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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\parskip=.20em
\oddsidemargin -0.25cm \headsep -0.5cm \textwidth=15.5cm
\textheight=22.5cm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\begin{titlepage}

%\raggedright
\centering{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{URJC-Logo-PNG-1.eps}\par}
\vspace{1cm} %\raggedleft
\begin{center} {\bfseries\Large EX\'AMENES RESUELTOS DE TEOR\'IA Y
PR\'ACTICAS
\par} \vspace{0.5cm}
{\bfseries\Large M\'ETODOS MATEM\'ATICOS APLICADOS A LA\par}
\vspace{0.5cm}

{\bfseries\Large INGENIER\'IA\par} \vspace{0.5cm}

%{\bfseries\Large   EJERCICIOS Y PR\'ACTICAS\par}
\vspace{1cm}

{\scshape Asignaturas:\par}\vspace{0.5cm}


 {\scshape \large  M\'etodos matem\'aticos
aplicados a la Ing. de Materiales} \vspace{0.5cm}

 {\scshape \large  M\'etodos matem\'aticos
aplicados a la Ing. de Energ\'{\i}a} \vspace{0.5cm}

{\scshape \large M\'etodos num\'ericos (m\'odulo I) en el M\'aster
en Ing. Industrial \par} \vspace{0.5cm}
%{\scshape\Large PARA M\'ASTER Y GRADOS EN INGENIER\'IA \par}
\vspace{1cm}

%{\itshape\Large M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la
%Ingenier\'{\i}a  \par}

%\vfill {\Large Autor: \par}
{\Large A. I. Mu\~noz Montalvo\par}

{\Large Septiembre 2022
\par}\vspace{2cm}

{\large{\copyright 2022. Autora: A. I. Mu\~noz
Montalvo.\\
Algunos derechos reservados.\\
Este documento se distribuye bajo la licencia internacional
Creative Commons Attribution-ShareAlike 4.0 International
License.\\ Disponible en:
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/}}\vspace{0.5cm}

{\large{Publicado en: https://burjcdigital.urjc.es}}
\end{center}

\end{titlepage}

\tableofcontents

\newpage


\section{ EX\'AMENES RESUELTOS DE TEOR\'IA}

\subsection{Examen de Junio. M\'etodos num\'ericos. Curso 2021-2022.}




\begin{enumerate}
\item 5 puntos. Se considera el PVI dado por:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^{'}=-2y^2 t,\\
 y(0)=1.
\end{array}\right.\]
Utilizar los esquemas num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito y de
Heun, dado por la tabla
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$\\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$%
\end{tabular}
$
\end{center}
para obtener el valor aproximado de la soluci\'on en $t=0.5$,
utilizando un paso de discretizaci\'on $h=0.25$.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

\begin{itemize}
\item M\'etodo de Euler expl\'{\i}cito: \\
$y0=1$ (valor inicial).

$y1=y0+0.25f(t0,y0)=1+0=1$ (valor aproximado en t=0.25).

$y2=y1+0.25f(t1,y1)=1-0.125=0.875$ (valor aproximado en t=0.5).

\item M\'etodo de Heun:\\
$t_{0,1}=0,\, t_{0,2}=0.25,\, y_{0,1}=y0=1,\,
y_{0,2}=y0+0.25f(t_{0,1},y_{0,1})=1.$

Valor aproximado en t=0.25:
$$y1=y0+0.125f(t_{0,1},y_{0,1})+0.125f(t_{0,2},y_{0,2})=1-0.0625=0.9375.$$

$t_{1,1}=0.25,\, t_{1,2}=0.5,\, y_{1,1}=y1=0.9375,\,
y_{1,2}=y1+0.25f(t_{1,1},y_{1,1})=0.8276.$

Valor aproximado en t=0.5:
$$y2=y1+0.125f(t_{1,1},y_{1,1})+0.125f(t_{1,2},y_{1,2})=0.7969.$$
\item Error:

Se resuelve la edo de variables separadas para obtener la
soluci\'on exacta:
$$y=\left(\frac{t^2}{2}+1 \right)^{-1}.$$

Por tanto, el valor exacto en t=0.5, es y(0.5)=0.8.

El error cometido con el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito:
$|0.8-0.875|$=0.075.

El error cometido con el m\'etodo de Heun: $|0.8-0.7969|$=0.0031.
\end{itemize}



\vspace{1cm}

\item 5 puntos. Considera el siguiente problema evolutivo unidimensional de
convecci\'on:
$$
(P)\,\doteq \,\left\{\begin{array}{rclll} \displaystyle{\frac{
\partial u}{\partial t}(x,t)+ \frac{ \partial u}{\partial x}(x,t)}
& = & u+1 , & 0< x\leq 1, & 0< t\leq 1, \\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(0, t) & = & t , & 0< t\leq 1, &
%\mbox{Condici\'on de Contorno}
\\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = &  -x+1 , & 0\leq x\leq 1. &
%\mbox{Condici\'on Inicial}
\end{array}\right.
$$
Resolver el problema utilizando un esquema en diferencias finitas
a partir de una f\'ormula progresiva para aproximar la derivada
temporal y regresiva para aproximar la derivada espacial, tomando
como pasos de discretizaci\'on $\Delta x=0.5$ y $\Delta t=0.5$.


\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

Nodos: $x_1=0$, $x_2=0.5$ y $x_3=1$.
\begin{itemize}
\item Etapa inicial: $u_1^0=1$, $u_2^0=0.5$ y $u_3^0=0$.

\item Para el resto de etapas tenemos que utilizar el siguiente
esquema en diferencias:

$$u_i^{n+1}=u_i^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}
(u_i^n-u_{i-1}^n)+\Delta t ( u_i^n+1)=\frac{\Delta t}{\Delta
x}u_{i-1}^n +\left(1+\Delta t-\frac{\Delta t}{\Delta x}
\right)u_i^n+\Delta t=u_{i-1}^n +0.5u_{i}^n+0.5. $$

Etapa 1, t=0.5:

 $u_1^1$=0.5 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^1=u_1^0+0.5u_2^0+0.5=1.75,\,u_3^1=u_2^0+0.5u_3^0+0.5=1.$$

Etapa 2, t=1:

 $u_1^2$=1 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^2=u_1^1+0.5 u_2^1+0.5=2.375,\,u_3^2=u_2^1+0.5u_3^1+0.5=2.75.$$
\end{itemize}




\end{enumerate}

\newpage

\subsection{Examen de Mayo. M\'et. Mat. aplicados a la Ing. de Materiales. Curso 2021-2022}

\vspace{1cm}

\begin{enumerate}

\item 3 puntos. Se considera la ecuaci\'on $f(x)=e^{-x}-x^2=0$. Encontrar
un intervalo en el que se pueda garantizar la existencia de al
menos una ra\'{\i}z. Aplicar un algor\'{\i}tmo del punto fijo para
encontrar una aproximaci\'on de la \'unica ra\'{\i}z con un error
inferior a $10^{-3}$. Utilizar 4 cifras decimales en los
c\'alculos. \vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}} Consideramos $f(x)=e^{-x}-x^2$, y vemos que se
cumplen las hip\'otesis del teorema de Bolzano de el intervalo
$[0,1]$, puesto que $f(1)=e^{-1}-1<0$ y $f(0)=1$. Por tanto,
podemos asegurar que en dicho intervalo existe al menos una
ra\'{\i}z.

