ESPECTRO DE OPERADORES EN ESPACIOS DE DIMENSIÓN INFINITA

Abstract

Este trabajo de fin de grado aborda el estudio del espectro de operadores en espacios de dimensión infinita, centrándose en los espacios de Banach y los espacios de Hilbert. Nos centraremos además en proporcionar las herramientas teóricas necesarias para comprender los conceptos y resultados desarrollados a lo largo del trabajo.

En primer lugar, revisaremos algunos conceptos fundamentales del análisis funcional que se utilizarán a lo largo del trabajo. Concretamente exploraremos conceptos de espacios vectoriales de dimensión infinita, concentrándonos en los espacios normados, y en las aplicaciones lineales (operadores) continuas o acotadas definidas en ellos. También consideraremos el teorema de Hahn-Banach en su versión geométrica y analítica, que resulta ser una herramienta fundamental en el análisis funcional. Estudiaremos aspectos de los espacios normados completos, los espacios de Banach, prestando atención al propio proceso de completitud de un espacio normado para que llegue a ser un espacio de Banach. También abordaremos temas adicionales como la convergencia débil y la reflexividad. De modo especial consideraremos los espacios de Hilbert, que son espacios de Banach con una estructura adicional proporcionada por un producto escalar, y exploraremos el concepto de perpendicularidad y los teoremas de proyección y representación de Riesz.

Seguidamente, nos centramos en la clase de operadores acotados en espacios de Banach y se estudian importantes resultados, derivados de la completitud, como el principio de Acotación Uniforme, el Teorema de la Gráfica Cerrada, el Teorema de la Aplicación Abierta y el Teorema de la Aplicación Inversa Acotada. Todo ello será trabajo previo para atacar un objetivo primordial del trabajo que es el estudio espectral de los operadores. De ese modo, introduciremos el concepto de espectro para operadores acotados, que revela información crucial sobre la estructura y el comportamiento de los mismos.

Después, nos centraremos en los operadores compactos, que son una subclase especial de operadores acotados, que permiten rescatar buenas propiedades que tienen los operadores entre espacios de dimensión finita para el caso infinito dimensional.

Finalmente, utilizando las herramientas propias de los espacios de Hilbert, consideraremos el espectro de operadores acotados en espacios de Hilbert. Definiremos el rango numérico y veremos la relación que tiene con el espectro. Nos interesaremos en dos tipos distinguidos de operadores: los operadores normales y autoadjuntos en estos espacios. Estos operadores poseen propiedades especiales que permitirán comprenderlos en términos de su espectro. En concreto, apoyándonos en un teorema de estructura basado en operadores normales de dimensión finita, se generalizará a dimensión infinita el bien conocido teorema espectral, el cual permite por ejemplo definir conceptos de otras áreas como la curvatura de Gauss de una superficie en un punto a partir de sus curvaturas principales. Dicha versión infinito dimensional del teorema espectral permitirá describir la estructura de un operador compacto y autoadjunto a través de su espectro. De hecho, dicho resultado culminará de algún modo todo el esfuerzo realizado previamente en este trabajo.