\mbox{m}^{3}/\mbox{kg\,mol}$. Supongamos que se desea encontrar
la densidad (es decir $1/V$) del CO$_{2}$ a una presi\'{o}n de $
10^{4}$ kPa y a una temperatura de 340${{}^{o}}$ $K$ usando la
ecuaci\'{o}n de Peng-Robinson. Ello implicar\'{\i}a tener que
encontrar el valor de $V$ para el que:
\[
10^{4}=\frac{340R}{V-0.02664}-\frac{364.61}{%
V(V+0.02664)+0.02664(V-0.02664)}
\]
\enejem

Para aplicar el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas a esta
ecuaci\'{o}n no lineal puede despejarse una de las inc\'{o}gnitas
de la forma que sigue:
\[
10^{4}(V-0.02664)=340R-\frac{364.61 (V-0.02664)}{%
V(V+0.02664)+0.02664(V-0.02664)}\Rightarrow
\]
\[
V=0.02664+340\cdot10^{-4}R-\frac{364.61\cdot 10^{-4}(V-0.02664)}{%
V(V+0.02664)+0.02664(V-0.02664)}=g(V)
\]
que nos conduce al esquema iterativo:
\[
V_{i+1}=0.02664+340\cdot10^{-4}R-\frac{364.61\cdot 10^{-4} (V_{i}-0.02664)%
}{V_{i}(V_{i}+0.02664)+0.02664(V_{i}-0.02664)}
\]

Como punto de partida puede considerarse que si el gas fuese
perfecto la ecuaci\'{o}n de los gases perfectos
\[
P=\frac{R T}{V}\Rightarrow V=\frac{R T}{P}
\]
nos conducir\'{\i}a en este caso a
\[
V_{0}=\frac{8.31441\cdot 340}{10^{4}}\approx 2866 \cdot 10^{-4}
\]

En los resultados que siguen, adem\'{a}s del valor de $V_{i}$ y de
$g(V_{i})$ se proporciona el valor del residuo $r_{i}$ estimado
como:
\[
r_{i}=\frac{340R}{V_{i}-0.02664}-\frac{364.61}{%
V_{i}(V_{i}+0.02664)+0.02664(V_{i}-0.02664)}- 10^{4}
\]

A partir del valor inicial considerado, el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas nos proporciona la siguiente tabla de
valores (realizando iteraciones hasta que la distancia entre dos
valores consecutivos se hace inferior a 10$^{-8}$ y
$|r_{i}|<10^{-5})$:

\begin{tabular}{rrrr}
\underline{$Iteraci\acute{o}n$} & \underline{$V_{i}$} & \underline{$g(V_{i})$%
} & \underline{$r_{i}$} \\
1 & $0.211311226884$ & $0.187353020426$ & $-1297.34376394$ \\
2 & $0.187353020426$ & $0.177275001886$ & $-627.081646107$ \\
3 & $0.177275001886$ & $0.172576048103$ & $-311.943022813$ \\
4 & $0.172576048103$ & $0.170283680111$ & $-157.080311681$ \\
5 & $0.170283680111$ & $0.169141118216$ & $-79.5413967845$ \\
6 & $0.169141118216$ & $0.168565615384$ & $-40.3858467251$ \\
... & $.................$ & $.................$ & $...................$ \\
27 & $0.167973123629$ & $0.167973123232$ & $-0.0000280358854345$ \\
28 & $0.167973123232$ & $0.167973123031$ & $-0.0000142727608292$ \\
29 & $0.167973123031$ & $0.167973123232$ & $-0.00000726610596669$%
\end{tabular}

\noindent por lo que se puede tomar $V_{a.s.}^{*}\approx
0.167973123031$ (y por tanto la densidad buscada ser\'{\i}a su
inversa $5.9533333$..). La determinaci\'{o}n de este valor ha
costado 29 iteraciones del m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas.
Si en su lugar se hubiera utilizado el algoritmo de Steffensen se
obtendr\'{\i}a la siguiente tabla de valores (con los mismos
controles de tolerancia):

\begin{tabular}{rrrr}
\underline{$Iteraci\acute{o}n$} & \underline{$V_{i}$} & \underline{$g(V_{i})$%
} & \underline{$r_{i}$} \\
1 & $0.176170684169$ & $0.172043245471$ & $-276.026202967$ \\
2 & $0.168072867021$ & $0.168023886001$ & $-3.46319927617$ \\
3 & $0.167973138878$ & $0.167973130996$ & $-0.000557724441576$ \\
4 & $0.167973122821$ & $0.167973122821$ & $-0.140492062428 10^{-10}$ \\
5 & $0.167973122821$ & $0.167973122821$ & $0.373034936274 10^{-12}$%
\end{tabular}

Obs\'{e}rvese que en la \'{u}ltima iteraci\'{o}n se repiten los valores de $%
x_{i}$ y $g(x_{i})$ de la cuarta iteraci\'{o}n aunque el valor del
residuo difiere. Ello es debido a que $x_{4}$ y $x_{5}$ no son
iguales pero se diferencian a partir de valores decimales que
est\'{a}n m\'{a}s all\'{a} de los considerados en este ejemplo.

N\'{o}tese asimismo que en s\'{o}lo 5 iteraciones del m\'{e}todo
de Steffensen se ha logrado una soluci\'{o}n $V_{St}^{*}\approx
0.167973122821$ muy similar a la proporcionada por el m\'{e}todo
de a\-pro\-xi\-ma\-cio\-nes sucesivas ($V_{a.s.}^{*}\approx
0.167973123031$) habiendo diferencias entre e\-llas del orden de
$10^{-9}$ pero que hacen mucho menor el residuo. Es decir, con
menos iteraciones se ha logrado una soluci\'{o}n m\'{a}s precisa.
Eso s\'{\i}, siendo honestos, debemos reconocer que en cada
iteraci\'{o}n del
m\'{e}todo de Steffensen se han realizado 2 e\-va\-lua\-cio\-nes de la funci\'{o}n $%
g(x)$ (frente a una en el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas)
y seis operaciones elementales m\'{a}s (las que nos proporcionaban
el valor ``corregido'' $x_{3}$ en cada iteraci\'{o}n). No
obstante, este mayor esfuerzo computacional en cada iteraci\'{o}n,
al menos en este caso, merece la pena.

\subsection{Algunos comentarios finales sobre los m\'{e}todos de
re\-so\-lu\-ci\'{o}n de una ecuaci\'{o}n no lineal}

1${^{o}}$) Los m\'{e}todos presentados en este apartado
constituyen los m\'{e}todos m\'{a}s b\'{a}sicos de resoluci\'{o}n
de ecuaciones no lineales. Existen muchos otros aplicables a
ecuaciones no lineales de determinado tipo. Entre ellos merece la
pena destacar los m\'{e}todos de resoluci\'{o}n de ecuaciones
polin\'{o}micas tales como los de Bairstow, Bernoulli,
Dandelin-Graeffe, etc... que pueden encontrarse en la
bibliograf\'{\i}a sobre este tema (por ejemplo en C. Conde \& G.
Winter [5] o en E. Durand [6] o en D. Kincaid y W. Cheney [10]).
\es

2${^{o}}$) En el esquema iterativo del m\'{e}todo de la secante,
de forma gr\'{a}fica, se sigue la recta secante al grafo de la
funci\'{o}n que pasa por los puntos $(x_{i},f(x_{i}))$ y
$(x_{i-1},f(x_{i-1}))$. Algunas variantes de este m\'{e}todo
consisten en ajustar en las tres \'{u}ltimas aproximaciones
halladas una par\'{a}bola que pase por $(x_{i-2},f(x_{i-2})),$
$(x_{i-1},f(x_{i-1}))$ y $(x_{i},f(x_{i}))$ determinando con ella
un nuevo punto, el $x_{i+1}$, como uno de los puntos en que dicha
par\'{a}bola corta al eje de abscisas y continuando con \'{e}l el
proceso. Esta es la idea en que se basa el denominado m\'{e}todo
de M\"{u}ller cuya descripci\'{o}n puede encontrarse, por ejemplo
en R. Burden \& J.D. Faires [3]. \es

3${^{o}}$)\ Asimismo existen variantes de los m\'{e}todos antes
expuestos para el caso de trabajar con funciones de variable
compleja. En D. Kincaid \& W. Cheney [10] o en C. Conde \& G.
Winter [5] podr\'{a}n encontrarse, por ejemplo, las adaptaciones
del m\'{e}todo de Newton al caso complejo. \es

4${^{o}}$) Otra familia de m\'{e}todos para la b\'{u}squeda de
soluciones de una ecuaci\'{o}n no lineal se sustenta en los
m\'{e}todos de
optimizaci\'{o}n. Para ello se puede construir la funci\'{o}n $%
r(x)=f^{2}(x). $ Esta funci\'{o}n $r(x)$ siempre tomar\'{a}
valores positivos o nulos por lo que, si $f(x)=0$ admite
soluci\'{o}n, los m\'{\i}nimos de $r(x)$ tendr\'{a}n valor $0.$
Pueden entonces emplearse t\'{e}cnicas de minimizaci\'{o}n (que
desbordan los objetivos de este tema) para determinar los puntos
m\'{i}nimos de la funci\'{o}n $r(x).$ Algoritmos tales como el de
Marquardt-Levenberg o la familia de m\'{e}todos de
optimizaci\'{o}n global (algoritmos gen\'{e}ticos, m\'{e}todos de
``recocido simulado'', etc...) pueden ser aplicados a $r(x).$
Remitimos al lector a la bibliograf\'{\i}a de este tema (por
ejemplo J.L. de la Fuente O'Connor [7]) para un estudio de
m\'{e}todos de optimizaci\'{o}n. \es

5${^{o}}$) Otros m\'{e}todos muy en boca hoy en d\'{\i}a son los
m\'{e}todos
de continuaci\'{o}n (o de homotop\'{\i}a). En ellos, dada la ecuaci\'{o}n $%
f(x)=0,$ se considera que la variable $x$ depende a su vez
(mediante una funci\'{o}n desconocida ``a priori'') de un
par\'{a}metro $\lambda \in \left[ 0,1\right] $ de forma tal que
cuando $\lambda $ tome el valor 1 se verifique que $x(1)=x^{*},$
siendo $x^{*}$ una soluci\'{o}n de la
ecuaci\'{o}n planteada. Por ejemplo, es habitual, dado un valor inicial $%
x_{0},$ considerar que $f(x(\lambda ))=(1-\lambda )f(x_{0}).$ De
esta forma cuando $\lambda $ tome el valor 1 se deber\'{a}
verificar que $f(x(1))=0$ con lo que $x^{*}=x(1).$ Con esta
elecci\'{o}n se tendr\'{a} que:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
\frac{df}{dx}(x(\lambda )) \frac{dx}{d\lambda }(\lambda )=-f(x_{0}) \\
x(0)=x_{0}
\end{array}
\right\} \;\;\;\;\;\;\;\;\lambda \in \left[ 0,1\right]
\]

En las expresiones anteriores $\frac{df}{dx}(x(\lambda ))$ puede
calcularse (pues $f(x)$ ) es conocida) y ser\'{a} una
expresi\'{o}n que depender\'{a} de $x(\lambda ).$ Por tanto las
ecuaciones anteriores re\-pre\-sen\-tan un problema de valor
inicial cuya resoluci\'{o}n nos determinar\'{a} la expresi\'{o}n
de la funci\'{o}n $x(\lambda )$ buscada.

A su vez la resoluci\'{o}n del problema de valor inicial se
realiza en la pr\'{a}ctica mediante m\'{e}todos num\'{e}ricos como
los que se abordar\'{a}n en el cap\'{\i}tulo siguiente de estos
guiones. Por ello retomaremos este m\'{e}todo en el pr\'{o}ximo
cap\'{\i}tulo como una aplicaci\'{o}n de los m\'{e}todos de
resoluci\'{o}n num\'{e}rica de problemas de valor inicial. \es

6${^{o}}$) Una vez determinada una soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n
$f(x)=0,$ otras ra\'{\i}ces pueden buscarse utilizando la
denominada t\'{e}cnica de deflacci\'{o}n en la que $f(x)$ se
expresa como:
\[
f(x)=(x-x^{*}) h(x)\Leftrightarrow h(x)=\frac{f(x)}{(x-x^{*})}
\]
y se buscan otras posibles ra\'{\i}ces de la ecuaci\'{o}n
$h(x)=0.$ En rigor la funci\'{o}n $h(x)$ no estar\'{\i}a definida
en el punto $x=x^{*}$ (pues en \'{e}l aparecer\'{\i}a una
divisi\'{o}n por 0). Por ello, si se tiene necesidad de trabajar
en dicho punto, se definir\'{a}:
\[
h(x^{*})=\displaystyle{{\lim }_{x\to x^{*}}}
\frac{f(x)}{(x-x^{*})}
\]
\es

7${^{o}}$) Habitualmente, si una funci\'{o}n $f(x)$ tiene
diferentes ra\'{\i}ces, dependiendo del punto de partida $x_{0}$
con el que se arranque el proceso iterativo se podr\'{a}
determinar una u otra de ellas. Al conjunto de puntos que tomados
como valor de arranque del m\'{e}todo iterativo conducen a la
soluci\'{o}n $x^{*}$ se le llama \textbf{dominio} (o
cuenca) \textbf{de atracci\'{o}n} de la ra\'{\i}z. Por ejemplo, si $%
f(x)=x^{2}-\frac{1}{4}$ es obvio que sus ra\'{\i}ces son $\pm
\frac{1}{2}.$ Si se buscan las ra\'{\i}ces de esta ecuaci\'{o}n
mediante el m\'{e}todo de Newton puede comprobarse que:

\hspace{1cm}a) Si $x_{0}\leq -\frac{1}{2}$ la soluci\'{o}n que
proporciona el m\'{e}todo es $x^{*}=-\frac{1}{2}$

\hspace{1cm}b) Si $-\frac{1}{2}<x_{0}$ el m\'{e}todo conduce a la
soluci\'{o}n $x^{*}=\frac{1}{2}.$

Por ello para la ecuaci\'{o}n considerada y para el m\'{e}todo de
Newton-Raphson el dominio de atracci\'{o}n de la ra\'{i}z $\frac{-1}{2}$ es $%
]-\infty ,-\frac{1}{2}]$ y el de la ra\'{\i}z $\frac{1}{2}$ es $]\frac{-1}{2}%
,\infty [.$

Pero si la misma ecuaci\'{o}n se intenta resolver mediante el
m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas utilizando el esquema
iterativo:
\[
x_{i+1}=x_{i}^{2}+x_{i}-\frac{1}{4}
\]
se tiene que:

\hspace{1cm}a) Si $x_{0}<\frac{-3}{2}$ o $x_{0}>\frac{1}{2}$ el
m\'{e}todo diverge

\hspace{1cm}b) So $x_{0}=\frac{-3}{2}$ o $x_{0}=\frac{1}{2}$ el
m\'{e}todo converge (en una iteraci\'{o}n) a $\frac{1}{2}$

\hspace{1cm}c) Para otros valores de $x_{0}$ el m\'{e}todo converge hacia $%
\frac{-1}{2}$

Por ello para la ecuaci\'{o}n considerada y para el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas el dominio de atracci\'{o}n de la ra\'{\i}z $\frac{-1%
}{2}$ es $]\frac{-3}{2},\frac{1}{2}]$ y el de la ra\'{\i}z $\frac{1}{2}$ es $%
\{\frac{-3}{2},\frac{1}{2}\}.$ \es

8${{{}^{o}}}$) Debido al comentario anterior es aconsejable buscar
intervalos en los que la funci\'{o}n s\'{o}lo tenga una ra\'{\i}z
y tome valores con signos alternos en los extremos del intervalo,
combinando los m\'{e}todos de resoluci\'{o}n con el m\'{e}todo de
bipartici\'{o}n. En Press et al. [12] pueden encontrarse
m\'{e}todos de ``separaci\'{o}n de ra\'{\i}ces'' (el proceso de
\textit{bracketing}) que permiten buscar tales intervalos mediante
la exploraci\'{o}n de los valores de la funci\'{o}n en diferentes
puntos. Tambi\'{e}n en Press [12] pueden encontrarse programas en
FORTRAN\ 90 que recogen los m\'{e}todos que hemos presentado
anteriormente combin\'{a}ndolos con el m\'{e}todo de
bipartici\'{o}n. \es

9${{}^{o}}$) La existencia de ra\'{\i}ces m\'{u}ltiples, como ya
se se\~{n}al\'{o} anteriormente, puede ralentizar la
aproximaci\'{o}n hacia las ra\'{\i}ces de una funci\'{o}n. Pero no
es este el \'{u}nico inconveniente que tales ra\'{\i}ces
presentan. En efecto, si la multiplicidad de una ra\'{\i}z es
elevada tambi\'{e}n puede tenerse la sensaci\'{o}n de haber
encontrado dicha ra\'{\i}z estando relativamente alejados de ella.
As\'{\i} si en el proceso de b\'{u}squeda de una ra\'{\i}z $x^{*}$
de multiplicidad $m$
de la funci\'{o}n $f(x)$ se tiene en un momento un valor aproximado $\alpha $%
, el valor de la funci\'{o}n en $\alpha $ ser\'{a}: $f(\alpha
)=(\alpha
-x^{*})^{m} \varphi (\alpha )$. Si $\alpha $ es ``pr\'{o}ximo'' a $%
x^{*} $, aunque no lo suficientemente pr\'{o}ximo como para que
sea su ra\'{\i}z, y $m$ es elevado el valor de $f(\alpha )$ puede
ser, computacionalmente hablando, nulo sin que esta sea la
ra\'{\i}z buscada. Un ejemplo para aclarar lo anterior (tomado de
Shampine \& Allen \& Pruess
[13]) es aquel en el que $x^{*}$ es una ra\'{i}z de multiplicidad $10$ y $%
\alpha -x^{*}=10^{-4}.$ En ese caso, la precisi\'{o}n puede no ser
la deseada y sin embargo: $f(\alpha )=10^{-40} g(\alpha )$ lo que
implicar\'{\i}a
que si se est\'{a} trabajando en un ordenador con precisi\'{o}n simple y $%
\left| g(\alpha )\right| <1,$ el ordenador toma $f(\alpha )$ como
0 por lo que ``detecta'' una ra\'{\i}z en $\alpha .$ \es

10${{}^{o}}$) Para evitar problemas como los anteriores, en
ocasiones es \'{u}til ``escalar'' la ecuaci\'{o}n a resolver. Ello
consiste simplemente en reemplazar la ecuaci\'{o}n $f(x)=0$ por
otra de la forma $F(x)= s(x) f(x)=0$ que admitir\'{a}, entre
otras, las soluciones de la ecuaci\'{o}n inicial. La funci\'{o}n
$s(x)$ debe ser escogida adecuadamente y se denomina funci\'{o}n
de escala (o factor de escala cuando es una constante). Ello puede
contribuir a aumentar los valores de la funci\'{o}n en las
supuestas ra\'{\i}ces. As\'{\i}, por poner un ejemplo obvio, si se
desean encontrar ra\'{\i}ces de la ecuaci\'{o}n $10^{-38} \cos
(x)=0,$ y se trabaja en un ordenador con precisi\'{o}n simple, la
estimaci\'{o}n en cualquier punto $x$ de la recta real del valor
$f(x)=10^{-38} \cos (x)$ es siempre nulo (pues en simple
precisi\'{o}n no se pueden almacenar n\'{u}meros tan
peque\~{n}os). En otros t\'{e}rminos, en simple precisi\'{o}n
cualquier valor real ser\'{\i}a para el ordenador soluci\'{o}n de
la ecuaci\'{o}n dada. Si la ecuaci\'{o}n se escala
multiplic\'{a}ndola por $10^{38}$ se tiene ahora $F(x)= \cos
(x)=0$ y sobre esta ecuaci\'{o}n el ordenador ya puede distinguir
si se est\'{a} en las cercan\'{i}as de una ra\'{\i}z o no.

No siempre es tan sencillo el proceso de ``escalar'' ecuaciones.
En Shampine \& Allen \& Pruess [13] pueden encontrarse algunos
ejemplos muy instructivos y simples a este respecto. \es

11${{}^{o}}$) En algunos c\'odigos, la b\'usqueda de ra\'{\i}ces
m\'ultiples de $f(x)$ se realiza buscando las ra\'{\i}ces simples
de $h(x)=f(x)/f' (x)$.

\section{M\'{e}todos de resoluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones no
li\-nea\-les.}

Los m\'{e}todos de aproximaciones sucesivas, Newton-Raphson y sus
variantes, presentados en el apartado anterior para el caso de una
\'{u}nica ecuaci\'{o}n pueden extenderse f\'{a}cilmente al caso de
sistemas de n ecuaciones no lineales con n inc\'{o}gnitas.

Este tipo de sistemas los escribiremos en la forma:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0 \\
f_{2}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0 \\
............................ \\
f_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0
\end{array}
\right.
\]
o m\'{a}s brevemente como $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ donde $\mathbf{%
0}$ es el vector nulo de n componentes, $\mathbf{x}$ es un vector
de $\R^{n}$ y $\mathbf{f}$ es la funci\'{o}n vectorial dependiente
de n variables reales dada por:
\[
\mathbf{f} :\R^{n} \rightarrow \R^{n} \]
\begin{eqnarray*}
\mathbf{x} =(x_{1},x_{2},...,x_{n})^{T}\rightarrow \mathbf{f}(\mathbf{x}%
)=\left\{
\begin{array}{c}
f_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n}) \\
f_{2}(x_{1},x_{2},....,x_{n}) \\
............................ \\
f_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n})
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

Al igual que se indic\'{o} para el caso de un \'{u}nica
ecuaci\'{o}n, no debe confundirse esta forma de representar el
sistema de ecuaciones con el que la funci\'{o}n
$\mathbf{f}(\mathbf{x})$ sea id\'{e}nticamente nula. En efecto con
la notaci\'{o}n $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ estaremos
representando de forma breve
en este apartado el problema siguiente: ``Encontrar, si es posible, alg\'{u}n vector $\mathbf{x}^{*}$ de $\R%
^{n}$ para el que se verifique que
$\mathbf{f}(\mathbf{x}^{*})=\mathbf{0}$''

\subsection{El m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas para sistemas de n
ecuaciones no lineales}

Este m\'{e}todo se basa en el teorema del punto fijo. Para su
aplicaci\'{o}n, al igual que en el caso de una ecuaci\'{o}n, se
transforma el sistema $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ en otro
equivalente (es decir con las mismas soluciones, de la forma
$\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})).$ La forma de realizar esta
transformaci\'{o}n no es \'{u}nica. Por ejemplo, si se suma el
vector $\mathbf{x}$ en ambos t\'{e}rminos del sistema se
tendr\'{a} que:
\[
\mathbf{x}=\mathbf{x}+\mathbf{f}(\mathbf{x})
\]
por lo que podr\'{\i}a tomarse $\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{x}+\mathbf{f}(%
\mathbf{x}).$

Pero tambi\'{e}n podr\'{\i}a realizarse el proceso:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}\Longleftrightarrow \mathbf{x}=\mathbf{x}-%
\mathbf{f}(\mathbf{x})
\]
por lo que
$\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\mathbf{f}(\mathbf{x})$
tambi\'{e}n ser\'{\i}a otra forma de realizar la
transformaci\'{o}n antes aludida.

O podr\'{i}a despejarse (total o parcialmente) de la primera ecuaci\'{o}n $%
x_{1},$ de la segunda $x_{2},$ ..... y de la n-\'{e}sima
ecuaci\'{o}n $x_{n}$ con lo que tambi\'{e}n escribir\'{\i}amos el
sistema en la forma deseada.

Tambi\'{e}n ahora debe ponerse atenci\'{o}n en el hecho de que a
pesar de
que existan muy diferentes formas de rescribir $\mathbf{f}(\mathbf{x})=%
\mathbf{0}$ en la forma $\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ no
todas son equivalentes para aplicar sobre ellas el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas y debe seleccionarse con cuidado la forma
en la que se da este paso para que, a la luz de lo que nos
indiquen los teoremas y propiedades que a continuaci\'{o}n
presentaremos, se garantice la convergencia (lo m\'{a}s
r\'{a}pidamente posible) del m\'{e}todo.

Una vez escrito el sistema de ecuaciones en la forma $\mathbf{x}=\mathbf{g}(%
\mathbf{x})$ el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas consiste en
seleccionar ``arbitrariamente'' (aunque mejor cuanto m\'{a}s
cercano est\'{e} a la soluci\'{o}n buscada) un vector
$\mathbf{x}^{(0)}$ con el que inicializar el esquema iterativo
siguiente:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;(i=0,1,2,....)
\]

De esta forma se genera una sucesi\'{o}n de vectores $\{\mathbf{x}^{(i+1)}=%
\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\}_{i=0}^{\infty }.$ Y seg\'{u}n el
teorema del punto fijo se tiene el resultado siguiente:

\beteor
Si para alguna norma definida sobre $\R^{n}$ se verifica que $\mathbf{%
g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n sobre un dominio $D$
cerrado de $\R^{n}$ y $\mathbf{x}^{(0)}$ es un punto de $D$,
entonces el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas antes planteado
converge hacia la
\'{u}nica soluci\'{o}n en D de la ecuaci\'{o}n $\mathbf{x}=\mathbf{g}(%
\mathbf{x}).$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n\textbf{:}} Por ser $D$ un cerrado de
$\R^{n}$ ser\'{a} completo. Y por
aplicaci\'{o}n directa del teorema de punto fijo, al ser $\mathbf{g}(\mathbf{%
x})$ una contracci\'{o}n se verificar\'{a} que:

\hspace{0.8cm}1${{}^{o}}$) S\'{o}lo existir\'{a} un punto
$\mathbf{x}^{*}$ de $D$ para el que
$\mathbf{x}^{*}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})$

\hspace{0.8cm}2${{}^o}$) La sucesi\'{o}n $\{\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(%
\mathbf{x}^{(i)})\}_{i=0}^{\infty }$ converge hacia
$\mathbf{x}^{*}$ en el sentido de la norma utilizada.

Y si la sucesi\'{o}n converge para la norma con la que se trabaja en $%
\R^{n}$ tambi\'{e}n lo har\'{a} para cualquier norma definida
sobre $\R^{n}$ pues al ser $\R^{n}$ de dimensi\'{o}n finita todas
las normas sobre \'{e}l definidas ser\'{a}n equivalentes.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Es conveniente observar que
\begin{enumerate}
\item
Puesto que el sistema de ecuaciones $\mathbf{x
}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es equivalente al sistema $\mathbf{f}(%
\mathbf{x})=\mathbf{0}$\, en las condiciones del teorema anterior
el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas converge hacia una
soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}$ del sistema
$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$.
\item En otros t\'{e}rminos las funciones $\mathbf{g}(\mathbf{x})$
con las que nos interesa trabajar son aquellas que, para alguna
norma vectorial $\|  \|$, sean una contracci\'{o}n sobre alg\'{u}n
dominio cerrado $D$ de $\R^{n}.$
\item El teorema anterior nos proporciona unas
condiciones que aseguran la convergencia del m\'{e}todo. Son pues
condiciones suficientes para la convergencia del m\'{e}todo. Pero
el teorema no dice nada sobre su necesidad. Y en efecto puede
haber situaciones particulares en las que no verific\'{a}ndose las
condiciones del teorema (que $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ sea una
contracci\'{o}n sobre el dominio D en el que se busca el vector
soluci\'{o}n) el m\'{e}todo tambi\'{e}n converja. A este respecto
el teorema anterior se limita a no asegurar el buen funcionamiento
del m\'{e}todo en el caso de que no se satisfagan las
hip\'{o}tesis en \'{e}l hechas pero sin impedir su buen
funcionamiento en dichos casos.
\end{enumerate}
\enobse

El demostrar que una aplicaci\'{o}n $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es
una contracci\'{o}n para alguna norma, mediante la
determinaci\'{o}n de su constante de Lipschitz puede, en ciertas
ocasiones, resultar algo laborioso. Por ello pueden contemplarse
variantes m\'{a}s restrictivas (pero m\'{a}s f\'{a}cilmente
aplicables en la pr\'{a}ctica) del teorema anterior.
En ellas, asumiendo que todas las componentes de la funci\'{o}n $\mathbf{g}(%
\mathbf{x})$ son derivables en todos los puntos del dominio de
trabajo, se utiliza la matriz Jacobiana de la aplicaci\'{o}n
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$, que denotaremos por $\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] $ y que recordamos que
se defin\'{\i}a mediante:
\[
\dis \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] =\dis
\left[
\begin{array}{rrrr}
 \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}) & \frac{\partial g_{1}}{%
\partial x_{2}}(\mathbf{x}) & ... & \frac{\partial g_{1}}{\partial x_{n}}(%
\mathbf{x}) \\
\frac{\partial g_{2}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}) & \frac{\partial g_{2}}{%
\partial x_{2}}(\mathbf{x}) & ... & \frac{\partial g_{2}}{\partial x_{n}}(%
\mathbf{x}) \\
... & ... & ... & ... \\
 \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}) & \frac{\partial g_{n}}{%
\partial x_{2}}(\mathbf{x}) & ... & \frac{\partial g_{n}}{\partial x_{n}}(%
\mathbf{x})
\end{array}
\right]
\]

Con esta notaci\'{o}n se tiene el siguiente teorema:

\beteor Si $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una aplicaci\'{o}n de clase
$\left( C^{1}(D)\right) ^{n}$ y que toma valores en el cerrado $D$
verificando para alguna norma matricial subordinada la
condici\'{o}n:
\[
\exists k<1\;\;/\;\;\;\;\;\;\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}%
)\right] \right\| \leq k<1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall
\mathbf{x}\in D
\]
entonces la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right\} _{i=0}^{\infty }$ generada, a partir de cualquier $\mathbf{x}%
^{(0)}\in D,$ converge hacia la \'{u}nica soluci\'{o}n de la ecuaci\'{o}n $%
\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ en $D$. \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por aplicaci\'{o}n del teorema del
valor medio se verificar\'{a} que:
\[
\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in D\;\;\;\exists \mathbf{z}\in \stackrel{%
\circ }{D}\diagup
\;\;\;\mathbf{g}(\mathbf{x})-\mathbf{g}(\mathbf{y})=\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{z})\right] (\mathbf{x}-\mathbf{y})
\]
y por haber supuesto que para alguna norma matricial subordinada, el valor de $%
\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] \right\|
$ estaba acotado por $k,$ trabajando con la norma vectorial a la
que est\'{a} subordinada la anterior norma matricial se tendr\'{a}
que:
\begin{eqnarray*}
\forall \mathbf{x},\mathbf{y} &\in &D:\;\;\;||\mathbf{g}(\mathbf{x})-\mathbf{%
g}(\mathbf{y})||=\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{z})\right] (%
\mathbf{x}-\mathbf{y})\right\| \leq \\
&\leq &\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{z})\right]
\right\|
\left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| \leq k ||\mathbf{x}-\mathbf{y}%
||<||\mathbf{x}-\mathbf{y||}
\end{eqnarray*}
por lo que, teniendo en cuenta que $\mathbf{g}:D\rightarrow D,$ resulta que $%
\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n. Aplicando el
teorema precedente quedar\'{a} totalmente demostrado.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Cuando en las aplicaciones se utilice este teorema para
comprobar que la aplicaci\'{o}n considerada es una contracci\'{o}n
se tomar\'{a} como aproximaci\'{o}n de la constante de
Lipschitz el valor $k=$ ${M\acute{a}x}_{\mathbf{x}\in D}%
\left\{ \left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right]
\right\| \right\} .$ \enobse

Los dos teoremas precedentes establecen condiciones suficientes de
convergencia {\em glo\-bal} del m\'{e}todo sobre un dominio
cerrado $D$ (esto es independientemente del punto
$\mathbf{x}^{(0)}\in D$ con el que se inicialice el proceso
iterativo). Cuando se conozca un cierto entorno de la soluci\'{o}n
buscada pueden establecerse resultados de convergencia {\em local}
(es decir, para puntos $\mathbf{x}^{(0)}$ suficientemente
pr\'{o}ximos a la soluci\'{o}n). As\'{\i} por ejemplo, se tiene el
siguiente teorema:

\beteor
Si existe una soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}$ de la ecuaci\'{o}n $\mathbf{x}=%
\mathbf{g}(\mathbf{x})$ en un dominio ce\-rra\-do $D$ en el que
$\mathbf{g}( \mathbf{x})$ es de clase $\left( C^{1}(D)\right)
^{n}$ y para alguna norma
matricial subordinada $\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}%
^{*})\right] \right\| <1$ entonces existe un valor $\delta >0$ tal
que si,
trabajando con la norma vectorial asociada a la norma matricial anterior, $||%
\mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}^{(0)}||<\delta $ la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x%
}^{(i+1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(i)})\right\} _{i=0}^{\infty }$
verifica que:

\begin{itemize}
\item[a)] $||\mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}^{(i)}||<\delta \;\;\;\;\;\forall
\mathbf{x}^{(i)}$
\item[b)] ${\lim }_{i\rightarrow \infty } \mathbf{x}^{(i)}=%
\mathbf{x}^{*}$.
\end{itemize}
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por ser $\dis
\frac{\partial g_{i}}{\partial x_{j}}(%
\mathbf{x})$ (i, j = 1, ..., n) continuas en todo $\mathbf{x}\in
D$ existir\'{a} una bola abierta de centro $\mathbf{x}^{*}$ y
radio $\delta ^{\prime }$ , $B(\mathbf{x}^{*},\delta ^{\prime })$
tal que en ella se verifique:
\[
\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] \right\|
\leq k<1\;\;\;\;\;\;\forall \mathbf{x}\in B(\mathbf{x}^{*},\delta
^{\prime })
\]

Considerando un valor $\delta <\delta ^{\prime }$ se tendr\'{a}
por tanto que,
\[
\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] \right\|
\leq k<1\;\;\;\;\;\;\forall \mathbf{x}\in B^{\prime
}(\mathbf{x}^{*},\delta )
\]
donde $B^{\prime }(\mathbf{x}^{*},\delta )$ es una bola cerrada de centro $%
\mathbf{x}^{*}$ y radio $\delta .$

Consecuentemente $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n en $%
B^{\prime }(\mathbf{x}^{*},\delta ).$ Ello conduce a que

$$
\forall \mathbf{x}^{(i)}\in \left\{ \mathbf{x}^{(i)}\right\}
_{i=1}^{\infty
}:\;\;\;\left\| \mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{*}\right\| =\left\| \mathbf{g}(%
\mathbf{x}^{(i-1)})-\mathbf{g}(\mathbf{x}^{*})\right\| <k \left\|
\mathbf{x}^{(i-1)}-\mathbf{x}^{*}\right\| <
$$
$$
<k^{2} \left\| \mathbf{x}^{(i-2)}-\mathbf{x}^{*}\right\|
<.....<k^{i} \left\| \mathbf{x}^{(0)}-\mathbf{x}^{*}\right\|
<k^{i} \delta <\delta
$$

Por otra parte, al ser $k<1$ bastar\'{a} con escoger el
\'{\i}ndice $i$ suficientemente elevado para que todos los
elementos de la sucesi\'{o}n con \'{\i}ndice mayor que $i$ sean
tan cercanos a $x^{*}$ como se desee. En otros
t\'{e}rminos $\mathbf{x}^{*}={\lim }_{i\rightarrow \infty }\mathbf{%
x}^{(i)}.$

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Cuanto menor sea el valor de $\left\| \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}^{*})\right] \right\| $ menor
ser\'{a} la cota de $\dis \left\|
\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{*}\right\| $ obtenida en la
demostraci\'{o}n anterior y por ello mejor ser\'{a} la
convergencia del m\'{e}todo si se parte de un punto
suficientemente cercano a la soluci\'{o}n. \enobse

Los teoremas precedentes establecen condiciones suficientes para
que el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas converja. De esta
forma, si se verifican las hip\'{o}tesis de cualquiera de los
teoremas anteriores, seleccionado el punto inicial
$\mathbf{x}^{(0)},$ todo consistir\'{a} en generar a partir de
\'{e}l $\mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(0)}),$ y a partir
de este $\mathbf{x}^{(2)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(1)}),$ y
as\'{\i} sucesivamente. Tras hacer infinitas iteraciones
alcanzar\'{\i}amos la soluci\'{o}n buscada. Pero, evidentemente,
no pueden realizarse ``infinitas'' iteraciones. Por ello la
cuesti\'{o}n que nos planteamos ahora es \textquestiondown
cu\'{a}ntas iteraciones nos garantizar\'{\i}an una precisi\'{o}n
determinada?. La respuesta a este dilema nos la proporciona el
siguiente teorema:

\beteor Siendo $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ una contracci\'{o}n
definida en el dominio cerrado D la distancia (en el sentido de la
norma vectorial con la que se demuestre que
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n) entre la
\'{u}nica soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}$ de la ecuaci\'{o}n $\mathbf{x}=%
\mathbf{g}(\mathbf{x})$ y cualquier elemento de la sucesi\'{o}n
$\left\{ \mathbf{x}^{(n)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}^{(n-1)})\right\}
_{n=0}^{\infty },$ generada a partir de cualquier valor
$\mathbf{x}^{(0)}\in D,$ est\'{a} acotada mediante la
expresi\'{o}n:
\[
\left\| \mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}^{(n)}\right\| \leq
\frac{k^{n}}{1-k} \left\|
\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\right\|
\]
donde $k$ es la constante de Lipschitz de la contracci\'{o}n.
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} V\'{e}ase la ``Nota 2${{}^{a}}$''
realizada tras la demostraci\'{o}n del teorema del punto fijo.

\hspace{10cm}c.q.d.


\beobse Obs\'ervese lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item
Bajo las hip\'{o}tesis del teorema precedente, si se desea
asegurar que la norma (siempre en el sentido de la norma vectorial
para la que $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n) del
error cometido es menor que un cierto valor $\varepsilon $ la
expresi\'{o}n anterior nos dice que deben realizarse un n\'{u}mero $N$%
de iteraciones tal que:
\[
\frac{k^{N}}{1-k} \left\|
\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\right\|
<\varepsilon \Rightarrow N>\frac{\log \left( \frac{\varepsilon  (1-k)}{%
\left\| \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\right\| }\right) }{\log
(k)}
\]
\item Si no se conoce el valor exacto de la
constante de Lipschitz de la aplicaci\'{o}n puede estimarse de
forma aproximada de diferentes maneras. Por ejemplo, tras cada
i\-te\-ra\-ci\'{o}n del m\'{e}todo podr\'{\i}a obtenerse una
aproximaci\'{o}n de dicha constante estimando la norma de la
matriz jacobiana en el \'{u}ltimo punto ha\-lla\-do.
\end{enumerate}
\enobse

En la pr\'{a}ctica, en lugar de calcular a priori el n\'{u}mero de
iteraciones a realizar se va estimando en cada iteraci\'{o}n la
distancia del punto en ella hallado a la soluci\'{o}n exacta. Esta
estimaci\'{o}n se realiza simplemente evaluando la diferencia
entre las dos \'{u}ltimas aproximaciones halladas que, cuando
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es una contracci\'{o}n, son un indicador
de la cercan\'{\i}a a la soluci\'{o}n exacta en virtud del
siguiente teorema:

\beteor Siendo $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ una contracci\'{o}n
definida en el cerrado $D $ la distancia entre la \'{u}nica
soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}$ en D de la ecuaci\'{o}n
$\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ y cualquier elemento de la
sucesi\'{o}n
$$
\dis \left\{ \mathbf{x}^{(n)}=\mathbf{g}(\mathbf{x}%
^{(n-1)})\right\} _{n=0}^{\infty },
$$
generada a partir de cualquier punto $\mathbf{x}^{(0)}\in D,$
est\'{a} acotada mediante la expresi\'{o}n:
\[
\left\| \mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}^{(n)}\right\| \leq \frac{k}{1-k}
\left\| \mathbf{x}^{(n)}-\mathbf{x}^{(n-1)}\right\|
\]
donde $k$ es la constante de Lipschitz de la contracci\'on.
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} V\'{e}ase la segunda observaci\'on
realizada tras la demostraci\'{o}n del teorema del punto fijo.

\hspace{10cm}c.q.d.

Con ello, cuando $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ sea una contracci\'{o}n, al ser $%
k<1$, bastar\'{a} con hacer un n\'{u}mero de iteraciones tal que
$\left\| \mathbf{x}^{(n)}-\mathbf{x}^{(n-1)}\right\| $ sea
suficientemente
peque\~{n}o para asegurar que $\left\| \mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}%
^{(n)}\right\| $ tambi\'{e}n es peque\~{n}o. Este control de la
convergencia debe acompa\~{n}arse con la limitaci\'{o}n del
n\'{u}mero de iteraciones a
realizar, en previsi\'{o}n de los casos en los que, no siendo $\mathbf{g}(%
\mathbf{x})$ una contracci\'{o}n, el m\'{e}todo no converja, y con
el control del valor de $\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(n)})\right\| =$ $%
\left\| \mathbf{g}(\mathbf{x}^{(n)})-\mathbf{x}\right\| $ en cada
iteraci\'{o}n. M\'{a}s concretamente un algoritmo del m\'{e}todo
de aproximaciones sucesivas, en el que se parte de la ecuaci\'{o}n equivalente $%
\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$ es el siguiente: \es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas:}} \es

Dada la ecuaci\'{o}n $\mathbf{x}=\mathbf{g}(\mathbf{x})$, los
indicadores de precisi\'{o}n $\varepsilon $ y $\delta $, un valor
m\'{a}ximo del n\'{u}mero
de iteraciones que se permiten realizar $(maxiter)$ y un punto $\mathbf{x}%
^{(0)}$ con el que inicializar el proceso,

$tolx\leftarrow 2 \varepsilon $

$tolf\leftarrow 2 \delta $

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 0$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} $(%
\mathbf{(}tolx>\varepsilon )\;o\;(tolf>\delta )$\textbf{)},
\textbf{hacer:}
\[
\mathbf{x}^{(1)}\leftarrow \mathbf{g}(\mathbf{x}^{(0)})
\]
\begin{eqnarray*}
tolx &\leftarrow &\left\| \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\right\| \\
tolf &\leftarrow &\left\| \mathbf{g}(\mathbf{x}^{(1)})-\mathbf{x}%
^{(1)}\right\|
\end{eqnarray*}
\[
iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1
\]
\[
\mathbf{x}^{(0)}\leftarrow \mathbf{x}^{(1)}
\]

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} $((tolx<\varepsilon )\;y\;(tolf<\delta
))\;$\textbf{entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $\mathbf{x}^{(1)}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.} \es

Ilustremos el m\'{e}todo que se acaba de describir mediante un
ejemplo.

\bejem (Cortes\'{\i}a del Pr. B. Coto): Seg\'{u}n el modelo de
Wilson las expresiones de los coeficientes de actividad a
diluci\'{o}n infinita ($\gamma _{i}^{\infty })$ de una mezcla
binaria est\'{a}n dadas por las expresiones:
\begin{eqnarray*}
\ln (\gamma _{1}^{\infty }) &=&1-\ln (\Lambda _{12})-\Lambda _{21} \\
\ln (\gamma _{2}^{\infty }) &=&1-\ln (\Lambda _{21})-\Lambda _{12}
\end{eqnarray*}
donde $\Lambda _{12}$ y $\Lambda _{21}$ son los par\'{a}metros
binarios de la mezcla. Se desea saber con el modelo de Wilson el
valor de los par\'{a}metros binarios en los dos casos siguientes:
\begin{itemize}
\item[a)] En el caso de una mezcla binaria ideal en la que los coeficientes de
actividad a diluci\'{o}n infinita son $\gamma _{1}^{\infty
}=\gamma _{2}^{\infty }=1.091.$
\item[b)] En una mezcla de agua y etanol para la cual $\gamma _{1}^{\infty }=7.20$
y $\gamma _{2}^{\infty }=2.74.$
\end{itemize}
\enejem

\underline{Soluci\'{o}n:} \es

Por simplicidad denotaremos como $x_{1}=\Lambda _{12}$ y como
$x_{2}=\Lambda _{21}.$ Con ello las ecuaciones del modelo de
Wilson se escriben como:
\begin{eqnarray*}
\ln (\gamma _{1}^{\infty }) &=&1-\ln (x_{1})-x_{2} \\
\ln (\gamma _{2}^{\infty }) &=&1-\ln (x_{2})-x_{1}
\end{eqnarray*}

\underline{Caso a)}: Una primera opci\'{o}n para intentar resolver
estas ecuaciones mediante el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas consiste en despejar $x_{1}$ de la segunda ecuaci\'{o}n
y $x_{2}$ de la primera de ellas con lo que:
\begin{eqnarray*}
x_{1} &=&1-\ln (\gamma _{2}^{\infty })-\ln (x_{2}) \\
x_{2} &=&1-\ln (\gamma _{1}^{\infty })-\ln (x_{1})
\end{eqnarray*}
por lo que llamando
\[
\mathbf{g}(\mathbf{x})=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}(x_{1},x_{2}) \\
g_{2}(x_{1},x_{2})
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
1-\ln (\gamma _{2}^{\infty })-\ln (x_{2}) \\
1-\ln (\gamma _{1}^{\infty })-\ln (x_{1})
\end{array}
\right)
\]
puede intentarse el esquema iterativo:
\[
\dis \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{g}\left( \mathbf{x}^{(i)}\right)
=\left(
\begin{array}{c}
g_{1}\left( x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)}\right) \\ [0.2cm] g_{2}\left(
x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)}\right)
\end{array}
\right) =\dis \left(
\begin{array}{c}
1-\ln (\gamma _{2}^{\infty })-\ln \left( x_{2}^{(i)}\right) \\
[0.2cm] 1-\ln (\gamma _{1}^{\infty })-\ln \left(
x_{1}^{(i)}\right)
\end{array}
\right)
\]

Obs\'{e}rvese que
\[
\dis \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] =\dis
\left[
\begin{array}{rr}
0 & -\frac{1}{x_{2}} \\ [0.2cm] -\frac{1}{x_{1}} & 0
\end{array}
\right]
\]
por lo que sus valores propios ser\'{a}n:
\[
\sqrt{\frac{1}{x_{1} x_{2}}}
\]
lo que nos indica que si $\dis \left| \frac{1}{x_{1}x_{2}}\right|
\geq 1$ la convergencia del m\'{e}todo no estar\'{a} asegurada
(puesto que el valor de toda norma matricial siempre es superior
al radio espectral de la matriz). En efecto, si con estas
funciones inicializamos el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas se van obteniendo, a partir de $%
x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=1,$ los valores siguientes:

$$
x_{1}^{(1)}=x_{2}^{(1)}=0.912905...,\quad
x_{1}^{(2)}=x_{2}^{(2)}=1.00402...,\quad
x_{1}^{(3)}=x_{2}^{(3)}=0.90888...,
$$
$$
x_{1}^{(4)}=x_{2}^{(4)}=1.00844...,\quad
x_{1}^{(5)}=x_{2}^{(5)}=0.90449...,\quad
x_{1}^{(6)}=x_{2}^{(6)}=1.013279...,
$$
$$
......... , \quad x_{1}^{(59)}=x_{2}^{(59)}=0.1758157...,\quad
x_{1}^{(60)}=x_{2}^{(60)}=2.65122...,
$$
sucesi\'{o}n de vectores en la que sus componentes forman
sucesiones
oscilantes que divergen. Por tanto esta elecci\'{o}n de la funci\'{o}n $%
\mathbf{g}(\mathbf{x})$ no es adecuada para la resoluci\'{o}n del
sistema de ecuaciones. Puede observarse que para los valores que
se van obteniendo, el radio espectral de la matriz jacobiana va
tomando valores mayores que 1 (para los vectores en que sus
componentes son menores que 1) y menores que 1 (para los vectores
en que sus componentes son mayores que 1). Por tanto ninguno de
los teoremas anteriores nos garantiza la convergencia.

En su lugar puede procederse de la forma siguiente:
\[
\dis \left(
\begin{array}{c}
\ln (\gamma _{1}^{\infty })=1-\ln (x_{1})-x_{2} \\ [0.2cm] \ln
(\gamma _{2}^{\infty })=1-\ln (x_{2})-x_{1}
\end{array}
\right) \Longleftrightarrow
\]

\[
\dis \Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
\alpha  x_{1}=1+\alpha  x_{1}-\ln (\gamma _{1}^{\infty })-\ln
(x_{1})-x_{2} \\ [0.2cm] \alpha  x_{2}=1+\alpha  x_{2}-\ln (\gamma
_{2}^{\infty })-\ln (x_{2})-x_{1}
\end{array}
\right) \Longleftrightarrow
\]

$$
\Longleftrightarrow \dis \left(
\begin{array}{c}
x_{1}=g_{1}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\alpha } (1+\alpha x_{1}-\ln
(\gamma _{1}^{\infty })-\ln (x_{1})-x_{2}) \\ [0.2cm]
x_{2}=g_{2}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\alpha } (1+\alpha x_{2}-\ln
(\gamma _{2}^{\infty })-\ln (x_{2})-x_{1})
\end{array}
\right)
$$

Con esta nueva forma de proceder la matriz Jacobiana ser\'{a}:
\[
\dis \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right]
=\frac{1}{\alpha } \left[
\begin{array}{rr}
\left( \alpha -\frac{1}{x_{1}}\right) & -1 \\
-1 & \left( \alpha -\frac{1}{x_{2}}\right)
\end{array}
\right]
\]

La norma-1 de la matriz Jacobiana ser\'{a} por tanto,
\[
\dis \left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] \right\| _{1}=%
\frac{1}{\alpha } {M\acute{a}x}\left\{ \left| \alpha -%
\frac{1}{x_{1}}\right| +1,\left| \alpha -\frac{1}{x_{2}}\right|
+1\right\}
\]

Restringi\'{e}ndonos a valores de $\alpha $ positivos, para que $\frac{1}{%
\alpha } (\left| \alpha -\frac{1}{x}\right| +1)$ sea inferior a 1
se debe verificar que
\[
\left| \alpha -\frac{1}{x}\right| +1<\alpha \Longrightarrow x<1
\]
lo que asegura que $\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}%
)\right] \right\| _{1}$ es menor que 1 siempre que
\[
x_{1}<1\;\;\;\;\;\text{y }\;\;\;\;x_{2}<1
\]

Con ello puede darse a $\alpha $ un valor que nos proporcione
dominios suficientemente amplios para obtener una buena
convergencia. Por ejemplo, si a $\alpha $ le asignamos el valor 2,
admitiendo en el caso a) la igualdad de valores para las
soluciones $x_{1}^{*}$ y para $x_{2}^{*}$ puesto que responden a
la misma ecuaci\'{o}n, se tiene que si $x\in [0.639,1]$ las
im\'{a}genes de $g_{i}(x,x)$ (i=1, 2) pertenecen al intervalo $[0.95,1]$ $%
\subset $ $[0.639,1]$. Por tanto si ambas variables se toman con
el mismo valor en el intervalo $[0.639,1-\varepsilon ]$ (siendo
$\varepsilon $ tan peque\~{n}o como se desee) la convergencia
queda asegurada. As\'{\i} partiendo ahora de
$x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=1$ se tiene que:

$$
x_{1}^{(1)}=x_{2}^{(1)}=0.9564526645....,\qquad
x_{1}^{(2)}=x_{2}^{(2)}=0.9569409865.....,
$$
$$
x_{1}^{(3)}=x_{2}^{(3)}=0.956929935...,\qquad
x_{1}^{(4)}=x_{2}^{(4)}=0.9569301837...,
$$
$$
x_{1}^{(5)}=x_{2}^{(5)}=0.9569301781...,x_{1}^{(6)}=x_{2}^{(6)}=
0.9569301782...
$$
por lo que $x_{1}^{*}=x_{2}^{*}\approx 0.956930178.$ \es

\underline{Caso b)}: En este caso el sistema a resolver ser\'{a}:

\begin{eqnarray*}
\ln (7.20) &=&1-\ln (x_{1})-x_{2} \\
\ln (2.74) &=&1-\ln (x_{2})-x_{1}
\end{eqnarray*}
de donde

$$
\dis \left(
\begin{array}{c}
x_{1}=g_{1}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\alpha } (1+\alpha x_{1}-\ln
(7.20)-\ln (x_{1})-x_{2}) \\ [0.2cm]
x_{2}=g_{2}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\alpha } (1+\alpha x_{2}-\ln
(2.74)-\ln (x_{2})-x_{1})
\end{array}
\right)
$$

Tomando para $\alpha $ el valor $4$ (dejamos al lector la
justificaci\'{o}n de qu\'{e} valores ser\'{\i}an ad\-mi\-si\-bles
para este par\'{a}metro) el esquema iterativo a seguir se reduce
a:
\[
x_{1}^{(i+1)}=\frac{1}{4} (1+4 x_{1}^{(i)}-\ln (7.20)-\ln
(x_{1}^{(i)})-x_{2}^{(i)})
\]
\[
x_{2}^{(i+1)}=\frac{1}{4} (1+4 x_{2}-\ln (2.74)-\ln
(x_{2}^{(i)})-x_{1}^{(i)})
\]
por lo que comenzando con los valores
$x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=0.956$ (aproximaci\'{o}n de los hallados
en el caso a)) se tienen los vectores:

$$
\mathbf{x}^{(1)}=\left(
\begin{array}{c}
0.484729 \\
0.726260
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(2)}=\left(
\begin{array}{c}
0.240685 \\
0.683050
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(3)}=\left(
\begin{array}{c}
0.182469 \\
0.716186
\end{array}
\right) \rightarrow
$$

$$
\rightarrow \mathbf{x}^{(4)}=\left(
\begin{array}{c}
0.185196 \\
0.752033
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(5)}=\left(
\begin{array}{c}
0.175253 \\
0.774988
\end{array}
\right) \rightarrow .....\rightarrow
$$

$$
\rightarrow \mathbf{x}^{(45)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\
0.843320
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(46)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\
0.843321
\end{array}
\right)
$$
momento en el que detenemos el proceso iterativo al verificarse
que la norma del vector diferencia entre las dos \'{u}ltimas
aproximaciones es inferior a 10$^{-6}.$

Como puede apreciarse, con la funci\'{o}n vectorial:
\[
\mathbf{g}(x_{1},x_{2})=\left(
\begin{array}{c}
\frac{1}{4} (1+4 x_{1}-\ln (7.20)-\ln (x_{1})-x_{2}) \\
[0.2cm] \frac{1}{4} (1+4 x_{2}-\ln (2.74)-\ln (x_{2})-x_{1})
\end{array}
\right)
\]
el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas nos ha conducido a la
soluci\'{o}n buscada pero en un n\'{u}mero relativamente elevado
de iteraciones. Conocida la soluci\'{o}n, podemos comprobar (a
posteriori) que en ella la norma-1 de la matriz Jacobiana toma un
valor de $0.9535$ es decir relativamente pr\'{o}ximo a 1. Ello nos
puede hacer pensar que quiz\'{a}s otras formas de determinar la
funci\'{o}n $\mathbf{g}(\mathbf{x})$ podr\'{\i}an ser m\'{a}s
ventajosas. En efecto, las ecuaciones dadas pueden manipularse de
la forma siguiente:

$$
\dis \left(
\begin{array}{c}
\ln (\gamma _{1}^{\infty })=1-\ln (x_{1})-x_{2} \\ [0.2cm] \ln
(\gamma _{2}^{\infty })=1-\ln (x_{2})-x_{1}
\end{array}
\right) \dis \Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
0=\ln (e)-(\ln (\gamma _{1}^{\infty })+\ln (x_{1}))-x_{2} \\
[0.2cm] 0=\ln (e)-(\ln (\gamma _{2}^{\infty })+\ln (x_{2}))-x_{1}
\end{array}
\right) \Leftrightarrow
$$

\[
\Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
0=\ln \left( \frac{e}{\gamma _{1}^{\infty } x_{1}}\right) -x_{2}
\\ [0.2cm] 0=\ln \left( \frac{e}{\gamma _{2}^{\infty }
x_{2}}\right) -x_{1}
\end{array}
\right) \Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
1=\frac{e}{\gamma _{1}^{\infty } x_{1}}.e^{-x_{2}} \\ [0.2cm]
1=\frac{e}{\gamma _{2}^{\infty } x_{2}}.e^{-x_{1}}
\end{array}
\right) \Leftrightarrow
\]

\[
\Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
x_{1}=g_{1}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\gamma _{1}^{\infty }
e^{(x_{2}-1)}}
\\ [0.2cm]
x_{2}=g_{2}(x_{1},x_{2})=\frac{1}{\gamma _{2}^{\infty }
e^{(x_{1}-1)}}
\end{array}
\right)
\]

Con ello la matriz Jacobiana ahora ser\'{a}:
\[
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x})\right] =\left[
\begin{array}{rr}
0 & \frac{-1}{\gamma _{2}^{\infty } e^{(x_{1}-1)}} \\ [0.2cm]
\frac{-1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{(x_{2}-1)}} & 0
\end{array}
\right]
\]
por lo que en el punto fijo de la aplicaci\'{o}n
$\mathbf{g}(\mathbf{x})$ tomar\'{a} la expresi\'{o}n:

\[
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}^{*})\right] =\left[
\begin{array}{rr}
0 & \frac{-1}{\gamma _{2}^{\infty } e^{(x_{1}^{*}-1)}} \\ [0.2cm]
\frac{-1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{(x_{2}^{*}-1)}} & 0
\end{array}
\right]
\]
que sustiyuyendo los valores correspondientes a este caso se
convierte en:

\[
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{g}}(\mathbf{x}^{*})\right] =\left[
\begin{array}{rr}
0 & -0.427 \\ [0.2cm] -0.321 & 0
\end{array}
\right]
\]
por lo que la norma-1 de la matriz jacobiana en la soluci\'{o}n es
$0.427$ valor inferior al que obtuvimos antes y que demuestra que
se tendr\'{a} una mayor velocidad de convergencia (al menos en un
entorno de la ra\'{\i}z). En efecto, aplicando el esquema
iterativo:
\[
\dis \left(
\begin{array}{c}
\dis x_{1}^{(i+1)}=\frac{1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{(x_{2}^{(i)}-1)}} \\
[0.2cm] \dis x_{2}^{(i+1)}=\frac{1}{\gamma _{2}^{\infty }
e^{(x_{1}^{(i)}-1)}}
\end{array}
\right)
\]
a partir de los valores: $x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=0.956$
(aproximaci\'{o}n de los hallados en el caso a)) se tienen los
vectores:

$$
\dis \mathbf{x}^{(1)}=\left(
\begin{array}{c}
0.145136 \\ [0.2cm] 0.381380
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(2)}=\left(
\begin{array}{c}
0.257828 \\ [0.2cm] 0.858049
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(3)}=\left\{
\begin{array}{c}
0.160072 \\ [0.2cm] 0.766603
\end{array}
\right\} \rightarrow
$$

$$
\dis \rightarrow \mathbf{x}^{(4)}=\left(
\begin{array}{c}
0.175400 \\ [0.2cm] 0.845328
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(5)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162121 \\ [0.2cm] 0.832470
\end{array}
\right) \rightarrow .....\rightarrow
$$

$$
\dis \rightarrow \mathbf{x}^{(15)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\ [0.2cm] 0.843323
\end{array}
\right) \rightarrow \mathbf{x}^{(16)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\ [0.2cm] 0.843323
\end{array}
\right)
$$
deteni\'{e}ndose el proceso iterativo en la 16${{}^a}$
iteraci\'{o}n al ser el valor de la norma-1 del vector diferencia
entre las aproximaciones de las dos \'{u}ltimas iteraciones
inferior a 10$^{-6}$ y ser el valor de

$$
\dis \left(
\begin{array}{c}
1-\ln (7.2)-\ln (0.162447)-0.843323 \\ [0.2cm] \;1-\ln (2.74)-\ln
(0.843323)-0.162447
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
-5.\,42\times 10^{-7} \\ [0.2cm] 3.\,19\times 10^{-7}
\end{array}
\right)
$$
por tanto, tambi\'{e}n inferior (en norma-1) a $10^{-6}.$ \es

A\'{u}n podr\'{\i}a mejorarse la velocidad de convergencia en este
caso modificando el esquema iterativo seg\'{u}n la variante del
m\'{e}todo que se presenta a continuaci\'{o}n.

\subsubsection{Una variante del m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas}

En el m\'{e}todo de aproximaciones sucesivas que se ha descrito
anteriormente se sigue el esquema iterativo:
\[
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=g_{1}(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\ [0.2cm]
x_{2}^{(i+1)}=g_{2}(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\[0.2cm]
.............................. \\ [0.2cm]
x_{j}^{(i+1)}=g_{j}(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\ [0.2cm]
................ \\ [0.2cm]
x_{n}^{(i+1)}=g_{n}(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\end{array}
\right) \qquad (i=0,1,...)
\]
es decir, que para la estimaci\'{o}n del valor de la variable
$x_{j}^{(i+1)}$ se utilizan los valores obtenidos en la
iteraci\'{o}n anterior para todas las variables que se est\'{a}n
aproximando. No obstante, en ese momento ya
se dispone de los valores de $%
x_{1}^{(i+1)},x_{2}^{(i+1)},....,x_{j-1}^{(i+1)}$ que, si el
m\'{e}todo posee buenas propiedades de convergencia puede pensarse
que est\'{e}n m\'{a}s pr\'{o}ximos a los de la soluci\'{o}n que
los de la iteraci\'{o}n anterior. En este sentido, en ocasiones,
se sustituye el esquema iterativo antes considerado por el
siguiente:

\[
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=g_{1}(x_{1}^{(i)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\ [0.2cm]
x_{2}^{(i+1)}=g_{2}(x_{1}^{(i+1)},x_{2}^{(i)},....,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\ [0.2cm]
.............................. \\ [0.2cm]
x_{j}^{(i+1)}=g_{j}(x_{1}^{(i+1)},x_{2}^{(i+1)},....,x_{j-1}^{(i+1)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})
\\ [0.2cm]
................ \\ [0.2cm]
x_{n}^{(i+1)}=g_{n}(x_{1}^{(i+1)},x_{2}^{(i+1)},....,x_{j-1}^{(i+1)},x_{j}^{(i+1)},x_{j+1}^{(i+1)},...,x_{n}^{(i)})
\end{array}
\right) \;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]

Por la analog\'{\i}a entre esta forma de proceder y la que se
sigue en el m\'{e}todo de Gauss-Seidel para la resoluci\'{o}n de
sistemas algebraicos de ecuaciones lineales este m\'{e}todo se
conoce, en algunos textos, con el nombre de m\'{e}todo de
Gauss-Seidel, aunque m\'{a}s adelante, como variante del
m\'{e}todo de Newton, presentaremos otro m\'{e}todo tambi\'{e}n
designado con este nombre.

Hemos de advertir no obstante que, pese a lo ``razonable'' que
parece el razonamiento seguido para derivarlo, no siempre funciona
mejor esta variante del m\'{e}todo que el m\'{e}todo cl\'{a}sico
de aproximaciones sucesivas
pues con \'{e}l se puede estar modificando la funci\'{o}n $\mathbf{g}(%
\mathbf{x})$ de la iteraci\'{o}n empeorando su constante de
Lipschitz.

Un ejemplo, en el que se acelera la convergencia actuando con la
variante que acabamos de presentar, es el del problema propuesto
por el Pr. B. Coto que conduce al sistema utilizado en el ejemplo
antes resuelto. En efecto en ese caso el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas nos conduc\'{i}a al esquema:

$$
\left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{(x_{2}^{(i)}-1)}} \\
[0.2cm] x_{2}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{2}^{\infty }
e^{(x_{1}^{(i)}-1)}}
\end{array}
\right) \Leftrightarrow \dis \left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{\left(
\frac{1}{\gamma_{2}^{\infty } e^{(x_{1}^{(i-1)}-1)}}-1\right) }}
\\ [0.5cm] x_{2}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{2}^{\infty }
e^{\left( \frac{1}{\gamma_{1}^{\infty }
e^{(x_{2}^{(i-1)}-1)}}-1\right) }}
\end{array}
\right)
$$
en el que se puede apreciar que el valor de cada inc\'{o}gnita se
va aproximando con el que se obtuvo para la aproximaci\'{o}n de
dicha inc\'{o}gnita dos iteraciones antes. Parece que de esta
forma se est\'{a}n generando, para cada variable, dos sucesiones
independientes que convergen ambas en el mismo punto. Por ello
puede procederse seg\'{u}n el esquema:

$$
\dis \left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{1}^{\infty }
e^{(x_{2}^{(i)}-1)}} \\ [0.2cm] x_{2}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma
_{2}^{\infty } e^{(x_{1}^{(i+1)}-1)}}
\end{array}
\right) \Leftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
x_{1}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{1}^{\infty } e^{\left(
\frac{1}{\gamma _{2}^{\infty } e^{(x_{1}^{(i)}-1)}}-1\right) }} \\
[0.5cm] x_{2}^{(i+1)}=\dis \frac{1}{\gamma _{2}^{\infty }
e^{\left( \frac{1}{\gamma _{1}^{\infty }
e^{(x_{2}^{(i)}-1)}}-1\right) }}
\end{array}
\right)
$$

Aplicado este esquema iterativo a nuestro problema en
cuesti\'{o}n, inicializado con los valores
$x_{1}^{(0)}=x_{2}^{(0)}=0.956$ se tienen los vectores:

$$
\dis x^{(1)}=\left(
\begin{array}{c}
0.145136 \\
0.858049
\end{array}
\right) \rightarrow x^{(2)}=\left(
\begin{array}{c}
0.160072 \\
0.845328
\end{array}
\right) \rightarrow x^{(3)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162121 \\
0.843598
\end{array}
\right) \rightarrow
$$

$$
\dis \rightarrow x^{(4)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162402 \\
0.843361
\end{array}
\right) \rightarrow x^{(5)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162441 \\
0.843325
\end{array}
\right) \rightarrow x^{(6)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162446 \\
0.843324
\end{array}
\right) \rightarrow
$$

$$
\dis \rightarrow x^{(7)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\
0.843323
\end{array}
\right) \rightarrow x^{(8)}=\left(
\begin{array}{c}
0.162447 \\
0.843323
\end{array}
\right)
$$

habi\'{e}ndose obtenido la misma soluci\'{o}n en la mitad de
iteraciones que antes.

\subsection{El m\'{e}todo de Newton-Raphson para sistemas de n ecuaciones no
lineales.}

Consid\'{e}rese nuevamente el sistema de n ecuaciones no lineales
con n inc\'{o}gnitas representado por

$\hspace{0.8cm}\hspace{0.8cm}\hspace{0.8cm}\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$
$\Longleftrightarrow \left(
\begin{array}{c}
f_{1}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0 \\
f_{2}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0 \\
............................ \\
f_{n}(x_{1},x_{2},....,x_{n})=0
\end{array}
\right) $

Al igual que se hizo en el caso de una variable, supongamos que en
un dominio cerrado $D\subset \R^{n}$ $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ es
una funci\'{o}n de clase ($C^{2}(D))^{n}.$ Y supongamos adem\'{a}s
que la ecuaci\'{o}n anterior admite una soluci\'{o}n
$\mathbf{x}^{*}$ en el dominio
$D.$ Para cualquier otro vector $\mathbf{x}^{(0)}\in D$ , denotando por $%
\mathbf{\delta x}$ al vector tal que $\mathbf{x}^{*}=\mathbf{x}^{(0)}+%
\mathbf{\delta x},$ la expresi\'{o}n del desarrollo en serie de
Taylor nos permitir\'{\i}a afirmar, para cada una de las
ecuaciones del sistema, que existen los valores $\theta _{j}\in
[0,1]$ $\;(j=1,$ $2,..,$ $n)$ tales que:
\begin{eqnarray*}
0 &=&f_{j}(\mathbf{x}^{*})=f(\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{\delta x})= \\
&=&f_{j}(\mathbf{x}^{(0)})+\left\{ \nabla
f_{j}(\mathbf{x}^{(0)})\right\}
^{T} \mathbf{\delta x}+\frac{1}{2} \left\{ \mathbf{\delta x}%
\right\} ^{T} \left[ \mathbf{H}_{f_{j}}(\mathbf{x}^{(0)}+\theta
_{j} \mathbf{\delta x})\right]  \mathbf{\delta x}
\end{eqnarray*}
donde $\left[ H_{f_{j}}(\mathbf{x})\right] $ es la matriz hessiana
de la funci\'{o}n $f_{j}(\mathbf{x}).$

Si conocido $\mathbf{x}^{(0)}$ se fuese capaz de determinar $\mathbf{\delta x%
}$ resolviendo el sistema formado para $j = 1, 2, .., n$ por las
ecuaciones:

\[
f_{j}(\mathbf{x}^{(0)})+\left\{ \nabla
f_{j}(\mathbf{x}^{(0)})\right\}
^{T} \mathbf{\delta x}+\frac{1}{2} \left\{ \mathbf{\delta x}%
\right\} ^{T} \left[ \mathbf{H}_{f_{j}}(\mathbf{x}^{(0)}+\theta
_{j} \mathbf{\delta x})\right]  \mathbf{\delta x}=0
\]
podr\'{\i}a determinarse $\mathbf{x}^{*}$ como $\mathbf{x}^{*}=\mathbf{x}%
^{(0)}+\mathbf{\delta x}.$ Pero para resolver este sistema primero
deber\'{\i}amos conocer los valores de $\theta _{j}$ (lo cual no
es obvio) y, una vez conocidos, resolver un sistema, en general,
no lineal pues obs\'{e}rvese que $\mathbf{\delta x}$ interviene en
la expresi\'{o}n de las matrices hessianas $\left[
H_{f_{j}}(\mathbf{x}^{(0)}+\theta _{j} \mathbf{\delta x})\right]
.$ Por tanto, salvo en situaciones muy particulares, no se
ganar\'{i}a gran cosa reemplazando el problema de resolver
$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ por el de resolver el sistema
anterior. \es

El m\'{e}todo de Newton-Raphson (o m\'{e}todo de linealizaci\'{o}n
de Newton) se sustenta en simplificar las expresiones anteriores
linealiz\'{a}ndolas. Para ello considera que si se est\'{a}
suficientemente cerca de la soluci\'{o}n (es decir, si
$||\mathbf{\delta x}||$ es suficientemente peque\~{n}o) los
t\'{e}rminos
$$
\dis \left( \frac{1}{2}
\left\{ \mathbf{\delta x}\right\} ^{T} \left[ \mathbf{H}_{f_{j}}(%
\mathbf{x}^{(0)}+\theta _{j} \mathbf{\delta x})\right]  \mathbf{%
\delta x}\right)
$$
podr\'{a}n despreciarse frente a los otros t\'{e}rminos de cada
ecuaci\'{o}n del sistema. Por ello en este m\'{e}todo se resuelve
el sistema \textbf{lineal}:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})+\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(0)})\right]  \mathbf{\Delta x}^{(0)}=0
\]
del que se obtiene que
\[
\mathbf{\Delta x}^{(0)}=-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(0)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})
\]

Obviamente, al ser diferente el sistema linealizado que el
proporcionado por el desarrollo de Taylor, se tendr\'{a} que
$\mathbf{\Delta x}^{(0)}\neq \mathbf{\delta x}$ y por tanto
\[
\mathbf{x}^{*}=\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{\delta x}\neq \mathbf{x}^{(1)}=%
\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{\Delta x}^{(0)}
\]

De una forma intuitiva (que despu\'{e}s deberemos precisar
cu\'{a}ndo es
correcta) puede pensarse que aunque $\mathbf{x}^{(1)}$ sea diferente de $%
\mathbf{x}^{*}$ ser\'{a} un vector m\'{a}s pr\'{o}ximo a
$\mathbf{x}^{*}$
que $\mathbf{x}^{(0)}$ pues lo hemos obtenido ``aproximando'' el valor $%
\mathbf{\delta x}$ que nos llevaba de $\mathbf{x}^{(0)}$ a
$\mathbf{x}^{*}.$ Con ello el m\'{e}todo de Newton-Raphson propone
repetir este proceso de forma recursiva hasta estar lo
suficientemente cercanos a la soluci\'{o}n buscada. M\'{a}s
concretamente el m\'{e}todo de Newton-Raphson consiste en: \es

\hspace{2cm}Dado un vector $\mathbf{x}^{(0)},$ generar la
sucesi\'{o}n: \es

$$
\dis \left\{ \mathbf{x}%
^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\}
_{i=0}^{\infty }.
$$

Sobre este m\'{e}todo, en primer lugar, puede observarse que si
denotamos por:
\[
\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
)\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x})
\]
estamos en presencia de un caso particular del m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas antes contemplado en el apartado 1.4.1..
En otros t\'{e}rminos, se tiene la siguiente propiedad:

\beprop
Si la funci\'{o}n $\mathbf{g}(\mathbf{x})=\mathbf{x}-\left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x})$ es,
para alguna norma matricial, una contracci\'{o}n definida en $D$
la sucesi\'{o}n dada por
$$
\dis \left\{ \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right\} _{i=0}^{\infty }
$$
obtenida a partir de cualquier vector $%
\mathbf{x}^{(0)}\in D$ converge hacia la \'{u}nica soluci\'{o}n de
la ecuaci\'{o}n $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ en $D.$
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} Es un caso particular de los
teoremas de convergencia del m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas.

\hspace{10cm}c.q.d.

Del teorema anterior, por analog\'{\i}a a lo realizado en el caso
de una \'{u}nica ecuaci\'{o}n no lineal, podr\'{\i}an derivarse
teoremas de convergencia que actuaran sobre las primeras y
segundas derivadas parciales de las componentes de la
aplicaci\'{o}n vectorial $\mathbf{f}(\mathbf{x}).$ Dejamos al
lector el desarrollo de tales teoremas y pasamos a enunciar
algunos otros en los que las hip\'{o}tesis se realizan
directamente sobre la propia funci\'{o}n vectorial
$\mathbf{f}(\mathbf{x})$ y su matriz jacobiana y que pueden ser de
m\'{a}s f\'{a}cil aplicaci\'{o}n al an\'{a}lisis de la
convergencia del m\'{e}todo. Previamente a la demostraci\'{o}n de
dichos teoremas necesitaremos introducir el siguiente lema:

\begin{lema}
Siendo $\mathbf{f}:D\rightarrow D$ una aplicaci\'{o}n de clase $%
(C^{1}(D))^{n}$ y siendo $D$ un cerrado de $\R^{n},$ si existe una
constante estr\'{\i}ctamente positiva $\alpha $, tal que para
alguna norma vectorial y para la norma matricial a ella
subordinada se verifique:
\[
\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] -\left[ \mathbf{J}%
_{\mathbf{f}}(\mathbf{y})\right] \right\| \leq \alpha  \left\| \mathbf{x%
}-\mathbf{y}\right\| \;\;\;\;\;\;\;\;\forall
\mathbf{x},\mathbf{y}\in D
\]
entonces se verifica tambi\'{e}n que:
\[
\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y})-\mathbf{J}_{\mathbf{f}%
}(\mathbf{y}) (\mathbf{x}-\mathbf{y})\right\| \leq \frac{\alpha }{2}%
 \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| ^{2}\;\;\;\;\;\;\;\;\forall
\mathbf{x},\mathbf{y}\in D
\]
\end{lema}

\underline{Demostraci\'{o}n:}

Siendo $\mathbf{x}$ e $\mathbf{y}$ dos vectores gen\'{e}ricos de
$D$ denotemos por $\mathbf{q}(t)$ a la funci\'{o}n vectorial
dependiente de un \'{u}nico par\'{a}metro real definida por:
\[
\mathbf{q}(t)=\mathbf{f}(\mathbf{y}+t (\mathbf{x}-\mathbf{y}))
\]

Esta funci\'{o}n, habida cuenta de las hip\'{o}tesis realizadas sobre $%
\mathbf{f}$ es derivable $\forall t\in [0,1].$ As\'{\i}, denotando por $%
\mathbf{z}=\mathbf{y}+t (\mathbf{x}-\mathbf{y})$ se tiene que:
\[
\mathbf{q}^{\prime }(t)=\frac{d\mathbf{q}}{dt}(t)={\lim }_{\Delta
t\rightarrow 0}\frac{\mathbf{f}(\mathbf{y}+(t+\Delta t) (\mathbf{%
x}-\mathbf{y}))-\mathbf{f}(\mathbf{y}+t (\mathbf{x}-\mathbf{y}))}{%
\Delta t}=
\]
\[
={\lim }_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\mathbf{f}(\mathbf{z}+\Delta
t (\mathbf{x}-\mathbf{y}))-\mathbf{f}(\mathbf{z})}{\Delta
t}=\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{z})\right]
(\mathbf{x}-\mathbf{y})
\]
de donde
\[
\left\| \mathbf{q}^{\prime }(t)-\mathbf{q}^{\prime }(0)\right\|
=\left\|
\left[ \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{z})\right] -\left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{y})\right] \right]
(\mathbf{x}-\mathbf{y})\right\| \leq
\]
\[
\leq \left\| \left[ \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{z})\right] -\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{y})\right] \right] \right\|
\left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| =
\]
\[
=\left\| \left[ \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{y+}t\mathbf{ (x-y)})\right]
-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{y})\right] \right]
\right\| \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| \leq
\]
\[
\leq \alpha  t \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| ^{2}
\]

Esta desigualdad, a su vez, puede utilizarse en el proceso
siguiente:
\[
\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})-\mathbf{f}(\mathbf{y})-\mathbf{J}_{\mathbf{f}%
}(\mathbf{y}) (\mathbf{x}-\mathbf{y})\right\| =\left\| \mathbf{q}(1)-%
\mathbf{q}(0)-\mathbf{q}^{\prime }(0)\right\| =
\]
\[
=\left\| \int_{0}^{1}(\mathbf{q}^{\prime }(t)-\mathbf{q}^{\prime
}(0))dt\right\| \leq \int_{0}^{1}\left\| \mathbf{q}^{\prime }(t)-\mathbf{q}%
^{\prime }(0)\right\| dt\leq
\]
\[
\leq \int_{0}^{1}\alpha  t \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|
^{2}.t=\frac{\alpha }{2} \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}\right\|
^{2}\;
\]

\hspace{10cm}c.q.d. \es

\beobse El que se verifique la hip\'{o}tesis del lema precedente:
\[
\exists \alpha \in \R_{+}\;\;\;/\;\;\left\| \left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] -\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{y}%
)\right] \right\| \leq \alpha  \left\|
\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| \;\;\;\;\;\;\;\;\forall
\mathbf{x},\mathbf{y}\in D
\]

se expresa diciendo que la matriz Jacobiana es lipschitciana de
raz\'{o}n $\alpha $ en $D$ para la norma $\|  \|$. \enobse

Con ayuda de este lema puede procederse a presentar y demostrar el
si\-guien\-te teorema:

\beteor Siendo $D$ un cerrado de $\R^{n}$ y siendo
$\mathbf{f}:D\rightarrow D$ una aplicaci\'{o}n de clase
$(C^{1}(D))^{n}$ para la que, utilizando alguna norma vectorial y
para la norma matricial a ella subordinada, se verifican las dos
hip\'{o}tesis siguientes:

\begin{itemize}
\item[a)] $\exists \alpha \in \R_{+}\;\;/\;\;\left\| \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] -\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{y})\right] \right\| \leq \alpha  \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}%
\right\| \;\;\;\;\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in D$
\item[b)] $\exists \beta \in \R_{+}\;\;/\;\;\left\| \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] ^{-1}\right\| $ $<\beta
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall \mathbf{x}\in D$
\end{itemize}
entonces para la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}%
^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]
^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\} _{i=0}^{\infty }$
obtenida a partir de cualquier vector $\mathbf{x}^{(0)}\in D$ se
verifica que:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq
\frac{\alpha \beta }{2} \left\|
\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)}\right\| ^{2}
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Se tiene que:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| =\left\| -\left[ \mathbf{%
J}_{\mathbf{f}}\mathbf{(x}^{(i)}\mathbf{)}\right] ^{-1} \mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(i)})\right\| \leq \left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}\mathbf{%
(x}^{(i)}\mathbf{)}\right] ^{-1}\right\|  \left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right\| \leq
\]
\[
\leq \beta  \left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\|
\]
y como de:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})
\]
se deduce que:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})=-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right]  \left( \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right)
\]
se tiene, utilizando el lema precedente, que:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq \beta
\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\| =
\]
\[
=\beta  \left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i)})-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]
\left( \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right) \right\| \leq
\]
\[
\leq \frac{\alpha  \beta }{2} \left\| \mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}%
^{(i-1)}\right\| ^{2}
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema anterior nos muestra que la relaci\'{o}n entre la norma
del
vector diferencia entre las aproximaciones halladas en las iteraciones $%
(i+1) $ e $i$ es proporcional (con factor $C=\alpha  \beta /2$) al
cuadrado de la norma del vector diferencia entre las
aproximaciones halladas en las iteraciones $i$ e $(i-1).$ Pero por
s\'{i} solo este teorema no nos justifica que el m\'{e}todo
converja. Simplemente nos indica que si en alg\'{u}n momento
$\left\| \mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)}\right\| ^{2}<(1/C)$
entonces se habr\'{a} logrado una sucesi\'{o}n de Cauchy y, al
estar en un completo, por ello una sucesi\'{o}n convergente. Para
acabar de obtener un resultado que garantice la convergencia es
necesario imponer m\'{a}s condiciones en el m\'{e}todo. Como por
ejemplo las que se recogen en el teorema siguiente que, junto a
las hip\'{o}tesis a) y b) del teorema anterior a\~{n}ade una
nueva:

\beteor Siendo $D$ un cerrado de $\R^{n}$ y siendo
$\mathbf{f}:D\rightarrow D$ una aplicaci\'{o}n de clase
$(C^{1}(D))^{n}$ para la que, utilizando alguna norma vectorial y
para la norma matricial a ella subordinada, se verifican las dos
hip\'{o}tesis siguientes:

\begin{itemize}
\item[a)]
$\exists \alpha \in \R_{+}\;\;/\;\;\left\| \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] -\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{y})\right] \right\| \leq \alpha  \left\| \mathbf{x}-\mathbf{y}%
\right\| \;\;\;\;\forall \mathbf{x},\mathbf{y}\in D$
\item[b)] $\exists \beta \in \R_{+}\;\;/\;\;\left\| \left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] ^{-1}\right\| $ $<\beta
\;\;\;\;\;\;\;\;\;\forall \mathbf{x}\in D$
\end{itemize}
entonces para la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}%
^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]
^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\} _{i=0}^{\infty }$
obtenida a partir de cualquier vector $\mathbf{x}^{(0)}\in D$ para
el que se verifique la condici\'{o}n

\begin{itemize}
\item[c)]
$\exists \mu <\frac{2}{\alpha  \beta }\in \R%
_{+}\;\;/\hspace{0.8cm}\left\| \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(0)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})\right\| $ $\leq
\mu $
\end{itemize}
existe el l\'{\i}mite $\mathbf{x}^{*}$ de la sucesi\'{o}n $\left\{ \mathbf{x}%
^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\}
_{i=0}^{\infty }$ que es una ra\'{\i}z del sistema $\mathbf{f}(\mathbf{x})=%
\mathbf{0}$ en $D$ y se verifica que:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{*}\right\| \leq \frac{r^{2^{i}-1}}{%
1-r^{2^{i}}} \mu
\]
donde $r=\alpha  \beta  \mu /2 <1.$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Por aplicaci\'{o}n directa del
teorema anterior:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq
\frac{\alpha \beta }{2} \left\|
\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)}\right\| ^{2}
\]

Por recursi\'{o}n, llamando $C=\frac{\alpha  \beta }{2}$ se tiene:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq C \left\|
\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)}\right\| ^{2}\leq C^{3} \left\|
\mathbf{x}^{(i-1)}-\mathbf{x}^{(i-2)}\right\| ^{4}\leq
\]
\[
\leq C^{7} \left\| \mathbf{x}^{(i-2)}-\mathbf{x}^{(i-3)}\right\|
^{8}\leq .....\leq C^{2^{i}-1} \left\| \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}%
^{(0)}\right\| ^{2^{i}}
\]
y como
\[
\mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}=\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(0)})\right] ^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})
\]
utilizando la hip\'{o}tesis c) resultar\'{a} que
\[
\left\| \mathbf{x}^{(1)}-\mathbf{x}^{(0)}\right\| ^{2^{i}}\leq \mu
^{2^{i}}
\]
de donde
\[
\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq
C^{(2^{i}-1)} \mu ^{2^{i}}=r^{(2^{i}-1)} \mu
\]
donde se ha denotado por $r$ a: $r=\frac{\alpha  \beta  \mu }{2}%
<1. $ Ello demuestra que, bajo las hip\'{o}tesis del teorema, en
la sucesi\'{o}n formada mediante el m\'{e}todo de Newton-Raphson
la distancia entre dos vectores consecutivos puede hacerse tan
peque\~{n}a como se desee.

Por otra parte es claro que se verificar\'{a} que siendo $j$ e $i$
dos \'{\i}ndices tales que $j>i$:
\[
\left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq \left\| \mathbf{x}%
^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(j)}\right\| +\left\| \mathbf{x}^{(j)}-\mathbf{x}%
^{(i)}\right\| \leq
\]

\[
\leq \left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(j)}\right\| +\left\| \mathbf{x}%
^{(j)}-\mathbf{x}^{(j-1)}\right\| +\left\| \mathbf{x}^{(j-1)}-\mathbf{x}%
^{(i)}\right\| \leq
\]

\[
\leq ...\leq \left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(j)}\right\|
+\left\|
\mathbf{x}^{(j)}-\mathbf{x}^{(j-1)}\right\| +....+\left\| \mathbf{x}^{(i+1)}-%
\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq
\]

\[
\left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \mu  \left(
r^{2^{j}-1}+r^{2^{(j-1)}-1}+.....+r^{2^{(i+1)}-1}+r^{2^{i}-1}\right)
=
\]
\[
=\mu  r^{-1} \left(
r^{2^{j}}+r^{2^{(j-1)}}+.....+r^{2^{(i+1)}}+r^{2^{i}}\right)
\]
y como para cualquier entero $k$ se tiene que
\[
r^{2^{k}}=r^{2^{i} 2^{(k-i)}}=\left( r^{2^{i}}\right) ^{2^{(k-i)}}
\]
resultar\'{a}
\[
\left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \mathbf{\leq
}\mu r^{-1} \left(
r^{2^{j}}+r^{2^{(j-1)}}+.....+r^{2^{(i+1)}}+r^{2^{i}}\right) =
\]

\[
=\mu  r^{-1} \left( \left( r^{2^{i}}\right) ^{2^{(j-i)}}+\left(
r^{2^{i}}\right) ^{2^{(j-i-1)}}+.....+\left( r^{2^{i}}\right)
^{2}+r^{2^{i}}\right) =
\]

\[
=\mu  r^{(2^{i}-1)} \left( 1+r^{2^{i}}+\left( r^{2^{i}}\right)
^{3}+\left( r^{2^{i}}\right) ^{7}+...+\left( r^{2^{i}}\right)
^{2^{(j-i)}-1}\right).
\]
Puesto que $r<1$ se tiene que:

\[
\left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \mathbf{\leq
}\mu r^{(2^{i}-1)} \left( 1+r^{2^{i}}+\left( r^{2^{i}}\right)
^{2}+\left( r^{2^{i}}\right) ^{3}+...+\left( r^{2^{i}}\right)
^{(j-i)}\right) =
\]
\[
=\mu  r^{(2^{i}-1)} \left( \frac{1}{1-r^{2^{i}}}-\frac{\left(
r^{2^{i}}\right) ^{(j-i+1)}}{1-r^{2^{i}}}\right)
\]

La desigualdad anterior muestra que, siendo $j>i,$ el valor de
$\left\| \mathbf{x}^{(j)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| $ puede hacerse
tan peque\~{n}o como se desee con tal de tomar el \'{\i}ndice $i$
suficientemente elevado. Puesto que la sucesi\'{o}n $\left\{
\mathbf{x}^{(i)}\right\} _{j=0}^{\infty }$ es una sucesi\'{o}n de
Cauchy y $D$ es un cerrado, \'esta converger\'a hacia un vector
$\mathbf{x}^{*}.$ Tomando l\'{\i}mites en la desigualdad anterior
resulta adem\'{a}s que:
\begin{eqnarray*}
\left\| \mathbf{x}^{*}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| &=&{\lim
}_{j\rightarrow
\infty }\left\| \mathbf{x}^{(j+1)}-\mathbf{x}^{(i)}\right\| \leq \\
&\leq &{\lim }_{j\rightarrow \infty }\left( \mu r^{(2^{i}-1)}
\left( \frac{1}{1-r^{2^{i}}}-\frac{\left(
r^{2^{i}}\right) ^{(j-i)}}{1-r^{2^{i}}}\right) \right) =\frac{r^{(2^{i}-1)}}{%
1-r^{2^{i}}} \mu
\end{eqnarray*}
lo que acaba de demostrar el teorema.

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema precedente demuestra que, bajo las hip\'{o}tesis en
\'{e}l impuestas, el m\'{e}todo de Newton-Raphson converge. El
teorema anterior a \'este, demuestra adem\'{a}s que la
convergencia del m\'{e}todo es cuadr\'{a}tica.

El m\'{e}todo de Newton, en cada iteraci\'{o}n, exige evaluar la matriz $%
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] ^{-1}.$
E\-llo, en el caso de que el n\'{u}mero de ecuaciones sea elevado,
requiere un gran esfuerzo computacional. Por ello se han
desarrollado diferentes variantes del m\'{e}todo de Newton en las
que, perdiendo algo de su velocidad de convergencia, se aproxima
dicha matriz inversa de la jacobiana. Algunas de estas variantes
las presentaremos un poco m\'{a}s adelante.

Asimismo, el m\'{e}todo de Newton-Raphson suele programarse de
forma algo diferente a como lo hemos expuesto hasta ahora. En
efecto, en el m\'{e}todo de Newton-Raphson en cada iteraci\'{o}n
se suele determinar el vector incremento a trav\'{e}s de la
resoluci\'{o}n de un sistema de n ecuaciones lineales
(cons\'{u}ltese la bibliograf\'{\i}a para el estudio de
m\'{e}todos num\'{e}ricos de resoluci\'{o}n de tales tipos de
sistemas) y tras ello se suma el vector de incrementos al vector
con el que se inicializ\'{o} la iteraci\'{o}n. M\'{a}s
concretamente un algoritmo del m\'{e}todo puede ser el siguiente:
\es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de Newton-Raphson para
sistemas}} \es

Dado el sistema de ecuaciones no lineales $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$%
, los indicadores de precisi\'{o}n $\varepsilon $ y $\delta $, un
valor m\'{a}ximo del n\'{u}mero de iteraciones que se permiten
realizar $(maxiter)$ y un vector $\mathbf{x}$ con el que
inicializar el proceso,

$tolx\leftarrow 2 \varepsilon $

$tolf\leftarrow 2 \delta $

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 0$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} ($%
\mathbf{(}tolx>\varepsilon )$ \textbf{o} $(tolf>\delta )$
\textbf{)}, \textbf{hacer:}

\hspace{0.8cm}\textbf{Evaluar} la matriz $\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{x})\right] $

\hspace{0.8cm}\textbf{Resolver} el sistema de ecuaciones lineales:
$\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right]  \mathbf{\delta x}=\mathbf{f}%
(\mathbf{x})$

\hspace{0.8cm}\hspace{0.8cm}\textbf{Si} $($el\textbf{\ }sistema no
puede resolverse) \textbf{entonces:}

\hspace{3cm}\textbf{Escribir} mensaje de error (jacobiana
singular) y

\hspace{3cm}finalizar el proceso

\hspace{2cm}\textbf{si no:}

\[
\mathbf{x}\leftarrow \mathbf{x}-\mathbf{\delta x}
\]
\[
tolx\leftarrow \left\| \mathbf{\delta x}\right\|
\]
\[
tolf\leftarrow \left\| \mathbf{f}(\mathbf{x})\right\|
\]

\[
iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1
\]

\hspace{2cm}\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} ($(tolx<\varepsilon )\;\mathbf{y}$ $(tolf<\delta )$ ) \textbf{%
entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $\mathbf{x}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.}

\beobse A la matriz $\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] ,$ por analog\'{i}a con
lo que representa la derivada de una funci\'{o}n, se la denomina
en algunos textos en lugar de matriz jacobiana, matriz tangente.
\enobse

Ilustremos el funcionamiento del m\'{e}todo con un ejemplo.

\bejem (Propuesto en Hanna \& Sandall [9]): La ca\'{\i}da de
presi\'{o}n en la circulaci\'{o}n de un flujo turbulento en una
tuber\'{\i}a recta de secci\'{o}n circular constante puede
estimarse mediante la expresi\'{o}n:
\[
\Delta p=\frac{\rho  f L u^{2}}{2 D}
\]
donde $\rho $ es la densidad del fluido, $L$ es la longitud de la
tuber\'{\i}a, $D$ es el di\'{a}metro de la secci\'{o}n, $u$ es la
velocidad del fluido y $f$ es el coeficiente de fricci\'{o}n de la
tuber\'{i}a. Este coeficiente es a su vez proporcional al
n\'{u}mero de Reynolds $Re=
\frac{D u \rho }{\mu }\;$donde $\mu \;$es la viscosidad del fluido$%
)$ seg\'{u}n la relaci\'{o}n $f=Re^{-0.25}$. Asimismo, en los
problemas de tuber\'{\i}as es usual trabajar no ya en t\'{e}rminos
de
velocidad del fluido si no de caudal del fluido, siendo el caudal $Q=\frac{%
\pi  D^{2}}{4}.u$. Con ello, la ca\'{\i}da de presi\'{o}n en la
tuber\'{\i}a puede expresarse mediante una ley del tipo:
\[
\Delta p(x)=K(x).\left( Q(x)\right) ^{1.75}
\]
donde $\Delta p(x)$ es la p\'{e}rdida de presi\'{o}n en el punto que dista $%
x $ unidades de longitud de aqu\'{e}l respecto al que se mide la
ca\'{\i}da de presi\'{o}n, $Q(x)$ es el caudal en dicho punto y
$$
\dis K(x)=\frac{\rho \left( \dis \frac{\mu }{\rho  D}\right)
^{0.25} \left( \dis \frac{4}{\pi  D}\right) ^{1.75}}{2 D} x .
$$

Consid\'{e}rese una tuber\'{\i}a de secci\'{o}n circular que va
del punto P1 al punto P2 y en \'{e}l se divide en dos ramas, una
que va al punto P3 y otra que va al punto P4. Designando por $Q$
al caudal que va de P1 a P2, por $Q_{1}$ al que va de P2 a P3, por
$Q_{2}$ al que va de P2 a P4 y por $p_{1},$ $p_{2},$ $p_{3}$ y
$p_{4}$ a las presiones en los puntos P1, P2, P3 y P4
respectivamente, las expresiones anteriores, junto a un balance de
masa, nos conducen al sistema de ecuaciones no lineales:
\[
p_{1}-p_{2}=K_{1} Q^{1.75}
\]
\[
p_{2}-p_{3}=K_{2} Q_{1}^{1.75}
\]
\[
p_{2}-p_{4}=K_{3} Q_{2}^{1.75}
\]
\[
Q=Q_{1}+Q_{2}
\]

Si para un fluido y una tuber\'{\i}a concretos se han estimado los
valores siguientes:

$$
K_{1}=2.35 e^{-3},\qquad K_{2}=4.67 e^{-3},\qquad K_{3}=3.72
e^{-2},
$$
y
$$
p_{1}=75\;psi,\qquad p_{3}=20\;psi ,\qquad p_{4}=15\;psi
$$
se desea estimar la presi\'{o}n $p_{2}$ existente en el punto $P2$
as\'{\i} como los caudales $Q,$ $Q_{1}$ y $Q_{2}$ que circulan por
cada una de las ramas de la red de tuber\'{\i}as antes descrita.
\enejem

\underline{Soluci\'{o}n:} \es

El sistema dado puede escribirse, de acuerdo a los datos del
ejercicio, como:
\[
2.35 e^{-3} Q^{1.75}-75+p_{2}=0
\]
\[
4.67 e^{-3} Q_{1}^{1.75}+20-p_{2}=0
\]
\[
3.72 e^{-2} Q_{2}^{1.75}+15-p_{2}=0
\]
\[
Q-Q_{1}-Q_{2}=0
\]

Este sistema de 4 ecuaciones con 4 inc\'{o}gnitas puede intentar
resolverse tal cual est\'{a} planteado mediante el m\'{e}todo de
Newton-Raphson (invitamos al lector a hacerlo). Pero el proceso
puede tener problemas si alguno de los caudales
(independientemente del sentido f\'{\i}sico que ello
pueda tener) se hace negativo ya que en ese caso no podr\'{a} calcularse $%
Q_{i}^{1.75}=\sqrt[4]{Q_{i}^{7}}.$ Por dicho motivo es ventajoso
en este caso utilizar la \'{u}ltima ecuaci\'{o}n inyectada en la
primera reformulando el sistema como:

\[
2.35 e^{-3} (Q_{1}+Q_{2})^{1.75}-75+p_{2}=0
\]
\[
4.67 e^{-3} Q_{1}^{1.75}+20-p_{2}=0
\]
\[
3.72 e^{-2} Q_{2}^{1.75}+15-p_{2}=0
\]

Este nuevo sistema ya s\'{o}lo tiene 3 ecuaciones con 3
inc\'{o}gnitas. En \'{e}l la funci\'{o}n que define el sistema es:
\[
\mathbf{f}(Q_{1},Q_{2},p_{2})=\left(
\begin{array}{c}
2.35 e^{-3} (Q_{1}+Q_{2})^{1.75}-75+p_{2} \\
4.67 e^{-3} Q_{1}^{1.75}+20-p_{2} \\
3.72 e^{-2} Q_{2}^{1.75}+15-p_{2}
\end{array}
\right)
\]
y la matriz jacobiana puede escribirse como:
\[
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(Q_{1},Q_{2},p_{2})\right] =\left[
\begin{array}{rrr}
(0.205 (Q_{1}+Q_{2})^{0.75}) & (0.205 (Q_{1}+Q_{2})^{0.75}) & 1 \\
0.407 Q_{1}^{0.75} & 0 & -1 \\
0 & 0.881 Q_{2}^{0.75} & -1
\end{array}
\right]
\]

En cuanto a los valores de partida para inicializar el m\'{e}todo,
puesto que P2 es un punto intermedio entre P1 y los extremos P3 y\
P4, tomaremos como $p_{2}$ una presi\'{o}n intermedia, por ejemplo
$p_{2}=50\;psi$. Para los caudales $Q_{1}$ y $Q_{2}$ no se dispone
de ninguna pista que nos
indique en qu\'{e} entorno pueden estar. No obstante, si se considera $%
p_{2}=50,$ de la segunda ecuaci\'{o}n se tiene que $Q_{1}\approx
16$ y, de la tercera ecuaci\'{o}n, que $Q_{2}\approx 7$ por lo que
estos pueden ser valores coherentes con la presi\'{o}n tomada para
inicializar el proceso.