Definimos la funci\'on $g(x)=e^{-x/2}$. Esta funci\'on verifica
que si $g(x)=x$ entonces $f(x)=0$, por tanto, en principio podemos
considerarla como candidata a definir un esquema de punto fijo
para buscar la ra\'{\i}z en [0,1]. Para darla por v\'alida,
tenemos que ver si es contractiva en dicho intervalo. Para ello,
consideramos la derivada
$$g^{'}(x)=-\frac{e^{-x/2}}{2}.$$
Se observa f\'acilmente que en [0,1], dicha derivada en valor
absoluto est\'a acotada por $\frac{1}{2}$, por tanto, es
contractiva y tomamos como constante de contracci\'on, $k=0.5$

Tomando como semilla $x_0=1$, el n\'umero de iteraciones $n$ a
realizar para alcanzar la tolerancia permitida ser\'ia:
$$n>\frac{ ln(\frac{\epsilon (1-k)}{|x_1-x_0|})}{ln(k)}=2.9772,$$
donde $x_1=g(x_0)=0.6065$ y $\epsilon=0.001$. Basta hacer 3
iteraciones, $x_2=g(x_1)=-0.7384$ y $x_3=g(x_2)=0.6912.$

La soluci\'on pedida ser\'{\i}a: $x^*=0.6912.$ \vspace{1cm}





\item 3 puntos. Consid\'erese el problema de valor inicial:
\[
(PVI)\,\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^{'} =-t^2 y, \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema num\'erico
de Euler expl\'{\i}cito y el de Heun, dado por la siguiente tabla
(tipo Runge -Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}
\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido con cada uno de los m\'etodos.
\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}} Calculamos los valores aproximados con cada uno
de los esquemas:
\begin{itemize}
\item M\'etodo de Euler expl\'{\i}cito: \\
$y0=1$ (valor inicial).

$y1=y0+0.5f(t0,y0)=1+0=1$ (valor aproximado en t=0.5).

$y2=y1+0.5f(t1,y1)=1-0.125=0.875$ (valor aproximado en t=1).

\item M\'etodo de Heun:\\
$t_{0,1}=0,\, t_{0,2}=0.5,\, y_{0,1}=y0=1,\,
y_{0,2}=y0+0.5f(t_{0,1},y_{0,1})=1.$

Valor aproximado en t=0.5:
$$y1=y0+0.25f(t_{0,1},y_{0,1})+0.25f(t_{0,2},y_{0,2})=1-0.0625=0.9375.$$

$t_{1,1}=0.5,\, t_{1,2}=1,\, y_{1,1}=y1=0.9375,\,
y_{1,2}=y1+0.5f(t_{1,1},y_{1,1})=0.8204.$

Valor aproximado en t=1:
$$y2=y1+0.25f(t_{1,1},y_{1,1})+0.25f(t_{1,2},y_{1,2})=0.6739.$$
\item Error:

Se resuelve la edo de variables separadas para obtener la
soluci\'on exacta:
$$y=e^{-t^3 /3}.$$

Por tanto, el valor exacto en t=1, es y(1)=0.7165.

El error cometido con el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito:
$|0.7165-0.875|$=0.1585.

El error cometido con el m\'etodo de Heun:
$|0.7165-0.6739|$=0.0426.
\end{itemize}

\vspace{1cm}



\vspace{1cm}
\item 4 puntos. Considera el dominio abierto $\Omega $ de frontera formada
por los lados $L1,$ $L2,$ $L3$ y $L4$ que se recoge en la
figura.\\
\begin{figure}[h]
 \centering
       \includegraphics[width=0.20\textwidth]{dominio.eps}
    \caption{Dominio $\Omega $, su frontera $L1 \bigcup L2\bigcup L3\bigcup L4$ y correspondiente mallado de tama\~no h=1.
    El origen de coordenadas se localiza en el nodo 1.}
   % \label{figura101}
\end{figure}

Sobre dicho dominio se pretende resolver mediante un m\'{e}todo en
diferencias el problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-2\nabla \cdot \left( \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right) +u(x,y)=0, &
en\;\Omega,
\\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L1 \bigcup L4, \\ [0.3cm] \left[ - \nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L2\bigcup L3,
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n, dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=\left\{
\begin{array}{l}
-xy\\
yx
\end{array}
\right\}
\] y $\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)$ es el vector normal unitario
exterior en el punto $(x,y)$ de la frontera de $\Omega $. Se pide
escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el plantear
un esquema en diferencias finitas de \textbf{5 puntos en cruz}
\textbf{para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
progresivo para la aproximaci\'{o}n de las derivadas parciales de
primer orden}, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de las
correspondientes condiciones de contorno, en los nodos $10$, $12$
y $15$ del mallado dado.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar, vemos como queda la ecuaci\'on:

$$-2\nabla \cdot (\nabla u)+\nabla (\overrightarrow{V}u)+u=0,$$
$$-2\Delta u+\frac{\partial}{\partial x}(-xyu)+\frac{\partial}{\partial y}(xyu)+u=-2\Delta u
-xy\frac{\partial u}{\partial x}+xy\frac{\partial u}{\partial
y}+(x-y+1)u=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 10
de coordenadas (1,2). Para ello utilizamos el esquema de cinco
puntos en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-2\frac{u_{14} +u_9+u_6+u_{11}-4u_{10}}{1^2}-2\frac{u_{11}-u_{10}}{1}
+2\frac{u_{14}-u_{10}}{1}+0=0,$$ de donde
$$-2u_6-2u_9+12u_{10}-4u_{11}=0$$
$$-2u_6+12u_{10}-4u_{11}=0,$$ ya que $u_9=0$, por la condici\'on
de contorno.

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 12
de coordenadas (3,2). Para ello utilizamos el esquema de cinco
puntos en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-2\frac{u_{16} +u_8+u_F+u_{11}-4u_{12}}{1^2}-6\frac{u_{F}-u_{12}}{1}
+6\frac{u_{16}-u_{12}}{1}+2u_{12}=0,$$ donde el nodo ficticio es
F=(4,-2).

