DESCOMPOSICIÓN DE MATRICES COMO SUMA DE UNA MATRIZ DIAGONALIZABLE Y UNA MATRIZ DE CUADRADO CERO

Abstract

El presente Trabajo de Fin de Grado intenta dar respuesta, en la medida de lo posible, a la pregunta: ¿¿Pueden todas las matrices cuadradas descomponerse como suma de una matriz diagonalizable y una matriz de cuadrado cero?¿. Para ello, se realiza una revisión del artículo de Danchev, García y Gómez, que proporciona una condición suficiente relacionada con la cardinalidad del cuerpo sobre el que se define la matriz. No obstante, dicho texto deja algunas preguntas abiertas, puesto que no recoge todos los casos y la condición dada no es necesaria. Es por ello que en este documento se tratará de estudiar, ejemplificar y ampliar el resultado principal del artículo previamente mencionado.

En primer lugar, se resume y analiza el artículo en cuestión. A continuación, se revisan dos casos: las matrices cuadradas de orden 3 y de orden 4, ambas definidas sobre el cuerpo finito de 3 elementos. Las primeras constituyen un contraejemplo a la pregunta, ya que existen matrices de este tipo que no admiten dicha descomposición. Las segundas sí se pueden descomponer, y, sin embargo, no cumplen la condición suficiente descrita en el artículo citado. Más aún, se estudian en profundidad dos casos nuevos: las matrices de orden 4 definidas sobre el cuerpo finito de 4 elementos y las de orden 5 sobre el cuerpo de 5 elementos.

Todo ello viene precedido de los preliminares sobre los que se sustenta la teoría matemática del documento. En estos, se tratan los conceptos básicos sobre módulos finitamente generados, matrices compañeras y formas canónicas matriciales.