Aplicando pues el algoritmo de Newton-Raphson antes descrito a
esta situaci\'{o}n, con los par\'{a}metros: $\varepsilon
=10^{-6},$ $\delta =10^{-6},$ \textit{maxiter}$=100,$ \\ $\left\{
Q_{1}^{(0)},Q_{2}^{(0)},p_{2}^{(0)}\right\}^{T}=\left\{
16,7,50\right\} $ se tiene la siguiente sucesi\'{o}n de vectores:

$$
\dis \left(
\begin{array}{c}
Q_{1}^{(1)} \\
Q_{2}^{(1)} \\
p_{2}^{(1)}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
14.0506076 \\
10.4943950 \\
43.4152926
\end{array}
\right) \rightarrow \left(
\begin{array}{c}
Q_{1}^{(2)} \\
Q_{2}^{(2)} \\
p_{2}^{(2)}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
14.1344377 \\
10.1343069 \\
43.9558088
\end{array}
\right) \rightarrow
$$

$$
\dis \rightarrow \left(
\begin{array}{c}
Q_{1}^{(3)} \\
Q_{2}^{(3)} \\
p_{2}^{(3)}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
14.1355465 \\
10.1303048 \\
43.9596512
\end{array}
\right) \rightarrow \left(
\begin{array}{c}
Q_{1}^{(4)} \\
Q_{2}^{(4)} \\
p_{2}^{(4)}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
14.1355467 \\
10.1303043 \\
43.9596517
\end{array}
\right)
$$
no realiz\'{a}ndose m\'{a}s iteraciones pues la norma-2 del vector
diferencia entre los hallados en la 3${{}^{a}}$ y 4${{}^{a}}$
iteraciones es inferior a $10^{-6}$ y los valores de la
funci\'{o}n que define el sistema en este vector son:
\[
\mathbf{f}(Q_{1}^{(4)},Q_{2}^{(4)},p_{2}^{(4)})=\left(
\begin{array}{c}
0.287270 10^{-14} \\
0.115880 10^{-14} \\
0.493234 10^{-13}
\end{array}
\right)
\]

La soluci\'{o}n buscada es:
\[
Q_{1}=14.1355467
\]
\[
Q_{2}=10.1303043
\]
\[
Q=Q_{1}+Q_{2}=24.265851
\]
\[
p_{2}=43.9596517psi
\]

\subsubsection{Variantes del m\'{e}todo de Newton-Raphson para
sistemas: m\'{e}todo de Newton modificado y m\'{e}todos de
cuasi-Newton.}

El paso m\'{a}s costoso de la aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo de
Newton-Raphson consiste en la e\-va\-lua\-ci\'{o}n en cada paso de
la matriz jacobiana $\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] $ (lo cual
conlleva la e\-va\-lua\-ci\'{o}n de las $n^{2}$ funciones
derivadas parciales primeras, que a su vez implicar\'{a}n un
n\'{u}mero de operaciones elementales que depender\'{a} de las
expresiones de estas derivadas
parciales) y de su inversi\'{o}n $\left( \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{x}^{(i)})\right] ^{-1}\right) $ o lo que es equivalente de
la
resoluci\'{o}n del sistema lineal de ecuaciones algebraicas $\left[ \mathbf{J%
}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]  \mathbf{\delta x}^{(i)}=%
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)}),$ lo cual implica tener que hacer del orden de $%
O(\lambda n^{3})$ operaciones, siendo $n$ el n\'{u}mero de
inc\'{o}gnitas y ecuaciones del sistema y $\lambda $ un
par\'{a}metro menor o igual a $(2/3)$ dependiendo de la estructura
de la matriz jacobiana. Ello permite estimar el n\'{u}mero de
operaciones elementales en cada iteraci\'{o}n como un valor
proporcional a $n^{3}$ lo cual, cuando $n$ toma valores elevados
puede representar un coste computacional grande.

Para intentar solventar este problema en la aplicaci\'{o}n
pr\'{a}ctica del m\'{e}todo de Newton-Raphson se han desarrollado
numerosos m\'{e}todos que, con mayor o mejor fortuna seg\'{u}n el
sistema al que se aplique, tratan de
aproximar ya sea $\left( \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] \right) $ o su inversa $\left( \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{x}^{(i)})\right] ^{-1}\right) .$ Entre ellos se\~{n}alamos
los siguientes: \es

\underline{\textbf{a) Aproximaci\'{o}n de las derivadas mediante
diferencias finitas.}} \es

En esta variante del m\'{e}todo los valores de las derivadas que
intervienen en la expresi\'{o}n de la matriz jacobiana se
aproximan mediante f\'{o}rmulas en diferencias finitas como por
ejemplo:

%$\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}(\mathbf{x}^{(i)})\approx $

\[
\dis \frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}(\mathbf{x}^{(i)})
\approx \]
\[\frac{%
f_{k}(x_{1}^{(i)},..,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)}+h_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})-f_{k}(x_{1}^{(i)},..,x_{j-1}^{(i)},x_{j}^{(i)},x_{j+1}^{(i)},...,x_{n}^{(i)})%
}{h_{j}^{(i)}}
\]
donde los par\'{a}metros $h_{j}^{(i)}$ (j=1, .., n) son tomados en
cada iteraci\'{o}n ''suficientemente'' peque\~{n}os para asegurar
una buena aproximaci\'{o}n. Por ejemplo:
\[
h_{j}^{(i)}=h^{(i)}=Inf\left( \frac{\left\| \mathbf{x}^{(i)}\mathbf{-x}%
^{(i-1)}\right\| }{10},h^{(i-1)}\right)
\]

Otra elecci\'{o}n posible consiste en aproximar el valor de la derivada $%
\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}(\mathbf{x}^{(i)})$ con un
cierto valor de $h_{j}^{(i)}$ y a continuaci\'{o}n hacerlo con
$\frac{h_{j}^{(i)}}{2}$ y comparar las dos aproximaciones
obtenidas. Si la diferencia entre ambas es suficientemente
peque\~{n}a se dar\'{a} por buena la aproximaci\'{o}n obtenida. Si
es ``elevada'' se repetir\'{a} el proceso comparando las
aproximaciones obtenidas para $\frac{h_{j}^{(i)}}{2}$ y para $\frac{%
h_{j}^{(i)}}{4}.$ Este proceso se continua hasta obtener dos
aproximaciones de la derivada parcial suficientemente
pr\'{o}ximas, momento en el que una de ellas se toma como la
aproximaci\'{o}n buscada de la derivada parcial.

El proceso anterior nos permite estimar de forma aproximada la
matriz jacobiana pero no nos elimina la necesidad de invertirla (o
factorizarla) por lo que el n\'{u}mero de operaciones por
i\-te\-ra\-ci\'{o}n sigue siendo proporcional a $n^{3}.$ \es

\underline{\textbf{b) M\'{e}todo de Newton modificado.}} \es

Esta variante consiste en utilizar durante la $k$ primeras
iteraciones (siendo k un n\'{u}mero a predeterminar por el usuario
del m\'{e}todo) como
aproximaci\'{o}n de la matriz tangente la matriz $\left( \left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(0)})\right] \right) .$ Con ello en estas
$k$ iteraciones s\'{o}lo se realiza una vez el c\'{a}lculo de la
matriz
jacobiana y de su inversa (y si se optase por la resoluci\'{o}n del sistema $%
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(0)})\right]
\mathbf{\delta x}^{(i)}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})$ bastar\'{a}
con factorizar una vez la matriz $\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(0)})\right] $ en la primera
iteraci\'{o}n y conservar las matrices de la factorizaci\'{o}n).
Realizadas estas k primeras iteraciones se calcula $\left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(k)})\right] $ y se utiliza esta matriz en
las k siguientes iteraciones tras las cuales se vuelve a
actualizar obteni\'{e}ndose $\left[
\mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(2 k)})\right] $ y continuando
as\'{\i} el proceso.

Con ello, a costa de una p\'{e}rdida de velocidad de convergencia,
se logra que s\'{o}lo las iteraciones 1${{}^a}$, (k+1)-\'{e}sima,
(2.k+1)-\'{e}sima, .... impliquen la realizaci\'{o}n de un
n\'{u}mero de operaciones
proporcional a $n^{3}$ en tanto que el resto conllevar\'{a}n del orden de $%
n^{2}$ operaciones. \es

\underline{\textbf{c) M\'{e}todo de Jacobi}} \es

En este m\'{e}todo la matriz tangente que interviene en cada iteraci\'{o}n $%
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] $ se
sustituye por otra con la misma diagonal pero con todos sus
dem\'{a}s elementos nulos.\
M\'{a}s concretamente, denotando por $\left[ \mathbf{D}_{\mathbf{f}}(\mathbf{%
x}^{(i)})\right] $ a la matriz:
\[
\dis \left[ \mathbf{D}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]
=\left[
\begin{array}{rrrr}
\dis \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}^{(i)}) & 0 &
... & 0 \\ [0.2cm] 0 & \dis \frac{\partial f_{2}}{\partial
x_{2}}(\mathbf{x}^{(i)}) & ... & 0 \\ [0.2cm] ... & ... & ... &
...
\\ [0.2cm] 0 & 0 & ... & \dis \frac{\partial f_{n}}{\partial
x_{n}}(\mathbf{x}^{(i)})
\end{array}
\right]
\]
se utilizar\'{a} el esquema iterativo:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{D}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] ^{-1}
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]

Esta forma de proceder efectivamente reduce de forma notable el
n\'{u}mero de operaciones (s\'{o}lo conlleva evaluar $n$ funciones
derivadas en lugar de $n^{2}$ y adem\'{a}s la inversi\'{o}n de una
matriz diagonal s\'{o}lo implica n operaciones). Pero s\'{o}lo es
v\'{a}lida si los elementos no dia\-go\-na\-les de la matriz
jacobiana son ''peque\~{n}os'' comparados con los t\'{e}rminos
dia\-go\-na\-les. \es

\underline{\textbf{d)M\'{e}todo de Gauss-Seidel}} \es

En esta variante del m\'{e}todo de Newton-Raphson, la matriz
tangente de cada iteraci\'{o}n es sustituida por otra triangular
inferior en la que los elementos de la diagonal y los que
est\'{a}n por debajo de ella coinciden con los de la matriz
jacobiana. M\'{a}s concretamente, siendo $\left[
\mathbf{G}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] $ la matriz:
\[
\left[ \mathbf{G}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] =\left[
\begin{array}{rrrr}
\frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}^{(i)}) & 0 & ... & 0 \\
\frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}^{(i)}) &
\frac{\partial
f_{2}}{\partial x_{2}}(\mathbf{x}^{(i)}) & ... & 0 \\
... & ... & ... & ... \\
\frac{\partial f_{n}}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}^{(i)}) &
\frac{\partial
f_{n}}{\partial x_{2}}(\mathbf{x}^{(i)}) & ... & \frac{\partial f_{n}}{%
\partial x_{n}}(\mathbf{x}^{(i)})
\end{array}
\right]
\]
el esquema que se emplea es:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{G}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right] ^{-1}
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]

En esta variante del m\'{e}todo de Newton-Raphson tambi\'{e}n se
reduce de
forma notable el n\'{u}mero de operaciones (s\'{o}lo conlleva evaluar $%
\left( n.(n+1)/2\right) $ funciones derivadas en lugar de n$^{2}$
y adem\'{a}s la inversi\'{o}n de una matriz triangular s\'{o}lo
implica del orden de n$^{2}$ operaciones).\ Pero tambi\'{e}n su
l\'{\i}mite de validez lo marcar\'{a} la peque\~{n}ez de los
t\'{e}rminos que se est\'{a}n despreciando en la matriz tangente.
\es

\underline{\textbf{e) M\'{e}todos de sobrerrelajaci\'{o}n (SOR)}}
\es

Con la misma notaci\'{o}n empleada en la descripci\'{o}n de los
m\'{e}todos de Jacobi y de Gauss-Seidel, este m\'{e}todo consiste
en utilizar el esquema:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \rho  \mathbf{D}_{\mathbf{f}%
}(\mathbf{x}^{(i)})+\mathbf{G}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]
^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]
donde $\rho $ es un par\'{a}metro que debe fijarse de antemano,
llam\'{a}ndose par\'{a}metro de relajaci\'{o}n al valor $\omega =\frac{1}{%
(1+\rho )}$. La matriz a invertir tambi\'{e}n es ahora triangular
inferior por lo que el n\'{u}mero de operaciones es similar al del
m\'{e}todo de
Gauss-Seidel (que no es m\'{a}s que un caso particular de este cuando a $%
\omega $ se le da el valor 1). Pueden encontrarse detalles sobre
las condiciones de convergencia de este m\'{e}todo (y del de
Gauss-Seidel) en J.M. Ortega \& W.C. Rheinboldt [11]. \es

\underline{\textbf{f)\ M\'{e}todos de cuasi-Newton: M\'{e}todo de
Broyden.}} \es

Este tipo de m\'{e}todos generalizan el m\'{e}todo de la secante
en el sentido de que la idea de la que parten consiste en
aproximar la matriz jacobiana en cada iteraci\'{o}n a partir de la
matriz tangente utilizada en la iteraci\'{o}n anterior. En este
sentido la primera iteraci\'{o}n del m\'{e}todo se realiza como en
el m\'{e}todo de Newton pero a partir de la
segunda iteraci\'{o}n la matriz jacobiana $\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{x}^{(i)})\right] $ es sustituida por otra matriz $\left[ \mathbf{A}%
^{(i)}\right] $ que se obtiene a partir de $\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]
,$ (siendo $\left[ \mathbf{A}^{(0)}\right] =\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(%
\mathbf{x}^{(0)})\right] )$ y sigui\'{e}ndose el esquema
iterativo:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]
^{-1} \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})\;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]

El m\'{a}s popular de este tipo de m\'{e}todos es el conocido como \textbf{%
m\'{e}todo de Broyden} que a continuaci\'{o}n describimos. Este
m\'{e}todo se inspira en el m\'{e}todo de la secante en el sentido
de que en dicho m\'{e}todo el valor de $f^{\prime }(x_{i})$ se
aproximaba mediante la expresi\'{o}n:
\[
f^{\prime }(x_{i})\approx f_{i}^{\prime }=\frac{f(x_{i})-f(x_{i-1})}{%
x_{i}-x_{i-1}}
\]
y reemplazando en el m\'{e}todo de Newton la ''tangente''
$f^{\prime }(x_{i}) $ por la ''tangente aproximada''
$f_{i}^{\prime }$ se obten\'{\i}a el m\'{e}todo de la secante.
Obs\'{e}rvese que de la expresi\'{o}n anterior se tiene que:
\[
f_{i}^{\prime }.(x_{i}-x_{i-1})=f(x_{i})-f(x_{i-1})
\]

Utilizando esta idea, C.G. Broyden (en [2]) propuso reemplazar en
cada
iteraci\'{o}n del m\'{e}todo de Newton la matriz tangente $\left[ \mathbf{J}%
_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right] $ por otra matriz $\left[ \mathbf{A}%
^{(i)}\right] $ que verificase que:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]  (\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)})=%
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})\;\;\;\;\;\;\;\;%
\;(1)
\]

Junto a esta condici\'{o}n, C.G. Broyden impuso otra que pasamos a
``justificar''. Si se considera que $\mathbf{f}(\mathbf{x})\in
\left( C^{2}(D)\right) ^{n}$ considerando desarrollos en serie de
Taylor hasta el primer orden (es decir linealizando los
desarrollos como se hace en el m\'{e}todo de Newton) y siendo
$\mathbf{x}^{(i-1)}$ y $\mathbf{x}^{(i)}$ dos vectores
``suficientemente pr\'{o}ximos''\ y $\mathbf{x}$ otro vector
tambi\'{e}n suficientemente pr\'{o}ximo a los anteriores, se tiene
que:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x})\approx \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})+\left[ \mathbf{J}%
_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i)})\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x}%
^{(i)})\;\;\;\;\;\;\;\;\;(2)
\]
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x})\approx \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})+\left[ \mathbf{J%
}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i-1)})\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x}%
^{(i-1)})\;\;\;(3)
\]
de donde restando (3) a (2) se tendr\'{a} que:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})+\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
^{(i)})\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i-1)})-\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}^{(i-1)})\right]  (%
\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(i-1)})\approx \mathbf{0\;\;\;}(4)
\]

Obviamente el razonamiento anterior s\'{o}lo tendr\'{a} validez
para puntos
suficientemente cercanos.\ Es decir que si los vectores $\mathbf{x}^{(i)},$ $%
\mathbf{x}^{(i-1)}$ se suponen generados por el m\'{e}todo de
Newton, el razonamiento anterior s\'{o}lo ser\'{a} v\'{a}lido en
las cercan\'{\i}as de la soluci\'{o}n y para vectores $\mathbf{x}$
tambi\'{e}n pr\'{o}ximos a la soluci\'{o}n.

En el m\'{e}todo propuesto por Broyden las aproximaciones del
vector soluci\'{o}n se buscan en la forma:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})
\]
sustituy\'{e}ndose la matriz jacobiana por $\left[
\mathbf{A}^{(i)}\right] .$ Por ello la segunda condici\'{o}n,
junto a (1), que impone Broyden es que se minimice para cualquier
vector $\mathbf{x}\in \R^{n}$ (y en el sentido de cualquier norma)
el vector:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})+\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]  (\mathbf{x}%
-\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(i-1)})\mathbf{\;\;\;}
\]
que puede escribirse de forma equivalente como:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}%
^{(i)}\right]  (\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)})+\left[ \mathbf{A}%
^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x}%
^{(i-1)})\;\;\;\;\;(5)
\]

Si en (5) se introduce la primera condici\'{o}n impuesta (1) se
obtiene finalmente que debe minimizarse el vector:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x%
}^{(i-1)})
\]

El vector $(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(i-1)})$ puede a su vez
expresarse como suma de un vector proporcional a
$(\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)})$ m\'{a}s otro vector
ortogonal a este es decir en la forma:
\[
(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{(i-1)})=\alpha  (\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}%
^{(i-1)})+\mathbf{v=}\alpha  \mathbf{u}^{(i)}+\mathbf{v}
\]
donde $\mathbf{u}^{(i)}=(\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)})$ y
$\mathbf{v}$
es un vector ortogonal al $\mathbf{u}^{(i)}$ es decir tal que: $\mathbf{v}%
^{T} \mathbf{u}^{(i)}=0.$ De esta forma:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  (\mathbf{x}-\mathbf{x%
}^{(i-1)})=\alpha  \left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right] .%
\mathbf{u}^{(i)}+\left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]
\mathbf{v}
\]

El primer sumando de la expresi\'{o}n anterior es fijo pues por la
condici\'{o}n (1) tomar\'{a} el valor:
\[
\alpha  \left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right] .\mathbf{u}%
^{(i)}=\alpha  (\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)})
\]

Por tanto, debe minimizarse el valor de $\left[
\mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right] \mathbf{v}$ para
cualquier vector $\mathbf{v}$ ortogonal a $\mathbf{u}^{(i)}=(\mathbf{x}%
^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)}).$ Ello se logra obligando a que $\left[ \mathbf{A}%
^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{v=0,}$ es decir haciendo
que
todos los vectores fila de la matriz $\left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}%
^{(i-1)}\right] $ sean ortogonales a $\mathbf{v,}$ o lo que es lo
mismo que todas las filas de $\left[
\mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right] $ sean proporcionales a
$\mathbf{u}^{(i)}.$ En otros t\'{e}rminos la matriz $\left[
\mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right] $ debe ser de la forma $\mathbf{b}%
 (\mathbf{u}^{(i)})^{T}$ donde $\mathbf{b}$ es un vector columna
formado por los factores de proporcionalidad de cada fila. Para
determinar el valor de las componentes del vector $\mathbf{b}$
puede volverse a recurrir a la condici\'{o}n (1) de forma que:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}=\mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \left[ \mathbf{A}^{(i)}-\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u%
}^{(i)}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \mathbf{b} (\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}=%
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \mathbf{b=}\frac{1}{(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}}%
 \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] \mathbf{u}^{(i)}\right)
\]

Siendo la anterior la expresi\'{o}n del vector de proporcionalidad $\mathbf{b%
}$ se tiene que:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] =\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] +\frac{%
\left(
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\right)  (\mathbf{u}%
^{(i)})^{T}}{(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}}
\]

La evaluaci\'{o}n de la expresi\'{o}n anterior, por ``aparatosa''
que parezca no es excesivamente costosa. En ella debe estimarse en
primer lugar el vector $\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right]
\mathbf{u}^{(i)}$ para lo que se realizan $(2 n^{2})$ operaciones;
tras ello se calcula el vector dado por
\[
\left(
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\right)
\]
lo que implica realizar otras $(2 n)$ operaciones; posteriormente
se evaluar\'{a} el producto:
\[
\left(
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\right)  (\mathbf{u}%
^{(i)})^{T}
\]
lo que conllevar\'{a} hacer otras $(n^{2})$ operaciones; asimismo
debe evaluarse el producto escalar:
\[
(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}
\]
lo que podr\'{a} hacerse con otras $(2 n)$ operaciones. Finalmente
se realizar\'{a} la suma de matrices
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] +\frac{1}{(\mathbf{u}^{(i)})^{T}
\mathbf{u}^{(i)}} \left( \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}%
^{(i)}\right)  (\mathbf{u}^{(i)})^{T}\right)
\]
lo que necesita nuevamente del orden $n^{2}$ operaciones. En
resumen el m\'{e}todo exige del orden de $O(4 n^{2})$ operaciones.

Ahora bien, poco habr\'{\i}amos ganado en n\'{u}mero de
operaciones si no se encuentra una forma eficaz de calcular
$\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] ^{-1}$ pues recordemos que en el
m\'{e}todo de Broyden se realiza la operaci\'{o}n:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}-\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]
^{-1} f(\mathbf{x}^{(i)})
\]
y el proceso de inversi\'{o}n nos devolver\'{\i}a a estar en el
rango de operaciones de $O(n^{3}).$ Afortunadamente, la
inversi\'{o}n tambi\'{e}n puede realizarse manteni\'{e}ndose el
orden de operaciones en $O(n^{2})$ utilizando la expresi\'{o}n de
Sherman-Morrison-Woodbury que se recoge en la proposici\'{o}n
siguiente:

\beprop Siendo $\left[ \mathbf{A}\right] $ una matriz real
cuadrada de orden n regular y siendo $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$
dos vectores reales de n componentes tales que:
\[
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}%
\neq -1
\]
se verifica que la matriz $\left( \left[ \mathbf{A}\right] +\mathbf{v u}%
^{T}\right) $ tambi\'{e}n es regular y:
\[
\left( \left[ \mathbf{A}\right] +\mathbf{v u}^{T}\right)
^{-1}=\left[ \mathbf{A}\right]
^{-1}-\frac{1}{1+\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right]
^{-1}\mathbf{ v}} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1} \mathbf{v u}^{T}
\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}
\]
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} Si $\left[ \mathbf{A}\right] $ es una matriz regular y $\mathbf{u}$ y $%
\mathbf{v}$ son dos vectores tales que
\[
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}%
\neq -1
\]
se podr\'{a} calcular la matriz
$$
\dis \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}-\frac{1}{1+%
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}}%
 \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1} \mathbf{v u}^{T} \left[
\mathbf{A}\right] ^{-1}.
$$
Comprobemos que esta matriz es efectivamente la inversa de $\left(
\left[ \mathbf{A}\right] +\mathbf{v u}^{T}\right) .$ Para ello:
\[
\left( \left[ \mathbf{A}\right] +\mathbf{v u}^{T}\right)  \left(
\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}-\frac{1}{1+\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }%
\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}} \left[ \mathbf{A}%
\right] ^{-1} \mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right]
^{-1}\right) =
\]
\[
=\left[ \mathbf{A}\right]  \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}-\frac{1}{1+%
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}}%
 \left[ \mathbf{A}\right]  \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}
\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}+
\]
\[
+\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}-\frac{1}{1+%
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}}%
 \mathbf{v} \mathbf{u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right]
^{-1} \mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}=
\]
\[
=\mathbf{I}-\frac{1}{1+\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[
\mathbf{A}\right]
^{-1}\mathbf{ v}} \mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}%
\right] ^{-1}+\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}-
\]
\[
-\frac{\mathbf{u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1} \mathbf{v}}{1+%
\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}\mathbf{ v}}%
 \mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}=
\]
\[
=\mathbf{I}-\frac{1+\mathbf{u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}
\mathbf{v}}{1+\mathbf{u}^{T}\mathbf{ }\left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}%
\mathbf{ v}} \mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right]
^{-1}+\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}=
\]
\[
=\mathbf{I}-\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}+%
\mathbf{v u}^{T} \left[ \mathbf{A}\right] ^{-1}=\mathbf{I}
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Para aplicar la expresi\'{o}n de Sherman-Morrison-Woodbury a la
expresi\'{o}n:
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] =\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] +\frac{%
\left(
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})-\left[
\mathbf{A}^{(i-1)}\right]  \mathbf{u}^{(i)}\right)  (\mathbf{u}%
^{(i)})^{T}}{(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}}.
\]

Supondremos que $\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] $ es regular y
utilizaremos la siguiente notaci\'on:
$$\mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(i-1)}),$$
\[
\mathbf{w}^{(i)}=\frac{1}{(\mathbf{u}^{(i)})^{T}\mathbf{u}^{(i)}}\left(
\mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] \mathbf{u}%
^{(i)}\right) =\frac{1}{||\mathbf{u}^{(i)}||_{2}}\left( \mathbf{\Delta }%
^{(i)}\mathbf{f}-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right]
\mathbf{u}^{(i)}\right)
\]
con lo que
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] =\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] +\mathbf{w}%
^{(i)} (\mathbf{u}^{(i)})^{T}
\]
por lo que finalmente
\[
\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] ^{-1}=\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}-%
\frac{\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1} \mathbf{w}^{(i)} (%
\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}}{1+(%
\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}
\mathbf{w}^{(i)}}=
\]
\[
=\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}-\frac{\left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right] ^{-1}\frac{1}{||\mathbf{u}^{(i)}||_{2}}\left( \mathbf{%
\Delta }^{(i)}\mathbf{f}-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] \mathbf{u}%
^{(i)}\right) (\mathbf{u}^{(i)})^{T}\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}%
}{1+(\mathbf{u}^{(i)})^{T}\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1} \frac{%
1}{||\mathbf{u}^{(i)}||_{2}} \left( \mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}%
-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] \mathbf{u}^{(i)}\right) }=
\]
\[
=\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}-\frac{\left( \left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right] ^{-1} \mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}-\mathbf{u}%
^{(i)}\right)  (\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right]
^{-1}}{||\mathbf{u}^{(i)}||_{2}+(\mathbf{u}^{(i)})^{T}
\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1} \mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}%
-(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \mathbf{u}^{(i)}}=
\]
\[
=\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}+\frac{\left(
\mathbf{u}^{(i)}-\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}
\mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}\right)
 (\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}}{(%
\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}
\mathbf{\Delta }^{(i)}\mathbf{f}}
\]

Examinemos el orden del n\'{u}mero de operaciones que conlleva la
aplicaci\'{o}n de la f\'{o}rmula anterior (supuestos conocidos la matriz $%
\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1},$ y los vectores $\mathbf{\Delta }%
^{(i)}\mathbf{f=f}(\mathbf{x}^{(i)})-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i-1)})$ y $%
\mathbf{u}^{(i)}=(\mathbf{x}^{(i)}-\mathbf{x}^{(i-1)})).$ El
c\'{a}lculo de
\[
(\mathbf{z}^{(i)})^{T}=(\mathbf{u}^{(i)})^{T} \left[ \mathbf{A}%
^{(i-1)}\right] ^{-1}
\]
implica realizar $(2 n^{2})$ operaciones elementales. El
c\'{a}lculo de
\[
\mathbf{y}^{(i)}=\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1} \mathbf{\Delta }%
^{(i)}\mathbf{f}
\]
implica otras $(2 n^{2})$ operaciones. La estimaci\'{o}n de
\[
\mathbf{r}^{(i)}=\left( \mathbf{u}^{(i)}-\mathbf{y}^{(i)}\right)
\]
conlleva $n$ operaciones elementales m\'{a}s. La determinaci\'{o}n
de la matriz del numerador:
\[
\left[ \mathbf{M}^{(i)}\right] =\mathbf{r}^{(i)}\mathbf{ }\left(
\mathbf{z}^{(i)}\right) ^{T}
\]
se realiza con $n^{2}$ operaciones elementales adicionales. El
c\'{a}lculo del escalar del denominador
\[
\alpha ^{(i)}=\mathbf{(z}^{(i)})^{T} \mathbf{\Delta
}^{(i)}\mathbf{f}
\]
exige realizar otras $2 n$ operaciones elementales. El multiplicar
el escalar $\left( \alpha ^{(i)}\right) ^{-1}$ por las componentes
de la matriz $\mathbf{M}^{(i)},$ estimando la matriz
$[\mathbf{\Delta A}^{(i)}],$
conlleva otras $n^{2}$ operaciones elementales m\'{a}s. Finalmente el sumar $%
\left[ \mathbf{A}^{(i-1)}\right] ^{-1}$ y $[\mathbf{\Delta
A}^{(i)}]$ para obtener $\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] ^{-1}$ se
puede realizar con $n^{2}$ operaciones elementales. En total se
realizan por tanto: $7 n^{2}+3n\sim O(7 n^{2})$ operaciones en
cada iteraci\'{o}n. \es

Comparando las operaciones que se realizan en cada iteraci\'{o}n
del m\'{e}todo de Newton $(O(\frac{2}{3} n^{3}))$ con las
necesarias en cada iteraci\'{o}n de este m\'{e}todo, se concluye
que o\-pe\-ra\-cio\-nal\-men\-te cada
iteraci\'{o}n del m\'{e}todo de Broyden es ventajosa siempre que $\frac{2}{3}%
 n>7,$ es decir para valores de $n$ superiores a $10.$
\es

Seg\'{u}n todo lo anterior un algoritmo del m\'{e}todo de Broyden
es el que se recoge a con\-ti\-nua\-ci\'{o}n: \es

\centerline{{\bf Algoritmo del m\'{e}todo de Broyden para sistemas
no lineales}} \es

Dado el sistema de ecuaciones no lineales $\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$%
, los indicadores de precisi\'{o}n $\varepsilon $ y $\delta $, un
valor m\'{a}ximo del n\'{u}mero de iteraciones que se permiten
realizar $(maxiter)$ y un vector $\mathbf{x}$ con el que
inicializar el proceso,

$iteraci\acute{o}n\leftarrow 1$

$\mathbf{v}\leftarrow \mathbf{f}(\mathbf{x})$

\textbf{Evaluar} la matriz $\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x}%
)\right] $

\textbf{Evaluar} la matriz $\left[ \mathbf{A}\right] =\left[ \mathbf{J}_{%
\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right] ^{-1}$

\textbf{Calcular} $\mathbf{u}=-\left[ \mathbf{A}\right]
\mathbf{v}$

\textbf{Calcular} $\mathbf{x}\leftarrow \mathbf{x+u}$

$\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{f}(\mathbf{x})$

$tolx\leftarrow ||\mathbf{u}||$

$tolf\leftarrow ||\mathbf{w}||$

\textbf{Mientras} \textbf{(} $(iteraci\acute{o}n<maxiter)$ \textbf{y} ($%
\mathbf{(}tolx>\varepsilon )$ \textbf{o} $(tolf>\delta )$
\textbf{)}, \textbf{hacer:}

\hspace{0.8cm}$\mathbf{\delta f\leftarrow w-v}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{v}\leftarrow \mathbf{w}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{z\leftarrow [A]}^{T} \mathbf{u}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{y}\leftarrow [\mathbf{A}] \mathbf{\delta
f}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{r}\leftarrow \mathbf{u}-\mathbf{y}$

\hspace{0.8cm}$\alpha \leftarrow \mathbf{z}^{T} \mathbf{\delta f}$

\hspace{0.8cm}$[\mathbf{A}]\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha
} \mathbf{r z}^{T}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{u}\leftarrow -[\mathbf{A}] \mathbf{v}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{x}\leftarrow \mathbf{x}+\mathbf{u}$

\hspace{0.8cm}$\mathbf{w}\leftarrow \mathbf{f}(\mathbf{x})$

\hspace{0.8cm}$tolx\leftarrow ||\mathbf{u}||$

$\hspace{0.8cm}tolf\leftarrow ||\mathbf{w}||$

\hspace{0.8cm}$iteraci\acute{o}n\leftarrow iteraci\acute{o}n+1$

\textbf{Fin bucle condicional}.

\textbf{Si} ($(tolx<\varepsilon )\;\mathbf{y}$ $(tolf<\delta )$ ) \textbf{%
entonces:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ tomar $\mathbf{x}$ como soluci\'{o}n

\textbf{si no:}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textbf{Escribir} un mensaje de error en el
proceso de c\'{a}lculo

\textbf{fin condici\'{o}n}.

\textbf{Fin del algoritmo.} \es

Apliquemos el algoritmo anterior al ejemplo considerado
anteriormente para ilustrar el m\'{e}todo de Newton, es decir, a
la resoluci\'{o}n del sistema de ecuaciones:
\[
\mathbf{f}(Q_{1},Q_{2},p_{2})=\left(
\begin{array}{c}
2.35 e^{-3} (Q_{1}+Q_{2})^{1.75}-75+p_{2} \\
4.67 e^{-3} Q_{1}^{1.75}+20-p_{2} \\
3.72 e^{-2} Q_{2}^{1.75}+15-p_{2}
\end{array}
\right) =\left(
\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
0
\end{array}
\right)
\]
cuya matriz jacobiana est\'{a} dada por:
\[
\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(Q_{1},Q_{2},p_{2})\right] =\left[
\begin{array}{rrr}
(0.205 (Q_{1}+Q_{2})^{0.75}) & (0.205 (Q_{1}+Q_{2})^{0.75}) & 1 \\
0.407 Q_{1}^{0.75} & 0 & -1 \\
0 & 0.881 Q_{2}^{0.75} & -1
\end{array}
\right]
\]

Comenzaremos el proceso con los mismos valores iniciales que
utilizamos en el m\'{e}todo de Newton, es decir:
\[
\mathbf{x}^{(0)}=\left\{
Q_{1}^{(0)},Q_{2}^{(0)},p_{2}^{(0)}\right\} ^{T}=\left\{
16,7,50\right\} ^{T}
\]

La \textbf{primera iteraci\'{o}n} del m\'{e}todo de Broyden
coincide con la de Newton por lo que en ella se tiene que:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{f}(16,7,50)=\left(
\begin{array}{c}
3.2623408 \\
-2.3928201 \\
-19.8338430
\end{array}
\right)
\]
con
\[
\mathbf{A}=\left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(16,7,50)\right]
^{-1}=\left[
\begin{array}{rrr}
0.1379003 & 0.2161114 & -0.0782111 \\
0.1183890 & -0.0782111 & 0.1966001 \\
0.4488765 & -0.2965403 & -0.2545832
\end{array}
\right]
\]
por lo que,
\[
\mathbf{u}=\mathbf{-A v}=\left(
\begin{array}{c}
-1.9493924 \\
3.4943950 \\
-6.5847074
\end{array}
\right)
\]
siendo la nueva aproximaci\'{o}n del vector soluci\'{o}n:
\[
\mathbf{x}^{(1)}=\mathbf{x}^{(0)}+\mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
14.0506076 \\
10.4943950 \\
43.4152926
\end{array}
\right)
\]
y el valor de la funci\'{o}n que define el sistema en este punto:
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)})=\left(
\begin{array}{c}
8.323233 10^{-2} \\
2.929796 10^{-1} \\
2.3902906
\end{array}
\right)
\]
siendo tanto $||\mathbf{u}||_{2}$ como $||\mathbf{w}||_{2}$
superiores a las tolerancias respectivas (10$^{-6}$ para ambas)
por lo que se comienzan las siguientes iteraciones. En la
\textbf{segunda iteraci\'{o}n}:
\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(0)}))=\left(
\begin{array}{c}
-3.1791085 \\
0.5322596 \\
22.2241337
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(1)})=\left(
\begin{array}{c}
8.323233 10^{-2} \\
2.929796 10^{-1} \\
2.3902906
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
z=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
-2.8108445 \\
1.2580449 \\
2.5158179
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
-2.0615460 \\
3.9512660 \\
-7.2427538
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
0.1121536 \\
-0.4568710 \\
0.6580464
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=65.5174604
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\]
\[\left[
\begin{array}{rrr}
1.330887 \cdot 10^{-1} & 2.182650 \cdot 10^{-1} & -7.390446  \cdot 10^{-2} \\
1.379898 \cdot  10^{-1} & -8.698375  \cdot 10^{-2} & 1.790566 \cdot  10^{-1} \\
4.206449  \cdot 10^{-1} & -2.839047 \cdot  10^{-1} & -2.293147
\cdot 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(2)}-\mathbf{x}^{(1)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
1.016291 \cdot  10^{-1} \\
-4.139981  \cdot 10^{-1} \\
5.962953  \cdot 10^{-1}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(2)}=\mathbf{x}^{(1)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1522367 \\
10.0803968 \\
44.0115879
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(2)})=\left(
\begin{array}{c}
-2.238497 \cdot  10^{-2} \\
-2.407702 \cdot  10^{-3} \\
-3.011495  \cdot 10^{-1}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que tanto $||\mathbf{u}||_{2}$ como $||\mathbf{w}||_{2}$
son superiores a las tolerancias respectivas (10$^{-6}$ para
ambas) se pasar\'{a} a realizar la \textbf{tercera iteraci\'{o}n}.
En ella:

\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(2)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(1)}))=\left(
\begin{array}{c}
-1.056173  \cdot 10^{-1} \\
-2.953853 \cdot  10^{-1} \\
-2.6914401
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(2)})=\left(
\begin{array}{c}
-2.238497 \cdot  10^{-2} \\
-2.407702  \cdot 10^{-3} \\
-3.011495 \cdot  10^{-1}
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
z=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
2.0722672 \\
-1.1109786 \\
-2.1837922
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
1.2038069 \\
-4.7080045 \\
6.5662072
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
-1.875159  \cdot 10^{-2} \\
5.680227 \cdot  10^{-2} \\
-6.032545 \cdot  10^{-2}
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=0.5986845
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\]
\[\left[
\begin{array}{rrr}
1.265981  \cdot 10^{-1} & 2.217447  \cdot 10^{-1} & -6.706453 \cdot  10^{-2} \\
1.576511  \cdot 10^{-1} & -9.752455  \cdot 10^{-2} & 1.583371  \cdot 10^{-1} \\
3.9976401  \cdot 10^{-1} & -2.727101 \cdot  10^{-1} & -2.073101
\cdot 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(3)}-\mathbf{x}^{(2)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
-1.682866 10^{-2} \\
5.097734 10^{-2} \\
-5.413923 10^{-2}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(3)}=\mathbf{x}^{(2)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1354080 \\
10.1313741 \\
43.9574486
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(3)})=\left(
\begin{array}{c}
-1.184048 \cdot  10^{-4} \\
1.791805  \cdot 10^{-3} \\
7.555445 \cdot  10^{-3}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que tanto $||\mathbf{u}||_{2}$ como $||\mathbf{w}||_{2}$
son superiores a las tolerancias respectivas (10$^{-6}$ para
ambas) se pasar\'{a} a realizar la \textbf{cuarta iteraci\'{o}n}.
En ella:

\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(3)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(2)}))=\left(
\begin{array}{c}
2.226656 \cdot  10^{-2} \\
4.199507 \cdot  10^{-3} \\
3.087049  \cdot 10^{-1}
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(3)})=\left(
\begin{array}{c}
-1.184048 \cdot  10^{-4} \\
1.791805 \cdot  10^{-3} \\
7.555445  \cdot 10^{-3}
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
\mathbf{z}=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
-1.573676 \cdot  10^{-2} \\
6.061109 \cdot  10^{-3} \\
2.042382 \cdot 10^{-2}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
-1.695303 \cdot  10^{-2} \\
5.198024 \cdot  10^{-2} \\
-5.624153 \cdot  10^{-2}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
1.243689  \cdot 10^{-4} \\
-1.002896  \cdot 10^{-3} \\
2.102297  \cdot 10^{-3}
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=5.979984  \cdot 10^{-3}
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\]
\[\left[
\begin{array}{rrr}
1.262708 10^{-1} & 2.218708 10^{-1} & -6.663977 10^{-2} \\
1.602903 10^{-1} & -9.854105 10^{-2} & 1.549118 10^{-1} \\
3.942317 10^{-1} & -2.705793 10^{-1} & -2.031848 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(4)}-\mathbf{x}^{(3)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
1.208950  \cdot 10^{-4} \\
-9.748824  \cdot 10^{-4} \\
2.043575 \cdot  10^{-3}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(4)}=\mathbf{x}^{(3)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1355289 \\
10.1303992 \\
43.9594922
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(4)})=\left(
\begin{array}{c}
1.343715  \cdot 10^{-5} \\
1.068316 \cdot  10^{-4} \\
6.345653 \cdot  10^{-4}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que tanto $||\mathbf{u}||_{2}=2.267424  \cdot 10^{-3}$ como $||\mathbf{w%
}||_{2}=6.436355  \cdot 10^{-4}$ son superiores a las tolerancias
respectivas (10$^{-6}$ para ambas) se pasar\'{a} a realizar la
\textbf{quinta iteraci\'{o}n}. En ella:

\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(4)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(3)}))=\left(
\begin{array}{c}
1.318420 \cdot  10^{-4} \\
-1.684974  \cdot 10^{-3} \\
-6.920880 \cdot  10^{-3}
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(4)})=\left(
\begin{array}{c}
1.343715 \cdot v10^{-5} \\
1.068316 \cdot  10^{-4} \\
6.345653  \cdot 10^{-4}
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
\mathbf{z}=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
6.646434 \cdot  10^{-4} \\
-4.300603  \cdot 10^{-4} \\
-5.680580 \cdot  10^{-4}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
1.040072  \cdot 10^{-4} \\
-8.849542 \cdot  10^{-4} \\
1.892971 \cdot  10^{-3}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
1.688776  \cdot 10^{-5} \\
-8.992822 \cdot  10^{-5} \\
1.506046 \cdot  10^{-4}
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=4.743729  \cdot 10^{-6}
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\] \[\left[
\begin{array}{rrr}
1.286370 \cdot  10^{-1} & 2.203397  \cdot 10^{-1} & -6.866206  \cdot 10^{-2} \\
1.476905 \cdot  10^{-1} & -9.038827  \cdot 10^{-2} & 1.656807  \cdot 10^{-1} \\
4.153328  \cdot 10^{-1} & -2.842329 \cdot  10^{-1} & -2.181648
\cdot 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(5)}-\mathbf{x}^{(4)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
1.830280  \cdot 10^{-5} \\
-9.746342 \cdot  10^{-5} \\
1.632240 \cdot  10^{-4}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(5)}=\mathbf{x}^{(4)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1355472 \\
10.1303018 \\
43.9596554
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(5)})=\left(
\begin{array}{c}
-5.450506 \cdot  10^{-7} \\
-2.101924  \cdot 10^{-6} \\
-1.624559  \cdot 10^{-5}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que tanto $||\mathbf{u}||_{2}=1.909874  \cdot 10^{-4}$ como $||\mathbf{w%
}||_{2}=1.639007 \cdot  10^{-5}$ son superiores a las tolerancias
respectivas (10$^{-6}$ para ambas) se pasar\'{a} a realizar la
\textbf{sexta iteraci\'{o}n}. En ella:

\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(5)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(4)}))=\left(
\begin{array}{c}
-1.398220  \cdot 10^{-5} \\
-1.089335  \cdot 10^{-4} \\
-6.508109  \cdot 10^{-4}
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(5)})=\left(
\begin{array}{c}
-5.450506 \cdot  10^{-7} \\
-2.101924 \cdot  10^{-6} \\
-1.624559 \cdot  10^{-5}
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
\mathbf{z}=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
5.575227 \cdot  10^{-5} \\
-3.355124 \cdot  10^{-5} \\
-5.301423 \cdot
 10^{-5}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
1.888501  \cdot 10^{-5} \\
-1.000455 \cdot  10^{-4} \\
1.671392 \cdot  10^{-4}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
-5.822047 \cdot  10^{-7} \\
2.582090  \cdot 10^{-6} \\
-3.915274  \cdot 10^{-6}
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=3.737755  \cdot 10^{-8}
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\] \[\left[
\begin{array}{rrr}
1.277686  \cdot 10^{-1} & 2.208623  \cdot 10^{-1} & -6.783630 \cdot  10^{-2} \\
1.515419 \cdot  10^{-1} & -9.270604 \cdot  10^{-2} & 1.620184  \cdot 10^{-1} \\
4.094919  \cdot 10^{-1} & -2.807185 \cdot  10^{-1} & -2.126116
\cdot 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(6)}-\mathbf{x}^{(5)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
-5.681645 \cdot  10^{-7} \\
2.519821 \cdot  10^{-6} \\
-3.820860 \cdot  10^{-6}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(6)}=\mathbf{x}^{(5)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1355467 \\
10.1303043 \\
43.9596516
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(6)})=\left(
\begin{array}{c}
2.998971  \cdot 10^{-9} \\
3.361990  \cdot 10^{-8} \\
1.813023 \cdot  10^{-7}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que $||\mathbf{u}||_{2}=4.612076  \cdot 10^{-6}$ es
superior a la
tolerancia permitida (10$^{-6})$ a pesar de que ahora $||\mathbf{w}%
||_{2}=1.844175  \cdot 10^{-7}$ es inferior a la tolerancia en el
valor de la funci\'{o}n vectorial que define el sistema
(tambi\'{e}n 10$^{-6}$ para ambas) se pasar\'{a} a realizar la
\textbf{s\'{e}ptima iteraci\'{o}n}. En ella:

\[
\mathbf{\delta f}=\mathbf{w-v}=(\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(6)})-\mathbf{f}(%
\mathbf{x}^{(5)}))=\left(
\begin{array}{c}
5.480496  \cdot 10^{-7} \\
2.135544  \cdot 10^{-6} \\
1.642689 \cdot  10^{-5}
\end{array}
\right)
\]
pasando a actualizar el vector $\mathbf{v}$ mediante:
\[
\mathbf{v}=\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(6)})=\left(
\begin{array}{c}
2.998971 \cdot  10^{-9} \\
3.361990 \cdot  10^{-8} \\
1.813023  \cdot 10^{-7}
\end{array}
\right)
\]

Con ello los vectores $\mathbf{z}$ , $\mathbf{y}$ y $\mathbf{r}$
del algoritmo de Broyden en esta iteraci\'{o}n ser\'{a}n:
\[
\mathbf{z}=[\mathbf{A}]^{T} \mathbf{u=}\left(
\begin{array}{c}
-1.255348 \cdot  10^{-6} \\
7.134958 \cdot  10^{-7} \\
1.259157 \cdot  10^{-6}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{y}=[\mathbf{A}] \mathbf{\delta f}=\left(
\begin{array}{c}
-5.726548  \cdot 10^{-7} \\
2.546533  \cdot 10^{-6} \\
-3.867612 \cdot  10^{-6}
\end{array}
\right)
\]
\[
\mathbf{r}=\mathbf{u-y}=\left(
\begin{array}{c}
4.490337 \cdot  10^{-9} \\
-2.671202  \cdot 10^{-8} \\
4.675664  \cdot 10^{-8}
\end{array}
\right)
\]

Con estos vectores se tiene que:
\[
\alpha =\mathbf{z}^{T}\mathbf{ \delta f}=2.151975  \cdot 10^{-11}
\]
por lo que la matriz tangente actualizada ser\'{a}:
\[
\mathbf{A}\leftarrow [\mathbf{A}]+\frac{1}{\alpha } \mathbf{r z}%
^{T}=\] \[\left[
\begin{array}{rrr}
1.275066  \cdot 10^{-1} & 2.210112  \cdot 10^{-1} & -6.757356 \cdot  10^{-2} \\
1.531002  \cdot 10^{-1} & -9.359168 \cdot  10^{-2} & 1.604554 \cdot  10^{-1} \\
4.067653  \cdot 10^{-1} & -2.791682 \cdot  10^{-1} & -2.098756
\cdot 10^{-1}
\end{array}
\right]
\]

Con esta matriz se tendr\'{a} que el nuevo vector de incrementos
ser\'{a}:
\[
\mathbf{u=x}^{(7)}-\mathbf{x}^{(6)}=-[\mathbf{A}]
\mathbf{v=}\left(
\begin{array}{c}
4.438482 \cdot  10^{-9} \\
-2.640355 \cdot  10^{-8} \\
4.621670 \cdot  10^{-8}
\end{array}
\right)
\]
por lo que,
\[
\mathbf{x}^{(7)}=\mathbf{x}^{(6)}\mathbf{+u}=\left(
\begin{array}{c}
14.1355467 \\
10.1303043 \\
43.9596517
\end{array}
\right)
\]
siendo
\[
\mathbf{w}=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(7)})=\left(
\begin{array}{c}
4.551615  \cdot 10^{-11} \\
5.687885 \cdot  10^{-10} \\
2.995289  \cdot 10^{-9}
\end{array}
\right)
\]

Puesto que $||\mathbf{u}||_{2}=5.341189 10^{-8}$ y $||\mathbf{w}%
||_{2}=3.049155 10^{-9}$ son inferiores a la tolerancia dada para
ellas se detiene el proceso iterativo dando como soluci\'{o}n:
\[
Q_{1}=14.1355467,\;Q_{2}=10.1303043,\;Q=Q_{1}+Q_{2}=24.265851
\]

y:
\[
p_{2}=43.9596517
\]
es decir, los mismos valores que los obtenidos con el m\'{e}todo
de Newton-Raphson (hallados ahora en 7 iteraciones en lugar de en
4 pero no habiendo tenido que invertir ni calcular la matriz
jacobiana en cada iteraci\'{o}n). Con todo en este caso en el que
el n\'{u}mero de ecuaciones es $3 (<10)$ el m\'{e}todo de Broyden
es m\'{a}s costoso por iteraci\'{o}n que el de Newton. Esperamos
de la benevolencia del lector que entienda por ello que lo
anterior simplemente pretende ilustrar la metodolog\'{\i}a seguida
en el m\'{e}todo de Broyden, pues para apreciar el ahorro
computacional deber\'{\i}a haberse acudido a un sistema con mayor
n\'{u}mero de ecuaciones bastante m\'{a}s ``pesado'' de
transcribir en el papel.

\beobse Se observa lo siguiente:
\begin{enumerate}
\item  El an\'{a}lisis detallado de la convergencia
del m\'{e}todo de Broyden escapa a la disponibilidad temporal de
este curso por lo que remitimos al lector a la bibliograf\'{\i}a
que se cita al final del cap\'{\i}tulo (v\'{e}ase por ejemplo De
La Fuente O'Connor [7]). En dicha referencia bibliogr\'{a}fica
puede encontrar el lector la justificaci\'{o}n detallada de que el
proceso debido Broyden es el que introduce menores cambios en la
matriz $[\mathbf{A}^{(i-1)}]$ y que, cuando la matriz jacobiana es
lipschitciana, el ``deterioro'' de la matriz jacobiana al ser
sustituida esta por su aproximaci\'{o}n es lo suficientemente
``lento'' como para poder probar la convergencia local del
m\'{e}todo sobre dominios $D$ convexos.
\item
Para el caso particular de que la matriz jacobiana sea
sim\'{e}trica se puede modificar el m\'{e}todo anterior reduciendo
aun m\'{a}s su coste computacional. Ello se hace por ejemplo en el
m\'{e}todo BFGS (debido a Broyden, Fletcher, Goldfab y Shano).
\end{enumerate}
\enobse

\subsection{Algunos comentarios sobre los m\'{e}todos de resoluci\'{o}n de
sistemas de ecuaciones no lineales}

1${{}^o}$) El m\'{e}todo de Newton-Raphson y sus variantes pueden
escribirse en la forma:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}+\mathbf{d}^{(i)}\;\;\;\;\;\;(i=0,1,....)
\]
donde
\[
\mathbf{d}^{(i)}=-\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right]  \mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(i)})
\]
siendo $\left[ \mathbf{A}^{(i)}\right] $ la matriz tangente
utilizada en el m\'{e}todo (es decir, la jacobiana o una
aproximaci\'{o}n de ella en el punto $\mathbf{x}^{(i)}).$ Ello da
pie a considerar familias de m\'{e}todos de la forma:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}+\alpha ^{(i)} \mathbf{d}%
^{(i)}\;\;\;\;\;\;(i=0,1,....)
\]
donde $\mathbf{d}^{(i)}$ es la denominada \textbf{direcci\'{o}n de
descenso} y $\alpha ^{(i)}$ es el \textbf{par\'{a}metro de
descenso}. En general la direcci\'{o}n de descenso
$\mathbf{d}^{(i)}$ puede ser una direcci\'{o}n seguida para pasar
de un punto $\mathbf{x}^{(i)}$ a otro $\mathbf{x}^{(i+1)}$ (por
ejemplo la seguida en el m\'{e}todo de Newton-Raphson o en alguna
de sus variantes) y el par\'{a}metro de descenso $\alpha ^{(i)}$
se toma en cada iteraci\'{o}n de forma que se minimice el valor de
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)}+\alpha ^{(i)} \mathbf{d}^{(i)})
\]
lo que implica que para su determinaci\'{o}n deba resolverse el
sistema:
\[
\frac{d\mathbf{f}}{d\alpha }(\mathbf{x}^{(i)}+\alpha  \mathbf{d}^{(i)})=%
\mathbf{0}
\]

Para ello se han ideado diferentes estrategias. La m\'{a}s simple,
debida a Armijo, consiste en, conocidos $\mathbf{x}^{(i)}$ y
$\mathbf{d}^{(i)},$ evaluar:
\[
\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)}+\alpha ^{(i)} \mathbf{d}%
^{(i)})\right\|
\]
para los valores de $\alpha =1,$ $\frac{1}{2},$ $\frac{1}{4},$
....hasta determinar un valor de $\alpha $ para el que se
satisfaga la relaci\'{o}n:
\[
\left\| \mathbf{f}(\mathbf{x}^{(i)}+\alpha ^{(i)} \mathbf{d}%
^{(i)})\right\| \leq \left( 1-\frac{\alpha }{2}\right)  \left\| \mathbf{%
f}(\mathbf{x}^{(i)})\right\|
\]
momento en el que se tomar\'{a} dicho valor de $\alpha $ como
par\'{a}metro de descenso. En De La Fuente O'Connor [7], por
ejemplo, pueden encontrarse los detalles que justifican esta forma
de proceder. \es

2${{}^{o}}$) La estructura que se ha dado a los m\'{e}todos de
descenso, contemplados en el comentario anterior, nos conduce a
los denominados \textbf{m\'{e}todos de tipo gradiente} basados en
la teor\'{i}a de
optimizaci\'{o}n. En ellos dado el sistema no lineal $\mathbf{f}(\mathbf{x})=%
\mathbf{0}$ se considera la funci\'{o}n residuo
\[
r(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\sum%
\limits_{j=1}^{n}f_{i}^{2}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=\frac{1}{2}\left\| \mathbf{%
f}(\mathbf{x})\right\| _{2}^{2}
\]

Esta funci\'{o}n residuo siempre tomar\'{a} valores positivos o
nulos. Ser\'{a} precisamente en los puntos en los que se verifique
el sistema de ecuaciones en los que el residuo tome el valor nulo.
Por ello el problema se reduce a buscar los m\'{\i}nimos de la
funci\'{o}n residuo $r(\mathbf{x}).$ Para ello partiendo de un
punto $\mathbf{x}^{(0)}$ tomado arbitrariamente se sigue el
esquema iterativo:
\[
\mathbf{x}^{(i+1)}=\mathbf{x}^{(i)}+\rho _{i} \mathbf{d}%
^{(i)}\;\;\;\;\;\;(i=0,1,...)
\]

La direcci\'{o}n de descenso que ahora se sigue est\'{a}
relacionada con el gradiente de la funci\'{o}n residuo (y de
ah\'{i} el nombre de este tipo de m\'{e}todos):
\[
\dis \nabla r(\mathbf{x}^{(i)})=\dis \left(
\begin{array}{c}
\dis \frac{\partial r}{\partial x_{1}}(\mathbf{x}^{(i)}) \\
[0.4cm] \noalign{\smallskip} \dis \frac{\partial r}{\partial
x_{2}}(\mathbf{x}^{(i)}) \\ [0.4cm] \noalign{\smallskip} ..... \\
[0.4cm] \noalign{\smallskip} \dis \frac{\partial r}{\partial
x_{n}}(\mathbf{x}^{(i)})
\end{array}
\right)
\]

El par\'{a}metro de descenso $\rho _{i}$ en cada iteraci\'{o}n se
determina minimizando el valor de:
\[
r(\mathbf{x}^{(i)}+\rho  \mathbf{d}^{(i)})
\]
mediante t\'{e}cnicas similares a la de Armijo antes descrita o
interpolando (en 3 o 4 valores dados del par\'{a}metro de
descenso) la funci\'{o}n residuo mediante una par\'{a}bola
(algoritmo de Powell) o mediante un polinomio de grado 3
(algoritmo de Davidon).

Uno de los problemas que plantea esta forma de proceder es que los
m\'{e}todos de tipo gradiente son m\'{e}todos de tipo diferencial,
es decir que buscan puntos en los que la diferencial del residuo
se anula (o lo que es m\'{a}s preciso, en los que se anula el
gradiente del residuo). Ello nos puede conducir a m\'{\i}nimos
\textit{locales} del residuo en los que este no toma valor nulo
(por lo que no se satisface en ellos el sistema de ecuaciones).
Nuevamente, remitimos al lector a la bibliograf\'{\i}a sobre el
tema (por ejemplo Burden \& Faires [3]) para un estudio detallado
de estos m\'{e}todos. \es

3${{}^{o}}$) Dada la relaci\'{o}n existente entre la b\'{u}squeda
de soluciones del sistema y la minimizaci\'{o}n de funciones (por
ejemplo de la funci\'{o}n residuo contemplada en el comentario
anterior) en las \'{u}ltimas d\'{e}cadas se han desarrollado
m\'{e}todos diferenciales de optimizaci\'{o}n local (como el de
Marquardt \& Levenberg que se describe en De La Fuente O'Connor
[7]) o m\'{e}todos de b\'{u}squeda directa para optimizaci\'{o}n
global (como los basados en algoritmia gen\'{e}tica) que
tambi\'{e}n pueden adaptarse f\'{a}cilmente a la determinaci\'{o}n
de soluciones de sistemas de ecuaciones no lineales. El estudio de
estos m\'{e}todos corresponde a la materia denominada como
Optimizaci\'{o}n y desborda los objetivos del presente curso. \es

4${{}^{o}}$) Otra familia de m\'{e}todos para la resoluci\'{o}n de
sistemas de ecuaciones no lineales son los m\'{e}todos de
continuaci\'{o}n en los que
el vector $\mathbf{x}$ que interviene en la definici\'{o}n del sistema $%
\mathbf{f}(\mathbf{x})=\mathbf{0}$ se hace depender de un par\'{a}metro $%
\lambda $ que toma valores entre $0$ y $1$ y de tal forma que
$\mathbf{x}(1)$ sea una soluci\'{o}n $\mathbf{x}^{*}$ del sistema.
M\'{a}s concretamente dado un vector inicial $\mathbf{x}^{(0)}$ se
puede considerar la funci\'{o}n
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}(\lambda ))=(1-\lambda ) \mathbf{f}(\mathbf{x}%
^{(0)})
\]
para la que se verifica que:
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}(0))=\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)})
\]
\[
\mathbf{f}(\mathbf{x}(1))=\mathbf{0}
\]
por lo que $\mathbf{x}^{*}=\mathbf{x}(1).$ La expresi\'{o}n
considerada para
$\mathbf{f}(\mathbf{x}(\lambda ))$ define impl\'{\i}citamente la funci\'{o}n $%
\mathbf{x}(\lambda ).$ Asumiendo condiciones suficientes de
regularidad puede derivarse dicha expresi\'{o}n obteniendo:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
\dis \left[ \mathbf{J}_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})\right]  \left(
\begin{array}{c}
\dis \frac{dx_{1}}{d\lambda }(\lambda ) \\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} \dis \frac{dx_{2}}{d\lambda }(\lambda ) \\
[0.2cm] \noalign{\smallskip} ... \\ [0.2cm] \noalign{\smallskip}
\dis \frac{dx_{n}}{d\lambda }(\lambda )
\end{array}
\right) =-\mathbf{f}(\mathbf{x}^{(0)}) \\ [0.8cm]
\noalign{\smallskip} \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}^{(0)}
\end{array}
\right\} \qquad \lambda \in [0,1]
\]

Este sistema diferencial ordinario de primer orden puede entonces
ser resuelto (por ejemplo utilizando alg\'{u}n m\'{e}todo
num\'{e}rico como los que se estudiar\'{a}n en el tema siguiente)
determin\'{a}ndose una aproximaci\'{o}n del valor de
$\mathbf{x}^{*}=\mathbf{x}(1).$ \es

5${{}^{o}}$) Determinado un punto soluci\'{o}n del sistema de
ecuaciones no lineales, otras soluciones se pueden buscar
eliminando dichas soluciones del sistema mediante una estrategia
de deflacci\'{o}n an\'{a}loga a la descrita en el sexto comentario
sobre los m\'{e}todos para la resoluci\'{o}n de una \'{u}nica
ecuaci\'{o}n no lineal. Dejamos al lector el desarrollo detallado
de esta estrategia de deflacci\'{o}n en el caso n-dimensional. \es

6${{}^{o}}$) En Press et al. [12] (y en diferentes ``sitios'' de
internet) pueden encontrarse bi\-blio\-te\-cas de c\'{o}digos que
implementan los m\'{e}todos tratados en este tema y muchos otros.
Asimismo, los paquetes inform\'{a}ticos MAPLE, MATLAB,
MATHEMATICA, y otros incluyen poderosas rutinas de resoluci\'{o}n
de sistemas no lineales. \es

7${{}^{o}}$) Tambi\'{e}n para el caso de sistemas no lineales
puede utilizarse la t\'{e}cnica de aceleraci\'{o}n de Aitken
(algoritmo conocido como m\'{e}todo $\Delta ^{2}$ modificado que
b\'{a}sicamente aplica la t\'{e}cnica vista para una ecuaci\'{o}n
a cada una de las ecuaciones del sistema). No obstante, como se
recoge por ejemplo en O.T. Hanna y O.C. Sandall [9], a diferencia
de lo que suced\'{i}a en el caso de una \'{u}nica ecuaci\'{o}n,
esta t\'{e}cnica no siempre funciona sobre los sistemas de varias
ecuaciones, pudiendo incluso darse el caso de que el m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas por s\'{\i} solo converja en tanto que si
le combina con la t\'{e}cnica $\Delta ^{2}$ diverja. Remitimos al
lector interesado a la referencia citada para obtener un mayor
detalle al respecto.
\newpage

\subsection{Un programa FORTRAN para la resoluci\'{o}n de sistemas no
lineales. Aplicaci\'{o}n a la resoluci\'{o}n del sistema lineal
planteado en la motivaci\'{o}n de este tema}

Al lector que haya seguido estas ciento y muchas p\'{a}ginas sobre
los m\'{e}todos de resoluci\'{o}n de sistemas de ecuaciones
lineales no le podemos dejar sin la soluci\'{o}n del sistema
lineal al que nos conduc\'{\i}a el ejemplo, tomado de Hanna \&
Sandal [9] que recog\'{\i}amos como motivaci\'{o}n a este tema.
Recordemos que dicho sistema ven\'{\i}a dado por las ecuaciones:
\[
\frac{x_{1}(x_{1}-x_{2}+2x_{4})D^{2}}{%
(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})^{3}(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})}=69.18
\]
\[
\frac{(x_{2}-x_{3})(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})}{%
(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})(x_{1}-x_{2}+2x_{4})}=4.68
\]
\[
\frac{(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})^{2}}{(x_{2}-x_{3})D}=0.0056
\]
\[
\frac{x_{4}(x_{1}-x_{2}+2x_{4})^{2}D^{4}}{%
(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})^{5}(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})^{2}}=0.141
\]
donde $x_{1,}\;x_{2},$ $x_{3}$ y $x_{4}$ eran las coordenadas de
reacci\'{o}n de las 4 reacciones relevantes del equilibrio qu\'{\i}mico a 500$%
{{}^o}$C de una mezcla de 1 mol de $CO$ y de 3 moles de $H_{2}$, siendo $%
D=(4-2.x_{1}+x_{3}-4.x_{4})$ y estando relacionadas estas
coordenadas de reacci\'{o}n con las fracciones molares de las
distintas especies presentes en el equilibrio a trav\'{e}s de las
expresiones:
\begin{eqnarray*}
y_{1} &=&(3-3x_{1}+x_{2}-5x_{4})/D \\
y_{2} &=&(1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})/D \\
y_{3} &=&x_{1}/D \\
y_{4} &=&(x_{1}-x_{2}+2x_{4})/D \\
y_{5} &=&(x_{2}-x_{3})/D \\
y_{6} &=&x_{4}/D
\end{eqnarray*}
habi\'{e}ndose designado por especie 1 al H$_{2},$ por especie 2
al CO, por especie 3 al CH$_{4}$, por especie 4 al H$_{2}$O, por
especie 5 al CO$_{2}$ y por especie 6 al C$_{2}$H$_{6}$.

Para evitar ``problemas'' en el sistema a resolver en el caso de
que algunos denominadores puedan tomar valores muy pr\'{o}ximos a
$0,$ rescribiremos el sistema en la forma:
\[
f_{1}(\mathbf{x})=x_{1} (x_{1}-x_{2}+2x_{4}) D^{2}-
\]
\[
-69.18 (3-3 x_{1}+x_{2}-5 x_{4})^{3}(1-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-2
x_{4})=0
\]
\[
f_{2}(\mathbf{x})=(x_{2}-x_{3}) (3-3 x_{1}+x_{2}-5 x_{4})-
\]
\[
-4.68 (1-x_{1}-x_{2}+2x_{3}-2x_{4})(x_{1}-x_{2}+2x_{4})=0
\]
\[
f_{3}(\mathbf{x})=(1-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-2 x_{4})^{2}-
\]
\[
-0.0056 (x_{2}-x_{3}) D=0
\]
\[
f_{4}(\mathbf{x})=x_{4} (x_{1}-x_{2}+2x_{4})^{2} D^{4}-
\]
\[
-0.141 (3-3 x_{1}+x_{2}-5 x_{4})^{5}(1-x_{1}-x_{2}+2 x_{3}-2
x_{4})^{2}=0
\]

Este sistema compuesto por las cuatro funciones anteriores puede
ser resuelto mediante el m\'{e}todo de Newton. Puesto que el
estimar la expresi\'{o}n de la matriz jacobiana puede ser
laborioso, se ha optado por aproximar la matriz tangente mediante
diferencias finitas. Asimismo, puesto que realizar manualmente las
operaciones es una tarea muy tediosa se ha optado por realizar un
``peque\~{n}o'' programa en FORTRAN que recoja esta estrategia.

El programa, que se incluye a continuaci\'{o}n, refleja fielmente
el m\'{e}todo de Newton-Raphson (v\'{e}ase la subrutina NEWTON y
las que desde ella se llaman) incluyendo tambi\'{e}n la
estimaci\'{o}n de las fracciones molares.\ F\'{a}cilmente
adaptar\'{a} el lector este programa al caso general para que
pueda servirle en los ejercicios que se le puedan plantear. En
todo caso, hemos escrito en letra it\'{a}lica las sentencias que
por ser espec\'{\i}ficas de este ejemplo, pueden ser eliminadas
para adaptarlo al caso general.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{tema1_3}
\begin{verbatim}
C**********************************************************************
C                 PROGRAMA SNLNEWT *
C**********************************************************************
C OBJETO:
* C -------
* C     RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
MEDIANTE EL  * C     METODO DE NEWTON UTILIZANDO LAS EXPRESIONES
ANALITICAS DE LAS   * C     DERIVADAS O UNA APROXIMACION DE ELLAS
EN LOS PUNTOS EN QUE SE   * C     NECESITEN
* C     REFERENCIA: C. Conde y G. Winter. (1.990). "Métodos y
* C     Algoritmos B\'asicos del Algebra Num\'erica''. Ed. Revert\'e.
*
C**********************************************************************
C DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C -------------------------
* C  * VARIABLES DE ENTRADA:
* C      EPS    --> PARAMETRO USADO PARA DETENER EL PROCESO
ITERATIVO   * C                 CUANDO ESTE CONVERGE.
* C      EPSF   --> PARAMETRO USADO PARA DETENER EL PROCESO
ITERATIVO   * C                 CUANDO ESTE CONVERGE.
* C      EPSD   --> PARAMETRO DE TOLERANCIA USADO EN LA
APROXIMACION DE * C                 LAS DERIVADAS PARCIALES QUE
FORMAN LA MATRIZ JACO-  * C                 BIANA. SOLO ES
UTILIZADO CUANDO IOPCION TOMA UN     * C                 VALOR
DIFERENTE A LA UNIDAD.                        * C      FICDAT -->
NOMBRE DEL FICHERO CONTENIENDO LOS DATOS DE ENTRADA.* C FICOUT -->
NOMBRE DEL FICHERO DE RESULTADOS.                   * C IOPCION-->
INDICADOR QUE TOMA EL VALOR:                        * C 1: SI SE
EVALUA LA MATRIZ JACOBIANA DE FORMA    * C EXACTA
* C OTRO VALOR: SI LA MATRIZ JACOBIANA SE EVALUA    * C DE FORMA
APROXIMADA.                         * C      MAXIT  --> NUMERO
MAXIMO DE ITERACIONES QUE SE PERMITE REALIZAR* C      N --> NUMERO
DE ECUACIONES NO LINEALES QUE FORMAN EL      * C SISTEMA.
* C      SF --> FACTOR DE SEGURIDAD UTILIZADO EN LA ESTIMACION DE
LA* C MATRIZ JACOBIANA. SOLO ES USADO SI OPCION TOMA UN   * C
VALOR DIFERENTE A LA UNIDAD.                        * C      X -->
VECTOR CON EL QUE SE INICIALIZA EL METODO.          * C
* C  * VARIABLES DE SALIDA:
* C    --------------------
* C      ITER   --> NUMERO DE ITERACIONES REALIZADAS.
* C      X      --> VECTOR SOLUCION DEL SISTEMA.
* C      TOL    --> NORMA-2 DEL VECTOR DIFERENCIA ENTRE LOS
VECTORES    * C                 HALLADOS EN LAS DOS ULTIMAS
ITERACIONES.            * C
* C      NOTA: Estos resultados se proporcionaran solo en el caso
de    * C            haberse obtenido una solucion suficientemente
precisa    * C            en un numero de iteraciones menor o
igual que MAXIT.     * C            En caso contrario se emitirá
un mensaje de error.        * C
* C  * OTRAS VARIABLES UTILIZADAS:
* C    ---------------------------
* C      I      --> VARIABLE DE CONTROL EN LOS BUCLES.
*
C**********************************************************************
C SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C ------------------------
* C     SUBROUTINE NEWTON (N, MAXIT, IOPCION, EPS, EPSF, H, X,
ITER, C                       TOL,TOLF,EPSD,SF)
* C     Esta subrutina es en la que se realizan todos los cálculos
del  * C     metodo de Newton.
* C
* C     FUNCTION F(I, X)
* C     Este subprograma permite evaluar la funcion que define el
siste-* C     ma en el vector X. La variable I indica la
componente de la fun-* C     cion que se evalua. *
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C  * LOS DATOS SON LEIDOS DE UN FICHERO CUYO NOMBRE ES
SOLICITADO AL  * C    USUARIO (Y ALMACENADO EN LA VARIABLE
FICDAT). EN LAS SUCESIVAS   * C    LINEAS DE ESTE FICHERO SE
GRABARAN LOS VALORES DE LAS SIGUIENTES * C    VARIABLES:
* C        Linea 1:   N, MAXIT, IOPCION
* C        Linea 2:   EPS, EPSF, EPSD, SF
* C        Linea 3:   X(1)
* C        Linea 4:   X(2)
* C        Linea 5:   X(3)
* C        .......    ...
* C        Linea N+2: X(N)
* C
* C  * LOS RESULTADOS SE GRABAN EN UN FICHERO CUYO NOMBRE ES
SOLICITADO * C    AL USUARIO (Y ALMACENADO EN AL VARIABLE FICOUT).
EN EL SE GRABAN * C    DEBIDAMENTE IDENTIFICADOS LOS VALORES DE
ITER, TOL Y LAS COMPO-  * C    NENTES DEL VECTOR SOLUCION. *
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, IOPCION, ITER, MAXIT, N
      REAL*8 EPS, EPSF, TOL, TOLF, X[ALLOCATABLE](:), EPSD, F, SF
      CHARACTER*12 FICDAT, FICOUT
C C  Escritura en pantalla de la cabecera del programa C
      WRITE(*, 100)
      WRITE(*, 101)
      READ(*,*)
C C  Lectura de teclado de los nombres de los ficheros de datos y
C  resultados y apertura del fichero de datos. C
      WRITE(*,*) 'TECLEE EL NOMBRE DEL FICHERO DE DATOS:'
      READ(*, '(A)') FICDAT
      WRITE(*,*) 'TECLEE EL NOMBRE DEL FICHERO DE RESULTADOS:'
      READ(*,'(A)') FICOUT
      OPEN (1, FILE = FICDAT, STATUS = 'OLD')
C C  Lectura del fichero de los datos del programa y cierre del
fichero C  de datos. C
      READ(1, *) N, MAXIT, IOPCION
      ALLOCATE (X(N))
      IF (IOPCION.EQ.1) THEN
         READ(1, *) EPS, EPSF
      ELSE
         READ(1, *) EPS, EPSF, EPSD, SF
      END IF
      DO I = 1, N
         READ(1,*) X(I)
      END DO
      CLOSE (1)
C C  Apertura del fichero de resultados C
      OPEN (2, FILE = FICOUT, STATUS = 'UNKNOWN')
C C  Llamada a la subrutina de calculo C
      CALL NEWTON (N,MAXIT,IOPCION,EPS,EPSF,X,ITER,TOL,TOLF,EPSD,SF)
C C  Escritura de resultados C

      WRITE(2,105)
      IF ((TOL.LE.EPS).AND.(TOLF.LE.EPSF)) THEN
         WRITE(2, 102) ITER, TOL
         WRITE(*, 102) ITER, TOL
         DO I = 1, N
            WRITE(2, 103) I, X(I), F(I,X)
            WRITE(*, 103) I, X(I), F(I,X)
         END DO
      ELSE
         WRITE(2, 104)
         WRITE(*, 104)
         WRITE(2, 102) ITER, TOL
         WRITE(*, 102) ITER, TOL
         DO I = 1, N
            WRITE(2, 103) I, X(I), F(I,X)
            WRITE(*, 103) I, X(I), F(I,X)
         END DO
      END IF
C C  Cierre del fichero de resultados, formatos de escritura y C
finalizacion del programa C
      CLOSE (2)
      STOP
  100 FORMAT(20X,'PROGRAMA SNLNEWT'//3X, 'ESTE PROGRAMA RESUELVE UN SIST
     &EMA DE ECUACIONES NO LINEALES'/3X,'MEDIANTE EL METODO DE NEWTON'//
     &3X,'PARA SU EJECUCION ES NECESARIO QUE PROGRAME LA FUNCION VECTORI
     &AL'/3X,'QUE DEFINE EL SISTEMA F(X) = 0 EN EL SUBPROGRAMA FUNCTION
     &F(I,X)'//3X,'ASIMISMO DEBE GRABAR UN FICHERO DE DATOS CON LA ESTRU
     &CTURA QUE'/3X,'SE DESCRIBE EN LA CABECERA DEL LISTADO DE ESTE PROG
     &RAMA'//)
  101 FORMAT(3X,'ESTE PROGRAMA HA SIDO ESCRITO POR:'/6X,'CARLOS CONDE LA
     &ZARO'/6X,'ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA
     &'/6X,'UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS'/6X,'MOSTOLES (MADRID)'//6X,'ema
     &il: cconde@escet.urjc.es'//10X,'PULSE LA TECLA DE RETURN PARA CONTI
     &NUAR'/)
  102 FORMAT(20X,'METODO DE NEWTON ----SOLUCIONES'/20X,'================
     &================='///5X,'NUMERO DE ITERACIONES REALIZADAS: ',I4,/
     &5X,'PARAMETRO DE TOLERANCIA DE ERROR: 'G20.10//15X,'VECTOR SOLUCIO
     &N'/15X,'---------------'//)
  103 FORMAT(7X,'X(',I3,') = ',G15.6,4X,'(RESIDUO = ',G15.6,')')
  104 FORMAT(5X,'ATENCION --> EN LAS ITERACIONES PERMITIDAS NO SE PUDO'/
     &18X,'HALLAR LA SOLUCION CON LA PRECISION DESEADA')
  105 FORMAT(20X,'PROGRAMA SNLNEWT'//3X, 'ESTE PROGRAMA RESUELVE UN SIST
     &EMA DE ECUACIONES NO LINEALES'/3X,'MEDIANTE EL METODO DE NEWTON'//
     &/3X,'Programadores: CARLOS CONDE LAZARO y EMANUELE SCHIAVI'/16X,
     &'ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA'/16X,
     &'UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS'/16X,'MOSTOLES (MADRID)'//16X,'email:
     & carlos.conde@upm.es'/16X,'email:emanuele.schiavi@urjc.es'///)
      END
C
C**********************************************************************
C                        MODULO ACTUALIZA
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C     RESTAR AL VECTOR X EL VECTOR B.
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C    * VARIABLES DE ENTRADA:
* C         B      --> VECTOR QUE SE SUMA AL VECTOR X.
* C         N      --> NUMERO DE COMPONENTES DE LOS VECTORES.
* C         X      --> VECTOR AL QUE SE SUMA B.
* C
* C    * VARIABLES DE SALIDA:
* C         X      --> VECTOR ACTUALIZADO.
* C
* C    * OTRAS VARIABLES UTILIZADAS:
* C         I      --> VARIABLE DE CONTROL EN BUCLES
* C
*
C**********************************************************************
C  SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C  ========================
* C     NINGUNO
*
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C     NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C
      SUBROUTINE ACTUALIZA (N, X, B)
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, N
      REAL*8 B(*),X(*)
C C  Actualizacion del vector X C
      DO I = 1, N
         X(I) = X(I) - B(I)
      END DO
C C  Finalizacion C
      RETURN
      END
C
C**********************************************************************
C                        MODULO EVALF
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C      EVALUACION DE LOS VALORES DE UNA FUNCION VECTORIAL.
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C    * VARIABLES DE ENTRADA:
* C          N   --> NUMERO DE COMPONENTES DE LA FUNCION VECTORIAL
QUE  * C                  SE EVALUA Y DEL VECTOR EN EL QUE SE
EVALUA.        * C          X   --> VECTOR EN EL QUE SE EVALUA LA
FUNCION.             * C    * VARIABLES DE SALIDA:
* C          B   --> VECTOR EN EL QUE SE ALMACENAN LOS VALORES
* C                  CALCULADOS.
* C    * OTRAS VARIABLES UTILIZADAS:
* C          I   --> VARIABLE UTILIZADA EN EL CONTROL DE BUCLES.
*
C**********************************************************************
C  SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C  ========================
* C     REAL*8 FUNCTION F(I,X) En este modulo se define la funcion
a    * C            evaluar de tal forma que para un valor
concreto de I,    * C            F(I,X) es la expresion analitica
de la I-esima componen- * C            te de la funcion.
*
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C    NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C
      SUBROUTINE EVALF (N, X, B)
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, N
      REAL*8 B(*), F, X(*)
C C  Evaluacion del vector de valores de la funcion vectorial C
      DO I = 1, N
         B(I) = F(I,X)
      END DO
C C  Finalizacion C
      RETURN
      END
C
C*********************************************************************
C                     MODULO GAUSS
*
C*********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C       RESOLUCION DE UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES POR EL
METODO  * C       DE GAUSS CON PIVOTE PARCIAL Y CON UN
REFINAMIENTO DE LA      * C       SOLUCION.
*
C*********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C  * VARIABLES DE ENTRADA:
* C        A     --> MATRIZ DEL SISTEMA.
* C        B     --> VECTOR DE SEGUNDOS MIEMBROS.
* C        N     --> NUMERO DE ECUACIONES DEL SISTEMA.
* C
* C  * VARIABLES DE SALIDA:
* C        B     --> VECTOR SOLUCION.
* C
* C  * OTRAS VARIABLES DE INTERES:
* C        AA    --> MATRIZ EN QUE SE GUARDA LA MATRIZ DEL SISTEMA
* C                  ANTES DE TRIANGULARIZARLA.
* C        FILA  --> VECTOR INDICANDO LAS PERMUTACIONES DE FILAS
REA-  * C                  LIZADAS EN EL PROCESO DE PIVOTAJE
PARCIAL.        * C        RES   --> VECTOR DE RESIDUOS TRAS LA
PRIMERA APROXIMACION   * C                  DE LA SOLUCION.
*
C**********************************************************************
C  FICHEROS UTILIZADOS:
* C  --------------------
* C      Ninguno.
*
C**********************************************************************
C SUBPROGRAMAS A LOS QUE SE LLAMA:
* C --------------------------------
* C      Ninguno.
*
C**********************************************************************
C  NOTAS:
* C  ------
* C    * Mediante el metodo de Gauss con pivotaje parcial se
calcula la * C      primera aproximacion {X'}de la solucion del
sistema:           * C                         [A].{X} = {B}.
* C      Para refinarla se estima el vector residuo
{RES}={B}-[A].{X'}  * C      y se resuelve, aprovechando la
triangularizacion ya hecha, el  * C      sistema [A].{EPS}={RES},
refinandose la solucion mediante:     * C                 {X} =
{X'}+{EPS}                                    * C
* C     * La descripcion del metodo de Gauss puede consultarse en
* C        C.CONDE & G. WINTER 'Metodos y Algoritmos Basicos del
Algebra* C        Numerica'. Ed. Reverte (1.990)
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C      Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnologia
* C      Universidad Rey Juan Carlos
* C      MOSTOLES (MADRID)
* C      Julio, 1.998
*
C**********************************************************************
C C   Definicion de variables C C
      SUBROUTINE GAUSS (N, A, B)
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, J, K, N, FILA[ALLOCATABLE](:)
      REAL*8 A(N,N), AUX, B(*), PIV
      REAL*8 AA[ALLOCATABLE](:,:), RES[ALLOCATABLE](:)
      ALLOCATE (AA(N,N),RES(N))
      ALLOCATE (FILA(N))
C C   Salvaguarda de la matriz y vector del sistema C
      DO I = 1, N
         RES(I) = B(I)
         DO J = 1, N
            AA(I,J) = A(I,J)
         END DO
      END DO
C C   Proceso de Gauss C
      DO K = 1, (N-1)
C C       Busqueda de la posicion del pivote parcial C
         PIV = DABS(A(K,K))
         FILA(K) = K
         DO I = K+1, N
            AUX = DABS(A(I,K))
            IF (PIV.LT.AUX) THEN
               FILA(K) = I
               PIV = AUX
            END IF
         END DO
C C        Intercambio de filas C
         IF (FILA(K).NE.K) THEN
            J = FILA(K)
            DO I = K, N
               PIV = A(K,I)
               A(K,I) = A(J,I)
               A(J,I) = PIV
            END DO
            PIV = B(K)
            B(K) = B(J)
            B(J) = PIV
         END IF
C C        Triangularizacion en la columna K C
         DO I = K+1, N
            PIV = A(I,K) / A(K,K)
            DO J = K+1, N
               A(I,J) = A(I,J) - PIV * A(K,J)
            END DO
            B(I) = B(I) - PIV * B(K)
         END DO
      END DO
C C        Proceso de remonte C
      B(N) = B(N) / A(N,N)
      DO I = N-1, 1, -1
         PIV = 0.D0
         DO J = I+1, N
            PIV = PIV + A(I,J) * B(J)
         END DO
         B(I) = (B(I) - PIV) / A(I,I)
      END DO
C C        Estimacion de residuos C
      DO I = 1, N
         PIV = 0.D0
         DO J = 1, N
            PIV = PIV + AA(I,J)*B(J)
         END DO
         RES(I) = RES(I) - PIV
      END DO
      DO K = 1, N-1
         J = FILA(K)
         IF (J.NE.K) THEN
            PIV = RES(J)
            RES(J) = RES(K)
            RES(K) = PIV
         END IF
      END DO
C C      Correccion de la solucion. C
      RES(N) = RES(N) / A(N,N)
      DO I = N-1, 1, -1
         PIV = 0.D0
         DO J = I+1, N
            PIV = PIV + A(I,J)*RES(J)
         END DO
         RES(I) = (RES(I) - PIV)/A(I,I)
         B(I) = B(I) + RES(I)
      END DO
C C    Finalizacion C
      DEALLOCATE (FILA)
      DEALLOCATE (AA, RES)
      RETURN
      END
C C
C**********************************************************************
C                MODULO JACOBIANA
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C        ESTIMACION DE LA MATRIZ JACOBIANA DE UNA FUNCION F(X).
SE    * C        EVALUARA DE FORMA EXACTA (SI IOPCION = 1) O
UTILIZANDO UNA   * C        APROXIMACION MEDIANTE FORMULAS
PROGRESIVAS CON CONTROL DEL   * C        PASO DE DERIVACION.
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C  * VARIABLES DE ENTRADA:
* C
* C     EPSD     --> TOLERANCIA EN LA APROXIMACION DE LAS
DERIVADAS QUE * C                  FORMAN LA MATRIZ JACOBIANA.
* C     IOPCION  --> INDICADOR DE LA FORMA DE CALCULAR LA MATRIZ
JACO-  * C                  BIANA DE F(Y). PUEDE TOMAR LOS VALORES
* C                       1 ... LA MATRIZ JACOBIANA SE EVALUA DE
FORMA  * C                             EXACTA A PARTIR DE LAS
EXPRESIONES ANA- * C                             LITICAS
PROGRAMADAS EN EL MODULO        * C
REAL*8 FUNCTION DF(I,J,X,Y)             * C
OTRO VALOR ... LA MATRIZ JACOBIANA SE EVALUA  * C
APROXIMANDO LAS DERIVADAS MEDIANTE UNA  * C
FORMULA PROGRESIVA CON CONTROL DE PASO  * C     N        -->
NUMERO DE COMPONENTES DE LA FUNCION Y DE VARIABLES * C
INDEPENDIENTES.                                    * C     SF
--> FACTOR DE SEGURIDAD USADO EN EL CONTROL DE LA      * C
LONGITUD DEL PASO DE DERIVACION.                   * C     VAL
--> VECTOR DE N COMPONENTES CONTENIENDO LOS VALORES DE * C
LAS DISTINTAS COMPONENTES DE LA FUNCION CON LA QUE * C
SE TRABAJA EVALUADAS EN EL PUNTO X.                * C     X
--> PUNTO EN EL QUE SE EVALUA LA MATRIZ JACOBIANA.     * C
* C  * VARIABLES DE SALIDA:
* C     JAC      --> MATRIZ JACOBIANA.
* C
* C
*
C**********************************************************************
C  FICHEROS UTILIZADOS:
* C  --------------------
* C      Ninguno.
*
C**********************************************************************
C SUBPROGRAMAS A LOS QUE SE LLAMA:
* C --------------------------------
* C      REAL*8 FUNCTION F(I,X). Este modulo recoge las
expresiones     * C            analiticas de las funciones que
componen la funcion vec- * C            torial F(X), de manera que
F(I,X) devuelva el valor de   * C            la I-esima componente
de la funcion F(X).                * C      REAL*8 FUNCTION
DF(I,J,X). Este modulo solo es llamado si el   * C
valor de IOPCION es 1. En el se recogeran las expresio-  * C
nes de las derivadas parciales primeras de la funcion    * C
F(X), de tal forma que F(I,J,X) devuelva el valor en X   * C
de la derivada respecto a la componente J-esima de la    * C
variable independiente de la I-esima componente de la    * C
funcion F(X)
C**********************************************************************
C  NOTAS:
* C  ------
* C     * El metodo de calculo aproximado para la derivada de la
compo- * C       nente I-esima respecto a la J-esima variable
consiste en divi-* C       dir [el valor de F en el vector X con
su J-esima componente   * C       incrementada en el valor H menos
el valor  de F en X] entre   * C       el valor que tenga H. Esta
manera de proceder se realiza con  * C       un valor H = PASO y
con otro valor H = PASO2, siendo PASO2    * C       menor que
PASO. Si entre las dos estimaciones asi obtenidas   * C       hay
un ERROR relativo menor o igual que la tolerancia EPSD    * C
se da por buena la estimacion realizada con PASO2. En caso    * C
contrario se reduce el valor de PASO y se repite el proceso.  * C
* C    * Se permite repetir el proceso de calculo anterior hasta
15 ve- * C      ces. En caso de no obtenerse una precision como la
deseada en  * C      estas iteraciones se detiene el programa y se
avisa de ello al * C      usuario. Segun la longitud final del
PASO usado el usuario pue-* C      de modificar el programa
aumentando el numero de iteraciones   * C      permitidas.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C      Escuela Superior de Ciencias Experimentales y Tecnologia
* C      Universidad Rey Juan Carlos
* C      MOSTOLES (MADRID)
* C
* C      Julio, 1.998
*
C**********************************************************************
C C   Definicion de variables C
      SUBROUTINE JACOBIANA(N, JAC, X, VAL, EPSD, SF, IOPCION)
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I,  IOPCION, ITER, J,  N
      REAL*8 AUX,  DF, EPSD, ERROR, ESTIMP, ESTIMP2, F, JAC(N,N)
      REAL*8 VAL(*)
      REAL*8 PASO, PASO2, REDUC, SF,  X(*)
C C   Estimacion de la matriz Jacobiana de forma exacta. C
      IF (IOPCION.EQ.1) THEN
         DO I = 1, N
            DO J = 1, N
               JAC(I,J) = DF(I,J,X)
            END DO
         END DO
      ELSE
C C   Estimacion de la matriz Jacobiana de forma aproximada. C
         DO J = 1, N
C C        Para la J-esima variable... C
            DO I = 1, N
C C           ... y para la I-esima componente de la funcion, se C
inicializa el valor del PASO y del PASO2 a usar .... C
               PASO = 1.D-3 * X(J)
               ERROR = 2.D0*EPSD
               IF (DABS(X(J)).LE.1.D0) THEN
                  PASO = 1.D-3
               END IF
               REDUC=5.D-1
               PASO2 = REDUC*PASO
C C           ... se estima la derivada con el valor de PASO ....
C
               X(J) = X(J) + PASO
               ESTIMP = (F(I,X) - VAL(I))/PASO
               X(J) = X(J) - PASO
               ITER = 0
               DO WHILE ((ITER.LT.15).AND.(ERROR.GT.EPSD))
                  ITER = ITER + 1
C C              ... y con el valor PASO2 C
                  X(J) = X(J) + PASO2
                  ESTIMP2 = (F(I,X) - VAL(I)) / PASO2
                  X(J) = X(J) - PASO2
C C              ... se halla el error relativo entre ellas .... C
                  ERROR = (ESTIMP2 - ESTIMP) * REDUC / (1.D0 - REDUC)
C C              ... se corrige la derivada ..... C
                  AUX = ESTIMP2 + ERROR
                  ERROR = DABS(ERROR )/(1.D-3+DABS(AUX))
C C              ... y si el error es mayor que la tolerancia
permitida C                  se disminuye el valor del PASO y del
PASO2 y se C                  repite el proceso .... C
                  IF (ERROR.GT.EPSD) THEN
                     ESTIMP = ESTIMP2
                     PASO = PASO2
                     PASO2 = PASO2*EPSD/(SF*DABS(ERROR))
                     REDUC = PASO2 / PASO
                  ELSE
C C              ... mientras que en caso contrario se da por
bueno C                  el valor esimado C
                     JAC(I,J) = AUX
                  END IF
               END DO
C C     Si en 15 iteraciones no se obtuvo una buena aproximacion C
de la derivada se detiene el program C
               IF ((ITER.EQ.15).AND.(ERROR.GT.EPSD)) THEN
                  WRITE(*,*) 'NO SE PUDO CALCULAR LA MATRIZ JACOBIANA'
                  STOP
               END IF
            END DO
         END DO
      END IF
C C   Finalizacion. C
      RETURN
      END

C
C**********************************************************************
C                   MODULO NEWTON
*
C**********************************************************************
C OBJETO:
* C -------
* C     RESOLUCION DE UN SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES
MEDIANTE EL  * C     METODO DE NEWTON UTILIZANDO LAS EXPRESIONES
ANALITICAS DE LAS   * C     DERIVADAS O UNA APROXIMACION DE ELLAS
EN LOS PUNTOS EN QUE SE   * C     NECESITEN Y USANDO LA NORMA-2 EN
EL CRITERIO DE DETENCION DEL   * C     PROCESO ITERATIVO.
* C     REFERENCIA: C. Conde y G. Winter. (1.990). "Métodos y
* C     Algoritmos Básicos del Algebra Numerica". Ed. Reverté.
*
C**********************************************************************
C DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C -------------------------
* C  * VARIABLES DE ENTRADA:
* C      EPS    --> PARAMETRO USADO PARA DETENER EL PROCESO
ITERATIVO   * C                 CUANDO ESTE CONVERGE.
* C      EPSD   --> PARAMETRO DE TOLERANCIA USADO EN LA
APROXIMACION DE * C                 LAS DERIVADAS PARCIALES QUE
FORMAN LA MATRIZ JACO-  * C                 BIANA. SOLO ES
UTILIZADO CUANDO IOPCION TOMA UN     * C                 VALOR
DIFERENTE A LA UNIDAD.                        * C      EPSF   -->
PARAMETRO USADO PARA DETENER EL PROCESO ITERATIVO   * C
CUANDO ESTE CONVERGE.                               * C
IOPCION--> INDICADOR QUE TOMA EL VALOR:                        * C
1: SI SE EVALUA LA MATRIZ JACOBIANA DE FORMA    * C
EXACTA                                       * C
OTRO VALOR: SI LA MATRIZ JACOBIANA SE EVALUA    * C
DE FORMA APROXIMADA.                         * C      MAXIT  -->
NUMERO MAXIMO DE ITERACIONES QUE SE PERMITE REALIZAR* C      N
--> NUMERO DE ECUACIONES NO LINEALES QUE FORMAN EL      * C
SISTEMA.                                            * C      SF
--> FACTOR DE SEGURIDAD UTILIZADO EN LA ESTIMACION DE LA* C
MATRIZ JACOBIANA. SOLO ES USADO SI OPCION TOMA UN   * C
VALOR DIFERENTE A LA UNIDAD.                        * C      X
--> VECTOR CON EL QUE SE INICIALIZA EL METODO.          * C
* C  * VARIABLES DE SALIDA:
* C    --------------------
* C      ITER   --> NUMERO DE ITERACIONES REALIZADAS.
* C      X      --> VECTOR SOLUCION DEL SISTEMA.
* C      TOL    --> NORMA-2 DEL VECTOR DIFERENCIA ENTRE LOS
VECTORES    * C                 HALLADOS EN LAS DOS ULTIMAS
ITERACIONES.            * C      TOL    --> NORMA-2 DEL VECTOR
RESIDUO                          * C
* C
* C  * OTRAS VARIABLES UTILIZADAS:
* C    ---------------------------
* C      B      --> VECTOR AUXILIAR DE N ELEMENTOS.
* C      JAC    --> MATRIZ AUXILIAR DE (N,N) ELEMENTOS QUE
CONTENDRA    * C                 LA MATRIZ JACOBIANA.
*
C**********************************************************************
C SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C ------------------------
* C     SUBROUTINE EVALF (N, X, B) Esta subrutina permite evaluar
el    * C          vector de N componentes B = F(X), siendo F la
funcion      * C          vectorial de N componente que define el
sistema no lineal  * C          F(X)=0.
* C     SUBROUTINE JACOBIANA (N, JAC, X, B, EPSD, SF, IOPCION)
* C          Esta subrutina permite evaluar la matriz Jacobiana de
una  * C          funcion vectorial F(X) en un punto X. Segun el
valor de    * C          IOPCION el calculo se realiza de forma
exacta (IOPCION = 1)* C          o aproximando las derivadas
parciales que intervienen      * c          (IOPCION = Cualquier
otro valor).                                         * C
SUBROUTINE GAUSS (N, JAC, B) Esta subrutina permite resolver un *
C          sistema de N ecuaciones lineales cuya matriz del
sistema   * C          sea la matriz JAC y el vector de segundos
miembros se B.   * C          La solucion del sistema se almacena
en el propio vector B. * C     SUBROUTINE NORMA (N, B, TOL) Esta
subrutina evalua la norma-2   * C          de un vector B de N
componentes. El valor de la norma-2 se * C          almacena en la
variable TOL.                               * C     SUBROUTINE
ACTUALIZA (N, X, B) Esta subrutina actualiza el valor* c
de las N componentes del vector X, restandole el vector B. *
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C    NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C
      SUBROUTINE NEWTON(N,MAXIT,IOPCION,EPS,EPSF,X,ITER,TOL,TOLF,EPSD,
     &SF)
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, IOPCION, ITER, MAXIT, N
      REAL*8 A, B[ALLOCATABLE](:), EPS, EPSD, EPSF
      REAL*8 JAC[ALLOCATABLE](:,:)
      REAL*8 SF, TOL, TOLF, X(*)
C C (La instruccion siguiente es especifica para el ejemplo
resuelto y C debe eliminarse para la realizacion de un programa
general) C
\end{verbatim}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{real*8 Y(6), D, sum}
\begin{verbatim}
C
      ALLOCATE (JAC(N,N), B(N))
C C  Inicializacion del contador de iteraciones y del valor de TOL
C
      ITER = 0
      TOL = 2.D0*EPS
      TOLF = 2.D0*EPSF
      A = 5.D-1
C C  Mientras no se supere el limite maximo de iteraciones
permitidas C  y no se obtengan soluciones suficientemente precisas
.... C
      DO WHILE ((ITER.LT.MAXIT).AND.((TOL.GT.EPS).AND.(TOLF.GT.EPSF))
C C     ..... se evalua el vector B = F(X) ...... C
         CALL EVALF (N, X, B)
         CALL NORMA (N, B, TOLF)
C C     ..... se calcula la matriz Jacobiana en X .... C
         CALL JACOBIANA (N, JAC, X, B, EPSD, SF, IOPCION)
C C     ..... se calcula el incremento de cada componente del C
vector solucion X resolviendo el sistema lineal C           de
matriz del sistema JAC y de vector de segundo C           termino
B. El vector incremento se almacena en el C           propio
vector B ..... C
         CALL GAUSS (N, JAC, B)
C C     ..... se evalua la norma-2 del vector de incrementos B
..... C
         CALL NORMA (N, B, TOL)
C C     ..... se actualiza el vector solucion X restandole el
vector C           de incrementos B C           ..... C
         CALL ACTUALIZA (N, X, B)
C C     ..... y se actualiza el valor del contador de iteraciones
ITER .. C
         ITER = ITER + 1
         write(*,*) 'Iteracion n.: ',ITER , '   Tolerancia: ', TOL
         write(2,*) 'Iteracion n.: ',ITER , '   Tolerancia: ', TOL
C C (Las 7 instrucciones siguientes son especificas para el
ejemplo C resuelto y deben eliminarse para la realizacion de un
programa C general) C
\end{verbatim}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ D = 4.D0 - 2.D0*X(1) + X(3) -
4.D0*X(4) }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(1) = (3.D0 - 3.D0*X(1) + X(2) -
5.D0*X(4))/D }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(2) = (1.D0 - X(1) - X(2) +
2.D0*X(3) - 2.D0*X(4))/D }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(3) = X(1)/D }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(4) = (X(1) - X(2) + 2.D0*X(4))/D }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(5) = (X(2) - X(3))/D }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ Y(6) = X(4)/D }
\begin{verbatim}
C
         DO I = 1, N
            WRITE(*,*) 'X(',I,') = ',X(I)
            WRITE(2,*) 'X(',I,') = ',X(I)
         END DO
C C (Las 6 instrucciones siguientes son especificas para el
ejemplo C resuelto y deben eliminarse para la realizacion de un
programa C general) C
\end{verbatim}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ WRITE(2,*) 'Fracciones molares: ' }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ sum = 0.d0 }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ do I = 1, 6 }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ write(2,*) 'Y(',I,') = ',Y(I) }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ sum = sum + Y(I) }

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ end do }
\begin{verbatim}
C
         write(2,*)
C C (La instruccion siguiente es especifica para el ejemplo
resuelto y C debe eliminarse para la realizacion de un programa
general) C
\end{verbatim}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textit{\ write(2,*) 'D = ', D,' SUMA = ',sum
}
\begin{verbatim}
C
         write(2,*)
         write(2,*)
C C     ..... para, si procede, poder realizar la siguiente
iteracion. C
      END DO
C C  Finalizacion C
      RETURN
      END
C
C**********************************************************************
C                        MODULO NORMA
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C     EVALUACION DE LA NORMA-2 DE UN VECTOR
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C    * VARIABLES DE ENTRADA:
* C         N      --> NUMERO DE COMPONENTES DEL VECTOR.
* C         V      --> VECTOR DEL QUE SE EVALUA LA NORMA.
* C
* C    * VARIABLES DE SALIDA:
* C         NORMA2 --> VALOR DE LA NORMA-2 DE V.
* C
* C    * OTRAS VARIABLES UTILIZADAS:
* C         I      --> VARIABLE DE CONTROL EN BUCLES
* C
*
C**********************************************************************
C  SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C  ========================
* C     NINGUNO
*
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C     NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C
      SUBROUTINE NORMA (N, V, NORMA2)
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I, N
      REAL*8 NORMA2, V(*)
C C  Puesta a cero del valor de NORMA2 C
      NORMA2 = 0.D0
C C  Evaluacion de la suma de los cuadrados de las componentes del
vector C
      DO I = 1, N
         NORMA2 = NORMA2 + V(I)*V(I)
      END DO
C C  Estimacion de la norma C
      NORMA2 = DSQRT(NORMA2)
C C  Finalizacion C
      RETURN
      END
C
C**********************************************************************
C                        MODULO FUNCTION F(I,X)
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C      CALCULO DEL VALOR DE LA I-ESIMA COMPONENTE DE UNA FUNCION
* C      VECTORIAL EN EL VECTOR X.
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C    * VARIABLES DE ENTRADA:
* C         I      --> INDICADOR DE LA COMPONENTE QUE SE DEFINE.
* C         X      --> VECTOR DE VARIABLES INDEPENDIENTES.
* C
* C    * VARIABLES DE SALIDA:
* C         F      --> VALOR CALCULADO.
* C
*
C**********************************************************************
C  SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C  ========================
* C     NINGUNO
*
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C     NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C C NOTA: C ==== C  En este modulo deben programarse las
expresiones de las funciones C  que definen el sisyema no lineal
de ecuaciones. Para cada sistema C  a resolver, el usuario debe
programar aqui sus expresiones tal C  cual se hace a continuacion
con las resultantes del ejemplo tomado C  de O. T. Hanna & O. C.
Shandall ''Computational Methods in Chemical C  Engineering'' Ed.
Prentice Hall (1.995) pags.170-172. C C  Definicion de variables
utilizadas C
      REAL*8 FUNCTION F(I,  X)
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I
      REAL*8 D, X(*), Y(6)
C C  Programacion de las expresiones de las distintas componentes
C  de la funcion vectorial C
      D = 4.D0 - 2.D0*X(1) + X(3) - 4.D0*X(4)
      IF (I.EQ.1) THEN
         Y(1) = (3.D0 - 3.D0*X(1) + X(2) - 5.D0*X(4))
         Y(2) = (1.D0 - X(1) - X(2) + 2.D0*X(3) - 2.D0*X(4))
         Y(3) = X(1)
         Y(4) = (X(1) - X(2) + 2.D0*X(4))
        F = Y(3)*Y(4)*D*D  - 6918.D-2 *(Y(1)**3)*Y(2)
      ELSE IF (I.EQ.2) THEN
         Y(1) = (3.D0 - 3.D0*X(1) + X(2) - 5.D0*X(4))
         Y(2) = (1.D0 - X(1) - X(2) + 2.D0*X(3) - 2.D0*X(4))
         Y(4) = (X(1) - X(2) + 2.D0*X(4))
         Y(5) = (X(2) - X(3))
         F = Y(5)*Y(1)   - 468.D-2*Y(2)*Y(4)
      ELSE IF (I.EQ.3) THEN
         Y(2) = (1.D0 - X(1) - X(2) + 2.D0*X(3) - 2.D0*X(4))
         Y(5) = (X(2) - X(3))
         F = Y(2)*Y(2)  - 0.0056d0 * Y(5)*D
      ELSE IF (I.EQ.4) THEN
         Y(1) = (3.D0 - 3.D0*X(1) + X(2) - 5.D0*X(4))
         Y(2) = (1.D0 - X(1) - X(2) + 2.D0*X(3) - 2.D0*X(4))
         Y(4) = (X(1) - X(2) + 2.D0*X(4))
         Y(6) = X(4)
         F = Y(6)*Y(4)*Y(4)*(D**4) - 0.141d0*(Y(1)**5)*Y(2)*Y(2)
      ELSE
         WRITE(*,*) 'ERROR EN LA DEFINICION DE LA FUNCION'
      END IF
C C   Finalizacion C
      RETURN
      END
C
C**********************************************************************
C                        MODULO FUNCTION DF(I,J,X)
*
C**********************************************************************
C  OBJETO:
* C  -------
* C      CALCULO DEL VALOR DE LA DERIVADA DE LA COMPONENTE I-ESIMA
DE   * C      UNA FUNCION VECTORIAL RESPECTO A LA J-ESIMA VARIABLE
EN EL     * C      VECTOR X.
*
C**********************************************************************
C  DICCIONARIO DE VARIABLES:
* C  -------------------------
* C    * VARIABLES DE ENTRADA:
* C         I      --> INDICADOR DE LA COMPONENTE QUE SE DERIVA.
* C         J      --> INDICADOR DE LA VARIABLE RESPECTO A LA QUE
SE    * C                    DERIVA
* C         X      --> VECTOR DE VARIABLES INDEPENDIENTES.
* C
* C    * VARIABLES DE SALIDA:
* C         DF     --> VALOR CALCULADO.
* C
*
C**********************************************************************
C  SUBPROGRAMAS UTILIZADOS:
* C  ========================
* C     NINGUNO
*
C**********************************************************************
C FICHEROS UTILIZADOS:
* C --------------------
* C     NINGUNO.
*
C**********************************************************************
C  PROGRAMADORES Y FECHA DE PROGRAMACION:
* C  --------------------------------------
* C     CARLOS CONDE LAZARO Y EMANUELE SCHIAVI
* C     ESCUELA SUPERIOR DE CIENCIAS EXPERIMENTALES Y TECNOLOGIA.
* C     UNIVERSIDAD REY JUAN CARLOS.
* C     JULIO DE 1.998
*
C**********************************************************************
C
      REAL*8 FUNCTION DF(I,J,X)
C C  Definicion de variables C
      IMPLICIT NONE
      INTEGER*4 I,J
      REAL*8 X(*)
C C  Programacion de las expresiones de las distintas derivadas C
de las componentes de la funcion vectorial C C  NOTA: C  ===== C
En el caso del ejemplo al que se va a aplicar, la matriz C
jacobiana se aproximara por diferencias finitas, por lo que C  no
se utilizara este modulo (aunque es necesaria su exis- C  tencia a
efectos de compilacion no es llamado). Por ello las C  expresiones
de las derivadas que aparecen no se ajustan a las C  las
expresiones de las derivadas de las funciones del sistema C
      IF (I.EQ.1) THEN
         IF (J.EQ.1) THEN
             DF = 1.75D0* 2.35d0*dexp(-3.d0)*((X(1)+X(2))**0.75D0)
         ELSE IF (J.EQ.2) THEN
             DF = 1.75D0* 2.35d0*dexp(-3.d0)*((X(1)+X(2))**0.75D0)
         ELSE
            DF = 1.D0
         END IF
      ELSE IF (I.EQ.2) THEN
         IF (J.EQ.1) THEN
            DF = 1.75D0*4.67d0*dexp(-3.d0)*(X(1)**0.75D0)
         ELSE IF (J.EQ.2) THEN
            DF = 0.D0
         ELSE
            DF = -1.D0
         END IF
      ELSE
         IF (J.EQ.1) THEN
           DF = 0.D0
         ELSE IF (J.EQ.2) THEN
           DF = 3.72D0*DEXP(-2)*1.75D0*(X(2)**0.75)
         ELSE
            DF = -1.D0
         END IF
      END IF
C C   Finalizacion C
      RETURN
      END
C


\end{verbatim}

\newpage

El programa anterior se ha ejecutado a partir de los valores
iniciales
su\-mi\-nis\-tra\-dos por Hanna \& Sandall ($x_{1}=0.1,$ $x_{2}=0.2,$ $x_{3}=0.3$ y $%
x_{4}=0.4)$ con los siguientes valores para la tolerancia en los
tests de control: EPS = 10$^{-6}$, EPSF = 10$^{-6},$ EPSD =
10$^{-3}.$ Junto a ellos se dieron adem\'{a}s los valores
siguientes MAXIT = 1000 (se permit\'{i}an hasta 1000 iteraciones
en el proceso), IOPCION = 2 (es decir que se aproxime la matriz
jacobiana mediante diferencias finitas) y SF\ = 2 (par\'{a}metro
usado en el test de convergencia de los valores aproximados de las
derivadas parciales). Con estos datos el programa, en \textbf{9
iteraciones}, nos conduce a las soluciones:

$$
x_{1}^{*}=0.681604,\quad x_{2}^{*}=0.0158962,\quad
x_{3}^{*}=-0.128703,\quad x_{4}^{*}=0.140960\cdot 10^{-4}
$$
que se corresponden con las fracciones molares:
\[
y_{1}=3.871616\cdot 10^{-1}
\]
\[
y_{2}=1.796845\cdot 10^{-2}
\]
\[
y_{3}=2.717684\cdot 10^{-1}
\]
\[
y_{4}=2.654415\cdot 10^{-1}
\]
\[
y_{5}=5.765447\cdot 10^{-2}
\]
\[
y_{6}=5.620353\cdot 10^{-6}
\]

Esta es la soluci\'{o}n que proporcionan Hanna y Sandall en [9].
Para los valores de las coordenadas de reacci\'{o}n calculados los
residuos en las funciones que definen el sistema fueron:
\[
f_{1}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=-0.215626\cdot
10^{-14}
\]
\[
f_{2}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=-0.979848\cdot
10^{-16}
\]
\[
f_{3}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=0.245258\cdot
10^{-17}
\]
\[
f_{4}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=-0.276799\cdot
10^{-15}
\]
por lo que el test de parada basado en los valores que toma la
funci\'{o}n es superado am\-plia\-men\-te. Asimismo el valor de la
norma-2 de la diferencia entre las dos \'{u}ltimas soluciones
halladas fue de $4.778881\cdot 10^{-12}$ por lo que tambi\'{e}n se
satisfizo ampliamente el otro test de parada.