Utilizamos la condici\'on de contorno aplicada en el nodo 12, para
hallar el de valor $u_F$:

$$\left[ -2 \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(1,0).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-2\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{12} +(-6u_{12},6u_{12})(1,0)=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{12} =-3u_{12}, \,
\frac{u_F-u_{12}}{1}=-3u_{12},\, u_F=-2u_{12},$$ con lo que la
ecuaci\'on resultante es,
$$-2u_8-2u_{11}+26u_{12}+4u_{16}=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 15
de coordenadas (2,3). Para ello utilizamos el esquema de cinco
puntos en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-2\frac{u_{14} +u_G+u_{11}+u_{16}-4u_{15}}{1^2}-6\frac{u_{16}-u_{15}}{1}
+6\frac{u_{G}-u_{15}}{1}+0=0,$$ donde el nodo ficticio es
$G=(2,4)$.

Utilizamos la condici\'on de contorno aplicada en el nodo 15, para
hallar el de valor $u_G$:
$$\left[ -2 \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(0,1).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-2\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{15} +(-6u_{15},6u_{15})(0,1)=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{15} =3u_{15}, \,
\frac{u_G-u_{15}}{1}=3u_{15},\, u_G=4u_{15},$$ con lo que la
ecuaci\'on resultante es,
$$-2u_{11}-2u_{14}-8u_{16}=0.$$


\end{enumerate}

\newpage

\subsection{Examen de Enero. M\'etodos num\'ericos. Curso 2021-2022.}


\begin{enumerate}


\item 4 puntos. Consid\'erese el problema de valor inicial:
\[
(PVI)\,\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^{'} = 2y^{1/2}t, \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]En el intervalo temporal $[0,1]$, utilizar el esquema num\'erico
de Euler expl\'{\i}cito y el de Heun, dado por la siguiente tabla
(tipo Runge -Kutta):
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$ \\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline
& $0.5$ & $0.5$%
\end{tabular}
$
\end{center}
\noindent para obtener un valor aproximado de la soluci\'on $y(t)$
en el tiempo $t=1$, considerando una longitud de paso constante
$h=0.5$. Hallar el error cometido con cada uno de los m\'etodos.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

\begin{itemize}
\item M\'etodo de Euler expl\'{\i}cito: \\
$y0=1$ (valor inicial).

$y1=y0+0.5f(t0,y0)=1+0=1$ (valor aproximado en t=0.5).

$y2=y1+0.5f(t1,y1)=1+0.5=1.5$ (valor aproximado en t=1).

\item M\'etodo de Heun:\\
$t_{0,1}=0,\, t_{0,2}=0.5,\, y_{0,1}=y0=1,\,
y_{0,2}=y0+0.5f(t_{0,1},y_{0,1})=1.$

Valor aproximado en t=0.5:
$$y1=y0+0.25f(t_{0,1},y_{0,1})+0.25f(t_{0,2},y_{0,2})=1+0+0.25=1.25.$$

$t_{1,1}=0.5,\, t_{1,2}=1,\, y_{1,1}=y1=1.25,\,
y_{1,2}=y1+0.5f(t_{1,1},y_{1,1})=1.25.$

Valor aproximado en t=1:
$$y2=y1+0.25f(t_{1,1},y_{1,1})+0.25f(t_{1,2},y_{1,2})=1.25+0.295+0.672=2.217.$$
\item Error:

Se resuelve la edo de variables separadas para obtener la
soluci\'on exacta:
$$y=\left(\frac{t^2}{2}+1 \right)^2.$$

Por tanto, el valor exacto en t=1, es y(1)=2.25.

El error cometido con el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito:
$|2.25-1.5|$=0.75.

El error cometido con el m\'etodo de Heun: $|2.25-2.217|$=0.33.




\end{itemize}




\item 3 puntos. Consideramos el problema evolutivo unidimensional de
convecci\'{o}n si\-guien\-te:
$$
(P)\,\doteq \,\left\{\begin{array}{rclll} 2\frac{ \partial
u}{\partial t}(x,t)- \frac{ \partial u}{\partial x}(x,t) & = & u
, & 0< x\leq 1, & 0< t\leq 1, \\ [0.2cm] \noalign{\smallskip} u(0,
t) & = & t , & 0< t\leq 1, &
%\mbox{Condici\'on de Contorno}
\\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = &  x(1-x) , & 0\leq x\leq 1. &
%\mbox{Condici\'on Inicial}
\end{array}\right.
$$
Resolver el problema utilizando un esquema en diferencias finitas a partir de
una f\'{o}rmula progresiva de orden 1 para aproximar la derivada
temporal y de una f\'{o}rmula regresiva de orden 1 para aproximar
la derivada espacial, y tomando como pasos de
discretizaci\'{o}n espacial y temporal
$\Delta x=0.5$ y $\Delta t=0.5.$

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

Nodos: $x_1=0$, $x_2=0.5$ y $x_3=1$.
\begin{itemize}
\item Etapa inicial: $u_1^0=0$, $u_2^0=0.25$ y $u_3^0=0$.

\item Para el resto de etapas tenemos que utilizar el siguiente
esquema en diferencias:

$$u_i^{n+1}=u_i^n +\frac{\Delta t}{2\Delta x}
(u_i^n-u_{i-1}^n)+\frac{\Delta t}{2} u_i^n=\frac{-\Delta
t}{2\Delta x}u_{i-1}^n +\left(1+\frac{1}{2}+\frac{\Delta t}{2}
\right)u_i^n=-0.5u_{i-1}^n +1.75u_{i}^n. $$

Etapa 1, t=0.5:

 $u_1^1$=0.5 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^1=-0.5 u_1^0+1.75 u_2^0=0.875,\,u_3^1=-0.5 u_2^0+1.75
u_3^0=-0.125.$$

Etapa 2, t=1:

 $u_1^2$=1 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^2=-0.5 u_1^1+1.75 u_2^1=0.778,\,u_3^2=-0.5,\, u_2^1+1.75,\,
u_3^1=-0.656.$$




