COMPLEMENTOS DE TEORÍA DE GALOIS

Abstract

El propósito de este trabajo es ampliar los conocimientos adquiridos sobre teoría de cuerpos en el Curso de Estructuras Algebraicas Avanzadas, siendo su objetivo principal enunciar y demostrar los dos resultados más importantes de la Teoría de Galois: el Teorema Fundamental y el Gran Teorema de Galois. Se inicia el trabajo con un breve relato de los trabajos y resultados obtenidos por los matemáticos anteriores a Evariste Galois, en su empeño por obtener fórmulas para resolver, mediante radicales, las ecuaciones polinómicas. De esta manera, nos situaremos en el marco histórico en el que se desarrollaron los trabajos de Galois en lo que se considera, de alguna manera, el nacimiento del álgebra moderna. Posteriormente, se exponen las bases necesarias sobre extensiones de cuerpos y los primeros conceptos de la teoría de Galois; se definirán extensiones de Galois de un polinomio y cuerpos fijos y sus propiedades, para acabar enunciando y demostrando el Teorema Fundamental de Galois donde se establece la relación entre grupos y cuerpos. Se mostrarán, por último, algunos resultados derivados de este Teorema. A continuación, nos introduciremos en el estudio de la resolubilidad, aportando las nociones básicas necesarias para este trabajo sobre teoría de grupos, tales como grupos resolubles y algunas conclusiones sobre los grupos de permutaciones y sus subgrupos. Después, se pasa al estudio de las extensiones radicales de cuerpos para llegar a la demostración del Teorema General de Galois que nos ofrece la respuesta definitiva a la resolubilidad por radicales de una ecuación polinómica. Se acabará el trabajo haciendo un análisis de las condiciones para clasificar los grupos de Galois de polinomios hasta el cuarto grado, aportando, por último, algunas ideas sobre dichos grupos para polinomios de grado cinco.