\beobse
\begin{enumerate}
\item
El sistema dado admite otras soluciones que
ma\-te\-m\'{a}\-ti\-ca\-men\-te, son tan v\'{a}lidas como la
anterior. Ser\'{a}n otros criterios (de tipo qu\'{i}mico en este
caso) los que puedan ayudar a elegir entre la mejor de ellas.
As\'{i} si el programa se inicializa con los mismos par\'{a}metros
pero con los valores iniciales $x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=1$ se
obtienen (al cabo de 158 iteraciones) las soluciones:

$$
x_{1}^{*}=0.103513,\quad x_{2}^{*}=2.000043,\quad
x_{3}^{*}=2.000043,\quad x_{4}^{*}=1.448265
$$
que se corresponden con las fracciones molares (sin sentido
qu\'{i}mico):
\[
y_{1}=59220.669601
\]
\[
y_{2}=2.447693\cdot 10^{-11}
\]
\[
y_{3}=-2402.257205
\]
\[
y_{4}=-23207.216399
\]
\[
y_{5}=-5.153037\cdot 10^{-11}
\]
\[
y_{6}=-33610.195997
\]
pero que tambi\'{e}n satisfacen el sistema de ecuaciones dado pues
los residuos resultan ser:
\[
f_{1}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=0.190986\cdot
10^{-9}
\]
\[
f_{2}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=-0.730130\cdot
10^{-15}
\]
\[
f_{3}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=0.535803\cdot
10^{-21}
\]
\[
f_{4}(x_{1}^{*},x_{2}^{*},x_{3}^{*},x_{4}^{*})=0.499293\cdot
10^{-17}
\]
\item El m\'{e}todo de Broyden, con los mismos datos
que el m\'{e}todo de Newton, y aproximando en la primera
iteraci\'{o}n las derivadas que intervienen en la matriz jacobiana
mediante diferencias finitas, tambi\'{e}n nos conduce a la misma
soluci\'{o}n que el m\'{e}todo de Newton-Raphson pero en este caso
son necesarias ... $263$ iteraciones. Como adem\'{a}s el
n\'{u}mero de ecuaciones no es muy elevado (s\'{o}lo $4$) no es
aconsejable en este caso este m\'{e}todo frente al de Newton.
\end{enumerate}
\enobse

\newpage

\section{Bibliograf\'{\i}a}

\begin{itemize}
\item Axelsson, O., (1.996). Iterative solution methods. Ed. Cambridge
University Press.
\item Broyden, C.G., (1.965). \textit{A class of methods for solving nonlinear
simultaneous equations}. Mathematics of Computation, 19, p\'{a}gs.
577-593.
\item Burden, R.L. y Faires, J.D., (1.998). An\'{a}lisis num\'{e}rico. (6${{}^a%
}$ ed.). Ed. International Thomson editores.
\item Ciarlet, P.G. y Lions, J.L. (eds)., (1.990). Handbook of Numerical
Analysis. Volume 1: Finite difference methods (part 1); Solution
of equations in $\mathsf{IR}^{n}$ (part 1). Ed. North Holland
Publishing Company.
\item Conde, C. y Winter, G., (1.990) M\'{e}todos y algoritmos b\'{a}sicos del
\'{a}lgebra num\'{e}rica. Ed. Revert\'{e}.
\item Durand, E., (1.972). Solutions num\'{e}riques des \'{e}quations
alg\'{e}briques. Tomes I y II. Ed. Masson et Cie.
\item de la Fuente O'Connor, J.L., (1.998). T\'{e}cnicas de c\'{a}lculo para
sistemas de ecuaciones, programaci\'{o}n lineal y programaci\'{o}n entera. (2%
${{}^a}$ ed.). Ed. Revert\'{e}.
\item Fletcher, R., (1.987). Practical methods of Optimization. Ed. John Wiley
and Sons.
\item Hanna, O.T. y Sandall, O.C., (1.995). Computational methods in chemical
engineering. Ed. Prentice Hall International editions.
\item Kincaid, D. y Cheney, W., (1.994). An\'{a}lisis num\'{e}rico.\ Las
matem\'{a}ticas del c\'{a}lculo cient\'{i}fico. Ed. Addison-Wesley
Iberoamericana.
\item Ortega, J.M. y Rheinboldt, W.C., (1.970). Iterative solution of nonlinear
equations in several variables. Ed. Academic Press, Inc.
\item Press, W.H., Flannery, B.P., Teukolsky, S.A. y Vetterling, W.T., (1.986).
Numerical recipes in FORTRAN. The art of scientific computing. Ed.
Cambridge University Press.
\item Schiavi, E., Mu\~noz Montalvo, A.I., Conde, C. (2012).
M\'etodos Matemáticos para los Grados en Ingenier\'{\i}a. Primera
parte: teor\'{\i}a. Ed. Dykinson, Textos Docentes 31, Universidad
Rey Juan Carlos, ISBN: 978-84-15454-58-8.
\item Shampine, L.F., Allen, R.C. y Pruess, S., (1.997). Fundamentals of
numerical computing. Ed. John Wiley and Sons.
\item Stoer, J. y Bulirsch, R., (1.980). Introduction to numerical analysis.
Ed. Springer Verlag.
\end{itemize}

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%TCIDATA{ChildDefaults=chapter:1,page:1}


\chapter{ M\'{e}todos Num\'{e}ricos para la resoluci\'{o}n de Problemas de
Valor Inicial.}

\section{Planteamiento y generalidades.}

Sea $I$ un intervalo abierto de la recta real, no reducido a un
\'{u}nico punto, y sea $t_{0}$ un punto fijado de \'{e}l.
Supongamos adem\'{a}s que $f$ es una funci\'{o}n definida y
continua en $I\times \R$ y con valores en $\R$, y sea $y_{0}$ un
valor dado de $\R$. En estas condiciones nos planteamos el
siguiente problema: \es

\hspace{0.3cm}\textit{Hallar una funci\'{o}n continua y
diferenciable }$y(t)$\textit{\ definida en }$I$\textit{\ y con
valores en }$\R$\textit{\ verificando:}

\begin{equation}
(P.C.)\quad\left\{
\begin{array}{lcl}
y^{\prime }(t) & = & f(t,y(t)),\qquad \forall t\in I, \\
\noalign{\smallskip}y(t_{0}) & = & y_{0}\in \R .
\end{array}
\right.  \label{cauchy}
\end{equation}

Este tipo de problemas se conoce con el nombre de \textbf{problema
de Cauchy} para la ecuaci\'{o}n diferencial (\ref{cauchy}). La
condici\'{o}n asociada se denomina \textbf{condici\'{o}n de
Cauchy}. Toda funci\'{o}n $y(t)$ verificando la EDO del problema
de Cauchy se denomina \textbf{integral de la EDO} o soluci\'{o}n
particular de la EDO. En general las soluciones de la EDO
estar\'{a}n dadas por la expresi\'{o}n formal:
\[
y(t)=C+\displaystyle\int f(t,y(t)) dt
\]
donde $C$ es una constante arbitrariamente elegida. A esta familia
de soluciones se la denomina \textbf{soluci\'{o}n general}
\textbf{de la EDO}. En algunos casos puede haber adem\'{a}s otras
soluciones que no pertenezcan a la familia de la soluci\'{o}n
general. Dichas soluciones se denominar\'{a}n \textbf{soluciones
singulares de la EDO}.

A aquella soluci\'{o}n particular que, adem\'{a}s de satisfacer la
EDO del problema de Cauchy, verifique la condici\'{o}n de Cauchy
se la denomina \textbf{soluci\'{o}n del problema de Cauchy.}

\beobse 1${{}^{a}}$) Por no ser objeto de este tema el estudio
te\'{o}rico de los problemas de Cauchy no se han considerado
diferentes tipos de soluciones vinculadas al estudio de las
ecuaciones diferenciales: soluci\'{o}n local, maximal, global,...

2${{}^{a}}$) Por el mismo motivo no entraremos a estudiar los
diferentes teoremas que aseguran, bajo ciertas hip\'{o}tesis, la
existencia, unicidad o regularidad de las soluciones de los
problemas de Cauchy. No obstante recordamos a continuaci\'on uno
de los teoremas de existencia y unicidad m\'{a}s cl\'{a}sicos, el
Teorema de Cauchy-Lipschitz. \enobse


\beteor[de Cauchy-Lipschitz] Suponiendo que la funci\'{o}n
$f(t,y)$ es una funci\'{o}n continua sobre $I\times \R$  y que es
lipschitciana respecto a la segunda de sus va\-ria\-bles, es
decir:
\[
\exists k>0 \quad /\;\;\;|\;f(t,y)-f(t,z)\;|\leq k
||y-z||\;\;\;\forall t\in I,\;\;\forall y,z\in \R
\]
entonces el problema de Cauchy (P.C.) definido en (\ref{cauchy})
admite una \'{u}nica soluci\'{o}n. \enteor

\beobse En la bibliograf\'{\i}a sobre ecuaciones diferenciales
ordinarias (Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot A.L.
(1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.},
Guzm\'{a}n\footnote{Guzm\'{a}n, M. de (1987). ``Ecuaciones
diferenciales ordinarias. Teor\'{\i}a de estabilidad y control''
(3${{}^{a}}$ reimpresi\'{o}n). Ed. Alhambra Universidad.},
Marcell\'{a}n et al.\footnote{Marcell\'{a}n, F., Casas\'{u}s, L. y
Zarzo, A. (1991). ``Ecuaciones diferenciales. Problemas lineales y
aplicaciones''. Ed. McGraw Hill.}, Mart\'{\i}nez y
Sanz\footnote{Mart\'{\i}nez, C. y Sanz, M.A. (1991).
``Introducci\'{o}n a las ecuaciones diferenciales ordinarias''.
Ed. Revert\'{e}.},....) puede encontrarse el estudio general de
este tipo de problemas con detalle. \enobse

\beobse La condici\'{o}n de que $f(t,y(t))$ sea lipschitciana toma
su nombre del matem\'{a}tico alem\'{a}n Rudolph Lipschitz que fue
el primero en utilizar dicha condici\'{o}n en una publicaci\'{o}n
del a\~{n}o 1876. Es una condici\'{o}n relativamente ``suave''
sobre la funci\'{o}n. A fin de cuentas, si la derivada parcial de
$f(x,y)$ respecto a su segunda variable fuese una funci\'{o}n
continua, la condici\'{o}n de Lipschitz se traducir\'{\i}a en que
dicha derivada permaneciera acotada. \enobse

En numerosos problemas f\'{\i}sicos la variable $t$ representa el
tiempo. Adem\'{a}s el intervalo $I$ se suele considerar de la
forma $[t_{0},t_{0}+T]$ y por ello al instante $t_{0}$ se le llama
entonces \textbf{instante inicial}
y a la condici\'{o}n impuesta en este instante se la denomina \textbf{%
condici\'{o}n inicial}. En esta situaci\'{o}n a los problemas de
Cauchy correspondientes se les denomina habitualmente
\textbf{problemas de valor inicial} (P.V.I.), extendi\'{e}ndose
esta terminolog\'{\i}a tambi\'{e}n a los problemas en los que $t$
no se identifique con la variable f\'{\i}sica ``tiempo''. \es

Los problemas de Cauchy que no sean problemas de valor inicial por no ser $%
t_{0}$ el extremo izquierdo del intervalo $I$ pueden reducirse a
problemas
de valor inicial mediante sencillos cambios de variable. En efecto si $%
I=[a,b]$ y $t_{0}$ es un punto intermedio de $I$ el problema de
Cauchy correspondiente puede descomponerse en dos problemas de la
forma:
\[
(P.C.1)\quad \left\{
\begin{array}{lcl}
y^{\prime }(t) & = & f(t,y(t)),\quad \forall t\in [a,t_{0}], \\
\noalign{\smallskip}y(t_{0}) & = & y_{0}\in \R ,
\end{array}
\right.
\]
\[
(P.C.2)\quad \left\{
\begin{array}{lcl}
y^{\prime }(t) & = & f(t,y(t)),\quad \forall t\in [t_{0},b], \\
\noalign{\smallskip}y(t_{0}) & = & y_{0}\in \R .
\end{array}
\right.
\]

El problema $(P.C.2)$ es un problema de valor inicial. Y el problema $%
(P.C.1) $ puede transformarse en un problema de valor inicial si
se realiza el cambio de variable independiente: $t^{\prime }=-t.$

Por este motivo los m\'{e}todos num\'{e}ricos que se
estudiar\'{a}n en este tema se plantear\'{a}n sobre problemas de
valor inicial. Para ellos, adem\'{a}s, teniendo en cuenta la
expresi\'{o}n de la soluci\'{o}n general de la EDO, se tendr\'{a}
que la expresi\'{o}n formal de la soluci\'{o}n del problema de
Cauchy est\'{a} dada por:
\[
y(t)=y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t}f(x,y(x))dx .
\]

Los P.V.I. pueden formularse de una forma m\'{a}s general para \textbf{%
sistemas} de ecuaciones diferenciales de primer orden. M\'{a}s
concretamente, siendo $I$ un intervalo de $\R$ de la forma $%
[t_{0},t_{0}+T]$ y siendo $\mathbf{f}$ una funci\'{o}n continua definida en $%
I\times \R^{m}$ y con valores en $\R^{m}$ puede considerarse el
problema siguiente:

\textit{Hallar una funci\'{o}n continua y diferenciable }$\mathbf{y}(t)$%
\textit{\ definida en }$I$\textit{\ y con valores en }$\R^{m}$%
\textit{\ verificando:}

\[
(P.V.I.)\quad \left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbf{y}^{\prime }(t) & = & \mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)),\quad
\forall t\in I,
\\
\noalign{\smallskip}\mathbf{y}(t_{0}) & = & \mathbf{y}^{0}\in
\R^{m}.
\end{array}
\right.
\]

La soluci\'{o}n de este tipo de problemas, formalmente, estar\'{a}
dada por el vector soluci\'on:
\[
\mathbf{y}(t)=\mathbf{y}^{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t}\mathbf{f}(x,\mathbf{y}%
(x))dx
\]

Por simplicidad nosotros desarrollaremos los m\'{e}todos
num\'{e}ricos que configuren este tema en el caso de problemas de
valor inicial en los que interviene una \'{u}nica EDO. La
extensi\'{o}n de los m\'{e}todos num\'{e}ricos a problemas en los
que intervenga un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias
es autom\'{a}tica y, en cuanto a su an\'{a}lisis, ser\'{a}n
v\'{a}lidos los teoremas y propiedades que se presenten con la
precauci\'{o}n de emplear la m\'{e}trica (normas) correspondiente en $%
\R^{m}.$

Cabe se\~{n}alar adem\'{a}s que numerosos problemas de valor
inicial se formulan mediante ecuaciones diferenciales ordinarias
de orden superior a 1 de la forma:
\[
\dis \left\{
\begin{array}{lll}
y^{(p}(t) & = & f(t,y(t),y^{\prime }(t),y^{\prime \prime
}(t),...,y^{(p-1}(t)),\qquad t\in [t_{0},t_{0}+T] \\ [0.2cm]
y(t_{0}) & = & y_{0} \\ [0.2cm] y^{\prime }(t_{0}) & = &
y_{0}^{(1)} \\ [0.2cm] y^{\prime \prime }(t_{0}) & = & y_{0}^{(2)}
\\ [0.2cm] .... & ... & .... \\ [0.2cm] y^{(p-1}(t_{0}) & = &
y_{0}^{(p-1)}
\end{array}
\right.
\]

Tales tipos de P.V.I de orden superior a 1 pueden ser reducidos a
sistemas de $p$ ecuaciones diferenciales de primer orden
denominando:
\[
z_{1}(t)=y(t),\;\;z_{2}(t)=y^{\prime }(t),\;\;z_{3}(t)=y^{\prime
\prime }(t),\;....,\;\;z_{p}(t)=y^{(p-1}(t)
\]
con lo que el problema anterior se reescribe como:
\[
(P.V.I.)\quad \left\{
\begin{array}{lcl}
\mathbf{z}^{\prime }(t) & = & \mathbf{f}(t,\mathbf{z}(t)),\quad
\forall t\in I,
\\
\noalign{\smallskip}\mathbf{z}(t_{0}) & = & \mathbf{z}^{0}\in
\R^{m}
\end{array}
\right.
\]
siendo,
\[
\mathbf{z}(t)=\left( z_{1}(t),\;z_{2}(t),\;....,\;z_{p}(t)\right)
^{T}
\]

\[
\mathbf{z}^{(0)}=\left(
z_{1}(t_{0}),\;z_{2}(t_{0}),\;....,\;z_{p}(t_{0})\right)^{T}=\left(
y(t_{0}),\;y^{\prime }(t_{0}),\;....,\;y^{(p-1}(t_{0})\right)^{T}
\]
y
\[
\mathbf{f}(t,\mathbf{z}(t))=\left(
\begin{array}{c}
z_{2}(t) \\[0.2cm]
z_{3}(t) \\[0.2cm]
.... \\[0.2cm]
z_{p}(t) \\[0.2cm]
f(t,z_{1}(t),z_{2}(t),....,z_{p}(t))
\end{array}
\right)
\]

Por este motivo los m\'{e}todos num\'{e}ricos se plantean
habitualmente sobre problemas de valor inicial regidos por
ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

\bejem En el estudio de algunas capas l\'{\i}mite de flujos
laminares aparece la denominada ecuaci\'{o}n de Blasius que es una
EDO de tercer orden de la forma:
\[
y^{\prime \prime \prime }(x)+y(x) y^{\prime \prime }(x)=0,\qquad
x\geq 0.
\]

N\'{o}tese que aqu\'{\i} hemos modificado la notaci\'{o}n de la
variable independiente llam\'{a}ndola $x$ pues en esta ocasi\'{o}n
la variable independiente no es el tiempo sino que es una
va\-ria\-ble adimensional relacionada con la coordenada espacial.
La ecuaci\'{o}n de Blasius se
acompa\~{n}a de las tres condiciones iniciales $y(0)=y^{\prime }(0)=0,$ $%
y^{\prime \prime }(0)=\alpha $ donde $\alpha $ es un valor
conocido $(\alpha =0.47).$ Con ello se puede plantear el problema
de valor inicial de Blasius de la forma siguiente: \es

\hspace{0.3cm} Hallar una funci\'{o}n $y(x)$ verificando:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
y^{\prime \prime \prime }(x)+y(x) y^{\prime \prime }(x)=0,\qquad
x\geq 0 \\ [0.3cm] y(0)=0,\;\;y^{\prime }(0)=0,\;\;y^{\prime
\prime }(0)=\alpha
\end{array}
\right.
\]
\enejem

Este problema es equivalente al P.V.I. de primer orden:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
z_{1}^{\prime }(x)=z_{2}(x),\qquad x\geq 0 \\ [0.3cm]
z_{2}^{\prime }(x)=z_{3}(x),\qquad x\geq 0 \\  [0.3cm]
z_{3}^{\prime }(x)=-z_{1}(x).z_{3}(x),\qquad x\geq 0 \\ [0.3cm]
z_{1}(0)=0,\quad z_{2}(0)=0,\quad z_{3}(0)=\alpha
\end{array}
\right.
\]
donde se ha denotado por $z_{1}(x)=y(x),$ $z_{2}(x)=y^{\prime }(x),$ $%
z_{3}(x)=y^{\prime \prime }(x).$

Abreviadamente el problema anterior puede escribirse entonces
como:
\[
\left\{
\begin{array}{l}
\mathbf{z}(x)=\mathbf{f}(x,\mathbf{z}(x)),\qquad x\geq 0\\ [0.3cm]
\mathbf{z}(0)=(0,0,\alpha )^{T}
\end{array}
\right.
\]
donde
\[
\mathbf{z}(x)=(z_{1}(x),z_{2}(x),z_{3}(x))^{T}
\]
y
\[
\mathbf{f}(x,\mathbf{z}(x))=( z_{2}(x),z_{3}(x),-z_{1}(x)
z_{3}(x))^{T}
\]

\beobse Existe otra gran familia de problemas regidos por
ecuaciones diferenciales ordinarias que es la formada por los
problemas de contorno unidimensionales. Este tipo de problemas, en
el caso de estar regidos por una EDO de segundo orden puede
formularse de la forma siguiente:

\hspace{1cm}\textit{Hallar una funci\'{o}n }$y(t)$\textit{\
verificando:}

\begin{equation}
\label{contorno} \left\{
\begin{array}{l}
y^{\prime \prime }(t)=f(t,y(t),y^{\prime }(t)),\qquad t\in [a,b],
\\ [0.2cm] c_{1,1}y(a)+c_{1,2}y^{\prime }(a)=\alpha, \\ [0.2cm]
c_{2,1}y(b)+c_{2,2}y^{\prime }(b)=\beta
\end{array}
\right.
\end{equation}
donde $a$, $b$, $c_{1,1},c_{1,2},c_{2,1},c_{2,2}$ y $\alpha ,\beta
$ son constantes conocidas y $f(t,y(t),y^{\prime }(t))$ es una
funci\'{o}n dada. \es

Existen m\'{e}todos espec\'{\i}ficos para abordar este tipo de
problemas (como por ejemplo los ``m\'{e}todos de tiro''), aunque
aqu\'{\i} no los abordaremos. Su tratamiento num\'{e}rico, no
obstante, puede realizarse mediante m\'{e}todos en diferencias
finitas (v\'ease el siguiente cap\'{\i}tulo). Un estudio detallado
de m\'{e}todos num\'{e}ricos para problemas de contorno regidos
por EDO puede encontrarse en algunas de las referencias que se
citan en la bibliograf\'{\i}a de este tema. N\'otese finalmente
que desde el punto de vista f\'{\i}sico los problemas de contorno
del II orden del tipo (\ref{contorno}) representan, en
fluido-din\'amica y en fen\'omenos de transporte procesos de
difusi\'on, convecci\'on y reacci\'on. \enobse


\subsection{Tipos de m\'{e}todos de resoluci\'{o}n de problemas de valor
inicial}

Existen numerosos tipos de m\'{e}todos para la resoluci\'{o}n de
problemas de valor inicial. Sin pretender ser exhaustivos en la
descripci\'{o}n de ellos pueden citarse los siguientes: \es

\textbf{A) }\underline{\textbf{M\'{e}todos gr\'{a}ficos.}} \es

Se basan, fundamentalmente, en buscar el significado
geom\'{e}trico de la EDO a resolver construyendo lo que
habitualmente se conoce como el campo de direcciones, esto es, los
valores de la pendiente de la soluci\'{o}n (los
valores de $f(t,y)$) en un dominio m\'{a}s o menos amplio del espacio $%
\R^{2}$. Con ello, partiendo de $(t_{0},y_{0})$ se reconstruye
gr\'{a}ficamente la soluci\'{o}n buscada. El m\'{a}s popular de
estos m\'{e}todos es el m\'{e}todo conocido como
\textbf{m\'{e}todo de las isoclinas} (del cual puede encontrarse
una descripci\'{o}n, por ejemplo, en el libro del Pr.
Guzm\'{a}n\footnote{Guzm\'{a}n, M. de (1987). ``Ecuaciones
diferenciales ordinarias. Teor\'{\i}a de estabilidad y control''
(3${{}^{a}}$ reimpresi\'{o}n). Ed. Alhambra Universidad.}). Este
tipo de m\'{e}todos, que fueron relativamente populares hasta los
comienzos del siglo XX, est\'{a} ya pr\'{a}cticamente en desuso
pues, aparte de ser bastante poco precisos, no son aplicables a
problemas en los que aparecen sistemas de ecuaciones diferenciales
con m\'{a}s de 2 ecuaciones. No obstante, sus fundamentos
geom\'{e}tricos est\'{a}n en los or\'{\i}genes de muchos de los
m\'{e}todos num\'{e}ricos empleados hoy en d\'{\i}a. \es

\textbf{B) }\underline{\textbf{M\'{e}todos anal\'{\i}ticos.}} \es

Son los m\'{e}todos cl\'{a}sicos de resoluci\'{o}n de ecuaciones
diferenciales ordinarias (factor integrante, separaci\'{o}n de
variables, cambios de variables, reducci\'{o}n a homog\'{e}neas,
m\'{e}todo de la mayorante, etc...). En numerosas referencias
(Guzm\'{a}n\footnote{Guzm\'{a}n, M. de (1987). ``Ecuaciones
diferenciales ordinarias. Teor\'{\i}a de estabilidad y control''
(3${{}^{a}}$ reimpresi\'{o}n). Ed. Alhambra Universidad.},
Marcell\'{a}n et al.\footnote{Marcell\'{a}n, F., Casas\'{u}s, L. y
Zarzo, A. (1991). ``Ecuaciones diferenciales. Problemas lineales y
aplicaciones''. Ed. McGraw Hill.}, Mart\'{\i}nez y
Sanz\footnote{Mart\'{\i}nez, C. y Sanz, M.A. (1991).
``Introducci\'{o}n a las ecuaciones diferenciales ordinarias''.
Ed. Revert\'{e}.}, etc...) pueden encontrarse magn\'{\i}ficas
descripciones y an\'{a}lisis de este tipo de m\'{e}todos ... y de
sus l\'{\i}mites de aplicabilidad. Su principal inconveniente es
que ``cada ecuaci\'{o}n diferencial ordinaria tiene su m\'{e}todo
anal\'{\i}tico de resoluci\'{o}n'' y su aplicaci\'{o}n puede ser
complicada (determinaci\'{o}n de un cambio de variable
``afortunado'', conocimiento previo de una soluci\'{o}n particular
de la EDO, b\'{u}squeda de un factor integrante, etc...). Ello por
no citar que existen ecuaciones diferenciales ordinarias de las
que no se conocen m\'{e}todos anal\'{\i}ticos que puedan
resolverlas. No obstante, desde el punto de vista num\'{e}rico
este tipo de m\'{e}todos anal\'{\i}ticos son de gran utilidad
para, sobre problemas ``test'', disponer de soluciones exactas con
las que contrastar el comportamiento de los m\'{e}todos
num\'{e}ricos. \es

\textbf{C) }\underline{\textbf{M\'{e}todos basados en desarrollos de Taylor}%
} \es

En s\'{\i}ntesis, este tipo de m\'{e}todos consisten en expresar
el valor de la funci\'{o}n soluci\'{o}n en un punto $t$ a
trav\'{e}s del desarrollo en serie de Taylor de la funci\'{o}n
soluci\'{o}n $y(t)$ en torno a $t_{0}.$ M\'{a}s concretamente:
\[
y(t)=y(t_{0})+(t-t_{0})y^{\prime
}(t_{0})+\frac{(t-t_{0})^{2}}{2}y^{\prime \prime
}(t_{0})+.....+\frac{(t-t_{0})^{m}}{m!}y^{(m}(t_{0})+....
\]
estim\'{a}ndose los valores de la funci\'{o}n $y(t)$ y de sus derivadas en $%
t_{0}$ a partir de la condici\'{o}n inicial y de la propia funci\'{o}n $%
f(t,y(t)).$ As\'{\i} se tiene que:

\[
y(t_{0})=y_{0}
\]
luego considerando la EDO y evaluando en $t=t_0$ se deduce
\[
y^{\prime }(t)=f(t,y(t))\quad \Rightarrow \quad y^{\prime
}(t_{0})=f(t_{0},y_{0}).
\]
Si derivamos la EDO, aplicamos la regla de la cadena y evaluamos
en $t=t_0$ se tiene adem\'as
\[
y^{\prime \prime }(t)=\frac{df}{dt}(t,y(t))=\frac{\partial f}{\partial t}%
(t,y(t))+\frac{\partial f}{\partial
y}(t,y(t))\frac{dy}{dt}(t)\quad \Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \quad  y^{\prime \prime }(t_{0})=\frac{\partial f}{\partial t}%
(t_{0},y_{0})+f(t_{0},y_{0})\frac{\partial f}{\partial
y}(t_{0},y_{0})
\]
y as\'{\i} sucesivamente.


Los problemas principales de estos m\'{e}todos se pueden resumir
en, por una
parte, la exigencia de regularidad elevada a la funci\'{o}n soluci\'{o}n $%
y(t)$ para que pueda ser desarrollada en serie de Taylor hasta el
grado que se desee y, por otra, en el esfuerzo de c\'alculo
necesario que va increment\'{a}ndose paulatinamente para aproximar
las derivadas de orden superior que intervienen en el desarrollo.
No obstante, en los fundamentos de este tipo de m\'{e}todos se
basan muchos estudios sobre el an\'{a}lisis del ``error'' de los
m\'{e}todos num\'{e}ricos que abordaremos m\'{a}s adelante.

\bejem Al problema de valor inicial de Blasius que cit\'{a}bamos
en un ejemplo anterior:
\[
\left\{
\begin{array}{c}
y^{\prime \prime \prime }(x)+y(x) y^{\prime \prime }(x)=0,\qquad
x\geq 0 \\ [0.2cm] y(0)=0,\quad y^{\prime }(0)=0,\quad y^{\prime
\prime }(0)=0.47
\end{array}
\right.
\]
bajo hip\'{o}tesis de regularidad de la soluci\'{o}n, puede
aplic\'{a}rsele el m\'{e}todo de los desarrollos en serie de
Taylor. \enejem

En efecto, al aplicar el m\'{e}todo de los desarrollos en serie de
Taylor resulta que
\begin{eqnarray*}
y(t) &=&y(0)+ty^{\prime }(0)+\frac{t^{2}}{2}y^{\prime \prime }(0)+\frac{%
t^{3}}{3!}y^{^{\prime \prime \prime }}(0)+\frac{t^{4}}{4!}y^{(iv}(0)+ \\
&&+\frac{t^{5}}{5!}y^{(v}(0)+\frac{t^{6}}{6!}y^{(vi}(0)+\frac{t^{7}}{7!}%
y^{(vii}(0)+\frac{t^{8}}{8!}y^{(viii}(0)+....
\end{eqnarray*}
donde
\[
y(0)=0,\quad y^{\prime }(0)=0,\quad y^{\prime \prime }(0)=0.47
\]
y
\[
y^{\prime \prime \prime }(t)=-y(t)\, y^{\prime \prime }(t)\quad
\Rightarrow \quad y^{\prime \prime \prime }(0)=-y(0)\, y^{\prime
\prime }(0)=(0)\, 0.47=0
\]

\begin{eqnarray*}
y^{(iv}(t) &=&-(y^{\prime }(t)\, y^{\prime \prime }(t)+y(t)\,
y^{\prime \prime \prime }(t))\quad\Rightarrow\quad \\ [0.2cm]
&\quad\Rightarrow\quad &y^{(iv}(0)=-(y^{\prime }(0)\, y^{\prime
\prime }(0)+y(0)\, y^{\prime \prime \prime }(0))=0
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
y^{(v}(t) &=&-\left( \left( y^{\prime \prime }(t)\right) ^{2}+2\,
y^{\prime }(t)\, y^{\prime \prime \prime }(t)+y(t)\,
y^{(iv}(t)\right) \quad\Rightarrow\quad \\ [0.2cm]
&\quad\Rightarrow\quad &y^{(v}(0)=-\left( \left( y^{\prime \prime
}(0)\right) ^{2}+2\, y^{\prime }(0)\, y^{\prime \prime \prime
}(0)+y(0)\, y^{(iv}(0)\right) =-(0.47)^{2}
\end{eqnarray*}
\[
y^{(vi}(0)=0,\qquad y^{(vii}(0)=0
\]
\[
y^{(viii}(0)=11\, \left( y^{\prime \prime }(0)\right) ^{3}=11\,
(0.47)^{3}
\]

La introducci\'{o}n de estos valores en el desarrollo de Taylor de
la soluci\'{o}n nos permite escribir esta como:
\[
y(t)=0.235\, t^{2}-1.84083\, 10^{-3}\, t^{5}+2.8325\, 10^{-5}\,
t^{8}+.....
\]
\es

\textbf{D) }\underline{\textbf{M\'{e}todo de Picard (o de
aproximaciones sucesivas)}} \es

El m\'{e}todo de Picard toma su nombre del matem\'{a}tico
franc\'{e}s Emile Picard (1856 a 1941) quien utiliz\'{o} la
t\'{e}cnica de aproximaciones sucesivas para estudiar la
existencia y unicidad de soluciones de problemas de valor inicial.
En s\'{\i}ntesis el m\'{e}todo consiste en generar, a partir del
valor $y_{0}$ con el que se define la condici\'{o}n inicial y
habida cuenta de la expresi\'{o}n formal de la soluci\'{o}n del
problema, la sucesi\'{o}n de funciones:
\[
\begin{array}{ll}
y_{0}(t) & =y_{0} \\
y_{1}(t) & =y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t}f(x,y_{0}(x))dx \\
.... & .................... \\
y_{n+1}(t) & =y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t}f(x,y_{n}(x))dx \\
.... & ..................
\end{array}
\]

Bajo ciertas hip\'{o}tesis de regularidad sobre la funci\'{o}n
$f(t,y)$, como las recogidas en el teorema siguiente, puede
afirmarse que este m\'{e}todo converge hacia la soluci\'{o}n del
problema de Cauchy:

\beteor Siendo $(t^{*},y^{*})$ un punto del plano $\R^{2}$ y
suponiendo que en un dominio $D=\{(t,y)/\;|t-t^{*}|\leq
\varepsilon ,\;\;|y-y^{*}|<\delta \}$ la funci\'{o}n $f(t,y)$ es
continua, est\'{a} acotada y verifica la condici\'{o}n de
Lipschitz respecto a su segunda variable, y denotando por $M$ a un
valor tal que
\[
|f(x,y)|\leq M ,\qquad \forall \,(x,y)\in D
\]
por $L$ al valor:
\[
L=\displaystyle\inf \left(\varepsilon ,\frac{\delta }{M}\right)
\]
y por $I$ al intervalo $I=(t^{*}-L,t^{*}+L),$ entonces existe una
\'{u}nica funci\'{o}n $y(t)$ definida en $I$ que sea soluci\'{o}n
del problema de Cauchy:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
y^{\prime }(t) & = & f(t,y(t)),\qquad \forall t\in I \\ [0.2cm]
y(t^{*})& = & y^{*}
\end{array}
\right.
\]

Adem\'{a}s dicha funci\'{o}n puede obtenerse como l\'{\i}mite de
la sucesi\'{o}n de funciones ge\-ne\-ra\-da mediante:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y_{0}(t) & =y^{*} \\
.... & .... \\
y_{n+1}(t) & =y^{*}+\displaystyle\int\limits_{t^{*}}^{t}f(x,y_{n}(x))dx \\
.... & ....
\end{array}
\right.
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} Cons\'{u}ltese, por ejemplo, T.M.
Apostol\footnote{Apostol, T. M. (1997) ``Linear Algebra. A first
course with applications to differential equations''.\ Ed. John
Wiley \& Sons, Inc.}. \es

Los principales inconvenientes para la aplicaci\'{o}n pr\'{a}ctica
de este
m\'{e}todo son que el c\'{a}lculo de las integrales $\displaystyle\int%
\limits_{t_{0}}^{t}f(x,y_{n}(x))dx$ suele volverse cada vez
m\'{a}s complicado, debiendo estimarse en ocasiones dichas
integrales, para valores concretos de $t$, mediante aproximaciones
num\'{e}ricas ... con lo que se acaba obteniendo aproximaciones de
los valores de la soluci\'{o}n en ciertos puntos $t_{i}$ en lugar
de la expresi\'{o}n de la soluci\'{o}n. Y ello, como veremos,
puede realizarse de forma m\'{a}s eficiente con los m\'{e}todos
num\'{e}ricos basados en diferencias finitas.

A favor del m\'{e}todo de Picard puede se\~{n}alarse que es una
herramienta de enorme utilidad en el estudio te\'{o}rico de la
existencia y unicidad de la soluci\'{o}n de los problemas de
Cauchy. Adem\'{a}s algunos m\'{e}todos que estudiaremos pueden
interpretarse como variantes del m\'{e}todo de Picard. \es

Para poner de manifiesto tanto la forma operativa del m\'{e}todo
como sus inconvenientes pr\'{a}cticos, ilustremos el m\'{e}todo de
Picard con algunos ejemplos extra\'{\i}dos de T.M. Apostol$^9$
%\footnote{Apostol, T. M. (1997) ``Linear Algebra. A first course with
%applications to differential equations''.\ Ed. John Wiley \& Sons, Inc.}
tal cual aparecen en dicha referencia o con ligeras modificaciones
de los mismos:

\bejem Determ\'{\i}nese mediante el m\'{e}todo de Picard la
soluci\'{o}n del P.V.I.:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =t^{2}+y^{2},\qquad t\geq 0 \\[0.2cm]
y(0) & =0
\end{array}
\right.
\]
\enejem

Generemos la sucesi\'{o}n del m\'{e}todo:

\[
\begin{array}{lll}
y_{0}(t) & =y(0) & =0 \\ [0.2cm] y_{1}(t) &
=0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\displaystyle\left(x^{2}+0^{2}\right)dx
& =\displaystyle\frac{t^{3}}{3} \\ [0.2cm]
y_{2}(t) & =0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\left(x^{2}+\left(x^{3}/3\right)^{2}\right)dx & =\displaystyle\frac{%
t^{3}}{3}+\displaystyle\frac{t^{7}}{63} \\ [0.2cm] y_{3}(t) &
=0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\dis
\left(x^{2}+(x^{3}/3+x^{7}/63)^{2}\right)dx &
=\displaystyle\frac{t^{3}}{3}+\displaystyle\frac{t^{7}}{63}+\displaystyle\frac{2t^{11}}{2079}+\displaystyle\frac{t^{15}}{59535}
\end{array}
\]

Como puede apreciarse a medida que aumenta el valor de $n$
tambi\'{e}n aumenta la complejidad en la evaluaci\'{o}n de la
correspondiente integral. Se deja como ejercicio al lector
comprobar que $y_{4}(t)$ es un polinomio de grado $31$ y que
$y_{5}(t)$ resultar\'{a} un polinomio de grado $63.$ Y si bien es
cierto que, al crecer el valor de los denominadores de los
coeficientes de dicho polinomio, con ``pocos'' t\'{e}rminos de
\'{e}l se podr\'{\i}a obtener una aproximaci\'{o}n razonablemente
buena de la soluci\'{o}n para valores de $t$ inferiores a $1,$ no
es menos cierto que para valores mayores de $t$ la
aproximaci\'{o}n de la funci\'{o}n exige calcular las expresiones
de $y_{n}(t)$ para valores elevados de $n$ pues la variable $t$
aparece elevada a exponentes cada vez mayores. Por ejemplo,
para $t=3,$ el t\'{e}rmino en $t^{11}$ toma el valor $\frac{354294}{2079}%
=170.4155844$ que no es depreciable (y para la potencia $15$ el
valor es a\'{u}n mayor: $241.0163265).$

\bejem Determ\'{\i}nese mediante el m\'{e}todo de Picard la
soluci\'{o}n del P.V.I.:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =2t+e^{y}\qquad t\geq 0 \\
y(0) & =0
\end{array}
\right.
\]
\enejem

Generemos la sucesi\'{o}n del m\'{e}todo:
\[
\begin{array}{lll}
y_{0}(t) & =y(0) & =0 \\
y_{1}(t) & =0+\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{t}(2x+e^{0})dx & =t^{2}+t \\[0.2cm]
y_{2}(t) & =0+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}(2x+e^{x^{2}+x})dx & =t^{2}+\displaystyle\int%
\limits_{0}^{t}e^{x^{2}+x}dx
\end{array}
\]

La \'{u}ltima integral que aparece no puede evaluarse en
t\'{e}rminos de funciones elementales. En efecto:
\[
\displaystyle\displaystyle\int\limits_{0}^{t}e^{x^{2}+x}dx=-\frac{i}{2}\,
\mbox{erf}
(i\, t+\frac{i}{2}%
)\, \sqrt{\pi }\, e^{-1/4}+\frac{i}{2}\, \mbox{erf}
(\frac{i}{2})\, \sqrt{%
\pi }\, e^{-1/4}
\]

No obstante, para un valor prefijado $t=t^{*}$ la integral puede
aproximarse mediante alguna f\'{o}rmula de integraci\'{o}n
num\'{e}rica (ver C. Conde y E. Schiavi\footnote{Conde, C. y
Schiavi, E. (2000) ``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones de los
temas de la asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan Carlos.}).

\bejem Determ\'{\i}nese mediante el m\'{e}todo de Picard la
soluci\'{o}n del P.V.I.:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =2\, e^{t}-y\qquad t\geq 0 \\
y(0) & =1
\end{array}
\right.
\]
\enejem

Generemos la sucesi\'{o}n del m\'{e}todo:
\[
\begin{array}{lll}
y_{0}(t) & =y(0) & =1 \\
y_{1}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}(2e^{x}-1)\, dx & =2\, e^{t}-t-1 \\
y_{2}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}(2\, e^{x}-2\, e^{x}+x+1)\, dx & =%
\frac{t^{2}}{2}+t+1 \\
y_{3}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}(2\,
e^{x}-\frac{x^{2}}{2}-x-1)\, dx
& =2\, e^{t}-\frac{t^{3}}{3!}-\frac{t^{2}}{2}-t-1 \\
y_{4}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\left(2\, e^{x}-2\, e^{x}+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}%
+x+1\right)\, dx &
=\displaystyle\frac{t^{4}}{4!}+\displaystyle\frac{t^{3}}{3!}+\displaystyle\frac{t^{2}}{2}+t+1
\end{array}
\]

En general se verifica:
\[
y_{2\, n}(t)=\sum\limits_{i=0}^{2\, n}\frac{t^{i}}{i!}\qquad
\Rightarrow \qquad
\lim_{n\to \infty } y_{2\, n}(t)=\lim_{n\to\infty } \sum\limits_{i=0}^{2\, n}\frac{t^{i}}{i!}%
=e^{t}
\]

\[
y_{2\, n+1}(t)=2\, e^{t}-\sum\limits_{i=0}^{2\, n+1}\frac{t^{i}}{i!}%
\quad \Rightarrow \quad \lim_{n\to \infty } y_{2\,
n+1}(t)=2e^{t}-\lim_ {n\to \infty } \sum\limits_{i=0}^{2%
\, n+1}\frac{t^{i}}{i!}=e^{t}
\]
por lo que
\[
y(t)=\lim_{n\to \infty } y_{n}(t)=e^{t}.
\]

\bejem Determ\'{\i}nese mediante el m\'{e}todo de Picard la
soluci\'{o}n del P.V.I.:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =\sup\{t,y(t)\},\qquad -1\leq t\leq 1 \\
y(0) & =1
\end{array}
\right.
\]
\enejem

El problema de Cauchy anterior puede descomponerse en los dos
problemas si\-guien\-tes:
\[
(P-1)\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =\sup\{t,y(t)\}\qquad -1\leq t\leq 0 \\
y(0) & =1
\end{array}
\right.
\]

\[
(P-2)\left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(t) & =\sup\{t,y(t)\}\qquad 0\leq t\leq 1 \\
y(0) & =1
\end{array}
\right.
\]

Realizando el cambio de variable $t=-\widetilde{t},$ con lo que $y(t)=y(-%
\widetilde{t})$ por lo que se verifica que $y^{\prime }(t)=-y^{\prime }(%
\widetilde{t})$, el problema $(P-1)$ puede formularse como:
\[
(\widetilde{P}-1)\quad \left\{
\begin{array}{ll}
y^{\prime }(\widetilde{t}) & =-\sup \displaystyle\left\{-\widetilde{t},y(-\widetilde{t}%
)\right\}\qquad 0\leq \widetilde{t}\leq 1 \\ [0.2cm] y(0) & =1
\end{array}
\right.
\]

Generemos la sucesi\'{o}n del m\'{e}todo de Picard para
$(\widetilde{P}-1)$:

\[
\begin{array}{lll}
y_{0}(\widetilde{t}) & =y(0) & =1 \\[0.2cm]
y_{1}(\widetilde{t}) &
=1-\displaystyle\int\limits_{0}^{\widetilde{t}}\sup (-x,1)\, dx &
=1-\widetilde{t} \\[0.2cm]
y_{2}(\widetilde{t}) &
=1-\displaystyle\int\limits_{0}^{\widetilde{t}}\sup (-x,1-x)\, dx
& =1-\widetilde{t}+\displaystyle\frac{\widetilde{t}^{2}}{2} \\[0.2cm]
y_{3}(\widetilde{t}) & =1-\displaystyle\int\limits_{0}^{\widetilde{t}}\displaystyle\sup \left( -x,1-x+\frac{%
x^{2}}{2}\right)\, dx & =1-\widetilde{t}+\displaystyle\frac{\widetilde{t}^{2}}{2}-\frac{%
\widetilde{t}^{3}}{3!}
\end{array}
\]

de esta forma se tiene, en general, que
\[
\widetilde{y}_{n}(\widetilde{t})=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^{i}\, \frac{%
\widetilde{t}^{i}}{i!}\qquad \Rightarrow \qquad y_{n}(t)=y_{n}(-\widetilde{t}%
)=\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{t^{i}}{i!}
\]
por lo que
\[
y(t)=\lim_{n\to \infty } y_{n}(t)=\lim_ {n\to\infty }
\sum\limits_{i=0}^{n}\frac{t^{i}}{i!} =e^{t},\qquad -1\leq t\leq
0.
\]

An\'{a}logamente para el problema $(P-2)$ se tendr\'{a} que:
\[
\begin{array}{lll}
y_{0}(t) & =y(0) & =1 \\[0.2cm]
y_{1}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\sup(x,1)\, dx & =1+t \\[0.2cm]
y_{2}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\sup(x,1+x)\, dx &
=1+t+\displaystyle\frac{t^{2}}{2}
\\[0.2cm]
y_{3}(t) & =1+\displaystyle\int\limits_{0}^{t}\sup \left(x,1+x+\displaystyle\frac{x^{2}}{2}\right)\, dx & =1+t+%
\displaystyle\frac{t^{2}}{2}+\displaystyle\frac{t^{3}}{3!}
\end{array}
\]luego
\[
y(t)=\lim_{n\to \infty } y_{n}(t)=\lim_{n\to \infty } \sum\limits_{i=0}^{n}\frac{t^{i}}{i!}%
=e^{t},\qquad 0\leq t\leq 1.
\]

En resumen, la soluci\'{o}n del problema de Cauchy planteado, en
el intervalo $[-1,\,1]$ es $y(t)=e^{t}$. \es

\textbf{E) }\underline{\textbf{M\'{e}todos num\'{e}ricos (o en
diferencias finitas).}} \es

Este tipo de m\'{e}todos, a diferencia de los anteriores, no
persiguen la determinaci\'{o}n de la expresi\'{o}n de la
funci\'{o}n soluci\'{o}n $y(t)$ de un problema de valor inicial.
Tan s\'{o}lo persiguen calcular, de forma aproximada, el valor de
la soluci\'{o}n en ciertos puntos $t_{i}$ para $ i=0,1,2,...,N$
seleccionados (bien de antemano por el usuario de dichos
m\'{e}todos, bien de forma ``autom\'{a}tica'' a trav\'{e}s de
algoritmos dise\~{n}ados para su c\'{a}lculo con el objeto de
asegurar ciertas tolerancias de error entre el valor exacto
(desconocido) y el valor
aproximado por el m\'{e}todo). Para su descripci\'{o}n, siendo $%
I=[t_{0},t_{0}+T]$ consideremos dados los puntos en los que se va
a determinar la soluci\'{o}n y que denotaremos por:
\[
t_{0}<t_{1}<t_{2}<....<t_{n}<t_{n+1}<....<t_{N}=t_{0}+T
\]

Los m\'{e}todos en diferencias finitas, en general, se basan en,
conocidos
los valores apro\-xi\-ma\-dos de la soluci\'{o}n en los puntos $\{t_{n-k},$ $%
t_{n-k+1},$ $t_{n-k+2},$ $.....,$ $t_{n-1}\}$, que denotaremos
como:
\[
y_{n-k}\approx y(t_{n-k}),\;\;y_{n-k+1}\approx
y(t_{n-k+1}),\;.....,\;y_{n-1}\approx y(t_{n-1})
\]
interpolar, habitualmente mediante un polinomio, la funci\'{o}n
$y(t)$ sobre el soporte
$$
\{t_{n-k},.....,t_{n}\}.
$$

Por ejemplo, si se utilizara interpolaci\'{o}n
po\-li\-n\'{o}\-mica de Lagrange el polinomio interpolador
estar\'{\i}a dado por:
\[
y(t)\approx p_{k,n}(t)=\sum_{j=0}^{k}y_{n-j}.L_{j,n}(t)
\]
donde
\[
L_{j,n}(t)={\prod}_{i=0, \,i\neq j}^k\frac{(t-t_{n-i})}{%
(t_{n-j}-t_{n-i})},\qquad (j=0,...,k)
\]
son los correspondiente polinomios de base de Lagrange. Con ello:

\[
y^{\prime }(t)\approx p_{k,n}^{^{\prime
}}(t)=\sum_{j=0}^{k}y_{n-j}.L_{j,n}^{^{\prime }}(t)
\]
por lo que la EDO del P.V.I. podr\'{\i}a aproximarse por:

\[
\sum_{j=0}^{k}y_{n-j}.L_{j,n}^{^{\prime }}(t)\approx
f(t,\sum_{j=0}^{k}y_{n-j}.L_{j,n}(t))
\]

Esta expresi\'{o}n puede particularizarse en alg\'{u}n valor de la variable $%
t$ (por ejemplo para $t=t_{n})$ y ello nos permite escribir, despejando $%
y_{n}$ del lado izquierdo de la igualdad anterior que:
\[
y_{n}=\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n})
\]

En el proceso anterior se ha utilizado interpolaci\'{o}n
polin\'{o}mica de Lagrange y se ha particularizado la
expresi\'{o}n resultante en $t=t_{n}.$ Obviamente muchas otras
opciones ser\'{\i}an posibles lo que nos conducir\'{\i}a a
expresiones diferentes de la funci\'{o}n $\Phi .$ Pero en todo
caso ser\'{\i}an expresiones en las que el valor aproximado
$y_{n}$ se estimar\'{\i}a en funci\'{o}n de los va\-lo\-res
aproximados, previamente
calculados, $y_{n-k},y_{n-k+1},...,y_{n-1}$ y eventualmente el propio valor $%
y_{n}$ que se desea aproximar. Por ello, en general, se
entender\'{a} por \textbf{m\'{e}todo num\'{e}rico para resolver un
problema de valor inicial} todo esquema de c\'{a}lculo (algoritmo)
que nos permita evaluar $y_{n}$ mediante una expresi\'{o}n de la
forma:
\[
y_{n}=\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n-1})
\]
o
\[
y_{n}=\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n}).
\]

Adem\'{a}s tales tipos de m\'{e}todos diremos que son m\'{e}todos
de $k$ pasos en el sentido de que para evaluar $y_{n}$ utilizan
los $k$ \'{u}ltimos valores previamente calculados. En el caso de
que $k=1$ los m\'{e}todos
correspondientes se dicen \textbf{m\'{e}todos de pasos libres} o \textbf{%
m\'{e}todos unipaso}. Por el contrario si $k>1$ los m\'{e}todos
correspondientes se dicen \textbf{m\'{e}todos de pasos ligados} o \textbf{%
m\'{e}todos multipaso}. Los m\'{e}todos multipaso de $k$ pasos
s\'{o}lo podr\'{a}n utilizarse a partir del conocimiento de los
$k$ primeros valores: $y_{0},y_{1},....,y_{k-1}.$ Para la
determinaci\'{o}n de estos deber\'{a}n emplearse m\'{e}todos de un
menor n\'{u}mero de pasos. Y la combinaci\'{o}n de unos y otros no
es trivial pues interesa no ``estropear'' la precisi\'{o}n que
pueda conseguirse con el m\'{e}todo de $k$ pasos por utilizar
m\'{e}todos menos precisos en las etapas iniciales. Adem\'{a}s,
conviene advertir ya, desde el comienzo, que la consideraci\'{o}n
de un n\'{u}mero mayor de pasos no implica necesariamente la
mejor\'{\i}a de las aproximaciones obtenidas. Es relativamente
frecuente que un m\'{e}todo de un paso bien elegido conduzca a
soluciones m\'{a}s baratas de obtener e igual o m\'{a}s precisas
que un m\'{e}todo multipaso.

\beobse Recordando la expresi\'{o}n formal de la soluci\'{o}n de
un P.V.I.:
\[
y(t)=y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t}f(x,y(x))\, dx
\]
se podr\'{\i}a expresar el valor de la soluci\'{o}n en un instante
$t=t_{n}$ como:
\[
y(t_{n})=y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_{n}}f(x,y(x))\,
dx=y_{0}+\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_{n-1}}f(x,y(x))\,
dx+\displaystyle\int\limits_{t_{n}-1}^{t_{n}}f(x,y(x))\, dx \quad
\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \quad
y(t_{n})=y(t_{n-1})+\displaystyle\int\limits_{t_{n-1}}^{t_{n}}f(x,y(x))\,
dx
\]

En este sentido, una interpretaci\'{o}n de la expresi\'{o}n
anterior (recogida por ejemplo en Shampine et
al.\footnote{Shampine, L.F., Allen, R.C. Jr. y Pruess, S. (1997).
``Fundamentals of numerical computing''. Ed. John Wiley \& Sons,
Inc.}) consiste en decir que el valor exacto de la soluci\'{o}n en
el instante $t_{n}$ depende s\'{o}lamente del valor en $t_{n-1}$ y
no de valores anteriores. En otros t\'{e}minos, lo anterior puede
resumirse diciendo que la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica de un P.V.I.
no tiene ``memoria'' de lo que sucede en instantes anteriores al
instante $t_{n-1}$. Ello es utilizado por los defensores de los
m\'{e}todos de pasos libres para justificar la bondad de estos
m\'{e}todos frente a los de pasos ligados ya que, en los primeros,
las soluciones aproximadas tienen un comportamiento similar (sin
``memoria'') al de la soluci\'{o}n exacta. \enobse

Por otra parte, si el m\'{e}todo se formula en la forma:
\[
y_{n}=\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n-1})
\]
diremos que es un m\'{e}todo \textbf{expl\'{\i}cito} pues el c\'{a}lculo de $%
y_{n}$ tan s\'{o}lo implica evaluar la funci\'{o}n $\Phi
(y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n-1}).$ En el caso de que el m\'{e}todo
se formule como:
\[
y_{n}=\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n})
\]
el m\'{e}todo se dir\'{a} \textbf{impl\'{\i}cito} pues el valor de
$y_{n}$ depende del propio $y_{n}.$ Por ello, la determinaci\'{o}n
de $y_{n}$ exigir\'{a} resolver la ecuaci\'{o}n algebraica:
\[
y_{n}-\Phi (y_{n-k},y_{n-k+1},....,y_{n})=0
\]
por ejemplo, utilizando alguna de las t\'{e}cnicas estudiadas en
el cap\'{\i}tulo anterior de estos apuntes. En general son
m\'{e}todos m\'{a}s costosos en cada uno de los pasos de
integraci\'{o}n (aunque puedan presentar tambi\'{e}n ventajas como
el permitir considerar pasos de integraci\'{o}n de mayor
tama\~{n}o, como m\'{a}s adelante detallaremos).

A analizar el comportamiento de este tipo de m\'{e}todos
num\'{e}ricos dedicaremos el resto de este tema. Y para
ilustrarlos con m\'{a}s detalle comenzaremos abordando, en el
apartado siguiente, el m\'{a}s simple de todos y alguna de sus
variantes.

\section{El m\'{e}todo de Euler y variantes de \'{e}l}\label{meyv}

Consideramos de nuevo el problema de valor inicial
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)), & t\in [t_{0},t_{0}+T] \\
y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right.
\]
y una subdivisi\'{o}n del intervalo $[t_{0},t_{0}+T]$ mediante los
puntos:
\[
t_{0}<t_{1}<t_{2}<....<t_{n}<t_{n+1}<....<t_{N}=t_{0}+T
\]

Designaremos por $h_{n}$ a los valores $(t_{n+1}-t_{n})$ y por
$y_{n}$ a las aproximaciones que se vayan obteniendo de
$y(t_{n})$, ($n=0,1,...,N$).

\subsection{El esquema de c\'{a}lculo del m\'{e}todo de Euler y algunas
variantes} En primer lugar, examinemos c\'{o}mo se puede
justificar el esquema de c\'{a}lculo que se conoce con el nombre
de m\'{e}todo de Euler mediante diferentes interpretaciones:
usando f\'{o}rmulas de integraci\'{o}n num\'{e}rica; mediante
desarrollos en serie de Taylor; de forma gr\'{a}fica; mediante
interpolaci\'on polin\'omica; etc.

\subsubsection{Obtenci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler mediante
f\'{o}rmulas de integraci\'{o}n nu\-m\'{e}\-ri\-ca}\label{AA}

Es conocido que la soluci\'{o}n del problema de valor inicial
verificar\'{a}:

\[
\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}y^{\prime
}(t)dt=\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt\Rightarrow
y(t_{n+1})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))dt
\]

El problema que plantea en general la expresi\'{o}n anterior es la
evaluaci\'{o}n de la integral que en ella aparece. Una idea para
resolver este problema puede ser evaluarla mediante una
f\'{o}rmula de integraci\'{o}n num\'{e}rica (v\'{e}ase por ejemplo
C. Conde y E. Schiavi\footnote{Conde, C. y Schiavi, E. (2000)
``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones de los temas de la
asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan Carlos.}). Al no ser
exacta dicha f\'{o}rmula, nos conducir\'{a} a un valor m\'{a}s o
menos cercano al valor exacto de la soluci\'{o}n. Una primera
elecci\'{o}n de la f\'{o}rmula de integraci\'{o}n num\'{e}rica a
emplear podr\'{\i}a ser la f\'{o}rmula del rect\'{a}ngulo con
soporte en el extremo izquierdo del intervalo de integraci\'{o}n,
es decir:
\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))\Rightarrow
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Con ello puede plantearse el siguiente algoritmo de c\'{a}lculo:
\es

\hspace{0.3cm}\emph{Dado} $y_{0}=y(t_{0}):$

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\,
f(t_{n},y_{n})\;\;\;\;\;\;\;\;(n=0,1,2,...,N-1)
\]

Este esquema de c\'{a}lculo de las soluciones aproximadas del
P.V.I. se conoce con el nombre\textbf{\ m\'{e}todo de Euler
expl\'{\i}cito} en honor al matem\'{a}tico Leonard Euler (nacido
en Basilea (Suiza) en 1707 y muerto en San Petersburgo (Rusia) en
1783). En el proceso de obtenci\'{o}n del m\'{e}todo se ha
utilizado una de las m\'{u}ltiples formas de aproximar la integral
que aparece en la expresi\'{o}n formal de la soluci\'{o}n. Pero
podr\'{\i}an haberse considerado muchas otras. Por ejemplo, si se
hubiera utilizado la f\'{o}rmula del rect\'{a}ngulo soportada en
el extremo derecho del intervalo se obtendr\'{\i}a:

\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+h_{n}f(t_{n+1},y(t_{n+1}))\Rightarrow
y_{n+1}-h_{n}f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}
\]
con lo que podr\'{\i}a plantearse el denominado \textbf{m\'{e}todo
de Euler impl\'{\i}cito (o retr\'{o}grado)} consistente en: \es

\hspace{0.3cm}\emph{Dado} $y_{0}=y(t_{0}):$

\[
\text{\emph{Resolver:}}\, y_{n+1}-h_{n}\,
f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}\;\;\;\;\;\;\;\;(n=0,1,2,...,N-1)
\]

Este esquema de c\'{a}lculo exige, en cada paso, resolver una
ecuaci\'{o}n algebraica. Para ello puede utilizarse alguno de los
m\'{e}todos planteados en el tema 4 de estos apuntes.

An\'{a}logamente, si se hubiera evaluado la integral anterior
mediante el m\'{e}todo del trapecio, se obtendr\'{\i }a el
esquema:
\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+\frac{h_{n}}{2}\left(
f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1}))\right)\quad  \Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \quad y_{n+1}-\frac{h_{n}}{2}f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}+\frac{h_{n}%
}{2}f(t_{n},y_{n})
\]
del que se infiere el algoritmo de c\'{a}lculo: \es

\hspace{0.2cm}{\em Dado} $y_{0}=y(t_{0}):$

\[
\text{Resolver:}\;y_{n+1}-\frac{h_{n}}{2}\, f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}+%
\frac{h_{n}}{2}f(t_{n},y_{n}),\quad (n=0,1,2,...,N-1)
\]

El esquema, tambi\'{e}n impl\'{\i}cito, dado por la expresi\'{o}n
anterior se designa habitualmente con el nombre de esquema de
\textbf{Crank-Nicholson}. \es

Los esquemas de Euler expl\'{\i}cito, de Euler impl\'{\i}cito y de
Crank-Nicholson son un caso particular de la familia de esquemas
que se obtienen ponderando mediante un par\'{a}metro $\theta \,\in
[0,1]$ el peso dado a $f(t_{n},y(t_{n}))$ frente al dado a
$f(t_{n+1},y(t_{n+1}))$ en la f\'{o}rmula de integraci\'{o}n
num\'{e}rica con lo que se obtendr\'{\i }an las expresiones:

\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+h_{n}\, \left( (1-\theta )\,
f(t_{n},y(t_{n}))+\theta \, f(t_{n+1},y(t_{n+1}))\right) \quad
\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \quad y_{n+1}-\theta h_{n}\,
(f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}+(1-\theta )\, h_{n}f(t_{n},y_{n})
\]
que corresponden a los m\'{e}todos conocidos con el nombre de
$\mathbf{\theta}$-{\bf m\'{e}todos}. Para el caso en que $\theta
=0$ se recupera el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito, para el
caso $\theta =1$ el de Euler
impl\'{\i}cito y para $\theta =0.5$ el de Crank-Nicholson. En general si $%
\theta \neq 0 $ el m\'{e}todo es impl\'{\i}cito y exige, en cada
paso, la
resoluci\'{o}n de una ecuaci\'{o}n de tipo algebraico para determinar $%
y_{n+1}.$ \es

Esta forma de introducir el m\'{e}todo de Euler y sus variantes
muestra muchas otras formas de proceder (aproximando el valor de
la integral de $f$ mediante muy diferentes f\'{o}rmulas de
integraci\'{o}n) que dan origen a muchos otros m\'{e}todos
num\'{e}ricos de un paso. En los apartados siguientes
presentaremos algunos otros m\'{e}todos de un paso muy utilizados
en la pr\'{a}ctica. Pero antes de ello examinemos otras maneras
diferentes (aunque equivalentes) de obtener los esquemas
anteriores y analicemos cu\'{a}l es el comportamiento del
m\'{e}todo de Euler y las variantes presentadas.

\subsubsection{Obtenci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler mediante desarrollos
de Taylor}\label{BB}

Si se supone que la funci\'{o}n $y(t)$ es al menos de clase $%
C^{2}([t_{0},t_{N}])$, puede expresarse el valor de $y(t)$ en el punto $%
t_{n+1}$ en funci\'{o}n del valor de $y(t)$ en $t_{n}$ mediante el
siguiente desarrollo en serie de Taylor:

\[
y(t_{n+1})=y(t_{n}+h_{n})=y(t_{n})+h_{n}\, y^{\prime }(t_{n})+\frac{%
h_{n}^{2}}{2}\, y^{\prime \prime }\, (t_{n})+\;\,s \;\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))+\frac{h_{n}^{2}%
}{2}\, y^{\prime \prime }(t_{n})+\,s
\]

Si $h_{n}$ es suficientemente peque\~{n}o, el desarrollo anterior
podr\'{a}
aproximarse despreciando los t\'{e}rminos en los que aparezcan potencias de $%
h_{n}$ superiores o iguales a 2, obteni\'{e}ndose as\'{\i}
nuevamente el esquema de c\'{a}lculo del \textbf{m\'{e}todo de
Euler:}

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Si en lugar de expresar el valor de $y(t_{n+1})$ en funci\'{o}n
del valor de la funci\'{o}n $y(t)$ y de sus derivadas en $t_{n}$,
se hiciera al rev\'{e}s y se expresara el valor en $t_{n}$ en
funci\'{o}n del valor de $y(t)$ y de sus derivadas en $t_{n+1}$ se
obtendr\'{\i }a la expresi\'{o}n siguiente:
\[
y(t_{n})=y(t_{n+1}-h_{n})=y(t_{n+1})-h_{n}\, y^{\prime }(t_{n+1})+\frac{%
h_{n}^{2}}{2}\, y^{\prime \prime }(t_{n+1})+\;\,s \;\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow y(t_{n+1})-h_{n}\, f(t_{n+1},y(t_{n+1}))=y(t_{n})-\frac{%
h_{n}^{2}}{2}\, y^{\prime \prime }(t_{n+1})+\;\,s
\]
de la que, despreciando los t\'erminos cuadr\'{a}ticos y posteriores en $h_{n}$%
, se obtiene la f\'{o}rmula que constituye el esquema de
c\'{a}lculo del \textbf{m\'{e}todo de Euler impl\'{\i}cito (o
retr\'{o}grado):}

\[
y_{n+1}-h_{n}\, f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}
\]

Si se combinan los desarrollos en serie anteriores, ponderando el
segundo por el par\'{a}metro $\theta \in [0,1]$ y el primero por
$(1-\theta )$ se obtendr\'{\i }a la familia de \textbf{$\theta -$
m\'{e}todos}.


Esta forma de interpretar el m\'{e}todo de Euler permitir\'{a}
obtener las expresiones del `` error de consistencia'' de una
forma sencilla (como el t\'{e}rmino de mayor orden que hemos
despreciado en el desarrollo en serie). Adem\'{a}s, la
combinaci\'{o}n de desarrollos en serie en torno a distintos
puntos puede dar origen a otros m\'{e}todos de muy diversa \'{\i
}ndole.

\subsubsection{Obtenci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler de forma gr\'{a}fica
}\label{CC}

Gr\'{a}ficamente, el primer paso del \textbf{m\'{e}todo de Euler}
consiste en seguir el camino se\~{n}alado en la figura siguiente:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}[ht]
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig51.eps}
    \caption{}
    \label{figura1}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

En dicha figura se representa como $y_{1}$ es evaluado siguiendo
la tangente a la curva en $t_{0}$ (cuya pendiente est\'{a} dada
por $f(t_{0},y_{0}))$.
El punto $(t_{1},y_{1})$ hallado es distinto en general de $(t_{1},y(t_{1}))$%
. Por ello se ha elegido el punto inicial para ilustrar
gr\'{a}ficamente el proceso ya que as\'{\i } no se consideran los
errores acumulados en iteraciones anteriores. La idea es entonces
repetir el proceso, partiendo de
$(t_{1},y_{1})$ y siguiendo la recta de direcci\'{o}n dada por $%
f(t_{1},y_{1})$. \es

El \textbf{m\'{e}todo de Euler impl\'{\i }cito} puede ilustrarse
de una forma muy similar pero siguiendo ahora una direcci\'{o}n
paralela a la marcada por la tangente a la curva $y(t)$ en el
punto $t_{1}$:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig52.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura2}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\beobse Obs\'ervese que realmente la recta seguida en el m\'etodo
de Euler im\-pl\'{\i}\-ci\-to es la que pasando por el punto $(t_0
,y_0 )$ tiene por pendiente $f( t_1 ,y_1 )$ (que en general ser\'a
distinta de $\dis f (t_1 ,y (t_1 ))$). En este sentido la figura
anterior es enga\~nosa pues la recta que se sigue no tiene la
pendiente correcta. \enobse

Y los \textbf{$\theta$-m\'{e}todos} se pueden justificar
gr\'{a}ficamente por el hecho de seguir una direcci\'{o}n
comprendida entre la marcada por la tangente a $y(t)$ en $t_{0}$ y
la recta que pasando por $(t_{0},y(t_{0}))$ es paralela a la
tangente de $y(t)$ en $t_{1}$:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig53.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura3}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Esta forma de interpretar el m\'etodo de Euler y sus variantes da
un sentido geom\'etrico al esquema.

\subsubsection{Obtenci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler mediante
interpolaci\'{o}n po\-li\-n\'{o}\-mica}\label{DD}

El polinomio interpolador de Lagrange de $y(t)$ sobre el soporte
formado por los dos puntos $t_{n}$ y $t_{n+1}$ puede expresarse
mediante la f\'{o}rmula:

\[
y(t)\approx p_{1,n}(t)=y(t_{n})\, \frac{t-t_{n+1}}{t_{n}-t_{n+1}}%
+y(t_{n+1})\, \frac{t-t_{n}}{t_{n+1}-t_{n}}\;\;\;\;\forall t\in
[t_{n},t_{n+1}]
\]

Por ello la primera derivada de $y(t)$ puede aproximarse por:

\[
y^{\prime }(t)\approx p_{1,n}^{\prime }(t)=\frac{y(t_{n+1})-y(t_{n})}{h_{n}}%
\quad \forall t\in [t_{n},t_{n+1}]
\]
lo que nos permite aproximar en el intervalo $[t_{n},t_{n+1}]$ la
ecuaci\'{o}n diferencial del P.V.I por:

\[
p_{1,n}^{\prime }(x)=\frac{y(t_{n+1})-y(t_{n})}{h_{n}}\approx
y^{\prime }(t)=f(t,y(t)),\quad \forall t\in [t_{n},t_{n+1}].
\]

Y particularizando esta expresi\'{o}n para $t=t_{n}$ vuelve a
obtenerse la expresi\'{o}n utilizada en el \textbf{m\'{e}todo de
Euler expl\'{\i}cito}:

\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))\rightarrow
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Si en lugar de particularizar la expresi\'{o}n anterior en el instante $%
t=t_{n}$ se particularizase en el instante $t=t_{n+1}$ se
obtendr\'{\i}a la f\'{o}rmula utilizada en el \textbf{m\'{e}todo
de Euler impl\'{\i}cito}:
\[
y(t_{n+1})\approx y(t_{n})+h_{n}\,
f(t_{n+1},y(t_{n+1}))\rightarrow y_{n+1}-h_{n}\,
f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}
\]

Sumando las dos expresiones, multiplicando la primera por
$(1-\theta )$ y la segunda por $\theta ,$ donde $\theta \in
[0,1]$, se obtiene la familia de los $\theta
-$\textbf{m\'{e}todos.}

Esta forma de introducir el m\'{e}todo de Euler y sus variantes
principales nos vincula la teor\'{\i }a de interpolaci\'{o}n con
el m\'{e}todo de Euler. El considerar un polinomio de
interpolaci\'{o}n u otro (variando la posici\'{o}n de los puntos
del soporte, el n\'{u}mero de ellos o el tipo de interpolaci\'{o}n
realizada) puede conducir a muy diferentes m\'{e}todos
num\'{e}ricos de resoluci\'{o}n de problemas de valor inicial. Por
otra parte, en esta forma de obtener el m\'{e}todo, al aproximar
la derivada primera de $y(t)$ en $t_{n}$ (respectivamente en
$t_{n+1}$) por la expresi\'{o}n:

\[
y^{\prime }(t_{n})\;\approx
\;\frac{y(t_{n+1})-y(t_{n})}{h_{n}}\quad \left(
\text{resp.}\,\;y^{\prime }(t_{n+1})\;\approx \;\frac{y(t_{n+1})-y(t_{n})}{%
h_{n}}\right)
\]
se est\'{a} utilizando la denominada \textbf{diferencia finita
progresiva}
\textbf{de primer orden} de $y(t)$ en $t_{n}$ (respectivamente \textbf{%
diferencia finita regresiva (o retr\'{o}grada)} \textbf{de primer orden }de $%
y(t)$ en $t_{n+1}$) lo que da origen al nombre de este tipo de
m\'{e}todos num\'{e}ricos. Puede consultarse, por ejemplo, C.
Conde y E. Schiavi\footnote{Conde, C. y Schiavi, E. (2000)
``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones de los temas de la
asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan Carlos.} para un
estudio m\'{a}s detallado de las diferencias finitas y su uso en
la obtenci\'{o}n del polinomio interpolador.

\subsubsection{Obtenci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler mediante
derivaci\'{o}n num\'{e}rica}\label{EE} Una forma equivalente de
obtener el m\'{e}todo de Euler consiste en considerar que, en un
punto $t^{*}$ la derivada de la funci\'{o}n $y(t)$ est\'{a} dada
por:
\[
y^{\prime }(t^{*})=\dis {\lim }_{h\rightarrow 0}\frac{%
y(t^{*}+h)-y(t^{*})}{h}
\]

Para valores de $h$ suficientemente peque\~{n}os, puede
aproximarse la expresi\'{o}n anterior, prescindiendo del
``l\'{\i}mite'' , es decir por:
\[
y^{\prime }(t^{*})\approx \dis \frac{y(t^{*}+h)-y(t^{*})}{h}
\]

Aplicando esta f\'{o}rmula de derivaci\'{o}n num\'{e}rica para
$t^{*}=t_{n}$ y con $h=h_{n}$ se tendr\'{a} que:
\[
y^{\prime }(t_{n})\approx
\frac{y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})}{h_{n}}=\frac{y(t_{n+1})-y(t_{n})}{h_{n}}
\]
con lo que la EDO del problema de valor inicial puede aproximarse
por:

\[
\frac{y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})}{h_{n}}\approx f(t_{n},y(t_{n}))
\]
de donde se obtiene nuevamente la expresi\'{o}n del
\textbf{m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito:}

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Si en lugar de aplicar la f\'{o}rmula de derivaci\'{o}n num\'{e}rica para $%
t^{*}=t_{n}$ se aplicase para $t^{*}=t_{n+1}$ y tomando ahora
$h=-h_{n}$ se tendr\'{\i}a que:
\[
\frac{y(t_{n+1}-h_{n})-y(t_{n+1})}{-h_{n}}\approx
f(t_{n+1},y(t_{n+1}))
\]
de donde se podr\'{\i}a obtener nuevamente la expresi\'{o}n del \textbf{%
m\'{e}todo de Euler impl\'{\i}cito:}
\[
y_{n+1}-h_{n}\, f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}.
\]

Como en otras ocasiones, sumando a la expresi\'{o}n del m\'{e}todo
impl\'{\i}cito multiplicada por $\theta $ la expresi\'{o}n del
m\'{e}todo expl\'{\i}cito multiplicada por $(1-\theta )$ se
recupera la expresi\'{o}n de los $\theta $\textbf{-m\'{e}todos.}
\es

Esta forma de proceder nos permite atisbar que empleando
diferentes formas de aproximar la derivada de una funci\'{o}n
(cons\'{u}ltese por ejemplo C. Conde y E. Schiavi\footnote{Conde,
C. y Schiavi, E. (2000) ``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones de
los temas de la asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan
Carlos.}) se podr\'{a}n obtener muy distintos esquemas de
resoluci\'{o}n del problema de valor inicial.

\subsection{El algoritmo recogiendo el m\'{e}todo de Euler y sus va\-rian\-tes}

Resumiendo los esquemas num\'{e}ricos hasta ahora planteados,
todos ellos pueden englobarse dentro de la familia de los $\theta
$\textbf{-m\'{e}todos} asign\'{a}ndose a $\theta $ un valor
comprendido entre $0$ y $1$ y
correspondiendo los valores extremos de este par\'{a}metro al \textbf{%
m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito} $(\theta =0)$ o\textbf{\ impl\'{\i}cito} $%
(\theta =1)$ y denomin\'{a}ndose \textbf{m\'{e}todo de
Crank-Nicholson} al esquema que se obtiene al dar a $\theta $ el
valor $0.5.$ La extensi\'{o}n de estos esquemas de c\'{a}lculo al
caso de problemas de valor inicial regidos por un sistema de
ecuaciones diferenciales de primer orden es inmediata bastando
para ello sustituir las funciones escalares por funciones
vectoriales. Por ello el algoritmo que presentaremos a
continuaci\'{o}n lo plantearemos sobre el caso m\'{a}s general de
un problema de valor inicial formulado como: \es

\textit{Conocidas la funci\'{o}n }$\mathbf{f}:I\times \R%
^{m}\rightarrow \R^{m}$\textit{\ y dado un vector de }$\R%
^{m}$\textit{\ denotado por }$\mathbf{y}^{(0)}$\textit{,
determinar la funci\'{o}n }$\mathbf{y}:I\rightarrow
\R^{m}$\textit{\ soluci\'{o}n del problema de valor inicial: }
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbf{y}^{\prime }(t) & =\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)), &
\;\;\;t\in
I=[t_{0},t_{0}+T] \\
\mathbf{y}(t_{0}) & =\mathbf{y}^{(0)} &
\end{array}
\right.
\]

Con ello, un primer algoritmo de la familia de los $\theta
$-m\'{e}todos puede escribirse como sigue: \es

\textbf{INICIO\ DEL\ ALGORITMO} \es

\textbf{Dados:}

\ \ \ $\theta ,$ $t_{0},$ $t_{1},$ ...., $t_{N}=t_{0}+T,$ la
expresi\'{o}n
de la funci\'{o}n $\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))$ y el vector $\mathbf{y}%
^{(0)} $

\textbf{Para} $n=0,$ \textbf{hasta} $n=N-1,$ \textbf{con paso} $1,$ \textbf{%
hacer:}

\hspace{1cm} $h_{n}\leftarrow t_{n+1}-t_{n}$

\hspace{1cm} \textbf{Resolver la ecuaci\'{o}n}:

$\hspace{1cm}\hspace{1cm}\hspace{1cm}\mathbf{y}^{(n+1)}-h_{n}\,
\theta \,
\mathbf{f}(t_{n+1},\mathbf{y}^{(n+1)})=\mathbf{y}^{(n)}+(1-\theta
)\, \mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}^{(n)})$

\hspace{1cm}\textbf{Escribir} el vector $\mathbf{y}^{(n+1)}$ como
soluci\'{o}n aproximada en $t_{n+1}.$

\textbf{Fin bucle en }$n$. \es

\textbf{FIN\ DEL\ ALGORITMO}.

\beobse El algoritmo anterior puede (y en la pr\'{a}ctica debe)
modificarse con alguna estrategia que permita controlar el valor
de $h_{n}$ en cada etapa con el objeto de minimizar el error entre
la soluci\'{o}n aproximada ofrecida por el m\'{e}todo y la
soluci\'{o}n exacta del P.V.I. A estas estrategias de control del
paso de integraci\'{o}n nos referiremos m\'{a}s adelante. \enobse

La pregunta que podemos formularnos ahora es: \textquestiondown
Entre los esquemas planteados, cu\'{a}l es ``mejor''?. En otros
t\'{e}rminos \textquestiondown qu\'{e} valor conviene asignar al
par\'{a}metro $\theta $ ?. La respuesta a esta cuesti\'{o}n
depender\'{a} de qu\'{e} entendamos por ``mejor''. Si por tal
entendemos, por ejemplo, ``lo que menos operaciones exige en cada
paso'' es evidente que la respuesta ser\'{\i}a el m\'{e}todo de
Euler expl\'{\i}cito pues los impl\'{\i}citos conllevan, en
general, la necesidad de resolver una ecuaci\'{o}n (o sistema) no
lineal. No obstante, los esquemas impl\'{\i}citos, como se
ver\'{a} posteriormente, pueden permitir considerar pasos de
integraci\'{o}n mayores, lo que se traduce en realizar menos
etapas de c\'{a}lculo. En resumen los esquemas impl\'{\i}citos son
m\'{a}s costosos por paso pero necesitan realizar menos pasos. Por
ello, si por ``mejor'' se entendiese ``el que menos operaciones
realice en total'' la respuesta no es evidente. Por otra parte, si
por ``mejor'' entendemos el que se cometa menos error entre el
valor aproximado y el valor exacto en cada punto la respuesta
podr\'a ser diferente. Al an\'{a}lisis de los m\'{e}todos
planteados nos referiremos un poco m\'{a}s adelante y, entonces,
trataremos de responder a esta cuesti\'{o}n. Pero antes de ello,
para acabar de ilustrar el funcionamiento de los m\'{e}todos
vistos, y poner de manifiesto algunas de las limitaciones que
tienen, apliqu\'{e}moslos a algunos ejemplos.

\subsection{Algunos ejemplos ilustrativos de aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo
de Euler}

\subsubsection{Primer ejemplo: aplicaci\'{o}n a un problema regido por una
\'{u}nica ecuaci\'{o}n de variables separadas.}

Con el objeto de poder comparar la soluci\'{o}n aproximada con la
soluci\'{o}n exacta comencemos considerando un problema de valor
inicial sencillo: regido por una EDO de variables separadas. Ello
nos permitir\'{a} ilustrar la pr\'{a}ctica del m\'{e}todo y
realizar algunas primeras consideraciones.

Consid\'{e}rese el P.V.I. formulado por:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =2\, t+e^{t}, & \;\;\;t\in [0,\;1] \\
y(0) & =0 &
\end{array}
\right.
\]

La soluci\'{o}n anal\'{\i}tica de este P.V.I. est\'{a} dada por:
\[
y(t)=-1+t^{2}+e^{t}
\]
y con ella podremos comparar el comportamiento de los m\'{e}todos
planteados. Resolvamos el problema por el m\'{e}todo de Euler
expl\'{\i}cito
determinando los valores de la soluci\'{o}n aproximada en los instantes $%
t_{0}=0.0,$ $t_{1}=0.1$, $t_{2}=0.2,$ $t_{3}=0.3,$ $t_{4}=0.4,$ ...., $%
t_{9}=0.9,$ y $t_{10}=1$, siendo la longitud del paso de
integraci\'{o}n en todas las etapas de c\'{a}lculo $h=0.1.$ Con
ello el esquema de c\'{a}lculo, seg\'{u}n vimos anteriormente
puede resumirse en:
\[
\begin{array}{ll}
y_{0} & =0 \\
y_{n+1} & =y_{n}+0.1\, (2\,
t_{n}+e^{t_{n}})\;\;\;\;\;(n=0,1,2,...,9)
\end{array}
\]

Por tanto, los primeros valores calculados ser\'{a}n:

\[
y_{0}=0
\]
\[
y_{1}=y_{0}+0.1\, (2\, t_{0}+e^{t_{0}})=0+0.1\, (2\, 0+e^{0})=0.1
\]
\[
y_{2}=y_{1}+0.1\, (2\, t_{1}+e^{t_{1}})=0.1+0.1\, (2\,
0.1+e^{0.1})=0.23052
\]
\[
y_{3}=y_{2}+0.1\, (2\, t_{2}+e^{t_{2}})=0.23052+0.1\, (2\,
0.2+e^{0.2})=0.39265
\]
\[
y_{4}=y_{3}+0.1\, (2\, t_{3}+e^{t_{3}})=0.39265+0.1\, (2\,
0.3+e^{0.3})=0.58764
\]

Con el mismo paso y para los mismos instantes de c\'{a}lculo puede
obtenerse la soluci\'{o}n mediante el m\'{e}todo de Euler
impl\'{\i}cito:

\[
\begin{array}{ll}
y_{0} & =0 \\
y_{n+1} & =y_{n}+0.1\, (2\,
t_{n+1}+e^{t_{n+1}})\;\;\;\;\;(n=0,1,2,...,9)
\end{array}
\]
obteni\'{e}ndose

\[
y_{0}=0
\]
\[
y_{1}=y_{0}+0.1\, (2\, t_{1}+e^{t_{1}})=0+0.1\, (2\,
0.1+e^{0.1})=0.13052
\]
\[
y_{2}=y_{1}+0.1\, (2\, t_{2}+e^{t_{2}})=0.1352+0.1\, (2\,
0.2+e^{0.2})=0.29266
\]
\[
y_{3}=y_{2}+0.1\, (2\, t_{3}+e^{t_{3}})=0.29266+0.1\, (2\,
0.3+e^{0.3})=0.48764
\]
\[
y_{4}=y_{3}+0.1\, (2\, t_{4}+e^{t_{4}})=0.48764+0.1\, (2\,
0.4+e^{0.4})=0.65182
\]
valores que son sensiblemente mayores que los obtenidos por el
m\'{e}todo ex\-pl\'{\i}\-ci\-to. \es

Resolvamos ahora por el m\'{e}todo de Crank-Nicholson. Este
esquema, sobre este P.V.I. se formula:

\[
\begin{array}{ll}
y_{0} & =0 \\
y_{n+1} & =y_{n}+0.05\, [ (2t_{n}+e^{t_{n}})+(2
t_{n+1}+e^{t_{n+1}})],\qquad (n=0,1,2,...,9)
\end{array}
\]
y los primeros valores a los que nos conduce son: $$ y_{0}=0
$$
\begin{eqnarray*}
y_{1} &=&y_{0}+0.05 (2\, (t_{0}+t_{1})+e^{t_{0}}+e^{t_{1}})= \\
&=&0+0.05\, (0.2+1+e^{0.1})=0.11526
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y_{2} &=&y_{1}+0.05 (2\, (t_{1}+t_{2})+e^{t_{1}}+e^{t_{2}})= \\
&=&0.11526+0.05\, (0.6+e^{0.1}+e^{0.2})=0.26158
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y_{3} &=&y_{2}+0.05(2\, (t_{2}+t_{3})+e^{t_{2}}+e^{t_{3}})= \\
&=&0.26158+0.05\, (1.0+e^{0.2}+e^{0.3})=0.44015
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
y_{4} &=&y_{3}+0.05 (2\, (t_{3}+t_{4})+e^{t_{3}}+e^{t_{4}})= \\
&=&0.26158+0.05\, (1.4+e^{0.3}+e^{0.4})=0.65182
\end{eqnarray*}

Estos valores son intermedios entre los obtenidos por los
m\'{e}todos anteriores. En este caso es sencillo verificar
cu\'{a}les son los valores m\'{a}s precisos pues la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica es conocida. Podemos representar los valores
obtenidos junto a la soluci\'{o}n exacta obteniendo:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig54.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura4}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Puede observarse en la figura anterior que el m\'{e}todo de
Crank-Nicholson es el que mejor se ajusta a la soluci\'{o}n entre
los tres planteados mientras que el de Euler expl\'{\i}cito
aproxima la soluci\'{o}n ``por defecto'' en tanto que el
impl\'{\i}cito lo hace ``por exceso''. Pero tambi\'{e}n puede
apreciarse que los errores van creciendo a medida que avanza el
instante de c\'{a}lculo. Ello ya nos indica que no s\'{o}lo
deberemos intentar conocer el error que se comete al predecir con
un m\'{e}todo la soluci\'{o}n aproximada $y_{n+1}$ partiendo del
valor exacto en el instante anterior $y(t_{n})$ sino que
deber\'{a} tambi\'{e}n prestarse atenci\'{o}n a c\'{o}mo los
errores cometidos en una etapa influyen en el error de las
siguientes. Al fin y al cabo, cuando obtenemos $y_{n+1}$ no
partimos de $y(t_{n})$ sino de $y_{n}$ y, en general $y_{n}\neq
y(t_{n}).$

\subsubsection{Segundo ejemplo: un problema modelo t\'{\i}pico que nos
introduce en los l\'{\i}mites de estabilidad de los esquemas.} Un
problema de valor inicial frecuentemente utilizado para testear
los esquemas num\'{e}ricos (por razones que m\'{a}s adelante se
explicar\'{a}n) es el siguiente:

$$
\left\{
\begin{array}{rcll}
y^{\prime }(t) & =& -ky(t), &\qquad t>0 \\[0.3cm]
y(0) & =& 1 &
\end{array}
\right.
$$
donde $k$ es una constante positiva. Este sencillo problema (que
es una EDO de variables separadas), admite como soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica:
\[
y(t)=e^{-kt}
\]

Obs\'{e}rvese que la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica es decreciente y
siempre positiva, caracter\'{\i}sticas que ser\'{\i}a deseable que
poseyesen tambi\'{e}n las soluciones aproximadas que nos generen
los esquemas num\'{e}ricos al aplicarlos a este caso concreto. \es

La aplicaci\'{o}n de los esquemas de Euler expl\'{\i}cito, Euler
impl\'{\i}cito y $\theta $-m\'{e}todos en general al P.V.I.
considerado, suponiendo de momento que la longitud entre los
instantes de c\'{a}lculo es constante, $h$, se reduce a: \es

\begin{itemize}
\item[a)] Euler expl\'{\i}cito:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h\, (-k\, y_{n})\Rightarrow y_{n+1}=(1-k\, h)\,
y_{n}
\]
y por recursi\'{o}n
\[
y_{n+1}=(1-k\, h)^{n+1}\, y_{0}
\]
\item[b)] Euler impl\'{\i}cito:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h\, (-k\, y_{n+1})\Rightarrow y_{n+1}=\left( \frac{1}{%
1+k\, h}\right) \, y_{n}
\]
y por recursi\'{o}n
\[
y_{n+1}=\left( \frac{1}{1+k\, h}\right) ^{n+1}y_{0}
\]
\item[c)] $\theta $-m\'{e}todos:
\begin{eqnarray*}
y_{n+1} &=&y_{n}-h\, ((1-\theta )\, k\, y_{n}+\theta \, k\,
y_{n+1})\quad \Rightarrow \\ [0.3cm] &\Rightarrow &y_{n+1}=\left(
\frac{1-(1-\theta )\, k\, h}{1+\theta \, k\, h}\right) \, y_{n}
\end{eqnarray*}
y por recursi\'{o}n
\[
y_{n+1}=\left( \frac{1-(1-\theta )\, k\, h}{1+\theta \, k\, h}%
\right) ^{n+1}\, y_{0}
\]
\end{itemize}
Examinemos cuando estas soluciones son decrecientes y positivas.
\es

En el primer caso, m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito, la
soluci\'{o}n
aproximada en cada instante de tiempo $t_{n+1}$ es la condici\'{o}n inicial $%
(y(0)=y_{0}=1)$ multiplicada por $\alpha ^{n+1}$ donde hemos denotado por $%
\alpha $ al valor $\alpha =(1-k\, h)$, es decir escribimos el
esquema de Euler expl\'{\i}cito en la forma: $y_{n}=\alpha ^{n}\,
y_{0}=\alpha ^{n}.$ Para que la soluci\'{o}n aproximada
efectivamente decrezca (al menos en valor absoluto) deber\'{a}
verificarse que $|\alpha |<1.$ Puesto que hemos supuesto $k>0$ y
la longitud del paso tambi\'{e}n es positiva, un peque\~{n}o
c\'{a}lculo nos conduce a que el decaimiento en los valores
absolutos de la soluci\'{o}n se preservar\'{a} si:
\[
0<k\, h<2.
\]

Lo anterior nos limita el tama\~{n}o del paso que podemos utilizar
si deseamos que nuestra soluci\'{o}n aproximada decrezca con el
transcurrir del tiempo, debiendo verificarse para ello que:
\[
h<\frac{2}{k}
\]

En el caso de que $h=2/k$ la soluci\'{o}n num\'{e}rica no
``explotar\'{a}'' con el transcurrir del tiempo pero como en ese
caso $\alpha =-1$ la soluci\'{o}n num\'{e}rica oscilar\'{a} en
cada instante de c\'{a}lculo pasando del valor $-1$ al valor $1.$

No obstante se puede ser un poco m\'{a}s sutil en el examen de la
longitud del paso de c\'{a}lculo a utilizar. En efecto, si se
desea que adem\'{a}s la soluci\'{o}n aproximada sea siempre
positiva la condici\'{o}n a imponer es que:
\[
0<\alpha <1
\]
lo que nos conduce a que
\[
h\in \left] 0,\;\frac{1}{k}\right[
\]

N\'{o}tese que el intervalo al que deben pertenecer los valores de
$h$ es un intervalo abierto. En efecto, en sus extremos la
soluci\'{o}n num\'{e}rica no oscilar\'{a} entre valores negativos
y positivos, pero tambi\'{e}n adolecer\'{a} de graves defectos.
As\'{\i} el valor $h=$ $0$ no puede tomarse
(pues todos los puntos de c\'{a}lculo se reducir\'{\i}an al instante inicial $%
t_{0}$). Y si se tomase $h=1/k$ el valor de $\alpha $ ser\'{\i}a
nulo y la soluci\'{o}n aproximada en instantes positivos ser\'{a}
siempre $0.$ El problema entonces es saber cu\'{a}l es el mejor
valor que podr\'{\i}amos tomar para el paso de integraci\'{o}n. El
responder a esta pregunta, en este caso concreto, es muy simple.
Puesto que la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica es conocida, se
tendr\'{\i}a un error nulo si:
\[
\left( 1-h\, k\right) ^{n}=e^{t_{n}}=e^{nh}\Rightarrow
1-hk=e^{h}\Rightarrow h=0
\]

Pero es absurdo pensar en tomar $h=0$ (pues ello har\'{\i}a que
todos los instantes de c\'{a}lculo fuesen el mismo: $t_{0}$ ). No
obstante, lo anterior nos indica que cuanto menor sea el paso de
integraci\'{o}n menor ser\'{a} el error cometido. Debe matizarse
no obstante que aqu\'{\i} nos estamos refiriendo s\'{o}lo a un
tipo de error: el que se comete con la aplicaci\'{o}n del
m\'{e}todo sin ``redondear'' los valores obtenidos. La
consideraci\'{o}n de que al trabajar con un programa de
c\'{a}lculo se introducen adem\'{a}s errores de redondeo al no
poderse almacenar infinitos decimales introducir\'{a} (como se
ver\'{a} m\'{a}s adelante) un l\'{\i}mite inferior a los valores
de $h$ que puedan considerarse. Pero olvid\'{a}ndonos por el
momento de los errores de redondeo, efectivamente, cuanto menor
sea el tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n m\'{a}s precisa
ser\'{a} la aproximaci\'{o}n obtenida.