\end{itemize}
\vspace{1cm}


\item 3 puntos. Considera el dominio abierto $\Omega $ de frontera formada
por los lados $L1,$ $L2,$ $L3$ y $L4$ que se recoge en la figura.
\begin{figure}[h]
 \centering
       \includegraphics[width=0.3\textwidth]{dominio.eps}
   \caption{Dominio $\Omega $, su frontera $L1 \bigcup L2\bigcup L3\bigcup L4$ y correspondiente mallado de tama\~no h=1.}
   % \label{figura101}
\end{figure}
Sobre dicho dominio, siendo el nodo 1 el punto $(0,0)$ y el tama\~no de discretizaci\'on $h=1$, se pretende resolver mediante un m\'{e}todo en
diferencias el problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-\nabla \cdot \left( \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right) +u(x,y)=0, &
en\;\Omega,
\\ [0.3cm]
u(x,y)=0, & en\;L1 \bigcup L3, \\ [0.3cm] \left[ - \nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L2\bigcup L4,
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n que se considera dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=\left\{
\begin{array}{l}
x\\
-y
\end{array}
\right\}
\]y $\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)$ es el vector normal unitario
exterior en el punto $(x,y)$ de la frontera de $\Omega $. Se pide
escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el plantear
un esquema en diferencias finitas de \textbf{5 puntos en cruz}
\textbf{para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
progresivo para la aproximaci\'{o}n de las derivadas parciales de
primer orden}, junto a, en su caso, la imposici\'{o}n de las
correspondientes condiciones de contorno, en los nodos $3$ y $10$
del mallado dado.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar, vemos como queda la ecuaci\'on:

$$-\nabla \cdot (\nabla u)+\nabla (\overrightarrow{V}u)+u=0,$$
$$-\Delta u+\frac{\partial}{\partial x}(xu)+\frac{\partial}{\partial y}(-yu)+u=-\Delta u+
x\frac{\partial u}{\partial x}-y\frac{\partial u}{\partial y}+u=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 3 de
coordenadas (2,0). Para ello utilizamos el esquema de cinco puntos
en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-\frac{u_7 +u_2+u_4+u_F-4u_3}{1^2}+2\frac{u_4-u_3}{1} +0+u_3=0$$
donde el nodo ficticio es F=(2,-1).

Utilizamos la condici\'on de contorno aplicada en el nodo 3, para
hallar el de valor $u_F$:

$$\left[ - \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(0,-1).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_3 +(2u_3,0)(0,-1)=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_3 =0, \,
\frac{u_F-u_3}{1}=0,$$

$u_F=u_3$, con lo que la ecuaci\'on resultante es,
$$-u_2+2u_3+u_4-u_7=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 10
de coordenadas (1,2). Para ello utilizamos el esquema de cinco
puntos en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-\frac{u_9 +u_{14}+u_{11}+u_6-4u_{10}}{1^2}+\frac{u_{11}-u_{10}}{1} +(-2)\frac{u_{14}-u_{10}}{1}+u_{10}=0,$$
$$-u_6-u_9+6u_{10}-u_{11}-3u_{14}=0,
\,-u_6+6u_{10}-u_{11}-3u_{14}=0,$$ ya que $u_9=0$ por la
condici\'on de contorno.
\end{enumerate}


\newpage

\subsection{Examen de Junio. M\'etodos num\'ericos. Curso 2020-2021.}


\vspace{1cm}

\begin{enumerate}
\item 5 puntos. Se considera el PVI dado por:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^{'}=-y^3 t,\\
 y(0)=1.
\end{array}\right.\]
Utilizar los esquemas num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito y de
Heun, dado por la tabla
\begin{center}
$
\begin{tabular}{r|rr}
$0$ & $0$ & $0$\\
$1$ & $1$ & $0$ \\ \hline & $\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$%
\end{tabular}
$
\end{center}
para obtener el valor aproximado de la soluci\'on en $t=0.5$,
utilizando un paso de discretizaci\'on $h=0.25$.



\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

\begin{itemize}
\item M\'etodo de Euler expl\'{\i}cito: \\
$y0=1$ (valor inicial).

$y1=y0+0.25f(t0,y0)=1+0=1$ (valor aproximado en t=0.25).

$y2=y1+0.25f(t1,y1)=1-0.0625=0.9375$ (valor aproximado en t=0.5).

\item M\'etodo de Heun:\\
$t_{0,1}=0,\, t_{0,2}=0.25,\, y_{0,1}=y0=1,\,
y_{0,2}=y0+0.25f(t_{0,1},y_{0,1})=1.$

Valor aproximado en t=0.25:
$$y1=y0+0.125f(t_{0,1},y_{0,1})+0.125f(t_{0,2},y_{0,2})=1-0.03125=0.96875.$$

$t_{1,1}=0.25,\, t_{1,2}=0.5,\, y_{1,1}=y1=0.96875,\,
y_{1,2}=y1+0.25f(t_{1,1},y_{1,1})=0.9119.$

Valor aproximado en t=0.5:
$$y2=y1+0.125f(t_{1,1},y_{1,1})+0.125f(t_{1,2},y_{1,2})=0.0.8929.$$
\item Error:

Se resuelve la edo de variables separadas para obtener la
soluci\'on exacta:
$$y=\left(\frac{t^2}{2}+1 \right)^{-1/2}.$$

Por tanto, el valor exacto en t=0.5, es y(0.5)=0.8944.

El error cometido con el m\'etodo de Euler expl\'{\i}cito:
$|0.8944-0.9375|$=0.0431.

El error cometido con el m\'etodo de Heun:
$|0.8944-0.8929|$=0.0015.
\end{itemize}

\vspace{1cm}

\item 5 puntos. Considera el siguiente problema evolutivo unidimensional de
convecci\'on:
$$
(P)\,\doteq \,\left\{\begin{array}{rclll} \displaystyle{\frac{
\partial u}{\partial t}(x,t)+ \frac{ \partial u}{\partial x}(x,t)}
& = & u+1 , & 0< x\leq 1, & 0< t\leq 1, \\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(0, t) & = & 1 , & 0< t\leq 1, &
%\mbox{Condici\'on de Contorno}
\\ [0.2cm]
\noalign{\smallskip} u(x,0) & = &  -x^2+1 , & 0\leq x\leq 1. &
%\mbox{Condici\'on Inicial}
\end{array}\right.
$$
Resolver el problema utilizando un esquema en diferencias finitas
a partir de una f\'ormula progresiva para aproximar la derivada
temporal y regresiva para aproximar la derivada espacial, tomando
como pasos de discretizaci\'on $\Delta x=0.5$ y $\Delta t=0.5$.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

Nodos: $x_1=0$, $x_2=0.5$ y $x_3=1$.
\begin{itemize}
\item Etapa inicial: $u_1^0=1$, $u_2^0=0.75$ y $u_3^0=0$.

