An extension of Furstenberg’s theorem of the infinitude of primes with applications to partition theory

Abstract

Antecedentes En 1955, H. Furstenberg [15] propuso un artículo en el que demostraba la infinitud de los números primos usando métodos topológicos. “On the infinitude of primes” es tan breve que podemos transcribir la traducción al castellano en las siguientes líneas: “En esta nota, nos gustaría ofrecer una demostración "topológica" elemental de la infinitud de los números primos. Introducimos una topología en el espacio de los enteros S, utilizando las progresiones aritméticas (desde −∞ hasta +∞) como base. No es difícil verificar que esto realmente genera un espacio topológico. De hecho, bajo esta topología, se puede demostrar que S es normal y por lo tanto, metrizable. Cada progresión aritmética es tanto cerrada como abierta, ya que su complemento es la unión de otras progresiones aritméticas (con la misma diferencia). Como resultado, la unión de cualquier número finito de progresiones aritméticas es cerrada. Consideremos ahora el conjunto A = S Ap, donde Ap consiste en todos los múltiplos de p, y p recorre el conjunto de primos ≧ 2. Los únicos números que no pertenecen a A son −1 y 1, y dado que el conjunto {−1,1} claramente no es abierto, A no puede ser cerrado. Por lo tanto, A no es una unión finita de conjuntos cerrados, lo que demuestra que hay una infinitud de números primos.” Esta prueba, despertó interés desde su aparición y está basada en el todavía más breve artículo de M. Brown [6] “A countable connected Hausdorff space”: “Los puntos son los enteros positivos. Los entornos son conjuntos de enteros {a+bx}, donde a y b son primos relativos entre sí (x = 1,2,3, · · · ). Sean {a+bx} y {c+dx} dos entornos. Se demuestra que bd es un punto límite de ambos entornos. Por lo tanto, las clausuras de cualquier par de entornos tienen una intersección no vacía. Esta es una condición suficiente para que un espacio sea conexo. (Recibido el 12 de marzo de 1953).” Con lo anterior como punto de partida, en 1959 S. Golomb [16, 17] desarrolló una topología D, similar a la de Furstenberg, en el conjunto de los enteros positivos. Una base de esta topología vendría dada por B = {{an + b} : (a,b) = 1}. (0.0.1) Entre otros resultados, demostró que la topología D es Hausdorff, conexa, no compacta y no regular. También probó la equivalencia entre el teorema de Dirichlet [14] sobre progresiones aritméticas y la afirmación de que el subconjunto de los números primos es un subconjunto denso de los enteros en la topología D. En 1969, A. M. Kirch [22] modificó la topología D y definió, también en el conjunto de los enteros positivos, una topología D′ cuya base sería B′ = {{an + b} : (a,b) = 1, b < a, a libre de cuadrados} (0.0.2) Cuando comparamos D y D′ obtenemos que D′ ⊊ D y por consiguiente la topología de Kirch D′ es más débil que la topología de Golomb. Se profundiza en el estudio de estas topologías en [11, 24, 37, 38]. Otros desarrollos, como [23, 35], analizan la idea original de Furstenberg en anillos conmutativos con identidad y sin divisores de cero o en x-ideales (vid. [3]). Otra generalización se estudia en [5] y estos resultados se amplían en [26]. Los párrafos anteriores resumen una línea de investigación, todavía activa, que tiene como punto de partida el teorema de Furstenberg. Por otro lado, se ha intentado esclarecer la prueba inicial evitando las consideraciones topológicas. Por ejemplo I. Mercer [30], deduce de la siguiente expresión,...