Ilustremos lo anterior presentando la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica
del problema y las soluciones aproximadas mediante el m\'{e}todo
de Euler para distintos valores del tama\~{n}o del paso de
integraci\'{o}n y tomando como valor de $k=5$ (lo que hace que
para pasos menores que $1/5=0.2$ el m\'{e}todo produzca soluciones
siempre positivas que decrecen en valor absoluto con el paso del
tiempo):

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig55.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura5}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Obs\'{e}rvese como para $h=0.2$ la soluci\'{o}n obtenida es,
efectivamente, siempre nula y como la soluci\'{o}n obtenida con
$h=0.02$ es m\'{a}s precisa que la obtenida para $h=0.1$ y esta, a
su vez, es m\'{a}s precisa que la obtenida para $h=0.2$. Si
tom\'{a}semos mayores valores del paso de integraci\'{o}n
comenzar\'{\i}an a aparecer soluciones oscilantes pero si no
sobrepasamos el valor cr\'{\i}tico $h=2/k=0.4$ la soluci\'{o}n
decrece en valor absoluto por lo que para tiempos grandes acaba
convergiendo hacia la soluci\'{o}n exacta como muestra la figura
siguiente:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig56.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura6}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Si a $h$ le asignamos el valor cr\'{\i}tico $h=0.4$ la
soluci\'{o}n permanece acotada, no ``explota'' para tiempos
grandes, pero tampoco decrece en valor absoluto y oscila entre
$-1$ y $1$ como se ve en la gr\'{a}fica siguiente:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig57.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura7}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Finalmente si a $h$ le asignamos valores superiores a $0.4$ la
soluci\'{o}n aproximada, en valor absoluto, crecer\'{a} por lo que
tender\'{a} a ``explotar'' para tiempos elevados:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig58.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura8}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Diremos en este caso que el esquema considerado se hace
\textbf{inestable}.

Examinemos ahora los m\'{e}todos impl\'{\i}citos (es decir con
$\theta >0$). En este caso la soluci\'{o}n aproximada tambi\'{e}n
puede expresarse como:
\[
y_{n}=\alpha ^{n}y_{0}\;\;\;\;\;(n=1,2,....,N)
\]
siendo ahora
\[
\alpha =\left( \frac{1-(1-\theta )\, k\, h}{1+\theta \, k\, h}%
\right) =\frac{1+\theta \, k\, h-k\, h}{1+\theta \, k\, h}=1-%
\frac{k\, h}{1+\theta \, k\, h}
\]

Puesto que $0<\theta \leq 1,$ y $k>0$ se verificar\'{a} que
$\alpha $ siempre ser\'{a} inferior a $1.$ Para garantizar que
tambi\'{e}n es superior a $-1$ se debe verificar que:
\[
\frac{k\, h}{1+\theta \, k\, h}<2\Rightarrow (1-2\, \theta )\, k\,
h<2
\]

En el caso de que $\theta \geq 0.5$ la expresi\'{o}n anterior se
verificar\'{a} para cualquier valor que se tome para $h:$ el
esquema en ese caso es incondicionalmente estable. Y si $\theta
<0.5$ la condici\'{o}n a imponer sobre el paso de integraci\'{o}n
para garantizar la estabilidad, ser\'{a}:
\[
h<\frac{2}{k\, (1-2\, \theta )}
\]

Estas elecciones del valor del paso de integraci\'{o}n nos
aseguran que el valor de la soluci\'{o}n aproximada que se obtenga
tambi\'{e}n va a decaer hacia $0$ para tiempos grandes. Si
adem\'{a}s se desease asegurar la positividad de las soluciones
aproximadas se deber\'{\i}a ``hilar un poco
m\'{a}s fino''.\ En efecto para que esto suceda se debe obligar a que $%
0<\alpha <1.$ Ello nos conduce a que:
\[
\frac{k\, h}{1+\theta \, k\, h}<1 \quad \Rightarrow \quad
(1-\theta )\, k\, h<1 \quad \Rightarrow \quad h<\frac{1}{k\,
(1-\theta )}
\]

Obs\'{e}rvese que cuanto m\'{a}s se aproxime $\theta $ al valor
$1$ mayor ser\'{a} el tama\~{n}o de paso m\'{a}ximo que puede ser
tomado para garantizar tanto la ``estabilidad'' de la soluci\'{o}n
aproximada (es decir que no explote para tiempos grandes) como su
positividad. Particularmente para $\theta =1$ (esquema de Euler
impl\'{\i}cito) cualquier tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n
nos servir\'{\i}a para asegurar ambas cosas. Para el esquema de
Crank-Nicholson la ``estabilidad'' nos la garantizar\'{\i}a
cualquier tama\~{n}o del paso pero la positividad nos
obligar\'{\i}a a considerar tama\~{n}os inferiores a $2/k.$ Ello
nos ampl\'{\i}a el tama\~{n}o del paso que puede ser tomado
respecto al esquema expl\'{\i}cito (en el que
la positividad y la estabilidad se aseguraban con tama\~{n}os inferiores a $%
1/k$). Ilustremos lo anterior con la aplicaci\'{o}n de los
esquemas de Euler impl\'{\i}cito y de Crank-Nicholson al problema:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =-5.y(t), &\qquad t>0 \\[0.3cm]
y(0) & =1 &
\end{array}
\right.
\]
para distintos valores del paso de integraci\'{o}n. Comencemos con
el m\'{e}todo de Euler impl\'{\i}cito que, en este caso se
formular\'{a} como:
\begin{eqnarray*}
y_{0} &=&1 \\
y_{n} &=&\dis \left( \frac{1}{1+5\, h}\right) ^{n},\qquad
(n=1,2,3...)
\end{eqnarray*}
y que ser\'{a} estable y positivo para todos los valores de h que
se consideren.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig59.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura9}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig510.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura10}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Como puede apreciarse las soluciones, efectivamente siempre
permanecen positivas y decrecen con el tiempo. Pero tambi\'{e}n
puede advertirse como su precisi\'{o}n es m\'{a}s pobre a medida
que se aumenta el paso de integraci\'{o}n temporal. Adem\'{a}s la
soluci\'{o}n es aproximada en ``exceso'', es decir, con valores
mayores que la exacta, a diferencia de lo que suced\'{\i}a en el
m\'{e}todo expl\'{\i}cito.

Presentemos ahora algunos resultados obtenidos con el m\'{e}todo
de Crank-Nicholson:

\begin{eqnarray*}
y_{0} &=&1 \\
y_{n} &=&\left( \frac{1-0.5\, 5\, h}{1+0.5\, 5\, h}\right)
^{n}\;\;\;\;\;(n=1,2,3...)
\end{eqnarray*}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig511.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura11}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Obs\'{e}rvese como, de momento, todas las soluciones permanecen
positivas y, adem\'{a}s, el m\'{e}todo no parece tan sensible al
paso de integraci\'{o}n
en cuanto a su precisi\'{o}n. No obstante si sobrepasamos el l\'{\i}mite $%
h=2/k=2/5$ $=0.4$ para el tama\~{n}o del paso comenzaremos a
perder la positividad y a notar la influencia del valor de h.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig512.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura12}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\beobse Esta cualidad de los esquemas impl\'{\i}citos, poder
considerar pasos de integraci\'{o}n m\'{a}s amplios que en los
expl\'{\i}citos sin perder la estabilidad, permite pensar en
abordar problemas que se planteen en dominios $[t_{0},t_{0}+T]$ en
los que $T$ tome valores elevados. Pi\'{e}nsese, por ejemplo, que
la EDO $y^{\prime }=-k\, y$ es la que rige procesos de
desintegraci\'{o}n de is\'{o}topos radiactivos que, por su
peligrosidad hacia el entorno, pueden requerir estudiarlos durante
millones de a\~{n}os lo que har\'{\i}a inviable la
consideraci\'{o}n de pasos de integraci\'{o}n excesivamente
peque\~{n}os. Pero, lamentablemente, no todo es la estabilidad y
la positividad de los esquemas de c\'{a}lculo sino que,
adem\'{a}s, habr\'{a} que prestar atenci\'{o}n a su
``precisi\'{o}n'' como se har\'{a} un poco m\'{a}s adelante. Y a
otros problemas como el que se plantea en el ejemplo siguiente.
\enobse

\subsubsection{Tercer ejemplo: En los problemas impl\'{\i}citos puede no
haber unicidad de la soluci\'{o}n aproximada.} El ejemplo anterior
puede llevarnos a la conclusi\'{o}n de que los esquemas
impl\'{\i}citos son ``mejores'' que los expl\'{\i}citos y a
plantearnos entonces el por qu\'{e} de estos \'{u}ltimos. No
obstante recordemos que los esquemas impl\'{\i}citos exigen, en
general, resolver una ecuaci\'{o}n algebraica de tipo no lineal.
Ello, aparte del esfuerzo computacional que pueda requerir,
plantea algunos problemas adicionales tales como:
\textquestiondown con qu\'{e} valor se inicializa el m\'{e}todo de
resoluci\'{o}n de ecuaciones no lineales? y dado que la
ecuaci\'{o}n algebraica puede tener m\'{a}s de una soluci\'{o}n
\textquestiondown c\'{o}mo podemos obtener entre ellas la
``m\'{a}s conveniente''?. Esta situaci\'{o}n es la que pretendemos
ilustrar en este ejemplo resolvi\'endola a trav\'{e}s de la
consideraci\'{o}n de los denominados esquemas
``predictor-corrector''. \es

Consid\'{e}rese el problema de valor inicial formulado mediante:

$$
\left\{
\begin{array}{rcll}
y^{\prime }(t) & =& -y^2 (t), & t>0 \\[0.3cm]
y(0) & =& 1 &
\end{array}
\right.
$$
La soluci\'{o}n anal\'{\i}tica de este problema, cuya EDO es una
ecuaci\'{o}n de tipo Bernoulli, puede obtenerse realizando el
cambio de variable:
\[
u(t)=\frac{1}{y(t)}
\]
lo que nos conduce a que
\[
u^{\prime }(t)=\frac{-y(t)}{y^{2}(t)}
\]
lo cual nos permite integrar la EDO dada como sigue:
\[
y^{\prime }(t)=-y^{2}(t) \quad \Rightarrow \quad
\frac{y^{\prime }(t)}{y^{2}(t)}%
=-1 \quad \Rightarrow \quad u^{\prime }(t)=1 \quad \Rightarrow
\]
\[ u(t)=C+t \quad \Rightarrow \quad y(t)=\frac{1}{C+t}.
\]

Obligando ahora a que se verifique la condici\'{o}n inicial se
obtiene finalmente como soluci\'{o}n anal\'{\i}tica del P.V.I.
planteado:
\[
y(t)=\frac{1}{1+t}
\]

\bejer La EDO anterior tambi\'{e}n podr\'{\i}a considerarse como
una EDO de variables separadas. Te dejamos como ejercicio
propuesto el resolverla de esta ma\-ne\-ra obteniendo la misma
soluci\'{o}n del problema de valor inicial. \enejer

Si aplicamos al problema de este ejemplo el m\'{e}todo de Euler
impl\'{\i}cito, con paso de integraci\'{o}n constante $(h),$
obtendremos:
\[
y_{n+1}+h\, y_{n+1}^{2}=y_{n}\;\;\;\;(n=0,1,2,..N-1)
\]

Tomemos, por ejemplo, $h=0.1$ y calculemos el valor aproximado de
la soluci\'{o}n en $t_{1}=0.1.$
\[
y_{1}+0.1\, y_{1}^{2}=1\Rightarrow 0.1\, y_{1}^{2}+y_{1}-1=0
\]
ecuaci\'{o}n de segundo grado que admite por soluciones:
\[
y_{1}=\frac{-1\pm \sqrt{1+0.4}}{0.2}
\]
es decir, los valores:
\[
-10.91607978....,\;\;\;\;\;0.91607978....
\]

En este caso, en el que conocemos la soluci\'{o}n exacta $
(y(0.1)=1/1.1=0.909090...)$, es evidente que deber\'{\i}a optarse
por la segunda de las aproximaciones obtenidas. Pero, en un caso
real en el que no se conociese la soluci\'{o}n exacta
\textquestiondown c\'{o}mo se podr\'{\i}a saber cu\'{a}l es la
soluci\'{o}n a considerar?. En asusencia de criterios
f\'{\i}sico-qu\'{\i}micos o t\'{e}cnicos no se pude descartar una
soluci\'{o}n frente a otra. Por ello, en estos casos, lo
aconsejable es acudir a los \textbf{m\'{e}todos
predictor-corrector} en los que, en s\'{\i}ntesis, se utiliza un
m\'{e}todo expl\'{\i}cito para (predecir) obtener el valor de
partida con el que aplicar el m\'{e}todo de resoluci\'{o}n de
ecuaciones no lineales a la ecuaci\'{o}n obtenida del esquema
impl\'{\i}cito que nos permite refinar (corregir) el valor
aproximado de la soluci\'{o}n finalmente obtenida. La
aplicaci\'{o}n de esta forma de proceder a nuestro problema nos
conducir\'{\i}a en el primer paso de integraci\'{o}n a: \es

\hspace{1cm}\underline{Fase de predicci\'{o}n} mediante Euler
expl\'{\i}cito:
\[
y_{1}^{(0)}=y_{0}-h\, y_{0}^{2}=1-0.1\, (1)^{2}=0.9
\]

\hspace{1cm}\underline{Fase de correcci\'{o}n} mediante Euler
impl\'{\i}cito (resolviendo por el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas):
\[
y_{1}^{(iter+1)}=y_{0}-h\, \left( y_{1}^{(iter)}\right)
^{2}\;\;\;\;\;\;(iter=0,1,2,....)
\]
que nos conduce a que

\[
y_{1}^{(1)}=1-0.1\, (0.9)^{2}=0.919
\]

\[
y_{1}^{(2)}=1-0.1\, (0.919)^{2}=0.9155439
\]
\[
y_{1}^{(3)}=1-0.1\, (0.9155439)^{2}=0.916177
\]
\[
y_{1}^{(4)}=1-0.1\, (0.916177)^{2}=0.9160617
\]
\[
y_{1}^{(5)}=1-0.1\, (0.9160617)^{2}=0.9160838
\]
\[
y_{1}^{(6)}=1-0.1\, (0.9160838)^{2}=0.9160792
\]
\[
y_{1}^{(7)}=1-0.1\, (0.9160792)^{2}=0.9160798
\]
por lo que tomaremos como $y_{1}=0.9160798$. \es

En el segundo paso de integraci\'{o}n se tendr\'{\i}a: \es

\hspace{1cm}\underline{Fase de predicci\'{o}n} mediante Euler
expl\'{\i}cito:
\[
y_{2}^{(0)}=y_{1}-h\, y_{1}^{2}=0.9160798-0.1\,
(0.9160798)^{2}=0.8321595
\]

\hspace{1cm}\underline{Fase de correcci\'{o}n} mediante Euler
impl\'{\i}cito (resolviendo por el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas):
\[
y_{2}^{(iter+1)}=y_{1}-h\, \left( y_{2}^{(iter)}\right)
^{2},\qquad (iter=0,1,2,....)
\]
que nos conduce a que

\[
y_{2}^{(1)}=0.9160798-0.1\, (0.8321595)^{2}=0.8468308
\]

\[
y_{2}^{(2)}=0.9160798-0.1\, (0.8468308)^{2}=0.8443675
\]
\[
y_{2}^{(3)}=0.9160798-0.1\, (0.8443675)^{2}=0.8447841
\]
\[
y_{2}^{(4)}=0.9160798-0.1\, (0.8447841)^{2}=0.8447137
\]
\[
y_{2}^{(5)}=0.9160798-0.1\, (0.8447137)^{2}=0.8447256
\]
\[
y_{2}^{(6)}=0.9160798-0.1\, (0.8447256)^{2}=0.8447236
\]
\[
y_{2}^{(7)}=0.9160798-0.1\, (0.8447236)^{2}=0.8447239
\]por lo que tomaremos como $y_{2}=0.8447239$.
\es

El tercer paso de integraci\'{o}n que nos permitir\'{a} calcular
$y_{3}\approx y(0.3)$ con\-sis\-ti\-r\'{a} en: \es

\hspace{1cm}\underline{Fase de predicci\'{o}n} mediante Euler
expl\'{\i}cito:
\[
y_{3}^{(0)}=y_{2}-h\, y_{2}^{2}=0.8447239-0.1\,
(0.8447239)^{2}=0.7733681
\]

\hspace{1cm}\underline{Fase de correcci\'{o}n} mediante Euler
impl\'{\i}cito (resolviendo por el m\'{e}todo de aproximaciones
sucesivas):
\[
y_{3}^{(iter+1)}=y_{2}-h\, \left( y_{2}^{(iter)}\right)
^{2},\qquad (iter=0,1,2,....)
\]que nos conduce a que

\[
y_{3}^{(1)}=0.8447239-0.1\, (0.7733681)^{2}=0.7849141
\]

\[
y_{3}^{(2)}=0.8447239-0.1\, (0.7849141)^{2}=0.7831149
\]
\[
y_{3}^{(3)}=0.8447239-0.1\, (0.7831149)^{2}=0.783397
\]
\[
y_{3}^{(4)}=0.8447239-0.1\, (0.783397)^{2}=0.7833529
\]
\[
y_{3}^{(5)}=0.8447239-0.1\, (0.7833529)^{2}=0.7833598
\]
\[
y_{3}^{(6)}=0.8447239-0.1\, (0.7833598)^{2}=0.7833587
\]
\[
y_{3}^{(7)}=0.8447239-0.1\, (0.7833587)^{2}=0.7833589
\]por lo que tomaremos como $y_{3}=0.7833589$.
\es

En sucesivos pasos de integraci\'{o}n temporal la estrategia
predictora-correctora que acabamos de realizar nos conduce a que $%
y_{4}=0.7300601,$ $y_{5}=0.6833618,$ ..... \es

Esta estrategia puede extenderse a esquemas num\'{e}ricos muy
diferentes, combinando un esquema expl\'{\i}cito de predicci\'{o}n
y un esquema
impl\'{\i}cito de correcci\'{o}n. Por ejemplo, si se deseara utilizar un $%
\theta $ -m\'{e}todo con $\theta >0$ para la fase correctora y el
m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito para la fase predictora, el
esquema de c\'{a}lculo ser\'{\i}a: \es

\hspace{1cm}\underline{Fase predictora} (Euler expl\'{\i}cito):
\[
y_{n+1}^{(0)}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

\hspace{1cm}\underline{Fase correctora} ( $\theta $ -m\'{e}todo
combinado con aproximaciones sucesivas):

\[
y_{n+1}^{(iter+1)}=y_{n}+(1-\theta )\, h_n \,
f(t_{n},y_{n})+\theta \, h_n \,
f(t_{n+1},y_{n+1}^{(iter)})\;\;\;\;\;(iter=0,1,...)
\]

As\'{\i} por ejemplo, se deja como ejercicio propuesto verificar
que la estrategia de c\'{a}lculo anterior con $\theta =0.5$
aplicada al problema de valor inicial:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =-y^{2}(t), & t>0 \\
y(0) & =1 &
\end{array}
\right.
\]
conduce a los valores

$$
y_{1}=0.9087121,\qquad y_{2}=0.8327505,\qquad y_{3}=0.7685438,
$$
$$
y_{4}=0.7135529, \qquad y_{5}=0.6659224, ....
$$

\beobse De hecho algunos m\'{e}todos de c\'{a}lculo muy utilizados
en la pr\'{a}ctica, y que posteriormente nos reencontraremos,
podr\'{\i}an interpretarse como un esquema predictor corrector en
los que se realizan ``pocas'' iteraciones del m\'{e}todo de
aproximaciones sucesivas en la fase de correcci\'{o}n. Es el caso
por ejemplo de combinar el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito en
la fase de predicci\'{o}n y realizar una s\'{o}la iteraci\'{o}n en
la fase correctora utilizando el m\'{e}todo de Crank-Nicholson, lo
que nos conduce a:

\[
y_{n+1}^{(0)}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]
\[
y_{n+1}=y_{n}+\frac{h_{n}}{2}\,
(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}^{(0)}))
\]
por lo que, resumiendo las dos etapas en una \'{u}nica
expresi\'{o}n resulta:
\[
y_{n+1}=y_{n}+\frac{h_{n}}{2}\, \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n}))\right)
\]

Este esquema de c\'{a}lculo recibe el nombre de {\bf m\'{e}todo de
Heun} y lo vol\-ve\-re\-mos a deducir al examinar los m\'{e}todos
de Runge-Kutta. \enobse

\subsubsection{Cuarto ejemplo: Un problema regido por un sistema de
ecuaciones diferenciales ordinarias} Consideraremos ahora un
ejemplo que se puede encontrar en el libro de Hanna y
Sandall\footnote{Hanna, O.T. y Sandall, O.C. (1995).
``Computational Methods in Chemical Engineering''. Ed. Prentice
Hall International Editions.}) \es

En la ingenier\'{\i}a en general, y en la ingenier\'{\i}a
qu\'{\i}mica en particular, es muy frecuente toparse con problemas
de valor inicial regidos por sistemas de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Como bot\'{o}n de muestra baste el siguiente ejemplo
en el que se considera una reaci\'{o}n qu\'{\i}mica no lineal
semejante a las que tienen lugar en un reactor qu\'{\i}mico
durante la fase transitoria de una reacci\'on a volumen constante
de la forma:

\[
A+B\leftrightarrow C\rightarrow D+E
\]
donde $A,B,C,D$ y $E$ representan diferentes compuestos que
interaccionan entre s\'{\i}. En una reacci\'{o}n qu\'{\i}mica como
la planteada, la concentraci\'{o}n de la especie $A$, que
denotaremos por $y_{1},$ y la de la especie $C$ que donotaremos
por $y_{2}$ se relacionan entre s\'{\i} mediante:
\[
\left\{
\begin{array}{rcl}
\dis \frac{dy_{1}}{dt}& = &-k_{1}\, y_{1}\, (y_{1}-K)+ k_{2}\,
y_{2} \\ [0.4cm] \dis \frac{dy_{2}}{dt}& = & -(k_{2}+k_{3})\,
y_{2}+k_{1}\, y_{1}\, (y_{1}-K)
\end{array}
\right.
\]
donde $k_{1},k_{2}$ y $k_{3}$ son las constantes de reacci\'{o}n
de las
reacciones qu\'{\i}micas $A+B$ $\rightarrow C,$ $C\rightarrow A+B$ y $%
C\rightarrow D+E$ respectivamente. Por otra parte $K$ es una
constante que depende de la composici\'{o}n inicial de la mezcla
que se deja reaccionar.
Al sistema anterior debe acompa\~{n}\'{a}rsele de las condiciones iniciales $%
y_{1}^{(0)}$ e $y_{2}^{(0)}.$ Si consideramos el caso en que $%
k_{1}=k_{2}=k_{3}=1,$ $K=0,$ $y_{1}^{(0)}=1$ e $y_{2}^{(0)}=0$ el
sistema resultante ser\'{a}:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\mathbf{y}^{\prime }(t) & =\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)) & t>0 \\
\mathbf{y}(0) & =\mathbf{y}^{(0)} &
\end{array}
\right.
\]
donde
\[
\mathbf{y}(t)=\left\{
\begin{array}{l}
y_{1}(t) \\
y_{2}(t)
\end{array}
\right\} ,\;\;\;\;\mathbf{y}^{\prime }(t)=\left\{
\begin{array}{l}
y_{1}^{^{\prime }}(t) \\
y_{2}^{^{\prime }}(t)
\end{array}
\right\} ,\;\;\;\;\;\mathbf{y}^{(0)}=\left\{
\begin{array}{l}
y_{1}^{(0)} \\
y_{2}^{(0)}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right\}
\]
y

\[
\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))=\left\{
\begin{array}{l}
-y_{1}^{2}(t)+y_{2}(t) \\
-2\, y_{2}(t)+y_{1}^{2}(t)
\end{array}
\right\}
\]

Si tomamos $t_{0}=0,$ $t_{1}=0.1,$ $t_{2}=0.2,$ $t_{3}=0.3,$
.....La aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito a
este sistema nos conduce a que:

\[
\mathbf{y}^{(1)}=\mathbf{y}^{(0)}+0.1\, \mathbf{f}(t_{0},\mathbf{y}%
^{(0)})=\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}
\right\} +0.1\, \left\{
\begin{array}{l}
-1^{2}+0 \\
-2\, 0+1^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.9 \\
0.1
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(2)}=\mathbf{y}^{(1)}+0.1\, \mathbf{f}(t_{1},\mathbf{y}%
^{(1)})=\left\{
\begin{array}{l}
0.9 \\
0.1
\end{array}
\right\} +0.1\, \left\{
\begin{array}{l}
-(0.9)^{2}+0.1 \\
-2\, 0.1+(0.9)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.829 \\
0.161
\end{array}
\right\}
\]

\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}^{(3)} &=&\mathbf{y}^{(2)}+0.1\, \mathbf{f}(t_{2},\mathbf{y}%
^{(2)})= \\
&=&\left\{
\begin{array}{l}
0.829 \\
0.161
\end{array}
\right\} +0.1\, \left\{
\begin{array}{l}
-(0.829)^{2}+0.161 \\
-2\, 0.161+(0.829)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.7763759 \\
0.1975241
\end{array}
\right\}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
\mathbf{y}^{(4)} =\mathbf{y}^{(3)}+0.1\, \mathbf{f}(t_{3},\mathbf{y}%
^{(3)})= \\
\left\{
\begin{array}{l}
0.776375 \\
0.197524
\end{array}
\right\} +0.1\, \left\{
\begin{array}{l}
-(0.776375)^{2}+0.197524 \\
-2\, 0.197524++(0.776375)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.73585235 \\
0.21829523
\end{array}
\right\}
\end{eqnarray*}

Para posteriores instantes de c\'{a}lculo se van obteniendo los
vectores de concentraci\'{o}n:
\[
\mathbf{y}^{(5)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.7035340106 \\
0.2287840561
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(6)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6769164058 \\
0.2325232553
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(7)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6543471493 \\
0.2318401863
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(8)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6347141488 \\
0.2282891682
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(9)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6172568606 \\
0.2229175396
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(10)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6014480114 \\
0.2164346349
\end{array}
\right\}
\]

Si se desease aplicar un esquema impl\'{\i}cito, en cada paso
deber\'{a} resolverse un sistema de 2 ecuaciones no lineales. Una
alternativa a ello puede ser el uso del m\'{e}todo de Heun que
present\'{a}bamos en la observaci\'{o}n realizada al ejemplo
anterior, que en este caso quedar\'{\i}a de la forma:
\[
\mathbf{y}^{(n+1)}=\mathbf{y}^{(n)}+\frac{h_{n}}{2}\, \left( \mathbf{f}%
(t_{n},\mathbf{y}^{(n)})+\mathbf{f}(t_{n+1},\mathbf{y}^{(n)}+h_{n}\,
\mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}^{(n)}))\right)
\]
y que, operacionalmente, estructuraremos de la forma siguiente:
\begin{eqnarray*}
\mathbf{W}^{(n,1)} &=&\mathbf{f}(t_{n},\mathbf{y}^{(n)}) \\
\mathbf{W}^{(n,2)} &=&\mathbf{f}(t_{n+1},\mathbf{y}^{(n)}+h_{n}\, \mathbf{%
W}^{(n,1)}) \\
{\mathbf y}^{(n+1)} &=&{\mathbf y}^{(n)}+ \dis \frac{h_{n}}{2}\,
\left( \mathbf{W}^{(n,1)}+\mathbf{W }^{(n,2)}\right)
\end{eqnarray*}

Todo ello (con la misma longitud de paso de integraci\'{o}n) nos
conduce en el caso del sistema considerado a que:

Estimaci\'{o}n de la soluci\'{o}n en $t=0.1:$

\[
\mathbf{W}^{(0,1)}=\mathbf{f}(t_{0},\mathbf{y}^{(0)})=\left\{
\begin{array}{l}
-(1)^{2}+0 \\
-2\, 0+(1)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
-1 \\
1
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W}^{(0,2)}=\mathbf{f}(t_{1},\mathbf{y}^{(0)}+h_{n}\, \mathbf{W}%
^{(0,1)})=\left\{
\begin{array}{l}
-(1+0.1\, (-1))^{2}+(0+0.1\, (1)) \\
-2\, (0+0.1\, (1))+(1+0.1\, (-1))^{2}
\end{array}
\right\} =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.9)^{2}+0.1 \\
-0.2+(0.9)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
-0.71 \\
0.61
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(1)}=\mathbf{y}^{(0)}+0.05\, (\mathbf{W}^{(0,1)}+\mathbf{W}%
^{(0,2)})=\left\{
\begin{array}{l}
0.914500000 \\
0.080500000
\end{array}
\right\}
\]

Estimaci\'{o}n de la soluci\'{o}n en $t=0.2:$

\[
\mathbf{W}^{(1,1)}=\mathbf{f}(t_{1},\mathbf{y}^{(1)})=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.9145)^{2}+0.0805 \\
-2\, 0.0805+(0.9145)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
-0.75581025 \\
0.67531025
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W}^{(1,2)}=\mathbf{f}(t_{2},\mathbf{y}^{(1)}+h_{n}\, \mathbf{W}%
^{(1,1)})=
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.9145+0.1\, (-.7558102500))^{2}+(0.0805+0.1\, (0.67531025)) \\
-2\, (0.0805+0.1\, (0.67531025))+(0.9145+0.1\, (-.7558102500)^{2})
\end{array}
\right\} =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-(.838918975)^{2}+0.148031025 \\
-2\, 0.148031025+(.838918975)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
-0.5557540216 \\
0.4077229966
\end{array}
\right\}
\]

\[
y^{(2)}=\mathbf{y}^{(1)}+0.05\, (\mathbf{W}^{(1,1)}+\mathbf{W}%
^{(1,2)})=\left\{
\begin{array}{l}
0.8489217864 \\
0.1346516624
\end{array}
\right\}
\]

Estimaci\'{o}n de la soluci\'{o}n en $t=0.3:$

\[
\mathbf{W}^{(2,1)}=\mathbf{f}(t_{2},\mathbf{y}^{(2)})=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.8489217864)^{2}+0.1346516624 \\
-2\, 0.1346516624+(0.8489217864)^{2}
\end{array}
\right\} =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-0.5860165370 \\
0.4513648746
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W}^{(2,2)}=\mathbf{f}(t_{3},\mathbf{y}^{(2)}+h_{n}\, \mathbf{W}%
^{(2,1)})=
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.84892+0.1(-0.58601))^{2}+(0.18331+0.1
(0.451364)) \\
-2(0.18331+0.1(0.45136))+(0.84892+0.1(-0.58601)^{2})
\end{array}
\right\} =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
-(0.7903201327)^{2}+0.1797881499 \\
-2\, 0.1797881499+(0.7903201327)^{2}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
-0.4448177623 \\
0.2650296124
\end{array}
\right\}
\]

\[
y^{(3)}=\mathbf{y}^{(2)}+0.05\, (\mathbf{W}^{(2,1)}+\mathbf{W}%
^{(2,2)})=\left\{
\begin{array}{l}
0.7973800715 \\
0.1704713868
\end{array}
\right\}
\]

Para posteriores instantes de c\'{a}lculo se van obteniendo las
soluciones:
\[
\mathbf{y}^{(4)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.7559223581 \\
0.1934076005
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(5)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.7218302976 \\
0.2072358839
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(6)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6931987138 \\
0.2146110432
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(7)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6686718377 \\
0.2174203031
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(8)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6472726418 \\
0.2170160616
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(9)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6282894584 \\
0.2143729901
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{y}^{(10)}=\left\{
\begin{array}{l}
0.6111990088 \\
0.2101961324
\end{array}
\right\}
\]

En la figura siguiente se representa la evoluci\'{o}n de las
concentraciones
calculadas mediante este esquema de Heun hasta el tiempo $t=12$ con paso $%
h=0.1.$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig513.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura13}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Estos mismos esquemas pueden utilizarse para evaluar la
soluci\'{o}n con distintos pasos de tiempo. Si se comparan las
soluciones obtenidas con los esquemas anteriores para diferentes
pasos de tiempo con el valor de la
soluci\'{o}n exacta de $y_{1}(t)$ en el instante $t=0.8$ (tomando $%
y(0.8)=0.646234$ de la re\-fe\-ren\-cia Hanna y
Sandall\footnote{Hanna, O.T. y Sandall, O.C. (1995).
``Computational Methods in Chemical Engineering''. Ed. Prentice
Hall International Editions.}) se obtendr\'{\i}a una tabla como la
siguiente:
\[
\begin{array}{lll}
\underline{h} & \text{\underline{Euler\ $\exp $l\'{\i}cito}} & \text{%
\underline{Heun}} \\ [0.5cm]
0.4 & 0.030234 & -0.040291 \\
0.2 & 0.023161 & -0.005432 \\
0.1 & 0.011520 & -0.001039 \\
0.05 & 0.005704 & -0.000231 \\
0.025 & 0.002835 & -0.000055 \\
0.0125 & 0.001413 & -0.000013 \\
0.00625 & 0.000705 & -0.000003
\end{array}
\]

La evoluci\'{o}n de los errores de cada m\'{e}todo con el
tama\~{n}o de paso presentada en la tabla anterior se recoge en la
gr\'{a}fica siguiente (correspondiendo los valores positivos al
m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito y los negativos al de Heun):

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig514.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura14}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


En la evoluci\'{o}n de los errores anterior pueden realizarse
algunas consideraciones interesantes. En ambos m\'{e}todos el
error disminuye a medida que lo hace el tama\~{n}o de paso de
integraci\'{o}n utilizado. Pero en el caso del m\'{e}todo de Heun,
aun comenzando con un error mayor en valor absoluto para $h=0.4$,
el decrecimiento del error es m\'{a}s r\'{a}pido. En efecto la
reducci\'{o}n del error en el m\'{e}todo de Euler es ``grosso
modo'' lineal en el sentido de que reducir el tama\~{n}o de paso
de un valor $h$ a la mitad $h/2$ se traduce en una reducci\'{o}n
del error a (un orden de) la mitad. En el m\'{e}todo de Heun el
error no se reduce linealmente sino que una reducci\'{o}n del paso
a $\frac{1}{2}$ del valor que ten\'{\i}a se traduce en una
reducci\'{o}n del orden de $\frac{1}{4}=\left( \frac{1}{2}\right)
^{2}$ (o mayor) del error que se comet\'{\i}a. Es una
reducci\'{o}n del error ``cuadr\'{a}tica''. Esta forma de depender
el error del tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n es diferente
en los distintos m\'{e}todos num\'{e}ricos que puedan considerarse
y debe ser analizada con mayor detalle y de forma m\'{a}s rigurosa
como se hace en el subapartado siguiente.

\subsection{An\'{a}lisis del m\'{e}todo de Euler.}\label{ame}

Consideremos el esquema de Euler expl\'{\i}cito:
\begin{eqnarray*}
&&y_{0}\;dado \\
y_{n+1} &=&y_{n}+h_{n}\,
f(t_{n},y_{n})\;\;\;\;\;\;(n=0,1,2,...,N-1)
\end{eqnarray*}
aplicado al problema de valor inicial:
\[
(P.V.I.)\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)) & t\in [t_{0},t_{N}] \\
y(0) & =y_{0} &
\end{array}
\right\}
\]
siendo $t_{0}<t_{1}<....<t_{N}$ instantes preseleccionados en los
que se estimar\'{a} el valor $y_{n}$ que aproxima al valor de la
soluci\'{o}n exacta $y(t_{n}).$ Denotemos, adem\'{a}s por $h$ al
valor:
\[
h={Sup}_{0\leq n\leq N-1}\left\{ h_{n}\right\} ={Sup}_{0\leq n\leq
N-1}\left\{ \left| t_{n+1}-t_{n}\right| \right\}
\]

Con esta notaci\'{o}n se tiene la siguiente definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Se denomina \textbf{error de consistencia} del m\'{e}todo de Euler
expl\'{\i}cito en el punto $t_{n+1}$ al valor:
\[
E_{n+1}=y(t_{n+1})-y(t_{n})-h_{n}\,
f(t_{n},y(t_{n}))\;\;\;\;\;(n=0,1,...,N-1)
\]
\end{dfn}

Obs\'{e}rvese que el error de consistencia en el instante
$t_{n+1}$ nos proporciona la diferencia entre el valor exacto de
la soluci\'{o}n en dicho punto $(y(t_{n+1}))$ y el valor que se
obtendr\'{\i}a al aproximar este valor mediante el m\'{e}todo de
Euler si se partiese de la soluci\'{o}n exacta en el instante
$t_{n}$ (es decir $y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))$ ). No
obstante, como en la aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo no se parte de
este valor sino de $y_{n}$ el error de consistencia, por s\'{\i}
solo, no nos acabar\'{a} de ilustrar correctamente el
funcionamiento del m\'{e}todo. Es por ello que, como se
detallar\'{a} m\'{a}s adelante, ser\'{a} necesario considerar
otros tipos de error (de los que el error de consistencia ser\'{a}
s\'{o}lo una de sus partes). Pero antes de ello introduzcamos ya
la noci\'{o}n de consistencia de un m\'{e}todo.

\begin{dfn}
Se dice que el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito es
\textbf{consistente} con el problema $(P.V.I.)$ si se verifica
que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left( \sum\limits_{n=1}^{N}|E_{n}|\right)
=0
\]

Adem\'{a}s, si para cualquier valor de $h$ positivo e inferior a
un cierto paso m\'{a}ximo $h^{*}$, la suma de los errores de
consistencia verifica que:
\[
\sum\limits_{n=1}^{N}|E_{n}|\leq C.h^{k}
\]
donde $C$ es una constante, se dice que el m\'{e}todo de Euler
expl\'{\i}cito es \textbf{consistente de orden }$k.$
\end{dfn}

\beprop
Si el problema de valor inicial (P.V.I.) admite una soluci\'{o}n de clase $%
C^{2}([t_{0},t_{N}])$, entonces el m\'{e}todo de Euler es
consistente al menos de primer orden. \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Desarrollando en serie de Taylor se tiene que:
\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, y^{\prime
}(t_{n})+\frac{h_{n}^{2}}{2}\, y"(\xi _{n})\;\;\;\;\;\;\xi _{n}\in
[t_{n},t_{n+1}]
\]
de donde
\[
\left| E_{n+1}\right| =\left| y(t_{n+1})-y(t_{n})-h_{n}\,
f(t_{n},y(t_{n}))\right| \leq K\, h\, h_{n}
\]
donde se ha designado por $K$ al valor:
\[
K=\frac{1}{2}{\max }_{t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] }\left(
\left| y"(t)\right| \right)
\]

Por tanto,
\[
\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| \leq K\, h\,
\sum\limits_{n=0}^{N-1}h_{n}=C\, h
\]
donde $C=K(t_{N}-t_{0}).$

\hspace{10cm}c.q.d.

N\'{o}tese que la consistencia de un m\'{e}todo con un problema de
valor inicial dado no es m\'{a}s que una forma de ``medir'' en
qu\'{e} grado la soluci\'{o}n exacta del problema de valor inicial
satisface el esquema num\'{e}rico considerado (en este caso el
esquema de Euler expl\'{\i}cito). Pero como se ha se\~{n}alado
anteriormente el error entre el valor calculado por el m\'{e}todo
y el valor de la soluci\'{o}n exacta no es \'{u}nicamente el error
de consistencia. Por ello debemos introducir ya otro tipo de
error.

\begin{dfn}
Se denomina \textbf{error} (de truncatura) \textbf{del m\'{e}todo
de Euler expl\'{\i}cito} en el punto $t_{n}$ al valor dado por:
\[
e_{n}=y(t_{n})-y_{n},\qquad (n=0,1,2,...,N)
\]
\end{dfn}

\begin{dfn}
Se dice que el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito es
\textbf{convergente} hacia la soluci\'{o}n del problema (P.V.I.)
cuando se verifica:
\[
{\lim }_ {h\rightarrow 0}\left( \max_{0\leq n\leq N} \left|
e_{n}\right| \right) =0
\]
\end{dfn}

Como ya se apunt\'{o} anteriormente, entre el error de
consistencia y el error del m\'{e}todo existe una relaci\'{o}n que
se recoge en la siguiente proposici\'{o}n.

\beprop Entre el error de consistencia del m\'{e}todo de Euler
ex\-pl\'{\i}\-ci\-to en el punto $t_{n+1}$ , $E_{n+1}$, y el error
de dicho m\'{e}todo en ese mismo punto, $e_{n+1}$, y en el punto
de c\'{a}lculo anterior, $e_{n}$, se verifica la siguiente
relaci\'{o}n:

\[
e_{n+1}=E_{n+1}+e_{n}+h_{n}(y^{\prime }(t_{n})-y_{n}^{\prime })
\]
donde se ha denotado por $y_{n}^{^{\prime }}$ al valor
$f(t_{n},y_{n}).$ \enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Seg\'{u}n la definici\'{o}n de error de consistencia se
verificar\'{a}:
\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))+E_{n+1}
\]

Por otra parte el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito nos conduce a
que:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Restando ambas expresiones se tiene que:
\[
y(t_{n+1})-y_{n+1}=y(t_{n})-y_{n}+h_{n}\, \left(
f(t_{n},y(t_{n}))-f(t_{n},y_{n})\right) +E_{n+1}\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow e_{n+1}=e_{n}+h_{n}(y^{\prime }(t_{n})-y_{n}^{\prime
})+E_{n+1}
\]
\hspace{10cm}c.q.d. \es

La propiedad anterior pone de manifiesto el hecho de que el error
cometido en la evaluaci\'{o}n aproximada de la soluci\'{o}n en el
punto $t_{n+1}$ no es s\'{o}lo la suma del error de consistencia
en dicho punto m\'{a}s el que se hubiera cometido hasta la
evaluaci\'{o}n de la soluci\'{o}n aproximada en $t_{n}$. En
efecto, debe tenerse en cuenta adem\'{a}s que, seg\'{u}n la
interpretaci\'{o}n gr\'{a}fica antes dada, la direcci\'{o}n de la
tangente a la curva que se sigue al partir de $(t_{n},y_{n})$ es
diferente de la que se seguir\'{\i }a si se hubiese partido de
$(t_{n},y(t_{n}))$. Este hecho es el que se ilustra en la figura.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig515.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura15}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El an\'{a}lisis de la convergencia del m\'{e}todo de Euler puede
realizarse entonces analizando los errores de consistencia y los
valores de $h_{n}\, (f(t_{n},y(t_{n}))-f(t_{n},y_{n})$ en cada
paso. Esto \'{u}ltimo nos exigir\'{a} tener que imponer alguna
condici\'{o}n a la funci\'{o}n $f$ como se hace en el siguiente
teorema. Pero para realizar la demostraci\'{o}n del citado teorema
ser\'{a} necesario tener en cuenta la propiedad que se recoge en
el siguiente lema:

\begin{lema} Siendo $A$ y $B$ dos n\'{u}meros reales no negativos y
siendo $\{a_{n}\}$ una sucesi\'{o}n de n\'{u}meros reales no
negativos tales que satisfacen la desigualdad:
\[
a_{n+1}\leq (1+A)\, a_{n}+B
\]
se verifica alguna de las dos desigualdades siguientes:
\[
a_{n}\leq a_{0}+n\, B\;\;\;\;\;(\mbox{Si}\;A=0)
\]

\[
a_{n}\leq a_{0}\, e^{n\, A}+\frac{e^{n\, A}-1}{A}\, B\;\;\;(%
\mbox{Si}\;A>0)
\]
\end{lema}

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Si $A=0$ la hip\'{o}tesis supuesta se reduce a que:
\[
a_{n}\leq a_{n-1}+B\leq a_{n-2}+2\, B\leq .....\leq a_{0}+n\, B
\]
por lo que en este caso el lema es evidente.

Si suponemos que $A>0$, considerando el desarrollo en serie de la
funci\'{o}n exponencial:
\[
e^{A}=1+A+\frac{A^{2}}{2}+\frac{A^{3}}{3!}+.....
\]
se deduce que
\[
A-e^{A}=-1-\frac{A^{2}}{2}-\frac{A^{3}}{3!}-....\leq -1\Rightarrow
A\leq e^{A}-1
\]

Por tanto, y habida cuenta de la hip\'{o}tesis realizada sobre los
elementos de la sucesi\'{o}n $\{a_{n}\}$ se tiene que:
\[
a_{1}\leq (1+A)\, a_{0}+B\leq e^{A}\, a_{0}+B\leq e^{A}\, a_{0}+%
\frac{e^{A}-1}{A}\, B
\]

Luego el lema es cierto, al menos, para el caso en que $n=1.$
Procedamos entonces por inducci\'{o}n esto es supongamos que el
lema es cierto para un valor dado de $n$ y demostremos que
entonces tambi\'{e}n es cierto para el valor $n+1.$ De esta forma
si admitimos que se verifica:
\[
a_{n}\leq a_{0}\, e^{n\, A}+\frac{e^{n\, A}-1}{A}\, B
\]
se tendr\'{a} que
\[
a_{n+1}\leq (1+A)\, a_{n}+B\leq (1+A)\, \left( a_{0}\, e^{n\, A}+%
\frac{e^{n\, A}-1}{A}\, B\right) +B\leq
\]

\[
\leq e^{A}\, \left( a_{0}\, e^{n\, A}+\frac{e^{n\, A}-1}{A}\,
B\right) +B\leq
\]

\[
\leq e^{(n+1)\, A}\, a_{0}+\frac{e^{(n+1)\, A}}{A}\, B+\left( 1-%
\frac{e^{A}}{A}\right) \, B=
\]

\[
=e^{(n+1)\, A}\, a_{0}+\frac{e^{(n+1)\, A}}{A}\, B+\left( \frac{%
A-e^{A}}{A}\right) \, B\leq
\]

\[
\leq e^{(n+1)\, A}\, a_{0}+\frac{e^{(n+1)\, A}}{A}\, B-\frac{1}{A%
}\, B=
\]

\[
=e^{(n+1)\, A}\, a_{0}+\frac{e^{(n+1)\, A}-1}{A}\, B
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Procedamos ya a presentar el teorema que acota el error del
m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito.

\beteor Si la funci\'{o}n $f(t,y)$ que interviene en la
definici\'{o}n del problema
de valor inicial $(P.V.I.)$ es una funci\'{o}n de clase $%
C^{1}([t_{0},t_{N}],R)$ y es lipschitciana respecto a su segunda
variable, es decir:
\[
\exists L>0\;\;/\;\;\left| f(t,y)-f(t,z)\right| \leq L.\left|
y-z\right| \;\;\;\;\forall t\in [t_{0},t_{N}],\;\;\forall y,z\in R
\]
entonces el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito inicializado con el valor $%
y_{0}=y(t_{0})$ es convergente y adem\'{a}s se verifica que:
\[
e_{n}\leq C(h)h\;\;\;\;\;\;\;\;(n=0,1,...,N)
\]
donde $C(h)$ es una constante que s\'{o}lo depende del valor de
$h$ y que tiende a $0$ cuando $h$ tiende hacia $0.$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:}

Por ser $f$ una funci\'{o}n de clase $C^{1}$ la funci\'{o}n $y(t)$
ser\'{a} de clase $C^{2}$ en el intervalo en el que est\'{a}
definida. Por ello es admisible el desarrollo en serie de Taylor:

\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, y^{\prime }(t_{n})+\frac{h_{n}}{2}\,
y^{\prime \prime }(\xi _{n})=
\]

\[
=y(t_{n})+h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))+\frac{h_{n}}{2}\, y^{\prime
\prime }(\xi _{n})\;\;\;,\;\xi _{n}\in [t_{n},t_{n+1}]
\]

Por otra parte, al aplicar el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito
se tiene que:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]

Combinando ambas expresiones, y teniendo en cuenta que $f$ es
lipschitciana, se tiene:
\[
y(t_{n+1})-y_{n+1}=y(t_{n})-y_{n}+h_{n}\, \left(
f(t_{n},y(t_{n}))-f(t_{n},y_{n})\right) +\frac{h_{n}^{2}}{2}\,
y^{\prime \prime }(\xi _{n})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow e_{n+1}=e_{n}+h_{n}\, L\, (y(t_{n})-y_{n})+\frac{h_{n}^{2}%
}{2}\, y^{\prime \prime }(\xi _{n})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow e_{n+1}=(1+h_{n}\, L)\, e_{n}+\frac{h_{n}^{2}}{2}\,
y^{\prime \prime }(\xi _{n})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \left| e_{n+1}\right| \leq (1+h\, L)\, \left|
e_{n}\right| +h^{2}\, B
\]
donde $h={Sup}_{0\leq n\leq N-1} \left| t_{n+1}-t_{n}\right| $ y $B=%
\frac{1}{2}\, {Sup}_{\xi \in \left[ t_{0},t_{N}\right] }\left|
y^{\prime \prime }(\xi )\right| $. Por verificarse esta
relaci\'{o}n entre los distintos elementos de la sucesi\'{o}n de
valores $\{|e_{n}|\}_{n=0}^{N}$ se tendr\'{a} en funci\'{o}n del
lema anteriormente demostrado que:
\[
\left| e_{n}\right| \leq e^{n\, L\, h}\, \left| e_{0}\right| +\frac{%
e^{n\, L\, h}-1}{L\, h}\, h^{2}\, B=e^{n\, L\, h}\, \left|
e_{0}\right| +\frac{e^{n\, L\, h}-1}{L}\, h\, B
\]

Por tanto, si se tiene en cuenta que $e_{0}=y(t_{0})-y_{0}=0$
resultar\'{a} que:
\[
\left| e_{n}\right| \leq C(h)\, h
\]
donde se ha denotado por $C(h)$ a la expresi\'{o}n:
\[
C(h)=\frac{e^{n\, L\, h}-1}{L}\, B
\]
que, efectivamente, verifica:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}C(h)=B\, {%
\lim }_{h\rightarrow 0} -\frac{e^{n\, L\, h}-1}{L}=0
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema anterior demuestra el comportamiento ``lineal'' que
ten\'{\i}a el error en el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito y que
se puso de manifiesto en el cuarto de los ejemplos considerado en
el subapartado anterior.

Una consecuencia de lo anterior es que:
\[
{\max }_{0\leq n\leq N}\left| e_{n}\right| \leq \frac{e^{n\, L\,
h}-1}{L}\, B\, h\leq \frac{e^{L\, (t_{N}-t_{0})}-1}{L}\, B\, h=M\,
h
\]
lo que pone de manifiesto el car\'{a}cter lineal de la cota de
error (por lo que en ocasiones se utiliza esta expresi\'{o}n como
cota de error del m\'{e}todo de Euler).

\beobse Un tratamiento similar al realizado para el m\'{e}todo de
Euler expl\'{\i}cito puede realizarse para el m\'{e}todo de Euler
impl\'{\i}cito y para los $\theta $-m\'{e}todos. Dejamos al lector
interesado la tarea de demostrar que, en general, estos
m\'{e}todos tienen una convergencia lineal salvo en el caso en que
$\theta =0.5$ en el que, suponiendo que la soluci\'{o}n exacta
$y(t)$ es de clase $C^{3}(I)$ se puede demostrar que la
convergencia es cuadr\'{a}tica, es decir que el error del
m\'{e}todo puede acotarse mediante $|e_{n}|\leq C(h)h^{2}$ donde
$C(h)$ tiende hacia $0$ cuando lo hace $h$. \enobse

\beobse En el estudio del error que se ha realizado con los
teoremas anteriores nos ha faltado un ``invitado'' importante: el
error de redondeo. Este e\-rror ser\'{a} el culpable en la
pr\'{a}ctica de que los valores de $y_{n}$ obtenidos por el
m\'{e}todo se conviertan realmente en $\widetilde{y}_{n}$ al no
poderse almacenar, trabajando con un n\'{u}mero finito de
decimales, los n\'{u}meros de forma exacta. De hecho, en el
\'{u}ltimo teorema demostrado se supon\'{\i}a como hip\'{o}tesis
que el m\'{e}todo de Euler se inicializaba con el valor
$y_{0}=y(t_{0}).$ Y ni esto ser\'{a} posible en numerosas
aplicaciones (t\'{o}mese por ejemplo $y(t_{0})=\sqrt{2})$. Ello
har\'{a} que el m\'{e}todo se inicialice con $\widetilde{y}%
_{0}=y_{0}+\delta _{0}$ dependiendo el valor de $\delta _{0}$ de
la precisi\'{o}n que tenga la m\'{a}quina con que se trabaje (del
n\'{u}mero de decimales con los que permita trabajar). Con ello,
la primera etapa del m\'{e}todo de Euler consistir\'{a} en:
\[
\widetilde{y}_{1}=y_{0}+h_{n}\, f(t_{0},y_{0})+h_{n}\, \varepsilon
_{0}+\delta _{0}
\]
donde $\varepsilon _{0}=f(t_{0},y_{0}+\delta
_{0})-f(t_{0},y_{0}).$ De esta forma en una etapa gen\'{e}rica del
m\'{e}todo se estar\'{a} calculando, en lugar de $y_{n+1}$ el
valor:
\[
\widetilde{y}_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})+h_{n}\,
\varepsilon _{n}+\delta _{n}
\]

Admitiendo que $\left| \delta _{n}\right| \leq \delta $ y que
$\left| \varepsilon _{n}\right| \leq \varepsilon $ para todo
$h_{n}\leq h^{*},$ la acotaci\'{o}n de error del teorema anterior
debe modificarse resultando:
\[
\max_{0\leq n\leq N}\left| y(t_{n})-\widetilde{y}%
_{n}\right| \leq \frac{e^{L\, (t_{N}-t_{0})}-1}{L}\, \left(
B.h+\varepsilon +\frac{\delta }{h}\right)
\]

La cota anterior pone de manifiesto el hecho de que disminuciones
excesivas del tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n pueden ser
``contraproducentes'' en el sentido de que el error realmente
cometido con el m\'{e}todo aumenta para disminuciones del paso de
integraci\'{o}n. \enobse

\subsection{El control del tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n}

El an\'{a}lisis del m\'{e}todo de Euler realizado en el apartado
anterior parece indicarnos que cuanto m\'{a}s se reduzca el paso
de integraci\'{o}n (al menos hasta un l\'{\i}mite inferior $h_{*}$
determinado por la precisi\'{o}n de la m\'{a}quina con la que se
trabaje) m\'{a}s preciso ser\'{a} el m\'{e}todo. Una
conclusi\'{o}n similar podr\'{\i}a obtenerse para todos los
m\'{e}todos hasta ahora planteados. Pero, obviamente, la
reducci\'{o}n del paso no puede ser arbitrariamente peque\~{n}a
pues impedir\'{\i}a en la pr\'{a}ctica resolver problemas
planteados en intervalos ``grandes''. Adem\'{a}s, debe advertirse
que en la acotaci\'{o}n del error realizada se ha sido bastante
``grosero'' tomando, por ejemplo, como constante $B$ en la
acotaci\'{o}n la mitad del mayor valor de $y^{''}(t)$ en todo el
intervalo de trabajo.

Es por ello que, en la pr\'{a}ctica, los programas que recogen el
m\'{e}todo de Euler no trabajan con el simple algoritmo que hasta
ahora hemos utilizado sino que adem\'{a}s ajustan el tama\~{n}o
del paso de integraci\'{o}n permitiendo que en dominios en los que
la soluci\'{o}n es relativamente ``suave'' se tomen pasos de
integraci\'{o}n ``grandes'' en tanto que en zonas en las que la
soluci\'{o}n presente cambios de pendiente bruscos ajustan el
tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n a peque\~{n}os valores.

Una de las t\'{e}cnicas que permite realizar este ajuste de paso
se basa en
t\'{e}cnicas de ex\-tra\-po\-la\-ci\'{o}n y concretamente en la denominada \textbf{%
extrapolaci\'{o}n de Richardson}. Veamos en qu\'{e} consiste su
aplicaci\'{o}n al m\'{e}todo de Euler.

En primer lugar los tama\~{n}os de paso de integraci\'{o}n a
utilizar en cada etapa se toman de la forma:
\[
h_{n}=\mu (t_{n})\, h^{*}
\]
donde $h^{*}$ es un tama\~{n}o de paso de integraci\'{o}n
m\'{a}ximo y $\mu (t)$ es una funci\'{o}n continua a trozos que
toma valores positivos y tales que
\[
0<\mu _{*}<\mu (t)\leq 1\;\;\;\;\;\;\forall t\in \left[
t_{0},t_{N}\right]
\]

Con ello la t\'{e}cnica de control del tama\~{n}o de paso se basa
en el siguiente teorema:

\beteor Suponiendo que:

a) el problema de valor inicial:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)), & t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] \\
y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right.
\]
admite una soluci\'{o}n $y(t)$,

b) $f$ es una funci\'{o}n de clase $C^{2}(]t_{0},t_{N}[\times \R)$
lipschitciana respecto a su segunda variable, y

c) el m\'{e}todo de Euler se inicializa para cada tama\~{n}o de
paso $h$ con un valor $y_{0,h}$ satisfaci\'{e}ndose:
\[
\exists \alpha \in \R \,/\quad y(t_{0})-y_{0,h}=\alpha \,
h+O(h^{2})
\]
entonces se verifica que:
\[
y(t_{n})-y_{n,h}=h\, g(t_{n})+O(h^{2})
\]
donde $y_{n,h}$ es la soluci\'{o}n aproximada obtenida mediante el
m\'{e}todo de Euler con un tama\~{n}o de paso $h,$ y $g(t)$ es
soluci\'{o}n del problema de valor inicial:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\dis g^{\prime }(t) & =g(t)\, \dis
\frac{\partial f}{\partial y}(t,y(y))+\frac{1}{2}%
\, \mu (t)\, y^{\prime \prime }(t), & t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] \\
g(0) & =\alpha &
\end{array}
\right.
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Cons\'{u}ltese Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot
A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}.

\es

Supongamos entonces que con un tama\~{n}o de paso $h$ se ha
obtenido una aproximaci\'{o}n $y_{n,h}$ del valor de la
soluci\'{o}n en el instante de c\'{a}lculo $t_{n}.$ Seg\'{u}n el
teorema precedente se tendr\'{a} que:
\[
y(t_{n})=y_{n,h}+h\, g(t_{n})+O(h^{2})
\]

Si en el mismo punto $t_{n}$ se calculase la aproximaci\'{o}n
mediante el m\'{e}todo de Euler utilizando un tama\~{n}o de paso
de longitud $q\, h$ se tendr\'{\i}a que:
\[
y(t_{n})=y_{m,q\, h}+q\, h\, g(t_{n})+O(h^{2})
\]

Combinando las dos expresiones anteriores se obtiene que:
\[
\frac{q\, y_{n,h}-y_{m,q\, h}}{q-1}=y(t_{n})+O(h^{2})
\]
y que
\[
y_{n,h}-y(t_{n})=\frac{y_{m,q\, h}-y_{n,h}}{q-1}+O(h^{2})
\]

La \'{u}ltima de las expresiones obtenidas nos permite considerar
que:
\[
\frac{y_{m,q\, h}-y_{n,h}}{q-1}
\]
es una estimaci\'{o}n del error cometido al actuar con paso $h.$

Con estas consideraciones una t\'{e}cnica para controlar
autom\'{a}ticamente el paso de c\'{a}lculo consiste en calcular el
valor $y_{n+1,h}$ a partir de
$y_{n}$ (es decir con un tama\~{n}o de paso $h_{n})$ y calcular $%
y_{n+1,h^{\prime }}$ a partir de $y_{n-1}$ (es decir con tama\~{n}o de paso $%
h^{\prime }=h_{n-1}+h_{n})$ denotando por $q$ al valor:
\[
q=\frac{h_{n}+h_{n+1}}{h_{n}}
\]

Si, siendo $\varepsilon $ una tolerancia de error admisible y dada
por el usuario, se verificase que:
\[
\left| \frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q-1}\right| \leq
\varepsilon
\]
el error cometido entre la aproximaci\'{o}n obtenida con paso $h$
y la soluci\'{o}n exacta es un error aceptable y podr\'{\i}a
intentar operarse con un tama\~{n}o de paso $q\, h_{n}$ para
etapas posteriores del m\'{e}todo. Adem\'{a}s el valor aproximado
puede mejorarse mediante:
\[
\widehat{y}_{n+1}=y_{n+1,h}-\frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q-1}=\frac{%
q\, y_{n+1,h}-y_{n+1,h^{\prime }}}{q-1}
\]

Si por el contrario resultara que:
\[
\left| \frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q-1}\right|
>\varepsilon
\]
entonces el tama\~{n}o de paso $h_{n}$ no nos garantiza un error
aceptable en la estimaci\'{o}n de la soluci\'{o}n aproximada
obtenida por el m\'{e}todo de Euler. Ello aconsejar\'{a} reducir
el tama\~{n}o del paso
utilizado (por ejemplo a la mitad) pasando a denominarse $t_{n+1}$ al punto $%
t_{n}+\frac{h_{n}}{2}$ considerando entonces que $h_{n}$ toma un
valor igual a la mitad que el que ten\'{\i}a. Con este nuevo
tama\~{n}o de paso puede volver a repetirse el mismo proceso.

\section{Estudio de un m\'{e}todo general de pasos libres}

Consideremos nuevamente un problema de valor inicial que
formularemos a\-bre\-via\-da\-mente por:
\[
(P.V.I.)\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)) & t\in [t_{0},t_{N}] \\
y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right\}
\]
y consideremos los puntos de c\'{a}lculo:
\[
t_{0}<t_{1}<t_{2}<....<t_{n}<.....<t_{N}
\]
denotando por $h_{n}$ a los valores $h_{n}=(t_{n+1}-t_{n})$ $(n=0,$ $1,$ $%
....,$ $N-1)$ y siendo:
\[
h={Sup}-{0\leq n<N}\left\{ h_{n}\right\}
\]

Con esta notaci\'{o}n, un m\'{e}todo de pasos libres gen\'{e}rico
consiste en un esquema de c\'{a}lculo que, partiendo del valor
$y_{0}=y(t_{0})$
permite estimar los valores aproximados de la soluci\'{o}n del problema $%
(P.V.I.)$ mediante:
\begin{equation}\label{euex}
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n}) %(3.1.)
\end{equation}
donde $g$ es una funci\'{o}n continua en $[t_{0},t_{N}]\times \R%
\times ]0,H]$ y que est\'{a} definida a partir de la funci\'{o}n
$f$ que interviene en $(P.V.I.)$, e $y_{n}$ representa los valores
calculados por el m\'{e}todo que aproximan el valor exacto de
$y(t_{n}).$

\bejem En el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})
\]
se tiene que $g(t,y,h)=f(t,y).$ \enejem

\bejem Si se considerase el m\'{e}todo de Euler impl\'{\i}cito:
\[
y_{n+1}-h_{n}\, f(t_{n}+h_{n},y_{n+1})=y_{n}
\]
el valor de $y_{n+1}$ podr\'{a} expresarse tambi\'{e}n en la forma
anterior, si bien ahora la funci\'{o}n $g$ deber\'{\i}a buscarse,
en general, mediante la relaci\'{o}n impl\'{\i}cita que define la
ecuaci\'{o}n no lineal anterior. \enejem

Sobre un m\'{e}todo gen\'{e}rico de un paso pueden introducirse
los mismos conceptos que se introdujeron al analizar el m\'{e}todo
de Euler. As\'{\i} se tiene que:

\begin{dfn}
Se denomina \textbf{error de consistencia} del m\'{e}todo
(\ref{euex}) en el punto $t_{n+1}$ al valor:
\[
E_{n+1}=y(t_{n+1})-y(t_{n})-h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})
\]
\end{dfn}

Esta definici\'{o}n del error de consistencia nos permite observar
que por tal concepto se entiende el error que se cometer\'{\i}a
con el m\'{e}todo si en el instante $t_{n}$ se partiera de la
soluci\'{o}n exacta en lugar de la soluci\'{o}n aproximada y, por
tanto, sin tener en consideraci\'{o}n los errores cometidos en
etapas anteriores del m\'{e}todo. Puesto que la soluci\'{o}n
aproximada verifica:
\[
y_{n+1}-y_{n}-h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})=0
\]
la definici\'{o}n dada de error de consistencia puede
interpretarse tambi\'{e}n como un indicador de en qu\'{e} medida
la soluci\'{o}n exacta del problema de valor inicial satisface el
esquema de c\'{a}lculo, es decir de hasta que punto el esquema
utilizado puede reemplazar a la EDO del pro\-ble\-ma $(P.V.I.)$ o,
lo que es lo mismo, si el esquema es consistente o no con la EDO
dada. Es por ello que es natural considerar tambi\'{e}n la
siguiente definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Se dice que el m\'{e}todo (\ref{euex}) es \textbf{consistente} con
la ecuaci\'{o}n diferencial del problema $(P.V.I.)$ cuando para
toda soluci\'{o}n de dicha ecuaci\'{o}n diferencial se verifica
que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left( \sum\limits_{n=1}^{N}\left|
E_{n}\right| \right) =0
\]

Asimismo se dice que el m\'{e}todo (\ref{euex}) es
\textbf{consistente de orden} $k$ con la EDO del problema
$(P.V.I.)$ cuando para todo valor de $h$ perteneciente a un
intervalo $]0,H[$ se verifica:
\[
\exists C\in \R/\;\;\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| \leq
C\, h^{k}
\]
donde la constante $C$ depende s\'{o}lamente de $y(t)$ y de
$f(t,y(t)).$
\end{dfn}

Cuanto mayor sea el orden de consistencia de los m\'{e}todos
num\'{e}ricos, en general, ma\-yo\-res tama\~{n}os de paso de
discretizaci\'{o}n $h$ podr\'{a}n tomarse para asegurar una
determinada precisi\'{o}n. No obstante tambi\'{e}n es habitual que
el incremento en el orden de consistencia vaya acompa\~{n}ado de
un mayor coste computacional. Pero, al igual que se se\~{n}al\'{o}
para el m\'{e}todo de Euler, no todo el
error es el error de consistencia. Debe tenerse en cuenta que al evaluar $%
y_{n+1}$ no se parte del valor exacto $y(t_{n})$ sino de uno aproximado $%
y_{n}.$ En este sentido se debe definir un nuevo error conocido
con el nombre de error del m\'{e}todo. Ello es lo que hacemos en
la definici\'{o}n siguiente:

\begin{dfn}
Se denomina \textbf{error del m\'{e}todo} (\ref{euex}) en el punto
$t_{n}$ al valor:
\[
e_{n}=y(t_{n})-y_{n}\;\;\;\;\;\;(n=0,1,....N)
\]
\end{dfn}

El error de un m\'{e}todo nos representa el error total existente
en un punto de c\'{a}lculo entre la soluci\'{o}n exacta y la
aproximada (a falta de la consideraci\'{o}n de los errores de
redondeo debidos a una representaci\'{o}n num\'{e}rica con un
n\'{u}mero finito de decimales en las m\'{a}quinas de calcular).
En este sentido tambi\'{e}n es natural dar la siguiente
definici\'{o}n:

\begin{dfn}
Se dice que el m\'{e}todo (\ref{euex})\textbf{\ }es\textbf{\
convergente} cuando se verifica que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left({Sup}_ {0\leq n\leq N}%
\left\{ \left| e_{n}\right| \right\} \right) =0
\]
\end{dfn}

Entre el error de consistencia y el error del m\'{e}todo existe
una relaci\'{o}n pues el primero es una parte del segundo como se
demuestra en la propiedad siguiente:

\beprop Si la funci\'{o}n $g(t,y,h)$ que interviene en la
definici\'{o}n del m\'{e}todo (\ref{euex}) es una funci\'{o}n
lipschitciana respecto a su segunda variable, es decir:
\[
\exists L\in \R/\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| \leq L\, \left|
y-z\right| \;\forall t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] ,\forall h\in
]0,H[,\forall y,z\in \R
\]
entonces se verifica la siguiente relaci\'{o}n entre el error de
consistencia y el error del m\'{e}todo en cada punto de
c\'{a}lculo:
\[
e_{n+1}\leq (1+h_{n}\, L)\, e_{n}+E_{n+1}
\]
\enprop

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

De la definici\'{o}n de error de consistencia se tiene que:
\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})+E_{n+1}
\]
y de (\ref{euex}) se tiene que:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})
\]
de donde, restando la segunda igualdad de la primera
resultar\'{a}:
\[
e_{n+1}=e_{n}+h_{n}\left(
g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})-g(t_{n},y_{n},h_{n})\right) +E_{n+1}
\]
de donde, tomando valores absolutos y considerando la
hip\'{o}tesis de Lipschitz hecha en el enunciado, resulta:
\[
e_{n+1}\leq (1+h_{n}\, L)\, e_{n}+E_{n+1}
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

La expresi\'{o}n anterior nos permitir\'{\i}a realizar, de forma
similar a como se hizo para el m\'{e}todo de Euler expl\'{\i}cito,
una acotaci\'{o}n del error del m\'{e}todo. Pero como ya se
se\~{n}al\'{o} anteriormente esta acotaci\'{o}n del error
dejar\'{\i}a fuera la incidencia de los errores de redondeo en el
funcionamiento del esquema de c\'{a}lculo. Es por ello que en el
an\'{a}lisis de los m\'{e}todos conviene introducir un nuevo
concepto del que hasta ahora s\'{o}lo hab\'{\i}amos hablado
ilustr\'{a}ndolo sobre ejemplos. Este es el concepto de
estabilidad que pasamos a definir de una forma m\'{a}s rigurosa.

\begin{dfn}\label{trecin}
Se dice que el m\'{e}todo (\ref{euex})  es \textbf{estable} cuando
para cualquier
terna de sucesiones $\{y_{n}\}_{n=0}^{N},$ $\{z_{n}\}_{n=0}^{N}$ y $%
\{E_{n}\}_{n=1}^{N}$ verificando las relaciones:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})
\]

\[
z_{n+1}=z_{n}+h_{n}\, g(t_{n},z_{n},h_{n})+E_{n+1}
\]
se puede encontrar una constante $M$ tal que:
\[
{Sup}_{0\leq n\leq N}\left\{ \left| z_{n}-y_{n}\right| \right\}
\leq M\, \left[ \left| z_{0}-y_{0}\right|
+\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| \right]
\;\;\;\;\;\;\forall h\in ]0,H]
\]
\end{dfn}

Antes de utilizar esta definici\'{o}n de estabilidad interpretemos
qu\'{e} nos est\'{a} diciendo. Por una parte, si un m\'{e}todo es
estable y consistente en el sentido de la definici\'{o}n que acaba
de darse se puede afirmar que si la soluci\'{o}n exacta de
$(P.V.I.)$ no ``explota'' la soluci\'{o}n aproximada tampoco
``explotar\'{a}'' pues su diferencia con la exacta estar\'{a}
acotada por una cantidad finita. Esta interpretaci\'{o}n es la que
utiliz\'{a}bamos en alguno de los ejemplos con los que
ilustr\'{a}bamos el comportamiento del m\'{e}todo de Euler. Pero,
por otra parte, si en la definici\'{o}n dada se toma como
$z_{n}=y(t_{n})$ (es decir el valor exacto de la soluci\'{o}n),
como $y_{n}$ el valor aproximado y por $E_{n}$ se designa al error
de consistencia del m\'{e}todo, el que un m\'{e}todo sea estable
querr\'{a} decir que el m\'{a}ximo error cometido en uno de los
puntos de c\'{a}lculo $t_{n}$ puede acotarse por $M$ veces la suma
de los errores de consistencia m\'{a}s el error (de redondeo) que
se cometa con la estimaci\'{o}n del valor inicial. Por ello si se
logra demostrar que un m\'{e}todo es estable, bastar\'{a} con
demostrar que adem\'{a}s es consistente para asegurar la
convergencia del m\'{e}todo. Esta lectura que hemos hecho de la
definici\'{o}n de estabilidad es la que se recoge en el siguiente
teorema:

\beteor Si el m\'{e}todo definido en (\ref{euex})  es un
m\'{e}todo estable y consistente
entonces si el esquema de c\'{a}lculo se inicializa con el valor $%
y_{0}=y(t_{0})$ el m\'{e}todo tambi\'{e}n es convergente. \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

De la definici\'{o}n del esquema (\ref{euex})  y de la
definici\'{o}n de error de consistencia se tiene que:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})
\]

\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})+E_{n+1}
\]
por lo que si el m\'{e}todo fuese estable se deducir\'{\i}a que:
\[
\exists M/\;{Sup}_{0\leq n\leq N}\left\{ \left|
y(t_{n})-y_{n}\right| \right\} \leq M\, \left[ \left|
y(t_{0})-y_{0}\right| +\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right|
\right] \;\;\;\;\;\;\forall h\in ]0,H]
\]
por lo que si el m\'{e}todo se inicializa con el valor
$y_{0}=y(t_{0})$ la consistencia implica:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left({Sup}_ {0\leq n\leq N}%
\left\{ \left| y(t_{n})-y_{n}\right| \right\} \right) \leq {\lim
}_{h\rightarrow 0}\left( \sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right|
\right) =0
\]
lo que demuestra el teorema.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse Obs\'{e}rvese que, inversamente, la convergencia del
m\'{e}todo garantiza tambi\'{e}n la consistencia pues de la
relaci\'{o}n que obtuvimos en la propiedad que relacionaba el
error de consistencia con el error del m\'{e}todo:
\[
e_{n+1}=e_{n}+h_{n}\left(
g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})-g(t_{n},y_{n},h_{n})\right) +E_{n+1}
\]
puede inferirse que
\[
\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| =\left|
e_{N}-e_{0}+\sum\limits_{n=0}^{N}h_{n}\left(
g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})-g(t_{n},y_{n},h_{n})\right) \right|
\]
de donde, considerando que la convergencia del m\'{e}todo implica
que el mayor de los errores del m\'{e}todo en cada punto tiende
hacia $0$ con $h$ resulta que:
\[
\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| \leq \left| e_{N}\right|
+\left| e_{0}\right| +\sum\limits_{n=0}^{N}h\, \left|
g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})-g(t_{n},y_{n},h_{n})\right| \Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow {\lim }_{h\rightarrow 0}\left(
\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right| \right) \leq {\lim
}_{h\rightarrow 0}\left( \left| e_{N}\right| +\left| e_{0}\right|
\right) =0
\]

Asimismo, la convergencia tambi\'{e}n garantiza la estabilidad del
esquema pues si la mayor de las diferencias entre la soluci\'{o}n
exacta y la soluci\'{o}n a\-pro\-xi\-ma\-da tiende a $0$ con $h,$
la soluci\'{o}n aproximada, cuando $h$ tienda a $0$
permanecer\'{a} acotada siempre lo haga la soluci\'{o}n exacta.
\enobse

El teorema anterior nos marca el camino usual para estudiar la
convergencia de los m\'{e}todos num\'{e}ricos: analizar la
consistencia y la estabilidad de los mismos. En este sentido
presentamos a continuaci\'{o}n algunos teoremas que pueden
facilitarnos este tipo de estudios.

\beteor Una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que el
m\'{e}todo dado por (\ref{euex})  sea consistente con la EDO del
problema $(P.V.I.)$ es que se verifique:
\[
g(t,y,0)=f(t,y)
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

A)\ Demostremos en primer lugar que la condici\'{o}n dada es
suficiente. Para ello supongamos que se verifica dicha
condici\'{o}n demostremos que entonces el esquema es consistente.
En efecto, de la EDO de $(P.V.I.)$ se tiene que:
\[
y^{\prime }(t)=f(t,y(t))\Rightarrow {\lim }_{h_{n}\rightarrow 0}%
\frac{y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})}{h_{n}}=f(t_{n},y(t_{n}))\Rightarrow
\]

\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left[ y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})-h_{n}\,
f(t_{n},y(t_{n}))\right] =0
\]
por lo que si se verifica la condici\'{o}n expresada en el
enunciado se puede escribir que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\left( \sum\limits_{n=1}^{N}\left|
E_{n}\right| \right) ={\lim }_{h\rightarrow 0}\left(
\sum\limits_{n=0}^{N-1}\left| y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})-h_{n}\,
g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right| \right) \leq
\]
\[
\leq \sum\limits_{n=0}^{N-1}{\lim }_{h\rightarrow 0}\left|
y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})-h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right| =
\]
\[
=\sum\limits_{n=0}^{N-1}{\lim }_{h\rightarrow 0}\left|
y(t_{n}+h_{n})-y(t_{n})-h_{n}\, f(t_{n},y(t_{n}))\right| =0
\]
lo que asegura la consistencia del m\'{e}todo. \es

B) Demostremos ahora que, adem\'{a}s, la condici\'{o}n es
necesaria. Para ello supongamos que el m\'{e}todo es consistente y
demostremos que entonces se ha de verificar la condici\'{o}n del
enunciado. En efecto, puesto que:
\[
E_{n+1}=y(t_{n+1})-y(t_{n})-h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})
\]
la aplicaci\'{o}n del teorema de incrementos finitos nos asegura
que:
\[
\exists \xi _{n}\in ]t_{n},t_{n+1}[\;/\;E_{n+1}=h_{n}\, \left(
f(t_{n},y(\xi _{n}))-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right)
\]
por lo que,
\[
E_{n+1}=h_{n}\, \left( f(t_{n},y(\xi
_{n}))-g(t_{n},y(t_{n}),0)+g(t_{n},y(t_{n}),0)-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})%
\right) =
\]
\[
=\alpha _{n}+h_{n}\, \beta _{n}
\]donde
\[
\alpha _{n}=h_{n}\, \left( f(t_{n},y(\xi
_{n}))-g(t_{n},y(t_{n}),0)\right)
\]
y
\[
\beta _{n}=\left(
g(t_{n},y(t_{n}),0)-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right)
\]

Recordando el concepto de integral de Riemann resulta que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0} \left( \sum\limits_{n=0}^{N-1}\left|
\alpha _{n}\right| \right)
=\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_{N}}\left| f(\xi ,y(\xi
))-g(\xi ,y(\xi ),0)\right| \, d\xi
\]
y, por otra parte
\[
\left| \beta _{n}\right| \leq \beta (h)={Sup}_{0\leq \mu \leq
h,\,\left| t-\tau \right| \leq h}\left\{ \left| g(t,y(t),0)-g(\tau
,y(\tau ),\mu )\right| \right\}
\]
de donde, por continuidad de la funci\'{o}n $g$ se tiene que:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0}\beta (h)=0
\]
por lo que
\[
\sum\limits_{n=0}^{N-1}\left| h_{n}\, \beta _{n}\right| \leq
(t_{N}-t_{0})\, \beta (h)\Rightarrow {\lim }_{h\rightarrow 0}%
\left( \sum\limits_{n=0}^{N-1}\left| h_{n}\, \beta _{n}\right|
\right) =0
\]

En resumen:
\[
{\lim }_{h\rightarrow 0} \left( \sum\limits_{n=0}^{N-1}\left|
E_{n+1}\right| \right)
=\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_{N}}\left| f(\xi ,y(\xi
))-g(\xi ,y(\xi ),0)\right| \, d\xi
\]
por lo que si se supone que el m\'{e}todo es consistente se debe
verificar, por la continuidad de $g$ que:
\[
0=\displaystyle\int\limits_{t_{0}}^{t_{N}}\left| f(\xi ,y(\xi
))-g(\xi ,y(\xi ),0)\right| \, d\xi \Rightarrow
f(t,y(t))=g(t,y(t),0)
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Antes de demostrar las condiciones que aseguran la estabilidad de
un m\'{e}todo gen\'{e}rico de pasos libres, demostremos un lema
previo que utilizaremos m\'{a}s adelante.

\begin{lema}  Siendo $A$ una constante positiva y dadas tres
sucesiones de n\'umeros
reales no negativos $\{a_{n}\}_{n=0}^{N},$ $\{b_{n}\}_{n=1}^{N}$ y $%
\{h_{n}\}_{n=0}^{N-1}$ satisfaciendo la relaci\'{o}n:
\[
a_{n+1}\leq (1+A\, h_{n})\, a_{n}+b_{n+1}
\]
se verifica para todo valor de $n$ entre $0$ y $N-1$ que:
\[
a_{n+1}\leq e^{A\, (t_{n+1}-t_{0})}\,
a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{n}e^{A\, (t_{n+1}-t_{t+1})}\, b_{i+1}
\]
donde $se$ ha denotado por
$t_{n}=t_{0}+\sum\limits_{j=0}^{n-1}h_{j},$ siendo $t_{0}$ un
valor arbitrario.
\end{lema}

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Para $n=0$ la hip\'{o}tesis realizada sobre las sucesiones nos
conduce a que:
\[
a_{1}\leq (1+A\, h_{0})\, a_{0}+b_{1}\leq e^{A\, h_{0}}\,
a_{0}+b_{1}=e^{A\, (t_{1}-t_{0})}\,
a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{0}e^{A\, (t_{1}-t_{i+1})}\, b_{1}
\]
por lo que para $n=0$ se verifica el lema.

Procedamos ahora por inducci\'{o}n, suponiendo que el lema se
verifica para un cierto valor de $(n-1)$ y demostremos que
entonces tambi\'{e}n se verifica para el valor $n.$ En efecto si
el lema es cierto para $(n-1)$ se tendr\'{a} que siendo $n>$ $1$:
\[
a_{n}\leq e^{A\, (t_{n}-t_{0})}\,
a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}e^{A\, (t_{n}-t_{t+1})}\, b_{i+1}
\]
por lo que, utilizando la hip\'{o}tesis realizada sobre las
sucesiones, se tiene que:
\[
a_{n+1}\leq (1+A\, h_{n})\, a_{n}+b_{n+1}\leq
\]

\[
\leq (1+A\, h_{n})\, \left( e^{A\, (t_{n}-t_{0})}\,
a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}e^{A\, (t_{n}-t_{t+1})}\,
b_{i+1}\right) +b_{n+1}=
\]

\[
=(1+A\, h_{n})\, e^{A\, (t_{n}-t_{0})}\, a_{0}+(1+A\, h_{n})\,
\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left( e^{A\, (t_{n}-t_{t+1})}\,
b_{i+1}\right) +b_{n+1}\leq
\]

\[
\leq e^{A\, (t_{n+1}-t_{0})}\, a_{0}+e^{A\, (t_{n+1}-t_{n})}\,
\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left( e^{A\, (t_{n}-t_{t+1})}\,
b_{i+1}\right) +b_{n+1}=
\]

\[
=e^{A\, (t_{n+1}-t_{0})}\, a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{n-1}\left(
e^{A\, (t_{n+1}-t_{t+1})}\, b_{i+1}\right) +e^{A\,
(t_{n+1}-t_{n+1})}\, b_{n+1}=
\]

\[
=e^{A\, (t_{n+1}-t_{0})}\, a_{0}+\sum\limits_{i=0}^{n}\left(
e^{A\, (t_{n+1}-t_{t+1})}\, b_{i+1}\right)
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Con ayuda del lema previo podemos abordar ya el estudio de las
condiciones que garantizan la estabilidad del m\'{e}todo general
de un paso. Ello lo hacemos en el siguiente teorema:

\beteor\label{teolip} Una condici\'{o}n suficiente para que el
m\'{e}todo dado por la expresi\'{o}n (\ref{euex})  sea estable es
que $g$ sea lipschitciana respecto a su segunda variable, es decir
que:
\[
\exists L\in \R/\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| \leq L\, \left|
y-z\right| \;\forall t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] ,\forall h\in
]0,H[,\forall y,z\in \R
\]

Adem\'{a}s en dicho caso, la constante $M$ que interviene en la
definici\'{o}n de estabilidad dada en la definici\'{o}n
(\ref{trecin}) est\'{a} dada por:
\[
M=e^{L\, (t_{N}-t_{0})}
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Supongamos que $\{y_{n}\}_{0\leq n\leq N},$ $\{z_{n}\}_{0\leq n\leq N},$ y $%
\{E_{n}\}_{1\leq n\leq N}$ son tres sucesiones verificando:

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})
\]

\[
z_{n+1}=z_{n}+h_{n}\, g(t_{n},z_{n},h_{n})+E_{n+1}
\]

Se tiene entonces que:
\[
\left| y_{n+1}-z_{n+1}\right| \leq \left| y_{n}-z_{n}\right|
+h_{n}\, \left| g(t_{n},y_{n},h_{n})-g(t_{n},z_{n},h_{n})\right|
+\left| E_{n+1}\right|
\]
y por ser $g$ lipschitciana respecto a su segunda variable:
\[
\left| y_{n+1}-z_{n+1}\right| \leq (1+L\, h_{n})\, \left|
y_{n}-z_{n}\right| +\left| E_{n+1}\right|
\]
por lo que aplicando el lema precedente con $A$ $=L,$
$a_{n}=\left| y_{n}-z_{n}\right| $ y $b_{n}=\left| E_{n}\right| $
se deduce que:
\[
\left| y_{n+1}-z_{n+1}\right| \leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\,
\left| y_{0}-z_{0}\right| +\sum\limits_{i=0}^{n}e^{L\,
(t_{n+1}-t_{i+1})}\, \left| E_{n+1}\right| \;\;(0\leq n\leq N-1)
\]

De la expresi\'{o}n anterior se obtiene:

\[
\left| y_{n+1}-z_{n+1}\right| \leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\,
\left| y_{0}-z_{0}\right| +e^{L\, (t_{N+1}-t_{0})}\,
\sum\limits_{i=0}^{n}\left| E_{n+1}\right| \;\;(0\leq n\leq
N-1)\Rightarrow
\]

\[
\left| y_{n+1}-z_{n+1}\right| \leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\left(
\, \left| y_{0}-z_{0}\right| +\sum\limits_{i=0}^{n}\left|
E_{n+1}\right| \right) \;(0\leq n\leq N-1)\Rightarrow
\]
\[
{Sup}_{0\leq n\leq N}\left| y_{n}-z_{n}\right| \leq e^{L\,
(t_{N}-t_{0})}\left( \, \left| y_{0}-z_{0}\right|
+\sum\limits_{i=0}^{n}\left| E_{n+1}\right| \right)
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Los dos teoremas anteriores se pueden resumir en el siguiente:

\beteor Dado el problema de valor inicial:
\[
(P.V.I.)\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)), & \qquad t\in [t_{0},t_{0}+T] \\
y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right.
\]
y considerando el m\'{e}todo num\'{e}rico de pasos libres:

\begin{eqnarray*}
&&y_{0}\;\;\;dado \\
y_{n+1} &=&y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})\qquad (n=0,1,...N-1)
\end{eqnarray*}
entonces, bajo las hip\'{o}tesis:
\[
\begin{array}{l}
1{{}^{a}})  g(t,y,0)=f(t,y) \\
2{{}^{a}})  \exists L\in \R/\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| \leq
L\, \left| y-z\right|\\
\forall t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] ,\forall h\in ]0,H[,\forall
y,z\in \R
\end{array}
\]
el m\'{e}todo de pasos libres es convergente. \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Es una consecuencia inmediata de los dos teoremas anteriores.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beteor Bajo las hip\'{o}tesis:

\[
\begin{array}{l}
1{{}^{a}})  g(t,y,0)=f(t,y) \\
2{{}^{a}})  \exists L\in \R/\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| \leq
L\, \left| y-z\right| \\
\forall t\in \left[ t_{0},t_{N}\right] ,\forall h\in ]0,H[,\forall
y,z\in \R
\end{array}
\]
el error del m\'{e}todo de pasos libres (\ref{euex})  puede
acotarse mediante la expresi\'{o}n:
\[
\left| y(t_{n})-y_{n}\right| \leq e^{L\, (t_{n}-t_{0})}\, \left|
y(t_{0})-y_{0}\right| +C(h)\, \frac{1}{L}\, \left( e^{L\,
(t_{n}-t_{0})}-1\right)
\]
donde $C(h)$ s\'{o}lo depende de $h$ $=$ ${Sup}_{0\leq n\leq N-1}%
\left\{ h_{n}\right\} .$ \enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

N\'otese que si en el teorema \ref{teolip} se considera
$z_{n}=y(t_{n})$, entonces se tiene que para $0\leq n\leq N-1$,
\[
\left| y(t_{n+1})-y_{n+1}\right| \leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\,
\left| y(t_{0})-y_{0}\right| +\sum\limits_{i=0}^{n}e^{L\,
(t_{n+1}-t_{i+1})}\, \left| E_{n+1}\right|
\]
donde $E_{n+1}$ es el error de consistencia que est\'{a} dado por:
\[
E_{n+1}=y(t_{n+1})-y(t_{n})-h_{n}\, g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})
\]

Por otra parte, habida cuenta de la EDO que define el problema de
valor inicial y aplicando el teorema de incrementos finitos se
tiene que:
\[
\exists \xi _{n}\in
]t_{n},t_{n+1}[\;\;/\;\;y(t_{n+1})-y(t_{n})=h_{n}\, f(\xi
_{n},y(\xi _{n}))
\]
por lo que:
\[
\exists \xi _{n}\in ]t_{n},t_{n+1}[\;\;/\;\;E_{n+1}=h_{n}\, \left[
f(\xi _{n},y(\xi _{n}))-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right]\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \qquad \exists \xi _{n}\in
]t_{n},t_{n+1}[\;\;/\;\;E_{n+1}=h_{n}\, \left( f(\xi _{n},y(\xi
_{n}))-g(\xi _{n},y(\xi _{n}),0)\right) +
\]

\[
+h_{n}\left( g(\xi _{n},y(\xi
_{n}),0)-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right)
\]
y por verificarse la primera de las hip\'{o}tesis supuestas en el
enunciado:
\[
\exists \xi _{n}\in ]t_{n},t_{n+1}[\;\;/\;\;E_{n+1}=h_{n}\, \left(
g(\xi _{n},y(\xi _{n}),0)-g(t_{n},y(t_{n}),h_{n})\right)
\]
de donde, denotando por
\[
C(h)={Sup}_{\{0\leq h^{\prime }\leq h ,\,\left| t-\xi \right| \leq
h\}} \left[ \left| g(t,y(t),0)-g(\xi ,y(\xi ),h^{\prime })\right|
\right]
\]
resulta que
\[
\left| E_{n+1}\right| \leq C(h)h_{n}
\]

Volviendo ahora a nuestra desigualdad inicial, para todo valor de
$n$ comprendido entre $0$ y $N-1$ se tiene que:
\[
\left| y(t_{n+1})-y_{n+1}\right| \leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\,
\left| y(t_{0})-y_{0}\right| +C(h)\, \sum\limits_{i=0}^{n}e^{L\,
(t_{n+1}-t_{i+1})}\, h_{i}\leq
\]
\[
\leq e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}\, \left| y(t_{0})-y_{0}\right|
+C(h)\,
\sum\limits_{i=0}^{n}\displaystyle\int\limits_{t_{i}}^{t_{i+1}}e^{L\,
(t_{n+1}-t)}dt\;\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \left| y(t_{n+1})-y_{n+1}\right| \leq e^{L\,
(t_{n+1}-t_{0})}\, \left| y(t_{0})-y_{0}\right| +C(h)\, \frac{%
e^{L\, (t_{n+1}-t_{0})}-1}{L}
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Una vez analizada la convergencia de un m\'{e}todo general de
pasos libres podemos presentar un teorema que nos permite
determinar de manera sencilla el orden de convergencia de
m\'{e}todo (\ref{euex}).

\beteor Suponiendo que la funci\'{o}n $f$ que interviene en el
problema $(P.V.I)$ es
una funci\'{o}n $k$ veces continuamente diferenciable en $%
]t_{0},t_{N}[\times \R$ y siendo la funci\'{o}n $g$ que interviene
en la definici\'{o}n del m\'{e}todo dado por (\ref{euex}) una
funci\'{o}n $k$ veces continuamente diferenciable en
$]t_{0},t_{N}[\times \R\times ]0,H[$ , una condici\'{o}n necesaria
y suficiente para que el m\'{e}todo sea
convergente de orden $k$ es que se verifiquen para todo par de valores $%
(t,y) $ de $]t_{0},t_{N}[\times \R$ las $k$ igualdades siguientes:

\[
\begin{array}{lll}
g(t,y,0) & =f(t,y) &  \\
\dis\frac{\partial g}{\partial h}g(t,y,0) & =\dis\frac{1}{2}\, \left[ \dis\frac{%
\partial f}{\partial x}(t,y)+\dis\frac{\partial f}{\partial x}(t,y)\,
f(t,y)\right] & =\dis\frac{1}{2}\, \dis\frac{df}{dx}(t,y) \\
\dis\frac{\partial ^{2}g}{\partial h^{2}}(t,y,0) & =\dis\frac{1}{3}\, [\dis\frac{%
\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}+2\, \dis\frac{\partial ^{2}f}{\partial
x\partial y}\, f+ &  \\
& +\dis\frac{\partial f}{\partial x}\, \dis\frac{\partial
f}{\partial x}+\left(
\dis\frac{\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}\right) ^{2}\, f+\dis\frac{\partial ^{2}f%
}{\partial y^{2}}\, f^{2}] & =\dis\frac{1}{3}\dis\frac{d^{2}f}{dx^{2}}(t,y) \\
.... & ..... & ..... \\
\dis\frac{\partial ^{(k-1)}g}{\partial h^{(k-1)}}(t,y,0) &
=\dis\frac{1}{k}\, \dis\frac{d^{(k-1)}f}{dx^{(k-1)}}(t,y) &
\end{array}
\]
\enteor

\underline{Demostraci\'{o}n:}

Cons\'{u}ltese Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot
A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}.