\item Para el resto de etapas tenemos que utilizar el siguiente
esquema en diferencias:

$$u_i^{n+1}=u_i^n -\frac{\Delta t}{\Delta x}
(u_i^n-u_{i-1}^n)+\Delta t ( u_i^n+1)=\frac{\Delta t}{\Delta
x}u_{i-1}^n +\left(1+\Delta t-\frac{\Delta t}{\Delta x}
\right)u_i^n+\Delta t=$$ $$u_{i-1}^n +0.5u_{i}^n+0.5. $$

Etapa 1, t=0.5:

 $u_1^1$=1 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^1=u_1^0+0.5u_2^0+0.5=1.875,\,u_3^1=u_2^0+0.5u_3^0+0.5=1.25.$$

Etapa 2, t=1:

 $u_1^2$=1 por la condici\'on de contorno; los
otros dos valores se calculan siguiendo el esquema:
$$u_2^2=u_1^1+0.5 u_2^1+0.5=2.4375,\,u_3^2=u_2^1+0.5u_3^1+0.5=3.$$

\end{itemize}

\end{enumerate}
\newpage


\subsection{Examen de Mayo. M\'et. Mat. aplicados a la Ing. de Materiales. Curso 2020-2021}
\vspace{1cm}
\begin{enumerate}

\item 3 puntos. Considera la ecuaci\'on $f(x)=\sqrt{x+1}-tan(x)=0$:
 Demostrar que $f(x)$ tiene una ra\'{\i}z en $[0.5,1]$.
Resolver la ecuaci\'on $f(x)=0$ utilizando un m\'etodo del punto
fijo, verificando que la funci\'on $g(x)$ elegida es contractiva
en las proximidades de la ra\'{\i}z y hallando un n\'umero de
iteraciones suficiente para que $|x_i -x_{i-1}|<10^{-2}$.

\vspace{1cm}
 {\bf{Soluci\'on}.}
Consideramos $f(x)=\sqrt{x+1}-tan(x)$, y vemos que se cumplen las
hip\'otesis del teorema de Bolzano de el intervalo $[0.5,1]$,
puesto que $f$ es continua, $f(0.5)<0$ y $f(1)>0$. Por tanto,
podemos asegurar que en dicho intervalo existe al menos una
ra\'{\i}z.

Definimos la funci\'on $g(x)=atan(\sqrt{x+1})$. Esta funci\'on
verifica que si $g(x)=x$ entonces $f(x)=0$, por tanto, en
principio, podemos considerarla como candidata a definir un
esquema de punto fijo para hallar una aproximaci\'on de la
ra\'{\i}z en [0.5,1]. Para darla por v\'alida, vamos a estudiar si
es contractiva en dicho intervalo. Para ello, consideramos su
derivada
$$g^{'}(x)=\frac{1}{x+2}\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$$
Se observa f\'acilmente que en [0.5,1], dicha derivada en valor
absoluto est\'a acotada, a simple vista, por $\frac{1}{4}$. En
realidad en dicho intervalo, la cota superior es el valor
$g^{'}(0.5)<0.25$. Hemos visto que $g$ es contractiva y tomamos
como constante de contracci\'on $k=0.25.$

Tomando como semilla $x_0=1$, tenemos que: $x_1=g(x_0)=0.9553$,
$x_2=g(x_1)=0.9499$, $x_3=g(x_2)=0.9493$ y vemos que
$|x_3-x_2|<0.01$, que es la codici\'on de parada del esquema
iterativo que nos dice el enunciado.

La soluci\'on pedida ser\'{\i}a: $x^*=0.9493.$ \vspace{1cm}


\item  4 puntos. Se considera el problema de valor inicial:
\[
(PVI)\,\displaystyle \left\{
\begin{array}{l}
y^{'} =-t(y+1)^2 \\[0.2cm]
y(0)=1.%\\[0.2cm]
%\noalign{\smallskip}y^{\prime }(0) & = & 0.
\end{array}
\right.
\]

En el intervalo temporal $[0,0.5]$, utilizar el esquema num\'erico
tipo Runge-Kutta, dado por la tabla:

\begin{center}
$
\begin{tabular}{c|ccc}
$0$ & $0$ & $0$ & $0$\\
$\frac{1}{2}$ & $\frac{1}{2}$ & $0$ & $0$\\
$1$ & $-1$ & $2$ & $0$&  \hline   & $\frac{1}{6}$ & $\frac{4}{6}$ & $\frac{1}{6}$%
\end{tabular}
$
\end{center}

para encontrar un valor aproximado de la soluci\'on en $t=0.5$
tomando un tama\~no de discretizaci\'on $h=0.25$ (usar 3 cifras
decimales). Calcular el error cometido.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

$$t_{0,1}=0,\, t_{0,2}=0.125,\,t_{0,3}=0.25,$$

$$y_{0,1}=y0=1,\, y_{0,2}=y0+0.5hf(t_{0,1},y_{0,1})=1,$$

$$y_{0,3}=y0-hf(t_{0,1},y_{0,1})+2hf(t_{0,2},y_{0,2})=1-0.25=0.75.$$

Valor aproximado en t=0.25:
$$y1=y0+(0.25/6)[f(t_{0,1},y_{0,1})+4f(t_{0,2},y_{0,2})+f(t_{0,3},y_{0,3})]=0.887$$

$$t_{1,1}=0.25,\, t_{1,2}=0.375,\,t_{1,3}=0.5,$$

$$y_{1,1}=y1=0.887,\, y_{1,2}=y1+0.5hf(t_{1,1},y_{1,1})=0.442,$$

$$y_{1,3}=y1-hf(t_{1,1},y_{1,1})+2hf(t_{1,2},y_{1,2})=0.722.$$

Valor aproximado en t=0.5:
$$y2=y1+(0.25/6)[f(t_{1,1},y_{1,1})+4f(t_{1,2},y_{1,2})+f(t_{1,3},y_{1,3})]=0.659$$


Error:

Se resuelve la edo de variables separadas para obtener la
soluci\'on exacta:
$$y=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

Por tanto, el valor exacto en t=0.5, es y(0.5)=0.6.

El error cometido con el m\'etodo num\'erico es:
$|0.6-0.659|$=0.059.


\vspace{1cm}



\item 3 puntos. Considera el dominio abierto $\Omega $ de frontera formada
por los lados $L1,$ $L2$ y $L3$ que se recoge en la figura.
\begin{figure}[h]
 \centering
       %\includegraphics[width=0.4\textwidth]{examen2021.eps}
       \includegraphics[width=0.7\textwidth]{triangulo.eps}
   \caption{Dominio $\Omega $, su frontera $L1 \bigcup L2\bigcup L3$ y correspondiente mallado de tama\~no h=1,
  estando el nodo 1 localizado en el origen de coordenadas $(0,0)$.}
   % \label{figura101}
\end{figure}
Sobre dicho dominio se pretende resolver mediante un m\'{e}todo en
diferencias el problema de contorno siguiente:
\[
\left\{
\begin{array}{ll}
-2\nabla \cdot \left( \nabla u(x,y)\right) +\nabla \cdot \left(
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)u(x,y)\right) +2u(x,y)=0, &
en\;\Omega,
\\ [0.3cm] \left[ - 2\nabla
u(x,y)+\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y) u(x,y)\right] \cdot
\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)=0, & en\;L1\bigcup L2\bigcup L3,
\end{array}
\right.
\]
donde $\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)$ es el campo de
velocidades de convecci\'{o}n que se considera dado por:
\[
\overrightarrow{\mathbf{V}}(x,y)=\left\{
\begin{array}{l}
x-y\\
x+y
\end{array}
\right\}
\]y $\overrightarrow{\mathbf{n}}(x,y)$ es el vector normal unitario
exterior en el punto $(x,y)$ de la frontera de $\Omega $. Se pide
escribir las ecuaciones algebraicas a las que conduce el plantear
un esquema en diferencias finitas de \textbf{5 puntos en cruz}
\textbf{para la aproximaci\'{o}n del t\'{e}rmino difusivo y
contracorriente para el convectivo}, junto a, en su caso, la
imposici\'{o}n de las correspondientes condiciones de contorno, en
los nodos $3$ y $6$ del mallado dado.

