UN MARCO METODOLÓGICO PARA LA INTERPRETACIÓN DE LA GEOMETRÍA FRACTAL

Abstract

Este Trabajo de Fin de Grado presenta un marco metodológico para la interpretación de la geometría fractal, destacando su importancia y aplicaciones en los ámbitos de las matemáticas y de la naturaleza. La investigación comienza con una introducción que explica la motivación y establece los objetivos del estudio.

En el estado del arte, se revisa la teoría de la medida, incluyendo la medida de Lebesgue y la dimensión de Minkowski, proporcionando el contexto matemático esencial. Se profundiza en la medida y dimensión de Hausdorff, sus propiedades y métodos de cálculo, como la dimensión de recuento por cajas (Box-Counting Dimension).

El trabajo examina la geometría fractal en la naturaleza, presentando ejemplos como fronteras y árboles que muestran propiedades fractales. Se analizan los fractales autosemejantes y los sistemas de funciones iteradas (IFS), explicando su generación y características.

Se presentan ejemplos de fractales autosemejantes, incluyendo la curva de Koch, el copo de nieve de Koch, el triángulo de Sierpinski, el árbol de Pitágoras y la curva del dragón, detallando su construcción y propiedades matemáticas.

Además, se incluye un capítulo sobre la creación de un fractal autosemejante, específicamente un árbol fractal, demostrando el proceso de construcción paso a paso.

La investigación también abarca sistemas dinámicos complejos, enfocándose en los conjuntos de Julia y el conjunto de Mandelbrot, dos fractales fundamentales en la matemática contemporánea.

Este TFG proporciona una comprensión integral de la geometría fractal y su potencial para futuras investigaciones y aplicaciones prácticas en diversos campos.