\beobse Las ma\-yo\-ra\-ciones realizadas en los teoremas
precedentes son, a menudo, muy ``pesimistas'', es decir utilizando
magnitudes sobremayoradas.
En muchos casos (imponiendo m\'{a}s condiciones a las funciones $f(t,y)$ y $%
g(t,y,h))$ pueden obtenerse acotaciones m\'{a}s precisas. Por
ejemplo, en Crouzeix y Mignot$^{19}$
%\footnote{Crouzeix, M., Mignot A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des
%\'{e}quations diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}
pueden encontrarse algunas de ellas. En esa misma referencia puede
encontrarse la demostraci\'{o}n del siguiente teorema: \enobse

\beteor Bajo las hip\'{o}tesis:
\begin{itemize}
\item[a)] Si el m\'{e}todo (\ref{euex})
 es estable y consistente de orden $k$, con $%
k\geq 1,$
\item[b)] la funci\'{o}n $f$ se supone ($k+1)$ veces continuamente diferenciable en
$]t_{0},t_{N}[\times \R$
\item[c)] siendo la funci\'{o}n $g$ que interviene en la definici\'{o}n del
m\'{e}todo una funci\'{o}n ($k+1)$ veces continuamente diferenciable en $%
]t_{0},t_{N}[\times \R\times ]0,H[$
\item[d)] la longitud de los intervalos de integraci\'{o}n $h_{n}$ puede expresarse
como una funci\'{o}n $h_{n}=h (\theta (t_{n})+0(h)),$ siendo
$\theta (t) $ una funci\'{o}n lipschitciane en $[t_{0},t_{N}]$ y
tal que $0<\theta (t)\leq 1$ para todo valor de $t$
\item[e)] si para los diferentes valores de $h$ que puedan considerarse la
aproximaci\'{o}n $y_{0,h}$ que se tome del valor inicial $y_{0}$
satisface que $\left| y_{0}-y_{0,h}\right| =O(h^{k+1})$.
\end{itemize}
entonces el error del m\'{e}todo en $t_{n}$ satisface la
expresi\'{o}n:
\[
e_{n}=y(t_{n})-y_{n}=h^{k}\, z_{1}(t_{n})+(y_{0}-y_{0,h})\,
z_{0}(t_{n})+O(h^{k+1})
\]
donde $z_{0}(t)$ y $z_{1}(t)$ son las soluciones de los problemas
de valor inicial siguientes:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
z_{0}^{^{\prime }}(t) & =\dis\frac{\partial f}{\partial y}(t,y(t))
z_{0}(t)
\\
z_{0}(t_{0}) & =1
\end{array}
\right.
\]
y
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
z_{1}^{^{\prime }}(t) & =\dis\frac{\partial f}{\partial
y}(t,y(t))\,
z_{1}(t)+\left[ \dis\frac{1}{(k+1)!} \dis\frac{d^{k}f}{dx^{k}}(t,y(t))-\dis\frac{1}{%
k!}\, \dis\frac{d^{k}g}{dh^{k}}(t,y(t),0)\right] \left( \theta
(t)\right) ^{k} \\
z_{1}(t_{0}) & =0
\end{array}
\right.
\]
\enteor

\beobse El teorema anterior puede ser utilizado, entre otras
cosas, para di\-se\-\~{n}ar estrategias de control del tama\~{n}o
de paso basadas en la extrapolaci\'{o}n de Richardson. En efecto,
en dicho teorema se establece que dado un m\'{e}todo estable de
orden $k$ (y bajo hip\'{o}tesis de regularidad suficientes) en un
punto $t^{*}$ puede ob\-te\-ner\-se una aproximaci\'{o}n con un
tama\~{n}o de paso $h$ que denotaremos por $y_{n,h}$
y otra aproximaci\'{o}n $y_{m,q\, h}$ utilizando un tama\~{n}o de paso $%
q\, h$ verific\'{a}ndose entonces que:
\[
y(t_{*})=y_{n,h}+h^{k}\, z_{1}(t^{*})+O(h^{k+1})
\]

\[
y(t_{*})=y_{m,q\, h}+q^{k}\, h^{k}\, z_{1}(t^{*})+O(h^{k+1})
\]

Combinando las dos expresiones anteriores se obtiene que:
\[
\dis\frac{q^{k}\, y_{n,h}-y_{m,q\,
h}}{q^{k}-1}=y(t^{*})+O(h^{k+1})
\]
y que
\[
y_{n,h}-y(t_{*})=\dis\frac{y_{m,q\,
h}-y_{n,h}}{q^{k}-1}+O(h^{k+1})
\]

La \'{u}ltima de las expresiones obtenidas nos permite considerar
que:
\[
\dis\frac{y_{m,q\, h}-y_{n,h}}{q^{k}-1}
\]
es una estimaci\'{o}n del error cometido al actuar con paso $h.$

Con estas consideraciones una t\'{e}cnica para controlar
autom\'{a}ticamente el paso de c\'{a}lculo consiste en calcular el
valor $y_{n+1,h}$ a partir de
$y_{n}$ (es decir con un tama\~{n}o de paso $h_{n})$ y calcular $%
y_{n+1,h^{\prime }}$ a partir de $y_{n-1}$ (es decir con tama\~{n}o de paso $%
h^{\prime }=h_{n-1}+h_{n})$ denotando por $q$ al valor:
\[
q=\dis\frac{h_{n}+h_{n+1}}{h_{n}}
\]

Si, siendo $\varepsilon $ una tolerancia de error asumible y dada
por el usuario, se verificase que:
\[
\left| \dis\frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q^{k}-1}\right|
\leq \varepsilon
\]
el error cometido entre la aproximaci\'{o}n obtenida con paso $h$
y la soluci\'{o}n exacta es un error aceptable y podr\'{\i}a
intentar operarse con un tama\~{n}o de paso $q\, h_{n}$ para
etapas posteriores del m\'{e}todo. Adem\'{a}s el valor aproximado
puede mejorarse mediante:
\[
\widehat{y}_{n+1}=y_{n+1,h}-\dis\frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q^{k}-1}=%
\dis\frac{q^{k}\, y_{n+1,h}-y_{n+1,h^{\prime }}}{q^{k}-1}
\]

Si por el contrario resultara que:
\[
\left| \dis\frac{y_{n+1,h^{\prime }}-y_{n+1,h}}{q-1}\right|
>\varepsilon
\]
resultar\'{a} que el tama\~{n}o de paso $h_{n}$ no nos garantiza
un error aceptable en la estimaci\'{o}n de la soluci\'{o}n
aproximada obtenida por el m\'{e}todo de Euler. Ello
aconsejar\'{a} reducir el tama\~{n}o del paso
utilizado (por ejemplo a la mitad) pasando a de\-no\-mi\-nar\-se $t_{n+1}$ al punto $%
t_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2}$ considerando entonces que $h_{n}$ toma
un valor igual a la mitad que el que ten\'{\i}a. Con este nuevo
tama\~{n}o de paso puede volver a repetirse el mismo proceso.
\enobse

\section{Los m\'{e}todos de Runge-Kutta}

Los m\'etodos de Runge-Kutta representan el ejemplo m\'as
cl\'asico de los m\'etodos de pasos libres.

\subsection{Descripci\'on.}

Consideramos el problema de valor inicial $(P.V.I.)$ y la
subdivisi\'{o}n
del intervalo $[t_{0},t_{N}]$ generando los puntos $%
t_{0}<t_{1}<....<t_{n}<....<t_{N}$, y con subintervalos
$[t_{n},t_{n+1}]$ de longitud $h_{n}$ ($n=0,\,1,\,...,\,N-1$). \es

Siendo $y(t_{n})$ el valor de la soluci\'{o}n en $t_{n}$, el valor
exacto de la soluci\'{o}n en $t_{n+1}$ puede estimarse mediante la
expresi\'{o}n:

\begin{equation}
y(t_{n+1})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,
dt  \label{unrk}
\end{equation}

Una forma de obtener aproximaciones de dicho valor consistir\'a en
aproximar la integral que aparece en \ref{unrk} mediante una
f\'ormula de integraci\'on num\'erica:

\begin{equation}
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{j=1}^{p}a_{j}\, f(t_{n,j},y_{n,j})
\label{dosrk}
\end{equation}
donde $p$ es el n\'{u}mero de puntos de integraci\'{o}n usados en
la f\'{o}rmula escogida, $h_{n}a_{j}$ ($j\,=\,1,\,...,\,p$) son
los pesos de dicha f\'{o}rmula, $t_{n,j}$ ($j\,=\,1,\,...,\,p$)
son los $p$ puntos pertenecientes al intervalo $[t_{n},t_{n+1}]$
que act\'{u}an como soporte para la f\'{o}rmula de integraci\'{o}n
y, finalmente, $y_{n,j}$ son los valores (o una aproximaci\'{o}n
de ellos) de $y(t)$ en los puntos $t_{n,j}$. \es

El problema que plantea el uso de (\ref{dosrk}) es c\'omo evaluar
$y_{n,j}$. Para ello, de forma similar a (\ref{unrk}) se
considerar\'a que:

\begin{equation}\label{tresrk}
y(t_{n,j})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,j}}f(t,y(t))\,
dt ,\qquad j\,=\,1,\,2\,\,s ,\,p
\end{equation}
por lo que una aproximaci\'on de dichos valores puede obtenerse,
nuevamente, a\-pro\-xi\-man\-do la integral anterior. Y en los
m\'etodos de Runge-Kutta esta apro\-xi\-ma\-ci\'on se realiza
utilizando los mismos puntos que en la expresi\'on (\ref{dosrk}),
es decir:

\begin{equation}\label{carlos}
y_{n,j}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{i=1}^{p}b_{j,i}\,
f(t_{n,i},y_{n,i})\;\;\;\;(j\,=\,1,\,\,s ,\,p)
\end{equation}
donde $h_{n}b_{j,k}$ ($j,\,k\,=\,1,\,...,\,p$) es el peso otorgado al punto $%
t_{n,k}$ en la f\'{o}rmula de integraci\'{o}n num\'{e}rica
utilizada para aproximar el valor de $y(t)$ en $t_{n,j}$. \es

Las expresiones dadas por (\ref{carlos}) m\'{a}s la expresi\'{o}n
\ref{dosrk} forman un sistema de ($p+1$) ecuaciones en las que las
inc\'{o}gnitas son los $p$ valores $y_{n,j}$ ($j\,=\,1,\,...,\,p$)
y el valor $y_{n+1}$. El uso de una u otra f\'{o}rmula de
integraci\'{o}n num\'{e}rica en las expresiones (\ref{dosrk}) y
(\ref{carlos}) conduce a muy distintos esquemas de tipo
Runge-Kutta. Por ello para definir una f\'{o}rmula de Runge-Kutta
se debe concretar cu\'{a}les son los puntos $t_{n,j}$
($j\,=\,1,\,...,\,p$) utilizados en las f\'{o}rmulas de
integraci\'{o}n num\'{e}rica, cu\'ales son los coeficientes
$b_{j,k}$ ($j,k\,=\,1,\,...,\,p$) usados en las
f\'{o}rmulas (\ref{carlos}) y cu\'ales son los coeficientes $a_{j}$ ($%
j\,=\,1,\,...,\,p$) que intervienen en la expresi\'{o}n
(\ref{dosrk}). Habitualmente, los puntos $t_{n,j}$ se suelen
definir mediante una expresi\'{o}n del tipo:

\[
t_{n,j}=t_{n}+c_{j}\, h_{n}\;\;(j\,=\,1,\,...,\,p)
\]
y el esquema se define mediante la tabla siguiente:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc|}
\cline{2-5}
$c_1$ & $b_{1,1}$ & $b_{1,2}$ & $\,s$ & $b_{1,p}$ \\
$c_2$ & $b_{2,1}$ & $b_{2,2}$ & $\,s$ & $b_{2,p}$ \\
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\
$c_p$ & $b_{p,1}$ & $b_{p,2}$ & $\,s$ & $b_{p,p}$ \\ \cline{2-5}
\multicolumn{1}{c}{} & $a_1$ & $a_2$ & $\,s$ &
\multicolumn{1}{c}{$a_p$}
\end{tabular}
\end{center}

En dicha tabla designaremos por vector $\mathbf{a}$, matriz
$\mathbf{B}$ y matriz $\mathbf{C}$ al vector y matrices
siguientes:

\begin{equation}\label{nana}
\mathbf{a}\;=\;\left\{
\begin{array}{c}
a_{1} \\
a_{2} \\
\vdots \\
a_{p}
\end{array}
\right\} ,\;\;\mathbf{B}\;=\;\left[
\begin{array}{cccc}
b_{1,1} & b_{1,2} & \,s & b_{1,p} \\
b_{2,1} & b_{2,2} & \,s & b_{2,p} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
b_{p,1} & b_{p,2} & \,s & b_{p,p}
\end{array}
\right] ,\;\mathbf{C}\;=\;\left[
\begin{array}{cccc}
c_{1} & 0 & \,s & 0 \\
0 & c_{2} & \,s & 0 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \,s & c_{p}
\end{array}
\right]
\end{equation}

\subsection{Ejemplos de m\'etodos.}

\subsubsection{Un primer ejemplo.}\label{auno}

Puede dise\~narse un m\'etodo de Runge-Kutta en el que la
f\'ormula que nos proporcione $y_{n+1}$ utilice la f\'ormula de
Simpson:

\[
\displaystyle\int_{a}^{b}\phi (x)dx\approx \dis\frac{b-a}{6}\,
\left( \phi (a)+4\, \phi \left( \dis\frac{a+b}{2}\right) +\phi
(b)\right)
\]
Para ello, se tomar\'{a} $p=3$ y en el intervalo $[t_{n},t_{n+1}]$
los puntos de integraci\'{o}n ser\'{a}n:

\[
\begin{array}{cclr}
t_{n,1} & = & t_{n} & (\rightarrow c_{1}=0) \\
t_{n,2} & = & t_{n}+0.5\, h_{n} & (\rightarrow c_{2}=0.5) \\
t_{n,3} & = & t_{n}+h_{n} & (\rightarrow c_{3}=1)
\end{array}
\]
y los pesos de integraci\'on en la f\'ormula considerada ser\'an:

\[
a_{1}=\dis\frac{1}{6},\;\;a_{2}=\dis\frac{4}{6},\;\;a_{3}=\dis\frac{1}{6}
\]
resultando:

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \left( \dis\frac{1}{6}\, f(t_{n,1},y_{n,1})+\dis\frac{4}{%
6}\, f(t_{n,2},y_{n,2})+\dis\frac{1}{6}\,
f(t_{n,3},y_{n,3})\right)
\]

Para emplear la f\'ormula anterior es necesario evaluar: $%
y_{n,1}\;(=y_n),\;y_{n,2}$ e $y_{n,3}$. Para ello se sabe que:

\begin{eqnarray*}
y_{n,1} &=&y_{n} \\
y_{n,2} &=&y_{n}+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,2}}f(t,y(t))\, dt \\
y_{n,3} &=&y_{n}+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,3}}f(t,y(t))\, dt
\end{eqnarray*}
y evaluando la primera de las integrales mediante la f\'{o}rmula
del trapecio:

\begin{eqnarray*}
\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,2}}f(t,y(t))\, dt &\approx &\dis\frac{t_{n,2}-t_{n}}{2}%
\, \left( f(t_{n},y_{n})+f(t_{n,2},y_{n,2})\right) \\
&=&\dis\frac{h_{n}}{4}\, \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n,2},y_{n,2})\right)
\end{eqnarray*}
y la segunda mediante el m\'etodo del punto medio:

\begin{eqnarray*}
\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,3}}f(t,y(t))\, dt &\approx
&(t_{n,3}-t_{n})\,
f(t_{n,2},y_{n,2}) \\
&=&h_{n}\, f(t_{n,2},y_{n,2})
\end{eqnarray*}
resultar\'a

\[
\begin{array}{cclr}
y_{n,1} & = & y_{n} & (\rightarrow b_{1,1}=0,\,\;b_{1,2}=0,\;\,b_{1,3}=0) \\
y_{n,2} & = & y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{4}\, \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n,2},y_{n,2})\right) & \left( \rightarrow b_{2,1}=\dis\frac{1%
}{4},\;\,b_{2,2}=\dis\frac{1}{4},\,\;b_{2,3}=0\right) \\
y_{n,3} & = & y_{n}+h_{n}\, f(t_{n,2},y_{n,2}) & (\rightarrow
b_{3,1}=0,\,\;b_{3,2}=1,\,\;b_{3,3}=0)
\end{array}
\]

La segunda de las expresiones anteriores es una ecuaci\'on (en
general no lineal) que deber\'a resolverse mediante alg\'un
m\'etodo num\'erico como los presentados en el tema anterior. \es

El esquema en forma de tabla ser\'a:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|ccc|}
\cline{2-4}
0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/4 & 1/4 & 0 \\
1 & 0 & 1 & 0 \\ \cline{2-4} \multicolumn{1}{c}{} & 1/6 & 4/6 &
\multicolumn{1}{c}{1/6}
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{El m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito}\label{ados}

El \textbf{m\'etodo de Euler}, estudiado en el apartado 3, puede
considerarse como un caso particular de los m\'etodos de
Runge-Kutta en el que $p=1$ y:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|}
\cline{2-2} 0 & 0 \\ \cline{2-2} \multicolumn{1}{c}{} &
\multicolumn{1}{c}{1}
\end{tabular}
\end{center}

\subsubsection{El m\'etodo de Euler modificado y el m\'etodo de Heun.}\label{atres}

Siendo $\alpha $ un n\'{u}mero real, el m\'{e}todo dado por:

%\begin{center}
%\begin{tabular}{c|cc}
%\cline{2-3}
%0 & 0 & \multicolumn{1}{c|}{0} \\
%$\alpha $ & $\alpha $ & \multicolumn{1}{c|}{0} \\ \cline{2-3}
%& 1-1/$($2$\, \alpha )$ & 1/$($2$\, \alpha )$%
%\end{tabular}
%\end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|}
\cline{2-3}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$\alpha$ & $\alpha$ & $0$ \\ \cline{2-3} \multicolumn{1}{c}{} &
1-1/$($2$\, \alpha )$ & \multicolumn{1}{c}{1/$($2$\, \alpha )$}
\end{tabular}
\end{center}
se traduce en las expresiones:

\begin{eqnarray*}
y_{n,1} &=&y_{n} \\
y_{n,2} &=&y_{n}+\alpha  h_{n} f(t_{n},y_{n}) \\
y_{n+1} &=&y_{n}+h_{n} \left( \left( 1-\dis\frac{1}{2 \alpha
}\right) f(t_{n},y_{n})+\dis\frac{1}{2 \alpha }f(t_{n}+\alpha
h_{n},y_{n,2})\right)
\end{eqnarray*}

Para el caso $\alpha=0.5$, el m\'etodo se denomina de
\textbf{M\'etodo de Euler modificado}:

\begin{equation}
y_{n+1}=y_{n}+h_{n} f\left( t_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2},y_{n}+\dis\frac{h_{n}%
}{2} f(t_{n},y_{n})\right)
\end{equation}

Para el caso $\alpha =1.0$, el m\'etodo se denomina de
\textbf{M\'etodo de Heun}:

\begin{equation}
y_{n+1}=y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2} \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n}+h_{n},y_{n}+h_{n} f(t_{n},y_{n}))\right)
\end{equation}

\subsubsection{El m\'etodo de Runge-Kutta cl\'asico (de orden 4)}\label{acuatro}

El \textbf{m\'etodo de Runge-Kutta cl\'asico} responde a la tabla:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cccc|}
\cline{2-5}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \cline{2-5} \multicolumn{1}{c}{} & 1/6 & 2/6
& 2/6 & \multicolumn{1}{c}{1/6}
\end{tabular}
\end{center}

%\begin{center}
%\begin{tabular}{c|ccc|}
%\cline{2-4}
%0 & 0 & 0 & 0 \\
%1/2 & 1/4 & 1/4 & 0 \\
%1 & 0 & 1 & 0 \\ \cline{2-4}
%\multicolumn{1}{c}{} & 1/6 & 4/6 & \multicolumn{1}{c}{1/6}
%\end{tabular}
%\end{center}



Por tanto, en este m\'etodo, los puntos intermedios escogidos en
el paso $n$ ser\'an:

\begin{eqnarray*}
t_{n,1} &=&t_{n} \\
t_{n,2} &=&t_{n}+0.5\, h_{n} \\
t_{n,3} &=&t_{n}+0.5\, h_{n}\;\;(=t_{n,2}) \\
t_{n,4} &=&t_{n}+h_{n}
\end{eqnarray*}
y como vemos se repite el punto medio. Con los puntos as\'{\i }
tomados, se considera $y_{n,1}=y_{n}$. El valor de $y_{n,2}$ se
eval\'{u}a aproximando la integral correspondiente me\-dian\-te la
f\'{o}rmula del rect\'{a}ngulo con soporte en el extremo izquierdo
del intervalo de integraci\'{o}n, es decir:
\[
y(t_{n,2})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,2}}f(t,y(t))
dt\Rightarrow y_{n,2}=y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2} f(t_{n},y_{n})
\]

El valor de $y_{n,3}$ se calcula aproximando la integral
correspondiente mediante la f\'{o}rmula del rect\'{a}ngulo pero
esta vez con el punto de soporte en el extremo derecho del
intervalo y tomando precisamente $y_{n,2}$ como valor aproximado
de la funci\'{o}n $y(t)$ en dicho extremo derecho:
\[
y(t_{n,3})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n,3}}f(t,y(t))
dt\Rightarrow y_{n,3}=y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2}
f(t_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2},y_{n,2})
\]

En cuanto al valor de $y_{n,4}$ lo evaluaremos aproximando la
integral correspondiente mediante una f\'{o}rmula de punto medio,
considerando como valor de $y(t)$ en el punto medio del intervalo
en el que se plantea la f\'{o}rmula el valor $y_{n,3}$ que se
acaba de calcular, es decir:

\[
y(t_{n,4})=y(t_{n})+\displaystyle\int_{t_{n}}^{t_{n}+h_{n}}f(t,y(t))
dt\Rightarrow y_{n,4}=y_{n}+h_{n} f(t_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2}%
,y_{n,3})
\]

Por \'{u}ltimo, el valor de $y_{n+1}$ se eval\'{u}a, con ayuda de
los valores anteriores, aproximando la integral correspondiente
mediante una f\'{o}rmula de Simpson en la cual el peso asignado al
punto medio del
intervalo se reparte por igual entre las dos aproximaciones del valor de $%
y(t)$ que hemos obtenido en dicho punto medio ($y_{n,2}$ e
$y_{n,3}$):

\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+\displaystyle\int\limits_{t_{n}}^{t_{n}+h_{n}}f(t,y(t))
dt\;\Rightarrow
\]
\[
 y_{n+1}=y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{6} \left[ f(t_{n},y_{n})+2
f(t_{n,2},y_{n,2})+2 f(t_{n,3},y_{n,3})+f(t_{n,4},y_{n,4})\right]
=
\]

\[
y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{6} \left[ f(t_{n},y_{n})+2 \left( f(t_{n}+%
\dis\frac{h_{n}}{2},y_{n,2})+f(t_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2},y_{n,3})\right)
+f(t_{n}+h_{n},y_{n,4})\right]
\]

\underline{\textbf{NOTA:}} \textit{Este m\'{e}todo es atribuido a
Carle David Tolm\'{e} Runge (nacido en Bremen (Alemania) en 1856 y
fallecido en G\"{o}ttingen (Alemania) en 1927) y a Martin Wilhelm
Kutta (nacido en Pitschen (Polonia) en 1867 y fallecido en
F\"{u}rstenfeldbruck (Alemania) en 1944). De \'{e}l toman el
nombre la familia de m\'{e}todos num\'{e}ricos que estamos
presentando.}

\subsubsection{Otra variante del m\'etodo de Euler.}\label{acinco}

Si se considera el m\'etodo de Runge-Kutta definido mediante la
tabla:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|}
\cline{2-2} 1 & 1 \\ \cline{2-2} \multicolumn{1}{c}{} &
\multicolumn{1}{c}{1}
\end{tabular}
\end{center}
se tiene el m\'etodo:

\begin{equation}
\dis \left\{\begin{array}{rcl} y_{n,1} & = &
y_{n}+h_{n}f(t_{n+1},y_{n,1}) \\ [0.3cm] \noalign{\smallskip}
y_{n+1} & = & y_{n}+h_{n}f(t_{n+1},y_{n}+h_n f(t_{n+1},y_{n,1})
\end{array}
\right.
\end{equation}
que es el denominado \textbf{m\'etodo de Euler impl\'{\i}cito
mejorado}.

\subsubsection{Un m\'etodo de orden 3.}\label{asiete}

Si se considera el valor:

\[
\alpha =\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{1}{2\sqrt{3}}
\]
se puede considerar el m\'etodo definido mediante la tabla:

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|}
\cline{2-3}
$\alpha$ & $\alpha$ & 0 \\
$1-\alpha$ & $1-2\alpha$ & $\alpha$ \\ \cline{2-3}
\multicolumn{1}{c}{} & 1/2 & \multicolumn{1}{c}{1/2}
\end{tabular}
\end{center}
que conduce al esquema:

\begin{equation}\label{a}
y_{n,1} =y_{n}+\alpha \, h_{n}\, f(t_{n}+\alpha h_{n},y_{n,1})
\end{equation}
\begin{equation}\label{b} y_{n,2} =y_{n}+h_{n}\, \left(
(1-2\alpha )\, f(t_{n}+\alpha h_{n},y_{n,1})+\alpha \,
f(t_{n}+(1-\alpha ) h_{n},y_{n,2})\right)
\end{equation}
\begin{equation}\label{c}
y_{n+1} =y_{n}+\dis\frac{h_{n}}{2}\, (f(t_{n}+\alpha \,
h_{n},y_{n,1})+f(t_{n}+(1-\alpha )\, h_{n},y_{n,2}))
\end{equation}
que es un m\'{e}todo que exige, en cada paso, resolver las
ecuaciones (en general no lineales) (\ref{a}) y (\ref{b}) para
poder estimar $y_{n+1}$ mediante (\ref{c}). Este m\'{e}todo es de
orden de consistencia 3.

\beobse Como puedes ver el m\'{e}todo de Euler y algunas de las
variantes que anteriormente te hab\'{\i}amos presentado pueden
obtenerse como un caso
par\-ti\-cu\-lar de los m\'{e}todos de Runge-Kutta. En el apartado dedicado al m%
\'{e}todo de Euler obtuvimos dicho m\'{e}todo de formas diferentes
(mediante desarrollos de Taylor, mediante interpolaci\'{o}n
polin\'{o}mica, etc...). De hecho los m\'{e}todos de Runge-Kutta
en general podr\'{\i}an obtenerse de manera diferente a como
aqu\'{\i} se ha planteado. En este sentido es muy frecuente en la
literatura sobre este tema el obtener los m\'{e}todos de
Runge-Kutta partiendo de desarrollos en serie de Taylor. As\'{\i},
por ejemplo, se hace en Burden y Faires\footnote{Burden R.L.,
Douglas Faires J. (1998) ``An\'{a}lisis Num\'{e}rico'',
International Thomson Editores, 6. edici\'{o}n.} o Shampine y
Allen y Pruess\footnote{Shampine, L.F., Allen, R.C. Jr. y Pruess,
S. (1997). ``Fundamentals of numerical computing''. Ed. John Wiley
\& Sons, Inc.}. \enobse



\subsection{Un algoritmo del m\'{e}todo de Runge-Kutta cl\'{a}sico.}

Consid\'{e}rese un m\'{e}todo de Runge-Kutta gen\'{e}rico
definido, en cada paso, por las expresiones:

\[
t_{n,j}=t_{n}+c_{j}\, h_{n}\;\;(j\,=\,1,\,...,\,p)
\]
\[
y_{n,j}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{i=1}^{p}b_{j,i}\,
f(t_{n,i},y_{n,i}),\qquad (j\,=\,1,\,\,s ,\,p)
\]
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{j=1}^{p}a_{j}\, f(t_{n,j},y_{n,j})
\]

A la hora de realizar un algoritmo de un m\'{e}todo como el
anterior, computacionalmente es m\'{a}s eficaz denotar por:
\begin{equation}\label{once}
W_{n,j}=f(t_{n,j},y_{n}+h_{n}.\sum_{i=1}^{p}b_{j,i}\,
W_{n,i})\;\;\;\;\;(j=1,....p),
\end{equation}
con lo que:
\begin{equation}\label{doce}
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{j=1}^{p}a_{j}\, W_{n,j}.
\end{equation}

La expresi\'{o}n (\ref{once}) representa un sistema de $p$
ecuaciones (en general no lineales) que nos proporcionar\'{a} los
valores de $W_{n,j}$ en cada paso. Estos valores introducidos en
(\ref{doce}) nos determinar\'{a}n la soluci\'{o}n aproximada
$y_{n+1}.$ F\'{a}cilmente puede comprobarse que ambas expresiones
son equivalentes a las antes utilizadas para describir el
m\'{e}todo. \es

Utilizando esta forma de proceder, se recoge a continuaci\'{o}n un
algoritmo del m\'{e}todo de Runge-Kutta cl\'{a}sico (que es el
m\'as frecuentemente utilizado) para la resoluci\'{o}n de un
problema de valor inicial regido por un sistema de ecuaciones
diferenciales ordinarias como el siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\dis \mathbf{y}^{\prime }(t) & =\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t)), &
t_{0}\leq t\leq
t_{N} \\
\mathbf{y}(t_{0}) & =\mathbf{y}^{(0)} &
\end{array}
\right.
\]
\es

\textbf{INICIO\ DEL\ ALGORITMO} \es

\textbf{Dados:}

\ \ \  $t_{0},$ $t_{1},$ ...., $t_{N}=t_{0}+T,$ la expresi\'{o}n
de la funci\'{o}n $\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))$ y el vector $\mathbf{y}%
^{(0)} $

\textbf{Para} $n=0,$ \textbf{hasta} $n=N-1,$ \textbf{con paso} $1,$ \textbf{%
hacer:}

\hspace{1cm} $h_{n}\leftarrow t_{n+1}-t_{n}$

\hspace{1cm} $\mathbf{W1\leftarrow f(}t_{n},\mathbf{y}^{(n)})$

\hspace{1cm}$\mathbf{W2}$\textbf{\ }$\leftarrow \mathbf{f}(t_{n}+\dis\frac{h_{n}%
}{2},\mathbf{y}^{(n)}+\dis\frac{h_{n}}{2}\, \mathbf{W1})$

\hspace{1cm}$\mathbf{W3}$\textbf{\ }$\leftarrow \mathbf{f}(t_{n}+\dis\frac{h_{n}%
}{2},\mathbf{y}^{(n)}+\dis\frac{h_{n}}{2}\, \mathbf{W2})$

\hspace{1cm}$\mathbf{W4}$\textbf{\ }$\leftarrow \mathbf{f}(t_{n}+h_{n},%
\mathbf{y}^{(n)}+h_{n}\, \mathbf{W3})$

\hspace{1cm}$\mathbf{y}^{(n+1)}$\textbf{\ }$\leftarrow \mathbf{y}^{(n)}+%
\dis\frac{h_{n}}{6}\, \left( \mathbf{W1}+2\, \left( \mathbf{W2}+\mathbf{W3}%
\right) +\mathbf{W4}\right) $

\hspace{1cm}\textbf{Escribir} el vector $\mathbf{y}^{(n+1)}$ como
soluci\'{o}n aproximada en $t_{n+1}.$

\textbf{Fin bucle en }$n$. \es

\textbf{FIN\ DEL\ ALGORITMO}. \es

\beobse El algoritmo anterior puede (y en la pr\'{a}ctica debe)
modificarse con alguna estrategia que permita controlar el valor
de $h_{n}$ en cada etapa con el objeto de minimizar el error entre
la soluci\'{o}n aproximada ofrecida por el m\'{e}todo y la
soluci\'{o}n exacta del P.V.I. A estas estrategias de control
autom\'{a}tico del tama\~{n}o del paso de integraci\'{o}n, que
suelen combinar dos tipos de m\'{e}todos de Runge-Kutta, nos
referiremos m\'{a}s adelante. \enobse





\subsection{Clasificaci\'on y an\'alisis.}

Consideremos un m\'{e}todo de Runge-Kutta definido por la tabla
que se
obtiene a partir del vector $\mathbf{a}$ y de las matrices $\mathbf{B}$ y $%
\mathbf{C}$ como las definidas en (\ref{nana}).

Si la matriz $\mathbf{B}$ fuese estrictamente triangular inferior,
cada valor $y_{n,j}$ puede evaluarse \'{u}nicamente a partir de
$y_{n}$ y de los valores $y_{n,k}$ ($k\,=\,1,\,...,\,j-1$)
previamente calculados. Es decir que en este caso:

\begin{eqnarray*}
y_{n,1} &=&y_{n} \\
y_{n,j} &=&y_{n}+h_{n}\, \sum_{k=1}^{j-1}b_{j,k}\,
f(t_{n,k},y_{n.k}), \qquad (j=2,...,p)
\\
y_{n+1} &=&y_{n}+h_{n}\, \sum_{j=1}^{p}a_{j}\, f(t_{n,j},y_{n,j})
\end{eqnarray*}
por lo que el valor de $y_{n+1}$ puede determinarse mediante las
operaciones aritm\'eticas que se acaban de describir y no es
necesario resolver ninguna ecuaci\'on intermedia. Este tipo de
m\'etodos se denomina \textbf{m\'etodos de Runge-Kutta
expl\'{\i}citos.}

Si la matriz $\mathbf{B}$ fuese triangular inferior con alguno de
sus elementos diagonales no nulo, ello querr\'{\i}a decir que
algunos valores intermedios $y_{n,j}$ exigen para su c\'{a}lculo
la resoluci\'{o}n de una ecuaci\'{o}n ya que la expresi\'{o}n
(\ref{carlos}) que los proporciona los deja dependiendo de s\'{\i
} mismos. Si por ejemplo $b_{j,j}\neq 0$ se tiene que:

\[
y_{n,j}=y_{n}+h_{n}\, \sum_{k=1}^{j-1}b_{j,k}\,
f(x_{n,k},y_{n,k})+\,h_{n}\, b_{j,j}\,
f(t_{n,j},y_{n,j})\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow y_{n,j}-h_{n}\, b_{j,j}\,
f(t_{n,j},y_{n,j})=y_{n}+h_{n}\, \sum_{k=1}^{j-1}b_{j,k}\,
f(t_{n,k},y_{n,k}).
\]

Luego el uso de este tipo de m\'etodos exige resolver tantas
ecuaciones (en general no lineales) como coeficientes diagonales
$b_{j,j}$ no nulos existan. Los valores de $y_{n,k}$ para los que
$b_{k,k}$ sea nulo se pueden determinar sin necesidad de resolver
ecuaci\'on alguna. Adem\'as, en todo caso, las ecuaciones que
deben resolverse son independientes entre s\'{\i} y pueden irse
resolviendo de una en una a partir de la que haga intervenir
puntos con menor sub\'{\i}ndice. Este tipo de m\'etodos se denomina \textbf{%
m\'etodos de Runge-Kutta semi-impl\'{\i}citos.}

Por \'{u}ltimo, si la matriz $\mathbf{B}$ no fuese triangular
inferior en el c\'{a}lculo de alguno de los valores $y_{n,j}$
intervendr\'{\i }a el valor de $y_{n,k}$ con $k>j$. En dicho caso
la determinaci\'{o}n de los valores intermedios exigir\'{\i }a
resolver un sistema de ecuaciones (en general no lineales). Por
dicho motivo a este tipo de m\'{e}todos se les denomina
\textbf{m\'{e}todos de Runge-Kutta impl\'{\i }citos.}

\beobse Suponer que la matriz ${\mathbf B}$ puede ser triangular
superior e\-qui\-va\-le a su\-po\-ner\-la triangular inferior sin
m\'as que ordenar los segundos sub\'{\i}ndices de los puntos
intermedios $t_{n,j}$ en sentido inverso al que se considere. Por
tanto s\'olo se distinguen las tres situaciones que se acaban de
se\~nalar: que ${\mathbf B}$: {\bf 1)} sea estrictamente
triangular inferior; {\bf 2)} sea triangular inferior; {\bf 3)} no
sea triangular inferior, asumi\'endose en este caso que tampoco es
triangular superior. Es por eso que en el tercer caso se ha
afirmado que la aplicaci\'on del m\'etodo exige resolver un
sistema de ecuaciones (cuando si se hubiese considerado la
posibilidad de que ${\mathbf B}$ fuese triangular superior
podr\'{\i}a darse el caso de s\'olo tener que resolver ecuaciones
independientes entre s\'{\i} (si ${\mathbf B}$ es triangular
superior con alg\'un e\-le\-men\-to diagonal no nulo) o sin
necesidad de tener que resolver ninguna ecuaci\'on (si ${\mathbf
B}$ fuese estr\'{\i}ctamente triangular superior)). \enobse

La consideraci\'on de m\'etodos semi-impl\'{\i}citos e
impl\'{\i}citos plantea una cuesti\'on adicional en el an\'alisis
de los m\'etodos. Dicha cuesti\'on consiste en determinar si la
ecuaci\'on o ecuaciones a resolver en cada paso tienen soluci\'on
y, en caso de tenerla, si dicha soluci\'on es \'unica o existen
varias soluciones verificando las ecuaciones intermedias. Esta
\'ultima cuesti\'on cae dentro del an\'alisis de ecuaciones no
lineales y de los m\'etodos num\'ericos de resoluci\'on de las
mismas.

En general escribiremos el m\'etodo de Runge-Kutta en la forma:

\begin{equation}
\{\tilde{{\mathbf y}}_{n}\}-h_{n}\, [{\mathbf B}] \,
\{\tilde{{\mathbf y}}_{n}\}=\{{\mathbf y}_{n}\}
\end{equation}

\begin{equation}
y_{n+1}=y_{n}+h_{n} g(t_{n},\{\tilde{{\mathbf y}}_{n}\},
h_{n})=y_{n}+h_{n}
\left( \sum_{j=1}^{p}a_{j} f(t_{j}+c_{j} h_{n},\tilde{y}%
_{n,j})\right)
\end{equation}
donde se ha designado por:

\[
\{\tilde{{\mathbf y}}_{n}\}=\left\{
\begin{array}{c}
\tilde{y}_{n,1} \\
\tilde{y}_{n,2} \\
\vdots \\
\tilde{y}_{n,p}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{c}
y_{n,1} \\
y_{n,2} \\
\vdots \\
y_{n,p}
\end{array}
\right\} ,\;\;\;\;\{{\mathbf y}_{n}\}=\left\{
\begin{array}{c}
y_{n} \\
y_{n} \\
\vdots \\
y_{n}
\end{array}
\right\}
\]

Supondremos adem\'{a}s en este apartado que la funci\'{o}n
$f(t,y)$ que
interviene en el problema de valor inicial es lipschitciana, de raz\'{o}n $L$%
, respecto a su segunda variable, es decir que verifica:

\begin{equation}
\exists L>0/\forall t\in [t_{0},t_{N}],\quad \forall y,z\in \R
:\quad \mid f(t,y)-f(t,z)\mid \;\leq \;L\mid y-z\mid
\end{equation}

En estas condiciones puede demostrarse el siguiente teorema:

\beteor Si se designa por $\rho (\mathbf{B})$ al radio espectral
de la matriz $B$
con la que se define el m\'{e}todo de Runge-Kutta y se verifica que $%
h_{n}\, L\, \rho (\mathbf{B})<1$, entonces el sistema dado por
(\ref{carlos}) admite una soluci\'{o}n \'{u}nica. \enteor

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}} \es

Es una consecuencia del teorema de punto fijo demostrado en el
tema anterior (consultar el Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix,
M., Mignot A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}).

\hspace{10cm}c.q.d.

En cuanto al an\'{a}lisis de la estabilidad de los m\'{e}todos de
Runge-Kutta comencemos analizando el caso de los m\'{e}todos
expl\'{i}citos. Con
el objeto de introducir al lector de forma sencilla en la t\'{e}cnica del an%
\'{a}lisis de estabilidad estudiamos en primer lugar la
estabilidad de un m\'{e}todo de Runge-Kutta expl\'{i}cito con dos
puntos ``intermedios'' $t_{n,1}=t_{n}+c_{1}\, h_{n}$ y
$t_{n,2}=h_{n}+c_{2}\, h_{n}.$ La tabla de este m\'{e}todo de
Runge-Kutta puede escribirse entonces como:

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;
\begin{tabular}{r|rr}
$c_{1}$ & $0$ & $0$ \\
$c_{1}$ & $b_{2,1}$ & $0$ \\ \hline
& $a_{1}$ & $a_{2}$%
\end{tabular}
$

con lo que una etapa gen\'{e}rica del m\'{e}todo se puede escribir (v\'{e}%
ase los comentarios antes realizados al describir la forma de
construir un algoritmo de estos m\'{e}todos) como:
\[
W_{n,1}=f(t_{n,1},y_{n})
\]

\[
W_{n,2}=f(t_{n,2},y_{n}+h_{n}\, b_{2,1}\, W1)
\]

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \left( a_{1}\, W_{n,1}+a_{2}\,
W_{n,2}\right)
\]

La idea para estudiar las condiciones en que este m\'{e}todo es
estable consiste en verificar las hip\'{o}tesis del teorema
(\ref{teolip}). Por ello supondremos que el m\'{e}todo se aplica a
un problema de valor inicial:
\[
(P.V.I.)\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t)) & t\in \left[ t_{0},t_{N}\right]  \\
y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right.
\]
en el que la funci\'{o}n $f(t,y)$ es una funci\'{o}n lipschitciana
(de raz\'{o}n $L$) respecto a su segunda variable y llamaremos
funci\'{o}n $g(t,y,h)$ a la funci\'{o}n:
\[
g(t,y,h)=a_{1}\, f(t+c_{1}\, h,y)+a_{2}\, f(t+c_{2}\, h,y+h\,
b_{2,1}\, f(t+c_{1}\, h,y))=
\]

\[
=a_{1}\, W1(t,y,h)+a_{2}\, W2(t,y,h)
\]
con
\[
W1(t,y,h)=f(t+c_{1}\, h,y),\;\;\;W2(t,y,h)=f(t+c_{2}\, h,y+h\,
b_{2,1}\, W1(t,y,h))
\]

Utilizando esta notaci\'{o}n es evidente que para todo par de
valores de $y$ y $z$ reales:

\[
\left| W1(t,y,h)-W1(t,z,h)\right| =\left| f(t+c_{1}\,
h,y)-f(t+c_{1}\, h,z)\right| \leq
\]

\[
\leq L\, \left| y-z\right|
\]
y
\[
\left| W2(t,y,h)-W2(t,z,h)\right| =
\]

\[
\left| f(t+c_{2}\, h,y+h\, b_{2,1}\, W1(t,y,h))-f(t+c_{2}\,
h,z+h\, b_{2,1}\, W1(t,z,h))\right| \leq
\]

\[
\leq L\, \left| \left( y+h\, b_{2,1}\, W1(t,y,h)\right) -\left(
z+h\, b_{2,1}\, W1(t,z,h)\right) \right| =
\]

\[
=L\, \left| (y-z)+h\, b_{2,1}\, \left( W1(t,y,h)-W1(t,z,h)\right)
\right| \leq
\]
\[
\leq L.\left| y-z\right| +h\, L\, \left| b_{2,1}\right| \, \left|
W1(t,y,h)-W1(t,z,h)\right| \leq
\]

\[
\leq L.\left| y-z\right| +h\, L\, \left| b_{2,1}\right| \, L\,
\left| y-z\right| =
\]

\[
=\left( L+h\, L^{2}\, \left| b_{2,1}\right| \right) \, \left|
y-z\right|
\]

Por tanto, para cualquier par de valores $y$ y $z$:
\[
\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| =
\]

\[
\left| \left( a_{1}\, W1(t,y,h)+a_{2}\, W2(t,y,h)\right) -\left(
a_{1}\, W1(t,z,h)+a_{2}\, W2(t,z,h)\right) \right| =
\]
\[
=\left| a_{1}\, \left( W1(t,y,h)-W1(t,z,h)\right) +a_{2}\, \left(
W2(t,y,h)-W2(t,z,h)\right) \right| \leq
\]

\[
\leq \left| a_{1}\right| \, \left| W1(t,y,h)-W1(t,z,h)\right|
+\left| a_{2}\right| \, \left| W2(t,y,h)-W2(t,z,h)\right| \leq
\]

\[
\leq \left| a_{1}\right| \, L\, \left| y-z\right| +\left|
a_{2}\right| \, \left( L+h\, L^{2}\, \left| b_{2,1}\right| \right)
\, \left| y-z\right| =
\]
\[
=\left( \left| a_{1}\right| \, L+\left| a_{2}\right| \, \left(
L+h\, L^{2}\, \left| b_{2,1}\right| \right) \right) \left|
y-z\right| =
\]
\[
=L^{\prime }\, \left| y-z\right|
\]
donde hemos designado por $\widetilde{L}$ al valor:
\[
L^{\prime }=L\, \left( \left| a_{1}\right| +\left| a_{2}\right| \,
\left( 1+h\, L\, \left| b_{2,1}\right| \right) \right)
\]

El \'{u}nico problema que nos plantea la constante anterior es que
depende del propio valor de $h.$ En este sentido basta con
considerar que $h$ se escoge en un intervalo $0<h\leq H$ para
poder afirmar que:
\[
\left| g(t,y,h)-g(t,z,h)\right| \leq \widetilde{L}\, \left|
y-z\right|
\]
donde se ha denotado por:
\[
\widetilde{L}=L\, \left( \left| a_{1}\right| +\left| a_{2}\right|
\, \left( 1+H\, L\, \left| b_{2,1}\right| \right) \right)
\]

Ello, en virtud del teorema (\ref{teolip}) nos demuestra que el
m\'{e}todo es
estable y que para cualquier terna de sucesiones $\{y_{n}\}_{n=0}^{N},$ $%
\{z_{n}\}_{n=0}^{N}$ y $\{E_{n}\}_{n=1}^{N}$ verificando las
relaciones:
\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, g(t_{n},y_{n},h_{n})
\]

\[
z_{n+1}=z_{n}+h_{n}\, g(t_{n},z_{n},h_{n})+E_{n+1}
\]
se verifica
\[
{Sup}_{0\leq n\leq N}\left\{ \left| z_{n}-y_{n}\right| \right\}
\leq e^{\widetilde{L}\, (t_{N}-t_{0})}\, \left[ \left|
z_{0}-y_{0}\right| +\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right|
\right] \;\;\;\;\;\;\forall h/0<h<H
\]

El resultado anterior puede generalizarse al caso m\'{a}s general
como se hace en el siguiente teorema:

\beteor Consid\'{e}rese el m\'{e}todo de Runge-Kutta expl\'{i}cito
definido mediante:

\[
W_{n,1}=f(t_{n}+c_{1}\, h_{n},y_{n})
\]

\[
W_{n,j}=f(t_{n}+c_{j}\,
h_{n},y_{n}+\sum\limits_{k=1}^{j-1}b_{j,k}\,
W_{n,k})\;\;\;\;\;\;\;(j=2,...,p)
\]

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\, W_{n,j}
\]
y aplicado a la resoluci\'{o}n del problema $(P.V.I)$ en el que la funci\'{o}%
n $f(t,y(t))$ es lipschitciana de raz\'{o}n $L$ respecto a su
segunda variable. En estas condiciones el m\'{e}todo es estable y
se verifica que:
\[
{Sup}_{0\leq n\leq N}\left\{ \left| z_{n}-y_{n}\right| \right\}
\leq e^{\widetilde{L}\, (t_{N}-t_{0})}\, \left[ \left|
z_{0}-y_{0}\right| +\sum\limits_{n=1}^{N}\left| E_{n}\right|
\right] \;\;\;\;\;\;\forall h/0<h\leq H
\]
donde se ha denotado por $\widetilde{L}$ al valor:

\[
\widetilde{L}=L\, \left( \mathbf{\alpha }^{T}\, (\mathbf{I+}%
\sum_{j=1}^{p-1}h^{j}\, L^{j}\, \mathbf{(\beta )}^{j})\, \mathbf{e}%
\right)
\]
habi\'{e}ndose designado por:
\[
\mathbf{\alpha }^{T}=\left\{
\begin{array}{llll}
\left| a_{1}\right|  & \left| a_{2}\right|  & ... & \left|
a_{p}\right|
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{\beta }=\left[
\begin{array}{cccc}
\left| b_{1,1}\right|  & \left| b_{1,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{1,p}\right|  \\
\left| b_{2,1}\right|  & \left| b_{2,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{2,p}\right|  \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots  \\
\left| b_{p,1}\right|  & \left| b_{p,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{p,p}\right|
\end{array}
\right]
\]
\[
\mathbf{e}=\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
.... \\
1
\end{array}
\right\}
\]
\enteor

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}} \es

Consiste en generalizar el desarollo realizado anteriormente para
el caso de un m\'{e}todo con dos puntos intermedios.

\hspace{10cm}c.q.d.

El teorema anterior nos asegura que si $(t_{N}-t_{0})$ tiene un
valor finito y el m\'{e}todo es consistente (cosa de la que nos
ocuparemos posteriormente) y la funci\'{o}n $f$ es lipschitciana
respecto a su segunda
variable, la m\'{a}xima diferencia entre los valores generados por el m\'{e}%
todo de Runge-Kutta y la soluci\'{o}n anal\'{i}tica
permanecer\'{a} acotada siempre que trabajemos con un paso
inferior a $H.$ Esto est\'{a} bien (pues, obviamente, no deseamos
que nuestras soluciones aproximadas ``exploten'' si no lo hacen
las soluciones anal\'{i}ticas) pero no nos dice mucho acerca del
funcionamiento de los m\'{e}todos.

Baste observar para justificar la afirmaci\'{o}n anterior que para
valores e\-le\-va\-dos de $H$ o de $(t_{N}-t_{0})$ o de $L$,
aunque el m\'{e}todo sea consistente, peque\~{n}os errores (por
ejemplo de redondeo) al estimar $y_{0}\approx y(t_{0})=z_{0}$ se
traducen en una cota de error elevada. Y si se deseara asegurar
que la cota de error no se hace muy grande, puesto que $L$ y
$(t_{N}-t_{0})$ no est\'{a} en nuestra
mano elegirlos, nos veremos obligados a tener que tomar valores del tama\~{n}%
o m\'{a}ximo del paso $H$ muy reducidos.

\beobse Puesto que en la acotaci\'{o}n anterior interveniene una
exponencial, los m\'{e}todos num\'{e}ricos se suelen someter al
test dado por el problema de valor inicial:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =-Ky(t), & t>0 \\
y(0) & =1 &
\end{array}
\right. \qquad K>0
\]
que admite como soluci\'{o}n una funci\'{o}n exponencial
$y(t)=e^{-Kt}$.
Ello, en primer lugar, puede darnos una idea bastante buena de la evoluci%
\'{o}n de los errores del m\'{e}todo. Asimismo, puesto que la
soluci\'{o}n anal\'{\i}tica es siempre positiva y decreciente
puede permitirnos extraer cotas sobre los tama\~{n}os m\'{a}ximos
de los pasos de integraci\'{o}n a utilizar si se desean garantizar
la positividad y el decrecimiento en valor absoluto de las
soluciones aproximadas. \enobse

\bejem Consid\'{e}rese el m\'{e}todo de Heun:
\[
y_{n+1}=y_{n}+\frac{h_{n}}{2}\, \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n}+h_{n},y_{n}+h_{n}\, f(t_{n},y_{n})\right)
\]
y sup\'{o}ngase que se aplica con longitud de paso de
integraci\'{o}n constante $h$ a la resoluci\'{o}n del problema:

\[
\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =-K.y(t) & 0<t<10 \\
y(0) & =1 &
\end{array}
\right. ,\qquad K>0
\]

Al estar trabajando en un intervalo acotado, los errores del
m\'{e}todo de Heun (que como veremos posterormente es consistente)
van a permanecer acotados sea cual sea el valor que asignemos a
$h.$ Pero la soluci\'{o}n aproximada puede no tener el m\'{a}s
remoto parecido con la anal\'{i}tica si no limitamos este
tama\~{n}o de paso de integraci\'{o}n. \textquestiondown A qu\'{e}
valor debemos limitar este tama\~{n}o m\'{a}ximo?. \es

La forma de razonar consiste en analizar una etapa gen\'{e}rica
del m\'{e}todo aplicado al pro\-ble\-ma anterior, es decir:
\[
y_{n+1}=y_{n}+\frac{h}{2}\, \left(
f(t_{n},y_{n})+f(t_{n}+h,y_{n}+h\, f(t_{n},y_{n})\right) =
\]

\[
=y_{n}+\frac{h}{2}\, \left( -K\, y_{n} -K\, \left( y_{n}+h\,
\left( -K\, y_{n}\right) \right) \right) =
\]

\[
=\left( 1-\frac{K\, h}{2}-\frac{K\, h}{2}+\frac{K^{2}\, h^{2}}{2}%
\right) \, y_{n}=
\]
\[
=\left( 1-K\, h+\frac{K^{2}\, h^{2}}{2}\right) \, y_{n}=\alpha \,
y_{n}
\]
donde
\[
\alpha =\left( 1-K\, h+\frac{K^{2}\, h^{2}}{2}\right)
\]

La expresi\'{o}n anterior, aplicada de forma recursiva, nos
permite escribir que:
\[
y_{n}=\alpha ^{n}\, y_{0}=\alpha ^{n}
\]

Obs\'{e}vese que en este caso $\alpha $ siempre ser\'{a} positivo
(al ser $K$
y $h$ positivos). En efecto, si se denota por $\xi =K\, h$ se tiene que $%
\alpha =1-\xi +\xi ^{2}/2$ que es la ecuaci\'{o}n de una
par\'{a}bola que nunca corta al eje de abscisas (no tiene
ra\'{i}ces reales) y que, al tomar
valor positivo para $\xi =0,$ siempre toma valores positivos. Por tanto, el m%
\'{e}todo de Heun garantiza la positividad de la soluci\'{o}n
aproximada para cualquier elecci\'{o}n del paso de
integraci\'{o}n. Pero \textquestiondown y el decrecimiento?. Para
ello se deber\'{i}a exigir que:

\[
\alpha <1\Rightarrow 1-K\, h+\frac{K^{2}\, h^{2}}{2}<1\Rightarrow
K\, h\, (1-\frac{K\, h}{2})>0\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow h<\frac{2}{K}
\]

Es decir, que tenemos restricciones del tama\~{n}o de paso
similares a las que encontr\'{a}bamos en el m\'{e}todo de Euler.
\enejem

\beobse Obs\'{e}rvese que realmente estamos combinando dos
conceptos de estabilidad. Uno, el que hemos definido
anteriormente, que se refiere a que la soluci\'{o}n
a\-pro\-xi\-ma\-da permanezca acotada cuando se trabaja en
intervalos acotados, aunque se utilicen valores del tama\~{n}o de
paso muy peque\~{n}os y con ello se realicen un n\'{u}mero elevado
de pasos de integraci\'{o}n. Y, otro, el que las soluciones
aproximadas no exploten cuando se trabaja en intervalos de
longitud tendente a infinito si no lo hacen las soluciones
anal\'{i}ticas. Ello lleva a distinguir el concepto de estabilidad
que hasta ahora hemos manejado del concepto de estabilidad
absoluta cuyo tratamiento riguroso desborda los objetivos de este
curso. \enobse

\beobse Utilizando palabras del profesor Euvrard, notemos que no
ser\'{i}a ``moral'' que un m\'{e}todo expl\'{i}cito (poco costoso
por paso) fuese incondicionalmente estable para todo tipo de
tama\~{n}os de pasos de integraci\'{o}n y en tiempos tendientes al
infinito, pues dejar\'{i}a en muy mal lugar a los m\'{e}todos
impl\'{i}citos. \enobse

El an\'{a}lisis de la estabilidad realizado para los m\'{e}todos
de Runge-Kutta expl\'{i}citos puede extenderse f\'{a}cilmente a
los m\'{e}todos semi-impl\'{i}citos e impl\'{i}citos. Nosotros nos
limitaremos a enunciar algunos de los teoremas m\'{a}s
cl\'{a}sicos al respecto. En ellos denotaremos por matriz
$\mathbf{B}^{*}$ a la matriz:
\[
\mathbf{B}^{*}=\left[
\begin{array}{cccc}
\left| b_{1,1}\right|  & \left| b_{1,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{1,p}\right|  \\
\left| b_{2,1}\right|  & \left| b_{2,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{2,p}\right|  \\
\vdots  & \vdots  & \vdots  & \vdots  \\
\left| b_{p,1}\right|  & \left| b_{p,2}\right|  & \,s  & \left|
b_{p,p}\right|
\end{array}
\right]
\]

\beteor
Suponiendo que $\mathbf{B}$ es una matriz para la que se verifica que $%
H\, L\, \rho (\mathbf{B}^{*})<1$ entonces el m\'{e}todo de
Runge-Kutta correspondiente es estable para todo valor del paso de
integraci\'{o}n $h$ que verifique: $0<h<H.$ \enteor

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}} \es

Es una consecuencia de los teoremas vistos para un m\'{e}todo
gen\'{e}rico de un paso. La demostraci\'{o}n detallada puede
consultarse, por ejemplo, en Crouzeix \& Mignot\footnote{Crouzeix,
M., Mignot A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beobse El teorema anterior establece condiciones suficientes para
la estabilidad. Al no ser necesarias, el l\'{i}mite del valor de
paso de integraci\'{o}n que asegura la estabilidad puede ser
a\'{u}n mayor que el recogido en el teorema. \enobse

\beobse Obs\'{e}rvese que el teorema anterior nos vueleve a
conducir a que los m\'{e}todos de Runge-Kutta expl\'{i}citos son
siempre estables ya que en este tipo de m\'{e}todos la matriz
$\mathbf{B}$ es estrictamente triangular inferior por lo que $\rho
(\mathbf{B}^{*})=0$ y, para cualquier valor de $H$ se verifica
que: $\rho ( \mathbf{B}^{*})\, L\, H<1.$. Pero recu\'{e}rdese lo
que, en este contexto quer\'{i}a decir que el m\'{e}todo fuese
estable. \enobse


Una vez presentadas las condiciones que aseguran la estabilidad de
los esquemas de Runge-Kutta, pasemos a examinar las que garantizan
la consistencia de tales m\'{e}todos. Con ello se tendr\'{a}
analizada la convergencia pues, como se detall\'{o} en el estudio
de un m\'{e}todo gen\'{e}rico, ``consistencia m\'{a}s estabilidad
implica convergencia''.

\beteor A)\ Una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que un
m\'{e}todo de de Runge-Kutta definido por (\ref{dosrk}) y
(\ref{carlos}) sea consistente de primer orden es que:
\begin{equation}\label{trece}
\sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}=1 .
\end{equation}

B) Una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que un m\'{e}todo
de Runge-Kutta definido por (\ref{dosrk}) y (\ref{carlos}) sea
consistente de segundo orden es que se verifique (\ref{trece}) y:

\begin{equation}\label{cator}
\sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\, c_{j}=\sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\,
\left( \sum\limits_{k=1}^{p}b_{j,k}\right) =\dis\frac{1}{2}.
\end{equation}

C) Suponiendo que:
\begin{equation}\label{quin}
\sum\limits_{k=1}^{p}b_{j,k}=c_{j},
\end{equation}
entonces una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que el
m\'{e}todo de Runge-Kutta co\-rres\-pon\-dien\-te sea de tercer
orden es que se verifiquen (\ref{trece}), (\ref{cator}) y:

\begin{equation}\label{seis}
\dis \sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\, \left(
\sum\limits_{k=1}^{p}b_{j,k}\, c_{k}\right) =\dis\frac{1}{6},
\end{equation}
y

\begin{equation}\label{siete}
\dis \sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\, c_{j}^{2}=\dis\frac{1}{3}
\end{equation}

D) Suponiendo que se verifique (\ref{quin}) una condici\'{o}n
necesaria y suficiente para que el m\'{e}todo de Runge-Kutta
correspondiente sea de cuarto orden es que se verifiquen
(\ref{trece}), (\ref{cator}), (\ref{seis}), (\ref{siete}) y:

\begin{equation}\label{ocho}
\sum\limits_{j=1}^{p}a_{j}\, \left( \sum\limits_{k=1}^{p}b_{j,k}\,
c_{k}^{2}\right) =\dis\frac{1}{2}
\end{equation}

\begin{equation}\label{nov}
\mathbf{a}^{T}\mathbf{\, B\, B\, C\, e}=\dis\frac{1}{8}
\end{equation}
y

\begin{equation}\label{ven}
\mathbf{a}^{T}\mathbf{\, C\, B\, C\, e}=\dis\frac{1}{8}%
\end{equation}

donde ${\mathbf e}$ es el vector de $\R^{p}$ que tiene todas sus
componentes iguales a la unidad. \enteor

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}} \es

Es una consecuencia de los teoremas vistos para un m\'{e}todo
gen\'{e}rico. Una demostraci\'{o}n detallada puede encontrarse,
por ejemplo, en Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot
A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}.

\hspace{10cm}c.q.d.

\beteor Si las f\'{o}rmulas de integraci\'{o}n utilizadas en la
definici\'{o}n de los va\-lo\-res intermedios $y_{n,j}$ $(j=1,$
...$,p)$ en la expresi\'on (\ref{carlos}) corresponden a
f\'{o}rmulas de integraci\'{o}n de orden $(k-2)$ y la f\'{o}rmula
de integraci\'{o}n utilizada en la determinaci\'{o}n del valor
$y_{n+1}$ en la expresi\'on (\ref{dosrk}) es una f\'{o}rmula de
orden $(k-1)$ entonces el m\'{e}todo de Runge-Kutta
correspondiente es de orden $k.$ \enteor

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}} \es

Es una consecuencia del teorema anterior. Una demostraci\'{o}n
detallada puede encontrarse, por ejemplo, en Crouzeix y
Mignot$^{24}$.
%\footnote{Crouzeix, M., Mignot A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des
%\'{e}quations diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.}.

\hspace{10cm}c.q.d.

Los teoremas anteriores nos llevan a la conclusi\'on de que, por
ejemplo, el m\'etodo de Runge-Kutta cl\'asico descrito en el
apartado \ref{acuatro} es de orden 4 y el ejemplo tratado en el
apartado (\ref{asiete}) es un m\'etodo de tercer orden.

\subsection{Aplicaci\'{o}n del m\'{e}todo de Runge-Kutta cl\'{a}sico a la
re\-so\-lu\-ci\'{o}n de un ejemplo.} Un l\'{\i}quido de densidad
$\rho $ y viscosidad din\'{a}mica $\mu $ se encuentra en reposo
contenido en un tubo de secci\'{o}n recta circular de di\'{a}metro
constante $d$ y con forma de U. La longitud que ocupa el fluido,
medida en el eje del tubo, es denotada por $L.$

En el instante $t_{0}=0$ (s) un pist\'{o}n golpea una de las
superficies libres del fluido im\-pri\-mi\'{e}n\-do\-le una
velocidad $V_{0}.$ Como consecuencia de ello la otra superficie
libre comienza a ascender hasta que, por efecto de la fuerza
gravitatoria, se detiene su ascenso. En ese momento el
l\'{\i}quido de esa rama del tubo comienza a descender rebasando
la posici\'{o}n en que inicialmente se encontraba en equilibrio
hasta que el efecto de la gravedad sobre la otra rama del fluido
detiene el descenso y el l\'{\i}quido vuelve a ascender. Se genera
as\'{\i} un movimiento oscilatorio del fluido en torno a su
posici\'{o}n de equilibrio inicial (que,
con el transcurrir del tiempo, vol\-ve\-r\'{a} a recuperarse). Si se denota por $%
g $ a la aceleraci\'{o}n gravitatoria y por $z(t)$ al
desplazamiento de la superficie libre del fluido, despreciando el
efecto del rozamiento del l\'{\i}quido con las paredes del tubo,
el proceso anterior puede modelizarse mediante el problema de
valor inicial siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{lcl}
z^{''}(t)+A.z^{\prime }(t)+B.z(t) & =0, & t>0 \\
z(0)=0, \qquad z^{\prime }(0)=V_{0} &
\end{array}
\right.
\]
donde $A$ y $B$ son dos constantes dadas por:
\[
A=\dis\frac{32\, \mu }{\rho \, d^2 },\;\;\;\;B=\dis\frac{2\, g}{L}
\]

La figura siguiente recoge un esquema del proceso descrito:

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig516.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura16}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

El problema de valor inicial antes planteado puede transformarse
en otro regido por un sistema de dos ecuaciones diferenciales de
primer orden en la forma:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\dis y_{1}^{^{\prime }}(t) & =y_{2}(t) & t>0 \\
\dis y_{2}^{^{\prime }}(t) & =-B\, y_{1}(t)-A\, y_{2}(t) & t>0 \\
y_{1}(0) & =0,\qquad y_{2}(0)=V_{0} &
\end{array}
\right.
\]
donde se ha denotado por $y_{1}(t)=z(t)$ (la funci\'on de
desplazamiento) y por $y_{2}(t)=z^{\prime }(t)$ (la funci\'on de
velocidad). \es

Consideremos un fluido para el que $\mu =0.001
\,\mbox{Kg}/(\mbox{m}\, \mbox{s})$, $\rho =1
\,\mbox{Kg}\mbox{m}^{-3}$ y tomemos como valor de
$g=9.81\,\mbox{m}\mbox{s}^{-2}$, $d=0.2 \mbox{m}$, $L=3$m y
$V_{0}=1$m/s y apliquemos el algoritmo del m\'{e}todo de
Runge-Kutta cl\'{a}sico antes descrito, con paso de
integraci\'{o}n constante $h=0.05,$ a la resoluci\'{o}n de este
problema. \es

Para ello llamaremos:
$$
\dis A=\frac{32 \, 0.001}{1\, 0.04}=0.8 ,\qquad B=\frac{2\,
9.81}{3}=6.54
$$

\[
\mathbf{y}^{(0)}=\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right\} ,\;\;\;\;\;\mathbf{f}(t,\mathbf{y}(t))=\left\{
\begin{array}{l}
y_{2}(t) \\
-6.54\, y_{1}(t)-0.8\, y_{2}(t)
\end{array}
\right\}
\]

El primer paso del algoritmo nos conduce a:

\[
\mathbf{W1}=\mathbf{f}(0,\left\{ 0,1\right\} ^{T})=\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
-6.54\, 0-0.8\, 1
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
-0.8
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W2}=\mathbf{f}\left( 0+\dis\frac{0.05}{2},\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right\} +\dis\frac{0.05}{2}\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
-0.8
\end{array}
\right\} \right) =\mathbf{f}\left( 0.025 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.025 \\
0.98
\end{array}
\right\} \right)
\]
\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0.98 \\
-6.54\, 0.025-0.8\, 0.98
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.98 \\
-0.9475
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W3}=\mathbf{f}\left( 0+\dis\frac{0.05}{2},\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right\} +\dis\frac{0.05}{2}\left\{
\begin{array}{l}
0.98 \\
-0.9475
\end{array}
\right\} \right) =\mathbf{f}\left( 0.025 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.0245 \\
0.9763125
\end{array}
\right\} \right)
\]
\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0.9763125 \\
-6.54\, 0.0245-0.8\, 0.9763125
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.9763125 \\
-0.94128
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W4}=\mathbf{f}\left( 0+0.05,\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right\} +0.05\left\{
\begin{array}{l}
0.9763125 \\
-0.94128
\end{array}
\right\} \right) =\mathbf{f}\left( 0.05 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.048815625 \\
0.952936
\end{array}
\right\} \right)
\]
\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0..952936 \\
-6.54\, 0.952936-0.8\, 0.952936
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.952936 \\
-1.0816029875
\end{array}
\right\}
\]
con lo que finalmente

\[
\mathbf{y}^{(1)}\mathbf{\ }=\mathbf{y}^{(0)}+\dis\frac{h_{0}}{6}\,
\left( \mathbf{W1}+2 \, \left( \mathbf{W2}+\mathbf{W3}\right)
+\mathbf{W4}\right) =\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}
\right\}+
\]
\[
\dis\frac{0.05}{6} \left( \left\{
\begin{array}{l}
1 \\
-0.8
\end{array}
\right\} +2 \left( \left\{
\begin{array}{l}
0.98 \\
-0.9475
\end{array}
\right\} +\left\{
\begin{array}{l}
0.97631 \\
-0.94128
\end{array}
\right\} \right) +\left\{
\begin{array}{l}
0.95293 \\
-1.08160
\end{array}
\right\} \right) =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0.04887 \\
0.95284
\end{array}
\right\}
\]

Es decir que al cabo de $0.05$ segundos el l\'{\i}quido habr\'{a} ascendido $%
0.04887$ metros y se estar\'{a} moviendo con una velocidad de $%
0.95284$ m/s. \es

El segundo paso consistir\'{a} en:

\[
\mathbf{W1}=\mathbf{f}\left( 0.05 ,\left\{
\begin{array}{c}
0.04887 \\
0.95284
\end{array}
\right\} \right) =
\]

\[
\left\{
\begin{array}{l}
1 \\
-6.54\cdot 0.04887-0.8\cdot 0.95284
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.95284 \\
-1.08194
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W2}=\mathbf{f}\left( 0.05 +\dis\frac{0.05}{2},\left\{
\begin{array}{l}
0.04887 \\
0.95284
\end{array}
\right\} +\dis\frac{0.05}{2}\left\{
\begin{array}{l}
0.95284 \\
-1.08194
\end{array}
\right\} \right) =
\]
\[
=\mathbf{f}\left( 0.075 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.07270 \\
0.92579
\end{array}
\right\} \right) =\]
\[\left\{
\begin{array}{l}
0.92579 \\
-6.54\cdot 0.07270-0.8\cdot 0.92579
\end{array}
\right\} = \left\{
\begin{array}{l}
0.92579\\
-1.21609
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W3}=\mathbf{f}\left( 0.05 +\dis\frac{0.05}{2},\left\{
\begin{array}{l}
0.048879 \\
0.95284
\end{array}
\right\} +\dis\frac{0.05}{2}\left\{
\begin{array}{l}
0.92579 \\
-1.21609
\end{array}
\right\} \right) =
\]
\[
=\mathbf{f}\left( 0.075 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.07202 \\
0.92243
\end{array}
\right\} \right) =\]
\[\left\{
\begin{array}{l}
0.92243 \\
-6.54\cdot 0.07202-0.8\cdot 0.92243
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.92243 \\
-1.20899
\end{array}
\right\}
\]

\[
\mathbf{W4}=\mathbf{f}\left( 0.05 +0.05,\left\{
\begin{array}{l}
0.048879 \\
0.95284
\end{array}
\right\} +0.05\left\{
\begin{array}{l}
0.92243 \\
-1.20899
\end{array}
\right\} \right) =
\]
\[
=\mathbf{f}\left( 0.1 ,\left\{
\begin{array}{l}
0.09500 \\
0.89239
\end{array}
\right\} \right) =\]
\[\left\{
\begin{array}{l}
0.89239 \\
-6.54\cdot 0.09500-0.8\cdot 0.89239
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0.89239 \\
-1.33522
\end{array}
\right\}
\]
con lo que finalmente

\[
\mathbf{y}^{(2)}\mathbf{\ }=\mathbf{y}^{(2)}+\dis\frac{h_{2}}{6}\,
\left( \mathbf{W1}+2\, \left( \mathbf{W2}+\mathbf{W3}\right)
+\mathbf{W4}\right) =
\]
\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0.04887 \\
0.95284
\end{array}
\right\} +\dis\frac{0.05}{6}\, \left\{
\begin{array}{l}
0.95284 \\
-1.08194
\end{array}
\right\} +
\]

\[
+\dis\frac{0.05}{6}\, \left( 2 \left( \left\{
\begin{array}{l}
0.92579 \\
-1.21609
\end{array}
\right\} +\left\{
\begin{array}{l}
0.92243 \\
-1.20899
\end{array}
\right\} \right) +\left\{
\begin{array}{l}
0.89239 \\
-1.33522
\end{array}
\right\} \right) =
\]

\[
=\left\{
\begin{array}{l}
0.09506 \\
0.89227
\end{array}
\right\}
\]

Es decir, que al cabo de $0.1$ segundos el l\'{\i}quido habr\'{a} ascendido $%
0.09506$ metros y se estar\'{a} moviendo con una velocidad de $%
0.89227$ m/s. \es

Con ayuda de un programa recogiendo este m\'{e}todo se han
realizado 300 pasos de tiempo obteni\'{e}ndose como valores
aproximados de los desplazamientos y velocidades los que se
recogen en la gr\'{a}fica siguiente (en punteado los
desplazamientos y en trazo continuo las velocidades del fluido):

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5

\begin{figure}
    \centering
    \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig517.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura17}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Puedes observar como efectivamente el sistema tiende a volver a la
situaci\'{o}n de reposo (desplazamiento nulo y velocidad nula).

%TCIDATA{LaTeXparent=0,0,guion5.tex}


\section{Introducci\'{o}n a los m\'{e}todos multipaso}

\subsection{Introducci\'{o}n.}

Los m\'{e}todos vistos hasta ahora para resolver num\'{e}ricamente
el problema de encontrar valores aproximados en ciertos instantes
$t^{n}$ de la soluci\'{o}n al problema:
\[
(P.V.I.)\left\{
\begin{array}{lll}
y^{\prime }(t) & =f(t,y(t) & t\in \left[ t_{0},t_{N}\right]  \\
[0.2cm] y(t_{0}) & =y_{0} &
\end{array}
\right.
\]
utilizaban \'{u}nicamente el valor de $y_{n}\approx y(t_{n})$ para estimar $%
y_{n+1}\approx y(t_{n+1}).$ De forma na\-tu\-ral surge entonces la
cuesti\'{o}n de si es posible aprovechar la informaci\'{o}n
procedente de las soluciones (aproximadas) obtenidas en los
instantes $t_{n-1},$ $t_{n-2},...,$ $t_{n-p}$ para ``mejorar'' la
soluci\'{o}n obtenida en $t_{n+1}.$ Surgen de esta manera los
denominados \textbf{m\'{e}todos multipaso} (o m\'{e}todos de pasos
ligados o, tambi\'{e}n, m\'{e}todos de pasos m\'{u}ltiples). De
ellos los m\'{a}s cl\'{a}sicos son los denominados m\'{e}todos de
Adams y sobre ellos centraremos nuestra atenci\'{o}n.

\begin{definition}
Se denomina m\'{e}todo de $r$ pasos a aquel que para obtener la
soluci\'{o}n aproximada $y_{n+1}$ del problema $(P.V.I.)$ en el
instante $t_{n+1}$ utiliza los valores aproximados de la
soluci\'{o}n obtenidos en los $r$ instantes anteriores, es decir,
$y_{n},$ $y_{n-1},$ ...., $y_{n-r}.$
\end{definition}

\subsection{Los m\'{e}todos de Adams.}

Consideremos nuevamente el problema $(P.V.I.)$ donde supondremos que la funci%
\'{o}n $f$ es lipschitciana respecto a su segunda variable. Sea
ademas dada una colecci\'{o}n de instantes intermedios:
\[
t_{0}<t_{1}<...<t_{n}<...<t_{N}
\]
y denotemos como hemos venido haciendo anteriormente por $%
h_{n}=t_{n+1}-t_{n}.$

Seg\'{u}n se vio en apartados anteriores la soluci\'{o}n $y(t)$ en
el instante $t_{n+1}$ puede estimarse mediante:
\[
y(t_{n+1})=y(t_{n})+\displaystyle\int\limits_{t_{n}}^{t_{n+1}}f(t,y(t))\,
dt
\]
expresi\'{o}n que podr\'{a} aproximarse por:
\[
y_{n+1}=y_{n}+\displaystyle\int\limits_{t_{n}}^{t_{n+1}}p_{n}(t)\,
dt
\]

donde $p_{n}(t)$ es una cierta funci\'{o}n que aproxime a la funci\'{o}n $%
f(t,y(t)).$ En los m\'{e}todos de Adams esta funci\'{o}n
$p_{n}(t)$ es un polinomio soportado en los instantes de
c\'{a}lculo precedentes. Seg\'{u}n el polinomio escogido, los
m\'{e}todos de Adams se dividen en dos grandes grupos como a
continuaci\'{o}n se detalla.

\subsubsection{M\'{e}todos de Adams-Bashforth de (r+1) pasos.}

Suponiendo conocidos los valores $f_{n-r}=f(t_{n-r},y_{n-r}),$ $f_{n-r+1}=$ \\ $f(t_{n-r+1},y_{n-r+1}),$ ...., $f_{n}=f(t_{n},y_{n})$ los m\'{e}%
todos de Adams-Bashforth de $(r+1)$ pasos construyen el polinomo
$p_{n}(t)$ como el polinomio interpolador de Lagrange de la
funci\'{o}n $f$ en el soporte $t_{n-r},...,t_{n},$ es decir como
aquel polinomio de grado $r$ que verifica:

\[
p_{n}(t_{n-i})=f_{n-i}\;\;\;\;(i=0,...,r)
\]

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Cons\'{u}ltese Conde y Schiavi\footnote{Conde, C. y
Schiavi, E. (2000) ``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones de los
temas de la asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan Carlos.}
para la determinaci\'{o}n del polinomio interpolador de Lagrange.}

\begin{definition}
Se denominan m\'{e}todos de Adams-Basforth a aquellos que se
obtienen al desarrollar la f\'{o}rmula:
\[
y_{n+1}=y_{n}+\displaystyle\int\limits_{t_{n}}^{t_{n+1}}p_{n}(t)\,
dt
\]
donde $p_{n}(t)$ es el polinomio de grado $r$ que verifica las
igualdades:

\[
p_{n}(t_{n-i})=f_{n-i}\;\;\;\;(i=0,...,r)
\]
\end{definition}

El polinomio $p_{n}(t)$ anterior puede expresarse como:

\[
p_{n}(t)=\sum\limits_{i=0}^{r}f_{n-i}\, L_{n,i,r}(t)
\]
donde
\[
L_{n,i,r}(t)=\prod\limits_{j=0// j\neq i }^{r}\frac{t-t_{n-j}}{%
t_{n-i}-t_{n-j}}
\]
por lo que el m\'{e}todo de Adams-Basforth de $(r+1)$ pasos puede
escribirse como:

\[
y_{n+1}=y_{n}+h_{n}\, \sum\limits_{i=0}^{r}b_{n,i,r}\, f_{n-i}
\]
donde
\[
b_{n,i,r}=\frac{1}{h_{n}}\,
\int\limits_{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\, dt
\]

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obs\'{e}rvese que los m\'{e}todos de Adams-Bashforth son
m\'{e}todos expl\'{i}citos y que necesitan para ser aplicados
conocer, al menos, los
valores aproximados }$y_{0},$\textit{\ }$y_{1},$\textit{\ ..., }$y_{r}.$%
\textit{\ Estos deber\'{a}n ser obtenidos por m\'{e}todos que
utilicen un menor n\'{u}mero de pasos.} \es

En el caso particular de que todos los pasos temporales tengan el mismo tama%
\~{n}o $h$ los coeficientes $b_{n,i,r}$ de las expresiones
anteriores se hacen independientes del \'{i}ndice $n$ (pues en
todos los pasos de tiempo se obtendr\'{a}n los mismos
coeficientes). En dicho caso los valores de los coeficientes
aparecen tabulados en numerosas referencias (como por ejemplo
Gear\footnote{Gear, C. W. (1971) ``Numerical Initial Value
Problems in Ordinary Differential Equations''. Ed. Prentice Hall.}
o Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot A.L. (1984)
``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations diff\'{e}rentielles'',
Ed. Masson.}). Algunos de ellos se recogen en la tabla siguiente:
\begin{small}
\begin{center}
\[
\begin{tabular}{|r|r|r|r|r|r|r|r|r|}
\hline
& $b_{0,r}$ & $b_{1,r}$ & $b_{2,r}$ & $b_{3,r}$ & $b_{4,r}$ & $b_{5,r}$ & $%
b_{6,r}$ & $\sum\limits_{i=0}^{r}|b_{i,r}|$ \\ [0.2cm]\hline $r=0$
& $1$ &  &  &  &  &  &  & $1$ \\ [0.2cm]\hline $r=1$ & $\dis
\frac{3}{2}$ & $\dis \frac{-1}{2}$ &  &  &  &  &  & $2$ \\
[0.2cm]\hline
$r=2$ & $\dis \frac{23}{12}$ & $\dis \frac{-4}{3}$ & $\dis \frac{5}{12}$ &  &  &  &  & $%
3.66..$ \\ [0.2cm]\hline $r=3$ & $\dis \frac{55}{24}$ & $\dis
\frac{-59}{24}$ & $\dis \frac{37}{24}$ & $\dis \frac{-3}{8}$ &  &
&  & $6.66...$ \\ [0.2cm]\hline
$r=4$ & $\dis \frac{1901}{720}$ & $\dis \frac{-1387}{360}$ & $\dis \frac{109}{30}$ & $\dis \frac{%
-637}{360}$ & $\dis \frac{251}{729}$ &  &  & $12.24..$ \\
[0.2cm]\hline
$r=5$ & $\dis \frac{4277}{1440}$ & $\dis \frac{-7923}{1440}$ & $\dis \frac{4991}{720}$ & $%
\dis \frac{-3649}{720}$ & $\dis \frac{959}{480}$ & $\dis \frac{-95}{288}$ &  & $22.14..$ \\[0.2cm]
\hline
$r=6$ & $\dis \frac{198721}{60480}$ & $\dis \frac{-18637}{2520}$ & $\dis \frac{2235183}{%
20160}$ & $\dis \frac{-10754}{945}$ & $\dis \frac{135713}{20160}$
& $\dis \frac{-5603}{2520} $ & $\dis \frac{1987}{60480}$ &
$43.75..$ \\ \hline
\end{tabular}
\]
\end{center}
\end{small}

\subsubsection{M\'{e}todos de Adams-Moulton de (r+1) pasos}

En las mismas condiciones que en el apartado anterior, los
m\'{e}todos de
Adams-Moulton consideran el polinomio interpolador $p_{n}(t)$  de grado $%
(r+1)$ y verificando ahora que:
\[
p_{n}(t_{n-i})=f_{n-i}\;\;\;\;\;\;(i=0,1,...,r)
\]

\[
p_{n}(t_{n+1})=f_{n+1}=f(t_{n+1},y_{n+1})
\]

Obs\'{e}rvese que ahora el polinomio se hace depender del propio
valor que
se quiere estimar. Por ello estos esquemas constituyen una familia de m\'{e}%
todos impl\'{i}citos.

Tambi\'{e}n ahora los m\'{e}todos podr\'{a}n escribirse en la
forma:
\[
y_{n+1}-h_{n}\, c_{n,-1,r}\, f(t_{n+1},y_{n+1})=y_{n}+h_{n}\,
\sum\limits_{i=0}^{r}c_{n,i,r}\, f_{n-i}
\]
donde
\[
c_{n,i,r}=\dis \frac{1}{h_{n}}\,
\int\limits_{t_{n}}^{t_{n+1}}L_{n,i,r}(t)\,
dt\;\;\;(i=-1,0,1,...,r)
\]
siendo

\[
L_{n,i,r}(t)=\prod\limits_{ j=-1 \\ j\neq i}^{r}\dis \frac{t-t_{n-j}}{%
t_{n-i}-t_{n-j}}\;\;\;\;\;(i=-1,0,1,...,r)
\]
\es

\underline{\textbf{NOTAS:}} \es

\textit{El an\'{a}lisis de los m\'{e}todos multipaso puede realizarse tambi%
\'{e}n a trav\'{e}s del estudio de la consistencia y estabilidad
de dichos esquemas. Su estudio detallado desborda la
dis\-po\-ni\-bi\-li\-dad de tiempo para este curso por lo que
remitimos al lector interesado a la bibliograf\'{i}a sobre el tema
para tal menester.} \es

\textit{En Crouzeix y Mignot\footnote{Crouzeix, M., Mignot A.L.
(1984) ``Analyse num\'{e}rique des \'{e}quations
diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.} o en Gear\footnote{Gear, C. W.
(1971) ``Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential
Equations''. Ed. Prentice Hall.} pueden encontrarse para los
m\'etodos de Adams-Moulton tablas similares a la antes escrita
para los m\'etodos de Adams-Bashforth recogiendo los valores de
los coeficientes de los esquemas para distintos valores de $r$ en
el caso de paso de discretizaci\'on constante.}




\newpage

\section{Bibliograf\'{\i}a.}

\begin{itemize}
\item Apostol, T. M. (1997) ``Linear Algebra. A first course with
applications to differential equations''.\ Ed. John Wiley \& Sons,
Inc.
\item Burden R.L., Douglas Faires J. (1998) ``An\'{a}lisis Num\'{e}rico'',
International Thomson Editores, 6. edici\'{o}n.
\item Conde, C. y Schiavi, E. (2000) ``Elementos de Matem\'{a}ticas: Guiones
de los temas de la asignatura''. Apuntes. Universidad Rey Juan
Carlos.
\item Crouzeix, M., Mignot A.L. (1984) ``Analyse num\'{e}rique des
\'{e}quations diff\'{e}rentielles'', Ed. Masson.
\item Gear, C. W. (1971) ``Numerical Initial Value Problems in Ordinary
Differential Equations''. Ed. Prentice Hall.
\item Guzm\'{a}n, M. de (1987). ``Ecuaciones diferenciales ordinarias.
Teor\'{\i}a de estabilidad y control'' (3${{}^{a}}$
reimpresi\'{o}n). Ed. Alhambra Universidad.
\item Hanna, O.T. y Sandall, O.C. (1995). ``Computational Methods in Chemical
Engineering''. Ed. Prentice Hall International Editions.
\item Kincaid, D. y Cheney, W. (1994). ``An\'{a}lisis num\'{e}rico. Las
matem\'{a}ticas del c\'{a}lculo cient\'{\i}fico''. Ed.
Addison-Wesley
Iberoamericana. %no se cita
\item  Marcell\'{a}n, F., Casas\'{u}s, L. y Zarzo, A. (1991). ``Ecuaciones
diferenciales. Problemas lineales y aplicaciones''. Ed. McGraw
Hill.
\item  Mart\'{\i}nez, C. y Sanz, M.A. (1991). ``Introducci\'{o}n a las
ecuaciones diferenciales ordinarias''. Ed. Revert\'{e}.
\item Schiavi, E., Mu\~noz Montalvo, A.I., Conde, C. (2012).
M\'etodos Matemáticos para los Grados en Ingenier\'{\i}a. Primera
parte: teor\'{\i}a. Ed. Dykinson, Textos Docentes 31, Universidad
Rey Juan Carlos, ISBN: 978-84-15454-58-8.
\item  Shampine, L.F. (1.994) ``Numerical solution of ordinary differential
equations''. Ed. Chapman\&Hall Mathematics. %no se cita
\item  Shampine, L.F., Allen, R.C. Jr. y Pruess, S. (1997). ``Fundamentals of
numerical computing''. Ed. John Wiley \& Sons, Inc.
\item  Sibony, M. y Mardon, J. Cl. (1982). ``Analyse num\'{e}rique II:
Approximation et equations differentielles''. Ed. Hemann. %no se cita
\item  Stoer, J. y Bulirsch, R. (1993)``Introduction to Numerical Analysis''
(2${{}^{a}}$ edici\'{o}n).\ Ed. Springer Verlag. %no se cita
\item Zill, D. G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado. (VI edici\'on) Ed. International Thomson editores.
\end{itemize}

\newpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\include{tema3_1}
%TCIDATA{LaTeXparent=0,0,guion.tex}

%TCIDATA{ChildDefaults=chapter:6,page:1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{figure}[ht]
 %   \centering
  %  \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig41.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
%\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{M\'{e}todos en diferencias finitas para la resoluci\'{o}n de
problemas de contorno}

\section{Presentaci\'{o}n y generalidades}

\subsection{El problema modelo sobre el que se plantear\'{a}n los esquemas
num\'{e}ricos.}

En este tema estudiaremos m\'{e}todos en diferencias finitas para
la resoluci\'{o}n de pro\-ble\-mas de transporte formulados como
sigue: \es

\emph{Hallar una funci\'{o}n }$u(x,t)$\emph{\ que satisfaga: }
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\begin{array}{l}
\dis \frac{\partial \left( a(\mathbf{x},t,u) u(\mathbf{x},t)\right) }{%
\partial t}-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D(x,}t,u)\right]\nabla u(%
\mathbf{x},t)\right) + \\ [0.3cm]
+\nabla \bullet \left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(%
\mathbf{x},t,u)u(\mathbf{x},t)\right) +
q(x,t,u)u(\mathbf{x},t)=f(\mathbf{x},t,u)
\end{array}
%&  &  \\ [0.3cm]
& \mathbf{x}\in \Omega, t\in (0,T) &  \\ [0.6cm] &  &  \\
[0.3cm] u(\mathbf{x},t)=u_{D}(\mathbf{x},t) & \mathbf{x}\in \Gamma
_{D}\times (0,T) &  \\ [0.6cm]
\left( -\left[ \mathbf{D(x,}t,u)\right]\nabla u(\mathbf{x},t)+%
\overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x},t,u)u(\mathbf{x},t)\right)
\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}=g(\mathbf{x},t,u) &
\mathbf{x}\in \Gamma _{N}\times (0,T) &  \\ [0.6cm]
u(\mathbf{x},0)=u^{0}(\mathbf{x}) & \mathbf{x}\in \overline{\Omega
} &
\end{array}
\right.
\]\emph{donde }$\mathbf{x}\in \Omega \subset \mathsf{I\!I\!R}^{d}$\quad $(d=1,2$%
\emph{\ o }$3),$\emph{\ siendo }$\Omega $\emph{\ un abierto de frontera }$%
\Gamma =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N}$\emph{\ donde }$\Gamma _{D}$\emph{\ y }$%
\Gamma _{N}$\emph{\ tienen interiores vac\'{\i}os, }$a(\mathbf{x},t,u)$\emph{%
\ es la funci\'{o}n denominada ``factor de retardo'', }$[\mathbf{D}(\mathbf{x%
},t,u)]$\emph{\ es la representaci\'{o}n mediante una matriz de dimensiones }%
$(d,$\emph{\ }$d)$\emph{\ del tensor (de segundo orden) de
``difusi\'{o}n-dispersi\'{o}n'', }$\overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x}%
,t,u)$\emph{\ es el campo de velocidades de convecci\'{o}n, }$q(\mathbf{x}%
,t,u)$\emph{\ es la funci\'{o}n de ``reacci\'{o}n qu\'{\i}mica'', }$f(\mathbf{%
x},t,u)$\emph{\ es la funci\'{o}n de ``t\'{e}rminos fuentes'', }$u_{D}(%
\mathbf{x},t)$\emph{\ es la funci\'{o}n que nos permite imponer la
condiciones de tipo Dirichlet en el tramo de frontera }$\Gamma
_{D},$\emph{\ }$g(\mathbf{x},t,u)$\emph{\ es la funci\'{o}n que
nos permite imponer la
condici\'{o}n de flujo en el tramo de frontera }$\Gamma _{N}$\emph{\ y }$%
u^{0}(\mathbf{x})$\emph{\ es la funci\'{o}n que asigna valores
iniciales en el dominio. Todas estas funciones se supondr\'{a}n
conocidas. Por \'{u}ltimo, }$\overrightarrow{\mathbf{n}}$\emph{\
es el vector normal unitario exterior al dominio }$\Omega $\emph{\
en cada punto de la frontera y }$T$\emph{\ es el instante de
c\'{a}lculo hasta el cual se extiende nuestro estudio.} \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obviamente existen muchas otras ecuaciones en derivadas
parciales de inter\'{e}s en la Ingenier\'{\i}a (ecuaciones de
Navier-Stokes para el estudio de los movimientos de fluidos,
ecuaciones de Maxwell para el estudio de fen\'{o}menos
electromagn\'{e}ticos, ecuaci\'{o}n de ondas para el movimiento
ondulatorio, ecuaciones de la elastodin\'{a}mica para el estudio
del comportamiento mec\'{a}nico de los materiales, ecuaciones de
Euler para el estudio de fluidos compresibles, etc...). El estudio
detallado de todas ellas desborda ampliamente los objetivos de
este curso. No obstante, a estas ecuaciones ser\'{a}n aplicables
muchas de las t\'{e}cnicas (y de los fundamentos en que se basan)
que presentaremos sobre la ecuaci\'{o}n del transporte.}

Ser\'{a} fecuente que el comportamiento de las distintas formas de
aproximar la soluci\'{o}n del problema anterior se estudie sobre
casos particulares de la ecuaci\'{o}n. Entre ellos distinguiremos:
\es

\underline{a)\ Problemas estacionarios:} es decir, independientes
del tiempo, que ser\'{a}n de la forma:

\[
-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D(x},u)\right]\nabla u(\mathbf{x}%
)\right) +\nabla \bullet \left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x},u)u(%
\mathbf{x})\right) +q(\mathbf{x})u(\mathbf{x})=f(\mathbf{x},u),\,
\mathbf{x}\in \Omega
\]
acompa\~{n}ados de las oportunas condiciones de contorno. En
ocasiones ser\'{a} interesante simplificar a\'{u}n m\'{a}s el
problema estacionario reduci\'{e}ndolo a uno de los
si\-guien\-tes:

a-1) Problema difusivo:
\[
-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D(x},u)\right]\nabla u(\mathbf{x}%
)\right) =f(\mathbf{x})\;\;\;\mathbf{x}\in \Omega
\]
acompa\~{n}ado de las condiciones de contorno pertinentes. En el
caso de que
el tensor de difusividad-dispersividad pudiera reducirse a una constante ($D$%
) multiplicando a la matiz identidad, se tendr\'{\i}a la
ecuaci\'{o}n de Poisson:
\[
-\Delta u(\mathbf{x})=\dis\frac{1}{D} f(x)\;\;\;\;\mathbf{x}\in
\Omega
\]
que, si $f(x)=0$ es la conocida ecuaci\'{o}n de Laplace. Este tipo
de ecuaciones mo\-de\-li\-za el estado estacionario que, en su
caso, alcanzar\'{a}n los procesos de transporte conductivo de
calor o el transporte difusivo de materia y es el ``prototipo''
que suele escogerse para el estudio de las denominadas ecuaciones
en derivadas parciales de tipo el\'{\i}ptico. La aproximaci\'{o}n
de este tipo de ecuaciones por distintos esquemas nos
permitir\'{a} analizar de forma sencilla si tales esquemas
satisfacen teoremas y leyes que verifican las respectivas
soluciones anal\'{\i}ticas (tales como el principio del m\'{a}ximo
que puedes encontrar en el anexo). \es

a-2) Problema convectivo:
\[
\nabla \bullet \left( \overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x}) u(\mathbf{%
x})\right) =f(\mathbf{x})\;\;\;\;\mathbf{x}\in \Omega
\]
acompa\~{n}ado, obviamente, de las pertinentes condiciones de
contorno. Esta ecuaci\'{o}n es una EDP de primer orden y modeliza
el estado estacionario que, en su caso, alcanzar\'{a}n los
procesos de transporte convectivo de calor o materia. La
aproximaci\'{o}n de este tipo de ecuaciones por distintos esquemas
nos permitir\'{a} analizar de forma sencilla las diferentes
estrategias (centradas y descentradas) que pueden seguirse para
modelizar fen\'{o}menos en los que se produce un ``arrastre'' por
un fluido.

a-3) Problema difusivo-convectivo:
\[
-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D(x},u)\right] \nabla u(\mathbf{x}%
)\right) +\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x}) u(\mathbf{x})\right)
=f(\mathbf{x})\;\;\;\;\mathbf{x}\in \Omega
\]
acompa\~{n}ada de las pertinentes condiciones de contorno. La
aproximaci\'{o}n de este tipo de ecuaciones por distintos esquemas
nos permitir\'{a} poner de manifiesto el comportamiento de los
distintos esquemas ante ``capas l\'{\i}mite'' y el papel que juega
la relaci\'{o}n entre el ``peso'' que tenga en la ecuaci\'{o}n el
t\'{e}rmino convectivo frente al t\'{e}rmino convectivo. \es

\underline{b) Problemas evolutivos.} En ellos el tiempo $t$
ser\'{a} una variable independiente m\'{a}s. Ser\'{a} frecuente
considerar tambi\'{e}n en este caso los fen\'{o}menos de
difusi\'{o}n y los de convecci\'{o}n de forma separada antes de
``juntarlos'' en una \'{u}nica ecuaci\'{o}n.\ En este sentido se
considerar\'{a} las EDP: \es

b-1) Ecuaci\'{o}n de difusi\'{o}n:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(\mathbf{x},t)-\nabla \bullet
\left( \left[
\mathbf{D(x},t,u)\right]\nabla u(\mathbf{x},t)\right) =f(\mathbf{x}%
,t,u)\;\;\;\;x\in \Omega ,\;\;0<t<T
\]

El caso en el que el tensor de difusividad pueda reducirse a una constante $%
D $, que se trabaje en dominios de una dimensi\'{o}n espacial y
que la funci\'{o}n de t\'{e}rminos fuentes $f(\mathbf{x},t,u)$ sea
nula, nos conduce a la ecuaci\'{o}n ``prototipo'' de las
denominadas ecuaciones en derivadas parciales parab\'{o}licas y
que es conocida con el nombre de ``ecuaci\'{o}n del calor'':
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=D\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x,t),\;0<x<L,\;0<t<T
\]

Sobre este tipo de ecuaciones podr\'{a}n ponerse de manifiesto las
muy diferentes formas que hay de combinar discretizaciones
espaciales y discretizaciones temporales, ana\-li\-z\'{a}n\-dose
las relaciones que debe haber entre el paso de discretizaci\'{o}n
temporal y el paso de discretizaci\'{o}n espacial, para que los
esquemas verifiquen ciertas propiedades que cumplen las soluciones
anal\'{\i}ticas (tales como el principio del m\'{a}ximo) o
simplemente para que las soluciones aproximadas no ``exploten''
con el transcurrir del tiempo (es decir, permanezcan estables).
\es

b-2) Ecuaci\'{o}n de convecci\'{o}n:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(\mathbf{x},t)+\nabla \bullet
\left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x},t)u(\mathbf{x},t)\right) =f(%
\mathbf{x},t,u),\;x\in \Omega,\;0<t<T.
\]

Este tipo de ecuaciones son ecuaciones en derivadas parciales
hiperb\'{o}licas de primer orden. Su estudio nos permitir\'{a}
introducir de forma simple el m\'{e}todo de las
ca\-rac\-te\-r\'{\i}sticas y plantear un amplio n\'{u}mero de
esquemas (centrados, descentrados, expl\'{\i}citos o
impl\'{\i}citos) para la resoluci\'{o}n de este tipo de
ecuaciones. En el caso de considerar dominios espaciales
unidimensionales, t\'{e}rminos fuentes nulos y velocidades
constantes en espacio se obtendr\'{a} la ecuaci\'{o}n de
advecci\'{o}n unidimensional:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+V(x)\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,t)=0,\;0<x<L,\;0<t<T,
\]
que es el ``prototipo'' de las ecuaciones hiperb\'{o}licas de
primer orden. \es

b-3) Ecuaci\'{o}n de difusi\'{o}n-convecci\'{o}n:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D(x}%
,t,u)\right]\nabla u(\mathbf{x},t)\right) +\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(\mathbf{x},t) u(\mathbf{x},t)\right)
=0,\] \[0<x<L,\;0<t<T.
\]

En este tipo de ecuaciones, y especialmente en el caso de dominios
espaciales unidimensionales, ser\'{a} c\'{o}modo ilustrar la
influencia entre el tama\~{n}o de paso espacial, el temporal y los
pesos asignados al transporte convectivo frente al difusivo (a
trav\'{e}s de los denominados n\'{u}meros de Courant y de Peclet
que posteriormente se introducir\'{a}n). \es

Para aligerar la escritura, a la hora de escribir las ecuaciones
omitiremos con frecuencia las variables de las que depende cada
par\'{a}metro o
funci\'{o}n. En este sentido, a veces escribiremos $q$ en lugar de $q(\mathbf{x}%
,t,u), $  $\overrightarrow{\mathbf{V}}$ en lugar de $\overrightarrow{%
\mathbf{V}}(\mathbf{x},t,u)$ y $f$ en lugar de
$f(\mathbf{x},t,u).$

Una \'{u}ltima observaci\'{o}n a realizar consiste en que, cuando
el factor de retardo $a$ sea independiente de $u$ (retardo lineal)
la ecuaci\'{o}n de transporte que se recog\'{\i}a en la
formulaci\'{o}n anteriormente hecha, habitualmente la
modificaremos seg\'{u}n el proceso siguiente:
\[
\dis\frac{\partial \left( a u\right) }{\partial t}-\nabla \bullet
\left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla u\right) +\nabla \bullet
\left( \overrightarrow{\mathbf{V}}u\right) +qu=f\Rightarrow
\]
\[
a\dis\frac{\partial u}{\partial t}+\dis\frac{\partial a}{\partial
t}
u-\sum\limits_{i=1}^{d}\left( \sum\limits_{j=1}^{d}\left( D_{ij}\dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}+\dis\frac{\partial D_{i,j}}{%
\partial x_{i}}\dis\frac{\partial u}{\partial x_{j}}\right) \right) +
\]
\[
+\sum\limits_{i=1}^{d}\left( V_{i}\dis\frac{\partial u}{\partial x_{i}}+%
\dis\frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}} u\right) +q
u=f\Rightarrow
\]
\[
a\dis\frac{\partial u}{\partial t}-\sum\limits_{i=1}^{d}\left(
\sum\limits_{j=1}^{d}D_{ij}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right) +\sum\limits_{i=1}^{d}\left( \left(
V_{i}-\sum\limits_{j=1}^{d}\dis\frac{\partial D_{i,j}}{\partial
x_{i}}\right)\dis\frac{\partial u}{\partial x_{i}}\right) +
\]
\[
+\left( q+\dis\frac{\partial a}{\partial
t}+\sum\limits_{i=1}^{d}\dis\frac{\partial V_{i}}{\partial
x_{i}}\right) u=f\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow a\dis\frac{\partial u}{\partial
t}-\sum\limits_{i=1}^{d}\left( \sum\limits_{j=1}^{d}D_{ij}
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)
+\overrightarrow{\widetilde{\mathbf{V}}} \nabla u+\widetilde{q}
u=f
\]
donde
\[
\widetilde{q}=\left( q+\dis\frac{\partial a}{\partial t}+\sum\limits_{i=1}^{d}%
\dis\frac{\partial V_{i}}{\partial x_{i}}\right)
\]
y
\[
\overrightarrow{\widetilde{\mathbf{V}}}=\left\{
\begin{array}{l}
V_{1}-\sum\limits_{j=1}^{d}\dis\frac{\partial D_{1,j}}{\partial x_{i}} \\
V_{2}-\sum\limits_{j=1}^{d}\dis\frac{\partial D_{2,j}}{\partial x_{i}} \\
V_{3}-\sum\limits_{j=1}^{d}\dis\frac{\partial D_{3,j}}{\partial
x_{i}}
\end{array}
\right\}
\]

La peculiaridad que tiene la formulaci\'{o}n anterior es que las
derivadas que en ella aparecen expl\'{\i}citamente act\'{u}an
\'{u}nicamente sobre la funci\'{o}n $u.$ Incluso, cuando sea
posible, ser\'{a} c\'{o}modo dividir toda la ecuaci\'{o}n por $a$
obteniendo:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}-\sum\limits_{i=1}^{d}\left(
\sum\limits_{j=1}^{d}\dis\frac{D_{ij}}{a} \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial
x_{i}\partial x_{j}}\right) +\dis\frac{1}{a} \overrightarrow{\widetilde{%
\mathbf{V}}}\nabla u+\dis\frac{\widetilde{q}}{a}u=\dis\frac{f}{a}
\]
que es la forma m\'{a}s usual en la que se escribe la ecuaci\'{o}n
de transporte:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}-\sum\limits_{i=1}^{d}\left(
\sum\limits_{j=1}^{d}\widehat{D}_{i,j}\dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\right)
+\overrightarrow{\widehat{\mathbf{V}}}\nabla u+\widehat{q}
u=\widehat{f}
\]
y que por aligerar la notaci\'{o}n, en numerosas ocasiones, cuando
ello no conduzca a confusi\'{o}n escribiremos prescindiendo del
s\'{\i}mbolo ``$\widehat{\quad}$'' en los coeficientes.