\vspace{1cm}

{\bf{Soluci\'on.}}

En primer lugar, vemos como queda la ecuaci\'on:

$$-2\nabla \cdot (\nabla u)+\nabla (\overrightarrow{V}u)+2u=0,$$
$$-2\Delta u+\frac{\partial}{\partial x}((x-y)u)+\frac{\partial}{\partial y}((x+y)u)+2u=-2\Delta u+
+(x-y)\frac{\partial u}{\partial x}+(x+y)\frac{\partial
u}{\partial y}+4u=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 3 de
coordenadas (2,0). Para ello utilizamos el esquema de cinco puntos
en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
contracorriente para el convectivo, resultando:
$$-2\frac{u_7 +u_4+u_2+u_{F1}-4u_{3}}{1^2}+2\frac{u_{3}-u_{2}}{1}
+2\frac{u_{3}-u_{F1}}{1}+4u_3=0,$$ de donde
$$-4u_2+16u_3-2u_4-2u_7-4u_{F1}=0,$$
donde el nodo ficticio $F1$ tiene coordenadas (2,-1). Utilizamos
la condici\'on de contorno aplicada en el nodo 3, para hallar el
de valor $u_{F1}$:

$$\left[ -2 \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(0,-1).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-2\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{3} +(2u_{3},2u_{3})(0,-1)=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{3} =-u_{3}, \,
\frac{u_{F1}-u_3}{1}=-u_{3},\, u_{F1}=0,$$ con lo que la
ecuaci\'on resultante es,
$$-4u_2+16u_3-2u_{4}-2u_{7}=0.$$

Calculamos la ecuaci\'on algebraica que se obtiene en el nodo 6 de
coordenadas (1,1). Para ello utilizamos el esquema de cinco puntos
en cruz para la aproximaci\'on del laplaciano y un esquema
descentrado progresivo para el convectivo, resultando:
$$-2\frac{u_{F2} +u_{F3}+u_2+u_7-4u_6}{1^2}+0
+2\frac{u_{6}-u_{2}}{1}+4u_{6}=0,$$ donde los nodos ficticios son
F2=(1,2) y F3=(0,1).

Utilizamos la condici\'on de contorno aplicada en el punto
f2=(1.5,1.5), para hallar el de valor $u_{F2}$:

$$\left[ -2 \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot \overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-2\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f2} +(0,3u_{f2})(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f2}
=\frac{u_{F2}-u_{f2}}{\sqrt{2}/2}=\frac{3}{2\sqrt{2}}u_{f2},$$
$$u_{F2}=\frac{7}{4}u_{f2}=\frac{7}{8}(u_6+u_4).$$

Utilizamos la condici\'on de contorno aplicada en el punto
f3=(0.5,5.5), para hallar el de valor $u_{F3}$:

$$\left[ -2 \nabla u+\overrightarrow{\mathbf{V}}
u\right] \cdot\overrightarrow{\mathbf{n}}=0,$$ donde la normal es
el vector $\overrightarrow{\mathbf{n}}=(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}).$

Haciendo sencillos c\'alculos, se tiene que:

$$-2\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f3} +(0,u_{f3})(-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2})=0,
\,\left(\frac{\partial u}{\partial n}\right)_{f3}
=\frac{u_{F3}-u_{f3}}{\sqrt{2}/2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}u_{f3} ,$$
$$u_{F3}=\frac{5}{4}u_{f3}=\frac{5}{8}(u_6+u_1).$$

Con los c\'alculos anteriores, se tiene que la ecuaci\'on
resultante es,
$$-\frac{5}{4}u_1-4u_2+11u_{6}-2u_7-\frac{7}{4}u_9=0.$$


\end{enumerate}

\newpage

\section{EX\'AMENES RESUELTOS DE PR\'ACTICAS CON OCTAVE/MATLAB}

\vspace{1cm}

{\bf{Observaciones:}} Los c\'odigos utilizados han sido creados
por los profesores A.I. Mu\~noz, A. Nolla y E. Schiavi y est\'an
publicados en https://burjcdigital.urjc.es, bajo el t\'{\i}tulo
\emph{C\'odigos en Octave/MATLAB, seminarios y pr\'acticas.
M\'etodos Matem\'aticos aplicados a la Ingenier\'{\i}a}. La mayor
parte de dichos c\'odigos son adaptaciones de las funciones del
libro {\em C\'alculo cient\'ifico con MATLAB y Octave} de A.
Quarteroni, F. Saleri, que se pueden obtener en
https://mox.polimi.it/qs/.

Toda l\'{\i}nea que comience por \% indicar\'a un comentario y lo
que siga al s\'{\i}mbolo prompt del sistema, \texttt{$>$}, es una
l\'{\i}nea de comandos. \vspace{2cm}


\subsection{Examen de Junio. M\'et. Mat. aplicados a la Ing. de Materiales. Curso 2021-2022.}

\vspace{0.5cm}


\begin{enumerate}
\item 3 puntos. Encontrar la ra\'{\i}z de la ecuaci\'on
$x^2-sen(x)-1=0$, utilizando el m\'etodo de bipartici\'on con una
tolerancia de $10^{-4}$.

\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on}} \\
\texttt{$>$ fecu=@(x) x.\^\,2-sin(x)-1;}\\

\texttt{$>$ I=[-2:0.1:2]; plot(I,fecu(I));}\% vemos por d\'onde est\'an las ra\'{\i}ces\\

\%\% Primera ra\'{\i}z\\

\texttt{$>$ a=-1;b=-0.5; fecu(a),fecu(b)} \%\% vemos que toman
signos diferentes\\

\texttt{$>$ errorper=1e-4;maxitera=100;}\\

\texttt{$>$ [sol1,itera1]=metbiseccion(fecu,a,b,errorper,maxitera)}\\

\%\%\%Soluci\'on: sol1=-0.6368; itera1=12;\\

\%\% Segunda ra\'{\i}z\\

\texttt{$>$ a2=1;b2=1.5; fecu(a2),fecu(b2)} \%\% vemos que toman signos diferentes\\

\texttt{$>$ [sol2,itera2]=metbiseccion(fecu,a2,b2,errorper,maxitera)}\\

\%\%\% Soluci\'on: sol2=1.4096, itera2=12;

\vspace{1cm}


\item 4 puntos. Se considera el PVI dado por:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^{'}=-y^3e^t,\\
y(0)=1.
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Utilizar los esquemas num\'ericos de Euler impl\'{\i}cito (eulerimplicito.m) y
Heun (heun.m) para obtener valores aproximados de la soluci\'on en
$t=0.01$ y $t=0.6$.

\item Dibujar las soluciones
obtenidas en el intervalo temporal $[0,1]$, con los dos m\'etodos
en un mismo plot.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
 {\bf{Soluci\'on}}\\

\texttt{$>$ f=@(t,y) -(y.\^\,3).*exp(t); valorini=1; npasos=100;}\\
\texttt{$>$ intiempo=[0,1];}\\
\%\%\% con Euler impl\'{\i}cito\\
\texttt{$>$ [solt,solyei]=eulerimplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ c1=find(solt==0.01);}\\
\texttt{$>$ solyei(c1)}\%\%\% 0.9902\\
\texttt{$>$ c2=find(solt==0.6);}\\
\texttt{$>$ solyei(c2)}\%\%\% 0.6163\\

 \%\%\%\% con Heun\\
\texttt{$>$ [solt,solyheun]=heun(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ solyheun(c1)}\%\%\% 0.9901\\
\texttt{$>$ solyheun(c2)}\%\%\% 0.6150\\
\%\%\%\%\\

\texttt{$>$ figure; plot(solt,solyei,'r',solt,solyheun,'b');}\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{figuraEJ2re2122.eps}
\caption{Resultados: en rojo los valores obtenidos con Euler
impl\'{\i}cito y en azul con Heun. Las gr\'aficas se solapan.}
\end{figure}




\vspace{1cm}

\item  3 puntos. Sea dado el problema de transporte difusivo y convectivo
definido por el PVC:

\[ \left\{
\begin{array}{l}
-u^{''}+2u^{'}+u=2(cos(x)+sen(x)),\quad  x\in (0,2),\\
u(0)=0,\, u(2)=sen(2),\end{array}\right.\] cuya soluci\'on
anal\'{\i}tica es: $u(x) =sen(x).$ Aplicar el algoritmo
bvpdirichlet.m para calcular la soluci\'on en el intervalo $[0,
2]$ con paso de discretizaci\'on $h = 0.125$. Dibujar la
soluci\'on anal\'{\i}tica junto con la soluci\'on num\'erica.
Determinar los valores m\'aximos y m\'{\i}nimos de la soluci\'on
num\'erica, as\'{\i} como su localizaci\'on.


\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on}}\\

\texttt{$>$ a=0;b=2;ua=0;ub=sin(2);}\\

\texttt{$>$ numeronodos=(2/0.125)+1;D=1;V=2;Q=1; fd=@(x)
2.*(cos(x)+sin(x));}\\
\texttt{$>$ [xh,uh]=bvpdirichlet(a,b,numeronodos,D,V,Q,fd,ua,ub);}\\

\texttt{$>$ solexacta=@(x) sin(x); figure;}\\

\texttt{$>$ plot(xh,uh,'r',xh,solexacta(xh),'k');}\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{figuraEJ3re2122.eps}
\caption{Resultados obtenidos. En rojo los valores num\'ericos y
en negro, los valores exactos. Las gr\'aficas de la soluci\'on
num\'erica y la exacta, pr\'acticamente se solapan.}
\end{figure}


\texttt{$>$ maximo=max(uh)}\%\%\% 0.993\\
\texttt{$>$ minimo=min(uh)}\%\%\% 0\\
\texttt{$>$ cmaximo=find(uh==maximo);}\\
\texttt{$>$ xmax=xh(cmaximo)}\%\%\% 1.6250\\
\texttt{$>$ cminimo=find(uh==minimo);}\\
\texttt{$>$ xmin=xh(cminimo)}\%\%\% 0



\end{enumerate}


\newpage
\subsection{Examen de Mayo. M\'et. Mat. aplicados a la Ing. de Materiales. Curso 2021-2022.}

\begin{enumerate}
\item 5 puntos. Se considera la ecuaci\'on $f(x)=e^{-2x}-sen(x)=0$.
Encontrar una aproximaci\'on de la ra\'{\i}z existente en el
intervalo $[0,1]$, utilizando el m\'etodo de Newton. Utilizar una
tolerancia de $10^{-5}$.

\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on.}}\\
\texttt{$>$ fecu=@(x) exp(-2.*x)-sin(x);}\\
\texttt{$>$ xx=[-1:0.1:1];}\\
\texttt{$>$ plot(xx,fecu(xx))}\\
\%\% entre 0.4 y 0.6 se observa que hay una ra\'{\i}z\\
\texttt{$>$ dfecu=@(x) -2.*exp(-2.*x)-cos(x)}\\
\texttt{$>$ x0=0.4; errorper=1e-5; maxitera=1000;}\\
\texttt{$>$ [soln,iteran]=metnewton1ec(fecu,dfecu,x0,errorper,maxitera)}\\

\%\% como soluci\'on da  soln=0.4336, iteran=3.\\
\vspace{1cm}

\item 10 puntos. Se considera el PVI dado por:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^{'}=tcos^2(y),\\
y(0)=0.
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Utilizar los esquemas num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito y
Heun para obtener valores aproximados de la soluci\'on en $t=0.25$
y $t=0.5$.

\item Dibujar las soluciones
obtenidas en el intervalo temporal $[0,1]$ con los dos m\'etodos y
la soluci\'on exacta en un mismo plot.
\end{enumerate}

\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on.}}

\texttt{$>$ f=@(t,y) t.*(cos(y)).\^{} 2;}\\
\texttt{$>$ intiempo=[0 1];valorini=0;npasos=100;}\%\%\% tomo
h=0.01\\

\texttt{$>$ [solt,solyee]=eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ [solt,solyhe]=heun(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ t1=min(find(solt>=0.25));}\%\% tambi\'en
t1=find(t==0.25);\\

\texttt{$>$ t2=min(find(solt>=0.5));}\\
\texttt{$>$ solyee(t1),solyhe(t1)}\% soluciones en 0.25, 0.029992,
0.031240\\

\texttt{$>$ solyee(t2),solyhe(t2)} \% soluciones en 0.5, 0.1219,
0.1244\\
\%\% soluci\'on exacta\\
\texttt{$>$ exac=@(tt) atan(0.5.*tt.\^\,2); figure;}\\
\texttt{$>$
plot(solt,solyee,'ro',solt,solyhe,'b*',solt,exac(solt),'g+')}\\

\begin{figure}[h]
 \centering

\includegraphics[width=0.4\textwidth]{figuraEJ2mayo2122.eps}
\caption{Resultados obtenidos con Euler expl\'{\i}cito en rojo,
con Heun en azul y valores exactos en verde. Las gr\'aficas
pr\'acticamente se solapan.}
\end{figure}

\%\%\% Los resultados son similares y por eso, las tres gr\'aficas
pr\'acticamente se solapan.