\subsection{Obtenci\'{o}n de f\'{o}rmulas en diferencias finitas para la
a\-pro\-xi\-ma\-ci\'{o}n de derivadas de funciones.}

\subsubsection{A) Derivadas de funciones de una variable.}

La forma m\'{a}s usual para obtener expresiones en diferencias
finitas de los valores de las derivadas de funciones consiste en
combinar de forma adecuada desarrollos en serie de Taylor de
dichas funciones. Ello exige, obviamente, admitir cierta
regularidad para las funciones con las que se opere en el sentido
de exigir que la funci\'{o}n pueda desarrollarse en serie de
Taylor hasta el t\'{e}rmino del desarrollo que nos interese. En
este sentido, comenzando por el caso de funciones de una sola
variable, recordamos que si $u(x)$ es una funci\'{o}n de clase
$C^{m+1}(]0,L[)$ y $h$ es un valor real, el valor de la
funci\'{o}n en el punto $(x^{*}+h)$ puede expresarse mediante un
desarrollo en serie de Taylor en la forma:
\[
u(x^{*}+h)=u(x^{*})+h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2} \dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+....
\]
\[+\dis\frac{h^{m}}{m!} \dis\frac{d^{m}u}{dx^{m}}%
(x^{*})+\dis\frac{h^{m+1}}{(m+1)!}
\dis\frac{d^{m+1}u}{dx^{m+1}}(\xi )
\]
donde $\xi $ es un punto comprendido entre $x^{*}$ y $x^{*}+h.$ En
el desarrollo anterior, el \'{u}ltimo sumando se suele designar
como ``el resto'' del desarrollo y, para valores de $h$
suficientemente peque\~{n}os, puede obtenerse una buena
aproximaci\'{o}n del valor $u(x^{*}+h)$ mediante:
\[
u(x^{*}+h)\approx
u(x^{*})+h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}
\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+....+\dis\frac{h^{m}}{m!}\dis\frac{d^{m}u}{dx^{m}}%
(x^{*})
\]
cometi\'{e}ndose un error dado por el resto del desarrollo y que,
abreviadamente, escribiremos como un error $O(h^{m+1})$ (es decir,
un error del orden de $h^{m+1}$ o un error de orden $(m+1)$)$.$
Este error es debido
al truncamiento del desarrollo en serie de Taylor en su sumando $(m+1)$%
-\'{e}simo y por ello es habitual designarlo con el nombre de
\textbf{error de truncamiento (o de truncatura)}.

La aproximaci\'{o}n anterior nos permite ya obtener f\'{o}rmulas
que, a su vez, aproximen el valor de la primera derivada de una
funci\'{o}n.\ En efecto, si consideramos $m=1$ y un valor $h>0$ el
desarrollo anterior se reescribe como:
\[
u(x^{*}+h)\approx u(x^{*})+h \dis\frac{du}{dx}(x^{*})
\]
de donde
\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})\approx \dis\frac{u(x^{*}+h)-u(x^{*})}{h}
\]
f\'{o}rmula en la que se est\'{a} cometiendo un error de
truncamiento dado por:
\[
E_{tr}=-\dis\frac{h}{2}\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(\xi )\rightarrow
E_{tr}=O(h)
\]

La expresi\'{o}n que acabamos de obtener se conoce como una \textbf{%
f\'{o}rmula en diferencias finitas progresiva} de primer orden
para aproximar la primera derivada de una funci\'{o}n (o, m\'{a}s
brevemente, f\'{o}rmula descentrada en adelanto) pues, suponiendo
$h>0,$ para aproximar el valor de la primera derivada en $x^{*}$
utiliza el valor de la
funci\'{o}n en $x^{*}$ y en un punto ($x^{*}+h)$ ``adelantado'' respecto a $%
x^{*}.$

Obviamente, siendo $h>0,$ podr\'{i}a considerarse el desarrollo:
\[
u(x^{*}-h)=u(x^{*})-h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}\dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(\xi )
\]
del que, siguiendo el mismo proceso anterior, se obtendr\'{\i}a la \textbf{%
f\'{o}rmula en diferencias finitas regresiva} de primer orden para
aproximar la primera derivada de una funci\'{o}n (o, m\'{a}s
brevemente, f\'{o}rmula descentrada en retroceso):
\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})\approx \dis\frac{u(x^{*})-u(x^{*}-h)}{h}
\]
en la que se comete un error de truncamiento:
\[
E_{tr}=\dis\frac{h}{2} \dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(\xi )\rightarrow
E_{tr}=O(h).
\]

Pero tambi\'{e}n podr\'{\i}amos haber combinado desarrollos en
serie. As\'{\i}, si consideramos los dos desarrollos:
\[
u(x^{*}+h)=u(x^{*})+h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}\dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+\dis\frac{h^{3}}{6}
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ^{\prime })
\]

\[
u(x^{*}-h)=u(x^{*})-h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}\dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})-\dis\frac{h^{3}}{6}
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi^{''})
\]
y al primero le restamos el segundo, se tendr\'{a} que:
\[
u(x^{*}+h)-u(x^{*}-h)=2h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{3}}{6}%
\left( \dis\frac{d^3 u}{dx^3}(\xi^\prime )+\dis\frac{d^3
u}{dx^3}(\xi^{''})\right) \Rightarrow
\]

\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})=\dis\frac{u(x^{*}+h)-u(x^{*}-h)}{2 h}-\dis\frac{h^{2}}{6}%
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi )
\]
donde $\xi $ es un punto intermedio entre $(x^{*}-h)$ y
$(x^{*}+h).$ De esta expresi\'{o}n puede obtenerse entonces la
\textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas centrada}:
\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})\approx
\dis\frac{u(x^{*}+h)-u(x^{*}-h)}{2h}
\]
en la que el error de truncatura estar\'{a} dado por:
\[
E_{tr}=-\dis\frac{h^{2}}{6}\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi
)\rightarrow E_{tr}=O(h^{2})
\]
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\emph{En el proceso anterior se ha utilizado la igualdad:}
\[
\left( \dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ^{\prime
})+\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ^{''})\right) =2
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi )
\]

\textit{Ello es posible gracias a la suposici\'{o}n de que
}$u$\textit{\ es una funci\'{o}n de clase }$C^{3}.$\textit{\ En
efecto, en estos casos, que nos surgir\'{a}n frecuentemente,
ser\'{a} de aplicaci\'{o}n el siguiente teorema cuya
demostraci\'{o}n (consecuencia inmediata del teorema del valor
medio) puedes encontrar, por ejemplo, en Mi\-cha\-vi\-la y
Conde\footnote{F. Michavila y C. Conde. (1987). M\'etodos de
aproximaci\'on. Ed. Universidad Polit\'ecnica de Madrid.}:}

\begin{theorem} Siendo $f$ una funci\'{o}n
continua en $[a,b],$
siendo $\{\xi _{i}\}_{i=1}^{n}$ un conjunto de puntos de $[a,b]$%
 y siendo $\{\alpha \}_{i=1}^{n}$ un conjunto de
n\'{u}meros reales del mismo signo y no nulos existe un punto $\xi
\in [a,b] $ tal que:
\[
\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _{i} f(\xi _{i})=\left(
\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha _{i}\right) f(\xi )
\]
\end{theorem}


\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obs\'{e}rvese que la f\'{o}rmula centrada que aproxima la
derivada primera presenta un error de truncatura de segundo orden
en tanto que las descentradas presentaban un error de primer
orden. Ello nos indica que reducciones en el valor de
}$h$\textit{\ conllevar\'{a}n una disminuci\'{o}n de error
cometido con dichas f\'{o}rmulas que ser\'{a} mayor al usar la
f\'{o}rmula centrada que las descentradas. Siendo esto as\'{\i},
conviene se\~{n}alar ya que no todo es el error de truncatura y
que las f\'{o}rmulas centradas pueden tener un ``peor
comportamiento'' (en un sentido que m\'{a}s adelante se
matizar\'{a}) que las f\'{o}rmulas descentradas.}

Al igual que se han obtenido las f\'{o}rmulas en diferencias que
aproximan el valor de la primera derivada en un punto,
podr\'{\i}amos obtener expresiones que aproximasen el valor de
derivadas de \'{o}rdenes superiores. As\'{\i} por ejemplo si
sumamos los desarrollos en serie:
\[
u(x^{*}+h)=u(x^{*})+h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}\dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(x^{*})+%
\dis\frac{h^{4}}{24}\dis\frac{d^{4}u}{dx^{4}}(\xi ^{\prime })
\]

\[
u(x^{*}-h)=u(x^{*})-h\dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2}\dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})-\dis\frac{h^{3}}{6}\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(x^{*})+%
\dis\frac{h^{4}}{24}\dis\frac{d^{4}u}{dx^{4}}(\xi ")
\]
tendremos que:
\[
u(x^{*}+h)+u(x^{*}-h)=2u(x^{*})+h^{2}\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}%
(x^{*})+\dis\frac{h^{4}}{24}\left( \dis\frac{d^{4}u}{dx^{4}}(\xi ^{\prime })+%
\dis\frac{d^{4}u}{dx^{4}}(\xi ")\right)
\]
de donde se obtendr\'{\i}a una f\'{o}rmula en \textbf{diferencias
finitas centrada} para aproximar la derivada segunda de la
funci\'{o}n $u$ en el
punto $x^{*}:$%
\[
\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})\approx \dis\frac{u(x^{*}-h)-2
u(x^{*})+u(x^{*}+h)}{h^{2}}
\]
en la que se comete un error de truncatura dado por:
\[
E_{tr}=-\dis\frac{h^{2}}{12}\dis\frac{d^{4}u}{dx^{4}}(\xi
)\rightarrow E_{tr}=O(h^{2})
\]

Hasta aqu\'{\i} s\'{o}lo se han considerado desarrollos en serie
de Taylor de los valores $u(x^{*}+h)$ y $u(x^{*}-h).$ Se
podr\'{\i}an poner en juego desarrollos de los valores en otros
puntos ($(x\pm 2 h),$ $(x\pm 3 h),$ .....) para obtener otras
f\'{o}rmulas (centradas o descentradas) aproximando los valores de
las derivadas (primeras, segundas, terceras, etc...) de la
funci\'{o}n con diferentes soportes. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{De hecho las expresiones anteriores pueden obtenerse de
otras formas distintas. Una de ellas es enmarcarlas dentro de la
teor\'{\i}a de la interpolaci\'{o}n y obtenerlas como f\'{o}rmulas
de derivaci\'{o}n num\'{e}rica, esto es, sustituyendo la derivada
de orden }$m$\textit{\ de la
funci\'{o}n }$u$\textit{\ en }$x^{*}$\textit{\ por la derivada de orden }$m$%
\textit{\ en dicho punto del polinomio interpolador
}$p(x)$\textit{\ de la funci\'{o}n }$u.$\textit{\ Cons\'{u}ltese
para mayores detalles, por ejemplo, Conde \& Schiavi\footnote{C.
Conde y E. Schiavi. (2000). Guiones de la asignatura de Elementos
de Matem\'aticas. Universidad Rey Juan Carlos.}.}

\underline{\textbf{Ejercicios propuestos:}}

1${{}^o}$) Obt\'{e}ngase la f\'{o}rmula de diferencias finitas:
\[
\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})\approx \]
\[\dis\frac{-2 u(x^{*}-2
h)+32 u(x^{*}-h)-60u(x^{*})+32 u(x+h)-2 u(x+2h)}{24 h^{2}}
\]
y demu\'{e}strese que el error de truncatura de la misma es
$O(h^{4}).$

2${{}^o}$) Obt\'{e}ngase una f\'{o}rmula en diferencias finitas
que permita
aproximar $\dis\frac{du}{dx}(x^{*})$ haciendo intervenir los valores $%
u(x^{*}-2h),$ $u(x^{*}-h),$ $u(x^{*}),$ $u(x^{*}+h)$ y
$u(x^{*}+2h)$ y que sea de orden $O(h^{4}).$

3${{}^o}$) Deducir la f\'{o}rmula:
\begin{eqnarray*}
\dis\frac{du}{dx}(x^{*}) &=&\dis\frac{1}{12 h}[-25 u(x^{*})+48
u(x^{*}+h)-36 u(x^{*}+2 h)+ \\
&&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+16 u(x^{*}+3 h)-3
u(x^{*}+4 h)]
\end{eqnarray*}
y encontrar la expresi\'{o}n de su error de truncatura.

Cabe se\~{n}alar tambi\'{e}n que en los desarrollos utilizados en
las expresiones anteriores se han considerado puntos que distaban
de $x^{*}$ m\'{u}ltiplos enteros de $h.$ Ello en ocasiones no
podr\'{a} ser as\'{\i} y deber\'{a}n considerarse ``soportes no
equidistantes''. La forma de actuar con este tipo de soportes no
diferir\'{a} de la antes presentada aunque, obviamente, estaremos
conducidos a f\'{o}rmulas y expresiones del error diferentes. Por
centrar las ideas, siendo $\gamma _{1}\;$y$\;\gamma _{2}$ dos
n\'{u}meros estr\'{\i}ctamente positivos menores o iguales que
$1,$ podemos considerar los desarrollos:
\[
u(x^{*}+\gamma _{1} h)=u(x^{*})+\gamma _{1} h \dis\frac{du}{dx}%
(x^{*})+\dis\frac{\gamma _{1}^{2}h^{2}}{2} \dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}%
(x^{*})+\dis\frac{\gamma _{1}^{3} h^{3}}{6}
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ^{\prime })
\]
\[
u(x^{*}-\gamma _{2}h)=u(x^{*})-\gamma _{2} h\dis\frac{du}{dx}%
(x^{*})+\dis\frac{\gamma _{2}^{2} h^{2}}{2}\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}%
(x^{*})-\dis\frac{\gamma _{2}^{3} h^{3}}{6}
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ")
\]

Restando el segundo desarrollo del primero obtendremos:
\[
u(x^{*}+\gamma _{1}h)-u(x^{*}-\gamma _{2} h)=(\gamma _{1}+\gamma
_{2}) h \dis\frac{du}{dx}(x^{*})+\dis\frac{(\gamma _{1}^{2}-\gamma
_{2}^{2}) h^{2}}{2} \dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+
\]

\[
+\dis\frac{(\gamma _{1}^{3}+\gamma _{2}^{3}) h^{3}}{6} \dis\frac{d^{3}u}{%
dx^{3}}(\xi ")
\]
de donde
\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})\approx \dis\frac{u(x^{*}+\gamma _{1}
h)-u(x^{*}-\gamma _{2} h)}{(\gamma _{1}+\gamma _{2})h}
\]
cometi\'{e}ndose un error de truncatura dado por:
\[
E_{tr}=\dis\frac{(\gamma _{2}^{2}-\gamma _{1}^{2}) h}{2 (\gamma
_{1}+\gamma _{2})}
\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})-\dis\frac{(\gamma _{1}^{3}+\gamma
_{2}^{3})h^{2}}{6 (\gamma _{1}+\gamma _{2})}
\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ").
\]

Se tiene as\'{\i} la correspondiente f\'{o}rmula centrada para
aproximar la primera derivada pero que ahora ser\'{a} de orden
$O(h)$ salvo que $\gamma _{1}=\gamma _{2}$ en cuyo caso ser\'{a}
de orden $O(h^{2}).$ No obstante los mismos desarrollos
podr\'{i}an haberse combinado de forma que se anularan los
t\'{e}rminos en derivadas segundas. Para ello basta con restar a
$\gamma _{2}^{2}$ veces el primer desarrollo $\gamma _{1}^{2}$
veces el segundo desarrollo, obteniendo en este caso:
\[
\gamma _{2}^{2} u(x^{*}+\gamma _{1} h)-\gamma _{1}^{2}
u(x^{*}-\gamma _{2} h)=(\gamma _{2}^{2} \gamma _{1}+\gamma
_{1}^{2} \gamma _{2}) h \dis\frac{du}{dx}(x^{*})+
\]

\[
+\dis\frac{(\gamma _{2}^{2} \gamma _{1}^{3}+\gamma _{1}^{2} \gamma
_{2}^{3}) h^{3}}{6} \dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ")
\]
de donde se obtendr\'{i}a la f\'{o}rmula en diferencias finitas:
\[
\dis\frac{du}{dx}(x^{*})\approx \dis\frac{\gamma _{2}^{2}
u(x^{*}+\gamma _{1} h)-\gamma _{1}^{2} u(x^{*}-\gamma _{2}
h)}{(\gamma _{2}^{2} \gamma _{1}+\gamma _{1}^{2} \gamma _{2}) h}
\]
con un error de truncatura:
\[
E_{tr}=-\dis\frac{(\gamma _{2}^{2} \gamma _{1}^{3}+\gamma _{1}^{2}
\gamma _{2}^{3}) h^{2}}{6 (\gamma _{2}^{2} \gamma _{1}+\gamma
_{1}^{2} \gamma _{2})} \dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi ")
\]
que ya es de orden $O(h^{2}).$

De forma similar podr\'{\i}a procederse para la aproximaci\'{o}n
de derivadas de mayor orden. As\'{\i}, sumando $\gamma _{2}$ veces el primer desarrollo a $%
\gamma _{1}$ veces el segundo desarrollo se obtendr\'{i}a:
\[
\gamma _{2} u(x^{*}+\gamma _{1} h)+\gamma _{1} u(x^{*}-\gamma _{2}
h)=(\gamma _{1}+\gamma _{2}) u(x^{*})+\dis\frac{(\gamma _{2}
\gamma _{1}^{2}+\gamma _{1}\gamma _{2}^{2}) h^{2}}{2} \dis\frac{%
d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})+
\]

\[
+\dis\frac{(\gamma _{2} \gamma _{1}^{3}-\gamma _{1}\gamma
_{2}^{3})h^{3}}{6}\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi )
\]
de donde se obtiene la f\'{o}rmula:
\[
\dis\frac{d^{2}u}{dx^{2}}(x^{*})\approx 2 \dis\frac{\gamma _{2}
u(x^{*}+\gamma _{1} h)-(\gamma _{1}+\gamma _{2}) u(x^{*})+\gamma
_{1} u(x^{*}-\gamma _{2} h)}{(\gamma _{2} \gamma _{1}^{2}+\gamma
_{1}\gamma _{2}^{2}) h^{2}}
\]
con la que se comete un error de truncatura:
\[
E_{tr}=\dis\frac{(\gamma _{2} \gamma _{1}^{3}-\gamma _{1} \gamma
_{2}^{3}) h}{3 (\gamma _{2} \gamma _{1}^{2}+\gamma _{1} \gamma
_{2}^{2})}\dis\frac{d^{3}u}{dx^{3}}(\xi )\rightarrow E_{tr}=O(h)
\]

\subsubsection{B) Derivadas de funciones de varias variables.}

La forma de proceder anterior puede extenderse al caso de
funciones de varias variables. Por simplicidad nosotros la
expondremos sobre funciones de $2$ variables y dejamos al lector
la sencilla tarea de aplicar estos procedimientos a funciones de
$3$ o m\'{a}s variables. Para ello, de forma similar a c\'{o}mo
proced\'{\i}amos anteriormente, suponiendo la suficiente
regularidad a nuestras funciones, y siendo $h>0$ y $k>0$ dos
n\'{u}meros positivos consideraremos los desarrollos en serie:
\[
u(x^{*}+h,y^{*})=u(x^{*},y^{*})+h \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.1}
c{h^{4}}{24} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}

\[
u(x^{*}-h,y^{*})=u(x^{*},y^{*})-h\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x^{*},y^{*})-\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.2}
+\dis\frac{h^{4}}{24}\dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}%
(x^{*},y^{*})+... \end{equation}

\[
u(x^{*},y^{*}+k)=u(x^{*},y^{*})+k\dis\frac{\partial u}{\partial y}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{k^{2}}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{k^{3}}{6}\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.3}
+\dis\frac{k^{4}}{24} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}

\[
u(x^{*},y^{*}-k)=u(x^{*},y^{*})-k \dis\frac{\partial u}{\partial y}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{k^{2}}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})-\dis\frac{k^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.4}
+\dis\frac{k^{4}}{24}\dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}

\[
u(x^{*}+h,y^{*}+k)=u(x^{*},y^{*})+h \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})+k \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{%
2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x^{*},y^{*})+
\]

\[
+h k \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{k^{2}}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{h^{2} k}{2}\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.5}
+\dis\frac{hk^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{k^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}

\[
u(x^{*}+h,y^{*}-k)=u(x^{*},y^{*})+h\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})-k\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{%
2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x^{*},y^{*})+
\]

\[
-hk\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{k^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x^{*},y^{*})-%
\dis\frac{h^{2}k}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
(x^{*},y^{*})+
\]

\begin{equation} \label{1.6}
+\dis\frac{h k^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})-\dis\frac{k^{3}}{6}\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}

\[
u(x^{*}-h,y^{*}+k)=u(x^{*},y^{*})-h\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})+k\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{%
2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x^{*},y^{*})+
\]

\[
-hk \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{k^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x^{*},y^{*})-%
\dis\frac{h^{3}}{6}\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{h^{2} k}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
(x^{*},y^{*})-
\]

\begin{equation} \label{1.7}
-\dis\frac{h k^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})+\dis\frac{k^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}
y

\[
u(x^{*}-h,y^{*}-k)=u(x^{*},y^{*})-h\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x^{*},y^{*})-k\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})+\dis\frac{h^{2}}{%
2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x^{*},y^{*})+
\]

\[
+hk \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}(x^{*},y^{*})+%
\dis\frac{k^{2}}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x^{*},y^{*})-%
\dis\frac{h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x^{*},y^{*})-%
\dis\frac{h^{2} k}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
(x^{*},y^{*})-
\]

\begin{equation} \label{1.8}
-\dis\frac{h k^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}%
(x^{*},y^{*})-\dis\frac{k^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},y^{*})+...
\end{equation}
La combinaci\'{o}n de los $8$ desarrollos anteriores nos puede
conducir a muy diferentes formas de aproximar las derivadas
parciales (de primer y segundo orden) de la funci\'{o}n $u(x,y)$
en el punto $(x^{*},y^{*}).$ En efecto, de la expresi\'{o}n
(\ref{1.1}) podr\'{\i}a despejarse la primera derivada parcial de
$u$ respecto a $x$ obteni\'{e}ndose:
\begin{equation} \label{1.9}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*}+h,y^{*})-u(x^{*},y^{*})}{h}
\end{equation}
\textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas progresiva} que nos
permite
aproximar la derivada parcial respecto a $x$ de la funci\'{o}n $u$ en $%
(x^{*},y^{*})$ con un error de truncatura:
$$
E_{tr}=-\dis\frac{h}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(\xi ,y^{*})\rightarrow E_{tr}=O(h).
$$

De (\ref{1.2}) tambi\'{e}n podr\'{\i}a despejarse la derivada
parcial respecto a $x$ obteniendo en este caso:
\begin{equation} \label{1.10}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*},y^{*})-u(x^{*}-h,y^{*})}{h}
\end{equation}

\textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas regresiva} que nos
permite
aproximar la derivada parcial respecto a $x$ de la funci\'{o}n $u$ en $%
(x^{*},y^{*})$ con un error de truncatura:
$$
E_{tr}=\dis\frac{h}{2}\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(\xi ,y^{*})\rightarrow E_{tr}=O(h).
$$

Restando $(2)$ de $(1)$ obtendr\'{\i}amos la \textbf{f\'{o}rmula
centrada}:

\begin{equation} \label{1.11}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*}+h,y^{*})-u(x^{*}-h,y^{*})}{2 h}
\end{equation}
que tiene un error de truncatura dado por:

$$
E_{tr}=-\dis\frac{h^{2}}{3}\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial
x^{3}}(\xi ,y^{*})\rightarrow E_{tr}=O(h^{2}).
$$

Haciendo las mismas operaciones con los desarrollos (\ref{1.3}) y
(\ref{1.4}) se obtienen para aproximar la primera derivada parcial
respecto a $y$ las f\'{o}rmulas y errores:

\textbf{progresiva:}
\begin{equation} \label{1.12}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*},y^{*}+k)-u(x^{*},y^{*})}{k} \end{equation}
$$
E_{tr}=-\dis\frac{k}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
y^{2}}(x^{*},\zeta )\rightarrow E_{tr}=O(k)
$$

\textbf{regresiva:}
\begin{equation} \label{1.13}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*},y^{*})-u(x^{*},y^{*}-k)}{k}
\end{equation}
$$
E_{tr}=\dis\frac{k}{2}\cdot \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
y^{2}}(x^{*},\zeta )\rightarrow E_{tr}=O(k)
$$

\textbf{centrada:}
\begin{equation} \label{1.14}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*},y^{*}+k)-u(x^{*},y^{*}-k)}{2 k}
\end{equation}
$$
E_{tr}=-\dis\frac{k^{2}}{3} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}}%
(x^{*},\zeta )\rightarrow E_{tr}=O(k^{2}).$$

Para aproximar la segunda derivada parcial de $u$ respecto a $x$
en el punto $(x^{*},y^{*})$ podr\'{\i}a, por ejemplo, sumarse
(\ref{1.1}) y (\ref{1.2}) lo que nos conducir\'{\i}a a la
f\'{o}rmula \textbf{centrada}:
\begin{equation} \label{1.15}
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*}-h,y^{*})-2u(x^{*},y^{*})+u(x^{*}+h,y^{*})}{h^{2}}
\end{equation}
con la que se comete un error de truncatura:
$$
E_{tr}=-\dis\frac{h^{2}}{12}\dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial
x^{4}}(\xi ,y^{*})\rightarrow E_{tr}=O(h^{2}).
$$

Y sumando (\ref{1.3}) y (\ref{1.4}) se obtendr\'{\i}a:
\begin{equation} \label{1.16}
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x^{*},y^{*})\approx \dis\frac{%
u(x^{*},y^{*}-h)-2u(x^{*},y^{*})+u(x^{*},y^{*}+k)}{k^{2}}
\end{equation}
con la que se comete un error de truncatura:
$$
E_{tr}=-\dis\frac{k^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial y^{4}}%
(x^{*},\zeta )\rightarrow E_{tr}=O(k^{2}).$$

Y si se deseara aproximar la segunda derivada cruzada
podr\'{\i}an, por ejemplo, sumarse (\ref{1.5}) y (\ref{1.8}) y a
su resultado restarles (\ref{1.6}) y (\ref{1.7}). Ello nos
conducir\'{\i}a a:
\[
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial
y}(x^{*},y^{*})\approx
\dis\frac{u(x^{*}+h,y^{*}+k)-u(x^{*}-h,y^{*}+k)}{ 4 h k}
\]
\[+\dis\frac{-u(x^{*}+h,y^{*}-k)+u(x^{*}-h,y^{*}-k)}{
4 h k}\]
 con un error (se deja como ejercicio propuesto al lector el
determinarlo) del orden:
\[
E_{tr}=O(\dis\frac{h^{3}}{k},h^{2},hk,k^{2},\dis\frac{k^{3}}{h})
\]

Obs\'{e}rvese que en esta \'{u}ltima expresi\'{o}n del orden del
error
intervienen distintos t\'{e}rminos y, entre ellos, aparecen las fracciones $%
h^{3}/k$ y $k^{3}/h.$ Ello nos indica que reduciones del valor $h$
que no vayan acompa\~{n}adas de la correspondiente reducci\'{o}n
del valor $k$ (o viceversa) pueden empeorar la aproximaci\'{o}n
ralizada (pues $k^{3}/h$ crecer\'{a}).

Obviamente muchas otras f\'{o}rmulas en diferencias finitas
podr\'{\i}an construirse considerando puntos no equidistantes,
otros puntos o combinando los desarrollos en serie de Taylor de
formas diferentes a como se ha hecho m\'{a}s arriba. Algunas de
estas f\'{o}rmulas las iremos presentando a lo largo del tema.
Otras podr\'{a}n encontrarse en la bibliograf\'{\i}a que sobre el
tema se cita. En todo caso, la aproximaci\'{o}n de los operadores
diferenciales que intervienen en las EDP podr\'{a} hacerse ya
combinando estas u otras f\'{o}rmulas en diferencias finitas. Pero
no todas las f\'{o}rmas posibles de combinar distintas
f\'{o}rmulas nos conducir\'{a}n a esquemas de c\'{a}lculo que
tengan un buen comportamiento. Por ello, en los apartados
siguientes, mostraremos la forma de proceder para analizar
c\'{o}mo se comportan distintos algoritmos num\'{e}ricos que se
obtienen de la combinaci\'{o}n de f\'{o}rmulas en diferencias
finitas.

\underline{\textbf{Ejercicios propuestos:}}

1${{}^o}$) Obt\'{e}n f\'{o}rmulas centradas y descentradas para
aproximar las siguientes derivadas:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x^{*},y^{*},z^{*}),\;\;\dis\frac{\partial u}{%
\partial y}(x^{*},y^{*},z^{*}),\;\;\dis\frac{\partial u}{\partial z}%
(x^{*},y^{*},z^{*})
\]
basadas en los desarrollos de $u(x^{*}\pm \Delta x,y^{*},z^{*}),$ $%
u(x^{*},y^{*}\pm \Delta y,z^{*})$ y $u(x^{*},y^{*},z^{*}\pm \Delta
z)$ en torno al punto $(x^{*},y^{*},z^{*})$ Determina el error de
trucamiento en cada una de ellas.

2${{}^o}$) Con los desarrollos anteriores y los correspondientes
a:
\[
u(x^{*}\pm \Delta x,y^{*}\pm \Delta y,z^{*}\pm \Delta z)
\]
deduce f\'{o}rmulas para aproximar las derivadas segundas de $u$ en $%
(x^{*},y^{*},z^{*}),$ determinando el error de truncatura de cada
una de ellas.

\section{Aproximaci\'{o}n mediante esquemas en diferencias de problemas de
transporte estacionarios.}

\subsection{El problema de transporte estacionario en dominios
unidimensionales.}

\subsubsection{A) Problemas con coeficientes constantes y esquemas con
mallados equidistantes.}

Por centrar ideas comencemos considerando el siguiente problema:

\emph{Siendo }$D$\emph{, }$V$\emph{\ y }$q$\emph{\ tres constantes
conocidas y tales que }$D>0,$\emph{\ y siendo conocida la
funci\'{o}n }$f(x)$\emph{\ y estando dados los valores
}$u_{IZQ}$\emph{\ y }$u_{DER},$\emph{\ encontrar una funci\'{o}n
}$u(x)$\emph{\ que verifique: }
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-D u^{''}(x)+V u^{\prime }(x)+q u(x) & =f(x), & 0<x<L \\
u(0)=u_{IZQ} &  &  \\ [0.3cm] u(L)=u_{DER} &  &
\end{array}
\right.
\]
\es

Para la resoluci\'{o}n mediante un esquema en diferencias finitas
de este tipo de pro\-ble\-mas comenzaremos introduciendo una
\textbf{discretizaci\'{o}n espacial} del dominio $[0,L]$ en el que
se plantea el problema. Ello
consiste simplemente en seleccionar en el intervalo $[0,L]$ un conjunto de $%
(N+1)$ puntos:
\[
0=x_{1}<x_{2}<...<x_{i-1}<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{N}<x_{N+1}=L
\]
en los que se calcular\'{a} el valor (aproximado) de la
soluci\'{o}n del problema planteado. A estos puntos seleccionados
los designaremos como \textbf{nodos} siendo $x_{i}$ el i-\'{e}simo
nodo. Denotaremos por $u_{i}$ al valor aproximado de $u(x_{i})$
(que se calcular\'{a} mediante el esquema en diferencias finitas
que se aplique). A estos valores $u_{i}$ les denominaremos
\textbf{valores nodales}. Al conjunto de nodos introducidos se le
denominar\'{a} en este caso \textbf{mallado}. Adem\'{a}s, por
simplicidad, consideraremos por el momento que las distancias
entre dos nodos consecutivos $x_{i}$ y $x_{i+1}$ tiene siempre el
valor $h$ (cosa que expresaremos diciendo que el soporte est\'{a}
formado por nodos equidistantes o, m\'{a}s brevemente, diciendo
que el mallado es equidistante o uniforme).

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig61.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


Los m\'{e}todos num\'{e}ricos de resoluci\'{o}n del problema
planteado no persiguen determinar la expresi\'{o}n anal\'{\i}tica
de la soluci\'{o}n. Simplemente persiguen determinar los valores
nodales de la soluci\'{o}n, es decir, una aproximaci\'{o}n de los
valores que la soluci\'{o}n toma en los nodos del mallado
realizado. Obs\'{e}rvese que por las condiciones de contorno
consideradas ya se conocen los valores nodales $u_{1}$ y $u_{N+1}$
siendo desconocidos $u_{2},u_{3},...,u_{N.}$ Para determinar estos
valores nodales puede, en primer lugar, plantearse la EDP del
problema en cada uno de los nodos del mallado en los que no se
conoce el valor que toma la soluci\'{o}n, lo que escribiremos
como:
\[
-Du"(x_{i})+V u^{\prime }(x_{i})+q
u(x_{i})=f(x_{i})\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
y tras ello aproximar las derivadas en cada punto mediante alguna
f\'{o}rmula en diferencias finitas. As\'{\i}, si por ejemplo
utilizamos f\'{o}rmulas centradas para aproximar la primera y
segunda derivada, obtendremos:
\[
-D\dis\frac{u(x_{i}-h)-2 u(x_{i})+u(x_{i}+h)}{h^{2}}+O(h^{2})+V
\dis\frac{u(x_{i}+h)-u(x_{i}-h)}{2 h}+O(h^{2})+
\]

\[
+q
u(x_{i})=f(x_{i})\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
de donde en cada nodo $x_{i}$ puede plantearse la ecuaci\'{o}n:
\[
\left( -\dis\frac{D}{h^{2}}-\dis\frac{V}{2 h}\right)
u(x_{i-1})+\left(
\dis\frac{2D}{h^{2}}+q\right) u(x_{i})+\left( -\dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{%
V}{2 h}\right) u(x_{i+1})+O(h^{2})=f(x_{i})
\]
y, prescindiendo del t\'{e}rmino debido a los errores de
truncamiento:
\begin{equation} \label{2.1}
\left( -\dis\frac{D}{h^{2}}-\dis\frac{V}{2 h}\right) u_{i-1}+\left( \dis\frac{%
2D}{h^{2}}+q\right) u_{i}+\left( -\dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{%
2h}\right) u_{i+1}=f_{i}\;\;(i=2,...,N)
\end{equation}
que expresaremos brevemente como:
\[
\alpha  u_{i-1}+\beta  u_{i}+\gamma
u_{i+1}=f_{i}\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
donde
\[
\alpha =-\left( \dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{2 h}\right)
,\;\;\;\;\beta
=\left( \dis\frac{2 D}{h^{2}}+q\right) ,\;\;\;\gamma =\left( \dis\frac{V}{%
2h}-\dis\frac{D}{h^{2}}\right)
\]

Las ecuaciones $(1)$ forman un sistema con $(N-1)$ ecuaciones y
$(N+1)$ inc\'{o}gnitas. A estas ecuaciones se le pueden a\~{n}adir
las ecuaciones deducidas de las condiciones de contorno:
\[
u_{1}=u_{IZQ},\;\;\;\;\;\;\;u_{N+1}=u_{DER}
\]
obteni\'{e}ndose as\'{\i} un sistema de $(N+1)$ ecuaciones con el
mismo n\'{u}mero de inc\'{o}gnitas. Tal sistema lo representaremos
de forma resumida como:
\[
\lbrack \mathbf{A}] \{\mathbf{u}\}=\{\mathbf{b}\}
\]
y una vez resuelto nos permitir\'{a} obtener una estimaci\'{o}n de
los valores nodales de la soluci\'{o}n.

Con ello un algoritmo para calcular los valores aproximados de la
soluci\'{o}n del pro\-ble\-ma antes planteado consistir\'{a} en:
\es

\emph{INICIO\ DEL\ ALGORITMO} \es

\emph{Definir los valores de }$D,$\emph{\ }$V,$\emph{\ }$q,\;u_{IZQ},%
\;u_{DER},\;h$\emph{\ y }$N,$\emph{\ y calcular los puntos:}
\[
x_{i}\leftarrow (i-1)+h\;\;\;\;\;(i=1,2,...,N+1)
\]

\emph{Definir la funci\'{o}n }$f(x)$\emph{\ y calcular los
valores:}
\[
f_{i}\leftarrow f(x_{i})\;\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]

\emph{Calcular:}

\[
\alpha \leftarrow -\left( \dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{2
h}\right) ,\;\;\;\;\beta \leftarrow \left( \dis\frac{2
D}{h^{2}}+q\right) ,\;\;\;\gamma \leftarrow \left( \dis\frac{V}{2
h}-\dis\frac{D}{h^{2}}\right)
\]

$[\mathbf{A}]\leftarrow [\mathbf{0}]$

\emph{Para }$i=2$\emph{\ hasta }$i=N,$\emph{\ con paso
}$1,$\emph{\ hacer:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ }$A(i,i-1)\leftarrow \alpha ,\;\;\;\;\;\;$\emph{\ }$%
A(i,i)\leftarrow \beta ,\;\;\;\;\;\;\;A(i,i+1)\leftarrow \gamma
,\;\;\;\;b(i)=f_{i}$

\emph{Fin bucle en }$i.$

\emph{\ }$A(1,1)\leftarrow 1,\;\;\;\;\;A(N+1,N+1)\leftarrow
1,\;\;\;b(1)\leftarrow u_{IZQ},$\emph{\ }$\;\;\;b(N+1)\leftarrow
u_{DER}$

\emph{Resolver el sistema }$[\mathbf{A}]\cdot
\{\mathbf{u}\}=\{\mathbf{b}\}$

\emph{Escribir los valores de las componentes }$u_{i}$\emph{\ }$%
(i=1,...,N+1) $\emph{\ del vector }$\{\mathbf{u}\}.$

\emph{FIN\ ALGORITMO.}

\underline{\textbf{Ejemplo:}}

Resolver mediante el esquema en diferencias finitas anterior el
problema:

\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-u^{''}(x)+V u^{\prime }(x) & =0, & 0<x<1 \\ [0.2cm] u(0)=0 & &
\\ [0.2cm] u(1)=1 &  &
\end{array}
\right.
\]
para distintos valores de la velocidad $V.$ T\'{o}mese como valor
del par\'{a}metro de discretizaci\'{o}n $h=0.1.$

En este caso se tendr\'{a}n los nodos:
\[
x_{1}=0,\quad x_{2}=0.1,\quad x_{3}=0.2,\quad x_{4}=0.3,\quad
x_{5}=0.4,
\]

\[
x_{6}=0.5,\quad x_{7}=0.6,\quad x_{8}=0.7,\quad x_{9}=0.8,\quad
x_{10}=0.9,\quad x_{11}=1.0
\]
siendo $f_{i}=0$ \ $(i=2,...,10).$ Puesto que $D=1,$ $q=0$ y $V$
queda libre para asignarle distintos valores, se tiene que:
\[
\alpha =-100-5 V,\;\;\;\;\beta =200,\;\;\;\;\gamma =5V-100
\]
con lo que el sistema de ecuaciones resultante se podr\'{a}
escribir como:

\[
\left[
\begin{array}{lllllllllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \alpha & \beta & \gamma \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right] \cdot \left\{
\begin{array}{l}
u_{1} \\
u_{2} \\
u_{3} \\
u_{4} \\
u_{5} \\
u_{6} \\
u_{7} \\
u_{8} \\
u_{9} \\
u_{10} \\
u_{11}
\end{array}
\right\} =\left\{
\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
0 \\
1
\end{array}
\right\}
\]
sistema que para diferentes valores de $V$ nos conduce a las
siguientes soluciones:

\textbf{\ }\underline{$\mathbf{V=1}$}$:$

$u_{1}=0$, $u_{2}=0.06117989669$, $u_{3}=0.1287997825,$
$u_{4}=0.2035375511,$

\ $u_{5}=0.2861424532,$ $u_{6}=0.3774426083,$
$u_{7}=0.4783533060,$

$u_{8}=0.5898861825,$ $u_{9}=0.7131593618,$ $u_{10}=0.8494086650,$
$ u_{11}=1. $

Esta soluci\'{o}n puede compararse con la soluci\'{o}n exacta dada
por:
\[
u(x)=\dis\frac{e^{x}-1}{e-1}
\]
observ\'{a}ndose una buena coincidencia entre los valores exactos
y los aproximados como se recoge en la gr\'{a}fica siguiente en la
que a trazo continuo se representa la soluci\'{o}n y por puntos
los valores nodales aproximados:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig62.eps}
    \caption{Resultados obtenidos para $V=1$.}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\textbf{\ }\underline{$\mathbf{V=25}$}

$u_{1}=0,\;u_{2}=-0.2867971998\cdot 10^{-8},$
$u_{3}=0.2294377598\cdot 10^{-7},$

$u_{4}=-0.2093619558\cdot 10^{-6},$\ $u_{5}=0.1881389630\cdot
10^{-5},$

$u_{6}=-0.1693537464\cdot 10^{-4},$ $u_{7}=0.1524155037\cdot
10^{-3},$

$u_{8}=-0.1371742401\cdot 10^{-2},$ $u_{9}=0.1234567873\cdot
10^{-1},$

$u_{10}=0.1111111114,$ $u_{11}=1.$

Esta soluci\'{o}n puede compararse con la soluci\'{o}n exacta dada
por:
\[
u(x)=\dis\frac{e^{25 x}-1}{e^{25}-1}
\]
observ\'{a}ndose que los valores aproximados (representados en
trazo grueso en la gr\'{a}fica siguiente) y los exactos tienen un
comportamiento muy diferente en el entorno de la capa l\'{\i}mite:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig63.eps}
    \caption{Resultados obtenidos para $V=25$.}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Esta disparidad entre la aproximaci\'{o}n obtenida y el valor
exacto se acent\'{u}a conforme se va elevando el valor de la
velocidad como se muestra en la gr\'{a}fica obtenida para una
velocidad $V=100.$

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig64.eps}
    \caption{Resultados obtenidos para $V=100$.}
    %\label{figura1}
\end{figure}

La justificaci\'{o}n ``f\'{\i}sica'' de lo anterior puede buscarse
en que el proceso de convecci\'{o}n es un proceso ``descentrado''
mientras que la f\'{o}rmula empleada para aproximar el t\'{e}rmino
convectivo (la primera derivada $u^{\prime }(x)$) era una
f\'{o}rmula centrada. Por ello cuanto mayor importancia cobra este
t\'{e}rmino ``peor'' se vuelve la aproximaci\'{o}n obtenida. Con
independencia de que un poco m\'{a}s adelante justifiquemos este
hecho de una forma matem\'{a}tica m\'{a}s rigurosa, modifiquemos
el esquema obtenido usando una aproximaci\'{o}n descentrada del
t\'{e}rmino convectivo. Para ello llamemos:
\[
\rho =\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{|V|}{2V}
\]

Obs\'{e}rvese que si la velocidad es positiva $\rho =1$ mientras
que si la
velocidad es negativa $\rho =0.$ Con ello aproximaremos la primera derivada $%
u^{\prime }(x_{i})$ mediante:
\[
u^{\prime }(x_{i})\approx \rho \dis\frac{u_{i}-u_{i-1}}{h}+(1-\rho
) \dis\frac{u_{i+1}-u_{i}}{h}=\]
\[\dis\frac{-\rho  u_{i-1}+(2 \rho
-1) u_{i}+(1-\rho ) u_{i+1}}{h}
\]
es decir, utilizando el valor nodal $u_{i}$ y el valor nodal
``aguas arriba''. Con ello el esquema en cada nodo puede
escribirse ahora en la forma siguiente:
\[
-D\dis\frac{u_{i+1}-2 u_{i}+u_{i+1}}{h^{2}}+\] \begin{equation}
\label{2.2} V\dis\frac{-\rho u_{i-1}+(2\rho -1) u_{i}+(1-\rho
)u_{i+1}}{h}+q u_{i}=f_{i}
\end{equation}
que tambi\'{e}n podr\'{a} expresarse en la forma:
\[
\alpha  u_{i-1}+\beta  u_{i}+\gamma
u_{i+1}=f_{i}\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
donde
\[
\alpha =-\left( \dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{\rho  V}{h}\right)
,\;\;\;\;\beta =\left( \dis\frac{2 D}{h^{2}}+\dis\frac{2\rho
-1}{h} V+q\right) ,\;\;\;\gamma =\left( \dis\frac{(1-\rho )
V}{h}-\dis\frac{D}{h^{2}}\right)
\]

El mismo algoritmo anterior, pero sustituyendo en \'{e}l las expresiones de $%
\alpha ,\beta $ y $\gamma $ por las que se acaban de obtener nos
servir\'{a} para el uso de este nuevo esquema.

La aplicaci\'{o}n de este esquema a los casos anteriormente
resueltos nos conduce a las gr\'{a}ficas siguientes:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig65.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig66.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig67.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Como se ve la aproximaci\'{o}n obtenida mejora ostensiblemente
aunque persisten diferencias en las cercan\'{\i}as de la capa
l\'{\i}mite. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Existen otras formas, adem\'{a}s de la descrita, para
``estabilizar'' la soluci\'{o}n aproximada de forma que no
``oscile'' en torno a la soluci\'{o}n exacta aun para valores muy
elevados de la velocidad.}

\textquestiondown De qu\'{e} depende el que la soluci\'{o}n
aproximada se comporte en un caso de una manera y en otro caso de
forma diferente?. \textquestiondown Hasta qu\'{e} valores de $V$
podr\'{\i}a utilizarse el esquema centrado?. \textquestiondown Si
el descentrado funciona mejor, qu\'{e} inter\'{e}s puede tener el
esquema centrado?. A \'estas y otras cuestiones intentaremos
responder a continuaci\'{o}n.

\subsubsection{B) Orden de los esquemas.}

Una primera cuesti\'{o}n a plantearnos es la relativa al orden de
los esquemas que acabamos de introducir. En ambos casos los
esquemas los formul\'{a}bamos, en cada nodo, como:

\[
\alpha  u_{i-1}+\beta  u_{i}+\gamma
u_{i+1}=f_{i}\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]

Es evidente que los valores nodales (aproximados) satisfacer\'{a}n
por tanto la relaci\'{o}n:

\[
\alpha  u_{i-1}+\beta  u_{i}+\gamma
u_{i+1}-f_{i}=0\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]

Pero si en esta expresi\'{o}n sustituimos los valores nodales
aproximados por los valores que en el nodo correspondiente tome la
soluci\'{o}n exacta, la igualdad anterior ya no tendr\'{a} por
qu\'{e} verificarse. En general se tendr\'{a} que:

\[
E_{i}=\alpha  u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma
u(x_{i+1})-f_{i}\neq 0\;\;\;\;\;(i=2,....,N)
\]

\begin{definition} Se denomina \textbf{error de
consistencia local} en el nodo $x_{i}$ al valor:
\[
E_{i}=\alpha  u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma  u(x_{i+1})-f_{i}.
\]
\end{definition}

Seg\'{u}n lo anterior, los errores de consistencia de un
m\'{e}todo nos indican en qu\'{e} medida la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica del problema a resolver satisface el esquema
num\'{e}rico con el que se la est\'{a} aproximando.

Examinemos c\'{o}mo son estos errores en el caso de los esquemas
antes considerados. Para ello, con el primero de los presentados
(el dado por la expresi\'{o}n $(1)$), suponiendo que $u(x)$ es
suficientemente regular y considerando los desarrrollos en serie
de Taylor pertinentes, se tendr\'{a} en cada nodo que:
\[
0=-Du"(x_{i})+V u^{\prime }(x_{i})+qu(x_{i})-f(x_{i})=
\]

\[
=\alpha u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma u(x_{i+1})-f_{i}+D
\dis\frac{h^{2}}{12} u^{(iv}(\xi _{1,i})-V \dis\frac{h^{2}}{6}
u^{^{\prime \prime \prime }}(\xi _{2,i})
\]
de donde
\[
E_{i}=\alpha  u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma
u(x_{i+1})-f_{i}=-D \dis\frac{h^{2}}{12} u^{(iv}(\xi
_{1,i})+V\dis\frac{h^{2}}{6} u^{^{\prime \prime \prime }}(\xi
_{2.i})
\]

En otros t\'{e}rminos el error de consistencia en cada nodo,
utilizando el esquema (\ref{2.1}), es de orden $O(h^{2})$ (lo que
expresaremos diciendo que es un \textbf{esquema de orden de
consistencia local }$2).$

Los mismos c\'{a}lculos para el caso del esquema en el que la
convecci\'{o}n se aproximaba de forma des\-cen\-tra\-da (esquema
(\ref{2.2})) nos conducen a que dicho esquema presenta un error de
consistencia en cada nodo de orden $O(h).$ En efecto, en ese caso,
y siempre bajo hip\'{o}tesis de regularidad suficiente para la
funci\'{o}n $u(x)$ se tiene que:

\[
0=-D u"(x_{i})+V u^{\prime }(x_{i})+q u(x_{i})-f(x_{i})=
\]

\[
=\alpha  u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma u(x_{i+1})-f_{i}+D
\dis\frac{h^{2}}{12} u^{(iv}(\xi _{1,i})+
\]

\[
+\rho  V \dis\frac{h}{6}u"(\xi _{2,i})-(1-\rho ) V \dis\frac{h}{6}
u"(\xi _{3,i})
\]
de donde
\[
E_{i}=\alpha u(x_{i-1})+\beta  u(x_{i})+\gamma
u(x_{i+1})-f_{i}=-D\dis\frac{h^{2}}{12} u^{(iv}(\xi _{1,i})-
\]

\[
-\rho  V \dis\frac{h}{6} u"(\xi _{2.i})+(1-\rho ) V
\dis\frac{h}{6} u"(\xi _{3,i})
\]
lo que confirma que este segundo esquema es un esquema de
\textbf{orden de consistencia local }$1.$

Lo anterior nos indica que una reducci\'{o}n del tama\~{n}o de $h$
a la mitad se traduce en una reducci\'{o}n del error cometido a
(del orden de) la cuarta parte en el caso del esquema (\ref{2.1})
y a (del orden de) la mitad en el caso del esquema (\ref{2.2}). En
otros t\'{e}rminos, si se trabaja \underline{con tama\~{n}os de
paso suficientemente peque\~{n}os} ser\'{a} preferible el primero
de los esquemas.

Pero el problema es \textquestiondown qu\'{e} valores son
suficientemente peque\~{n}os para el paso de discretizaci\'{o}n
espacial de $h?.$ A ello vamos a contestar a continuaci\'{o}n.

\subsubsection{C) Verificaci\'{o}n del principio del m\'{a}ximo discreto.}

Si $D$ y $V$ no son nulos la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica del
problema
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-Du"(x)+Vu^{\prime }(x) & =0, & 0<x<L \\
u(0)=u_{IZQ} &  &  \\
u(L)=u_{DER} &  &
\end{array}
\right\}
\]
est\'{a} dada por:
\[
u(x)=u_{IZQ}+\dis\frac{u_{DER}-u_{IZQ}}{e^{\dis\frac{V}{D} L}-1}\left( e^{%
\dis\frac{V}{D}x}-1\right)
\]
que f\'{a}cilmente puedes comprobar que verifica el principio del
m\'{a}ximo, esto es, la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica, en cualquier
punto $x$ tal que $0<x<L$ toma valores intermedios entre $u_{IZQ}$
y $u_{DER}.$

Examinemos si los valores nodales que toma la soluci\'{o}n
aproximada mediante los esquemas anteriores tambi\'{e}n son
intermedios entre $u_{IZQ}$ y $u_{DER}.$

Para este problema (t\'{e}rmino fuente nulo) los esquemas se
escribir\'{a}n:

\[
\alpha  u_{i-1}+\beta  u_{i}+\gamma
u_{i+1}=0\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
de donde
\[
u_{i}=a u_{i-1}+bu_{i+1}\;\;\;\;\;\;(i=2,....,N)
\]
siendo
\[
a=\dis\frac{-\alpha }{\beta },\;\;\;\;\;b=\dis\frac{-\gamma
}{\beta }
\]

Para el esquema (\ref{2.1}) (en el que no se descentra la
aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino convectivo), al ser $q=0,$ se
tendr\'{a} que:
\[
\alpha =-\left( \dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{2h}\right)
,\;\;\;\;\beta
=\left( \dis\frac{2 D}{h^{2}}\right) ,\;\;\;\gamma =\left( \dis\frac{V}{2h%
}-\dis\frac{D}{h^{2}}\right)
\]
por lo que en ese caso,
\[
a=\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{Vh}{2
D},\;\;\;\;\;b=\dis\frac{1}{2}-\dis\frac{Vh}{2D}
\]

Obs\'{e}rvese que $a+b=1$. Pero nada asegura que los valores de
$a$ y $b$ est\'{e}n comprendidos entre $0$ y $1.$ En resumidas
cuentas no puede afirmarse que el valor $u_{i}$ sea ``una
combinaci\'{o}n convexa'' de los valores de $u_{i-1}$ y de
$u_{i+1}$ (lo cual garantizar\'{\i}a que es un valor intermedio).
Para poder asegurar lo anterior deber\'{\i}a obligarse a que:

\[
0\leq \dis\frac{1}{2}+\dis\frac{V h}{2D}\leq 1
\]
y
\[
0\leq \dis\frac{1}{2}-\dis\frac{Vh}{2D}\leq 1
\]
es decir,
\[
\dis\frac{\left| V\right|  h}{2 D}\leq \dis\frac{1}{2}\Rightarrow
h\leq \dis\frac{D}{|V|}
\]

Para estos valores de $h$ s\'{\i} se puede afirmar que $u_{i}$ es
un valor intermedio entre $u_{i-1}$ y $u_{i+1}.$ Como esta
conclusi\'{o}n es v\'{a}lida para todo nodo interior del mallado,
seg\'{u}n c\'{o}mo sean los valores de $u_{IZQ}$ y de $u_{DER},$
se verificar\'{a}, bajo la hip\'{o}tesis anterior sobre $h,$
alguna de las dos situaciones siguientes:
\[
u_{IZQ}=u_{1}\leq u_{2}\leq u_{3}\leq .....\leq u_{i-1}\leq
u_{i}\leq u_{i+1}\leq .....\leq u_{N+1}=u_{DER}
\]
o
\[
u_{IZQ}=u_{1}\geq u_{2}\geq u_{3}\geq .....\geq u_{i-1}\geq
u_{i}\geq u_{i+1}\geq .....\geq u_{N+1}=u_{DER}
\]
por lo que, siempre bajo la hip\'{o}tesis $h\leq D/|V|,$ se
satisfacer\'{a} el principio del m\'{a}ximo.

Para valores superiores de $h$ el esquema viola dicho principio.
Ello demuestra el siguiente:

\begin{theorem}  El esquema (\ref{2.1}) satisface el principio del
m\'{a}ximo s\'{o}lamente si se verifica que:
\[
h\leq \dis\frac{D}{|V|}
\]

\end{theorem}

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{El resultado del teorema anterior te permitir\'{a} saber
por qu\'{e} el esquema }(\ref{2.1})\textit{\ ten\'{\i}a un
comportamiento ``oscilante'' sobre el ejemplo al que lo aplicamos
anteriormente. En efecto, puesto que el paso utilizado fue
}$h=0.1,$\textit{\ y }$D=1,$\textit{\ cuando la velocidad
sobrepasaba el valor }$V=10,$\textit{\ el esquema no verificaba el
principio
del m\'{a}ximo. Aparec\'{\i}an valores negativos (inferiores a }$u_{IZQ}$%
\textit{) y ello conllevaba la aparici\'{o}n de las oscilaciones.}

Examinemos ahora el segundo esquema dado por (\ref{2.2}). Por
simplicidad con\-si\-de\-re\-mos $V>0$ con lo que $\rho =1$ (si la
velocidad fuese negativa puedes realizar los desarrollos
an\'{a}logos para comprobar la veracidad de la conclusi\'{o}n a la
que lleguemos). En este caso:
\[
\alpha =-\left( \dis\frac{D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{h}\right)
,\;\;\;\;\beta =\left(
\dis\frac{2 D}{h^{2}}+\dis\frac{V}{h}\right) ,\;\;\;\gamma =\left( -\dis\frac{D}{%
h^{2}}\right)
\]
por lo que
\[
a=\dis\frac{D+h V}{2D+h V},\;\;\;\;\;b=\dis\frac{D}{2D+h V }
\]

Obs\'{e}rvese que en este caso se verifica que:
\[
a+b=1,\;\;\;0<a<1,\;\;0<b<1
\]
es decir, que el valor
\[
u_{i}=a u_{i-1}+b u_{i+1}
\]
es una combinaci\'{o}n convexa de $u_{i-1}$ y $u_{i+1}$ por lo que
$u_{i}$ ser\'{a} un valor intermedio entre $u_{i-1}$ y $u_{i+1}.$
En resumen se tiene as\'{\i} demostrado el siguiente:

\begin{theorem} El esquema (\ref{2.2}) verifica el principio del m\'{a}ximo
para todo valor del paso de discretizaci\'{o}n $h.$ \end{theorem}

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Observa que en el caso de velocidad positiva, cuanto mayor
sea} $|V|$\textit{\ en comparaci\'{o}n con }$D$\textit{\
m\'{a}s pr\'{o}ximo a }$1$\textit{\ ser\'{a} el valor del coeficiente }$a$%
\textit{\ y m\'{a}s pr\'{o}ximo a }$0$\textit{\ ser\'{a} el valor
del coeficiente }$b.$\textit{\ En otros t\'{e}rminos, puesto que}
\[
u_{i}=au_{i-1}+bu_{i+1}
\]
\textit{m\'{a}s se parecer\'{a} }$u_{i}$\textit{\ a
}$u_{i-1}$\textit{. Ello explica el por qu\'{e} en los ejemplos
tratados, cuanto mayor era la velocidad m\'{a}s tend\'{\i}a hacia
}$0$\textit{\ la soluci\'{o}n aproximada, salvo en un entorno del
extremo derecho en el que se impon\'{\i}a como valor de la
soluci\'{o}n el valor }$1.$\textit{\ \textquestiondown
Podr\'{\i}as realizar un razonamiento parecido en el caso de que
}$V<0$\textit{\ ?.}

En resumidas cuentas, ser\'{a} preferible el uso del esquema
\ref{2.1} para valores de $h\leq D/|V|$ pues en ese caso se
verifica el principio del m\'{a}ximo y el orden de consistencia
local es $2.$ Pero si se necesita utilizar un paso de
discretizaci\'{o}n mayor (lo que puede ser necesario en problemas
fuertemente convectivos en los que $|V|>>D$ para no tener un
n\'{u}mero ``excesivo'' de nodos) ser\'{a} m\'{a}s conveniente el
uso del esquema (\ref{2.2}) para asegurar el cumplimiento del
principio del m\'{a}ximo.

\subsubsection{D) Tama\~{n}os de paso variables.}

En ocasiones ser\'{a} conveniente no utilizar mallados
equidistantes pues en el dominio de estudio pueden existir zonas
en las que la soluci\'{o}n sea ``suave'' y zonas en las que
presente cambios bruscos. Por ejemplo, en el problema antes
considerado, cuando la velocidad tomaba valores elevados, la
soluci\'{o}n era pr\'{a}cticamente nula en todo el dominio salvo
en un entorno de la capa l\'{\i}mite. Podr\'{\i}a pensarse en ese
caso en utilizar distancias ``grandes'' entre los primeros nodos y
distancias ``peque\~{n}as'' entre los \'{u}ltimos.

La forma de proceder en ese caso es an\'{a}loga a la antes
considerada, si bien, como vimos en el apartado 1.2 de este
cap\'{\i}tulo, las f\'{o}rmulas a emplear variar\'{a}n. M\'{a}s
concretamente consideremos nuevamente el pro\-ble\-ma:

\emph{Siendo }$D$\emph{, }$V$\emph{\ y }$q$\emph{\ tres constantes
conocidas y tales que }$D>0,$\emph{\ y siendo conocida la
funci\'{o}n }$f(x)$\emph{\ y estando dados los valores
}$u_{IZQ}$\emph{\ y }$u_{DER},$\emph{\ encontrar una funci\'{o}n
}$u(x)$\emph{\ que verifique: }
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-D u"(x)+Vu^{\prime }(x)+qu(x) & =f(x) & 0<x<L \\
u(0)=u_{IZQ} &  &  \\
u(L)=u_{DER} &  &
\end{array}
\right\}
\]
y denotemos por:
\[
0=x_{1}<x_{2}<x_{3}<...<x_{i}<x_{i+1}<...<x_{N}<x_{N+1}=L
\]
a los nodos del mallado, designando ahora por:
\[
h_{i}=x_{i+1}-x_{i}\;\;\;\;(i=1,2,...,N)
\]
por
\[
h={1\leq i\leq N}\max_{1\leq i\leq N}\{h_{i}\}
\]
y por
\[
\mu _{i}=\dis\frac{h_{i}}{h}\;\;\;\;(i=1,2,...,N)
\]

Aproximando en cada nodo todas las derivadas de forma centrada, se
obtiene el siguiente desarrollo:

\[
-Du"(x_{i})+Vu^{\prime }(x_{i})+q u(x_{i})=f(x_{i})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -D2 \dis\frac{\mu _{i} u(x_{i}-\mu _{i-1}
h)-(\mu _{i-1}+\mu _{i}) u(x_{i})+\mu _{i-1} u(x_{i}+\mu _{i}h)}{%
(\mu _{i-1}\mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}%
+O(h)+
\]

\[
+V\dis\frac{u(x_{i}+\mu _{i} h)-u(x_{i}-\mu _{i-1} h)}{(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) h}+O(h)+q u(x_{i})=f(x_{i}),\;\;(i=2,...,N)
\]
de donde en cada nodo $x_{i}$ puede plantearse la ecuaci\'{o}n:
\[
\left( -\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{V}{(\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}%
\right)  u(x_{i-1})+\]
\[\left( \dis\frac{2(\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{%
(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2}\mu _{i}) h^{2}}%
+q\right) u(x_{i})+
\]
\[
+\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1}\mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2}\mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{V}{(\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}%
\right) u(x_{i+1})+O(h)=f(x_{i})
\]
y, prescindiendo del t\'{e}rmino debido a los errores de
truncamiento:
\[
\left( -\dis\frac{2 \mu _{i}D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2}\mu _{i})h^{2}}-\dis\frac{V}{(\mu _{i-1}+\mu _{i})h}%
\right) u_{i-1}+\]
\[\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{(\mu
_{i-1}\mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2}\mu _{i})h^{2}}+q\right) u_{i}+
\]

\begin{equation} \label{2.3}
+\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i})h^{2}}+\dis\frac{V}{(\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}%
\right) u_{i+1}=f_{i},\;i=2,...,N)
\end{equation}
que expresaremos brevemente como:
\[
\alpha _{i,i-1}u_{i-1}+\alpha _{i,i} u_{i}+\alpha _{i,i+1}
u_{i+1}=f_{i}\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
donde
\[
\alpha _{i,i-1}=\left( -\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{V}{(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]
\[
\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{(\mu
_{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+q\right)
\]

\[
\alpha _{i,i+1}=\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{V}{(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]

En este caso el orden del error de consistencia local de esquema ser\'{a} $%
O(h).$ No obstante otras aproximaciones de las derivadas
ser\'{\i}an posibles.

Si optamos por utilizar una f\'{o}rmula descentrada para la
aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino convectivo, siendo, al igual que
antes,

\[
\rho =\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{|V|}{2 V}
\]
obtendremos,

\[
-D u"(x_{i})+V u^{\prime }(x_{i})+q u(x_{i})=f(x_{i})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -D 2 \dis\frac{\mu _{i} u(x_{i}-\mu _{i-1}
h)-(\mu _{i-1}+\mu _{i}) u(x_{i})+\mu _{i-1} u(x_{i}+\mu _{i}h)}{%
(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}%
+O(h)+
\]

\[
+\rho  V \dis\frac{u(x_{i})-u(x_{i}-\mu _{i-1} h)}{\mu _{i-1}
h}+O(h)+(1-\rho ) V \dis\frac{u(x_{i}+\mu _{i} h)-u(x_{i})}{\mu
_{i} h}+O(h)+
\]

\[
+q u(x_{i})=f(x_{i})\;\;\;\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
de donde en cada nodo $x_{i}$ puede plantearse la ecuaci\'{o}n:
\[
\left( -\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\rho  V}{\mu _{i-1} h}%
\right)  u(x_{i-1})+
\]

\[
+\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{\rho V}{\mu
_{i-1} h}+\dis\frac{(\rho -1) V}{\mu _{i} h}+q\right) u(x_{i})+
\]

\[
+\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{(1-\rho ) V}{\mu _{i} h%
}\right)  u(x_{i+1})+O(h)=f(x_{i})
\]
y, prescindiendo del t\'{e}rmino debido a los errores de
truncamiento,
\[
\left( -\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\rho  V}{\mu _{i-1} h}%
\right)  u_{i-1}+
\]

\[
+\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{\rho V}{\mu
_{i-1} h}+\dis\frac{(\rho -1) V}{\mu _{i} h}+q\right)  u_{i}+
\]

\begin{equation} \label{2.4}
+\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu
_{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{(1-\rho ) V}{\mu _{i} h%
}\right)  u_{i+1}=f_{i},\;(i=2,...,N)
\end{equation}
que tambi\'{e}n expresaremos brevemente como:
\[
\alpha _{i,i-1} u_{i-1}+\alpha _{i,i} u_{i}+\alpha _{i,i+1}
u_{i+1}=f_{i},\;(i=2,...,N)
\]
donde
\[
\alpha _{i,i-1}=\left( -\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\rho V}{\mu
_{i-1} h}\right)
\]
\[
\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D}{(\mu
_{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{%
\rho  V}{\mu _{i-1} h}+\dis\frac{(\rho -1) V}{\mu _{i} h}%
+q\right)
\]

\[
\alpha _{i,i+1}=\left( -\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{(1-\rho ) V}{%
\mu _{i} h}\right)
\]

Este esquema en el que se descentra el t\'{e}rmino convectivo
tambi\'{e}n presenta errores de consistencia local de orden $1.$
\es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Dise\~{n}a un algoritmo sobre los esquemas de c\'{a}lculo
}(\ref{2.3}) \textit{\ y }(\ref{2.4}).

Ya hemos comentado anteriormente el orden de los errores de
consistencia local de los esquemas (\ref{2.3}) y (\ref{2.4})
Examinemos si verifican el principio del m\'{a}ximo. Para ello
consideraremos el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-D u"(x)+V u^{\prime }(x) & =0 & 0<x<L \\
u(0)=u_{IZQ} &  &  \\
u(L)=u_{DER} &  &
\end{array}
\right\}
\]
y, procediendo de forma an\'{a}loga a la que seguimos en el caso
de paso constante, podemos escribir cada ecuaci\'{o}n en cada nodo
como:
\[
u_{i}=a_{i} u_{i-1}+b_{i} u_{i+1}
\]
donde
\[
a_{i}=\dis\frac{-\alpha _{i-1,i}}{\alpha
_{i,i}},\;\;\;\;\;b_{i}=\dis\frac{-\alpha _{i,i+1}}{\alpha _{i,i}}
\]
y podremos asegurar el cumplimiento del principio del m\'{a}ximo cuando $%
0\leq a_{i}\leq 1,$ $0\leq b_{i}\leq 1$ y adem\'{a}s
$a_{i}+b_{i}=1$ (pues
en ese caso $u_{i}$ ser\'{a} una combinaci\'{o}n convexa de los valores $%
u_{i-1}$ y $u_{i+1}).$

Para el esquema (\ref{2.3}) se tiene que:
\[
a_{i}=\dis\frac{\mu _{i}}{(\mu _{i-1}+\mu _{i})}+\dis\frac{\mu _{i-1} \mu _{i}}{%
(\mu _{i-1}+\mu _{i})} \dis\frac{V}{D} h
\]

\[
b_{i}=\dis\frac{\mu _{i-1}}{(\mu _{i-1}+\mu _{i})}-\dis\frac{\mu _{i-1} \mu _{i}%
}{(\mu _{i-1}+\mu _{i})} \dis\frac{V}{D} h
\]

Nuevamente se puede concluir que la condici\'{o}n $a_{i}+b_{i}=1$
se verifica; pero estos coeficientes no tienen por qu\'{e} tomar
valores comprendidos entre $0$ y $1.$ Para que ello fuese as\'{\i}
se deber\'{\i}a verificar que:
\[
h\leq {2\leq i\leq N}\inf_{2\leq i\leq N}\left( \dis\frac{1}{\mu
_{i-1}} \left| \dis\frac{D}{V}\right| ,\dis\frac{1}{\mu _{i}}
\left| \dis\frac{D}{V}\right| \right)
\]
o lo que es lo mismo,
\[
h_{i}\leq \left| \dis\frac{D}{V}\right|
\;\;\;\;\;\;\;(i=1,2,...,N)
\]

Para el esquema (\ref{2.4}) si se supone $V>0$ (es decir, $\rho
=1$) se tendr\'{a} que:
\[
a_{i}=\dis\frac{\dis\frac{2 \mu _{i} D}{(\mu _{i}+\mu _{i-1})}+V
\mu _{i} h}{2 D+V \mu _{i} h}
\]

\[
b_{i}=\dis\frac{\dis\frac{2 \mu _{i-1} D}{(\mu _{i}+\mu
_{i-1})}}{2 D+V \mu _{i} h}
\]

Puede observarse que ahora $0<a_{i}<1$, $0<b_{i}<1$, y que
$a_{i}+b_{i}=1$ para todos los valores de $i=1,2,...,N.$ Por tanto
en este caso s\'{i} que se verificar\'{a} el principio del
m\'{a}ximo independientemente de cual sea el valor de $h$ tomado.
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Tambi\'{e}n en este caso, si }$V>0,$\textit{\ cuanto mayor
sea la relaci\'{o}n }$V/D$\textit{\ m\'{a}s pr\'{o}ximo a
}$1$\textit{\ ser\'{a} el
valor de }$a_{i}$\textit{\ y m\'{a}s pr\'{o}ximo a }$0$\textit{\ el de }$%
b_{i}.$\textit{\ En otros t\'{e}rminos, }$u_{i}$\textit{\ ser\'{a}
m\'{a}s
pr\'{o}ximo a }$u_{i-1}$\textit{\ cuanto mayor sea la relaci\'{o}n }$V/D.$%
\textit{\ En el caso de que }$V<$\textit{\ }$0$\textit{\ puedes
comprobar que es }$b_{i}$\textit{\ el coeficiente que m\'{a}s se
acercar\'{a} al valor }$1$\textit{\ mientras que }$a_{i}$\textit{\
tender\'{a} hacia }$0.$ \es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Deducir bajo qu\'{e} condiciones se verifica el principio
del m\'{a}ximo para el esquema }(\ref{2.4})\textit{\ en el caso de
que }$V<0.$

\subsubsection{E) Consideraci\'{o}n de coeficientes variables.}

Consideremos ahora el caso de problemas de transporte
estacionarios planteados en dominios unidimensionales pero con
coeficientes no constantes. M\'{a}s concretamente consideremos el
problema:

\emph{Siendo }$D(x)$\emph{, }$\widetilde{V}(x)$\emph{\ y }$\widetilde{q}(x)$%
\emph{\ tres funciones conocidas y tales que }$D(x)>0\;\;\forall
x,$\emph{\
y siendo conocida la funci\'{o}n }$f(x)$\emph{\ y estando dados los valores }%
$u_{IZQ}$\emph{\ y }$u_{DER},$\emph{\ encontrar una funci\'{o}n }$u(x)$\emph{%
\ que verifique: }
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
-\dis\frac{d}{dx}\left( D(x) u^{\prime }(x)\right)
+\dis\frac{d}{dx}\left( \widetilde{V}(x) u(x)\right)
+\widetilde{q}(x) u(x) & =f(x) & 0<x<L
\\
u(0)=u_{IZQ} &  &  \\
u(L)=u_{DER} &  &
\end{array}
\right\}
\]

El tratamiento de este tipo de problemas se realizar\'{a} de forma
muy semejante a los casos antes considerados pero ``operando''
previamente en la EDP que interviene en el problema.\ En efecto,
dicha ecuaci\'{o}n es quivalente a:
\[
-D(x) u"(x)-D^{\prime }(x) u^{\prime }(x)+\widetilde{V}(x)
u^{\prime }(x)+\widetilde{V}^{\prime }(x).u(x)+\widetilde{q}(x)
u(x)=f(x)\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -D(x).u"(x)+(\widetilde{V}(x)-D^{\prime }(x))
u^{\prime }(x)+(\widetilde{q}(x)+\widetilde{V}^{\prime }(x))
u(x)=f(x)\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -D(x) u"(x)+V(x) u^{\prime }(x)+q(x) u(x)=f(x)
\]
donde hemos denotado por $V(x)=\widetilde{V}(x)-D^{\prime }(x)$ y por $q(x)=%
\widetilde{q}(x)+\widetilde{V}^{\prime }(x).$

Con ello la aplicaci\'{o}n de los esquemas antes descritos puede
realizarse de forma similar a los casos con coeficientes
constantes pero particularizando el valor de los coeficientes
$D(x),$ $V(x)$ y $q(x)$ en el nodo $x_{i}$ en el que se est\'{e}
discretizando la ecuaci\'{o}n. Si, por simplicidad, consideramos
un mallado equidistante, el tratamiento centrado del t\'{e}rmino
convectivo nos conducir\'{\i}a en cada nodo interior del dominio a
la ecuaci\'{o}n:
\[
\alpha _{i,i-1} u_{i-1}+\alpha _{i,i} u_{i}+\alpha _{i,i+1}
u_{i+1}=f_{i}\;\;\;\;\;\;(i=2,...,N)
\]
donde ahora
\[
\alpha _{i,i-1}=-\left( \dis\frac{D_{i}}{h^{2}}+\dis\frac{V_{i}}{2
h}\right) ,\;\;\;\;\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2
D_{i}}{h^{2}}+q_{i}\right)
,\;\;\;\alpha _{i,i+1}=\left( \dis\frac{V_{i}}{2 h}-\dis\frac{D_{i}}{h^{2}}%
\right)
\]
habi\'{e}ndose designado por $D_{i}=D(x_{i}),$ $V_{i}=V(x_{i})$ y por $%
q_{i}=q(x_{i}).$

Si el esquema tratase el t\'{e}rmino convectivo de forma centrada
las ecuaciones nodales tendr\'{\i}an la misma estructura pero los
coeficientes de ellas ser\'{i}an:

\[
\alpha _{i,i-1}=-\left( \dis\frac{D_{i}}{h^{2}}+\dis\frac{\rho _{i} V_{i}}{h}%
\right) ,\;\;\;\;\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2 D_{i}}{h^{2}}+\dis\frac{%
(2\rho _{i}-1) V_{i}}{h}+q_{i}\right) ,\;
\]

\[
\alpha _{i,i+1}=\left( \dis\frac{(1-\rho _{i}) V_{i}}{h}-\dis\frac{D_{i}}{h^{2}}%
\right)
\]
donde $D_{i},V_{i}$ y $q_{i}$ tienen el mismo significado que
anteriormente siendo
\[
\rho _{i}=\dis\frac{1}{2}+\dis\frac{|V_{i}|}{2 V_{i}}.
\]

Si los pasos fuesen de tama\~{n}o variable las expresiones de los
coeficientes $\alpha _{i,i-1},$ $\alpha _{i,i}$ y $\alpha
_{i,i+1}$ estar\'{\i}an dadas, para el esquema en el que no se
descentra la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino convectivo por:

\[
\alpha _{i,i-1}=\left( -\dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i-1} (\mu _{i-1}
\mu _{i}+\mu _{i-1} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{V_{i}}{(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]
\[
\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i-1} \mu _{i} h^{2}}%
+q_{i}\right)
\]

\[
\alpha _{i,i+1}=\left( -\dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i} (\mu _{i-1}
\mu _{i}+\mu _{i-1} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{V_{i}}{(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]
y para el esquema en el que el t\'{e}rmino convectivo se trataba
mediante una aproximaci\'{o}n des\-cen\-tra\-da por:

\[
\alpha _{i,i-1}=\left( -\dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i-1} (\mu _{i-1}
\mu _{i}+\mu _{i-1} \mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\rho _{i} V_{i}}{%
\mu _{i-1} h}\right)
\]
\[
\alpha _{i,i}=\left( \dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i-1} \mu _{i} h^{2}}%
+\dis\frac{\rho _{i} V_{i}}{\mu _{i-1} h}+\dis\frac{(\rho _{i}-1)
V_{i}}{\mu _{i} h}+q_{i}\right)
\]

\[
\alpha _{i,i+1}=\left( -\dis\frac{2 D_{i}}{\mu _{i} (\mu _{i-1}
\mu _{i}+\mu _{i-1} \mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{(1-\rho _{i}) V_{i}%
}{\mu _{i} h}\right)
\]
\es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Analiza el error de consistencia local de estos esquemas y
las condiciones en que satisfacen el principio del m\'{a}ximo.}

\subsubsection{F) Condiciones de contorno sobre el flujo.}

Hasta ahora en los extremos del intervalo $(0,L)$ hemos
considerado condiciones de contorno de tipo Dirichlet mediante las
cuales se impon\'{\i}a el valor de la funci\'{o}n en los nodos
$x_{1}$ y $x_{N+1}.$ Pero en numerosos problemas de la
ingenier\'{i}a encontrar\'{a}s condiciones de contorno diferentes,
del tipo:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
c_{1,1} u^{\prime }(0)+c_{1,2} u(0) & =g_{IZQ} \\
c_{2,1} u^{\prime }(L)+c_{2,2} u(L) & =g_{DER}
\end{array}
\right\}
\]
donde $c_{1,1},c_{1,2},c_{2,1}$, $c_{2,2}$ $g_{IZQ}$ y $g_{DER}$
son constantes conocidas.

Si $c_{11}\neq 0$ (en otro caso la condici\'{o}n en el extremo
izquierdo se vuelve condici\'{o}n de Dirichlet) y $c_{21}\neq 0$
(por el mismo motivo para el extremo derecho) la imposici\'{o}n de
este tipo de condiciones de contorno lleva a plantearse el esquema
de c\'{a}lculo en los nodos $x_{1}$ y
$x_{N+1}.$ Pero para ello deber\'{\i}an considerarse dos nodos ficticios (el $%
x_{0}$ y el $x_{N+2})$ que no existen en nuestro mallado. No
obstante, de las condiciones de contorno anteriores podr\'{a}
inferirse un valor ``ficticio'' para estos dos nodos ficticios.
Detallemos este proceso.
Supongamos que siendo $h_{1}$ la distancia entre el nodo $x_{1}$ y el nodo $%
x_{2}$ se considera un nodo ficticio $x_{0}$ en la posici\'{o}n:
\[
x_{0}=x_{1}-h_{1}
\]

La primera de las condiciones de contorno antes escritas puede
reescribirse como:
\[
u^{\prime }(x_{1})=\dis\frac{(g_{IZQ}-c_{1,2} u(x_{1}))}{c_{11}}%
=r_{1}+s_{1} u(x_{1})
\]
que aproximaremos mediante:

\begin{equation} \label{2.5}
u_{1}^{^{\prime }}=\dis\frac{(g_{IZQ}-c_{1,2} u_{1})}{c_{11}}%
=r_{1}+s_{1} u_{1}
\end{equation}
siendo $r_{1}=g_{IZQ}/c_{1,1}$ y $s_{1}=-c_{1,2}/c_{1,1}.$ Puede
entonces
considerarse un polinomio de segundo grado $p(x)$ que en el nodo ficticio $%
x_{0}$ tomase el valor (ficticio) $u_{0},$ en el nodo $x_{1}$ el valor $%
u_{1} $ y en el nodo $x_{2}$ el valor $u_{2}.$ Tal polinomio
estar\'{i}a dado por
\[
p(x)=\dis\frac{\left( x-x_{1}\right)  (x-x_{2})}{\left(
x_{0}-x_{1}\right)
 (x_{0}-x_{2})} u_{0}+\dis\frac{\left( x-x_{0}\right)  (x-x_{2})}{%
\left( x_{1}-x_{0}\right)  (x_{1}-x_{2})} u_{1}+\dis\frac{\left(
x-x_{0}\right)  (x-x_{1})}{\left( x_{2}-x_{0}\right)  (x_{2}-x_{1})%
} u_{2}
\]
y su primera derivada en $x_{1}$ estar\'{a} dada por
\[
p^{\prime }(x_{1})=\dis\frac{1}{2 h_{1}} \left( u_{2}-u_{0}\right)
\]

La idea, entonces, consiste en aproximar la derivada de la
funci\'{o}n $u$ en $x_{1}$ por la derivada de este polinomio que
la interpola. Ello nos conduce a
\[
\dis\frac{1}{2 h_{1}} \left( u_{2}-u_{0}\right) =r_{1}+s_{1}
u_{1}\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow u_{0}=-2 h_{1} s_{1} u_{1}+u_{2}-2 h_{1} r_{1}
\]

Una vez calculado el valor nodal ficticio en $x_{0}$ podemos plantear en $%
x_{1}$ el esquema de c\'{a}lculo como sigue:
\[
-D_{1} u"(x_{1})+V_{1} u^{\prime }(x_{1})+q_{1}
u(x_{1})=f_{1}\Rightarrow
\]
\[
-D_{1} \dis\frac{u_{0}-2 u_{1}+u_{2}}{h_{1}^{2}}+V_{1} \left(
r_{1}+s_{1} u_{1}\right) +q_{1} u_{1}=f_{1}\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \left( \dis\frac{2 D_{1}}{h_{1}^{2}}+s_{1} \left( V_{1}+%
\dis\frac{D_{1}}{h_{1}}\right) +q_{1}\right)  u_{1}+\left(
\dis\frac{-2
D_{1}}{h_{1}^{2}}\right)  u_{2}=f_{1}-r_{1} \left( V_{1}+\dis\frac{%
2 D_{1}}{h_{1}}\right)
\]
o deshaciendo los cambios de notaci\'{o}n,
\[
\left( \dis\frac{2 D_{1}}{h_{1}^{2}}-\dis\frac{c_{12}}{c_{11}}
\left(
V_{1}+\dis\frac{D_{1}}{h_{1}}\right) +q_{1}\right)  u_{1}+\left( \dis\frac{%
-2 D_{1}}{h_{1}^{2}}\right)  u_{2}=f_{1}-\dis\frac{g_{IZQ}}{c_{11}}%
 \left( V_{1}+\dis\frac{2 D_{1}}{h_{1}}\right)
\]
ecuaci\'{o}n que escribiremos en la forma,
\[
\alpha _{1,1} u_{1}+\alpha _{1,2} u_{2}=b_{1}
\]
con
\[
\alpha _{1,1}=\dis\frac{2
D_{1}}{h_{1}^{2}}-\dis\frac{c_{12}}{c_{11}} \left(
V_{1}+\dis\frac{D_{1}}{h_{1}}\right) +q_{1}
\]

\[
\alpha _{1,2}=\dis\frac{-2 D_{1}}{h_{1}^{2}}
\]
y
\[
b_{1}=f_{1}-\dis\frac{g_{IZQ}}{c_{11}} \left( V_{1}+\dis\frac{2 D_{1}}{%
h_{1}}\right).
\]

Esta ecuaci\'{o}n (que se a\~{n}adir\'{a} a las antes encontradas
para los nodos interiores) ser\'{a} la primera ecuaci\'{o}n del
sistema lineal a resolver.

En el nodo $x_{N+1}$ se seguir\'{a} un procedimiento an\'{a}logo
al que se acaba de describir y se deja como ejercicio propuesto al
lector la tarea de detallarlo para obtener:

\[
\left( \dis\frac{-2 D_{N+1}}{h_{N}^{2}}\right)  u_{N}+\left( \dis\frac{%
2 D_{N+1}}{h_{N}^{2}}-\dis\frac{c_{22}}{c_{21}} \left( V_{N+1}-\dis\frac{%
D_{N+1}}{h_{N}}\right) +q_{1}\right)  u_{N+1}=
\]

\[
=f_{N+1}-\dis\frac{g_{DER}}{c_{21}} \left( V_{N+1}-\dis\frac{2 D_{N+1}}{%
h_{N}}\right)
\]

\subsection{El problema de transporte estacionario en dominios
bidimensionales.}

\subsubsection{A) Caso de coeficientes constantes en dominios rectangulares.}

Siendo $\Omega =(0,L_{x})\times (0,L_{y})$ un rect\'{a}ngulo abierto de $%
{\R}^{2},$ de frontera $\partial \Omega $ con\-si\-de\-re\-mos
ahora el problema formulado por la EDP:
\[
-D_{1} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x,y)-D_{2} \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x,y)+V_{1} \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,y)+V_{2} \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+
\]
\[
+q u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
con la condici\'{o}n de contorno:
\[
u(x,y)=u_{D}(x,y)\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \partial \Omega
\]

La forma aplicar un esquema en diferencias finitas a este tipo de
problemas consiste en introducir un mallado considerando para ello
las abscisas:
\[
0=x_{1}<x_{2}<....<x_{i-1}<x_{i}<.....<x_{NX}<x_{NX+1}=L_{x}
\]
las ordenadas:
\[
0=y_{1}<y_{2}<....<y_{i-1}<y_{i}<.....<y_{NY}<y_{NY+1}=L_{y}
\]
y con ello los nodos $n_{i,j}=(x_{i},y_{j})\;\;\;(i=1,2,....,NX+1;%
\;j=1,2,..,NY+1).$ Denotaremos por $NN=(NX+1) (NY+1)$ al
n\'{u}mero total de nodos y por $NF=2 (NX+NY+1)$ al n\'{u}mero de
ellos que est\'{a}n ubicados en la frontera. N\'{o}tese que en
estos \'{u}ltimos se conocer\'{a} el valor de la soluci\'{o}n por
las condiciones de contorno de tipo Dirichlet que hemos
considerado. Por simplicidad, en un primer momento supongamos que
la distancia entre dos abscisas cualesquiera consecutivas de las
consideradas es siempre la misma $h,$ y que la distancia entre dos
ordenadas consecutivas cualesquiera de las consideradas
tambi\'{e}n es siempre la misma $k.$ Con ello en cada uno de los
nodos interiores a $\Omega $ puede plantearse la EDP que
interviene en la formulaci\'{o}n del problema y aproximar las
derivadas que en ella intervienen mediante alguna de las
f\'{o}rmulas (\ref{1.9})-(\ref{1.16}), presentadas en la secci\'on
1.2 de este cap\'{\i}tulo. Por aligerar la notaci\'{o}n denotemos
por $C$ (de Centro) al n\'{u}mero del nodo $n_{i,j}$ en el que se
plantee la ecuaci\'{o}n, por $N$ (de Norte) al
nodo $n_{i,j+1}$ que est\'{a} encima de $n_{i,j},$ por $S$ (de Sur) al nodo $%
n_{i,j-1}$ del nodo que est\'{a} debajo de $n_{i,j},$ por $W$ (de
Oeste) al nodo $n_{i-1,j}$ y por $E$ (de Este) al nodo
$n_{i+1,j}.$

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig68.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Con ello, la obtenci\'{o}n de un esquema centrado puede realizarse
planteando la EDP en el nodo C:

\[
-D_{1} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\right)
_{C}-D_{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\right)
_{C}+V_{1} \left( \dis\frac{\partial u}{\partial x}\right)
_{C}+V_{2} \left( \dis\frac{\partial u}{\partial y}\right) _{C}+q
u_{C}=f_{C}
\]
y aproxim\'{a}ndola mediante algunas de las f\'{o}rmulas en
diferencias. Por ejemplo utilizando f\'{o}rmulas centradas:

\[
\rightsquigarrow -D_{1} \dis\frac{u_{W}-2 u_{C}+u_{E}}{h^{2}}%
-D_{2} \dis\frac{u_{S}-2 u_{C}+u_{N}}{k^{2}}+V_{1} \dis\frac{%
u_{E}-u_{W}}{2 h}+
\]
\[
+V_{2} \dis\frac{u_{N}-u_{S}}{2 k}+q u_{C}=f_{C}\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \left( \dis\frac{-D_{2}}{k^{2}}-\dis\frac{V_{2}}{2
k}\right)  u_{S}+\left(
\dis\frac{-D_{1}}{h^{2}}-\dis\frac{V_{1}}{2 h}\right) u_{W}+\left(
\dis\frac{2 D_{1}}{h^{2}}+\dis\frac{2 D_{2}}{k^{2}}+q\right)
u_{C}+
\]

\[
+\left( \dis\frac{-D_{1}}{h^{2}}+\dis\frac{V_{1}}{2 h}\right)
 u_{E}+\left(
\dis\frac{-D_{2}}{k^{2}}+\dis\frac{V_{2}}{2 k}\right) u_{N}=f_{C}
\]
ecuaci\'{o}n que escribiremos en forma abreviada como:
\[
a_{S} u_{S}+a_{W} u_{W}+a_{C} u_{C}+a_{E} u_{E}+a_{N} u_{N}=f_{C}
\]
donde f\'{a}cilmente pueden identificarse los coeficientes con los
de la expresi\'{o}n anterior.

La ecuaci\'{o}n anterior se podr\'{a} plantear para todos y cada
uno de los nodos interiores al dominio $\Omega $ obteni\'{e}ndose
as\'{\i} ($NN-NF)$ ecuaciones. Sumando a estas las $NF$ ecuaciones
que dan valor a los $NF$ nodos ubicados en la frontera se forma
nuevamente un sistema de $NN$ ecuaciones con $NN$ inc\'{o}gnitas
(los valores nodales) cuya resoluci\'{o}n nos permitir\'{a}
obtener una aproximaci\'{o}n de los valores de la soluci\'{o}n en
los nodos. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Al igual que antes, la aproximaci\'{o}n realizada para el
t\'{e}rmino convectivo presentar\'{a} problemas cuando }$|\overrightarrow{%
\mathbf{V}}|$\textit{\ sea elevado frente al valor de
}$|D|.$\textit{\ Es por ello que tambi\'{e}n en este caso
podr\'{\i}an contemplarse aproximaciones descentradas de los
t\'{e}rminos convectivos que ahora deber\'{a}n realizarse
seg\'{u}n el sentido de cada componente de la velocidad. Te
dejamos como ejercicio propuesto el desarrollo de un esquema
des\-cen\-trado (que podr\'{a}s encontrar aplicado en un ejemplo
posterior) y que conduce al esquema:}
\[
a_{S} u_{S}+a_{W} u_{W}+a_{C} u_{C}+a_{E} u_{E}+a_{N} u_{N}=f_{C}
\]
\textit{donde ahora}

\[
a_{S}=\left( -\dis\frac{D_{2}}{k^{2}}-\dis\frac{\rho _{2}
V_{2}}{k}\right)
,\;\;\;a_{W}=\left( -\dis\frac{D_{1}}{h^{2}}-\dis\frac{\rho _{1} V_{1}}{h}%
\right)
\]
\[
a_{C}=\left( \dis\frac{2 D_{1}}{h}+\dis\frac{2
D_{2}}{k}+\dis\frac{(2
\rho _{1}-1) V_{1}}{h}+\dis\frac{(2 \rho _{2}-1) V_{2}}{k}%
+q\right)
\]

\[
a_{E}=\left( \dis\frac{(1-\rho _{1}) V_{1}}{h}-\dis\frac{2 D_{1}}{h}%
\right) ,\;\;\;\;\;a_{N}=\left( \dis\frac{(1-\rho _{2}) V_{2}}{k}-\dis\frac{%
2 D_{2}}{k}\right)
\]
\textit{siendo} $\rho _{1}=(1/2)+|V_{1}|/(2 V_{1})$ \textit{y}
$\rho _{2}=(1/2)+|V_{2}|/(2 V_{2}).$

\subsubsection{B) Caso particular:\ aproximaci\'{o}n del operador
laplaciano:\ Esquemas de 5 puntos y de 9 puntos.}

Como caso particular del pro\-ble\-ma antes planteado,
consideremos el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\Delta u(x,y) & =f(x,y) & en\;\Omega \\
u(x,y) & =u_{D}(x,y) & en\;\partial \Omega
\end{array}
\right\}
\]

La aproximaci\'{o}n antes realizada, recuperando la notaci\'{o}n $C=(i,j),$ $%
N=(i,j+1),$ $S=(i,j-1),$ $W=(i-1,j)$ y $E=(i+1,j),$ nos
conducir\'{\i}a en este caso particular al esquema de c\'{a}lculo:

\[
\dis\frac{u_{i-1,j}-2
u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h^{2}}+\dis\frac{u_{i,j-1}-2
u_{i,j}+u_{i,j+1}}{k^{2}}=f_{i,j}
\]
que reescribiremos como
\[
\dis\frac{1}{k^{2}} u_{i,j-1}+\dis\frac{1}{h^{2}} u_{i-1,j}-\left( \dis\frac{2%
}{h^{2}}+\dis\frac{2}{k^{2}}\right)  u_{i,j}+\dis\frac{1}{h^{2}} u_{i+1,j}+%
\dis\frac{1}{k^{2}} u_{i,j+1}=f_{i,j}
\]

El esquema anterior se conoce con el nombre de \textbf{esquema de
5 puntos} (en cruz) y es uno de los m\'{a}s frecuentemente
utilizados para la aproximaci\'{o}n de este tipo de operadores. En
el caso de que adem\'{a}s se verifique que $h=k$ el esquema se
formula como:
\[
\dis\frac{u_{i,j-1}+u_{i-1,j}-4
u_{i,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j+1}}{h^{2}}=f_{i,j}
\]
y es frecuente representarlo gr\'{a}ficamente mediante

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig69.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Otras formas de aproximar el operador laplaciano surgen de
combinar los desarrollos en serie (\ref{1.1}) a (\ref{1.8}) de la
primera secci\'on de este cap\'{\i}tulo. As\'{\i} por ejemplo,
continuando en el caso de que $h=k,$ de sumar los desarrollos de $%
u(x+h,y+h), $ $u(x+h,y-h),$ $u(x-h,y+h)$ y de $u(x-h,y-h)$ se
puede obtener el esquema de 5 puntos en cruz siguiente:
\[
f_{i,j}=\Delta u(x_{i},y_{j})\approx
\dis\frac{u_{i-1,j-1}+u_{i+1,j-1}-4
u_{i,j}+u_{i-1,j+1}+u_{i+1,j+1}}{2 h^{2}}
\]
que tiene un error de consistencia local del orden de $O(h^{2})$ y
que se representa gr\'{a}ficamente por:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig610.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}
\es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Obtener el esquema de nueve puntos:}

\[
\Delta u(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{%
u_{i-1,j-1}+u_{i+1,j-1}+u_{i-1,j+1}+u_{i+1,j+1}}{6 h^{2}}+
\]

\[
+\dis\frac{4 \left( u_{i,j-1}+u_{i-1,j}+u_{i+1,j}+u_{i,j+1}\right)
-20 u_{i,j}}{6 h^{2}}
\]
\textit{y demostrar que presenta un orden de consistencia local del orden }$%
O(h^{2}).$

\subsubsection{C) Verificaci\'{o}n del principio del m\'{a}ximo para el
esquema de 5 puntos en cruz.}

Seg\'{u}n se detalla en el anexo, la ecuaci\'{o}n:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\Delta u(x,y) & =0 & en\;\;\Omega \\
u(x,y) & =u_{D}(x,y) & en\;\;\partial \Omega
\end{array}
\right\}
\]
planteada sobre un dominio abierto $\Omega $ que sea conexo y
acotado, satisface el principio del m\'{a}ximo, esto es, los
valores de la soluci\'{o}n $u(x,y)$ en los puntos del abierto
$\Omega $ est\'{a}n
comprendidos siempre entre el valor m\'{\i}nimo y el valor m\'{a}ximo de $%
u(x,y)$ en la frontera $\partial \Omega .$ Ser\'{\i}a deseable que
los esquemas num\'{e}ricos que se utilizaran para resolver
ecuaciones de este tipo tambi\'{e}n gozasen de la misma propiedad.
Ello har\'{a} que, al aplicar el m\'{e}todo num\'{e}rico a
problemas en los que la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica $u(x,y)$ tome valores comprendidos entre $u_{\inf }$ y $u_{m%
\acute{a}x}$, las soluciones aproximadas que se obtengan
tambi\'{e}n est\'{e}n entre estas cotas.

Pero no todos los esquemas num\'{e}ricos que pueden construirse
utilizando f\'{o}rmulas en diferencias finitas para aproximar el
operador laplaciano verificar\'{a}n el principio del m\'{a}ximo
discreto. Por ello, a continuaci\'{o}n, detallamos c\'{o}mo se
puede analizar si se cumple o no este principio con uno de los
esquemas antes presentados: el esquema de cinco puntos en cruz.
Puesto que hasta ahora s\'{o}lo hemos tratado el caso de dominios
rectangulares supondremos que $\Omega $ es un dominio
rectangular en el que se introduce un mallado de nodos $(x_{i},y_{j})$ $%
(i=1,...,NX+1;$ $j=1,....,NY+1)$ y denotaremos a la distancia
entre dos abscisas consecutivas (que supondremos siempre la misma)
por $h$ y a la distancia entre dos ordenadas conscutivas (que
tambi\'{e}n supondremos constante) por $k.$

Con ello el esquema de cinco puntos en cruz consiste en plantear
sobre cada nodo interior a $\Omega $ (en los de la frontera la
soluci\'{o}n se conoce), la ecuaci\'{o}n en diferencias:
\[
\dis\frac{u_{i-1,j}-2
u_{i,j}+u_{i+1,j}}{h^{2}}+\dis\frac{u_{i,j-1}-2
u_{i,j}+u_{i,j+1}}{k^{2}}=0
\]
que reescribiremos como,
\[
\dis\frac{1}{k^{2}} u_{i,j-1}+\dis\frac{1}{h^{2}} u_{i-1,j}-\left( \dis\frac{2%
}{h^{2}}+\dis\frac{2}{k^{2}}\right)  u_{i,j}+\dis\frac{1}{h^{2}} u_{i+1,j}+%
\dis\frac{1}{k^{2}} u_{i,j+1}=0\Rightarrow
\]

\[
u_{i,j}=\alpha  u_{i,j-1}+\beta  u_{i-1,j}+\beta u_{i+1,j}+\alpha
 u_{i,j+1}
\]
donde
\[
\alpha =\dis\frac{1}{\left( \dis\frac{2}{h^{2}}+\dis\frac{2}{k^{2}}\right)  k^{2}}=%
\dis\frac{h^{2}}{2 (h^{2}+k^{2})}
\]

\[
\beta =\dis\frac{1}{\left( \dis\frac{2}{h^{2}}+\dis\frac{2}{k^{2}}\right)  h^{2}}=%
\dis\frac{k^{2}}{2 (h^{2}+k^{2})}
\]

Puesto que $\alpha +\beta +\beta +\alpha =1$ y $0<\alpha <1$ y
$0<\beta <1$ la expresi\'{o}n que nos proporciona el valor de
$u_{i,j}$ nos conduce a que este es una combinaci\'{o}n convexa de
los valores de la soluci\'{o}n en los
nodos vecinos ``Norte'', ``Sur'', ``Este'' y ``Oeste'' del propio nodo $%
(x_{i},y_{j}).$ Por tanto $u_{i,j}$ ser\'{a} un valor intermedio
entre los valores en esos cuatro nodos. Extendiendo esta forma de
razonar a todos los nodos interiores del mallado se concluye que
los valores en los nodos interiores ser\'{a}n valores intermedios
entre el mayor y el menor de los valores de la soluci\'{o}n en los
nodos del mallado ubicados sobre la frontera. Y estos, a su vez,
estar\'{a}n comprendidos (salvo errores de redondeo) entre el
mayor y el menor valor que tome la soluci\'{o}n anal\'{i}tica
$u(x,y)$ en los puntos de $\partial \Omega .$ Por tanto, este
esquema verifica el principio del m\'{a}ximo discreto. \es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Te dejamos como ejercicio propuesto analizar si los esquemas de }$5$%
\textit{\ puntos en dia\-go\-nal y de }$9$\textit{\ puntos
verifican el principio del m\'{a}ximo.}

\subsubsection{D) Mallados no uniformes.}

Si la distancia entre abscisas o entre ordenadas no fuese
constante la forma de proceder es an\'{a}loga a la que antes
consider\'{a}bamos. Concretamente,
si se considera un mallado en el que $h_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ $(i=1,...,NX)$ y $%
k_{j}=y_{j+1}-y_{j}$ $(j=1,...,$ $NY)$ denominaremos
$h=\sup_{1\leq
i\leq NX}\left\{ h_{i}\right\} $ y $k=\sup_{1\leq j\leq NX}%
\left\{ h_{j}\right\} .$ Con la ayuda de estos valores definimos
adem\'{a}s
los n\'{u}meros (comprendidos entre $0$ y $1):$%
\[
\mu _{i}=\dis\frac{h_{i}}{h}\;\;\;(i=1,\;...,NX),\;\;\;\;\;\eta _{j}=\dis\frac{k_{j}%
}{k}\;\;(j=1,...,NY)
\]

Con ello se tendr\'{a} que:
\[
x_{i+1}=x_{i}+\mu _{i} h,\;\;\;\;\;\;x_{i-1}=x_{i}-\mu _{i-1} h
\]

\[
y_{j+1}=y_{j}+\eta _{j} k,\;\;\;\;\;\;y_{j-1}=y_{,j}-\eta _{j-1} k
\]
con lo que podemos plantearnos nuevamente (bajo hip\'{o}tesis de
regularidad adecuadas) los co\-rres\-pon\-dien\-tes desarrollos en
serie de Taylor de la funci\'{o}n $u(x,y)$ en torno al punto
$(x_{i},y_{j}).$ Con ello se tendr\'{i}an, entre otros, los
siguientes desarrollos:

\[
u(x_{i+1},y_{j})=u(x_{i}+\mu _{i} h,y_{j})=u(x_{i},y_{j})+\mu _{i}
h \dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})+\dis\frac{\mu
_{i}^{2} h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},y_{j})+
\]

\begin{equation} \label{2.6}
+\dis\frac{\mu _{i}^{3} h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}%
(x_{i},y_{j})+...
\end{equation}
\[
u(x_{i-1},y_{j})=u(x_{i}-\mu _{i-1} h,y_{j})=u(x_{i},y_{j})-\mu
_{i-1} h \dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x_{i},y_{j})+\dis\frac{\mu
_{i-1}^{2} h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},y_{j})+
\]

\begin{equation} \label{2.7}
-\dis\frac{\mu _{i-1}^{3} h^{3}}{6} \dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})+...
\end{equation}

\[
u(x_{i},y_{j+1})=u(x_{i},y_{j}+\eta _{j} k)=u(x_{i},y_{j})+\eta
_{j} k \dis\frac{\partial u}{\partial
y}(x_{i},y_{j})+\dis\frac{\eta
_{j}^{2} h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
(x_{i},y_{j})+
\]

\begin{equation} \label{2.8}
+\dis\frac{\eta _{j}^{3} h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial y^{3}%
}(x_{i},y_{j})+...
\end{equation}

\[
u(x_{i},y_{j-1})=u(x_{i},y_{j}-\eta _{j-1} k)=u(x_{i},y_{j})-\eta
_{j-1} k \dis\frac{\partial u}{\partial
y}(x_{i},y_{j})+\dis\frac{\eta
_{j-1}^{2} h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
(x_{i},y_{j})+
\]

\begin{equation} \label{2.9}
-\dis\frac{\eta _{j-1}^{3} h^{3}}{6} \dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial y^{3}}(x_{i},y_{j})+...
\end{equation}

Restando $(7)$ de $(6)$ se tiene que:
\[
u(x_{i+1},y_{j})-u(x_{i-1},y_{j})=(\mu _{i} h+\mu _{i-1} h)
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})+\dis\frac{(\mu
_{i}^{2}-\mu
_{i-1}^{2}) h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},y_{j})+
\]

\[
+\dis\frac{(\mu _{i}^{3}+\mu _{i-1}^{3}) h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u%
}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})+.....\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})=\dis\frac{%
u(x_{i+1},y_{j})-u(x_{i-1},y_{j})}{h_{i-1}+h_{i}}-\dis\frac{(\mu
_{i}^{2}-\mu
_{i-1}^{2}) h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},y_{j})-
\]

\[
-\dis\frac{(\mu _{i}^{3}+\mu _{i-1}^{3}) h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u%
}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})-...
\]
de donde se infiere la \textbf{f\'{o}rmula en diferencias
centrada} para aproximar $\dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x_{i},y_{j})$ siguiente:
\begin{equation} \label{2.10}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{%
h_{i-1}+h_{i}}
\end{equation}
en la que se comete un error de truncamiento dado por:
\begin{equation} \label{2.11}
E_{i,j}=-\dis\frac{(\mu _{i}^{2}-\mu _{i-1}^{2}) h}{2 (\mu
_{i}+\mu
_{i-1})} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},y_{j})-...%
\rightarrow E_{i,j}\sim O(h).
\end{equation}

Obs\'{e}rvese que en el caso $h_{i-1}=h_{i}$ (o lo que es lo mismo
$\mu _{i}=\mu _{i-1}$) el error de truncamiento pasa a ser de
orden $O(h^{2}).$

N\'{o}tese adem\'{a}s que se podr\'{\i}a obtener tambi\'{e}n una
f\'{o}rmula centrada de orden $2$ si los desarrollos (\ref{2.6}) y
(\ref{2.7}) se combinan
de otra forma.\ En efecto si la ecuaci\'{o}n (\ref{2.6}) se multiplicase por $%
\mu _{i-1}^{2}$ y a la expresi\'{o}n resultante se le restara
(\ref{2.7}) multiplicada por $\mu _{i}^{2}$ se tendr\'{\i}a que:

\[
\mu _{i-1}^{2} u(x_{i+1},y_{j})-\mu _{i}^{2} u(x_{i-1},y_{j})=(\mu
_{i-1}^{2}-\mu _{i}^{2}) u(x_{i},y_{j})+(\mu _{i-1}^{2}\mu
_{i}+\mu
_{i-1} \mu _{i}^{2}) h \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x_{i},y_{j})+
\]

\[
+\dis\frac{(\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}^{3}+\mu _{i-1}^{3} \mu
_{i}^{2}) h^{3}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}%
(x_{i},y_{j})+...
\]
de donde se infiere la \textbf{f\'{o}rmula en diferencias
centrada} para aproximar $\dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x_{i},y_{j})$ siguiente:
\begin{equation} \label{2.12}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})\approx
\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} u_{i+1,j}-(\mu _{i-1}^{2}-\mu _{i}^{2})
u(x_{i},y_{j})-\mu _{i}^{2} u_{i-1,j}}{(\mu _{i-1}^{2}\mu _{i}+\mu
_{i-1} \mu _{i}^{2}) h}
\end{equation}
en la que se comete un error de truncamiento dado por:
\begin{equation} \label{2.13}
E_{i,j}=-\dis\frac{(\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}^{3}+\mu _{i-1}^{3} \mu
_{i}^{2}) h^{2}}{6 (\mu _{i-1}^{2}\mu _{i}+\mu _{i-1} \mu
_{i}^{2})} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})-...%
\rightarrow E_{i,j}\sim O(h^{2})
\end{equation}

An\'{a}logamente se podr\'{\i}a haber despejado de (\ref{2.6})
para obtener la
\textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas progresiva} que aproxime a $\dis\frac{%
\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})$ de la forma siguiente:
\begin{equation} \label{2.14}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i+1,j}-u_{i,j}}{%
h_{i}}
\end{equation}
con un error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.15}
E_{i,j}=-\dis\frac{\mu _{i} h}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},y_{j})\rightarrow E_{i,j}\sim O(h)
\end{equation}

Tambi\'{e}n podr\'{\i}a haberse despejado de $(7)$ para obtener la
\textbf{f\'{o}rmula en di\-fe\-ren\-cias finitas regresiva} que aproxime a $\dis\frac{%
\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})$ de la forma siguiente:

\begin{equation} \label{2.16}
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i,j}-u_{i-1,j}}{%
h_{i-1}}
\end{equation}
con un error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.17}
E_{i,j}=\dis\frac{\mu _{i-1} h}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}%
}(x_{i},y_{j})\rightarrow E_{i,j}\sim O(h)
\end{equation}

Procediendo de la misma manera con las expresiones (\ref{2.8}) y
(\ref{2.9}) se aproxima $\dis\frac{\partial u}{\partial
y}(x_{i},y_{j})$ mediante una \textbf{f\'{o}rmula en diferencias
centrada:}
\begin{equation} \label{2.18}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j-1}}{%
k_{j-1}+k_{j}}
\end{equation}
con error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.19}
E_{i,j}=-\dis\frac{(\eta _{j}^{2}-\eta _{j-1}^{2}) k}{2 (\eta
_{j}+\eta _{j-1})} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},y_{j})-...\rightarrow E_{i,j}\sim O(k)
\end{equation}
o la \textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas progresiva:}

\begin{equation} \label{2.20}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{%
k_{j}}
\end{equation}
con un error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.21}
E_{i,j}=-\dis\frac{\eta _{j} k}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}%
}(x_{i},y_{j})\rightarrow E_{i,j}\sim O(k) \end{equation} o la
\textbf{f\'{o}rmula en diferencias finitas regresiva:}

\begin{equation} \label{2.22}
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x_{i},y_{j})\approx \dis\frac{u_{i,j}-u_{i,j-1}}{%
k_{j-1}}
\end{equation}
con un error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.23}
E_{i,j}=-\dis\frac{\eta _{j-1} k}{2} \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},y_{j})\rightarrow E_{i,j}\sim O(k)
\end{equation}
 \es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Se deja como ejercicio obtener, de forma an\'{a}loga a
como se hizo para la derivada parcial primera respecto a
}$x,$\textit{\ una f\'{o}rmula centrada que aproxime la primera
derivada con respecto a }$y$\textit{\ con un error de truncamiento
de orden }$2.$

De los desarrollos en serie considerados tambi\'{e}n
podr\'{\i}amos obtener aproximaciones de derivadas segundas.
As\'{\i}, sumando $\mu _{i-1}$ veces (\ref{2.6}) a $\mu _{i}$
veces (\ref{2.7}) obtendr\'{\i}amos:
\[
\mu _{i-1} u(x_{i+1},y_{j})+\mu _{i} u(x_{i-1},y_{j})=(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) u(x_{i},y_{j})+\]

\[\dis\frac{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i})
h^{2}}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},y_{j})+
\dis\frac{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{3}-\mu _{i-1}^{3} \mu _{i}) h^{3}%
}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})+...%
\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},y_{j})=2.\dis\frac{\mu _{i-1} u(x_{i+1},y_{j})-(\mu
_{i-1}+\mu _{i}) u(x_{i},y_{j})+\mu _{i} u(x_{i-1},y_{j})}{(\mu
_{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i}) h^{2}}+
\]

\[
+\dis\frac{(\mu _{i-1}^{3} \mu _{i}-\mu _{i-1} \mu _{i}^{3}) h}{%
3 (\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i})}
\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})+...
\]
de donde se infiere la \textbf{f\'{o}rmula en diferencias finita
centrada} para aproximar $\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},y_{j})$ siguiente:
\begin{equation} \label{2.24}
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},y_{j})\approx
2\dis\frac{\mu _{i-1} u_{i+1,j}-(\mu _{i-1}+\mu _{i}) u_{i,j}+\mu
_{i} u_{i-1,j}}{(\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2} \mu _{i})
h^{2}}
\end{equation}
con la que se comete un error de truncamiento dado por:
\begin{equation} \label{2.25}
E_{i,j}=\dis\frac{(\mu _{i-1}^{3} \mu _{i}-\mu _{i-1} \mu
_{i}^{3}) h}{3 (\mu _{i-1} \mu _{i}^{2}+\mu _{i-1}^{2}
\mu _{i})} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},y_{j})+.....%
\rightarrow E_{i,j}=O(h)
\end{equation}

Obs\'{e}rvese que en el caso de que $\mu _{i-1}=\mu _{i}$ el error
de truncamiento pasa a ser de orden mayor $O(h^{2}).$

An\'{a}logamente, sumando $\eta _{j-1}$ veces (\ref{2.8}) a $\eta
_{j}$ veces (\ref{2.9}) obtendr\'{\i}amos la \textbf{f\'{o}rmula
en diferencias finita centrada} para aproximar $\dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial y^{2}}(x_{i},y_{j})$ si\-guien\-te:
\begin{equation} \label{2.26}
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x_{i},y_{j})\approx
2\dis\frac{\eta _{j-1} u_{i,j+1}-(\eta _{j-1}+\eta _{j})
u_{i,j}+\eta _{j} u_{i,j-1}}{(\eta _{j-1} \eta _{j}^{2}+\eta
_{j-1}^{2} \eta _{j}) k^{2}}
\end{equation}
con la que se comete un error de truncamiento:
\begin{equation} \label{2.27}
E_{i,j}=\dis\frac{(\eta _{j-1}^{3} \eta _{j}-\eta _{j-1} \eta
_{j-1}^{3}) k}{3 (\eta _{j-1} \eta _{j-1}^{2}+\eta
_{j-1}^{2} \eta _{j})} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}%
(x_{i},y_{j})+.....\rightarrow E_{i,j}=O(k)
\end{equation}
que tambi\'{e}n pasar\'{\i}a a ser de segundo orden si $\eta
_{j-1}=\eta _{j}. $

Otras aproximaciones de estas derivadas podr\'{\i}an obtenerse con
adecuadas combinaciones de los desarrollos en serie:
\[
u(x_{i+1},y_{j+1})=u(x_{i}+\mu _{i} h,y_{j}+\eta _{j}
k)=u_{i,j}+\mu _{i} h \left( \dis\frac{\partial u}{\partial
x}\right) _{i,j}+\eta _{j} k \left( \dis\frac{\partial u}{\partial
y}\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i}^{2} h^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}\right) _{i,j}+\mu _{i} \eta _{j} h k
\left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}\right)
_{i,j}+\dis\frac{\eta
_{j}^{2} k^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i}^{3} h^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}\right) _{i,j}+\dis\frac{\mu _{i}^{2} \eta _{j}
h^{2} k}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
\right) _{i,j}+\dis\frac{\mu _{i} \eta _{j}^{2} h k^{2}}{2} \left(
\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}\right) _{i,j}+
\]

\begin{equation} \label{2.28}
+\dis\frac{\eta _{j}^{3} k^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial y^{3}}\right) _{i,j}+...
\end{equation}

\[
u(x_{i-1},y_{j+1})=u(x_{i}-\mu _{i-1} h,y_{j}+\eta _{j}
k)=u_{i,j}-\mu _{i-1} h \left( \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
\right) _{i,j}+\eta _{j} k \left( \dis\frac{\partial u}{\partial y}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} h^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}\right) _{i,j}-\mu _{i-1} \eta _{j} h k
\left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}\right)
_{i,j}+\dis\frac{\eta
_{j}^{2} k^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
-\dis\frac{\mu _{i-1}^{3} h^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}\right) _{i,j}+\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} \eta _{j}
h^{2} k}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
\right) _{i,j}-\dis\frac{\mu _{i-1} \eta _{j}^{2} h k^{2}}{2}%
 \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}\right) _{i,j}+
\]

\begin{equation} \label{2.29}
+\dis\frac{\eta _{j}^{3} k^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial y^{3}}\right) _{i,j}+...
\end{equation}

\[
u(x_{i+1},y_{j-1})=u(x_{i}+\mu _{i} h,y_{j}-\eta _{j-1}
k)=u_{i,j}+\mu _{i} h \left( \dis\frac{\partial u}{\partial
x}\right) _{i,j}-\eta _{j-1} k \left( \dis\frac{\partial
u}{\partial y}\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i}^{2} h^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}\right) _{i,j}-\mu _{i} \eta _{j-1} h k
\left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}\right)
_{i,j}+\dis\frac{\eta
_{j-1}^{2} k^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i}^{3} h^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}\right) _{i,j}-\dis\frac{\mu _{i}^{2} \eta _{j-1}
h^{2} k}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
\right) _{i,j}+\dis\frac{\mu _{i} \eta _{j-1}^{2} h k^{2}}{2}%
 \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}\right) _{i,j}+
\]

\begin{equation} \label{2.30}
-\dis\frac{\eta _{j-1}^{3} k^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial y^{3}}\right) _{i,j}+...
\end{equation}
y

\[
u(x_{i-1},y_{j-1})=u(x_{i}-\mu _{i-1} h,y_{j}-\eta _{j-1}
k)=u_{i,j}-\mu _{i-1} h \left( \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
\right) _{i,j}-\eta _{j-1} k \left( \dis\frac{\partial u}{\partial y}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
+\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} h^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}\right) _{i,j}+\mu _{i-1} \eta _{j-1} h k
\left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial y}\right)
_{i,j}+\dis\frac{\eta
_{j-1}^{2} k^{2}}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}%
\right) _{i,j}+
\]

\[
-\dis\frac{\mu _{i-1}^{3} h^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}\right) _{i,j}-\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} \eta _{j-1}
h^{2} k}{2} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x^{2}\partial y}%
\right) _{i,j}-\dis\frac{\mu _{i-1} \eta _{j-1}^{2} h k^{2}}{2}%
 \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial x\partial y^{2}}\right) _{i,j}+
\]

\begin{equation} \label{2.31}
-\dis\frac{\eta _{j-1}^{3} k^{3}}{6} \left( \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial y^{3}}\right) _{i,j}+...
\end{equation}
\es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Dejamos como ejercicio propuesto encontrar en el caso de
mallados no uniformes una aproximaci\'{o}n de las derivadas
primeras y segundas de la funci\'{o}n }$u(x,y)$ \textit{partiendo
de los desarrollos }(\ref{2.28})-(\ref{2.31})\textit{\ que se
acaban de escribir.}

Combinando estas f\'{o}rmulas en diferencias pueden entonces
aproximarse operadores diferenciales aplicados a nodos del
mallado.\ As\'{\i} por ejemplo, si se considera el pro\-ble\-ma
modelo formulado por la EDP:
\[
-D_{1} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x,y)-D_{2} \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x,y)+V_{1} \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,y)+V_{2} \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+
\]
\[
+q u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
con la condici\'{o}n de contorno:
\[
u(x,y)=u_{D}(x,y)\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \partial \Omega
\]
sobre cada nodo $(x_{i},y_{j})$ (que donotaremos por nodo $C)$ del
mallado, que sea interior a $\Omega ,$ pueden utilizarse las
expresiones (\ref{2.11}), (\ref{2.24}), (\ref{2.26}) y la
equivalente a esta \'{u}ltima pero para la derivada respecto a $y$
(que se dejo como ejercicio propuesto obtenerla) para construir
una ecuaci\'{o}n aprocimada en dicho nodo de la forma:
\[
a_{C,S} u_{S}+a_{C,W} u_{W}+a_{C,C} u_{C}+a_{C,E} u_{E}+a_{C,N}
u_{N}=f_{C}
\]
donde
\[
a_{C,S}=\left( \dis\frac{-2 \eta _{j} D_{2}}{\eta _{j-1} \eta
_{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k^{2}}-\dis\frac{\eta _{j}^{2} V_{2}%
}{\eta _{j-1} \eta _{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k}\right)
\]
\[
a_{C,W}=\left( \dis\frac{-2 \mu _{i} D_{1}}{\mu _{i-1} \mu
_{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\mu _{i}^{2} V_{1}}{%
\mu _{i-1} \mu _{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]

\[
a_{C,C}=\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D_{1}}{\mu _{i-1}
\mu _{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{2 (\eta
_{j-1}+\eta _{j}) D_{2}}{\eta _{j-1} \eta _{j} (\eta _{j-1}+\eta
_{j}) k^{2}}\right) +
\]
\[
+\left( \dis\frac{(\mu _{i}^{2}-\mu _{i-1}^{2}) V_{1}}{\mu _{i-1}
\mu _{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}+\dis\frac{(\eta _{j}^{2}-\eta
_{j-1}^{2}) V_{2}}{\eta _{j-1} \eta _{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j})
k}+q\right)
\]

\[
a_{C,E}=\left( \dis\frac{-2 \mu _{i-1} D_{1}}{\mu _{i-1} \mu
_{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{\mu _{i-1}^{2} V_{1}}{%
\mu _{i-1} \mu _{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h}\right)
\]

\[
a_{C,S}=\left( \dis\frac{-2 \eta _{j-1} D_{2}}{\eta _{j-1} \eta
_{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k^{2}}-\dis\frac{\eta _{j-1}^{2}
V_{2}}{\eta _{j-1} \eta _{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k}%
\right)
\]
que es la expresi\'{o}n correspondiente al \textbf{esquema de 5
puntos en cruz con convecci\'{o}n centrada y mallado no uniforme.}

Y si se quisiera descentrar las aproximaciones realizadas para los
t\'{e}rminos convectivos (usando para aproximar las derivadas
primeras las expresiones (\ref{2.14}), (\ref{2.16}), (\ref{2.20})
y (\ref{2.22}) en lugar de las anteriores) la ecuaci\'{o}n
resultante tendr\'{i}a la misma forma pero ahora:

\[
a_{C,S}=\left( \dis\frac{-2 \eta _{j} D_{2}}{\eta _{j-1} \eta
_{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k^{2}}-\dis\frac{\rho _{2} V_{2}}{%
\eta _{j-1} k}\right)
\]
\[
a_{C,W}=\left( \dis\frac{-2 \mu _{i} D_{1}}{\mu _{i-1} \mu _{i}
(\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}-\dis\frac{\rho _{1} V_{1}}{\mu _{i-1}
h}\right)
\]

\[
a_{C,C}=\left( \dis\frac{2 (\mu _{i-1}+\mu _{i}) D_{1}}{\mu _{i-1}
\mu _{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{2 (\eta
_{j-1}+\eta _{j}) D_{2}}{\eta _{j-1} \eta _{j} (\eta _{j-1}+\eta
_{j}) k^{2}}\right) +
\]
\[
+\left( \dis\frac{V_{1}}{h} \left( \dis\frac{\rho _{1}}{\mu
_{i-1}}+\dis\frac{(\rho _{1}-1)}{\mu _{i}}\right)
+\dis\frac{V_{2}}{k} \left( \dis\frac{\rho _{2}}{\eta
_{j-1}}+\dis\frac{(\rho _{2}-1)}{\eta _{j}}\right) +q\right)
\]

\[
a_{C,E}=\left( \dis\frac{-2 \mu _{i} D_{1}}{\mu _{i-1} \mu
_{i} (\mu _{i-1}+\mu _{i}) h^{2}}+\dis\frac{(1-\rho _{1}) V_{1}}{%
\mu _{i} h}\right)
\]

\[
a_{C,S}=\left( \dis\frac{-2 \eta _{j} D_{2}}{\eta _{j-1} \eta
_{j} (\eta _{j-1}+\eta _{j}) k^{2}}+\dis\frac{(1-\rho _{2}) V_{2}%
}{\eta _{j} k}\right)
\]
que es la expresi\'{o}n correspondiente al \textbf{esquema de 5
puntos en cruz con convecci\'{o}n descentrada y mallado no
uniforme.} \es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Determ\'{\i}nense las expresiones de los esquemas de }$5$\textit{%
\ puntos en diagonal y de }$9$\textit{\ puntos, tanto con
convecci\'{o}n centrada como con convecci\'{o}n descentrada para
mallados no uniformes.}

\subsubsection{E) Problemas con coeficientes no constantes.}

Consideremos ahora el problema:

\[
-\dis\frac{\partial }{\partial x}\left( D_{1}(x,y) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)\right) -\dis\frac{\partial }{\partial y}\left( D_{2}(x,y)
\dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)\right) +\dis\frac{\partial }{\partial x}%
\left( \widetilde{V}_{1}(x,y) u(x,y)\right) +
\]
\[
+\dis\frac{\partial }{\partial y}\left( \widetilde{V}_{2}(x,y)
u(x,y)\right) +\widetilde{q}(x,y)
u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
con la condici\'{o}n de contorno:
\[
u(x,y)=u_{D}(x,y)\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \partial \Omega
\]

De forma similar al proceso seguido en el caso unidimensional,
ser\'{a} c\'{o}modo antes de discretizar la EDP anterior en cada
nodo proceder a manipularla ligeramente como sigue:

\[
-D_{1}(x,y) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x,y)-D_{2}(x,y) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
y^{2}}(x,y)+
\]
\[
+\left( \widetilde{V}_{1}(x,y)-\dis\frac{\partial D_{1}}{\partial
x}(x,y)\right)
 \dis\frac{\partial u}{\partial x}(x,y)+\left( \widetilde{V}_{2}(x,y)-\dis\frac{%
\partial D_{2}}{\partial y}(x,y)\right)  \dis\frac{\partial u}{\partial y}%
(x,y)+
\]

\[
+\left( \widetilde{q}(x,y)+\dis\frac{\partial \widetilde{V}_{1}}{\partial x}%
(x,y)+\dis\frac{\partial \widetilde{V}_{2}}{\partial
y}(x,y)\right) u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
que escribiremos brevemente como:
\[
-D_{1}(x,y) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x,y)-D_{2}(x,y)
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x,y)+V_{1}(x,y) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)+
\]

\[
+V_{2}(x,y) \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+q(x,y)
u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
donde
\[
V_{1}(x,y)=\left( \widetilde{V}_{1}(x,y)-\dis\frac{\partial D_{1}}{\partial x}%
(x,y)\right) ,\;\;\;\;\;\;V_{2}(x,y)=\left( \widetilde{V}_{2}(x,y)-\dis\frac{%
\partial D_{2}}{\partial y}(x,y)\right)
\]
y

\[
q(x,y)=\left( \widetilde{q}(x,y)+\dis\frac{\partial \widetilde{V}_{1}}{\partial x%
}(x,y)+\dis\frac{\partial \widetilde{V}_{2}}{\partial
y}(x,y)\right).
\]

Con esta forma de proceder la aplicaci\'{o}n de cualquiera de los
esquemas en diferencias finitas antes tratados a la ecuaci\'{o}n
con coeficientes variables se realiza sin m\'{a}s que sustituir en
las f\'{o}rmulas obtenidas
$D_{1}$ por $D_{i,j}^{(1)}=D_{1}(x_{i},y_{j}),$ $D_{2}$ por $%
D_{i,j}^{(2)}=D_{2}(x_{i},y_{j}),$ $V_{1}$ por $%
V_{i,j}^{(1)}=V_{1}(x_{i},y_{j}),$ $D_{1}$ por $%
V_{i,j}^{(2)}=V_{2}(x_{i},y_{j})$ y $q$ por
$q_{i,j}=q(x_{i},y_{j}).$ \es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Te dejamos como ejercicio propuesto la sencilla tarea de
escribir las expresiones resultantes en el caso del esquemas de
}$5$\textit{\ puntos en cruz, tanto con convecci\'{o}n
des\-cen\-trada como con convecci\'{o}n centrada.}

\subsubsection{F) Tratamiento de dominios no rectangulares.}

La consideraci\'{o}n de mallados no uniformes nos permite tratar
f\'{a}cilmente dominios no rectangulares. En efecto, utilizando la
notaci\'{o}n seguida en el apartado $E)$ anterior y siendo $\Omega
$ un abierto conexo de $\mathsf{IR}^{2},$ consideremos el problema
estacionario:

\[
-D_{1}(x,y) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x,y)-D_{2}(x,y)
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}(x,y)+V_{1}(x,y) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)+
\]

\[
+V_{2}(x,y) \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)+q(x,y)
u(x,y)=f(x,y)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \Omega
\]
con la condici\'{o}n de contorno:
\[
u(x,y)=u_{D}(x,y)\;\;\;\;\;\;(x,y)\in \partial \Omega
\]

En este caso puede realizarse un mallado no uniforme que se adapte
al contorno $\partial \Omega $ del dominio. Esta situaci\'{o}n es
la que se ilustra en la figura siguiente.

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig611.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Puesto que en los nodos de la frontera se conoce el valor de la
funci\'{o}n soluci\'{o}n al estar dada por la condici\'{o}n de
tipo Dirichlet considerada (a continuaci\'{o}n trataremos el caso
de condiciones de contorno m\'{a}s generales) no habr\'{a}
dificultad conceptual alguna (aunque puede haberla en cuanto a los
c\'{a}lculos a realizar) para aplicar los esquemas en diferencias
antes planteados con mallados no uniformes a este tipo de
dominios.

\subsubsection{G) Imposici\'{o}n de condiciones de contorno m\'{a}s
generales.}

Hasta ahora hemos estado trabajando sobre problemas de contorno
estacionarios en los que se impon\'{\i}an condiciones de frontera
de tipo Dirichlet (es decir, se asignaba el valor de la
soluci\'{o}n en los puntos de la frontera). En numerosos problemas
de la ingenier\'{\i}a estas condiciones no son realistas pues no
se puede predeterminar el valor de la soluci\'{o}n (la temperatura
o la concentraci\'{o}n de un soluto) en toda la frontera del
dominio estudiado. En esos casos lo que s\'{\i} ser\'{a} factible
hacer es medir el flujo de la funci\'{o}n $u$ en la parte de la
frontera en que no se conozca el valor de dicha funci\'{o}n. En
este sentido las condiciones sobre la frontera pueden
generalizarse consider\'{a}ndose entonces condiciones del tipo
siguiente:
\[
\left( \lbrack \mathbf{\alpha }(x,y)] \nabla u(x,y)+\overrightarrow{%
\mathbf{\beta }}(x,y) u(x,y)\right) \bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}%
=g(x,y)\;\;\;\;\;\;\forall (x,y)\in \partial \Omega
\]
donde $[\mathbf{\alpha }(x,y)]$ es una funci\'{o}n matricial
``dependiente'' de la funci\'{o}n matricial $[\mathbf{D}(x,y)]$
que representaba al tensor
de difusividad (y habitualmente coincidente con \'esta), $\overrightarrow{%
\mathbf{\beta }}(x,y)$ es un campo vectorial ``dependiente'' al
campo de velocidades $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ que
interviene en la formulaci\'{o}n de nuestra EDP (y habitualmente
coincidente con dicho campo), $\overrightarrow{\mathbf{n}}$
representa el vector normal unitario saliente de $\Omega $ en el
punto de la frontera $\partial \Omega $ en el que se aplique la
condici\'{o}n de contorno y $g(x,y)$ es una funci\'{o}n
conocida (y suficientemente regular) definida en los puntos de la frontera $%
\partial \Omega .$
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Puedes consultar en C. Conde y E. Schiavi\footnote{C.
Conde y E. Schiavi. (2000). Guiones de la asignatura de Elementos
de Matem\'aticas. Universidad Rey Juan Carlos.} c\'{o}mo se
determina
en cada punto de }$\partial \Omega $\textit{\ el vector normal }$%
\overrightarrow{\mathbf{n}}$\textit{.}

Cuando se consideran condiciones de contorno de este tipo, el
valor de la soluci\'{o}n en los nodos de la frontera debe
calcularse pues es desconocido. Ello nos obliga a tener que
plantear el esquema en diferencias finitas tambi\'{e}n en los
nodos de la frontera con la dificultad de que dichos nodos no
tienen todos los nodos ``vecinos'' (N, S, E y W en el caso, por
ejemplo de un esquema de 5 puntos) en los que soportar el esquema
en diferencias. Estos nodos, que sin formar parte del mallado real
deber\'{a}n ser considerados para poder plantear el esquema en los
nodos de la frontera, ser\'{a}n denominados \textbf{nodos
ficticios} (o pseudonodos) y el valor en ellos se deber\'{a}
calcular a partir de las condiciones de contorno como una
combinaci\'{o}n de valores en los nodos reales de nuestro mallado.

Ilustraremos la forma de proceder en este caso sobre el esquema de
$5$ puntos en cruz. La figura siguiente recoge el caso de un
mallado en el que de los 5 puntos ``asociados'' a un nodo $C$ de
la frontera y los nodos $S$ y $W$ pertenecen al dominio $\Omega $
pero no as\'{i} los nodos $N$ y $E$ (que por eso se han denotado
como $N^{\prime }$ y $E^{\prime }$)$.$

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig612.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Si en el nodo $C$ se aplica el esquema en diferencias finitas se
obtendr\'{a} la ecuaci\'{o}n:
\[
a_{C,S} u_{S}+a_{C,W} u_{W}+a_{C,C} u_{C}+a_{C,E^{\prime }}
u_{E^{\prime }}+a_{C,N^{\prime }} u_{N^{\prime }}=f_{C}
\]

Los valores nodales $u_{N^{\prime }}$ y $u_{E^{\prime }}$ no
forman parte de
las inc\'{o}gnitas ni los nodos $E^{\prime }$ y $N^{\prime }$ pertenecen a $%
\Omega .$ Ser\'{a}n por tanto dos nodos ficticios (o pseudonodos)
y a los valores a ellos asignados les denominaremos valores
nodales ficticios. Como se se\~{n}al\'{o} m\'{a}s arriba, los
valores nodales en ellos ser\'{a}n calculados en funci\'{o}n de
los valores en otros nodos ``reales'' pertenecientes a $\Omega $ a
trav\'{e}s de las condiciones de contorno. Por ejemplo, para
asignar un valor a $u_{N^{\prime }}$ deberemos considerar la recta
que pasando por $N^{\prime }$ es normal a la frontera $\partial
\Omega $. Esta recta cortar\'{a} a la frontera en el punto $A$ y a
la recta que une los nodos $W$ y $C$ en el punto $B$ (v\'{e}ase la
figura anterior). \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Deliberadamente, para no complicar el proceso que se
est\'{a} exponiendo, se ha sido poco riguroso con el planteamiento
anterior. En efecto, seg\'{u}n como sea la frontera podr\'{\i}a
haber m\'{a}s de una recta
normal a }$\partial \Omega $\textit{\ que pasara por el punto }$N^{\prime }.$%
\textit{\ Para eliminar esta posibilidad deber\'{\i}an exigirse
ciertas hip\'{o}tesis sobre la curva que define la frontera
}$\Omega .$\textit{\ Dichas hip\'{o}tesis, que resumiremos
diciendo que la frontera }$\partial \Omega $\textit{\ sea
suficientemente regular, supondremos en lo que sigue que son
satisfechas por la funci\'{o}n que defina }$\partial \Omega .$

Si se plantea la condici\'{o}n de contorno en el punto $A$ se
podr\'{a} escribir:
\[
\left( \lbrack \mathbf{\alpha }(x_{A},y_{A})] \left( \nabla
u(x,y)\right) _{A}\right) \bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}%
=g(x_{A},y_{A})-(\overrightarrow{\mathbf{\beta
}}(x_{A},y_{A})\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}})
u(x_{A},y_{A})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow \left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}%
\right) _{A}=\dis\frac{g(x_{A},y_{A})-(\overrightarrow{\mathbf{\beta }}%
(x_{A},y_{A})\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}) u(x_{A},y_{A})}{%
\left( [\mathbf{\alpha }(x_{A},y_{A})] \overrightarrow{\mathbf{n}}%
\right) \bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}}=\alpha +\gamma
u(x_{A},y_{A}).
\]

En esta expresi\'{o}n, a su vez, se puede aproximar la derivada
normal mediante:
\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial
\overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) \approx \dis\frac{u_{N^{\prime
}}-u_{B}}{d_{N^{\prime }B}}
\]
donde $d_{N^{\prime }B}$ es la distancia entre los puntos $N^{\prime }$ y $%
B. $ Con ello se tendr\'{\i}a que:
\[
\dis\frac{u_{N^{\prime }}-u_{B}}{d_{N^{\prime }B}}=\alpha +\gamma
u(x_{A},y_{A}).
\]

Pero ni los valores en $B$ ni en $A$ son tampoco valores nodales
(pues ni $A$ ni $B$ son nodos de nuestro mallado). Por ello estos
valores deben, nuevamente, ser aproximados. En el caso de $u_{B}$
puede procederse por interpolaci\'{o}n lineal de forma que,
seg\'{u}n la notaci\'{o}n de la figura resultar\'{\i}a:
\[
u_{B}\approx \dis\frac{h_{2}}{h} u_{W}+\dis\frac{h_{1}}{h} u_{C}
\]

Y en cuanto al valor en $A$ podr\'{a} interpolarse sobre la propia
curva que
define $\partial \Omega $ o sobre la propia recta que nos une $B$ con $%
N^{\prime }.$ Usando esta \'{u}ltima opci\'{o}n se tendr\'{a} que:
\[
u(x_{A},y_{A})\approx \dis\frac{d_{N^{\prime }A}}{d_{N^{\prime }B}} u_{B}+%
\dis\frac{d_{AB}}{d_{N^{\prime }B}} u_{N^{\prime }}=\dis\frac{d_{N^{\prime }A}}{%
d_{N^{\prime }B}} \dis\frac{h_{2}}{h} u_{W}+\dis\frac{d_{N^{\prime }A}}{%
d_{N^{\prime }B}} \dis\frac{h_{1}}{h}
u_{C}+\dis\frac{d_{AB}}{d_{N^{\prime }B}} u_{N^{\prime }}
\]

De estas tres \'{u}ltimas expresiones se tiene que:
\[
u_{N^{\prime }}=\left( \dis\frac{h_{2} (1+d_{N^{\prime }A})}{h
(1-d_{AB})}\right)  u_{W}+\left( \dis\frac{h_{1} (1+d_{N^{\prime }A})}{%
h (1-d_{AB})}\right)  u_{C}+\dis\frac{d_{N^{\prime }B} \gamma }{%
(1-d_{AB})}=\]
\[\beta _{W} u_{W}+\beta _{C} u_{C}+\beta _{N^{\prime
}}
\]

Esta expresi\'{o}n del valor nodal ficticio $u_{N^{\prime }}$
puede entonces sustituirse en la expresi\'{o}n del esquema
obteniendo:
\[
a_{C,S} u_{S}+a_{C,W} u_{W}+a_{C,C} u_{C}+a_{C,E^{\prime }}
u_{E^{\prime }}+a_{C,N^{\prime }} u_{N^{\prime }}=f_{C}\Rightarrow
\]
\[ a_{C,S} u_{S}+a_{C,W} u_{W}+a_{C,C} u_{C}+a_{C,E^{\prime }}
u_{E^{\prime }}+a_{CN^{\prime }} (\beta _{W} u_{W}+\beta _{C}
u_{C})=f_{C}-a_{CN^{\prime }} \beta _{N^{\prime }}\Rightarrow
\]
\[
a_{C,S} u_{S}+(a_{C,W}+a_{C,N^{\prime }} \beta _{W})
u_{W}+(a_{C,C}+a_{C,N^{\prime }} \beta _{C}) u_{C}+a_{C,E^{\prime
}} u_{E^{\prime }}=f_{C}-a_{CN^{\prime }} \beta _{N^{\prime }}
\]
\es

\underline{\textbf{Ejercicio propuesto:}} \es

\textit{Realiza un proceso similar al anterior para ``eliminar''
en la ecuaci\'{o}n anterior }$u_{E^{\prime }}$\textit{\
expres\'{a}ndolo en funci\'{o}n de valores nodales pertenecientes
a }$\Omega .$ \es

Ilustremos todo lo anterior mediante un ejemplo.

\subsubsection{H) Un ejemplo.}

Sea $\Omega $ el tri\'{a}ngulo rect\'{a}ngulo de v\'{e}rtices $(0,0),$ $%
(4,0) $ y $(0,4).$ En \'{e}l se considerar\'{a} el problema:

$$
\left\{
\begin{array}{lll}
-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla
u(x,y)\right) +\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{V}(x,y)u(x,y)\right) & =f(x,y) & en\;\;\Omega \\
[0.3cm] u(x,0)=0, & u(0,y)=0, &  \\ [0.3cm] \left(
-[\mathbf{D}]\nabla u(x,y)+\overrightarrow{V}(x,y)u(x,y)\right)
\bullet \overrightarrow{n}=g(x,y,u) & en\;\;L &
\end{array}
\right.
$$
donde
\[
\left[ \mathbf{D}\right] =\left[
\begin{array}{ll}
5 & 0 \\
0 & 3
\end{array}
\right] ,\;\;\;\;\overrightarrow{V}(x,y)=\left\{
\begin{array}{l}
-y \\
x
\end{array}
\right\} ,\;\;\;f(x,y)=x^{2} (x^{2}-3 y^{2})-30 x y
\]

\[
g(x,y,u)=\dis\frac{\sqrt{2}}{2} \left( u \left( x-y\right) -3
x^{3}-15 x^{2} y\right)
\]
y $L$ es el lado que une los v\'{e}rtices $(4,0)$ y $(0,4)$ del
tri\'{a}ngulo.

Se pide obtener una aproximaci\'{o}n del valor que toma la
soluci\'{o}n en los nodos $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5$ y $6$ del
mallado que se representa en la figura siguiente mediante un
esquema de diferencias finitas de $5$ puntos en cruz para el
t\'{e}rmino difusivo y descentrado en retroceso seg\'{u}n el valor
de la correspondiente componente de la velocidad para el
t\'{e}rmino convectivo.

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig613.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\underline{Soluci\'{o}n:}

Reescribamos la ecuaci\'{o}n diferencial en la forma:
\[
-\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla
u(x,y)\right) +\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{V}(x,y)u(x,y)\right) =f(x,y)\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow -\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla
u(x,y)\right) +\left( \nabla \bullet \overrightarrow{V}(x,y)\right) u(x,y)+%
\overrightarrow{V}(x,y)\bullet \nabla u(x,y)=f(x,y)\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}-3 \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}+(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
+x \dis\frac{\partial u}{\partial y}=f(x,y)
\]

Esta ecuaci\'{o}n es la que deber\'{a} discretizarse en cada uno
de los nodos del mallado. Hag\'{a}moslo nodo a nodo:

\underline{En el nodo 1:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (0-2
u_{1}+u_{2})=10 u_{1}-5 u_{2}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (0-2
u_{1}+u_{4})=6 u_{1}-3 u_{4}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $1$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(1,1)=-1$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{1}) \dis\frac{%
u_{2}-u_{1}}{1}=u_{1}-u_{2}
\]

Puesto que la componente $2{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $1$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(1,1)=1$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{1}) \dis\frac{u_{1}-0}{1}%
=u_{1}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(1,1)=-32.
\]

Por tanto la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $1$ ser\'{a}:

\[
10 u_{1}-5 u_{2}+6 u_{1}-3 u_{4}+u_{1}-u_{2}+u_{1}=-32\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow 18 u_{1}-6 u_{2}-3 u_{4}=-32\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N1)
\]

\underline{En el nodo 2:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (u_{1}-2
u_{2}+u_{3})=-5 u_{1}+10 u_{2}-5 u_{3}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (0-2
u_{2}+u_{5})=6 u_{2}-3 u_{5}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $2$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(2,1)=-1$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{2}) \dis\frac{%
u_{3}-u_{2}}{1}=u_{2}-u_{3}
\]

Puesto que la componente $2{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $2$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(2,1)=2$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{2}) \dis\frac{u_{2}-0}{1}%
=2 u_{2}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(2,1)=-56.
\]

Por tanto la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $2$ ser\'{a}:

\[
-5 u_{1}+10 u_{2}-5 u_{3}+6 u_{2}-3 u_{5}+u_{2}-u_{3}+2
u_{2}=-56\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -5 u_{1}+19 u_{2}-6 u_{3}-3
u_{5}=-56\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N2)
\]

\underline{En el nodo 3:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (u_{2}-2
u_{3}+u_{A})=-5 u_{2}+10 u_{3}-5 u_{A}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (0-2
u_{3}+u_{B})=6 u_{3}-3 u_{B}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $3$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(3,1)=-1$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{3}) \dis\frac{%
u_{A}-u_{3}}{1}=u_{3}-u_{A}
\]

Puesto que la componente $2{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $3$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(3,1)=3$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{3}) \dis\frac{u_{3}-0}{1}%
=3 u_{3}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(3,1)=-36.
\]

Por tanto la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $3$ ser\'{a}:

\[
-5 u_{2}+10 u_{3}-5 u_{A}+6 u_{3}-3 u_{B}+u_{3}-u_{A}+3
u_{3}=-36\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -5 u_{2}+20 u_{3}-6 u_{A}-3
u_{B}=-36\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N3)
\]

\underline{En el nodo 4:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (0-2
u_{4}+u_{5})=10 u_{4}-5 u_{5}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (u_{1}-2
u_{4}+u_{6})=-3 u_{1}+6 u_{4}-3 u_{6}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $4$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(1,2)=-2$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{4}) \dis\frac{%
u_{5}-u_{4}}{1}=2 u_{4}-2 u_{5}
\]

Puesto que la componente $2{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $4$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(1,2)=1$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{4}) \dis\frac{u_{4}-u_{1}%
}{1}=u_{4}-u_{1}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(1,2)=-71.
\]

Por tanto, la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $4$ ser\'{a}:

\[
10 u_{4}-5 u_{5}-3 u_{1}+6 u_{4}-3 u_{6}+2 u_{4}-2
u_{5}+u_{4}-u_{1}=-71\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -4 u_{1}+19 u_{4}-7 u_{5}-3
u_{6}=-71\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N4)
\]

\underline{En el nodo 5:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (u_{4}-2
u_{5}+u_{B})=-5 u_{4}+10 u_{5}-5 u_{B}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (u_{2}-2
u_{5}+u_{C})=-3 u_{2}+6 u_{5}-3 u_{C}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $5$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(2,2)=-2$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{5}) \dis\frac{%
u_{B}-u_{5}}{1}=2 u_{5}-2 u_{B}
\]

Puesto que la componente $2{{}^{a}}$ de la velocidad en el nodo
$5$ toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(2,2)=2$ utilizaremos
una f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{5}) \dis\frac{u_{5}-u_{2}%
}{1}=2 u_{5}-2 u_{2}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(2,2)=-152.
\]

Por tanto, la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $5$ ser\'{a}:

\[
-5 u_{4}+10 u_{5}-5 u_{B}-3 u_{2}+6 u_{5}-3 u_{C}+2 u_{5}-2 u_{B}+
\]

\[
+2 u_{5}-2 u_{2}=-152\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -5 u_{2}-5.u_{4}+20 u_{5}-7 u_{B}-3
u_{C}=-152\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N5)
\]

\underline{En el nodo 6:}

\[
-5 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}\approx -5 (0-2
u_{6}+u_{C})=10 u_{6}-5 u_{C}
\]

\[
-3 \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}\approx -3 (u_{4}-2
u_{6}+u_{D})=-3 u_{4}+6 u_{6}-3 u_{D}
\]

Puesto que la componente $1{{}^a}$ de la velocidad en el nodo $6$
toma el valor: $\overrightarrow{V}_{1}(1,3)=-3$ utilizaremos una
f\'{o}rmula
progresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $x:$%
\[
(-y) \dis\frac{\partial u}{\partial x}\approx (-y_{6}) \dis\frac{%
u_{C}-u_{6}}{1}=3 u_{6}-3 u_{C}
\]

Puesto que la componente $2{{}^{a}}$ de la velocidad en el nodo
$6$ toma el valor: $\overrightarrow{V}_{2}(1,3)=1$ utilizaremos
una f\'{o}rmula
regresiva para aproximar la derivada parcial respecto a $y:$%
\[
(x) \dis\frac{\partial u}{\partial y}\approx (x_{6}) \dis\frac{u_{6}-u_{4}%
}{1}=u_{6}-u_{4}
\]

En este nodo la funci\'{o}n $f(x,y)$ toma el valor:
\[
f(1,3)=-116.
\]

Por tanto, la ecuaci\'{o}n a plantear en el nodo $6$ ser\'{a}:

\[
10 u_{6}-5 u_{C}-3 u_{4}+6 u_{6}-3 u_{D}+3 u_{6}-3
u_{C}+u_{6}-u_{4}=-116\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -4 u_{4}+20 u_{6}-8 u_{C}-3
u_{D}=-116\;\;\;\;\;\;\;\;\;(N6)
\]

El conjunto de ecuaciones $(N1),$ $(N2),$ $(N3),$ $(N4),$ $(N5)$ y
$(N6)$ forma un sistema de $6$ ecuaciones algebraicas con $10$
inc\'{o}gnitas (los valores en los nodos del dominio $u_{1,}....,$
$u_{6}$ y los cuatro valores en los nodos ficticios $u_{A},$
$u_{B},$ $u_{C}$ y $u_{D}).$ Para eliminar cuatro inc\'{o}gnitas
debemos considerar la condici\'{o}n de Neumann en la frontera $L$.
Para ello sabemos que:
\[
\left( -[\mathbf{D}]\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{V}(x,y)u(x,y)\right) \bullet
\overrightarrow{n}=g(x,y,u)\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -\left( [\mathbf{D}]\nabla u(x,y)\right) \bullet
\overrightarrow{n}=g(x,y,u)-\left( \overrightarrow{V}(x,y)\bullet
\overrightarrow{n}\right) u(x,y)
\]

Y como
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}=\nabla
u\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}
\]
se verificar\'{a} que
\[
\nabla u=\dis\frac{\partial u}{\partial
\overrightarrow{\mathbf{n}}} \overrightarrow{\mathbf{n}}
\]
por lo que
\[
-\left( [\mathbf{D}]\dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}%
 \overrightarrow{\mathbf{n}}\right) \bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}%
=g(x,y,u)-\left( \overrightarrow{V}(x,y)\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}%
\right) u(x,y)
\]
de donde la condici\'{o}n de contorno dada puede transformarse en

\[
\dis\frac{\partial u}{\partial
\overrightarrow{\mathbf{n}}}=\dis\frac{\left(
\overrightarrow{V}(x,y)\bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}\right)
u(x,y)-g(x,y,u)}{\left( [\mathbf{D}] \overrightarrow{\mathbf{n}}%
\right) \bullet \overrightarrow{\mathbf{n}}}
\]

En nuestro ejemplo, teniendo en cuenta que:
\[
\overrightarrow{\mathbf{n}}=\left\{
\begin{array}{l}
\dis\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\dis\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right\}
\]
y habida cuenta de las expresiones de $[\mathbf{D}],$ $\overrightarrow{V}%
(x,y)$ y $g(x,y,u)$ resultar\'{a} que en cualquier punto $p$ de la frontera $%
L$:

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial
\overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) _{p}= \]
\[ \dis\frac{\left(
\left\{
\begin{array}{l}
-y_{p} \\
x_{p}
\end{array}
\right\} \bullet \left\{
\begin{array}{l}
\dis\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\dis\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right\} \right) u_{p}-\dis\frac{1}{\sqrt{2}} (x_{p}-y_{p}) u_{p}+%
\dis\frac{1}{\sqrt{2}} x_{p}^{2} (3 x_{p}+15 y_{p})}{\left( \left[
\begin{array}{ll}
5 & 0 \\
0 & 3
\end{array}
\right]  \left\{
\begin{array}{l}
\dis\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\dis\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right\} \right) \bullet \left\{
\begin{array}{l}
\dis\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\dis\frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}
\right\} }
\]

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}%
\right) _{p}=\dis\frac{\dis\frac{1}{\sqrt{2}} (x_{p}-y_{p}) u_{p}-\dis\frac{1}{%
\sqrt{2}} (x_{p}-y_{p}) u_{p}+\dis\frac{1}{\sqrt{2}} x_{p}^{2} (3
x_{p}+15 y_{p})}{4}
\]

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}%
\right) _{p}=\dis\frac{x_{p}^{2} (3 x_{p}+15 y_{p})}{4 \sqrt{%
2}}=\widetilde{g}(x_{p},y_{p})
\]

Esta ecuaci\'{o}n sobre los puntos de la frontera $L$ puede
particularizarse para los ``pseudonodos'' $a,$ $b,$ $c$ y $d$
representados en la figura del mallado, obteni\'{e}ndose que:

*) En el pseudonodo $n_{a}$:
\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) _{a}=%
\widetilde{g}(x_{a},y_{a})=\widetilde{g}(3.5,0.5)=\dis\frac{441}{8
\sqrt{2}}
\]
de donde aproximando la derivada normal en $a$ resulta:
\[
\dis\frac{u_{A}-0}{\sqrt{2} h}=\dis\frac{441}{8 \sqrt{2}}\Rightarrow u_{A}=%
\dis\frac{441}{8}
\]

*) En el pseudonodo $n_{b}$:

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) _{b}=%
\widetilde{g}(x_{b},y_{b})=\widetilde{g}(2.5,1.5)=\dis\frac{375}{8
\sqrt{2}}
\]
de donde aproximando la derivada normal en $a$ resulta:
\[
\dis\frac{u_{B}-u_{2}}{\sqrt{2} h}=\dis\frac{375}{8
\sqrt{2}}\Rightarrow u_{B}=u_{2}\dis\frac{375}{8}
\]

*) En el pseudonodo $n_{c}$:

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) _{c}=%
\widetilde{g}(x_{c},y_{c})=\widetilde{g}(1.5,2.5)=\dis\frac{189}{8
\sqrt{2}}
\]
de donde aproximando la derivada normal en $a$ resulta:
\[
\dis\frac{u_{C}-u_{4}}{\sqrt{2} h}=\dis\frac{189}{8
\sqrt{2}}\Rightarrow u_{C}=u_{4}+\dis\frac{189}{8}
\]

*) En el pseudonodo $n_{d}$:

\[
\left( \dis\frac{\partial u}{\partial \overrightarrow{\mathbf{n}}}\right) _{d}=%
\widetilde{g}(x_{d},y_{d})=\widetilde{g}(0.5,3.5)=\dis\frac{27}{8
\sqrt{2}}
\]
de donde aproximando la derivada normal en $a$ resulta:
\[
\dis\frac{u_{D}-0}{\sqrt{2} h}=\dis\frac{27}{8 \sqrt{2}}\Rightarrow u_{D}=%
\dis\frac{27}{8}
\]

Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones $(N1)-(N6)$ se
obtiene finalmente el sistema:

\[
\left\{
\begin{array}{lll}
18 u_{1}-6 u_{2}-3 u_{4} & =-32 & (Ec.1) \\
-5 u_{1}+19 u_{2}-6 u_{3}-3 u_{5} & =-56 & (Ec.2) \\
-8 u_{2}+20 u_{3} & =-36+6 \dis\frac{441}{8}+3\dis\frac{375}{8} &
(Ec.3) \\
-4 u_{1}+19 u_{4}-7 u_{5}-3 u_{6} & =-71 & (Ec.4) \\
-12 u_{2}-8.u_{4}+20 u_{5} & =-152-7 \dis\frac{375}{8}+3
\dis\frac{189}{16} & (Ec.5) \\
-8 u_{4}+20 u_{6} & =-116+189+3 \dis\frac{27}{16} & (Ec.6)
\end{array}
\right\}
\]

Este sistema ya tiene $6$ inc\'{o}gnitas y $6$ ecuaciones y puede
procederse a resolverlo mediante cualquiera de los m\'{e}todos de
resoluci\'{o}n de ecuaciones lineales. Si as\'{\i} se hace se
obtiene la soluci\'{o}n que se escribe en la tabla siguiente (en
la que tambi\'{e}n se recogen los valores de la soluci\'{o}n
exacta $u(x,y)$ $=$ $y x^{3}$ para poder compararlos):

\ \ \ \ \ \ \ \ \
\begin{tabular}{rrrrrr}
$Nodo(i)$ & $x_{i}$ & $y_{i}$ & $u_{i}$ & $u(x_{i},y_{i})$ & $%
u(x_{i},y_{i})-u_{i}$ \\
$1$ & $1$ & $1$ & $1.9173978$ & $1.$ & $-0.9173978$ \\
$2$ & $2$ & $1$ & $8.5962066$ & $8.$ & $-0.5962066$ \\
$3$ & $3$ & $1$ & $25.207233$ & $27.$ & $1.792767$ \\
$4$ & $1$ & $2$ & $4.9786397$ & $2.$ & $-2.9786397$ \\
$5$ & $2$ & $2$ & $19.499180$ & $16.$ & $-3.499180$ \\
$6$ & $1$ & $3$ & $7.1434338$ & $3.$ & $-4.1434338$%
\end{tabular}

Observa que la precisi\'{o}n es bastante mala. Ello es debido al
uso de un mallado ``grosero'' (con una distancia entre puntos
nodales excesiva). La representaci\'{o}n de las soluciones exacta
y aproximada es la siguiente:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig614.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}



\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig615.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

A continuaci\'{o}n te presentamos un programa escrito en MAPLE con
el que puedes introducir m\'{a}s nodos en el dominio triangular.
En \'{e}l se recogen las gr\'{a}ficas obtenidas con un valor de la
distancia entre abscisas y ordenadas dado por $h=0.05$ para el
mismo problema planteado sobre el tri\'{a}ngulo de v\'{e}rtices
$(0,0),$ $(1,0)$ y $(0,$ $1).$

\emph{ > restart;}

\emph{ > with(linalg): with(plots):}

\emph{ > Digits:=8;}

\emph{ > NX:=20; LONG:=1.;}

\emph{ > ub:=(x,y)->0.;}

\emph{ > ud:=(x,y)->0.;}

\emph{ > g:=(x,y)->x*x*(3*x+15*y)/(4*sqrt(2));}

\emph{ > f:=(x,y)->x*x*(x*x-3*y*y)-30*x*y;}

\emph{ > difusion1:=(x,y)->5; difusion2:=(x,y)->3;}

\emph{ > v1:=(x,y)->-y; v2:=(x,y)->x;}

\emph{ > reac:=(x,y)->0;}

\emph{ > h:=LONG/NX;}

\emph{ > NN:=(NX+2)*(NX+1)/2;}

\emph{ > A:=array(sparse,1..NN,1..NN); b:=vector(NN);}

\emph{ > for i from 1 to NX+1 by 1 do:}

\emph{\ \ \ \ \ abscisa[i]:=(i-1)*h;}

\emph{\ \ \ \ \ ordenada[i]:=(i-1)*h;}

\emph{\ od;}

\emph{ > k:=0:}

\emph{\ for j from 1 to NX+1 by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ for i from 1 to NX+2 - j by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ k:=k+1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ x[k]:=abscisa[i]:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ y[k]:=ordenada[j]:}

\emph{\ \ \ \ \ od:}

\emph{\ od:}

\emph{ > print(k);}

\emph{ > for k from 1 to NN by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ print(k,x[k],y[k]);}

\emph{\ \ od;}

\emph{ > k:=0:}

\emph{\ for j from 1 to NX+1 by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ if j = 1 then}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ for i from 1 to NX+1 by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k:=k+1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,k]:=1.:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b[k]:=ub(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ od:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ elif (j<NX+1) then}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ for i from 1 to (NX+2 - j)by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ k:= k+1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ if i = 1 then}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,k]:=1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b[k]:=ud(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ elif i< (NX+2 - j) then}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ velx:=v1(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vely:=v2(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
dx:=difusion1(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
dy:=difusion2(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q:=reac(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ alfa:=(1/2)+
abs(velx)/(2*velx):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
beta:=(1/2)+abs(vely)/(2*vely):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ alfa1:=1-alfa:
beta1:=1-beta:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w:=k-1: e:=k+1:
s:=k-(NX+3-j):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n:= k+(NX+2-j):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,k]:=((2*(alfa*velx+beta*vely+%
}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((dx+dy)/h))-velx-vely)/h)+q:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,w]:=
-((dx/h)+alfa*velx)/h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,e]:=
(alfa1*velx-(dx/h))/h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,s]:=
-((dy/h)+beta*vely)/h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,n]:=
(beta1*vely-(dy/h))/h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b[k]:=f(x[k],y[k]):}

\emph{\ }$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$\emph{\ else}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ velx:=v1(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ vely:=v2(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
dx:=difusion1(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
dy:=difusion2(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ dis:=sqrt(2)*h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ q:=reac(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ alfa:=(1/2)+
abs(velx)/(2*velx):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
beta:=(1/2)+abs(vely)/(2*vely):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ alfa1:=1-alfa:
beta1:=1-beta:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ w:=k-1: s:=k-(NX+3-j):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xmedn:=x[k]-(h/2):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ymedn:=y[k]+(h/2):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ xmeds:=x[k]+(h/2):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ymeds:=y[k]-(h/2):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
A[k,k]:=((2*(alfa*velx+beta*vely+}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((dx+dy)/h))-velx-vely)/h)+q:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,w]:=
(beta1*vely-alfa*velx-}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((dx+dy)/h))/h: }

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A[k,s]:=
(alfa1*velx-beta*vely-}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((dx+dy)/h))/h:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ b[k]:=f(x[k],y[k])-}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((alfa1*velx-(dx/h))/h)*dis*g(xmeds,ymeds)-}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
((beta1*vely-(dy/h))/h)*dis*g(xmedn,ymedn):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ fi:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ od:}

\emph{\ \ \ \ \ else}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ k:=k+1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ A[k,k]:=1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ b[k]:=ud(x[k],y[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ fi:}

\emph{\ od: }

\emph{ > print(A);}

\emph{ > print(b);}

\emph{ > u:=(x,y)->$y*x^3$;}

\emph{ > for k from 1 to NN by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ uexac[k]:=evalf(u(x[k],y[k])):}

\emph{\ od:}

\emph{ > uap:=linsolve(A,b):}

\emph{ > mayor:=0.;kpos:=0;}

\emph{ > for k from 1 to NN by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ difer[k]:=uexac[k]-uap[k]:}

\emph{\ \ \ \ \ \ if (abs(difer[k])>mayor) then}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ mayor:=abs(difer[k]):}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ kpos:=k:}

\emph{\ \ \ \ \ fi:}

\emph{\ od:}

\emph{ > for k from 1 to NN by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ print(uap[k],uexac[k],difer[k]);}

\emph{\ od;}

\emph{ > print(kpos,x[kpos],y[kpos],uap[kpos],uexac[kpos],mayor);%
}

\emph{ > for k from 1  to NN by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ print(uap[k],uexac[k],difer[k]);}

\emph{\ od;}

\emph{ > data:=[seq([x[k],y[k],uap[k]],k=1..NN)]:}

\emph{ > k:=0:}

\emph{\ \ for j from 1 to NX+1 by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ for i from 1 to NX+2 - j by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ k:=k+1:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ datos[i,j]:=uap[k]:}

\emph{\ \ \ \ \ od:}

\emph{\ \ \ \ if j > 1 then}

\emph{\ \ \ \ \ \ for i from NX+3-j to NX+1 by 1 do}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ datos[i,j]:=0.:}

\emph{\ \ \ \ \ od:}

\emph{\ \ \ fi:}

\emph{\ od:}

\emph{ >
data:=[seq([seq([abscisa[i],ordenada[j],datos[i,j]],i=1..NX+1)],j=1..NX+1)]:}

\emph{ >\
diba:=surfdata(data,axes=framed,labels=[x,y,z],orientation=[-31,52],}\newline
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \emph{title=`SOLUCI\'{O}N APROXIMADA (h =
0.05)`):}

\emph{ > uuu:= proc(x,y) if y+x<=1 then $y*x^3$ else 0 fi: end;}

\emph{ > dibe:=plot3d(uuu,0..1,0..1,grid=[20,20],axes=framed,}%
\newline
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \emph{%
labels=[x,y,z],orientation=[-31,52],title=`SOLUCI\'{O}N EXACTA`):}

\emph{ > display(dibe);}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig616.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\emph{ > display(diba);}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig617.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\emph{ > fin;}

En este caso la mayor diferencia entre los valores nodales de la
soluci\'{o}n aproximada y de la soluci\'{o}n exacta se produce en el nodo $%
186$ de coordenadas $x_{186}=0.45,$ $y_{186}=0.55$ resultando que $%
u_{186}=0.061088534$ y $u(0.45,0.55)=0.05011875$ por lo que
$\left| u_{186}-u(0.45,0.55)\right| =0.010969784.$

\subsubsection{I) Algunos comentarios sobre los esquemas en diferencias para
pro\-ble\-mas estacionarios.}

1${{}^{o}}$) Los esquemas que hemos presentado anteriormente son
los m\'{a}s usuales y b\'{a}sicos. No obstante existen muchos
otros esquemas en los que se hace intervenir en la
discretizaci\'{o}n de la EDP en cada nodo a un cierto n\'{u}mero
de nodos vecinos. En la bibliograf\'{\i}a a este tema
encontrar\'{a}s referencias (como Lapidus y Pinder\footnote{L.
Lapidus y G.F. Pinder.(1982) Numerical solution of partial
differential equations in science and engineering. Ed.: John
Wiley.}, Smith\footnote{G.D.\ Smith (1.985) Numerical Solution of
partial Differential Equations. Finite Difference Methods.
(3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$ reimpresi\'{o}n (1996)). Ed.
Clarendon Press.}, Morton y Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F.
Mayers. (1994) Numerical solution of Partial Differential
Equations. Ed. Cambridge University Press.}, etc...) en las que
consultar muy diferentes esquemas en diferencias.

2${{}^o}$) Los esquemas en diferencias presentados se han obtenido
a partir de la combinaci\'{o}n de desarrollos en serie de Taylor
de los valores de una funci\'{o}n suficientemente regular en nodos
vecinos a aquel en el que se plantea la EDP. Existen otras formas
diferentes para obtener estos esquemas partiendo de
``formulaciones integrales'' del problema. En Morton y
Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994) Numerical
solutioon of Partial Differential Equations. Ed. Cambridge
University Press.}, por ejemplo puedes encontrar detalles sobre
esta forma de proceder.

3${{}^{o}}$) Los esquemas en diferencias finitas que permiten
aproximar problemas estacionarios acaban formulando una
ecuaci\'{o}n algebraica en cada nodo del mallado formando as\'{\i}
un sistema con tantas ecuaciones como nodos y el mismo n\'{u}mero
de inc\'{o}gnitas. A partir de ese momento, el problema consiste
en resolver \textbf{de forma eficiente} el sistema algebraico
obtenido. Adem\'{a}s, en cada una de las ecuaciones, todos los
coeficientes de la ecuaci\'{o}n ser\'{a}n nulos salvo los que
multipliquen a valores nodales correspondientes a nodos
``vecinos'' del nodo al que se asocie dicha ecuaci\'{o}n
algebraica (entendiendo por ``vecinos'' aquellos que se utilizan
para discretizar las derivadas en dicho nodo). En otros
t\'{e}rminos la matriz del sistema algebraico tendr\'{a} la mayor
parte de
sus elementos nulos. Ello se expresar\'{a} diciendo que es una \textbf{%
matriz hueca}. Esto plantea problemas tanto de almacenamiento
(\textquestiondown para qu\'{e} almacenar los coeficientes que ``a
priori'' se sabe que va a ser nulos) como de n\'{u}mero de
operaciones (\textquestiondown para qu\'{e} vamos a sumar, restar
o multiplicar valores que son nulos si sabemos de antemano que el
resultado de esas operaciones va a ser $0?$). Todo lo anterior
obliga a modificar los m\'{e}todos cl\'{a}sicos de resoluci\'{o}n
de sistemas adapt\'{a}ndolos a esta situaci\'{o}n. Incluso, en la
pr\'{a}ctica, es preferible el uso de t\'{e}cnicas iterativas de
resoluci\'{o}n de sistemas lineales (tales como los m\'{e}todos de
tipo gradiente o m\'{e}todos de relajaci\'{o}n) antes que los
m\'{e}todos directos. Para el estudio de estos m\'{e}todos
iterativos, que aqu\'{\i} no abordaremos, nuevamente te remitimos
a la bibliograf\'{i}a indicada al final de este cap\'{\i}tulo (por
ejemplo Smith\footnote{G.D.\ Smith (1.985) Numerical Solution of
partial Differential Equations. Finite Difference Methods.
(3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$ reimpresi\'{o}n (1996)). Ed.
Clarendon Press.} o Morton y Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F.
Mayers. (1994) Numerical solutioon of Partial Differential
Equations. Ed. Cambridge University Press.}, o Conde y
Winter\footnote{C. Conde y G. Winter (1.991) M\'{e}todos y algoritmos b\'{a}sicos del \'{a}%
lgebra num\'{e}rica. Ed. Revert\'{e}.}) para su estudio detallado.

4${{}^{o}}$) No hemos tratado problemas formulados en dominios
tridimensionales. En todo caso la forma de proceder para
deducirlos es an\'{a}loga y las propiedades vistas para los
esquemas en dominios bidimensionales pueden extenderse sin
dificultad a dominios tridimensionales. Lo \'{u}nico que sucede es
que las f\'{o}rmulas obtenidas son un poco m\'{a}s pesadas de
manipular. Es decir se incrementa el volumen de c\'{a}lculos a
hacer pero la dificultad conceptual en 3 (o en general en n)
dimensiones es la misma que en 2 dimensiones.

5${{}^o}$) Todos los ejemplos considerados anteriormente, as\'{\i}
como el planteamiento de los esquemas presentados, han considerado
s\'{o}lo el caso en que la e.d.p. a resolver era lineal. En el
\'{u}ltimo ejemplo (desarrollado en el apartado $H)$ anterior) se
consider\'{o} no obstante una condici\'{o}n de contorno no lineal
(en donde la funci\'{o}n definida en el contorno $g$ depend\'{i}a
de la propia inc\'{o}gnita $u$). En general podr\'{\i}an
contemplarse problemas en los que tanto la difusividad como el
campo de velocidades como el coeficiente del t\'{e}rmino reactivo
as\'{\i} como las funciones que intervienen en la definici\'{o}n
de las condiciones de contorno dependieran de la propia
funci\'{o}n inc\'{o}gnita. En el caso bidimensional
estar\'{\i}amos tratando problemas con una EDP de la forma:

\[
-\dis\frac{\partial }{\partial x}\left( D_{1}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)\right) -\dis\frac{\partial }{\partial y}\left(
D_{2}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{\partial y}(x,y)\right) +\]
\[\dis\frac{\partial }{\partial x}\left( V_{1}(x,y,u)
u(x,y)\right) +\dis\frac{\partial }{\partial y}\left( V_{2}(x,y,u)
u(x,y)\right) +q(x,y,u) u(x,y)=\]
\[f(x,y,u),\;(x,y)\in \Omega
\]

Ahora no es tan simple proceder a ``manipular'' previamente
nuestra ecuaci\'on y, en un primer planteamiento, puede procederse
a discretizarla tal cual est\'{a} escrita sobre cada nodo $C$.
As\'{\i}, utilizando la notaci\'{o}n antes introducida y con la
aplicaci\'{o}n de f\'{o}rmulas centradas para los t\'{e}rminos
difusivos y descentradas para los convectivos, para mallados
uniformes, puede procederse como sigue:
\[
-\dis\frac{\left( D_{1}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x,y)\right)
_{W}-\dis\frac{\partial }{\partial x}\left( D_{1}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)\right) _{E}}{2 h}-
\]
\[
-\dis\frac{\left( D_{2}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x,y)\right)
_{N}-\dis\frac{\partial }{\partial x}\left( D_{2}(x,y,u) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}(x,y)\right) _{S}}{2 k}+
\]
\[
+\rho _{1} \dis\frac{\left( V_{1}(x,y,u) u(x,y)\right) _{C}-\left(
V_{1}(x,y,u) u(x,y)\right) _{W}}{h}+
\]

\[
+(1-\rho _{1}) \dis\frac{\left( V_{1}(x,y,u) u(x,y)\right)
_{C}-\left( V_{1}(x,y,u) u(x,y)\right) _{W}}{h}
\]

\[
+\rho _{2} \dis\frac{\left( V_{2}(x,y,u) u(x,y)\right) _{C}-\left(
V_{2}(x,y,u) u(x,y)\right) _{S}}{k}+
\]

\[
+(1-\rho _{2}) \dis\frac{\left( V_{2}(x,y,u) u(x,y)\right)
_{N}-\left( V_{2}(x,y,u) u(x,y)\right) _{C}}{k}+
\]

\[
+q(x_{C},y_{C},u_{C})=f(x_{C},y_{C},u_{C})
\]
en donde volviendo a aproximar las derivadas primeras que quedan
en el t\'{e}rmino convectivo mediante f\'{o}rmulas descentradas,
se obtiene:
\[
-\dis\frac{D_{W}^{(1)}(u_{W})
\dis\frac{u_{C}-u_{W}}{h}-D_{E}^{(1)}(u_{E})
\dis\frac{u_{E}-u_{C}}{h}}{2 h}\]

\[-\dis\frac{D_{N}^{(2)}(u_{N}) \dis\frac{%
u_{N}-u_{C}}{k}-D_{S}^{(2)}(u_{S}) \dis\frac{u_{C}-u_{S}}{k}}{2
k}+
\]

\[
+\rho _{1} \dis\frac{V_{C}^{(1)}(u_{C}) u_{C}-V_{W}^{(1)}(u_{W})
u_{W}}{h}+(1-\rho _{1}) \dis\frac{V_{E}^{(1)}(u_{E})
u_{E}-V_{C}^{(1)}(u_{C}) u_{C}}{h}+
\]

\[
+\rho _{2} \dis\frac{V_{C}^{(2)}(u_{C}) u_{C}-V_{S}^{(2)}(u_{S})
u_{S}}{k}+(1-\rho _{2}) \dis\frac{V_{N}^{(2)}(u_{N})
u_{N}-V_{C}^{(2)}(u_{C}) u_{C}}{k}+
\]

\[
+q_{C}(u_{C}) u_{C}=f_{C}(u_{C})
\]

En la expresi\'{o}n anterior el super\'{\i}ndice de los
coeficientes indica la componente que se considera, el
sub\'{\i}ndice el punto $(x,y)$ en el que se eval\'{u}a y se ha
dejado expl\'{\i}cita la dependencia respecto al propio valor
nodal $(u_{C},$ $u_{S},$ $u_{W},$ $u_{E}$ o $u_{N})$ de los
citados coeficientes. La expresi\'{o}n obtenida en cada nodo puede
escribirse entonces de forma resumida como:
\[
a_{C,S}(u_{S}) u_{S}+a_{C,W}(u_{W})
u_{W}+a_{C,C}(u_{S},u_{W},u_{C},u_{E},u_{N}) u_{C}+\]

\[a_{C,E}(u_{E}) u_{E}+a_{C,N}(u_{N}) u_{N}=f_{C}(u_{C})
\]
donde los coeficientes de la ecuaci\'{o}n dependen de los propios
valores nodales que se tratan de resolver. En resumen, es una
ecuaci\'{o}n no lineal.

La consideraci\'{o}n de todas las ecuaciones algebraicas
planteadas en los distintos nodos del mallado nos conduce de esta
forma a un sistema de tantas ecuaciones e inc\'{o}gnitas como
nodos haya en el mallado que podr\'{a} escribirse de la forma:
\[
\left[ \mathbf{A}(\{\mathbf{u}\}\right]  \{\mathbf{u}\}=\{\mathbf{b}(\{%
\mathbf{u}\})\}
\]

Este es un sistema no lineal que deber\'{a} tratarse seg\'{u}n las
t\'{e}cnicas analizadas en el primer cap\'{\i}tulo del libro.

6${{}^o}$) En algunos casos el tratamiento de dominios no
rectangulares puede realizarse, de forma m\'{a}s c\'{o}moda que la
relatada para el caso general, realizando un cambio de
coordenadas.\ Es el caso, por ejemplo de trabajar sobre dominios
circulares o el\'{\i}pticos en los que un cambio a coordenadas
polares o el\'{\i}pticas puede simplificar el tratamiento
num\'{e}rico de los problemas y mejorar la eficiacia de los
esquemas utilizados. Puede consultarse, por ejemplo, Morton y
Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994) Numerical
solutioon of Partial Differential Equations. Ed. Cambridge
University Press.} o Smith\footnote{G.D.\ Smith (1.985) Numerical
Solution of partial Differential Equations. Finite Difference
Methods. (3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$ reimpresi\'{o}n
(1996)). Ed. Clarendon Press.} para un estudio detallado de esta
forma de proceder.

\section{Generalidades sobre el tratamiento de problemas evolutivos.}

Siendo $u(x,y,t)$ una funci\'{o}n definida en $\overline{\Omega
}\times [0,T]=\{\Omega \cup \partial \Omega \}\times [0,T]$
consideremos el problema evolutivo siguiente:

\[
\left\{
\begin{array}{ll}
\dis\frac{\partial \left(  u\right) }{\partial t}-\nabla \bullet
\left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla u\right) +\nabla \bullet
\left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}u\right) +qu=f & (x,y)\in \Omega ,t\in (0,T) \\
u(x,y,t)=u_{D}(x,y,t) & (x,y)\in \partial \Omega ,t\in (0,T) \\
u(x,y,0)=u^{(0)}(x,y) & (x,y)\in \overline{\Omega }
\end{array}
\right\} \] cuya EDP escribiremos en forma abreviada como:
\begin{equation} \label{3.1}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}=L(u)
\end{equation}
donde hemos denotado por:
\begin{equation} \label{3.2}
L(u)=f+\nabla \bullet \left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla
u\right) -\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}u\right) -qu.
\end{equation}

El tratamiento num\'{e}rico mediante diferencias finitas de este
tipo de pro\-ble\-mas se fundamenta en dos pasos: en primer lugar
se procede a realizar una \textbf{discretizaci\'{o}n temporal }del
problema (\ref{3.1}) como si de un problema de valor inicial se
tratase, es decir por alguna de las t\'{e}cnicas descritas en el
cap\'{\i}tulo referente a la resoluci\'on de problemas de valor
inicial, y tras ello se realiza una \textbf{discretizaci\'{o}n
espacial} aproximando el operador diferencial (en derivadas
espaciales) $L(u)$ dado por (\ref{3.2}) mediante un esquema en
diferencias finitas como los esquemas planteados en el apartado
anterior (u otros similares).

Por ilustrar lo que se acaba de decir podr\'{\i}an considerarse
diferentes instantes de c\'{a}lculo:
\[
0=t^{0}<t^{1}<....<t^{n}<....<t^{N}=T
\]
que por simplicidad supondremos inicialmente que son equidistantes
y designaremos por $\Delta t=t^{n}-t^{n-1}$ \ $(n=1,2,....,N),$ y
proceder a discretizar (\ref{3.1}) mediante un $\theta $ -esquema
como sigue:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}=L(u)\rightarrow \dis\frac{u^{n+1}(x,y)-u^{n}(x,y)}{%
\Delta t}=(1-\theta ) L(u^{n}(x,y))+\theta  L(u^{n+1}(x,y))
\]
donde hemos denotado por $u^{n}(x,y)$ a una aproximaci\'{o}n de la
funci\'{o}n (de\-pen\-dien\-te s\'{o}lo de las coordenadas espaciales) $%
u(x,y,t^{n}).$ La expresi\'{o}n anterior puede reescribirse como:
\[
u^{n+1}(x,y)-\theta  \Delta t L(u^{n+1}(x,y))=u^{n}+(1- \theta )
 \Delta t L(u^{n}(x,y))
\]
o, teniendo en cuenta c\'{o}mo era la expresi\'{o}n del operador
$L(u)$:
\[
u^{n+1}(x,y)-\theta  \Delta t \left( \nabla \bullet \left( \left[
\mathbf{D}\right] \nabla u^{n+1}\right) -\nabla \bullet \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}u^{n+1}\right) -qu^{n}\right) =
\]

\[
=u^{n}+ (1- \theta ) \Delta t \left( f(x,y,t^{n})+\nabla \bullet
\left( \left[ \mathbf{D}\right] \nabla u^{n}\right)
 -\nabla
\bullet \left( \overrightarrow{\mathbf{V}}u^{n}\right)
-qu^{n}\right) \] \[+\theta  \Delta t f(x,y,t^{n+1})
\]

En ella ya s\'{o}lo intervienen derivadas espaciales que
podr\'{a}n aproximarse como se acaba de detallar para los
problemas estacionarios, y
que nos conducir\'{a}n a partir del conocimiento de los valores nodales $%
u_{i,j}^{n}$ (aproximaci\'{o}n de $u(x_{i},y_{j},t^{n})$) a los valores de $%
u_{i,j}^{n+1}$ (aproximaci\'{o}n de $u(x_{i},y_{j},t^{n+1})$). La
idea, por tanto, puede resumirse en estimar los valores
$u_{i,j}^{0}$ que aproximen en los nodos a $u^{0}(x_{i},y_{j})$ y
a partir de ellos, mediante la estrategia anterior determinar
$u_{i,j}^{1},$ y de estos $u_{i,j}^{2},$ etc... hasta obtener
$u_{i,j}^{N}.$

Siendo esta la sencilla idea en la que se sustentan los esquemas
num\'{e}ricos en diferencias finitas para la resoluci\'{o}n
aproximada de problemas evolutivos como el antes planteado,
aparecen numerosas cuestiones que ser\'{a} necesario analizar con
detalle tales como \textquestiondown qu\'{e} esquemas conviene
emplear tanto para la discretizaci\'{o}n temporal como para la
espacial?, \textquestiondown qu\'{e} relaciones debe haber entre
el tama\~{n}o de paso temporal y los tama\~{n}os de
discretizaci\'{o}n espacial para garantizar una buena
convergencia?, \textquestiondown qu\'{e} esfuerzo computacional
conllevan las diferentes estrategias que puedan emplearse?, etc...
A estas cuestiones y a presentar algunos de los esquemas en
diferencias finitas m\'{a}s cl\'{a}sicos, dedicaremos los
siguientes apartados. Por simplicidad y por cuestiones de tiempo
disponible, realizaremos este estudio sobre casos en los que el
dominio espacial sea unidimensional. En la bibliograf\'{\i}a
podr\'{a}s encontrar referencias en las que dichos esquemas se
extienden a $2$ y $3$ dimensiones espaciales.

Adem\'{a}s, por su distinta naturaleza, trataremos separadamente
los t\'{e}rminos difusivos (propios de los problemas denominados
parab\'{o}licos) de los t\'{e}rminos convectivos (propios de los
problemas denominados hiperb\'{o}licos de primer orden). El
tratamiento de la ecuaci\'{o}n de transporte completa incluyendo
ambos t\'{e}rminos podr\'{a} realizarse a partir de cuanto digamos
para cada uno de ellos.

\section{Esquemas centrados para la ecuaci\'{o}n de difusi\'{o}n evolutiva
en una dimensi\'{o}n espacial.}

\subsection{Algunos esquemas expl\'{i}citos e impl\'{i}citos.}

Consideremos el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{llll}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) & =D \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial x^{2}}(x,t) & 0<x<L & t>0 \\ [0.2cm] u(0,t) &
=u_{I}(t)\;\;t>0, & u(L,t) & =u_{D}(t)\;\;\;t>0 \\ [0.2cm] u(x,0)
& =u^{0}(x) & 0\leq x\leq L &
\end{array}
\right.
\]
donde supondremos que $D$ es una constante, que $u(x,t)$ es
suficientemente regular y que, para evitar problemas de
discontinuidades, $u_{I}(0)=u^{0}(0)$ y $u_{D}(0)=u^{0}(L).$

Consideremos adem\'{a}s un conjunto de valores de $t$ de la forma
\[
t^{n}=n \Delta t\;\;\;\;\;\;(n=0,1,2,........)
\]
y dividamos el intervalo $[0,L]$ en $N$ subintervalos de la forma $%
[x_{i},x_{i+1}]$ $(i=1,2,...,N)$ donde:
\[
\Delta x=\dis\frac{L}{N}\;\;\;\;\;\text{y }\;\;\;\;x_{i}=(i-1)
\Delta x\;\;\;\;\;(i=1,2,...,N)
\]

Denotaremos por $U_{i}^{n}=u(x_{i},t^{n})$ y por $u_{i}^{n}$ a una
aproximaci\'{o}n del valor $u(x_{i},t^{n})$ obtenida me\-dian\-te
alguno de los esquemas en diferencias finitas que a
continuaci\'{o}n plantearemos. Obs\'{e}rvese que con esta
notaci\'{o}n los valores $u_{i}^{0}\approx
u(x_{i},0)=u^{0}(x_{i})$ ser\'{a}n conocidos a trav\'{e}s de la
condici\'{o}n inicial del problema formulado anteriormente.
Asimismo ser\'{a}n conocidos, a trav\'{e}s en este caso de las
condiciones de contorno, los valores $u_{1}^{n}\approx
u_{I}(t^{n})$ y $u_{N+1}^{n}\approx u_{D}(t^{n}).$

Planteemos un primer esquema expl\'{i}cito en diferencias finitas
para obtener las aproximaciones $u_{i}^{n}$ de la soluci\'{o}n de
nuestro problema. Para ello, de forma similar a como hac\'{\i}amos
en el cap\'{\i}tulo anterior con el m\'etodo de Euler, puede aproximarse en el punto $%
x_{i} $ y en un instante $t^{*}\in \left[ t^{n},t^{n+1}\right] $
la derivada temporal mediante:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x_{i},t^{*})\approx \dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}%
}{\Delta t}
\]

Con ello nuestra EDP puede aproximarse (semidiscretizada en
tiempo) en el punto $x_{i}$ y en un instante de tiempo $t^{*}\in
\left[ t^{n},t^{n+1}\right] $ por:

\[
\dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}\approx D \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{*})
\]

Seg\'{u}n se escoja el instante $t^{*}$ obtendremos un esquema
expl\'{i}cito (si $t^{*}=t^{n},$ pues en ese caso la soluci\'{o}n
$u_{i}^{n+1}$ se
har\'{a} depender de la soluci\'{o}n, previamente calculada, en el instante $%
t^{n}$) o impl\'{\i}cito (con cualquier otra elecci\'{o}n de
$t^{*}$). Comencemos considerando por simplicidad el caso
expl\'{\i}cito y ya nos ocuparemos de los esquemas impl\'{i}citos
un poco m\'{a}s adelante. En esta situaci\'{o}n la ecuaci\'{o}n
anterior se reescribe como:
\[
\dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}\approx D \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})
\]
y puede aproximarse la derivada espacial segunda mediante un
esquema centrado resultando en este caso que:
\[
\dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}=D
\dis\frac{u_{i-1}^{n}-2 u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{(\Delta
x)^{2}}\Rightarrow
\]
\begin{equation}\label{4.1}
\Rightarrow u_{i}^{n+1}=D \alpha  u_{i-1}^{n}+(1-2 D \alpha )
u_{i}^{n}+D \alpha u_{i+1}^{n}\end{equation} donde se ha llamado
$\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}.$ Habida cuenta de
que las aproximaciones iniciales se conocen y que las soluciones
en el contorno tambi\'{e}n son conocidas, puede plantearse el
siguiente esquema de c\'alculo expl\'{\i}cito:

\emph{COMIENZO\ DEL\ ALGORITMO}

\emph{Definir el mallado concretando el valor de }$\Delta t$\emph{\ y de }$%
\Delta x$\emph{\ y de }$\{x_{i}\}_{i=1}^{N+1}$. \emph{Definir el
valor de }$D$.

\emph{\ }$\alpha \leftarrow \Delta t/(\Delta x)^{2}$

\emph{Evaluar }$u_{i}^{0}\dashleftarrow
u^{0}(x_{i})\;\;\;\;(i=1,...,N+1)$

\emph{Para }$n=0,1,2,......$ \emph{Conocidos los valores
}$\{u_{i}^{n}\}_{i=1}^{N+1}$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para }$i=2$\emph{\ hasta }$i=N$\emph{\ con paso }%
$1$\emph{\ hacer:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$u_{j}^{n+1}\leftarrow
u_{i}^{n}+D \alpha  (u_{i-1}^{n}-2 u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n})$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Fin bucle en }$i.$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$u_{1}^{n+1}\leftarrow
u_{I}(t^{n+1})$, $u_{N+1}^{n+1}\leftarrow u_{D}(t^{n+1})$

\emph{Fin bucle en }$n.$

\emph{Escritura de resultados}

\emph{FIN\ ALGORITMO.}

Obs\'{e}rvese que el c\'{a}lculo del vector $\{\mathbf{u}^{n+1}\}$
conteniendo los valores nodales aproximados en el instante
$t^{n+1}$ puede expresarse en la forma:
$$
\{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{A}].\{\mathbf{u}^{n}\}+\{\mathbf{b}^{n}\}
$$
donde $[\mathbf{A}]$ es una matriz de la forma: \begin{tiny}
\[
\left[ \mathbf{A}\right] =\left[
\begin{array}{lllllllll}
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
D \alpha & (-2 D \alpha ) & D \alpha & 0 & ... & 0 & 0 &
0 & 0 \\
0 & D \alpha & (-2 D \alpha ) & D \alpha & ... & 0 & 0 &
0 & 0 \\
0 & 0 & D \alpha & (-2 D \alpha ) & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & D \alpha & (-2 D \alpha ) & D
\alpha \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
\end{tiny}
y
\[
\{\mathbf{b}^{n}\}=\left\{
u_{I}(t^{n+1}),\;\;0\;\;,0,\;\;................,\;0,\;u_{D}(t^{n+1})\right\}
^{T}
\]

\[
\{\mathbf{u}^{n}\}=\left\{
u_{1}^{n},u_{2}^{n},u_{3}^{n},................,u_{N}^{n},\;u_{N+1}^{n}\right%
\} ^{T}
\]

Apliquemos este esquema a un ejemplo concreto tomado de Morton y
Ma\-yers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994) Numerical
solution of Partial Differential Equations. Ed. Cambridge
University Press.}. Sea el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{llll}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) & =\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x,t) & 0<x<1 & t>0 \\ [0.2cm] u(0,t) & =0\;\;t>0, & u(L,t) &
=0\;\;\;t>0 \\ [0.2cm] u(x,0) & =u^{0}(x) & 0\leq x\leq 1 &
\end{array}
\right.
\]
donde
\[
u^{0}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
2 x & si\;\;x\leq 0.5 \\
2 (1-x) & si\;\;x>0.5
\end{array}
\right\}
\]

Consideremos una discretizaci\'{o}n espacial de tama\~{n}o de paso
$0.05$ y apliquemos el esquema anterior con paso temporal $\Delta
t=0.0012.$ Los resultados que se van obteniendo tras diferentes
pasos de tiempo se recogen en las figuras siguientes (donde en
trazo continuo se representa la soluci\'{o}n exacta y con puntos
la soluci\'{o}n aproximada obtenida):
\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig618.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig619.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig620.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig621.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig622.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


Como vemos se aprecia una buena concordancia entre la soluci\'{o}n
aproximada y soluci\'{o}n anal\'{i}tica. N\'{o}tese que en este
caso $\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}$ $=$ $0.48.$

Incrementemos el paso temporal a $\Delta t=0.0013$ (con lo que $\alpha =%
\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}=0.52)$ y representemos las
soluciones (v\'eanse las figuras de la p\'agina siguiente).


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig623.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig624.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig625.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig626.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


Bast\'{o} un peque\~{n}o incremento en el paso de tiempo para que
el esquema se volviese inestable. Puede pensarse
(err\'{o}neamente) que el motivo de ello se debe simplemente a
estar utilizando una discretizaci\'{o}n m\'{a}s grosera que en el
caso anterior.