\item  5 puntos. Sea dado el problema de transporte difusivo y convectivo
definido por el PVC:

\[ \left\{
\begin{array}{l}
-2u^{''}+3u^{'}-u=sen(x)+3cos(x),\quad  x\in (0,1),\\
u(0)=0,\, u(1)=sen(1),\end{array}\right.\] cuya soluci\'on
anal\'{\i}tica es: $$u(x) =sen(x).$$ Aplicar el algoritmo
bvpdirichlet.m para calcular la soluci\'on en el intervalo $[0,
\pi]$ con paso de discretizaci\'on $h = 0.125$. Dibujar la
soluci\'on anal\'{\i}tica junto con la soluci\'on num\'erica.
Determinar los valores m\'aximos y m\'{\i}nimos de la soluci\'on
num\'erica.

\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on.}}\\

\texttt{$>$ a=0; b=1; D=1; V=3; Q=-1;}\\
\texttt{$>$  fd=@(x) sin(x)+3.*cos(x); ua=0; ub=sin(1);}\\
\texttt{$>$ numeronodos=(2/0.125)+1;}\\
\texttt{$>$
[xh,uh]=bvpdirichlet(a,b,numeronodos,D,V,Q,fd,ua,ub);}\\
\texttt{$>$ solexac=sin(xh); figure;}\\
\texttt{$>$ plot(xh,uh,'r',xh,solexac,'g')}\\
\texttt{$>$ max(uh)}\% m\'aximo de la soluci\'on num\'erica
0.8415\\ \texttt{$>$ min(uh)}\% m\'{\i}nimo de la soluci\'on
num\'erica   0.\\

\begin{figure}
\centering{\includegraphics[width=0.4\textwidth]{fuguraEJ3mayo2122.eps}\par}
\caption{Resultados obtenidos: en rojo, la soluci\'on num\'erica y
en verde, la exacta. }
\end{figure}
\newpage

\end{enumerate}
\newpage

\subsection{Examen de Junio. M\'et. Mat aplicados a la
Ingenier\'{\i}a de Materiales. Curso 2020-2021.} \vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item 5 puntos Se considera el PVI dado por:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
y^{'}=te^{-2y},\\
y(0)=ln(2).
\end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Utilizar los esquemas num\'ericos de Euler expl\'{\i}cito y
Heun para obtener valores aproximados de la soluci\'on en
$t=0.01$, $t=0.42$ y $t=0.5$.
\item Dibujar las soluciones
obtenidas en el intervalo temporal $[0,0.5]$ con los dos m\'etodos
y la soluci\'on exacta en un mismo plot.
\end{enumerate}

\vspace{1cm} {\bf{Soluci\'on.}}\\

\texttt{$>$ f=@(t,y) t.*exp(-2.*y); valorini=log(2); npasos=50;}\\
\texttt{$>$ intiempo=[0 0.5];}\\
\%\%\% con euler expl\'{\i}cito\\
\texttt{$>$ [solt,solyee]=eulerexplicito(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ c1=find(solt==0.01);}\\
\texttt{$>$ solyee(c1)} \%\%\% 0.6931\\
\texttt{$>$ c2=min(find(solt$>$=0.42));}\\
\texttt{$>$ solyee(c2)} \%\%\% 0.7142\\
\texttt{$>$ c3=min$(find(solt>=0.5))$;}\\
\texttt{$>$ solyee(c3)} \%\%\% 0.7229\\
\%\%\%con Heun\\
\texttt{$>$ [solt,solyheun]=heun(f,intiempo,valorini,npasos);}\\
\texttt{$>$ solyheun(c1)}\%\%\%0.6932\\
\texttt{$>$ solyheun(c2)}\%\%\%0.7147\\
\texttt{$>$ solyheun(c3)}\%\%\%0.7235\\
\%\%\% soluci\'on exacta $y=0.5*ln(t^2+4)$;\\
\texttt{$>$ solexac=0.5.*log(solt.\^{}2+4); figure;}\\
\texttt{$>$ plot(solt,solyee,'r',solt,solyheun,'b',solt,solexac,'c')}\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{figuraEJ1junio2021.eps}
\caption{Resultados obtenidos con Euler expl\'{\i}cito en rojo,
con Heun en azul y valores exactos en cian. Las gr\'aficas
pr\'acticamente se solapan.}
\end{figure}


\vspace{1cm}

\item 5 puntos. Sea dado el PVIC:
\[ \left\{
\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial t} =\frac{1}{4} \frac{\partial ^2
u}{\partial x^2}
+ f(x,t),\\
u(x,t)=g(x,t),\quad x=0,\quad x=0.5,\\
u(x,0) = u_0(x),\quad  x \in(0,0.5),\end{array}\right.\] donde
$$f(x,t) = x,\, g(x,t) = t,\,u _0(x) = 0.$$

\begin{enumerate}
\item Obtener los valores de las soluciones en $x=0.25$ y $x=0.5$ para $t=1$,  utilizando el algoritmo
ecucalor.m con $\theta=0.5$ (Crank-Nicholson), tomando como pasos
de discretizaci\'on espacial y temporal $\Delta x = 0.05$ y
$\Delta t = 0.02$, respectivamente.
\item Dibujar la soluci\'on obtenida para $t=1$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

 {\bf{Soluci\'on.}}\\


\texttt{$>$ C=0.25; intespacio=[0 0.5]; intiempo=[0 1];}\\
\texttt{$>$ pasosespacio=0.5/0.05; pasostiempo=1/0.02;
theta=0.5;}\\
\texttt{$>$ u0=@(x) 0.*x; g=@(t,x) t; f=@(t,x) x;}\\
\texttt{$>$ [xf,uf]=ecucalor(C,intespacio,intiempo,pasosespacio,...}\\
\texttt{$>$ pasostiempo,theta,u0,g,f); plot(xf,uf)}\\
\texttt{$>$ c4=min(find(xf>=0.25));}\\
\texttt{$>$ uf(c4)}\%\%\% 0.9063\\
\texttt{$>$ c5=min(find(xf>=0.5));}\\
\texttt{$>$ uf(c5)}\%\%\% 1\\

\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{figuraEJ2junio2021.eps}
\caption{Resultados obtenidos para t=1.}
\end{figure}



\end{enumerate}

\end{document}














\end{enumerate}
\end{document}