En efecto, repitamos el proceso manteniendo el paso de
discretizaci\'{o}n temporal del primer caso, es decir trabajando
con $\Delta t=0.0012$ y con una discretizaci\'{o}n m\'{a}s fina
espacialmente, con $\Delta x=0.04.$ A priori podr\'{\i}a pensarse
que los resultados obtenidos deber\'{\i}an ser tan ``buenos'' al
menos como los obtenidos en el primer caso. Y sin embargo las
gr\'{a}ficas que se obtienen son las siguientes:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig627.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig628.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig629.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig630.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}


Todav\'{\i}a peor que en el segundo caso (observa que las
soluciones mostradas han sido calculadas en un n\'{u}mero de pasos
temporales menor que en el segundo caso). Y esto parece un
contrasentido: \textexclamdown discretizamos m\'{a}s fino y el
esquema funciona peor!. Pero tiene su explicaci\'{o}n como m\'{a}s
adelante demostraremos. De hecho, como luego justificaremos, la
estabilidad de este esquema no est\'{a} gobernada por el
tama\~{n}o de paso de discretizaci\'{o}n sino por la relaci\'{o}n
$\alpha =\Delta t/(\Delta x)^{2}$ de tal forma que para $\alpha
>1/2$ el esquema se
hace inestable. Y en este tercer caso $\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}%
}=0.75.$ En otros t\'{e}rminos, el \textbf{refinar la
discretizaci\'{o}n disminuyendo }$\Delta t$\textbf{\ e }$\Delta
x$\textbf{\ mejora la soluci\'{o}n siempre y cuando se verifique
que }$\alpha =\Delta t/(\Delta x)^{2}\leq 0.5.$

Una alternativa a lo anterior consiste en buscar un m\'{e}todo de
discretizaci\'{o}n temporal un poco m\'{a}s sofisiticado que el
m\'{e}todo
de Euler expl\'{i}cito. Por e\-jem\-plo, podr\'{\i}a pensarse en un $\theta $%
-esquema. Ello nos conducir\'{\i}a a la siguiente ecuaci\'{o}n
discretizada temporalmente:
\[
\dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}\approx \theta  D \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1})
+(1-\theta ) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},t^{n})
\]
y aproximando la derivada espacial segunda mediante un esquema
centrado resulta en este caso que:
\[
\dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}=(1-\theta ) D \dis\frac{%
u_{i-1}^{n}-2 u_{i}^{n}+u_{i+1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}\] \[+\theta
D \dis\frac{u_{i-1}^{n+1}-2 u_{i}^{n+1}+u_{i+1}^{n+1}}{(\Delta x)^{2}}%
\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow -\theta  D \alpha  u_{i-1}^{n+1}+(1+2 \theta D \alpha
) u_{i}^{n+1}-\theta  D \alpha  u_{i+1}^{n+1}=
\]
\[
(1-\theta ) D \alpha  u_{i-1}^{n}+(1-2 (1-\theta ) D \alpha )
u_{i}^{n} +(1-\theta ) D \alpha u_{i+1}^{n},
\]
donde nuevamente se ha designado por $\alpha =\Delta t/(\Delta
x^{2}).$ Obs\'{e}rvese que en este caso la expresi\'{o}n anterior
por s\'{\i} sola no nos permite obtener una aproximaci\'{o}n del
valor de $u_{i}^{n+1}$ a partir de los valores de $u_{j}^{n}$
$(j=1,....,$ $N+1).$ Ser\'{a} el conjunto de todas las ecuaciones
que se puedan plantear sobre los distintos nodos del mallado las
que formen un sistema de ecuaciones que, una vez resuelto, nos
proporcione los valores nodales de la soluci\'{o}n en el instante
$t^{n+1.}$ M\'{a}s concretamente, reescribamos la ecuaci\'{o}n en
la forma:
\[
a_{i,i-1} u_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} u_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
u_{i+1}^{n+1}\] \[=b_{i,i-1} u_{i-1}^{n}+b_{i,i}
u_{i}^{n}+b_{i,i+1} u_{i+1}^{n}
\]
donde
\[
a_{i,i-1}=a_{i,i+1}=-\theta  D \alpha ,\;\;\;a_{i,i}=(1+2 \theta
 D \alpha )
\]
\[
b_{i,i-1}=b_{i,i+1}=(1-\theta ) D \alpha ,\;\;\;\;b_{i,i}=(1-2
(1-\theta ) D \alpha )
\]

Con ello el conjunto de ecuaciones que pueden plantearse
(incluyendo como primera ecuaci\'{o}n la que da valor a
$u_{1}^{n+1}$ mediante la condici\'{o}n de contorno en $x=0$ y
como \'{u}ltima la que da valor a $u_{N+1}^{n+1}$ a trav\'{e}s de
la condici\'{o}n de contorno en $x=L$) forma el sistema:
\[
\lbrack \mathbf{A}] \{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{B}]\{\mathbf{u}%
^{n}\}+\{\mathbf{c}^{n}\}
\]
donde $[\mathbf{A}]$ es una matriz de la forma:
\[
\left[ \mathbf{A}\right] =\left[
\begin{array}{lllllllll}
1 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{3,2} & a_{3,3} & a_{3,4} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{4,3} & a_{4,4} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{N,N-1} & a_{N,N} & a_{N,N+1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]
\]

\[
\left[ \mathbf{B}\right] =\left[
\begin{array}{lllllllll}
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & b_{3,2} & b_{3,3} & b_{3,4} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & b_{4,3} & b_{4,4} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & b_{N,N-1} & b_{N,N} & b_{N,N+1} \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
\right]
\]
y

\[
\{\mathbf{c}^{n}\}=\{u_{I}(t^{n+1}),\;\;0\;\;,0,\;\;................,\;0,%
\;u_{D}(t^{n+1})\}^{T}
\]

\[
\{\mathbf{u}^{n}\}=\left\{
u_{1}^{n},u_{2}^{n},u_{3}^{n},................,u_{N}^{n},\;u_{N+1}^{n}\right%
\} ^{T}
\]

La resoluci\'{o}n del sistema anterior nos proporcionar\'{a} los
valores nodales de la soluci\'{o}n en el instante $t^{n+1}.$

Obs\'{e}vese que una ligera manipulaci\'{o}n del sistema lineal
anteriormente escrito nos conduce a que:
\[
\lbrack \mathbf{A}] \{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{B}]\{\mathbf{u}%
^{n}\}+\{\mathbf{c}^{n}\}\Rightarrow \{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{A}%
]^{-1} [\mathbf{B}]\{\mathbf{u}^{n}\}+[\mathbf{A}]^{-1} \{\mathbf{%
c}^{n}\}\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{M}]\{\mathbf{u}^{n}\}+\{\mathbf{r}%
^{n}\}
\]

Seg\'{u}n lo anterior un algoritmo que nos permite resolver
problemas difusivos como el antes planteado mediante este
m\'{e}todo consistir\'{\i}a en:

\emph{COMIENZO\ DEL\ ALGORITMO}

\emph{Definir el mallado concretando el valor de }$\Delta t$\emph{\ y de }$%
\Delta x$\emph{\ y de }$\{x_{i}\}_{i=1}^{N+1}$

\emph{Definir el valor de }$D$ \emph{y del par\'{a}metro} $\theta
.$

\emph{\ }$\alpha \leftarrow \Delta t/(\Delta x)^{2}$

\emph{Evaluar }$u_{i}^{0}\dashleftarrow
u^{0}(x_{i})\;\;\;\;(i=1,...,N+1)$

\emph{Asignar: }
\[
\lbrack \mathbf{A}]\leftarrow [\mathbf{0}],\;\;\;\;[\mathbf{B}]\leftarrow [%
\mathbf{0}]
\]

\emph{Para }$i=2$\emph{\ hasta }$i=N,$\emph{\ con paso }$1$\emph{\
hacer:}

\[
A(i,i-1)\leftarrow -\theta  D \alpha ,\;A(i,i)\leftarrow (1+2
\theta  D \alpha ),\;A(i,i+1)\leftarrow -\theta  D \alpha
\]
\[
B(i,i-1)\leftarrow (1-\theta ) D \alpha ,\;B(i,i)\leftarrow (1-2
(1-\theta ) D \alpha ),\;B(i,i+1)\leftarrow (1-\theta ) D \alpha
\]

\emph{Fin bucle en }$i.$\newline

$A(1,1)\leftarrow 1,\;\;\;\;A(N+1,N+1)\leftarrow 1$

\emph{Para }$n=0,1,2,......$

\emph{\ \ \ \ \ Conocidos los valores
}$\{u_{i}^{n}\}_{i=1}^{N+1}$\emph{\ }

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para }$i=2$\emph{\ hasta }$i=N$\emph{\ con paso }%
$1$\emph{\ hacer:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$r_{i}\leftarrow
B(i,i-1) u_{i-1}^{n}+B(i,i) u_{i}^{n}+B(i,i+1) u_{i+1}^{n}$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Fin bucle en }$i.$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$r_{1}\leftarrow u_{I}(t^{n+1})$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$r_{N+1}\leftarrow u_{D}(t^{n+1})$

\ \ \ \ \ \ \ \emph{Resolver el sistema lineal} $[\mathbf{A}] \{\mathbf{%
u}^{n+1}\}=\{\mathbf{r}\}$

\emph{Fin bucle en }$n.$

\emph{Escritura de resultados}

\emph{FIN\ ALGORITMO.}

El comportamiento de estos esquemas depender\'{a} del valor que
asignemos al par\'{a}metro $\theta .$ Te dejamos como ejercicio
propuesto el construir un procedimiento en MAPLE (o en cualquier
lenguaje de programaci\'{o}n que prefieras) y analizar
experimentalmente el comportamiento de estos esquemas. Nosotros lo
aplicaremos un poco m\'{a}s adelante a la resoluci\'{o}n de
alg\'{u}n ejemplo. Pero previamente realicemos un an\'{a}lisis de
estos m\'{e}todos para conocer con qu\'{e} valores de los
par\'{a}metros nos interesar\'{a} ``jugar''. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\emph{Obs\'{e}rvese que el esquema expl\'{\i}cito inicialmente
planteado es un caso particular de los $\theta $ -esquemas que
acabamos de considerar en el que a $\theta $ se le asigna el valor
$\theta =0.$}

\subsection{Consistencia de los esquemas.}

Obviamente los valores nodales de la soluci\'{o}n aproximada que
se encuentren en un instante de tiempo satisfacer\'{a}n la
expresi\'{o}n mediante la cual han sido evaluados, es decir,
utilizando la notaci\'{o}n introducida en el apartado anterior:
\[
a_{i,i-1} u_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} u_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
u_{i+1}^{n+1}=b_{i,i-1} u_{i-1}^{n}+b_{i,i} u_{i}^{n}+b_{i,i+1}
u_{i+1}^{n}
\]
o lo que es lo mismo:
\[
a_{i,i-1} u_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} u_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
u_{i+1}^{n+1}-\left( b_{i,i-1} u_{i-1}^{n}+b_{i,i}
u_{i}^{n}+b_{i,i+1} u_{i+1}^{n}\right) =0
\]

Pero la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica (exacta) no tiene por qu\'{e}
satisfacer en cada nodo $x_{i}$ e instante de c\'{a}lculo $t^{n}$
la igualdad anterior. En general para la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica se verificar\'{a} que:
\[
E_{i}^{n+1}=a_{i,i-1} U_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} U_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
U_{i+1}^{n+1}-\left( b_{i,i-1} U_{i-1}^{n}+b_{i,i}
U_{i}^{n}+b_{i,i+1} U_{i+1}^{n}\right)
\]
donde como ya se se\~{n}al\'{o} anteriormente se ha denotado por $%
U_{i}^{n}=u(x_{i},t^{n}).$

Ello, de forma an\'{a}loga a lo que se dijo para los problemas
estacionarios, nos permite introducir un primer concepto sobre los
errores del m\'{e}todo en diferencias:

\begin{definition} Se denomina \textbf{error de consistencia} del esquema en el instante $%
t^{n+1}$ y en el nodo $x_{i}$ al valor $E_{i}^{n+1}$ dado por:
\[
E_{i}^{n+1}=a_{i,i-1} U_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} U_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
U_{i+1}^{n+1}-\left( b_{i,i-1} U_{i-1}^{n}+b_{i,i}
U_{i}^{n}+b_{i,i+1} U_{i+1}^{n}\right).
\]\end{definition}


En este sentido, adem\'{a}s, se dir\'{a} que un m\'{e}todo es \textbf{%
consistente} cuando, al hacer tender $\Delta t$ e $\Delta x$ hacia
cero los errores de consistencia tambi\'{e}n tiendan hacia $0.$
\es

El an\'{a}lisis de la consistencia de un m\'{e}todo num\'{e}rico
en diferencias finitas suele realizarse me\-dian\-te el uso de
desarrollos en serie
de Taylor, de tal forma que el orden al que aparecen elevados $\Delta t$ e $%
\Delta x$ en el error de truncamiento de los desarrollos nos marca
lo que se denomina el \textbf{orden de consistencia} (local) del
m\'{e}todo. Examinemos sobre los $\theta $ -m\'{e}todos antes
planteados el orden de consistencia. Para ello, puesto que el
esquema se plantea en el intervalo temporal $[t^{n},t^{n+1}]$ debe
elegirse un isntante en torno al cual desarrollar las funciones en
serie de Taylor. El resultado final ser\'{a} el mismo sea cual sea
el instante elegido pero la laboriosidad de los c\'{a}lculos a
realizar puede verse determinada por la elecci\'{o}n que hagamos.
En el caso de los $\theta $-m\'{e}todos es c\'{o}modo tomar como
tal instante el instante medio que denotaremos como $%
t^{n+1/2}=(t^{n}+t^{n+1})/2. $ Con esta elecci\'{o}n pueden
considerarse los siguientes desarrollos en serie de Taylor:
\[
U_{i}^{n+1}=U_{i}^{n+1/2}+\dis\frac{1}{2} \Delta t \dis\frac{\partial u}{%
\partial t}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{1}{8} (\Delta t)^{2} \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+
\]

\[
+\dis\frac{1}{48} (\Delta t)^{3} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+...
\]

\[
U_{i}^{n}=U_{i}^{n+1/2}-\dis\frac{1}{2} \Delta t \dis\frac{\partial u}{%
\partial t}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{1}{8} (\Delta t)^{2} \dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})-
\]

\[
-\dis\frac{1}{48} (\Delta t)^{3} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+...
\]
de donde

\[
\dis\frac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}=\dis\frac{\partial u}{\partial t}%
(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{1}{24} (\Delta t)^{2} \dis\frac{\partial ^{3}u%
}{\partial t^{3}}(x_{i},t^{n+1/2})+...
\]

An\'{a}logamente:

\[
\dis\frac{U_{i}^{n+1}-2 U_{i}^{n+1}+U_{i+1}^{n+1}}{\Delta x^{2}}=\dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1})+\dis\frac{1}{12} (\Delta
x)^{2} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1})+
\]

\[
+\dis\frac{1}{360} (\Delta x)^{4} \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial t^{6}}%
(x_{i},t^{n+1})+...=
\]

\[
=\left( \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{\Delta t%
}{2} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+%
\dis\frac{\left( \Delta t\right) ^{2}}{8} \dis\frac{\partial
^{4}u}{\partial t^{2}\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+...\right) +
\]

\[
\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12} \left( \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{\Delta t}{2} \dis\frac{\partial
^{5}u}{\partial t\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{\left(
\Delta t\right) ^{2}}{8}
\dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial t^{2}\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+...%
\right) +
\]

\[
\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360} \left( \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial x^{6}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{\Delta t}{2} \dis\frac{\partial
^{7}u}{\partial t\partial x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{\left(
\Delta t\right) ^{2}}{8}
\dis\frac{\partial ^{8}u}{\partial t^{2}\partial x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+...%
\right) +...
\]

\[
=\left[ \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta
x)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+%
\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360} \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial x^{6}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+...\right] +
\]
\[
\dis\frac{\Delta t}{2} \left[ \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial
t\partial
x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{5}u}{%
\partial t\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360}
\dis\frac{\partial ^{7}u}{\partial t\partial
x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+...\right] +
\]

\[
+\dis\frac{\left( \Delta t\right) ^{2}}{8} \left[ \dis\frac{\partial ^{4}u}{%
\partial t^{2}\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12}%
 \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial t^{2}\partial
 x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})\right]+\]

\[\dis\frac{\left( \Delta t\right) ^{2}}{8} \left[ \dis\frac{(\Delta
x)^{4}}{360} \dis\frac{\partial ^{8}u}{\partial t^{2}\partial
x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+...\right] +...
\]

Y del mismo modo:
\[
\dis\frac{U_{i}^{n}-2 U_{i}^{n}+U_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}=\]


\[
\left[\dis\frac{%
\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12}%
 \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+
\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360} \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial
x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+...\right]
\]

\[
-\dis\frac{\Delta t}{2} \left[ \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial
t\partial
x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{5}u}{%
\partial t\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360}
\dis\frac{\partial ^{7}u}{\partial t\partial
x^{6}}(x_{i},t^{n+1/2})+...\right] +
\]

\[
\dis\frac{\left( \Delta t\right) ^{2}}{8} \left[ \dis\frac{\partial ^{4}u}{%
\partial t^{2}\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+\frac{1}{2}})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12}%
 \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial t^{2}\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+\frac{1}{2}})+%
\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360} \dis\frac{\partial ^{8}u}{\partial
t^{2}\partial x^{6}}(x_{i},t^{n+\frac{1}{2}})+...\right.
\]

Por tanto,
\[
(1-\theta ) \dis\frac{U_{i}^{n}-2 U_{i}^{n}+U_{i+1}^{n}}{\Delta x^{2}}%
+\theta  \dis\frac{U_{i}^{n+1}-2 U_{i}^{n+1}+U_{i+1}^{n+1}}{\Delta
x^{2}}=
\]
\[
=\left[ \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial
x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta
x)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+%
\dis\frac{(\Delta x)^{4}}{360} \dis\frac{\partial ^{6}u}{\partial x^{6}}%
(x_{i},t^{n+1/2})+...\right] +
\]

\[
+\left( \theta -\dis\frac{1}{2}\right)  \Delta t \left[
\dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial t\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{12}%
 \dis\frac{\partial ^{5}u}{\partial t\partial x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})+....%
\right] +
\]

\[
+\dis\frac{\left( \Delta t\right) ^{2}}{2} \left[ \dis\frac{\partial ^{4}u}{%
\partial t^{2}\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})+....\right]
\]

Finalmente, aplicando el $\theta $ -esquema a la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica se puede concluir que:
\[
E_{i}^{n+1}=\dis\frac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}-D \left[
(1-\theta ) \dis\frac{U_{i}^{n}-2 U_{i}^{n}+U_{i+1}^{n}}{\Delta
x^{2}}+\theta
 \dis\frac{U_{i}^{n+1}-2 U_{i}^{n+1}+U_{i+1}^{n+1}}{\Delta x^{2}}%
\right] =
\]
\[
=\left( \dis\frac{\partial u}{\partial t}(x_{i},t^{n+1/2})-D
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})\right)
+
\]

\[
\left( \left( \dis\frac{1}{2}-\theta \right)  \Delta t
\dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial t\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})-D \dis\frac{(\Delta x)^{2}%
}{12} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial
x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})\right) +
\]

\[
+\left( \dis\frac{(\Delta t)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}%
(x_{i},t^{n+1/2})-\dis\frac{D}{8} (\Delta t)^{2} \dis\frac{\partial ^{4}u}{%
\partial t^{2}\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})\right) +
\]

\[
+\left( \dis\frac{\Delta t (\Delta x)^{2}}{12} D \left( \dis\frac{1}{2%
}-\theta \right)  \dis\frac{\partial ^{5}u}{\partial t\partial x^{4}}%
(x_{i},t^{n+\frac{1}{2}})-\dis\frac{D}{360} (\Delta x)^{4} \dis\frac{\partial ^{6}u%
}{\partial x^{6}}(x_{i},t^{n+\frac{1}{2}})\right) +...
\]

De los t\'{e}rminos de este error de consistencia local, el
primero de ellos
es la propia ecuaci\'{o}n diferencial planteada en el punto $%
(x_{i},t^{n+1/2}).$ Y como $u(x,t)$ es la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica de ella este primer sumando se anular\'{a}. Es
decir, que el error de consistencia local del m\'{e}todo ser\'{a}:

Si $\theta \neq 1/2:$ \ \ \ $E_{i}^{n+1}=O(\Delta t,\Delta
x^{2}).$

Si $\theta =1/2:\;\;\;E_{i}^{n+1}=O(\Delta t^{2},\Delta x^{2}).$

Este segundo caso en el que $\theta =1/2,$ que presenta un mayor
orden del error de consistencia local en cuanto al paso temporal
se conoce, por analog\'{\i}a con el correspondiente m\'{e}todo
para la resoluci\'{o}n de problemas de valor inicial, con el
nombre de \textbf{m\'{e}todo de Crank-Nicolson}.

Obs\'{e}rvese tambi\'{e}n que, en el caso de que $\theta \neq
1/2,$ el t\'{e}rmino principal del error de consistencia est\'{a}
dado por:

\[
T_{i}^{n+1}=\left( \dis\frac{1}{2}-\theta \right)  \Delta t \dis\frac{%
\partial ^{3}u}{\partial t\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})-D \dis\frac{%
(\Delta x)^{2}}{12} \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial x^{4}}%
(x_{i},t^{n+1/2})
\]
de donde podremos escribir que:
\[
\dis\frac{1}{\left( \dis\frac{1}{2}-\theta \right)  \Delta t} T_{i}^{n+1}=%
\dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t\partial x^{2}}(x_{i},t^{n+1/2})-\dis\frac{1}{%
\left( \dis\frac{1}{2}-\theta \right)  12} \dis\frac{(\Delta x)^{2}}{%
\Delta t} D \dis\frac{\partial ^{4}u}{\partial
x^{4}}(x_{i},t^{n+1/2})
\]

Pero, suponiendo que $u(x,t)$ es suficientemente regular, de la
propia EDP puede inferirse, deriv\'{a}ndola una vez respecto al
tiempo, que:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)-D \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial x^{2}}(x,t)=0\Rightarrow \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial t^{2}}(x,t)-D \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial
t\partial x^{2}}(x,t)=0
\]
por lo que si
\[
\dis\frac{1}{\left( \dis\frac{1}{2}-\theta \right)  12}
\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{\Delta t}=1
\]
se tendr\'{a} que $T_{i}^{n+1}=0.$ La condici\'{o}n anterior puede
reescribirse como
\[
\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}=\dis\frac{1}{6 \left(
1-2 \theta \right) }
\]
y los razonamientos anteriores muestran que trabajar con esta
relaci\'{o}n entre los pasos de discretizaci\'{o}n espacial y
temporal aumenta el orden de consistencia del esquema. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obs\'{e}rvese que si }$\theta \geq 1/2$\textit{\ la
relaci\'{o}n anterior no puede satisfacerse pues tanto }$\Delta
t$\textit{\ como }$\Delta x$\textit{\ deben ser estrictamente
positivos.}

Los (un tanto tediosos) desarrollos anteriores ponen de manifiesto
que los esquemas planteados son consistentes. Pero no todo es la
consistencia ya que, en cada paso temporal, no partiremos de la
soluci\'{o}n anal\'{\i}tica en el instante $t^{n}$ sino de otra
previamente aproximada. En este sentido debe prestarse
atenci\'{o}n, al igual que con los m\'{e}todos para problemas de
valor inicial, a otro concepto importante: la estabilidad. De
\'{e}l pasamos a ocuparnos a continuaci\'{o}n.

\subsection{An\'{a}lisis de la estabilidad de los esquemas.}

El concepto de estabilidad de un esquema num\'{e}rico nos permite
analizar c\'{o}mo, peque\~{n}os errores iniciales, se transmiten
en las sucesivas etapas del c\'{a}lculo de la soluci\'{o}n
aproximada. En este sentido, en numerosas ocasiones los valores
$u_{i}^{0}$ ($i=1,...,N+1$) con los que se inicializa el proceso
no ser\'{a}n exactamente $u^{0}(x_{i})$ pues los errores de
redondeo, inherentes al hecho de no poder manipular infinitos
decimales cuando se trabaja en aritm\'{e}tica decimal finita,
ser\'{a}n responsables de peque\~{n}os errores iniciales. Incluso
cuando esto no sea as\'{\i}, en la primera etapa de c\'{a}lculo ya
se introducir\'{a} una diferencia entre los valores exactos de la
soluci\'{o}n y los valores num\'{e}ricos obtenidos (debido tanto a
la aproximaci\'{o}n de los operadores diferenciales por
f\'{o}rmulas en di\-fe\-ren\-cias finitas como, nuevamente, a los
errores de redondeo provocados por la representaci\'{o}n con un
n\'{u}mero de decimales finitos de los resultados de nuestras
operaciones aritm\'{e}ticas).

En resumen, el concepto de estabilidad estima c\'{o}mo ser\'{a}n
las
diferencias entre los valores obtenidos partiendo de los valores iniciales $%
\{u_{1}^{0},$ $u_{2}^{0},.....,$
$u_{N+1}^{0}\}^{T}=\{\mathbf{u}^{0}\}$ y
los que se obtendr\'{i}an si se hubiera partido del vector $\{U_{1}^{0},$ $%
U_{2}^{0},.....,$ $U_{N+1}^{0}\}^{T}=\{\mathbf{U}^{0}\}$
suponiendo que
entre ellos hay diferencias dadas por el vector $\{\mathbf{\varepsilon }%
^{0}\}=\{\mathbf{u}^{0}\}-\{\mathbf{U}^{0}\}.$ Si este vector
fuese nulo, todo cuanto se diga podr\'{i}a trasladarse a la etapa
dada por $t^{1}.$

M\'{a}s concretamente: Siendo $\{u_{1}^{n},$ $u_{2}^{n},.....,$ $%
u_{N+1}^{n}\}^{T}=\{\mathbf{u}^{n}\}$ el vector de va\-lo\-res
nodales obtenidos para el tiempo $t^{n}$ con un esquema
num\'{e}rico inicializado con el
vector $\{\mathbf{u}^{0}\}$ y siendo $\{U_{1}^{n},$ $U_{2}^{n},.....,$ $%
U_{N+1}^{n}\}^{T}=\{\mathbf{U}^{n}\}$ el vector de valores nodales
obtenidos para el tiempo $t^{n}$ con un esquema num\'{e}rico
inicializado con otro vector cualquiera $\{\mathbf{U}^{0}\}$ (que
estar\'{a} destinado a jugar el papel de los valores nodales de la
soluci\'{o}n exacta, aunque cuanto se diga debe ser v\'{a}lido
para cualquier elecci\'{o}n de este vector) denotaremos por
\[
\{\mathbf{\varepsilon }^{n}\}=\{\mathbf{u}^{n}\}-\{\mathbf{U}%
^{n}\}=%
\{u_{1}^{n}-U_{1}^{n},u_{2}^{n}-U_{2}^{n},.....,u_{N+1}^{n}-U_{N+1}^{n}%
\}^{T}
\]
y diremos que el m\'{e}todo num\'{e}rico es estable cuando:
\[
\exists M\;/\;\;\left\| \{\mathbf{\varepsilon }^{n}\}\right\| \leq
M\;\;\;\;\forall n
\]

En otros t\'{e}rminos, cuando las diferencias entre los valores
nodales de una y otra sucesi\'{o}n permanecen acotadas para
cualquier etapa de c\'{a}lculo por la constante $M.$

Existen diferentes formas (equivalentes entre s\'{\i}) de analizar
si un esquema num\'{e}rico es estable o no. Entre ellas
presentaremos aqu\'{\i} la que se fundamenta en el an\'{a}lisis
espectral de las matrices que aparecen en la formulaci\'{o}n de
los esquemas num\'{e}ricos. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Cuando tratemos los problemas convectivos, introduciremos
otra t\'{e}cnica de an\'{a}lisis de la estabilidad de los esquemas
conocida con el nombre de m\'{e}todo de von Neumann. Tambi\'{e}n
esta segunda t\'{e}cnica podr\'{\i}a aplicarse al an\'{a}lisis de
los esquemas hasta ahora considerados. En Morton y
Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994) Numerical
solutioon of Partial
Differential Equations. Ed. Cambridge University Press.} puedes consultar c\'{o}mo se aplica a los }$%
\theta $\textit{-m\'{e}todos.}

La idea b\'{a}sica del estudio de la estabilidad mediante
an\'{a}lisis espectral se basa en formular los esquemas en la
forma:
\[
\left\{ \mathbf{u}^{n+1}\right\} =[\mathbf{M}] \{\mathbf{u}^{n}\}+\{%
\mathbf{r}^{n}\}
\]

En los apartados anteriores puedes consultar c\'{o}mo son la matriz $[%
\mathbf{M}]$ y el vector $\{\mathbf{r}^{n}\}$ para los $\theta $
-esquemas planteados. La consideraci\'{o}n de forma recursiva del
esquema as\'{i} formulado nos conduce a que:
\[
\left\{ \mathbf{u}^{n}\right\} =[\mathbf{M}] \{\mathbf{u}^{n-1}\}+\{%
\mathbf{r}^{n-1}\}=[\mathbf{M}] \left( [\mathbf{M}] \{\mathbf{u}%
^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n-2}\}\right) +\{\mathbf{r}^{n}\}=
\]

\[
=[\mathbf{M}]^{2} \{\mathbf{u}^{n-2}\}+[\mathbf{M}] \{\mathbf{r}%
^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n}\}=[\mathbf{M}]^{2} \left( [\mathbf{M}] \{%
\mathbf{u}^{n-3}\}+\{\mathbf{r}^{n-3}\}\right) +
\]

\[
[\mathbf{M}] \{\mathbf{r%
}^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n}\}=[\mathbf{M}]^{3} \{\mathbf{u}^{n-3}\}+[\mathbf{M}]^{2} \{\mathbf{r%
}^{n-3}\}+[\mathbf{M}] \{\mathbf{r}^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n}\}=
\]

\[
[\mathbf{M}]^{n} \{\mathbf{u}^{0}\}+[\mathbf{M}]^{n-1} \{\mathbf{r%
}^{1}\}+....+[\mathbf{M}] \{\mathbf{r}^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n}\}
\]

Puesto que ni la matriz $[\mathbf{M}]$ ni los vectores
$\{\mathbf{r}^{n}\}$ dependen de la soluci\'{o}n de la que se
parta (pues la matriz s\'{o}lo depende del coeficiente de
difusi\'{o}n $D,$ del valor escogido para $\theta ,$ y de los
tama\~{n}os de los pasos de discretizaci\'{o}n $\Delta x$ y
$\Delta t$, y los vectores $\{\mathbf{r}^{n}\}$ dependen de los
mismos par\'{a}metros m\'{a}s de las condiciones de contorno), el
mismo esquema de c\'alculo partiendo de $\{\mathbf{U}^{0}\}$ nos
conduce a que:

\[
\left\{ \mathbf{U}^{n}\right\} =[\mathbf{M}]^{n} \{\mathbf{U}^{0}\}+[%
\mathbf{M}]^{n-1} \{\mathbf{r}^{1}\}+....+[\mathbf{M}] \{\mathbf{r}%
^{n-2}\}+\{\mathbf{r}^{n}\}
\]

Por tanto,
\[
\{\mathbf{\varepsilon }^{n}\}=\left\{ \mathbf{u}^{n}\right\}
-\left\{
\mathbf{U}^{n}\right\} =[\mathbf{M}]^{n} \left( \{\mathbf{u}^{0}\}-\{%
\mathbf{U}^{0}\}\right) =[\mathbf{M}]^{n} \{\mathbf{\varepsilon }%
^{0}\}\;\;\;\;(n>0)
\]

La expresi\'{o}n anterior nos determinar\'{a} el vector $\{\mathbf{%
\varepsilon }^{n}\}$ en funci\'{o}n del valor de $n$ y del vector
de diferencias iniciales $\{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}.$

Supongamos ahora que la matriz $[\mathbf{M}]$ es diagonalizable y
tiene por valores propios a $\lambda _{1},$ $\lambda _{2,}...,$
$\lambda _{N+1}$
siendo una base de $\mathbf{C}^{N+1}$ formada por los vectores propios: $%
\left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\} ,$ $\left\{
\mathbf{v}^{(2)}\right\} ,....,\left\{ \mathbf{v}^{(N+1)}\right\}
$. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{En Conde y Schiavi\footnote{C. Conde y E. Schiavi. (2000).
Guiones de la asignatura de Elementos de Matem\'aticas.
Universidad Rey Juan Carlos.} puedes consultar c\'{o}mo se
determinaban los valores y vectores propios de una matriz, qu\'{e}
propiedades verifican,
cu\'{a}ndo esta es diagonalizable y c\'{o}mo construir una base de }$\mathbf{%
C}^{N+1}$\textit{\ formada por vectores propios de la matriz si
esta es diagonalizable.}

En estas condiciones el vector $\{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}$
puede expresarse en la base formada por vectores propios como:
\[
\{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}=c_{1} \left\{
\mathbf{v}^{(1)}\right\} +c_{2} \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\}
+....+c_{N+1} \left\{ \mathbf{v}^{(N+1)}\right\}
\]
expresi\'{o}n de la que se obtiene
\[
\lbrack \mathbf{M}] \{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}=c_{1} [\mathbf{M}%
] \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\} +c_{2} [\mathbf{M}] \left\{
\mathbf{v}^{(2)}\right\} +....+c_{N+1} [\mathbf{M}] \left\{
\mathbf{v}^{(N+1)}\right\} =
\]

\[
=c_{1} \lambda _{1} \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\} +c_{2}
\lambda _{2} \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\} +....+c_{N+1}
\lambda _{N+1} \left\{ \mathbf{v}^{(N+1)}\right\}
\]

\[
\lbrack \mathbf{M}]^{2} \{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}=c_{1}
\lambda _{1} [\mathbf{M}] \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\}
+c_{2} \lambda _{2} [\mathbf{M}] \left\{ \mathbf{v}%
^{(2)}\right\} +....+c_{N+1} \lambda _{N+1} [\mathbf{M}] \left\{
\mathbf{v}^{(N+1)}\right\} =
\]

\[
=c_{1} \lambda _{1}^{2} \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\} +c_{2}
\lambda _{2}^{2} \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\}
+....+c_{N+1} \lambda _{N+1}^{2} \left\{ \mathbf{v}%
^{(N+1)}\right\}
\]
y en general,
\[
\lbrack \mathbf{M}]^{n} \{\mathbf{\varepsilon }^{0}\}=c_{1}
\lambda _{1}^{n} \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\} +c_{2} \lambda
_{2}^{n} \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\} +....+c_{N+1} \lambda
_{N+1}^{n} \left\{ \mathbf{v}^{(N+1)}\right\}
\]

Por tanto,
\[
\{\mathbf{\varepsilon }^{n}\}=[\mathbf{M}]^{n} \{\mathbf{\varepsilon }%
^{0}\}=c_{1} \lambda _{1}^{n} \left\{ \mathbf{v}^{(1)}\right\}
+c_{2} \lambda _{2}^{n} \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\}
+....+c_{N+1} \lambda _{N+1}^{n} \left\{ \mathbf{v}%
^{(N+1)}\right\}
\]
y, tomando normas,
\[
\left\| \{\mathbf{\varepsilon }^{n}\}\right\| \leq \left|
c_{1}\right|
\left| \lambda _{1}\right| ^{n} \left\| \left\{ \mathbf{v}%
^{(1)}\right\} \right\| +\left| c_{2}\right|  \left| \lambda
_{2}\right| ^{n} \left\| \left\{ \mathbf{v}^{(2)}\right\} \right\|
+....+\left| c_{N+1}\right|  \left| \lambda _{N+1}\right| ^{n}
\left\| \left\{ \mathbf{v}^{(N+1)}\right\} \right\|
\]

De la expresi\'{o}n anterior puede concluirse que una
condici\'{o}n suficiente para que $\left\| \{\mathbf{\varepsilon
}^{n}\}\right\| $ permanezca acotado es que:
\[
\left| \lambda _{j}\right| \leq 1\;\;\;\;\;(j=1,2,...,N+1)
\]
o, lo que es lo mismo, que el radio espectral de la matriz
$[\mathbf{M}],$ que denotaremos por $\rho (\mathbf{M})$,
verifique:
\[
\rho (\mathbf{M})\leq 1.
\]
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Recu\'{e}rdese que el radio espectral de una matriz es el
mayor de los m\'{o}dulos de los valores propios de dicha matriz.}

En resumen, el an\'{a}lisis de la estabilidad de los esquemas
antes planteados puede realizarse analizando c\'{o}mo es el radio
espectral de la matriz del m\'{e}todo $[\mathbf{M}]$.

En el caso que nos ocupa dicha matriz est\'{a} dada por:
\[
\lbrack \mathbf{M}]=[\mathbf{A}]^{-1} [\mathbf{B}]
\]
donde $[\mathbf{A}]$ y $[\mathbf{B}]$ eran matrices tridiagonales
sim\'{e}tricas. \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Para el estudio de los valores propios en este caso son de
inter\'{e}s las propiedades siguientes (cuya demostraci\'{o}n
omitiremos para no desviarnos en exceso de nuetro estudio y pueden
encontrarse por ejemplo en el libro de Smith\footnote{G.D.\ Smith
(1.985) Numerical Solution of partial Differential Equations.
Finite Difference Methods. (3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$
reimpresi\'{o}n (1996)). Ed. Clarendon Press.}):}

\begin{proposition} Si una matriz $[\mathbf{A}]$ es regular y admite
como
valor propio al valor $\lambda $ con vector propio asociado $\{%
\mathbf{v\},}$ entonces la matriz $[\mathbf{A}]^{-1}$ admite a
$\dis\frac{1}{\lambda }$ como valor propio con el mismo vector
$\{\mathbf{v}\}$ como vector propio a \'{e}l
asociado.\end{proposition}

\begin{proposition} Una matriz tridiagonal de dimensiones $(m,m)$
de la forma:
\[
\left[
\begin{array}{lllllll}
\alpha & \beta & 0 & 0 & ... & 0 & 0 \\
\gamma & \alpha & \beta & 0 & ... & 0 & 0 \\
0 & \gamma & \alpha & \beta & ... & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & ... & \gamma & \alpha & \beta \\
0 & 0 & 0 & ... & 0 & \gamma & \alpha
\end{array}
\right]
\]
admite por valores propios los n\'{u}meros:
\[
\lambda _{j}=\alpha +2 \sqrt{\beta  \gamma } \cos \left(
\dis\frac{j \pi }{m+1}\right) \;\;\;\;\;(j=1,2,...,m).
\]\end{proposition}


Una vez presentadas las bases del m\'{e}todo de an\'{a}lisis
espectral para el estudio de la estabilidad de los esquemas
num\'{e}ricos, pasemos a analizar los $\theta $-m\'{e}todos antes
introducidos. Para ello, habida cuenta de que los valores en los
extremos del dominio espacial son conocidos, escribiremos el
sistema de ecuaciones que proporciona la soluci\'{o}n en los nodos
interiores a $(0,L)$ en la forma:
\[
\lbrack \mathbf{A}] \{\mathbf{u}^{n+1}\}=[\mathbf{B}]\{\mathbf{u}%
^{n}\}+\{c^{n}\}
\]
donde ahora denotamos por $[\mathbf{A}]$ a una matriz de
dimensiones $(N-1,N-1)$ dada por:
\[
\left[ \mathbf{A}\right] =\left[
\begin{array}{lllllllll}
a_{d} & a_{s} & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
a_{s} & a_{d} & a_{s} & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & a_{s} & a_{s} & a_{s} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & a_{s} & a_{d} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a_{s} & a_{d} & a_{s} \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & a_{s} & a_{d}
\end{array}
\right]
\]
con

\[
a_{s}=-\theta  D \alpha ,\;\;\;a_{d}=(1+2 \theta  D \alpha )
\]
por

\[
\left[ \mathbf{B}\right] =\left[
\begin{array}{lllllllll}
b_{d} & b_{s} & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
b_{s} & b_{d} & b_{s} & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & b_{s} & b_{d} & b_{s} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & b_{s} & b_{d} & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & b_{s} & b_{d} & b_{s} \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & b_{s} & b_{d}
\end{array}
\right]
\]
con

\[
b_{s}=(1-\theta ) D \alpha ,\;\;\;\;b_{d}=(1-2 (1-\theta ) D
\alpha )
\]
y por

\[
\{\mathbf{c}^{n}\}=\left\{ \left( b_{s} u_{IZQ}(t^{n})-a_{s}
u_{IZQ}(t^{n+1})\right) ,0,0,....,0,\left( b_{s}
u_{DER}(t^{n})-a_{s} u_{DER}(t^{n+1})\right) \right\}
\]

Esta expresi\'{o}n del esquema nos indica que se podr\'{a}
asegurar que el esquema ser\'{a} estable si el radio espectral de
la matriz:

\[
\lbrack \mathbf{M}]=[\mathbf{A}]^{-1} [\mathbf{B}]
\]
es menor o igual que $1.$ Examinemos c\'{o}mo es el radio
espectral de esta matriz. Para ello observemos, en primer lugar,
que tanto la matriz $[\mathbf{A}]$ como la matriz $[\mathbf{B}]$
pueden expresarse como sigue:

\[
\lbrack \mathbf{A}]=[\mathbf{I}]+\tau  [\mathbf{T}],\;\;\;\;\;\;[%
\mathbf{B}]=[\mathbf{I}]-\sigma  [\mathbf{T}]
\]
donde $\tau =\theta  D \alpha =\theta  D \dis\frac{\Delta t}{%
(\Delta x)^{2}}$ , $\sigma =(1-\theta ) D \alpha =(1-\theta ) D
\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}$ , $[\mathbf{I}]$ es la matriz
identidad de dimensiones $((N-1),(N-1))$ y:
\[
\lbrack \mathbf{T}]=\left[
\begin{array}{lllllllll}
2 & -1 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
-1 & 2 & -1 & 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 2 & -1 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & 2 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & -1 & 2 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & ... & 0 & 0 & -1 & 2
\end{array}
\right]
\]

Por otra parte se tiene que:

\begin{proposition} Si $\lambda $ es un valor propio de la matriz $[\mathbf{T}]$
y $\{\mathbf{v}\}$ es un vector propio asociado a dicho valor
propio, entonces $(1+\mu  \lambda
) $ es un vector propio de la matriz $\left[ [\mathbf{I}]+\mu  [\mathbf{%
T}]\right] $ que tiene a $\{\mathbf{v}\}$ como vector propio
asociado.\end{proposition}


\underline{Demostraci\'{o}n:}

Basta con tener en cuenta que:
\[
\left[ \lbrack \mathbf{I}]+\mu  [\mathbf{T}]\right]  \{\mathbf{v}%
\}=[\mathbf{I}] \{\mathbf{v}\}+\mu  [\mathbf{T}] \{\mathbf{v}%
\}=[\mathbf{I}] \{\mathbf{v}\}+\mu  \lambda  \{\mathbf{v}%
\}=(1+\mu  \lambda ) \{\mathbf{v}\}
\]

\hspace{10cm}c.q.d.

Puesto que los valores propios de $[\mathbf{T}]$ est\'{a}n dados
por:
\[
\lambda _{j}(\mathbf{T})=2+2 \cos \left( \dis\frac{j \pi
}{N}\right) =2 \left( 2 \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2
N}\right) \right) =4 \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right)
\;\;\;\;\;(j=1,2,...,N-1)
\]
resultar\'{a} que los de $[\mathbf{A}]$ y los de $[\mathbf{B}]$
responder\'{a}n a las expresiones:
\[
\lambda _{j}(\mathbf{A})=1+(\theta  D \alpha ) \left( 4 \cos
^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right) \right)
\;\;\;\;\;(j=1,2,...,N)
\]
\[
\lambda _{j}(\mathbf{B})=1-((1-\theta ) D \alpha ) \left( 4 \cos
^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right) \right)
\;\;\;\;\;(j=1,2,...,N)
\]
siendo los autoespacios de $[\mathbf{A}]$ y $[\mathbf{B}]$
coincidentes.

Pero los valores propios que buscamos no son los de las matrices $[\mathbf{A}%
]$ y $[\mathbf{B}]$ sino los de la matriz $[\mathbf{M}].$ Para
determinarlos ser\'{a} necesario tener en cuenta la siguiente:

\begin{proposition} Siendo $[\mathbf{A}]$ y $[\mathbf{B}]$ dos matrices cuadradas de
la misma dimensi\'{o}n, que admiten como vector propio al vector
$\{\mathbf{v}\}$ estando asociado a los valores propios $\lambda
(\mathbf{A})$ y $\lambda (\mathbf{B})$ respectivamente, y siendo
$[\mathbf{A}]$ una matriz no singular, se verifica que $(\lambda
(\mathbf{B})$ $/$ $\lambda (\mathbf{A}))$ es un valor propio
de la matriz $[\mathbf{M}]=[\mathbf{A}]^{-1} [\mathbf{B}]$ que tiene a $%
\{\mathbf{v}\}$ como vector propio asociado.\end{proposition}


\underline{Demostraci\'{o}n:}

Basta con observar que en las condiciones de la proposici\'{o}n:
\[
\lbrack \mathbf{A}] \{\mathbf{v}\}=\lambda (\mathbf{A}) \{\mathbf{v%
}\}\Rightarrow \dis\frac{1}{\lambda (\mathbf{A})} \{\mathbf{v}\}=[\mathbf{A}%
]^{-1} \{\mathbf{v}\}
\]
de donde
\[
\lbrack \mathbf{A}]^{-1} [\mathbf{B}] \{\mathbf{v}\}=[\mathbf{A}%
]^{-1} \lambda (\mathbf{B}) \{\mathbf{v}\}=\dis\frac{\lambda (\mathbf{B%
})}{\lambda (\mathbf{A})} \{\mathbf{v}\}.
\]

\hspace{12cm}c.q.d.

Seg\'{u}n esta proposici\'{o}n se tiene que:
\[
\lambda _{j}(\mathbf{M})=\dis\frac{1-4 ((1-\theta ) D \alpha )
\cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right) }{1+4 (\theta D
\alpha ) \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right)
}\;\;\;\;\;\;(j=1,2,...,N-1).
\]

Para que $|\lambda _{j}(\mathbf{M})|\leq 1$ se debe verificar que:
\[
-1\leq \dis\frac{1-4 ((1-\theta ) D \alpha ) \cos ^{2}\left(
\dis\frac{j \pi }{2 N}\right) }{1+4 (\theta  D \alpha ) \cos
^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right) }\leq 1.
\]

La segunda de las desigualdades anteriores nos conduce a que para
todo $j$ tal que $1\leq j\leq (N-1)$:
\[
1-4 ((1-\theta ) D \alpha ) \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2
N}\right) \leq 1+4 (\theta  D \alpha ) \cos ^{2}\left( \dis\frac{j
\pi }{2 N}\right) \Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow -D \alpha  \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}%
\right) \leq 0
\]
que, habiendo supuesto $D>0$ y pasos de discretizaci\'{o}n
positivos siempre se verificar\'{a}.

De la otra desigualdad se tendr\'{a} que para todo $j$ tal que
$1\leq j\leq (N-1)$:

\[
-1-4 (\theta  D \alpha ) \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2
N}\right) \leq 1-4 ((1-\theta ) D \alpha ) \cos ^{2}\left(
\dis\frac{j \pi }{2 N}\right) \Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow -2\leq 4 D \alpha  \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2
N}\right)  (2 \theta -1)\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow (1-2 \theta )\leq \dis\frac{1}{2 D \alpha  \cos
^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{2 N}\right) }
\]

Esta \'{u}ltima desigualdad ser\'{a} verificada siempre para valores de $%
\theta \geq 1/2.$ Para valores de este par\'{a}metro inferiores a
$1/2$ la desigualdad anterior puede reescribirse en la forma:
\[
\alpha \leq \dis\frac{1}{2 D (1-2 \theta ) \cos ^{2}\left(
\dis\frac{j \pi }{2 N}\right) }\;\;\;(j=1,2,...,N-1).
\]

Puesto que para los valores que puede tomar $j$ se verificar\'{a}
que:
\[
2 D (1-2 \theta ) \cos ^{2}\left( \dis\frac{j \pi }{%
2 N}\right) <2 D (1-2 \theta )
\]
la estabilidad del esquema quedar\'{a} garantizada siempre que:
\[
\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}\leq \dis\frac{1}{2 D
(1-2 \theta )}
\]

En resumidas cuentas, puede afirmarse que los $\theta $ -esquemas
considerados son incondicionalmente estables siempre que $\theta
\geq 1/2$ o que siendo $\theta <1/2$ la relaci\'{o}n entre los
tama\~{n}os de paso de la discretizaci\'{o}n temporal y la
discretizaci\'{o}n espacial verifique que:

\[
\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}\leq \dis\frac{1}{2 D (1-2
\theta ) }.
\]
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{En la bibliograf\'{i}a que se recoge al final de este tema
podr\'{a}s encontrar re\-fe\-ren\-cias en las que se incluyen
diferentes propiedades y teoremas que ayudan a acotar el radio
espectral de matrices como por ejemplo los tres teoremas de
Gerschgorin. Con todo el an\'{a}lisis de m\'{e}todos gen\'{e}ricos
en diferencias finitas mediante esta t\'{e}cnica puede ser
relativamente laborioso debido a la necesidad de estudiar el radio
espectral de las matrices que en dichos m\'{e}todos se ven
involucradas. Como se dijo anteriormente, al abordar los problemas
hiperb\'{o}licos de primer orden (el tratamiento del t\'{e}rmino
convectivo) introduciremos otra t\'{e}cnica equivalente para el
estudio de la estabilidad de los esquemas que en numerosas
ocasiones se muestra m\'{a}s sencilla de aplicar.}

\subsection{La equivalencia entre convergencia y estabilidad m\'{a}s
consistencia: el teorema de Lax.}

Como se ilustr\'{o} anteriormente, el que un esquema sea
consistente con un problema de contorno nos garantizar\'{a} que,
para pasos de discretizaci\'{o}n suficientemente peque\~{n}os, la
soluci\'{o}n exacta del problema verificar\'{a} el esquema
num\'{e}rico con un error tan peque\~{n}o como se desee. Pero nos
falta por acabar de justificar a\'{u}n el que, para pasos de
discretizaci\'{o}n suficientemente peque\~{n}os los valores:
\[
e_{i}^{n}=u_{i}^{n}-u(x_{i},t^{n})=u_{i}^{n}-U_{i}^{n}
\]
tambi\'{e}n puedan hacerse suficientemente peque\~{n}os en
cualquier paso de tiempo.

En este sentido se introducen las siguientes definiciones:

\begin{definition} Se denomina \textbf{error de convergencia} del equema
num\'{e}rico
considerado en el punto $x_{i}$ y en el instante $t^{n}$ al valor $%
e_{i}=u_{i}^{n}-U_{i}^{n}.$ Y se dice que el esquema num\'{e}rico es \textbf{%
convergente} hacia la soluci\'{o}n exacta del problema de contorno
que se quiera resolver cuando:
\[
{\Delta t\rightarrow 0,\Delta x\rightarrow 0}{\lim }_{\Delta
t\rightarrow 0,\Delta x\rightarrow 0}(\sup_{ 1\leq i\leq N+1,n\geq
0}|e_{i}^{n}|)=0.
\]\end{definition}


El estudio de la consistencia de los sistemas planteados junto al
an\'{a}lisis de su estabilidad nos deja a las puertas de poder
concluir la convergencia de los valores nodales de las soluciones
aproximadas obtenidas hacia los valores que en los nodos tome la
soluci\'{o}n exacta. En efecto, habiendo demostrado que los
esquemas son consistentes se tiene asegurado que para valores
suficientemente peque\~{n}os de los pasos de discretizaci\'{o}n la
soluci\'{o}n exacta verificar\'{a} (con errores tan peque\~{n}os
como se desee) el esquema de c\'{a}lculo. Y si adem\'{a}s el
esquema es estable se tiene asegurado que los errores debidos a no
partir de la soluci\'{o}n exacta en cada paso de tiempo no se
amplifican. Es m\'{a}s, si $\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta
x)^{2}}<1$ los desarrollos antes realizados demuestran que dichos
errores tienden a anularse al hacer tender el n\'{u}mero de pasos
temporales hacia infinito. De una forma intuitiva parece que en
esta situaci\'{o}n ``no se nos pueden escapar'' los valores de la
soluci\'{o}n exacta.

Esta idea intuitiva es correcta en el caso de abordar problemas
lineales (es
decir cuando el coeficiente $D$ no depende de la propia soluci\'{o}n $%
u(x,t)) $ y fue demostrada rigurosamente por P.D. Lax en el
a\~{n}o $1953$ a trav\'{e}s del siguiente teorema:

\begin{theorem} (Teorema de equivalencia de Lax). La condici\'{o}n
necesaria y suficiente para que un esquema num\'{e}rico
consistente con un problema evolutivo lineal sea convergente es
que sea estable en el sentido anteriormente descrito.\end{theorem}


Una demostraci\'{o}n rigurosa de este teorema excede los objetivos
del presente curso por lo que remitimos al lector interesado a la
bibliograf\'{i}a de este tema (por ejemplo a la obra de Ritchmyer
y Morton\footnote{R.D. Ritchmyer y K.W. Morton (1967) Difference
Methods for Initial Value Problems. 2${{}^a}$ edici\'{o}n.
Ed.:Wiley-Interscience. reimpreso en 1994 por Ed. Kreiger.}). \es

Consecuencia del teorema de Lax es que los $\theta $ -esquemas
antes planteados, en las condiciones que garantizan su
estabilidad, son convergentes.

\subsection{El principio del m\'{a}ximo.}

Otro aspecto que interesar\'{a} analizar sobre los esquemas de
resoluci\'{o}n de problemas difusivos es si verifican o no el
principio del m\'{a}ximo. En este sentido es sabido que el
problema:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) & =\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x,t) & 0<x<L,\;\;t>0 \\
u(0,t) & =u_{I}(t) & t>0 \\
u(L,t) & =u_{D}(t) & t>0 \\
u(x,0) & =u^{0}(x) & 0\leq x\leq L
\end{array}
\right\}
\]
tiene una soluci\'{o}n anal\'{\i}tica $u(x,t)$ que toma valores
comprendidos entre $u_{m}$ y $u_{M}$ dados por:
\[
u_{m}=\min \left\{\inf_ {t>0}(u_{I}(t)),\inf_{t>0}%
(u_{D}(t)),\inf_{0\leq x\leq L}(u^{0}(x))\right\}
\]

\[
u_{m}=m\acute{a}x\left\{\sup_{t>0}(u_{I}(t)),\sup
_{t>0}(u_{D}(t)),\sup_{0\leq x\leq L}(u^{0}(x))\right\}
\]

En este sentido, al igual que se dijo para el caso de problemas
es\-ta\-cio\-na\-rios, ser\'{i}a conveniente que los esquemas
num\'{e}ricos satisfacieran una propiedad similar.

Examinemos bajo qu\'{e} condiciones se verifica tal propiedad.
Para ello recordemos que, en cada nodo $x_{i}$ y en cada instante
$t^{n+1}$ el esquema pod\'{i}a escribirse como:

\[
a_{i,i-1} u_{i-1}^{n+1}+a_{i,i} u_{i}^{n+1}+a_{i,i+1}
u_{i+1}^{n+1}=b_{i,i-1} u_{i-1}^{n}+b_{i,i} u_{i}^{n}+b_{i,i+1}
u_{i+1}^{n}
\]
donde
\[
a_{i,i-1}=a_{i,i+1}=-\theta  D \alpha ,\;\;\;a_{i,i}=(1+2 \theta
 D \alpha )
\]
\[
b_{i,i-1}=b_{i,i+1}=(1-\theta ) D \alpha ,\;\;\;\;b_{i,i}=(1-2
(1-\theta ) D \alpha )
\]

De estas expresiones se tiene que:
\[
u_{i}^{n+1}=\dis\frac{\theta  D \alpha }{(1+2 \theta  D \alpha )}
(u_{i-1}^{n+1}+u_{i+1}^{n+1})+\dis\frac{(1-\theta ) D \alpha
}{(1+2 \theta  D \alpha )} (u_{i-1}^{n}+u_{i+1}^{n})+
\]

\[
+\dis\frac{(1-2 (1-\theta ) D \alpha )}{%
(1+2 \theta  D \alpha )} u_{i}^{n} =\xi _{1} u_{i-1}^{n+1}+\xi
_{2} u_{i+1}^{n+1}+\xi _{3} u_{i-1}^{n}+\xi _{4} u_{i+1}^{n}+\xi
_{5} u_{i}^{n}
\]
donde
\[
\xi _{1}=\xi _{2}=\dis\frac{\theta  D \alpha }{(1+2 \theta
D \alpha )},\;\xi _{3}=\xi _{4}=\dis\frac{(1-\theta ) D \alpha }{%
(1+2 \theta  D \alpha )},\;\xi _{5}=\dis\frac{(1-2 (1-\theta ) D
\alpha )}{(1+2 \theta  D \alpha )}
\]

F\'{a}cilmente se verifica que
\[
\xi _{1}+\xi _{2}+\xi _{3}+\xi _{4}+\xi _{5}=1
\]

Por tanto, para que $u_{i}^{n+1}$ sea una combinaci\'{o}n convexa
de los
valores $u_{i+1}^{n+1},$ $u_{i-1}^{n+1},$ $u_{i-1}^{n},$ $u_{i}^{n}$ y $%
u_{i+1}^{n}$ bastar\'{a} con asegurar que todos los coeficiente
que los multiplican est\'{a}n comprendidos entre $0$ y $1.$ Del
examen de la expresi\'{o}n de los coeficientes se deduce,
recordando que $\alpha >0$ y que $D>0,$ y que $0\leq \theta $
$\leq 1,$ que \'{e}stos siempre ser\'{a}n inferiores a $1.$
Adem\'{a}s, por lo mismos motivos $\xi _{1},\xi _{2},\xi
_{3}\;$y$\;\xi _{4}$ siempre ser\'{a}n no negativos. Para que
tambi\'{e}n lo sea $\xi _{5}$ debe verificarse que:
\[
0\leq 1-2 (1-\theta ) D \alpha \Rightarrow \alpha \leq \dis\frac{1%
}{2 D (1-\theta )}
\]

En resumen se tiene as\'{i} demostrado el siguiente teorema:

\begin{theorem} Los $\theta $ -esquemas, planteados en el apartado $4.1.$ de este
cap\'{\i}tulo, aplicados al problema de transporte puramente
difusivo con coeficiente de difusi\'{o}n constante verifican el
principio del m\'{a}ximo discreto siempre que la relaci\'{o}n
$\alpha =\Delta t/(\Delta x)^{2}$ satisfaga la desigualdad:
\[
\alpha \leq \dis\frac{1}{2 D (1-\theta )}
\]
\end{theorem}

Obs\'{e}rvese que, como consecuencia del teorema anterior, cuanto
m\'{a}s pr\'{o}ximo a $1$ sea el valor de $\theta $ mayor ser\'{a}
el valor que puede tomar $\alpha .$ Asimismo, si $\theta $ $<1/2$
se tendr\'{a} que:

\[
\alpha =\dis\frac{\Delta t}{(\Delta x)^{2}}\leq \dis\frac{1}{2 D
(1-\theta )}\leq \dis\frac{1}{2 D (1-2 \theta )}
\]
por lo que la verificaci\'{o}n del principio del m\'{a}ximo
garantiza tambi\'{e}n la estabilidad del $\theta $ -esquema.

\subsection{Comentarios finales sobre los esquemas en diferencias finitas
para la resoluci\'{o}n de problemas difusivos.}

1${{}^o}$) La forma de proceder anterior puede extenderse
f\'{a}cilmente al caso de coeficientes variables, es decir a
problemas en los que la EDP sea de la forma:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=D(x,t) \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x,t)
\]

Bastar\'{a} para ello con designar por $D_{i}^{n}=D(x_{i},t^{n})$
y
sustituir en las ecuaciones el valor de $D$ por el de $D_{i}^{n+1}$ o el de $%
D_{i}^{n}$ seg\'{u}n el instante de c\'{a}lculo en el que se
est\'{e} discretizando el operador de segunda derivaci\'{o}n
espacial. N\'{o}tese no obstante que la EDP anterior no es ya, en
general, representativa de un problema de transporte difusivo pues
este ser\'{\i}a modelizado mediante:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=\dis\frac{\partial
}{\partial x}\left( D(x,t) \dis\frac{\partial u}{\partial
x}(x,t)\right)
\]
es decir, por
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)=D(x,t) \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x,t)+\left( \dis\frac{\partial D}{\partial x}(x,y)\right)
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x,t)
\]
apareciendo un t\'{e}rmino convectivo (en derivada espacial
primera) del que nos ocuparemos m\'{a}s adelante.

2${{}^o}$) Tambi\'{e}n ahora podr\'{i}an considerarse condiciones
de contorno m\'{a}s generales. La forma de tratarlas es totalmente
an\'{a}loga a la descrita para los problemas estacionarios, si
bien deber\'{a} diferenciarse ahora el instante de c\'{a}lculo en
el que se tratan. Un estudio detallado del tratamiento de
condiciones de contorno m\'{a}s generales puede encontrarse, entre
otros, en Smith\footnote{G.D.\ Smith (1.985) Numerical Solution of
partial Differential Equations. Finite Difference Methods.
(3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$ reimpresi\'{o}n (1996)). Ed.
Clarendon Press.} o en Morton y Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F.
Mayers. (1994) Numerical solutioon of Partial Differential
Equations. Ed. Cambridge University Press.}.

3${{}^o}$) Existen muchos otros esquemas para tratar problemas
como el aqu\'{i} planteado, discretizando el operador de
derivaci\'{o}n temporal de muy diferentes maneras e implicando en
ello tan s\'{o}lo el instante $t^{n}$ u otros instantes
anteriores. As\'{i} por ejemplo en Lapidus y Pinder\footnote{L.
Lapidus y G.F. Pinder.(1982) Numerical solution of partial
differential equations in science and engineering. Ed.: John
Wiley.} o en Morton y Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers.
(1994) Numerical solutioon of Partial Differential Equations. Ed.
Cambridge University Press.} podr\'{a}s encontra esquemas basados
en tres niveles de tiempo.

4${{}^{o}}$) Los problemas planteados en dominios espaciales bi o
tridimensionales admiten un tratamiento que, conceptualmente, es
similar al del caso unidimensional. No obstante en esos casos
pueden aparecer nuevas dificultades en el tratamiento de las
matrices involucradas en la formulaci\'{o}n de los distintos
esquemas. Una estrategia que se ha mostrado muy efectiva en
diferentes problemas formulados en dominios bidimensionales es la
recogida en los m\'{e}todos de direcciones alternadas (ADI) en los
que se pasa de $t^{n}$ a $t^{n+1}$ considerando un (o varios)
instante intermedio y discretizando hasta \'{e}l las derivadas en
una direcci\'{o}n espacial de forma impl\'{\i}cita (es decir, con
valores nodales en dicho instante intermedio) y en la otra
direcci\'{o}n espacial de forma expl\'{\i}cita (es decir en
$t^{n})$ para posteriormente pasar del instante intermedio a
$t^{n+1}$ cambiando los papeles a las discretizaciones empleadas
seg\'{u}n cada direcci\'{o}n espacial. Ello transforma el problema
bidimensional en sucesivos problemas unidimensionales, con el
consiguiente ahorro en lo que a esfuerzo computacional se refiere,
y sin p\'{e}rdidas significativas de precisi\'{o}n ni reducciones
en los l\'{\i}mites de estabilidad. En las referencias antes
aludidas encontrar\'{a}s estudios detallados sobre los m\'{e}todos
ADI.
\section{Esquemas en diferencias finitas para el tratamiento de pro\-ble\-mas
convectivos}

\subsection{Generalidades.}

Consid\'{e}rese la ecuaci\'{o}n de advecci\'{o}n lineal en una
dimensi\'{o}n espacial:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+V(x,t) \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,t)=0,\qquad t>0
\]
acompa\~{n}ada de la condici\'{o}n inicial:
\[
u(x,0)=u^{0}(x)
\]

Como se detall\'{o} en el primer tema de estos apuntes y se
ilustra con abundantes ejemplos en el anexo la soluci\'{o}n
anal\'{i}tica de este problema tiene la propiedad de ser constante
sobre las curvas caracter\'{\i}sticas. La curva
caracter\'{\i}stica $x(t)$ que pase por el punto $(\xi ,0)$ a su
vez estar\'{a} dada como soluci\'{o}n del problema de valor
inicial:
\[
\left\{
\begin{array}{lll}
\dis\frac{dx}{dt}(t) & =V(x(t),t) & t>0 \\ [0.2cm] x(0) & =\xi &
\end{array}
\right.
\]

Las consideraciones anteriores nos permiten ya plantear un primer
m\'{e}todo num\'{e}rico para la resoluci\'{o}n de los problemas de
tipo convectivo: resolver num\'{e}ricamente el problema de valor
inicial que nos proporciona las curvas caracter\'{\i}sticas para
distintos valores $\xi _{i}$ y transportar sobre ellas la
funci\'{o}n que define la condici\'{o}n inicial. Este tipo de
m\'{e}todos son denominados \textbf{m\'{e}todos de
caracter\'{\i}sticas}.

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obviamente, cuando sea factible evaluar de forma exacta
las curvas caracter\'{\i}sticas, la soluci\'{o}n exacta podr\'{a}
estimarse anal\'{\i}ticamente y la aplicaci\'{o}n de los
m\'{e}todos num\'{e}ricos a tales tipos de problemas (algunos de
los cuales puedes encontrarlos en los anexos de este tema)
servir\'{a} simplemente para verificar el buen comportamiento (o
no) de los esquemas que se est\'{e}n estudiando.}

No obstante la forma usual de aplicar los m\'{e}todos de
caracter\'{\i}sticas consiste en definir un mallado de la forma:
\[
x_{0}<x_{1}<x_{2}<....<x_{i}<.....<x_{N}<x_{N+1}
\]
y estimar las soluciones en el punto $(x_{i},t^{n+1})$ siguiendo
en retroceso la caracter\'{\i}stica que pasa por dicho punto hasta
determinar el punto $(x_{i}^{*},t^{n})$ en que dicha
caracter\'{i}stica corta a la ordenada $t^{n}.$

Esta forma de proceder puede extenderse f\'{a}cilmente a la
consideraci\'{o}n de problemas un poco m\'{a}s complicados en los
que la EDP es sustituida por:
\[
a(x,t,u) \dis\frac{\partial u}{\partial t}+V(x,t,u) \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}=f(x,t,u).
\]
pues como se vio en el primer tema de esta asignatura, en este
caso las curvas caracter\'{\i}sticas y la soluci\'on sobre ellas
podr\'{a}n deducirse a partir de las igualdades:
\[
\dis\frac{dt}{a(x,t,u)}=\dis\frac{dx}{V(x,t,u)}=\dis\frac{du}{f(x,t,u)}
\]

Ilustremos la forma de proceder anterior sobre un ejemplo tomado
de Smith\footnote{G.D.\ Smith (1.985) Numerical Solution of
partial Differential Equations. Finite Difference Methods.
(3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$ reimpresi\'{o}n (1996)). Ed.
Clarendon Press.}

\underline{\textbf{Ejemplo:}}

Consid\'{e}rese que la funci\'{o}n $u(x,t)$ satisface la EDP
\[
u \dis\frac{\partial u}{\partial t}+\sqrt{x} \dis\frac{\partial u}{%
\partial x}=-u^{2}\;\;\;x\in \R;\;\;t>0
\]
y que $u(x,0)=1$ $\forall x\in \R.$ Siendo $x^{*}\geq 0$ se desea
determinar la curva caracter\'{\i}stica que pasa por $(x^{*},0)$.
Asimismo, tomando $x^{*}=$ $1$ se desea aproximar el valor de $t$
para el que la curva caracter\'{\i}stica anterior pasa por el
punto $P(1.1,t_{P})$ y obtener mediante el m\'etodo de las
caracter\'{\i}sticas un valor aproximado $u_{P}$ de la
soluci\'{o}n en \'{e}l.

Para ello se tiene en este caso que:
\[
\dis\frac{dt}{u}=\dis\frac{dx}{\sqrt{x}}=\dis\frac{du}{-u^{2}}
\]

De la igualdad:
\[
\dis\frac{dt}{u}=\dis\frac{du}{-u^{2}}
\]
se deduce que
\[
dt=\dis\frac{-1}{u} du\Rightarrow t=-\ln (K u)
\]
y como para $t=0$ se debe verificar que $u(x,0)=1$ se tendr\'{a}
que
\[
0=-\ln (K 1)\Rightarrow K=1
\]
es decir,
\[
t=-\ln (u)=\ln (\dis\frac{1}{u})
\]
lo que nos indica que sobre la curva caracter\'{\i}stica que
estamos buscando se satisface la igualdad:
\[
u=e^{-t}
\]

De forma similar se tiene que
\[
\dis\frac{dx}{\sqrt{x}}=\dis\frac{du}{-u^{2}}\Rightarrow 2 \sqrt{x}=\dis\frac{1}{u}%
+C
\]
y como en $(x^{*},0)$ se verifica que $u(x^{*},0)=0$ resultar\'{a}
que
\[
2 \sqrt{x^{*}}=1+C\Rightarrow C=2 \sqrt{x^{*}}-1
\]
por lo que
\[
\dis\frac{1}{u}=2 \left( \sqrt{x}-\sqrt{x^{*}}\right) +1
\]

En resumen la curva caracter\'{\i}stica buscada responder\'{a} a
la expresi\'{o}n:
\[
t=\ln \left( \dis\frac{1}{2 \left( \sqrt{x}-\sqrt{x^{*}}\right)
+1}\right)
\]
y sobre ella la soluci\'{o}n $u(x,t)$ satisfacer\'{a} la
expresi\'{o}n
\[
u(x,t)=e^{-t}=\dis\frac{1}{2 \left( \sqrt{x}-\sqrt{x^{*}}\right)
+1}
\]

De las expresiones anal\'{\i}ticas de la soluci\'{o}n y de la
curva caracter\'{\i}stica ya ser\'{\i}a inmediato obtener los
valores exactos pedidos en el enunciado de este ejercicio para el
instante $t_{P}$ en el que la ca\-rac\-te\-r\'{\i}s\-ti\-ca que
pase por $(x^{*},0)=(1,0)$ pasa por $(1.1,t_P )$ y del valor de
$u$ en dicho punto. No obstante veamos c\'{o}mo se podr\'{\i}an
aproximar dichos valores mediante el m\'{e}todo de las
caracter\'{\i}sticas. Para ello consideramos nuevamente que:
\[
\sqrt{x} dt=u dx
\]
y
\[
\sqrt{x} du=-u^{2} dx
\]
que discretizadas nos conducir\'{a}n a que:
\[
\sqrt{x^{*}} (t_{P}^{(1)}-0)\approx u^{*} (x_{P}-x^{*})\Rightarrow
t_{P}^{(1)}\approx \dis\frac{u^{*} (x_{P}-x^{*})}{\sqrt{x^{*}}}=\dis\frac{%
1 (1.1-1)}{\sqrt{1}}=0.1
\]
y
\[
\sqrt{x^{*}} (u_{P}^{(1)}-u^{*})\approx -(u^{*})^{2}
(x_{P}-x^{*})\Rightarrow u_{P}^{(1)}\approx\]
\[
u^{*}-\dis\frac{(u^{*})^{2}
(x_{P}-x^{*})}{\sqrt{x^{*}}}=1-\dis\frac{1^{2}
(1.1-1)}{\sqrt{1}}=0.9
\]

Estos valores aproximados podr\'{\i}an refinarse realizando
diferentes ponderaciones entre ellos. As\'{\i}, por ejemplo, se
podr\'{\i}a plantear:
\[
\sqrt{x} dt=u dx\rightarrow \dis\frac{\sqrt{x^{*}}+\sqrt{x_{P}}}{2}%
 (t_{P}^{(2)}-0)\approx \dis\frac{u^{*}+u_{P}^{(1)}}{2}
(x_{P}-x^{*})\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow t_{P}^{(2)}=\dis\frac{u^{*}+u_{P}^{(1)}}{\sqrt{x^{*}}+\sqrt{x_{P}}}%
 (x_{P}-x^{*})=\dis\frac{1+0.9}{1+\sqrt{1.1}} 0.1=0.0927
\]
y
\[
\dis\frac{\sqrt{x^{*}}+\sqrt{x_{P}}}{2} (u_{P}^{(2)}-u^{*})\approx -\dis\frac{%
(u^{*})^{2}+(u_{P}^{(1)})^{2}}{2} (x_{P}-x^{*})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow u_{p}^{(2)}=u^{*}-\dis\frac{(u^{*})^{2}+(u_{P}^{(1)})^{2}}{\sqrt{%
x^{*}}+\sqrt{x_{P}}} (x_{P}-x^{*})=1-\dis\frac{1+(0.9)^{2}}{1+\sqrt{1.1}}%
 0.1=0.9117
\]

Un tercer (y posteriores) refinamiento podr\'{\i}a realizarse de
estos valores. No obstante pueden compararse los obtenidos en esta
segunda aproximaci\'{o}n con los exactos $(t_{P}=0.0934,$
$u_{P}=0.9111)$ observ\'andose una buena concordancia con las
aproximaciones realizadas. \vspace{1.0cm}

En la lista bibliogr\'{a}fica que se cita al final de este tema
podr\'{a}s encontrar diferentes variantes del m\'{e}todo de las
caracter\'{\i}siticas (as\'{i} como su extensi\'{o}n a problemas
de segundo orden). Nosotros, siempre por la falta de tiempo, no
entraremos en sus detalles y nos limitaremos a presentarte otros
m\'{e}todos num\'{e}ricos num\'{e}ricos de amplio uso basados en
la discretizaci\~{n}on de las derivadas que aparecen en el
problema convectivo mediante distintas estrategias en diferencias
finitas. Y puesto que ya se ilustr\'{o} en el caso estacionario la
conveniencia de introducir descentrajes en la aproximaci\'{o}n de
los t\'{e}rminos convectivos nos centraremos en un esquema
descentrado (habitualmente conocido como esquema ``upwind'').

\subsection{El esquema ``upwind'' expl\'{i}cito.}

Consideremos inicialmente el problema advectivo:

\[
\left\{
\begin{array}{llll}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) & +V \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,t)=0 & 0<x<L & t>0 \\ [0.2cm] u(0,t) & =u_{I}(t)\;\;t>0, &  &
\\ [0.2cm] u(x,0) & =u^{0}(x) & 0\leq x\leq L &
\end{array}
\right.
\]
donde supondremos que $V$ es una constante positiva.

\underline{\textbf{NOTAS:}}

\textit{1${{}^a}$) Obs\'{e}rvese que en este caso la soluci\'{o}n
anal\'{i}tica en el punto }$(x^{*},t^{*})$\textit{\ puede
obtenerse f\'{a}cilmente siguiendo en retroceso la curva
caracter\'{\i}stica que por \'{e}l pasa y que en este caso
ser\'{a} una recta que tendr\'{a} por ecuaci\'{o}n:}
\[
x=x^{*}+V (t-t^{*})
\]

\textit{Si esta recta corta antes al eje de abscisas (eje
}$X)$\textit{\ que al de ordenadas (eje de tiempos) la
soluci\'{o}n estar\'{a} dada por:}
\[
u(x^{*},t^{*})=u^{0}(x^{*}-V t^{*})
\]

\textit{Y si cortase antes al eje de ordenadas que al de abscisas
la soluci\'{o}n ser\'{\i}a:}

\[
u(x^{*},t^{*})=u_{I}(t^{*}-\dis\frac{x^{*}}{V})
\]

\textit{2${{}^a}$) Te dejamos como ejercicio propuesto adaptar
todo cuanto
se diga para el caso de velocidad de advecci\'{o}n positiva al caso en que }$%
V<0.$\textit{\ A lo largo de la descripci\'{o}n de este m\'{e}todo
te iremos dando pistas que faciliten esta tarea.}

Consideremos adem\'{a}s un conjunto de valores de $t$ de la forma
\[
t^{n}=n \Delta t\;\;\;\;\;\;(n=0,1,2,........)
\]
y dividamos el intervalo $[0,L]$ en $N$ subintervalos de la forma $%
[x_{i},x_{i+1}]$ $(i=1,2,...,N)$ donde:
\[
\Delta x=\dis\frac{L}{N}\;\;\;\;\;\text{y }\;\;\;\;x_{i}=(i-1)
\Delta x\;\;\;\;\;(i=1,2,...,N)
\]

El esquema ``upwind'' consiste en plantear la EDP de advecci\'{o}n
sobre cada uno de los nodos interiores del mallado considerado y
aproximar la derivada temporal en $(x_{i},t^{n})$ mediante una
f\'{o}rmula progresiva y la derivada espacial mediante una
f\'{o}rmula regresiva. M\'{a}s concretamente:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x_{i},t^{n})+V \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})=0\rightsquigarrow \dis\frac{u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{%
\Delta t}+V \dis\frac{u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}=0
\]
lo que nos permitir\'{a} expresar
\[
u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}
(u_{i-1}^{n}-u_{i}^{n})=c u_{i-1}^{n}+(1-c) u_{i}^{n}
\]
donde hemos denotado por $c$ al valor
\[
c=V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}
\]
que habitualmente se conoce con el nombre de \textbf{n\'{u}mero de
Courant} del esquema.

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Si }$V<0$\textit{\ el esquema resultante ser\'{i}a:}
\[
u_{i}^{n+1}=(1+c) u_{i}^{n}-c u_{i+1}^{n}
\]

Con ello se puede plantear el esquema de c\'{a}lculo recogido en
el algoritmo siguiente:

\emph{COMIENZO\ DEL\ ALGORITMO}

\emph{Definir el mallado concretando el valor de }$\Delta t$\emph{\ y de }$%
\Delta x$\emph{\ y de }$\{x_{i}\}_{i=1}^{N+1}$

\emph{Definir el valor de }$V$

\emph{\ }$c\leftarrow V \Delta t/\Delta x$

\emph{Evaluar }$u_{i}^{0}\dashleftarrow
u^{0}(x_{i})\;\;\;\;(i=1,...,N+1)$

\emph{Para }$n=0,1,2,......$

\emph{\ \ \ \ \ Conocidos los valores
}$\{u_{i}^{n}\}_{i=1}^{N+1}$\emph{\ }

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Para }$i=2$\emph{\ hasta
}$i=N+1$\emph{\ con paso }$1$\emph{\ hacer:}

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$u_{j}^{n+1}\leftarrow
c u_{i-1}^{n}+(1-c) u_{i}^{n}$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Fin bucle en }$i.$

\emph{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$u_{1}^{n+1}\leftarrow
u_{I}(t^{n+1})$

\emph{Fin bucle en }$n.$

\emph{Escritura de resultados}

\emph{FIN\ ALGORITMO.}

Apliquemos el esquema a la resoluci\'{o}n de un ejemplo. Para ello
consideremos el problema:
\[
\left\{
\begin{array}{llll}
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t) & +\dis\frac{\partial
u}{\partial x}(x,t)=0 &
0<x<10 & t>0 \\
u(0,t) & =u_{I}(t)\;\;t>0, &  &  \\
u(x,0) & =u^{0}(x) & 0\leq x\leq L &
\end{array}
\right\}
\]
siendo $u_{I}(t)=0$ y
\[
u^{0}(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
2 x & si\;x\in \left[ 0,0.5\right] \\
2 (1-x) & si\;x\in \left[ 0.5,1\right] \\
0 & si\;x\notin [0,1]
\end{array}
\right\}
\]

Consideremos inicialmente que $\Delta x=\Delta t=0.1.$ Con ello se
obtendr\'{a}n como puntos del mallado:
\[
x_{1}=0,\;\;x_{2}=0.1,\;\;x_{3}=0.2,.....,x_{i}=(i-1)
0.1,......,x_{101}=10.
\]
y como valores iniciales con los que arrancar el proceso de
c\'{a}lculo:
\[
u_{1}^{0}=0,\;\;u_{2}^{0}=0.2,\;\;u_{3}^{0}=0.4,\;\;u_{4}^{0}=0.6,%
\;u_{5}^{0}=0.8,\;\;u_{6}^{0}=1.0,\;\;u_{7}^{0}=0.8,
\]

\[
u_{8}^{0}=0.6,\;\;u_{9}^{0}=0.4,\;\;u_{10}^{0}=0.2,\;\;u_{11}^{0}=0,%
\;u_{12}^{0}=...=u_{101}^{0}=0
\]

Adem\'{a}s en este caso se tiene que $c=$ $1$ por lo que el
esquema de c\'{a}lculo se resume en:
\[
u_{i}^{n+1}=u_{i-1}^{n}
\]

En el instante de c\'{a}lculo $t^{1}=0.1$ se ir\'{a}n obteniendo
las siguientes aproximaciones de la soluci\'{o}n:
\[
u_{1}^{1}=u_{I}(0.1)=0,\;\;u_{2}^{1}=u_{1}^{0}=0.,\;%
\;u_{3}^{1}=u_{2}^{0}=0.2,\;u_{4}^{1}=u_{3}^{0}=0.4,\;%
\;u_{5}^{1}=u_{4}^{0}=0.6,...
\]

Una vez conocidas las soluciones en el intante $t^{1}$ podr\'{a}n
calcularse
la del instante $t^{2}=0.2$ mediante el mismo esquema: $%
u_{i}^{2}=u_{i-1}^{1}=u_{i-1}^{0}.$ En las figuras siguientes se
recogen las gr\'{a}ficas de la soluci\'{o}n aproximada y de la
soluci\'{o}n anal\'{i}tica que como ves son coincidentes.

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig631.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig632.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig633.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig634.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Volvamos a repetir el proceso anterior manteniendo $\Delta x=0.1$
pero disminuyendo el valor de $\Delta t$ al valor $\Delta t=0.05.$
Ello nos conduce a que el n\'{u}mero de Courant en este caso es:
\[
c=V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}=0.5
\]
por lo que el esquema de c\'{a}lculo se reduce a
\[
u_{i}^{n+1}=\dis\frac{u_{i-1}^{n}+u_{i}^{n}}{2}
\]
lo que, partiendo de los mismos valores iniciales nos conduce para
el instante $t^{1}=0.05$ a los valores:
\[
u_{1}^{1}=u_{I}(0.05)=0
\]

\[
u_{2}^{1}=\dis\frac{u_{1}^{0}+u_{2}^{0}}{2}=\dis\frac{0+0.2}{2}=0.1
\]

\[
u_{3}^{1}=\dis\frac{u_{2}^{0}+u_{3}^{0}}{2}=\dis\frac{0.2+0.4}{2}=0.3
\]

\[
u_{4}^{1}=\dis\frac{u_{3}^{0}+u_{4}^{0}}{2}=\dis\frac{0.4+0.6}{2}=0.5
\]

\[
u_{5}^{1}=\dis\frac{u_{4}^{0}+u_{5}^{0}}{2}=\dis\frac{0.6+0.8}{2}=0.7
\]

\[
..........
\]

Una vez obtenidos los valores en $t^{1}=0.05$ podremos pasar a
estimar los valores nodales en el instante $t^{2}=0.1$ mediante:

\[
u_{1}^{2}=u_{I}(0.1)=0
\]

\[
u_{2}^{2}=\dis\frac{u_{1}^{1}+u_{2}^{1}}{2}=\dis\frac{0+0.1}{2}=0.05
\]

\[
u_{3}^{2}=\dis\frac{u_{2}^{1}+u_{3}^{1}}{2}=\dis\frac{0.1+0.3}{2}=0.2
\]

\[
u_{4}^{2}=\dis\frac{u_{3}^{1}+u_{4}^{1}}{2}=\dis\frac{0.3+0.5}{2}=0.4
\]

\[
u_{5}^{2}=\dis\frac{u_{4}^{1}+u_{5}^{1}}{2}=\dis\frac{0.5+0.7}{2}=0.6
\]

\[
..........
\]

Si representamos los valores que se van obteniendo en sucesivos
instantes de tiempo obtendremos las siguientes gr\'{a}ficas:

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig635.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig636.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig637.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig638.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig639.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Puede observarse que, al igual que suced\'{\i}a en los problemas
difusivos, una discretizaci\'{o}n m\'{a}s fina en la variable
temporal ha sido contraproducente para los resultados obtenidos.

Busquemos la justificaci\'{o}n de este hecho. Un primer
razonamiento que puede hacerse es que en el caso en que el
n\'{u}mero de Courant $c=1$ el esquema resultante sigue
exactamente la recta caracter\'{i}sitica ya que, si
$x_{i}-t^{n}>0$:
\[
u_{i}^{n}=u_{i-1}^{n-1}=....=u_{i-n}^{0}=u^{0}(x_{i}-n \Delta
x)=u^{0}(x_{i}-n \Delta t)=u^{0}(x_{i}-t^{n})=u(x_{i},t^{n})
\]

Obviamente para otros valores de $\alpha $ el esquema no
seguir\'{a} la curva caracter\'{\i}stica de forma exacta.

Pero profundicemos un poco m\'{a}s en c\'{o}mo variar\'{a} la
soluci\'{o}n en funci\'{o}n del n\'{u}mero de Courant $c.$ Es
decir, analicemos el esquema.

\subsection{Orden de consistencia del esquema ``upwind''.}

Al igual que se hizo para la aproximaci\'{o}n de problemas
difusivos comencemos estudiando el orden de consistencia del
m\'{e}todo. Para ello se
tiene que, desarrollando la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica en torno al punto $%
(x_{i},t^{n}):$

\[
\dis\frac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}=\dis\frac{\partial u}{\partial t}%
(x_{i},t^{n})+\dis\frac{(\Delta t)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}%
(x_{i},t^{n})+\dis\frac{(\Delta t)^{2}}{6} \dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial t^{3}}(x_{i},t^{n})+...
\]
y

\[
\dis\frac{U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{\Delta t}=\dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x_{i},t^{n})-\dis\frac{(\Delta x)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},t^{n})+\dis\frac{(\Delta x)^{2}}{6} \dis\frac{\partial
^{3}u}{\partial x^{3}}(x_{i},t^{n})+...
\]
de donde,

\[
\dis\frac{U_{i}^{n+1}-U_{i}^{n}}{\Delta t}+V \dis\frac{U_{i}^{n}-U_{i-1}^{n}}{%
\Delta t}=\left( \dis\frac{\partial u}{\partial t}(x_{i},t^{n})+V \dis\frac{%
\partial u}{\partial x}(x_{i},t^{n})\right) +
\]

\[
+\left( \dis\frac{(\Delta t)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}%
(x_{i},t^{n})-V \dis\frac{(\Delta x)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})\right) +
\]

\[
+\left( \dis\frac{(\Delta t)^{2}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}%
(x_{i},t^{n})+V \dis\frac{(\Delta x)^{2}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}(x_{i},t^{n})\right) +...
\]

Al ser $u(x,t)$ soluci\'{o}n de la EDP de convecci\'{o}n se
verificar\'{a} que:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x_{i},t^{n})+V
\dis\frac{\partial u}{\partial x}(x_{i},t^{n})=0
\]
por lo que el error de consistencia del esquema estar\'{a} dado
por
\[
E_{i}^{n+1}=\left( \dis\frac{(\Delta t)}{2} \dis\frac{\partial
^{2}u}{\partial
t^{2}}(x_{i},t^{n})-V \dis\frac{(\Delta x)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})\right) +
\]

\[
+\left( \dis\frac{(\Delta t)^{2}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{\partial t^{3}}%
(x_{i},t^{n})+V \dis\frac{(\Delta x)^{2}}{6} \dis\frac{\partial ^{3}u}{%
\partial x^{3}}(x_{i},t^{n})\right) +...
\]
es decir, que en general el esquema ser\'{a} de orden $O(\Delta
t,\Delta x).$

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Si denotamos por }$T_{i}^{n+1}$\textit{\ a la parte
principal del error de consistencia del esquema se tendr\'{a}
que:}
\[
T_{i}^{n+1}=\dis\frac{(\Delta t)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}%
(x_{i},t^{n})-V \dis\frac{(\Delta x)}{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})\Rightarrow
\]
\[
\Rightarrow \dis\frac{2}{\Delta t} T_{i}^{n+1}=\dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial t^{2}}(x_{i},t^{n})-c \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}%
(x_{i},t^{n})
\]

\textit{Puesto que:}
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}(x,t)+V \dis\frac{\partial u}{\partial x}%
(x,t)=0
\]
\textit{si }$u(x,t)$\textit{\ es suficientemente regular, se
tendr\'{a} que:}
\[
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}(x,t)+V \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial t\partial x}(x,t)=0
\]
\textit{y}
\[
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x\partial t}(x,t)+V \dis\frac{\partial ^{2}u%
}{\partial x^{2}}(x,t)=0
\]
\textit{expresiones de las que se deduce que:}
\[
\dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}(x,t)-V^{2} \dis\frac{\partial ^{2}u}{%
\partial x^{2}}(x,t)=0
\]

\textit{Entrando con esta igualdad particularizada en el punto }$%
(x_{i},t^{n})$\textit{\ en la expresi\'{o}n de
}$T_{i}^{n+1}$\textit{\ se tiene que:}
\[
\dis\frac{2}{\Delta t} T_{i}^{n+1}=(V^{2}-V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}%
) \dis\frac{\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}(x_{i},t^{n})
\]
\textit{por lo que si}
\[
\dis\frac{\Delta t}{\Delta x}=V
\]
\textit{el t\'{e}rmino principal del error de consistencia
desaparecer\'{a} y el orden del esquema ser\'{a} superior.}

\subsection{El m\'{e}todo de von Neumann aplicado al estudio de la
estabilidad del esquema ``upwind''.}

La estabilidad de un esquema como el que se acaba de presentar es
susceptible de ser analizado mediante t\'{e}cnicas de an\'{a}lisis
espectral como las desarrolladas para el caso de los problemas
difusivos. No obstante, por introducir otra t\'{e}cnica para el
estudio de la estabilidad, realizaremos este estudio mediante el
m\'etodo de von Neumann.

Dicha t\'{e}cnica consiste en comparar el comportamiento de las
soluciones aproximadas sobre problemas que admitan como
soluci\'{o}n anal\'{\i}tica alg\'{u}n arm\'{o}nico de Fourier, es
decir soluciones de la forma
\[
u(x,t)=A e^{i (k x+w t)}
\]
donde ahora $i$ representa la unidad imaginaria $i=\sqrt{-1}.$ \es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\emph{Ve\'anse los anexos a este tema para un estudio detallado
sobre los arm\'onicos de Fourier y su representaci\'on f\'{\i}sica
como una onda en donde se introducen conceptos tales como n\'umero
de onda ($k$), longitud de onda ($\lambda =2\pi /k$), pulsaci\'on
($w$) o peri\'odo ($T$).} \es


Para que tal funci\'{o}n sea soluci\'{o}n anal\'{\i}tica de la
EDP:
\[
\dis\frac{\partial u}{\partial t}+V\dis\frac{\partial u}{\partial
x}=0
\]
se debe verificar que
\[
w=-V k
\]
por lo que tal arm\'{o}nico puede expresarse como
\[
u(x,t)=A e^{i k (x-V t)}=e^{-i V k t} A e^{i k x}
\]
y como
\[
u(x,0)=u^{0}(x)=A e^{i k x}
\]
la soluci\'{o}n en cualquier punto $x$ y en cualquier instante $t$
responde a la expresi\'{o}n:
\[
u(x,t)=e^{-i V k t} u^{0}(x)
\]

Esta forma de escribir la expresi\'{o}n anterior nos indica que la
soluci\'{o}n anal\'{\i}tica en un instante $t$ puede obtenerse
como el producto de la soluci\'{o}n inicial multiplicada por
$e^{-i V k t}.$ Un ra\-zo\-na\-mien\-to an\'{a}logo nos
conducir\'{\i}a a que:
\[
u(x,t+\Delta t)=e^{-i V k \Delta t} u(x,t)
\]

Es decir, es la funci\'{o}n (compleja) $G(k \Delta t)=e^{-i V k
\Delta t}$ la responsable de ``modificar'' nuestra soluci\'{o}n de
un instante $t$ a otro $t+\Delta t.$ En cualquier punto $x$ y en
el instante $t+\Delta t$ puede obtenerse el m\'{o}dulo de:
\[
\left| u(x,t+\Delta t)\right| =\left| G(k \Delta t) u(x,t)\right|
=\left| G(k \Delta t)\right|  \left| u(x,t)\right|
\]

Es decir, que la onda arm\'{o}nica que representa la soluci\'{o}n
anal\'{\i}tica se ver\'{a} amplificada o amotiguada al ser
multiplicada por el valor $\left| G(k \Delta t)\right| .$ Por este
motivo a dicho valor se le denominar\'{a} \textbf{factor de
amplificaci\'{o}n exacto}. Es obvio que en este caso:
\[
\left| G(k \Delta t)\right| =1
\]

Pero cuando se trabaja con n\'{u}meros complejos, adem\'{a}s del
m\'{o}dulo, debe tambi\'{e}n determinarse su argumento. En este
sentido se tiene que:
\[
\arg (u(x,t+\Delta t))=\arg (G(k \Delta t) u(x,t))=\arg (G(k
\Delta t))+\arg (u(x,t))
\]

La expresi\'{o}n anterior nos indica que el argumento de
$u(x,t+\Delta t)$ ser\'{a} el de $u(x,t)$ m\'{a}s el argumento de
$G(k \Delta t)$. Por
ello al valor $\arg (G(k \Delta t))$ se le denominar\'{a} \textbf{%
factor de desfase exacto}. Tambi\'{e}n es evidente que en este
caso:

\[
\arg (G(k \Delta t))=V k \Delta t
\]

Cuando consideremos una discretizaci\'{o}n temporal de paso
$\Delta t$ y una espacial de paso $\Delta x$ ser\'{a} c\'{o}modo
expresar los par\'{a}metros anteriores en funci\'{o}n del
n\'{u}mero de Courant
\[
c=V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}
\]
escribiendo $G(c,k \Delta x)$ en lugar de $G(k \Delta t)$ con lo
que
\[
\arg (G(c,k \Delta x))=c k \Delta x
\]
\es

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{Obs\'{e}rvese que los resultados anteriores nos expresan
que la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica verifica:}
\[
u(x,t+\Delta t)=u(x-V \Delta t,t)
\]
\textit{lo que, procediendo recursivamente, es otra forma de
confirmar que la soluci\'{o}n anal\'{\i}tica del problema est\'{a}
dada por: }
\[
u(x,t+\Delta t)=u(x-V (t+\Delta t),0)=u^{0}(x-V (t+\Delta t))
\]

Hasta aqu\'{\i} todo lo dicho se ha referido a la soluci\'{o}n
anal\'{i}tica. \textquestiondown C\'{o}mo son las soluciones
aproximadas que nos produce nuestro esquema?. Estas estar\'{a}n
dadas por:
\[
u_{j}^{n+1}=(1+c) u_{j}^{n}-c u_{j+1}^{n}
\]
por lo que, para el primer paso de tiempo se tendr\'{a} que:
\[
u_{j}^{1}=c u_{j-1}^{n}+(1-c) u_{j}^{n}=c A e^{i k (x_{j}- \Delta
x)}+(1-c) A e^{i k x_{j}}=
\]

\[
=A e^{i k x_{j}} (1-c (1-e^{-i k \Delta x}))=(1-c (1-e^{-i k
\Delta x})) u_{j}^{0}=g(c,k \Delta x) u_{j}^{0}
\]

Este mismo razonamiento, realizado de forma recurrente, nos
conduce a que:
\[
u_{j}^{n+1}=(1-c (1-e^{-i k \Delta x})) u_{j}^{n}=g(c,k \Delta x)
u_{j}^{n}
\]

\begin{definition} Se denomina \textbf{factor de amplificaci\'{o}n del
esquema num\'{e}rico} al valor:
\[
\left| g(c,k \Delta x)\right|.
\]
\end{definition}

\begin{definition} Se denomina \textbf{factor de desfase del esquema
num\'{e}rico} al valor:
\[
\arg (g(c,k \Delta x)).
\]\end{definition}


Obviamente interesar\'{a} que el \textbf{error de
amplificaci\'{o}n y el error de fase }definidos como:
\[
E_{a}=\left| g(c,k \Delta x)\right| -\left| G(c,k \Delta x)\right|
=\left| g(c,k \Delta x)\right| -1
\]

\[
E_{\varphi }=\arg (G(c,k \Delta x))-\arg (g(c,k \Delta x))
\]
sean lo m\'{a}s pr\'{o}ximos a 0 posible. Examinemos c\'{o}mo
ser\'{a}n en este caso. Para ello se tienen las siguientes
proposiciones:

\begin{proposition} Para el esquema ``upwind'' se verifica que:
\[
\text{Si }c>1:\;\;\max_{k}\left| g(c,k \Delta x)\right| =\left|
g(c,\pi )\right| =2 c-1>1
\]

\[
\text{Si }c\leq 1:\;\;\max_{k}\left| g(c,k \Delta x)\right| =1.
\]
\end{proposition}

\underline{Demostraci\'{o}n:}

\[
g(c,k \Delta x)=1-c (1-e^{-i k \Delta x})=1-c (1-\cos (k \Delta
x))-i c \sin(k \Delta x)
\]

Por tanto,

\[
\left| g(c,k \Delta x)\right| ^{2}=(1-c)^{2}+c^{2} \cos ^{2}(k
\Delta x)+2 c (1-c) \cos (k \Delta x)+\]

\[c^{2} \sin^{2}(k \Delta x)=(1-c)^{2}+c^{2}+2 c (1-c) \cos (k \Delta x)=
\]

\[
=(1-c)^{2}+c^{2}+2 c (1-c)+2 c (1-c) (\cos (k \Delta x)-1)=
\]

\[
=1-2 c (1-c) (1-\cos (k \Delta x))
\]
de donde
\[
{Sup}_{k}\left| g(c,k \Delta x)\right| =M\acute{a}x\left( 1,\left|
1-2 c\right| \right)
\]
de donde es evidente el resultado de la proposici\'{o}n.

\hspace{10cm}c.q.d.

\begin{proposition} \emph{Se verifica que:}
\[
g(c,k \Delta x)=g(c,k^{\prime } \Delta x)\;\;\;\;\;\;\forall
k,k^{\prime }\;/\;k \Delta x=k \Delta x+2 \pi
\]

\[
g(c,k \Delta x)=\overline{g}(c,-k \Delta x)\qquad \forall k\in \R.
\]
\end{proposition}

\underline{Demostraci\'{o}n:} \es

Evidente si se tiene en cuenta que:
\[
g(c,k \Delta x)=1-c (1-e^{-i k \Delta x})=1-c (1-\cos (k \Delta
x))-i c \sin(k \Delta x)
\]


\hspace{10cm}c.q.d

\begin{proposition} Para peque\~{n}os valores de $K=k \Delta x,$ es decir, para
grandes longitudes de onda respecto a $\Delta x,$ se verifica que:
\[
E_{a}=-\dis\frac{c (1-c)}{2} K^{2}+O(K^{4})
\]

\[
E_{\varphi }=\dis\frac{c (2 c-1) (1-c)}{6} K^{3}+O(K^{5}).
\]
\end{proposition}

\underline{\textbf{Demostraci\'{o}n:}}

Desarrollando en serie en torno a $K=0$ la expresi\'{o}n obtenida
en la demostraci\'{o}n de la proposici\'{o}n VI.10 para $\left|
g(c,K)\right| ^{2} $ se tiene que:
\[
\left| g(c,K)\right| ^{2}=1-c (1-c) K^{2}+O(K^{4})
\]
luego
\[
\left| g(c,K)\right| =1-\dis\frac{c (1-c)}{2} K^{2}+O(K^{4})
\]
de donde se tiene la expresi\'{o}n del error de amplitud dada en
el enunciado.

Para analizar el error de fase designemos por $\varphi =\arg
(g(c,K)).$ Se verificar\'{a} entonces que:
\[
\sin(\varphi )=\dis\frac{c \sin(K)}{\left| g(c,K)\right| }
\]
y puesto que para peque\~{n}os valores de $K:$%
\[
\sin(K)=K-\dis\frac{K^{3}}{6}+O(K^{5})
\]
y
\[
\dis\frac{1}{\left| g(c,K)\right| }=1+\dis\frac{c (1-c)}{2}
K^{2}+O(K^{4})
\]
se tendr\'{a} que:
\[
\dis\frac{c \sin(K)}{\left| g(c,K)\right| }=c K+c \left(
\dis\frac{c (1-c)}{2}-\dis\frac{1}{6}\right)  K^{3}+O(K^{5})
\]
Si por otra parte se considera que:
\[
\varphi (K)=\varphi _{1} K+\varphi _{3} K^{3}+O(K^{5})
\]
se tendr\'{a} que
\[
\sin(\varphi (K))=\varphi _{1} K+(\varphi _{3}-\dis\frac{\varphi _{1}%
}{6}) K^{3}+O(K^{5})
\]
e identificando ambos desarrollos se tiene que:
\[
\varphi _{1}=c,\;\;\;\varphi _{3}=\dis\frac{c}{6} (1-2 c) (c-1)
\]
por lo que, para peque\~{n}os valores de $K:$%
\[
E_{\varphi }=\arg (G(c,K))-\arg (g(c,K))=c K-c K-\dis\frac{c}{6}
(1-2 c) (c-1) K^{3}+O(K^{5})\Rightarrow
\]

\[
\Rightarrow E_{\varphi }=\dis\frac{c}{6} (2 c-1) (1-c)
K^{3}+O(K^{5}).\quad\quad \quad \quad \mbox{c.q.d}\]

Obs\'{e}rvese que seg\'{u}n lo anterior, el error de amplitud es
negativo y de orden $1$ en $\Delta x.$ Adem\'{a}s el error de fase
es de orden $2$ y es negativo si $0<c<1/2$ siendo positivo en otro
caso. Por otra parte, el factor de amplificaci\'{o}n num\'{e}rico ser\'{a} superior a $1$ cuando $c>1.$ En otros t%
\'{e}minos, puesto que:
\[
u_{j}^{n}=\left| g(c,K)\right|  u_{j}^{n-1}=\left| g(c,K)\right|
^{2} u_{j}^{n-2}=.....=\left| g(c,K)\right| ^{n} u_{j}^{0}
\]
la soluci\'{o}n tender\'{a} a explotar cuando $n$ tienda a
infinito si $c>1.$ Ello justifica (que no demuestra) el siguiente
teorema cuya demostraci\'{o}n rigurosa podr\'{a}s encontrar en
Morton y Mayers\footnote{K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994)
Numerical solution of Partial Differential Equations. Ed.
Cambridge University Press.}:

\begin{theorem} Una condici\'{o}n necesaria y suficiente para que el
esquema ``upwind'' sea estable es que se verifique la
condici\'{o}n:
\[
c=V \dis\frac{\Delta t}{\Delta x}\leq 1.
\]
\end{theorem}

\underline{\textbf{NOTA:}}

\textit{La condici\'{o}n recogida en el teorema anterior (u otra
an\'{a}loga en la que var\'{\i}e la cota del n\'{u}mero de
Courant) aparece en el estudio de muy diferentes esquemas y se
conoce con el nombre de condici\'{o}n de Courant-Fiedrichs-Lewy (o
brevemente como condici\'{o}n CFL).}

Conocida la expresi\'{o}n de factor de amplificaci\'{o}n
num\'{e}rico
puede representarse para distintos valores de  $%
K=k \Delta x$ y distintos valores del n\'{u}mero de Courant $c.$ A\'{u}%
n m\'{a}s ilustrativo es tomar como eje de abscisas el valor de
\[
\dis\frac{\Delta x}{\lambda }
\]
donde $\lambda $ es la longitud de onda del arm\'{o}nico (y que
como puede consultarse en el anexo a este tema se relaciona con el
n\'{u}mero de onda $k$
por la relaci\'{o}n: $k=2 \pi /\lambda ).$ Ello nos conduce a gr\'{a}%
ficas como la siguiente

\begin{figure}
  \centering
   \includegraphics[width=0.6\textwidth]{fig640.eps}
    %\caption{}
    %\label{figura1}
\end{figure}

Puedes observar en ella que para distintos valores de $c$ menores
que $1$ el factor amortiguamiento sigue curvas muy diferentes lo
cual, al realizar sucesivas etapas de c\'{a}lculo nos puede
conducir a soluciones que no exploten (que sean estables) pero
tiendan a desaparecer. De todas formas,
como parece evidente, cuando los valores de $\Delta x/\lambda $ son peque%
\~{n}os (mallados espaciales muy finos) el valor del factor de
amplificaci\'{o}n m\'{a}s se aproxima a la unidad. \es

\newpage

\underline{\textbf{NOTA FINAL:}} \es

\emph{La disponibilidad de tiempo nos ha hecho tratar tan s\'{o}lo
uno de los esquemas en diferencias para aproximar problemas
convectivos. No obstante existen muchos otros (expl\'{\i}citos,
como el que aqu\'{\i} hemos considerado, e impl\'{\i}citos). Entre
ellos merece la pena al menos citar los esquemas de Lax,
Lax-Wendroff, Leap-frog, QUICK, etc... No nos queda m\'{a}s
remedio que remitirte a la bibliograf\'{\i}a sobre este tema para
encontrar detalles sobre ellos.}
\newpage

\section{Bibliograf\'{\i}a}
\begin{itemize}
\item A. Bamberger. (1982) Analyse numerique des \'{e}quations aux deriv\'{e}es
partielles. Support du cours de DEA. Universit\'{e} Pierre et
marie Curie.
\item  R.L. Burden y J. D. Faires. (1998) An\'{a}lisis num\'{e}rico. (6${{}^a}$
edici\'{o}n). Ed. Thomson International.
\item C. Conde y E. Schiavi (2000). Guiones de la
asignatura de Elementos de Matem\'aticas. Universidad Rey Juan
Carlos.
\item C. Conde y G. Winter (1.991) M\'{e}todos y algoritmos b\'{a}sicos del \'{a}%
lgebra num\'{e}rica. Ed. Revert\'{e}.
\item D. Euvrard. (1994) R\'{e}solution num\'{e}rique des \'{e}quations aux deriv%
\'{e}es partielles de la physique, de la m\'{e}canique et des
sciences de
l'ing\'{e}nieur. Diff\'{e}rences finies, \'{e}l\'{e}ments finis, probl\`{e}%
mes en domaine non born\'{e}. (3${{}^a}$ edici\'{o}n) Ed. Masson.
\item S. Godunov y V. Rabenki (1977) Sch\'{e}mes aux differences. Ed. Mir.
\item L. Lapidus y G.F. Pinder.(1982) Numerical solution of partial differential
equations in science and engineering. Ed.: John Wiley.
\item G. Marchouk (1980) M\'{e}thodes de calcul num\'{e}rique. Ed. Mir.
\item F. Michavila y C. Conde. (1987).
M\'etodos de aproximaci\'on. Ed. Universidad Polit\'ecnica de
Madrid.
\item K.W. Morton y D.F. Mayers. (1994) Numerical solution of Partial
Differential Equations. Ed. Cambridge University Press.
\item R.D. Ritchmyer y K.W. Morton (1967) Difference Methods for Initial Value
Problems. 2${{}^a}$ edici\'{o}n. Ed.:Wiley-Interscience. Reimpreso
en 1994 por Ed. Kreiger.
\item Schiavi, E., Mu\~noz Montalvo, A.I., Conde, C. (2012).
M\'etodos Matemáticos para los Grados en Ingenier\'{\i}a. Primera
parte: teor\'{\i}a. Ed. Dykinson, Textos Docentes 31, Universidad
Rey Juan Carlos, ISBN: 978-84-15454-58-8.
\item M. Sibony y J. Cl. Mardon (1984) Analyse num\'{e}riqe II: Approximation et
\'{e}quations differentielles. Ed Hermann.
\item G.D.\ Smith
(1.985) Numerical Solution of partial Differential Equations.
Finite Difference Methods. (3${{}^a}$ edici\'{o}n, 4${{}^a}$
reimpresi\'{o}n (1996)). Ed. Clarendon Press.
\item Zill, D. G. (1997). Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de
modelado. (VI edici\'on) Ed. International Thomson editores.
\end{itemize}

%\part{Lógica de proposiciones}
%\include{cap1}
%\include{cap2}
%\include{cap3}
%\include{repasolp}
%\part{Lógica de predicados de primer orden}
%\include{cap4}
%\include{cap5}
%\include{cap6}
%\include{repaso}
\appendix
%\include{Kleene}
%\include{bibliography}


\end{document}